1 Pravd podobnost - plán p edná²ek 1.1 Popisná statistika, denice pravd podobnosti 1.2 Jevová pravd podobnost 1.3 Náhodná veli ina 1.4 Známé distribuce 1.5 Náhodný vektor, transformace NV 1.6 Opakování 2 Pravd podobnost - plán cvi ení 2.1 Úvod 1. Úvodní e i Co bude, jaké jsou poºadavky (docházka, testy, záv r semestru), konzultace atd. 2. Úvod do Scilabu (asi p ipravit a sami) P ipravit papír se základními údaji o Scilabu + p íklady, které si budou zkou²et 3. Úkol: Programy: (a) generovat vektor celých ísel a se adit ho podle velikosti, (b) Vytvo it funkci scal, která po ítá skalární sou in dvou vektoru, a tuto funkci pouºít v hlavním programu pro výpo et skalárního sou inu dvou zadaných vektor. 2.2 Popisná statistika 1. Zopakovat základní charakteristiky (a) pr m r: (i) prostý, (ii) váºený, (iii) z hodnot a etností (b) rozptyl: (i) prostý, (ii) váºený, (iii) z hodnot a etností, (iv) výb rový (c) kovariance, kovarian ní matice (d) kvantil a kritická hodnota 2. Po ítat vybrané charakteristiky ve Scilabu (a) pr m r (mean, v cyklu), rozptyl (variance, v cyklu), maximum (max, v cyklu) 3. Ukázat na²e funkce - p ístup k nim 1
(a) exec(xxx,-1) (b) spustit yyy.pdf - popis funkcí (prohlédnout) 4. Navést na Scilabské funkce (help, ATOMS) (a) ikona? (nebo help xxx): p ehled, hledat (b) ikona ATOMS (package) 5. Úkol: prozkoumat 3. a 4. a pouºít pro (a) azení vektoru podle velikosti (b) najít, co znamená gcf, gca, scf, sca (c) nainstalovat a prozkoumat package Data Analysis and Statistics / Distfun 2.3 Kombinatorika 1. P íklady: (a) // // ---------------------------------------------------------- clc, clear, close chdir(get_absolute_file_path('pr1.sce')),mode(0) // Na úse ce dlouhé 1m náhodn zvolíme dva body. // Jaká je pravd podobnost, ºe jejich vzdálenost bude men²í neº 1/3. // e²ení geometricky ve tverci. Výsledek 5/9. // Program: n=10000; k=0; for i=1:n x=rand(1,2,'u'); // generování ísla if abs(x(2)-x(1))<1/3; // jsou blíºe neº 1/3m k=k+1; p=k/n; printf('eperim. pr %8.6f\n',p) p_true=5/9; printf(' teoret. pr %8.6f\n',p_true) (b) // // ---------------------------------------------------------- clc, clear, close chdir(get_absolute_file_path('pr2.sce')),mode(0) // et ením bylo zji²t no, ºe 60% nov narozených d tí je men²ích, 2
// neº 50cm a váºí mén n º 3kg. 20% d tí je do 3kg, ale v t²ích // neº 50cm a 15% d tí má nad 3kg ale pod 50cm. Rozhodn te, zda jevy // "men²í, neº 50cm" a "leh í, neº 3kg" jsou nezávislé. // Program: n=10000; k11=0; k12=0; k21=0; for i=1:n d=double(rand(1,1,'u')<.75); //.6+.15 (do 50cm) v=double(rand(1,1,'u')<.8); //.6+.2 (do 3kg) if (d==0) & (v==0), k11=k11+1; // do 50 a do 3 if (d==1) & (v==0), k12=k12+1; // nad 50 a do 3 if (d==0) & (v==1), k21=k21+1; // do 50 a nad 3 k22=n-k11-k12-k21; // nad 50 a nad 3 pj=[k11 k12; k21 k22]/n; pmd=[k11 k12]/(k11+k12); pmv=[k11; k21]/(k11+k21); pjnez=pmv*pmd; // sdruºená // marg. ve vý²ka // marg. ve váha // sdruº. pro nezávislé printf('sdruzená\n') pj printf(' z marginal\n') pjnez (c) // // ---------------------------------------------------------- clc, clear, close chdir(get_absolute_file_path('pr3.sce')),mode(0) // T i muºi a t i ºeny obsadí náhodn ²est míst kolem kulatého stolu. // Jaká je pravd podobnost, ºe budou sed t st ídav? // Program: // - 1,2,3 jsou ºeny; 4,5,6 muºi // - náhodn vybírají místa n=10000; k=0; pr=perms([1 2 3 4 5 6]); // v²echny permutace np=size(pr,1); // po et permutací for i=1:n j=fix(np*rand(1,1,'u'))+1; // výb r permutace p=pr(j,:); // vybraná permutace test=0; for i=1:5 if (p(i)<4) & (p(i+1)<4) // dv ºeny vedle sebe test=1; 3
if (p(1)<4) & (p(6)<4) test=1; if test==0, k=k+1; // konec a za átek vektoru // test=0 - sedí st ídav 2. Spo ítat: printf('pr exper.\n') p=k/n printf('pr true\n') pt=.1 (a) ru n (podle klas. denice) (b) ve Scilabu (podle stat. denice) 3. Úkol: Náhodn generujeme ísla od jedné do deseti. Jaká je pravd podobnost, ºe druhá mocnina generovaného ísla bude v intervalu 20 aº 50? Nápov da: generátor je x(10*rand(1,1,'u'))+1; 2.4 Náhodná veli ina 1. Generování hodnot (a) hodnoty z kategorického rozd lení s p = [p 1, p 2,, p n ] sum(rand(1,1,'u')>cumsum(p))+1; (b) hodnoty z normálního rozd lení s st.h. m a rozpt. r sqrt(r)*rand(1,1,'n')+m; pozn.: standardní normální rozd lení je p ibliºn sou et ze ²esti 2*rand(1,1,'u')-1 (c) Chí2 rozd lení s k stupni volnosti je sou et k kvadrát st. normálního (N) χ 2 (k) = (d) Student s k stupni volnosti je st. normální d lené chí2 s k stupni (e) Fisher s k 1 a k 2 stupni je podíl dvou chí2 Generovat, ud lat histogram. 2. Distribuce jako histogramy: k i=1 N χ 2 (k) /2 χ 2 (k 1 ) /k 1 χ 2 (k 2 ) /k 2 Prohlédnout (nainstalovat) toolbox Dist, vybrat n kolik rozd lení, ud lat histogram a spo ítat st ední hodnotu a rozptyl. N 2 i 4
3. Centrální limitní v ta Generovat kategorické rozd lení. Jako realizace brát pr m r z n hodnot. Vykreslit histogram pro n = 1, 2, 5, 10, 30. Postupn budeme dostávat normální rozd lení. Pro n = 1 a 30 ur ete st ední hodnotu a rozptyl. Porovnejte. 4. Na tabuli - DF z hp. P íklad: Je dána hustota pravd podobnosti 0 pro x < 3 0.1 pro x 3, 0) f (x) = 0.5 pro x 0, 1) 0.05 pro x 1, 5) 0 pro x 5 Ur ete p edpis pro distribu ní funkci F. 5. Úkol: Ur ete distribu ní funkci pro hustotu pravd podobnosti f (x) = 1 x 2 pro x (1, 3), jinde nula. 2.5 Rozd lení 1. Generování náhodných ísel ve Scilabu (a) alternativní: 1-(rand(1,1,'u')<p); p je pravd podobnost x = 1 (b) kategorické: sum(rand(1,1,'u')>cumsum(p))+1; p i = P (x = i) (c) rovnom rné: x(k*rand(1,1,'u'))+1; k je po et hodnot 1,2,...k (d) normální: rand(1,1,'n'); s*rand(1,1,'u')+m; m st. hod., s sm r. odch. 2. Kvantily, kritické hodnoty a pravd podobnosti vlevo/vpravo ve Scilabu // // ---------------------------------------------------------- exec(scihome+"\scintro.sce",-1),mode(0) getd() // ZADÁVÁ SE: (zadáním dist se dostane návod na parametry) // typ veli iny, kterou po ítám // typ rozd lení // vstupní hodnota // parametry (jeden nebo dva) // p=.2; // pravd podobnost disp(' - KVANTIL ----------') bin=dist('kv','bin',p,10,.3) poi=dist('kv','poi',p,4) nor=dist('kv','nor',p,0,1) 5
t=dist('kv','t',p,14) chi=dist('kv','chi',p,14) f=dist('kv','f',p,4,14) disp(' - KRIT. HODNOTA --- ') bin=dist('kr','bin',p,10,.3) poi=dist('kr','poi',p,4) nor=dist('kr','nor',p,0,1) t=dist('kr','t',p,14) chi=dist('kr','chi',p,14) f=dist('kr','f',p,4,14) x=2; // hodnota disp(' - PRAVD. VLEVO --------') bin=dist('pl','bin',x,10,.3) poi=dist('pl','poi',x,4) nor=dist('pl','nor',x,0,1) t=dist('pl','t',x,14) chi=dist('pl','chi',x,14) f=dist('pl','f',x,4,14) disp(' - PRAVD. VPRAVO --------') bin=dist('pr','bin',x,10,.3) poi=dist('pr','poi',x,4) nor=dist('pr','nor',x,0,1) t=dist('pr','t',x,14) chi=dist('pr','chi',x,14) f=dist('pr','f',x,4,14) 3. Na tabuli: (a) normalizace rozd lení - náhodná veli ina X (st. hod. µ, sm. odchylka σ) - normovaná n.v. Z (st. hod 0, sm. odch 1) platí Z = X µ, X = σz + µ σ σ je strmost, µ je posunutí. (b) p íklad na výb rový pr m r D ti ve v ku 10 let mají pr m rnou vý²ku 141 cm se sm rodatnou odchylkou 9 cm. (i) Ur ete pravd podobnost, ºe pr m rná vý²ka skupiny náhodn vybraných d tí bude v t²í neº 150 cm. (ii) Ur ete po et d tí ve skupin, pro kterou platí ºe pr m rná vý²ka d tí v této skupin bude práv v t²í neº 150 cm. 4. kdyº zbude as tak p íklad na (a) závislé a nezávislé pokusy (strom) Dva soupe i hází korunou. Vyhrává ten, komu jako první padne líc. Jaká je pravd podobnost, ze to bude ten, kdo za ínal? 6
(b) úplnou pr. a Bayese K dispozici jsou t i vzduchovky. Pravd podobnost zásahu s první je 0.95, s druhou 0.9 a se t etí 0.8 St elec vybere náhodn jednu z vzduchovku a vyst elí. Jaká je pravd podobnost zásahu? St elec zasáhl. Jaká je pravd podobnost, ºe vyst elil z první vzduchovky? 5. Úkol: n co z 2. (a) Ur ete kritickou hodnotu pro Poissonovo rozd lení a α = 0.025. (b) Ur ete kvantil normálního rozd lení pro hodnoty x = 2 a x = 2. (c) Ur ete pravd podobnost hodnot z intervalu (, 1) pro Studentovo rozd lení s 15 stupni volnosti. (d) Ur ete hranice intervalu pro rozd lení χ 2 tak, aby pravd podobnosti hodnot vlevo a vpravo od tohoto intervalu byly 0.05. (e) Generujte náhodn ísla 2, 4 a 6 tak, aby jejich pravd podobnosti byly postupn 0.4, 0.1 a 0.5. 2.6 Po ítání na tabuli 1. Kombinatorika? (a) Kolik ty ciferných ísel lze vytvo it z íslic 0, 1, 2, 3, 4, 5 jestliºe se íslice nesmí opakovat? e²ení: Variace bez opakování: V 4(6) V 3(5) = 360 60 = 300. (b) Kolik sudých ty ciferných ísel lze vytvo it z íslic 0, 1, 2, 3, 4, 5 jestliºe se íslice nesmí opakovat? e²ení: V 3 (5) na konci nula, +2 (V 3 (5) V 2 (4)) na konci nenula =60+2(60-12)=156. (c) Totéº jako p edchozí p íklad, ale s opakováním íslic. e²ení: Variace s opakováním: 3(V 3(6) V 2(6)) = 3(216 36) = 540. (d) Kolika zp soby je moºno do dvoul ºkového, p til ºkového a t íl ºkového pokoje umístit deset host? e²ení: Permutace s opakováním: P(2,5,3)=(2+5+3)!/(2!5!3!)=2 520. (e) Kolik p ímek je ur eno patnácti body, jestliºe práv p t z nich leºí na p ímce? e²ení: Kombinace: C 2(15) C 2(5) + 1 = 105 10 + 1 = 96 (f) V sérii 100 výrobk je 20 vadných. Kolika zp soby lze vybrat 10 výrobk, aby ve výb ru byl alespo jeden vadný výrobek? e²ení: Alespo 1 je 1,2,3...10. C 1(20)C 9(80) + C 2(20)C 8(80) +... + C 10(20), nebo: v²echny výb ry C 10(100) minus jen dobré C 10(80). Výsledek: 15663817346320. = 1.566 10 13. (g) ƒtverec je t emi vodorovnými a t emi svislými arami rozd len na ²achovnici 4x4. Do kaºdého ádku je na jedno z jeho ty polí umíst n hrací kámen. S jakou pravd podobností v kaºdém sloupci leºí práv jeden kámen? [ 4.3.2.1 4.4.4.4 = 3 32 ] (h) Výrobky povaºujeme za vadné, kdyº nemají p edepsanou hmotnost nebo rozm r. Výrobk, které nemají správný rozm r, je 10%, t ch, které mají ²patnou váhu je 30% a výrobk bez vady je 65%. Ur ete pravd podobnost, ºe náhodn vybraný výrobek má správnou hmotnost, ale nemá p edepsaný rozm r. 7
[mnoº. diagram, P (H R ) = 0.05] (i) Úplná pravd podobnost Na sklad jsou sou ástky ze t í továren. První továrna má pr m rn 0,3%, druhá 0,2% a t etí 0,4% zmetk. První továrna dodala 1000, druhá 2000 a t etí 2500 sou ástek. S jakou pravd podobností náhodn vybraná sou ástka bude zmetek? Návod: T továrna. P (T = 1) = 1000/5500 atd. Z zmetek. P (Z T = 1) = 0.003 atd. P (Z) = T P (Z T ) P (T ) [úplná pr. P = 0.0031] (j) Bayes Na sklad je 70% p ístroj první jakosti a 30% druhé jakosti. Pravd podobnost, ºe p ístroj 1. jakosti pracuje bez poruchy je 0,95 a p ístroj 2. jakosti 0,7. Organizace koupila jeden p ístroj a ten pracoval bez poruchy. S jakou pravd podobností byl p ístroj 1. jakosti? Návod: J jakost. P (J = 1) = 0.7 atd. B bezporuchový provoz. P (B J = 1) = 0.95 atd. P (J = 1 B) = P (B J = 1) P (J = 1) / J P (B J) P (J) [Bayes P = 0.76] 2. Sdruºená, marginální a podmín ná hp a pf (a) Je dána náhodná veli ina X a její hustota pravd podobnosti (viz p edná²ka) ur ete rozptyl této náhodné veli iny. f (x, a) = a 2 xe ax, x 0, a > 0 (b) Ur ete st ední hodnotu a rozptyl pro náhodnou veli inu X {1, 3, 8} s rovnom rným rozd lením. Ov te ve Scilabu pro 10 000 generovaných hodnot. (c) Je dána hustota pravd podobnosti f(x) = 3 x2 4x + 3, pro x (0, 4). 8 Ur ete distribu ní funkci, st ední hodnotu a rozptyl. 3. Transformace Je dána náhodná veli ina X s hustotou pravd podobnosti f X (x). Dále je dána funkce y = g (x). Ur ete hustotou pravd podobnosti náhodné veli iny Y, která je transformací náhodné veli iny X podle funkce g. ( f Y (y) = f X g 1 (y) ) g 1 (y). y Ud lat pro standardní gaussovku a funkci y = σx + µ. 4. Generování náhodných ísel p es inverzní DF Jestliºe generujeme hodnoty náhodné veli iny s rovnom rným rozd lením U (0, 1) na intervalu (0, 1) a tyto hodnoty promítáme p es inverzní distribu ní funkci F na hodnoty y, tj. generujeme y = F 1 (x), pak hodnoty y mají rozd lení s distribu ní funkcí F. Schema generování x U (0, 1), y = F 1 y (x) nebo x U (0, 1), f (t) dt = x. 8
D kaz Distribu ní funkce rozd lení U (0, 1) je F X (x) = x pro x (0, 1). Vezmeme transforma ní funkci h = F 1, kde F je distribu ní funkce rozd lení, které chceme generovat. Rozd lení generovaných hodnot y s distribu ní funkcí F Y F Y (y) = P (Y y) = P ( X h 1 (y) ) = F X ( h 1 (y) ) = h 1 (y) = F (y), kde v p edposledním kroku jsme vyuºili F X (x) = x a v posledním h 1 = F. Generované hodnoty y mají tedy rozd lení s distribu ní funkcí F. 9