VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta stavební Ústav stavební mechaniky

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta stavební Ústav stavební mechaniky Ing. Jiří Kala, Ph.D. Kmitání mostní konstrukce vyvolané pohybem osob Human Induced Vibration of Bridge Structure Teze habilitační práce Vědní obor: Teorie a konstrukce staveb BRNO 2009

KLÍČOVÁ SLOVA Odezva mostní konstrukce, ustálená odezva, přechodový stav, pohyblivé zatížení, zatížení chůzí a během, zatížení kráčejícím davem, výpočtový model, metoda konečných prvků, programový systém ANSYS. KEY WORDS Bridge structure response, steady-state response, transient state, moving action, walking - running excitation, excitation induced by walking crowd, computational model, finite element model, ANSYS program system. MÍSTO ULOŽENÍ PRÁCE Originál práce je uložen v archivu PVO FAST. Jiří Kala, 2009 ISBN 978-80-214-3809-5 ISSN 1213-418X

OBSAH PŘEDSTAVENÍ AUTORA...4 ÚVOD...6 1 POPIS ZATÍŽENÍ VYVOLANÉHO POHYBEM OSOB...7 1.1 Síly vyvolané jednou pohybující se osobou...7 1.2 Numerický popis zatížení...8 1.2.1 Dynamické modely zatížení...8 2 HODNOCENÍ VIBRACÍ MOSTNÍCH KONSTRUKCÍ PRO PĚŠÍ...10 2.1 Citlivost na svislé vibrace mostů...11 3 INTERAKCE POHYBU LÁVKY A OSOB...13 4 NÁVRHOVÉ POSTUPY A SMĚRNICE...15 5 OPATŘENÍ PROTI NADMĚRNÝM VIBRACÍM LÁVEK...16 5.1 Omezovače s laděnou přídavnou hmotou (TMD)...16 5.1.1 Princip ladění...16 6 NUMERICKY ŘEŠENÉ KONSTRUKCE LÁVEK...18 6.1 Visutá lávka přes Labe...19 6.1.1 Popis konstrukce...19 6.1.2 Výpočtový model...19 6.1.3 Výpočet vlastního kmitání...20 6.1.4 Odezva na pohyb jedné osoby...20 6.1.5 Zatížení více osobami...22 6.2 Zavěšená lávka přes Jizeru...26 6.2.1 Popis nosné konstrukce...26 6.2.2 Výpočet vlastního kmitání...27 6.2.3 Návrh omezovače...28 6.2.4 Odezva na pohyb jedné osoby...28 6.2.5 Zatížení zástupem osob...29 7 ZÁVĚRY...31 POUŽITÁ LITERATURA...32 ABSTRACT...35 3

PŘEDSTAVENÍ AUTORA Ing. Jiří Kala, Ph.D. Datum a místo narození: 1. květen 1973, Brno Pracovní zařazení: odborný asistent Ústavu stavební mechaniky Fakulty stavební VUT v Brně Vzdělání: Ing. 1996 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební Obor: Konstrukce a statika staveb Ph.D. 2004 téma : Analýza účinků větru na stavební konstrukce Vysoké učení technické v Brně, Fakulta stavební Odborné zaměření: Statická a dynamická analýza konstrukcí, modelování konstrukcí metodou konečných prvků, interakce tekutiny a těles, aplikace systému ANSYS Praxe: Pedagogická praxe 1997 dosud pedagogická činnost na Ústavu stavební mechaniky 1999 2004 asistent 2004 dosud odborný asistent Odborná praxe 2001 dosud projektant, OK-DESIGN BRNO, s. r.o. Pedagogická činnost Přednášky Fundamentals of Structural Mechanics, Elasticity and Plasticity II, Structural Analysis II, Computational and Information Technology, Statická a dynamická analýza konstrukcí, Základy stavební mechaniky, Pružnost a plasticita Cvičení Stavební dynamika, Fundamentals of Structural Mechanics, Elasticity and Plasticity II, Structural Analysis, Computational and Information Technology, Automatizace statických výpočtů, Statická a dynamická analýza konstrukcí, Dynamika, Základy stavební mechaniky, Pružnost a plasticita Vedení diplomových prací a výchova vědeckých pracovníků Pět výborně hodnocených diplomových prací, nyní školitelem tří doktorandů v programu konstrukce a dopravní stavby Činnosti související s pedagogickým procesem Členství v komisích státních závěrečných zkoušek, člen rady Fondu rozvoje vysokých škol Účast na řešení národního výzkumného úkolu, grantu člen řešitelského týmu: GA/ČR 103/97/0074 Účinky smyku a jejich vliv na přetvoření a napjatost tenkostěnných deskových konstrukcí GA/ČR 103/99/0944 Teoretická analýza reziduální statické způsobilosti a zajištění statické bezpečnosti panelových domů GA/ČR 103/00/0093 Statická a dynamická analýza potrubí a válcových nádob v interakci s prostředím GA/ČR 103/00/0603 Ocenění rizika ztráty únosnosti a provozuschopnosti stavebních konstrukcí GA/ČR 103/03/0233 Citlivostní analýza stabilitních problémů tenkostěnných konstrukcí GA/ČR 103/05/0085 Statická a dynamická analýza skutečného působení lepených ocelových kotev GA/ČR 103/05/2059 Mezní stavy a spolehlivost novodobých stavebních konstrukcí 4

GA/ČR 103/09/1258 Teorie a skutečné působení konstrukčních prvků, dílců a nosných systémů kombinovaných z betonu a oceli GA/ČR 103/09/2007 Vliv technické a přírodní seizmicity na statickou spolehlivost a životnost staveb CEZ J22/98 číslo 261100007 Teorie, spolehlivost a modely porušení staticky a dynamicky namáhaných stavebních konstrukcí CEZ J22/98 číslo 261100009 Netradiční metody studia komplexních a neurčitých systémů MŠMT ESF projekt v Opatření 3.2 Spolupráce s praxí v oblasti řešení úloh stavební mechaniky: Výběr z projektů a realizovaných děl: Konstrukce taktického vytyčovacího stožáru TVS-30. Návrh a posouzení ocelové konstrukce tunelového bednění. SO 201 Visutá lávka pro pěší a cyklisty přes Labe, Kmochův ostrov Zálabí. Seizmické posouzení průmyslového kotle Bucuresti Vest CCHP Project (Rumunsko). Seizmické posouzení průmyslového kotle Aluminium De Grece Saint Nicolas Plant (Řecko). Projekt seizmického zodolnění konstrukcí stavebních objektů HVB I a II JE Dukovany. Publikační, posudková, projekční a výzkumná činnost: Vědecký časopis 10, významné inženýrské a architektonické dílo 4, zahraniční konference 94, tuzemské konference 45, odborný časopis 11, výzkumná zpráva 7, technické zprávy a posudky 28, skripta 2. 5

ÚVOD Moderní mostní konstrukce jsou díky použití lehkých materiálů s vysokou únosností a nízkým útlumem velice citlivé na dynamické zatížení a s tím spojený vznik nežádoucích vibrací. Silové účinky vznikající pohybem osob představují časté a dominantní zatížení související se základním posláním mostních konstrukcí pro pěší. Již velmi dávno bylo zjištěno, že tento typ dynamického zatížení může způsobit nadměrné vibrace a v mezních případech dokonce zhroucení konstrukce [42]. Detailní všeobecně přijímaný popis zatížení vyvolaného jednotlivcem nebo zástupem, odezvy konstrukce, případně interakce pohybu konstrukce a chování osob, nebyl donedávna znám a žádný zásadní výzkum se v této oblasti neprováděl. Ačkoli bylo v minulosti zaznamenáno mnoho případů některé jsou popsány v [45], odborná veřejnost se této problematice začala věnovat až po nechvalně proslulém slavnostním otevření nového a atraktivního mostu Millenium Bridge v Londýně 10. června 2000 [10]. V tomto i téměř ve všech dalších případech zjištěných dříve byl problém související s nadměrnými vibracemi lávek způsoben buzením blízkým rezonančnímu k jednomu nebo k více tvarům kmitání. Vlastní frekvence (odpovídající vertikálnímu, příčnému nebo torznímu tvaru kmitu) se často nachází v intervalu přirozené frekvence lidské chůze [25]. Tento problém se objevil u všech konstrukčních uspořádání mostů (zavěšený, visutý aj.) bez ohledu na materiál nosné konstrukce (dřevo, spřažený ocelobeton, ocel, vyztužený a předpjatý beton). Kmitání lehkých konstrukcí lávek s minimálním útlumem vyvolané pohybem osob (human induced vibration) začalo být alarmující, což dokazuje řada příspěvků [3], [34] na významných mezinárodních konferencích, Footbridge 2002 a 2008. V současnosti je všeobecně akceptováno stanovisko, že kmitání konstrukce lávky vyvolané pohybem chodců je spíš problém použitelnosti a komfortu než prvního mezního stavu, tj. nadměrného zatížení nosných prvků [2]. Člověk je schopen vnímat pohyby s amplitudou přesahující 0,001 mm [35]. Tato vysoká citlivost je obvykle rozhodujícím a daleko přísnějším kritériem použitelnosti z hlediska úrovně vibrací než mezní hodnoty dynamických posunů dostačujících k tomu, aby způsobily poškození únavou či jednorázovým přetížením samotné konstrukce. Většina testů vedla k obecně uznávanému závěru, že pro popis komfortu osob je nejvhodnější užívat parametr zrychlení. Jeden z klíčových důvodů je, že zrychlení je snadno měřitelné, třebaže jsou situace, kdy účinek pohybu může být výstižněji popsán rychlostí [15]. Je také obecně přijímán fakt, že tolerance k vibracím podkladu je u osob pohybujících se po mostě vyšší než u osob v budovách. Chodci mohou rovněž akceptovat jistou (zpočátku nepřijatelnou) úroveň vibrací tím, že si na ni zvyknou [38]. Ačkoli očekávání možného chvění hraje velmi důležitou roli při stanovení použitelnosti lávek z hlediska vibrací, přesná čísla kvantifikující tato pozorování jsou vzácná a velmi těžko zobecnitelná. Při pohybu osob po poddajné mostovce mohou nastat dva druhy synchronizace mezi lidmi a mezi lidmi a konstrukcí. Jejich charakter je různý, ale zpravidla nastávají současně. V důsledku vedou oba k nárůstu odezvy konstrukce. Za účelem lepšího porozumění interakce pohybujícího se zástupu a konstrukce je nezbytné identifikovat [12] vztah mezi hustotou zástupu, rychlostí chůze, frekvencí chůze a pravděpodobností synchronizace, pravděpodobnost zamknutí (lock-in) a efektivní sílu vyvolanou jednou osobou v zástupu jako funkci amplitudy a frekvence pohybu mostu. Protože zatím nebyl nalezen obecně přijímaný popis zatížení a vyhodnocení komfortu při pohybu osob na lávce, je v další části provedena kategorizace řady návrhových norem. Některé doporučují vyhnout se rezonanční odezvě přeladěním konstrukce mimo rozsah typický pro první nebo druhou harmonickou složku síly chůze, jiné navrhují postup výpočtu odezvy mostu a kontroly použitelnosti. Žádný z předpisů nezohledňuje všechny aspekty kmitání vyvolaného pohybem osob v příčném a ve svislém směru. 6

1 POPIS ZATÍŽENÍ VYVOLANÉHO POHYBEM OSOB Při pohybu chodce vzniká dynamická časově proměnná síla, která má nenulové složky ve všech třech směrech: vertikálním, v příčném a podélném [2]. Tato síla vyvolaná setrvačnými silami úměrnými hmotnosti těla je studována mnoho let. Největší pozornost byla věnována svislé složce síly. Ta je vzhledem k nejvyšší hodnotě považovaná ze tří složek za nejdůležitější. Kromě zatížení vyvolaného přirozenou chůzí existují i další důležité účinky vyvolané člověkem na mostní konstrukci. Jedná se o běh a některé projevy úmyslného vandalismu (skákání, kývání nebo horizontální kymácení). Některé z těchto druhů sil způsobené osobami byly studovány nejen pro jednotlivce, ale také pro malé skupiny osob. Velké skupiny chodců nejsou vzhledem k náročnosti měření vyšetřovány systematicky [3]. 1.1 SÍLY VYVOLANÉ JEDNOU POHYBUJÍCÍ SE OSOBOU Komplexní výzkum sil vyvolaných osobami v souvislosti s dynamickým zatížením lávek byl proveden Wheelerem v [41]. Práce systematizuje závěry výzkumné činnosti dalších autorů, které souvisejí s různými režimy lidského pohybu od pomalé chůze po běh, jak je patrné na obrázku 1. Tyto studie také definují závislost mnoha parametrů chůze, jako je délka kroku, rychlost pohybu, špičková síla, doba kontaktu (čas, kdy je jedna noha v kontaktu se zemí) vyjádřená jako funkce frekvence chůze. Přestože se výše zmíněné parametry pro každou osobu liší, je možné stanovit jisté obecné závěry: souvislost mezi vyšší frekvencí kroku a nárůstem amplitudy síly a zvýšení délky kroku a rychlosti vede ke kratší době kontaktu s podložkou. Měření sil jednotlivých nášlapů byla postupně vystřídána dokonalejším spojitým měřením pro několik kroků. Za tímto účelem byly použity různé přístroje, např. běhací pás [5] či tlakově citlivé dlouhé proužky. Ebrahimpour [13] užíval několik nášlapných ploch. Měřený časový záznam byl blízký periodické funkci s dobou opakování rovnou (průměrné) převrácené hodnotě frekvence kroku. Ve všech těchto pracích byla pozornost věnována jen svislým složkám sil. Obr. 1 Záznam svislých sil pro různé pohyby osob 7

1.2 NUMERICKÝ POPIS ZATÍŽENÍ Použití naměřených hodnot dynamické složky síly pro návrh konstrukcí lávek je podmíněno možností toto zatížení popsat. K tomu je možné přistupovat dvěma základními způsoby: časovým záznamem síly nebo přiřazením amplitud síly podle odpovídající frekvence. V obou případech se jedná o velmi komplikovaný úkol. Hlavní důvody jsou: pracuje se s celou řadou typů aktivit vyvolávajících zatížení, které většinou mění v čase velikost i polohu (například chůze a běh), každá osoba generuje unikátní zatížení, jedná se o téměř periodický proces s úzkým frekvenčním pásmem, tento proces není dobře prozkoumán a je proto obtížně matematicky popsatelný, síly jsou závislé na řadě parametrů, o kterých bylo pojednáno v textu výše, vliv počtu osob stejně jako jejich stupeň synchronizace a korelace je obtížné zobecnit vzhledem k fyzické i psychické unikátnosti každého člověka, je silná korelace mezi chováním lidí na nepohyblivém podkladu a jejich chováním (a s tím souvisejícími silovými účinky) při znatelné poddajnosti podkladu, jako je tomu v případě většiny lávek. 1.2.1 Dynamické modely zatížení K časovému modelování silových účinků je možné přistupovat deterministicky nebo pravděpodobnostně. První typ se snaží stanovit jeden obecný silový model pro každý typ lidské aktivity, zatímco druhý přístup bere v úvahu náhodnost parametrů (frekvence kroku, hmotnost osoby apod.) ovlivňujících sílu. Náhodnost těchto parametrů je možné vyjádřit například pomocí jejich distribučních funkcí. Oba přístupy vycházejí ze základního předpokladu, že pohyb a odpovídající silový záznam jsou periodické. Je obecně známo, že každá periodická síla F p (t) se základní délkou periody T může být nahrazena Fourierovou řadou ve tvaru p n F ( t) = G + Gα sin(2π if t ϕ ), (1) i= 1 i p i kde G je tíha osoby, α i Fourierův součinitel i-tého harmonického členu, tj. dynamický součinitel zatížení (v dalším textu označován δ), f p frekvence pohybu (Hz), ϕ i fázový posun i-tého harmonického členu, i pořadové číslo harmonického členu a n celkový počet uvažovaných harmonických členů. Přesnější postupy zohledňují i změnu polohy působiště síly, která se pohybuje po konstrukci. S cílem ověřit tvrzení různých autorů bylo v rámci této práce provedeno měření svislého tlakového účinku vyvolaného chůzí. K měření byly použity tři snímače s průměrem základny 0,20 m umístěné na nepoddajné podložce. Osová vzdálenost ve směru pohybu byla 0,9 m. Přes snímače bylo opakovaně přecházeno s krokovou frekvencí 1,5 2 Hz. V rámci experimentu byl zkoumán i přenos sil při došlapu na patu a následném přenesení váhy na špičku. Tato konfigurace rovněž potvrdila správnost měření konfigurace s jedním snímačem na došlap, kdy průměr citlivé plochy snímače je menší než délka chodidla. Měření bylo provedeno se sportovní i s domácí obuví, navíc byly umisťovány na plochy snímačů různé i velmi poddajné podložky (např. 15 mm polystyrenu), které měly zohlednit vliv obuvi na výsledný tlakový záznam. V rámci těchto variant nebyl zjištěn měřitelný vliv použití obuvi ani úpravy nášlapové plochy na výsledný silový záznam. Za předpokladu dokonalé periodicity výsledné funkce byl naměřený průběh síly nahrazen Fourierovou řadou. Frekvence kroků je pro tento záznam přibližně 1,55 Hz, tj. rychlost 1,4 m.s -1. Dynamické součinitele zatížení harmonických členů: δ 1 = 0,32, δ 2 = 0,09, δ 3 = 0,12, δ 4 = 0,02. Výsledky vykazují dobrou shodu s výsledky shrnutými v tabulce 1. Nižší hodnoty jsou způsobeny mj. nižší frekvencí kroků. Vzhledem k malému počtu měřených vzorků je možnost stanovení obecnějších závěrů omezena. 8

Na základě mnohem rozsáhlejšího vzorku osob byly pořízeny záznamy pohybu velmi pomalé chůze okolo 1 Hz až po nepřirozeně rychlou chůzi s frekvencí kroku okolo 3 Hz [23]. Součinitel prvního harmonického členu měl s rostoucí frekvencí chůze jasně se zvětšující trend. Dynamický součinitel odpovídající vyšším členům vykazoval značný rozptyl, proto byl vyhodnocen statisticky. Veškerá výše uvedená měření byla prováděna na nepoddajném podkladu. Uvedené hodnoty δ jsou na straně bezpečné, protože [33] konstatuje jisté snížení prvního a druhého harmonického členu svislé složky síly při měření zatížení na lávce. Svou roli zde hraje především podvědomá reakce na nízkofrekvenční pohyb podkladu. Síla během výskoků může být opět popsána jako periodická funkce. Tvar záznamu je podobný jako při běhu s tím rozdílem, že skokan se nemusí pohybovat po lávce. Periodu je možné rozdělit na čas, kdy je osoba v kontaktu s podložkou, a kdy je nad ní a síla je nulová. V [2] je tento záznam nahrazen poloviční funkcí sinus popsanou čtyřmi členy řady, které závisejí na poměru času kontaktu s podložkou k době cyklu. Tabulka 1 Dynamický součinitel zatížení δ harmonických členů dle různých autorů Autor δ Dynamický součinitel zatížení Typ pohybu a směr síly Frekvence Blanchard [5] δ 1 = 0,257 chůze svislý do 4 až 5 Bachmann [2] δ 1 = 0,4 0,5, δ 2 = δ 3 = 0,1 chůze svislý 2,0 až 2,4 δ 1 = 0,37, δ 2 = 0,1, δ 3 = 0,12, δ 4 = 0,04, δ 5 = 0,08 chůze svislý 2,0 Schulze δ 1 = 0,039, δ 2 = 0,01, δ 3 = 0,043, chůze příčný 1,0 δ 4 = 0,012, δ 5 = 0,015 δ 1/2 = 0,037, δ 1 = 0,204, δ 3/2 = 0,026, δ 2 = 0,083, δ 5/2 = 0,024 chůze podélný 2,0 Rainer [35] δ 1, δ 2, δ 3, δ 4 frekvenčně závislé δ 1 = 0,4 0,5, δ 2 = δ 3 = 0,1 chůze svislý 2,0 2,4 Bachmann [4] δ 1 = δ 3 = 0,1 chůze příčný 1,0 δ 1/2 = 0,1, δ 1 = 0,2, δ 2 = 0,1 chůze podélný 2,0 δ 1 = 1,6, δ 2 = 0,7, δ 3 = 0,2 běh svislý 2,0 3,0 Kerr [23] δ 1, δ 2 = 0,07, δ 3 = 0,06 chůze svislý δ 1 = 0,37(f 0,95) 0,5 chůze svislý průměrné Young [44] δ 2 = 0,054 + 0,0044f hodnoty δ δ 3 = 0,026 + 0,0050f δ 4 = 0,010 + 0,0051f δ 1 = 0,4, δ 2 = δ 3 = 0,1 chůze svislý Setra [37] δ 1/2 = δ 3/2 = 0,05, δ 1 = δ 2 = 0,01 chůze příčný δ 1/2 = 0,04, δ 1 = 0,2, δ 3/2 = 0,03, chůze podélný δ 2 = 0,01 δ 1 = 1,8/1,7, δ 2 = 1,3/1,1, normální skoky svislý 2,0 3,0 δ 3 = 0,7/0,5 δ 1 = 1,9/1,8, δ 2 = 1,6/1,3, vysoké skoky svislý 2,0 3,0 Bachmann [4] δ 3 = 1,1/,8 δ 1 = 0,17/0,38, δ 2 = 0,1/0,12, kývání svislý 1,6 2,4 δ 3 = 0,04/0,02 δ 1 = 0,5 pohupování na místě 0,6 příčný Yao [43] δ 1 = 0,7, δ 2 = 0,25 kývání svislý 2,0 9

Výsledky měření synchronizovaných pohybových aktivit na nízkofrekvenčních lávkách nejsou příliš dokumentovány. U konstrukcí primárně určených k těmto aktivitám (tělocvičny, taneční sály apod.) jsou uváděny v [1] součinitele pro první tři harmonické členy 1,5, 0,6 a 0,1. Synchronizace nad 2,75 Hz je již velmi obtížná. V numericky řešených případech modelů lávek byl v rámci této práce zvolen model podle metodiky Setra [37]; je uveden v tabulce 1. Časový průběh síly ve svislém směru je zobrazen na obrázku 2, v příčném směru (obr. 3), v podélném směru (obr. 4) a svislá síla vyvolaná během jedné osoby je zobrazena na obr. 5. Obr. 2 Časový průběh svislé síly Obr. 3 Časový průběh příčné síly Obr. 4 Časový průběh podélné síly Obr. 5 Časový průběh svislé síly výskoků 2 HODNOCENÍ VIBRACÍ MOSTNÍCH KONSTRUKCÍ PRO PĚŠÍ Člověk může cítit i velice malé vibrace, proto kritéria hodnocení vibrací mostů pro pěší vycházející z hodnocení komfortu pohybujících se osob se při posuzování mezních stavů použitelnosti ukazují jako velice přísná. Podle [40] může osoba stojící na mostě v klidu pociťovat nepohodlí při pohybu mostu vyvolaném chůzí jiných osob, které úroveň vibrací neobtěžuje. Tuto skutečnost Leonard [25] komentuje tak, že navrhovat lávky, kde stojící osoby nebudou cítit žádný pohyb, je ekonomicky neúnosné. Reakce lidí na vibrace je komplexní záležitost, přičemž lidé jsou největší proměnnou, se kterou je nutné pracovat [37]. Rozmanitost je v reakci různých osob na stejné vibrační podmínky, ovšem i jednotlivec vystavený stejným vibracím v různých dnech bude pravděpodobně reagovat jinak. Tento jev je známý jako inter- a intrasubjektivní proměnlivost lidí a jejich reakcí na vibrace [15]. V [41] jsou shrnuty všechny poznatky s ohledem na směr vibrací, pozici subjektu (osoby) a typ vibrací a jsou zde také definovány tři kategorie lidské reakce na vibrace: vnímání, nepohodlí a maximální snesitelná úroveň. Úroveň spodního prahu nepohodlí byla asi 0,046 g, přitom vnímaná 10

hodnota byla jen 0,0025 g. Minimální tolerance byla kolem frekvence 5 Hz, což je hlavní rezonanční frekvence lidského těla [13]. Studie [2] také odděluje citlivost na pohyb v horizontálním a vertikálním směru; pro frekvence pod 4 Hz je citlivost pro horizontální vibrace vyšší. Obr. 6 Kategorizace vnímání vibrací 2.1 CITLIVOST NA SVISLÉ VIBRACE MOSTŮ Obr. 7 Lidské vnímání vibrací Zkoušky zaměřené na vnímání vibrací na silničních mostech [39] ukázaly, že skutečné vibrace mostů jsou mnohem složitější než obvykle používané harmonické kmitání s jedinou (dominantní) frekvencí. Použitelnost výsledků výzkumu provedeného v laboratorních podmínkách je pro lávky většinou sporná. Zásadní kritérium pro vnímaní vibrací pochůzné části je pohyb osoby. Osoba se po mostě pohybuje a vystavuje se vibracím jen omezenou dobu, navíc jen částí chodidla (pata, celé chodidlo, špička) a vlastní pohyb snižuje citlivost k přídavnému pohybu pochůzné části. Tato skutečnost kategorizaci vnímání vibrací lávek ještě více komplikuje. Ebrahimpour [13] provedl měření amplitud kmitů vyvolaných běžným provozem na 52 silničních mostech. Zařazení výsledků měření do grafu na obrázku 6 ukázalo, že téměř na všech mostech vzniká nepříjemný a dokonce v 25 % případů nesnesitelný pohyb. Studie uzavírá výsledky tím, že stupnice založená na dlouhodobých vibracích nemůže srovnávat špičkové hodnoty vibrací trvající obvykle jen krátký časový interval. Výsledky zřetelně ukázaly, že stojící osoba je citlivější na chvění podkladu než osoba při chůzi [25]. Chodec je vystaven vibracím proměnné intenzity s maximem jen v omezené oblasti. Naměřené limity jsou pro jednotlivé kategorie vnímání obecně vyšší, viz obr. 7 (plné čáry). Při kmitání s výraznými amplitudami projevily už některé osoby strach. 11

Dnes jsou obecně přijímána kritéria vycházející z citovaných prací, která upravil Blanchard v [5]. Zavedl mezní zrychlení a lim v závislosti na frekvenci vyjádřené jako a = 0, 5 f, (2) lim kde f (Hz) je základní ohybová frekvence lávky. Tato hodnota je aplikována v aktuální britské normě pro stanovení použitelnosti při vibracích lávek BD 37/01. Irwin v [18] shromáždil data týkající se reakce lidí na vibrace jak z laboratorních údajů, tak z měření na konstrukcích. Definuje maximální přípustné amplitudy pro různé druhy konstrukcí a různé typy vibrací. Stanovil efektivní (root-mean-square RMS) hodnoty zrychlení pro běžné užívání a pro mimořádné podmínky mostních konstrukcí, viz obr. 8 označení (2). Pro křivku svislého kmitání při každodenním užívání je nejvyšší citlivost mezi 1 a 2 Hz s mezní hodnotou 0,07 m.s -2 vyjádřenou jako ekvivalentní harmonická amplituda. Tato hodnota je daleko nižší než hodnota pro rozsah 4 8 Hz v ISO 2631-2, který definuje vibrace podlahy. Křivka mimořádných podmínek je získána násobením základní hodnoty (běžné) křivky hodnotou 6. Vodorovný pohyb je uvažován jen pro mimořádné podmínky, zatímco pro každodenní užívání je považován za nevýznamný. Tato práce vychází z principu, že křivky pro různé účely mohou být získány ze základní křivky posunem ve svislé ose. Všechny křivky jsou na rozdíl od většiny závěrů předchozích výzkumů založených na špičkových hodnotách vyjádřeny hodnotami efektivního a RMS zrychlení. Tyto hodnoty se vyjádří jako druhá odmocnina ze střední hodnoty mocniny záznamu zrychlení [15]: a RMS = t2 2 && x( t) dt t1 t t 2 1, (3) kde & x&(t ) je záznam zrychlení a t 1, t 2 definují začátek a konec časového intervalu. Obr. 8 Přijatelné úrovně efektivního zrychlení Obr. 9 Přijatelné úrovně okamžitého zrychlení Na obrázku 9 jsou srovnány mezní hodnoty vibrací dané v BS 5400 [6], na obrázku označené (2), Ontario code (3) [32], (4) [24] a ISO 10137 (1) [19] použitelné pro lávky. Obrázek 8 srovnává efektivní hodnoty dle BS 5400, [25] (1) a [18] (2). Ze srovnání těchto hodnot je patrné, že BS 5400 dovoluje nevyšší úroveň vibrací v rozsahu významných vlastních frekvencí typických konstrukcí lávek. Dle [4] je dána úroveň přijatelného zrychlení 0,5 m.s -2 pro celé frekvenční pásmo. Všechny výše uvedené limity tvoří databázi výsledků souvisejících s hodnocením lávek. Křivka ISO [19] špičkového zrychlení, viz obrázek 9 (1), byla převedena z efektivního zrychlení násobením druhou odmocninou ze dvou. 12

Pro posouzení použitelnosti lávky z hlediska účinků vibrací na lidský organismus při běžném provozu platí hranice snížené pohody chodců pro svislé vibrace lávek z článku 7.2.6 normy ČSN 73 6209 Zatěžovací zkoušky mostů [8]. Pro třetinooktávová pásma, která jsou důležitá z hlediska posouzení použitelnosti zkoušené lávky, platí: pro třetinooktávové pásmo se střední frekvencí 1,60 Hz je limitní hodnota 0,50 m.s -2, pro třetinooktávové pásmo se střední frekvencí 2,00 Hz je limitní hodnota 0,45 m.s -2, pro třetinooktávové pásmo se střední frekvencí 2,50 Hz je limitní hodnota 0,40 m.s -2. Maximální celková frekvenčně vážená efektivní hodnota zrychlení pro svislý směr podle článku C.2.3 ČSN ISO 2631-1 [9] je limitní hodnota 0,315 m.s -2. ČSN EN 1990:2002/A1 udává maximální přípustné zrychlení ve svislém směru 0,7 m.s -2 a ve vodorovném směru 0,2 m.s -2. Pro svislé kmitání stanovuje Setra [37] čtyři intervaly zrychlení z hlediska komfortu: do 0,5 m.s -2 maximální komfort (pohyby konstrukce na hranici vnímání), 0,5 1,0 m.s -2 střední komfort (citelné neobtěžující pohyby konstrukce), 1,0 2,5 m.s -2 minimální komfort (pohyby na hranici snesitelnosti) a nad 2,5 m.s -2 nepřijatelné. Rozdílné reakce lidí na různé úrovně buzení jsou v [31] kategorizovány do čtyř úrovní (lehce znatelný, zřetelně znatelný, lehce nepříjemný a velmi nepříjemný) a dále jsou zde uvedeny křivky s 25%, 40%, 50%, 60% a 75% pravděpodobností reakce na pohyb. Ty navrhují, aby lávka nebyla posuzována z hlediska použitelnosti pro špičkovou rychlost 10 mm.s -1, protože nepříjemné pocity vyvolávají zřídka vibrace se špičkovou hodnotou dosahující 14 mm.s -1. Pro lávku s vlastní frekvencí 2 Hz odpovídá převod těchto rychlostí na zrychlení 0,13 a 0,18 m.s -2, tyto hodnoty jsou daleko nižší než kritéria na obr. 9. Jak bylo zmíněno dříve, směrnice, která udává limity horizontálních vibrací pro lávky, je ISO 10137 [19]. Nejvyšší citlivost na tento typ vibrací je v kmitočtové oblasti do 2 Hz a odpovídá asi 0,031 g špičkového zrychlení. Pro vodorovné vibrace na pracovišti stanovuje Nařízení vlády č. 502/2000 Sb. [29] limitní hodnotu vodorovných vibrací 0,22 m.s -2. Pro horizontální kmitání stanovuje Setra [37] z hlediska komfortu čtyři intervaly zrychlení: do 0,1 m.s -2 maximální komfort (pohyby konstrukce na hranici vnímání), 0,15 až 0,3 m.s -2 střední komfort (citelné neobtěžující pohyby konstrukce), 0,3 až 0,8 m.s -2 minimální komfort (pohyby na hranici snesitelnosti) a nad 0,8 m.s -2 nepřijatelné. Zároveň však upozorňuje na mezní hodnotu zrychlení 0,1 m.s -2, která nesmí být překročena kvůli možnosti vzniku tzv. lock-in efektu (viz následující kapitola). Pravděpodobně nejcennější informace o tolerančních limitech na příčně kmitajících lávkách zatížených pohybem davu přinesl Nakamura [28]. Amplituda kmitu 45 mm (což odpovídá zrychlení 1,35 m.s -2 ) představuje dle autora rozumné kritérium použitelnosti. Amplituda 10 mm (odpovídající zrychlení 0,3 m.s -2 ) byla snesitelná pro většinu chodců, zatímco posunutí 70 mm (2,1 m.s -2 ) již způsobovalo nejistou chůzi a bránilo v pohybu. 3 INTERAKCE POHYBU LÁVKY A OSOB Již velmi dlouho řeší odborná veřejnost otázku, jak stanovit reálné zatížení, které může vyvolat pohybující se skupina lidí, zástup či pohybující se souvislý dav. Jedním z limitních přístupů je zvyšovat zatížení přímo úměrně počtu lidí, tj. násobením sil vyvolaných jednou osobou (tj. případ perfektního fázování). Naopak lze uvažovat jen tíhu zástupu (tj. dynamické efekty zanedbat). Výzkum ukazuje, že řešení se nachází mezi těmito dvěma scénáři. Počítat s dokonalou synchronizací těsně u sebe se pohybujících osob je velmi konzervativní. Jeden z prvních návrhů uvedl Matsumoto [26]. Bylo zjištěno, že chodci jdoucí přes mostní konstrukci odpovídají Poissonovu rozdělení. Při stochastickém vyhodnocení jednotlivých odezev se ukázalo, že celková odezva může být získána násobením odezvy vyvolané jednou pohybující se osobou koeficientem λ T0 ; kde λ je střední hodnota intenzity zástupu vyjádřená jako počet chodců za sekundu na šíři mostu a 13

T 0 je čas potřebný k překonání mostu. Proto se λ T0 rovná n ; kde n je počet chodců na mostě v jeden okamžik. Podle teorie stochastické dynamiky [30] platí, že pokud se odezva vyvolaná n stejnými náhodně rozdělenými vstupními veličinami rovná n -násobku odezvy vyvolané jednou veličinou, znamená to, že vstupní veličiny (v tomto případě chodci) jsou absolutně nekorelované (nesynchronizované). Simulace odhalily, že pro lávky se základní vlastní frekvencí mimo oblast 2 Hz nepředstavovala takto modelovaná skupina osob horší zatěžovací případ, než je zatížení vyvolané jednou osobou. Skupina osob pohybující se na mostě se základní frekvencí mimo frekvenční rozsah normální chůze může být považována za nerezonanční buzení, které pravděpodobně generuje nižší odezvu, než jedna osoba vyvolávající rezonanční frekvenci. Je všeobecně přijímána představa, že lidé pohybující se v davu (hustý zástup omezující volný pohyb) vzhledem k omezenému místu na mostovce a k možnosti vzájemného vizuálního kontaktu při pohybu podvědomě synchronizují krok. Tento jev je více patrný s rostoucí hustotou zástupu. Maximální fyzicky možná hustota zástupu může dosahovat 1,6 až 1,8 osob.m -2 plochy mostovky lávky [9]. Mnohem pravděpodobnější je hodnota 1 osoba.m -2. Při slavnostním otevření Millenium Bridge dosahovala hustota zástupu 1,3 1,5 osob.m -2 [10]. Hustota zástupu na T-bridge v Japonsku (také náchylný k příčnému rozkmitání pohybem osob) byla mezi 1 a 1,5 osob.m -2 [6]. Jak je patrné z grafu 10, hustota zástupu ovlivňuje rychlost chůze, stupeň synchronizace mezi lidmi a následkem toho velikost síly, kterou osoby vyvolaly. Byly navrženy tři modely pro různé konfigurace pěších na lávce, které mohou být uvažovány. Model 1: Osoby se pohybují v malých skupinách. Je pravděpodobné, že půjdou stejnou rychlostí v s s mírně rozdílnou krokovou frekvencí f s a délkou kroku l s : v = f l. (4) s s s V takových případech je očekáván určitý stupeň synchronizace, ale jen když se mostní frekvence nachází v rozsahu frekvence normální chůze. Obr. 10 Souvislost mezi propustností lávky, hustotou zástupu a rychlostí pohybu Model 2: Osoby se pohybují v mírném proudu, mohou se pohybovat volně a frekvence jejich kroků jsou náhodně rozděleny. Maximální hustota 0,3 osob.m -2 je definována jako horní mez pro nevynucenou volnou chůzi. Tento typ chůze (tj. volná chůze) byl uvažován ve výše zmiňovaném přístupu [26]. 14

Model 3: Lávka je vystavena pěší dopravě s hustotou 0,6 až 1,0 osob.m -2. V tomto případě je volný nevynucený pohyb prakticky nemožný. Chodci jsou nuceni do jisté míry upravit délku kroku a rychlost pohybu okolním osobám. Do této skupiny patří vznik problému příčného houpání mostů (Millenium a T-Bridge), i když hustota u nich byla vyšší, než je navrhováno v tomto modelu. Pokud jde o třetí model, případ pohybujícího se zástupu po mostovce se znatelnými pohyby souvisí nejen se synchronizací mezi lidmi, ale také mezi lidmi a konstrukcí. Dříve než přistoupíme k tématu synchronizace člověka s konstrukcí, je nutno definovat pojmy skupina a dav. Termín skupina je zde užíván pro seskupení několika osob pohybujících se stejnou rychlostí (Model 1), zatímco dav či zástup se vztahuje k hustému souvislému seskupení lidí, kteří musí upravit krok podle volného prostoru (Model 3). Skutečnost, že lidé přizpůsobují krok pohybu mostu, je pro stejnou úroveň vibrací mnohem pravděpodobnější pro horizontální než pro svislý směr. Je to dáno přirozeností lidské chůze a podvědomou snahou udržovat rovnováhu na podkladu pohybujícím se v příčném směru. Pokud k tomuto dojde, hovoříme o fenoménu synchronizace nebo tzv. lock-in efektu (zamknutí) [10]. Tato synchronizace kroku s pochůznou částí, kdy lidé inklinují k chůzi s chodidly kladenými více od sebe, zvyšuje boční pohyb horní části těla. Síla vyvozená tímto pohybem chodce roste. Zvětšená síla vede ke zvýšení amplitudy příčných kmitů a může vést ke vzniku dynamické nestability mostní konstrukce [17]. Problém může vyřešit snížení počtu lidí na lávce nebo přerušení či zastavení jejich pohybu [10], [11], [12]. Simulace jevu v laboratoři [27] s osobami jednotlivě přecházejícími přes příčně pohybující se plochu prokázala, že ne každý chodec se pohybuje způsobem zvyšujícím amplitudy příčného kmitání. Některé osoby působily dokonce jako tlumič výchylek kmitů. 4 NÁVRHOVÉ POSTUPY A SMĚRNICE Pro stanovení dynamické použitelnosti lávky je nutné mít jednoduchý a přesný model síly generované pohybem osob, znát dynamické vlastnosti lávky a toleranční úroveň lidského vnímání vibrací. Hlavními kritérii návrhových postupů jsou často protichůdné požadavky jednoduchosti a obecné platnosti, maximální přesnosti a výstižnosti. Cílem většiny návrhových procedur je určit špičkové nebo efektivní hodnoty odezvy lávky a provést jejich vyhodnocení z hlediska dynamické použitelnosti. Chronologicky první a největší skupina návrhových postupů je založena na předpokladu, že síly generované osobou jsou dokonale periodické a mohou být proto rozloženy do harmonických členů přes Fourierovu dekompozici popsanou v rovnici (1). Pak může být uvažován jen jediný harmonický člen síly, která může teoreticky vybudit rezonanci lávky v základním tvaru kmitu. To znamená, že konstrukce může být nahrazena jednostupňovou soustavou s vlastnostmi odpovídajícími modálním charakteristikám lávky kmitající v uvažovaném tvaru. Téměř všechny modely uvedené v této kapitole jsou vhodné jen pro svislé buzení. Největší problém v popisu problému je simulovat pohyb chodce přes lávku a omezení času trvání buzení. Někteří odborníci doporučují [5] ověřovat použitelnost lávek se základní vlastní frekvencí f až do hodnoty 5 Hz. Jako kritérium použitelnosti navrhují, aby odezva ve zrychleních (m.s -2 ) vyvolaná jednou osobou nepřesáhla limit 0,5 f, kde f je frekvence vyjádřena v Hz. Jako vhodný silový popis chůze navrhují model, který se rezonanční sinusoidou pohybuje po mostě s rychlostí v odpovídající 0,9f, pro délku kroku 0,9 metru. Pro základní tvar kmitu je dán výrazem P ( t) = Pφ(0,9 ft)sin(2πft), (5) 1 kde P je amplituda sily 180 N (odpovídá dynamickému součiniteli 0,257). Člen polohy závislý na pořadnici tvaru kmitu φ ( 0,9 ft) ve vzdálenosti x = 0,9ft na pozici chodce v čase t od nástupu na most. 15

Eurocode 5 [14] obsahuje informace týkající se návrhu dřevěných mostů. Vyžaduje výpočet odezvy zrychlení mostu při zatížení malou skupinou a proudem chodců ve vertikálním a příčném směru s navrhovanými limitními hodnotami zrychlení 0,7 a 0,2 m.s -2 nezávislými na frekvenci. Splnění těchto limitů by mělo být ověřeno pro mosty s vlastními frekvencemi nižšími než 5 Hz pro vertikální režimy a 2,5 Hz pro horizontální režimy. 5 OPATŘENÍ PROTI NADMĚRNÝM VIBRACÍM LÁVEK Existuje několik postupů, jak předpovědět problémy nadměrných vibrací lávek [2], jak tomuto jevu předejít a jak ho vyřešit: 1. Frekvenční ladění. Vyhnout se vlastnímu kmitání v kritickém kmitočtovém rozsahu. Pro základní vertikální tvar se jedná o interval 1,6 2,4 Hz a pro mosty s nízkým tlumením i pro druhý harmonický člen buzení chůzí (3,5 4,5 Hz). Bachmann a Amman [9] navrhli stejný interval pro příčné kmitání (0,8 1,2 Hz pro první a případně 1,6 2,4 Hz pro druhý harmonický). Frekvence základní konstrukce může být změněna i přidanou ztužující konstrukcí (instalace tužšího zábradlí nebo přidáním stabilizujících kabelů směrem dolů nebo do stran). Lávky se svislou tuhostí uprostřed hlavního rozpětí menší než 8 MN.m -1 budou pravděpodobně mít dle [7] sklon k vibracím ve svislém směru. 2. Detailní výpočet dynamické odezvy se stává základem mnoha současných návrhových postupů (kapitola 4). Existuje mnoho nejistot při určení vstupních údajů potřebných pro výpočet a v předpokladech o chování modelů konstrukce. 3. Redukce vibrační odezvy. Omezit použití mostu (například zákaz pochodu přes most). Instalace dodatečných tlumicích zařízení jako viskózní omezovače nebo TMD Tuned Mass Damper laděný omezovač s přídavnou hmotou. 5.1 OMEZOVAČE S LADĚNOU PŘÍDAVNOU HMOTOU (TMD) Pro případ nulového tlumení primárního systému odvodil Den Hartog optimální řešení pro harmonické zatížení. Při odvození vycházel ze skutečnosti, že pro neměnný poměr hmotnosti konstrukce a přídavné hmoty existují společné body P a Q pro všechna tlumení přídavné hmoty, jak je znázorněno na obrázku 11. Při optimálním řešení mají oba stejnou funkční hodnotu. Dynamický součinitel (nebo jinak účinnost omezovače) závisí na µ poměru hmotností omezovače a konstrukce, α poměru netlumených vlastních frekvencí omezovače a konstrukce, β frekvenčním poměru zatížení a konstrukce, ζ TMD poměrném útlumu omezovače. 5.1.1 Princip ladění Jako cíl ladění přídavné tlumicí hmoty se zpravidla zvolí minimalizace rezonančních vrcholů odezvy. Minimální amplitudu odezvy získáme volbou poměru α tak, aby oba vrcholy měly stejnou hodnotu. Optimální poměr je dán výrazem [37] 1 α = opt, (6) 1 + µ a hodnota amplitudy v bodech P a Q je 2 R = 1+. (7) µ 16

Optimální frekvence a poměrný útlum tlumiče pro případ netlumené vlastní konstrukce lávky s frekvencí f kon je f opt 1 = f 1 + µ kon = α opt f kon, (8) 3 µ ζ =. (9) opt 3 8 (1 + µ ) ζ TMD 0< ζ TMD < P Q ζ TMD =0 ζ TMD =0 ζ TMD =0,10 ζ TMD =0,15 ζ TMD =0,20 ζ TMD =0,30 ζ TMD =1,00 β Obr. 11 Závislost odezvy konstrukce na tlumení tlumiče Na obrázku 12 je změna parametru v závislosti na poměru frekvencí β pro různé tlumení ζ TMD a pro neměnné hodnoty α = 1 a µ = 0,05. Z obrázku je patrné, že pro nulové tlumení přídavné konstrukce ζ TMD má průběh dva extrémy. Pokud je tlumení velmi vysoké, obě hmoty se jakoby spojí a systém přejde na jednostupňovou soustavu s hmotností (m kon + m TMD ) s nekonečně velkou výchylkou v případě rezonance. Mezi těmito limitními případy je hodnota útlumu, pro kterou je hodnota odezvy minimální, tj. kdy vrcholy obou frekvencí mají stejnou amplitudu. Průběhy odezvy pro zvolené hodnoty ζ TMD a µ a dopočtené hodnoty f opt jsou na obrázku 12. Přetlumený tlumič vytvoří jeden vrchol, u podtlumeného mají dva vrcholy větší amplitudu než u optimálně tlumené hmoty. S rostoucím poměrem hmot µ se frekvence vrcholů P a Q oddalují a rozšiřuje se frekvenční interval rozsahu použitelnosti. Amplituda se rovněž snižuje. 17

ζ TMD > ζ opt P Q ζ TMD = ζ opt ζ TMD < ζ opt ζ TMD =0 ζ TMD =0,10 ζ TMD =optimal ζ TMD =0,15 ζ TMD =0,20 ζ TMD =1,00 ρ 1 ρ 2 β Obr. 12 Odezva konstrukce s tlumičem s optimální frekvencí Účinnost tlumiče je mnohem citlivější na svou vlastní frekvenci než na útlum. Proto musí být umožněno upravit frekvenci tlumiče během oprav a kontrol a přizpůsobit ji aktuální vlastní frekvenci konstrukce. Změna se zpravidla provádí úpravou přídavné hmoty, což je mnohem snazší než změna tuhosti. 6 NUMERICKY ŘEŠENÉ KONSTRUKCE LÁVEK V následující části jsou popsány provedené výpočty odezvy konstrukcí lávek na účinky zatížení vyvolaného pohybem osob. Obě řešené konstrukce se liší konstrukčním systémem, materiálem mostovky a zatěžovací kategorií. Pro vytvoření numerických modelů na bázi konečných prvků je použit program ANSYS. U obou konstrukcí je provedeno několik skupin výpočtů, které je možné kategorizovat: Modální analýza pro určení vlastních tvarů a odpovídajících frekvencí, které leží v intervalu s možností vzniku rezonančního buzení vyvolaného pohybem osob pro základní harmonickou frekvenci odpovídající krokové frekvenci i pro vyšší harmonické členy. Pro vybrané tvary je provedeno řešení odezvy na pohyb jedné osoby přes celou délku lávky. Analýza může být provedena zjednodušeně harmonickou analýzou jako ustálená odezva nepohybující se síly. Proto umístíme osobu do kmitny příslušného tvaru a řešíme nejnepříznivější případ rezonančního buzení. Podle příslušné třídy předpokládaného využití lávky se stanoví zatížení spojitým zástupem vyvolávajícím rezonanční buzení. Ke stanovení odezvy na toto zatížení se provede odezva přechodového stavu od nástupu na prázdnou mostovku, přechodu až do plného zatížení a postupné vyprazdňování mostovky. Pohybem zástupu dochází i k podstatné změně hmotnosti konstrukce a tím i ke změně vlastních frekvencí. 18

Ustálená odezva vyvolaná pohybem spojitého zástupu neposkytuje informace o počtu cyklů nutných k vybuzení těchto amplitud. Není možné řešit přechodové stavy (zaplňování a vylidňování) mostovky ani změny hmotnosti s tímto spojené. 6.1 VISUTÁ LÁVKA PŘES LABE 6.1.1 Popis konstrukce Lávka pro pěší a cyklisty přes Labe o celkové délce 159 m sestává ze tří polí (30 m + 99 m + 30 m) a spojuje Kmochův ostrov a Zálabí ve městě Kolín. Nosná konstrukce lávky je řešena jako visutá se dvěma pylony ve tvaru písmene A, které nesou dva svazky nosných ocelových lan (38 L St 15,24). Konce lan jsou zakotveny do opěrných železobetonových bloků na březích. Průvěs lan ve středním poli je 9 250 mm. Železobetonové opěry jsou vázány se zeminou pilotami a ocelovými předepnutými kotvami. Pylony výšky 16 300 mm z oceli S 355 mají mezikruhový průřez průměru 1 020 mm. Jsou zakotveny do železobetonových základů s pilotami. Na nosných lanech jsou přes navlečené ocelové trubky (168/6,3) zavěšena táhla ocelové tyče průměru 30 mm, resp. 36 mm. Na táhlech jsou zavěšeny železobetonové panely, které tvoří nosnou konstrukci mostovky. Vnější rozměry panelů jsou 3 000 mm 4 500 mm 450 mm, průchozí šířka je 3 500 mm. Dvojice panelů v oblasti pylonů jsou spřaženy a tím vzniká panel délky 6 000 mm. Panely mostovky jsou sepnuty kabely (4 6 lan). Z každé strany je mostovka v délce 33 m přímá, ve střední části má mostovka tvar oblouku se vzepětím [36]. 6.1.2 Výpočtový model Obr. 13 Pohled na řešenou konstrukci Výpočtový model konstrukce pro dynamické výpočty je v podstatě linearizovaný model odvozený z globálního modelu ve variantě použité při konečných statických výpočtech [22]. Předpokládá se konstrukce lávky v provedení odpovídajícím konečné projektové dokumentaci s posouzením na účinky všech statických zatížení. Obr. 14 Výpočtový model Obr. 15 Výpočtový model 19

Rozptyl mechanické energie u daného typu konstrukce byl uvažován jako spojitě rozložený v prvcích po celé konstrukci. Byl modelován prostřednictvím Rayleighova modelu tlumení odpovídajícímu ve vyšetřovaném intervalu (1,5 2,3 Hz) poměrnému útlumu ζ = 0,0038. 6.1.3 Výpočet vlastního kmitání K výpočtu vlastních frekvencí a vlastních tvarů kmitů výpočtového modelu byla použita bloková Lanczosova metoda. Bylo počítáno padesát nižších vlastních frekvencí a vlastních tvarů kmitů. Výpočty byly provedeny pro model s hmotností rovnou nominální provozní vlastní hmotnosti konstrukce a pro model s hmotností rovnou součtu nominální provozní vlastní hmotnosti konstrukce a hmotnosti odpovídající zatížení zástupem pro I. kategorii jedna osoba na m 2, tj. 70 kg.m -2. Tento případ představuje obsazení 556 osobami rovnoměrně rozdělenými po ploše mostovky. Tabulka 2 uvádí vlastní frekvence tvarů, u kterých je možné očekávat významnou odezvu vyvolanou pohybem osob. Tabulka 2 Modální charakteristiky konstrukce Prázdná Plná Frekvence Frekvence Popis tvaru Pořadí Pořadí [Hz] [Hz] 9 1,3673 9 1,3397 Příčný ohybový 10 1,5289 10 1,5016 Torzní první 11 1,6768 11 1,6427 Ohybový svislý 15 1,9646 13 1,9119 Ohybový svislý 17 2,0027 15 1,9728 Torzní druhý 18 2,2858 18 2,2230 Ohybový svislý 6.1.4 Odezva na pohyb jedné osoby Podle metodiky uvedené v [2], [37] byl proveden výpočet odezvy vyvolané jednou osobou, která se pohybuje frekvencí kroku odpovídající prázdné mostovce po celé její délce. Dřívější studie prokázala zanedbatelný vliv hmotnosti jedné osoby na lávce na její modální vlastnosti, a proto byla hmotnost ve výpočtu (1) zohledněna konstantním členem G = 700 N; součinitele zatížení pro jednotlivé harmonické členy byly zvoleny dle [37] pro svislý směr δ 1 = 0,4, δ 2 = 0,1, δ 3 = 0,1 s fázovým posunem ϕ 2 = ϕ 3 = π/2; pro příčný směr δ 1/2 = 0,05, δ 1 = 0,01, δ 3/2 = 0,05, δ 2 = 0,01; pro podélný směr δ 1/2 = 0,04, δ 1 = 0,2, δ 3/2 = 0,03, δ 2 = 0,1. Tyto součinitele byly uvažovány konstantní a odpovídají chůzi osoby. Pro frekvenci 2,2858 Hz byl řešen i výpočet odezvy na běh s δ 1 = 1,6, δ 2 = 0,7, δ 3 = 0,2 ve svislém směru s tím, že záporné funkční hodnoty byly položeny rovny nule, a tím byla zohledněna fáze bez kontaktu osoby s mostovkou. Průběhy zatížení jsou znázorněny na obrázcích 2 až 5. Délka kroku byla pro všechny frekvence uvažována 0,9 m. Frekvencí a délkou kroku byla dána rychlost pohybu po mostovce. Směr pohybu byl ve všech variantách uvažován shodný s kladnou poloosou x. 20

Tabulka 3 Řešené varianty zatěžovacích případů pohybu jedné osoby Var. Frekvence Pohyb Pozice 1 1,367 Chůze Středem mostovky 2 1,529 Chůze Středem mostovky 3 1,529 Chůze U zábradlí mostovky 4 1,677 Chůze Středem mostovky 5 1,965 Chůze Středem mostovky 6 2,003 Chůze U zábradlí mostovky 7 2,003 Chůze Středem mostovky 8 2,286 Chůze Středem mostovky 9 2,286 Běh Středem mostovky 10 Příčinková čára pro pohyblivé břemeno P = 700 N V postprocesoru byly získány obálky absolutních maxim na celé konstrukci ze všech časových podkroků. Zde byla určena místa výskytu maximálních svislých posunů U z, rychlostí V z ve svislém směru a zrychlení ve svislém směru A z a celkového zrychlení A SUM. Ve všech případech mimo varianty 3 a 6 ležela maxima v těsné blízkosti pylonů a středu mostovky. Extrémní hodnoty v příčném a podélném směru byly rovněž vyhodnocovány, ale jejich amplitudy včetně varianty 1 dosahovaly zanedbatelných hodnot. Varianty 3 a 6 představují excentricky buzené torzní kmity, které byly vyhodnocovány i s ohledem na příčné kmitání. U variant 1 až 9 bylo provedeno vyhodnocení celkových posunů a zrychlení středu mostovky u pylonů (pylon p 1 je u předpolí s výchozím bodem, tj. má nižší souřadnici x) a ve středu rozpětí v celém časovém intervalu. Referenční body byly zvoleny s ohledem na výskyt amplitud vlastních tvarů i extrémů časové analýzy. Z průběhu svislých posunů U z (na obrázcích označeno U z_sum ), svislých rychlostí V z a svislých zrychlení A z byla stanovena maximální a minimální hodnota a příslušný čas. Rovněž byl proveden výpočet efektivního zrychlení s dobou integrace 10 s, v dalším textu označené a RMS. Obr. 16 Posuny U z středu lávky, var. 3 Obr. 17 Posun U z,dyn středu lávky, var. 3 Obrázky 18 a 19 ukazují kmitání bodu u levého a pravého zábradlí mostovky uprostřed rozpětí pro variantu 2 (obr. 18) a variantu 3 (obr. 19). Odečtením funkcí z obrázku 19 získáme průběh na obrázku 20, kde je patrné jasné torzní kmitání s nezanedbatelnými diferencemi svislého posunutí. 21

Rozdíl funkcí z grafu 18 je zanedbatelný. Na obrázku 21 je odezva vyššího torzního tvaru odpovídající 2,003 Hz u varianty 6, kde je graf ukončen s opuštěním mostovky chodcem. Obr. 18 Posuny U z střed u zábradlí, var. 2 Obr. 19 Posuny U z, střed u zábradlí, var. 3 Obr. 20 Rozdíl U z,l a U z,p, var. 3 Obr. 21 Rozdíl U z,l a U z,p, var. 6 Vodorovné výchylky byly u všech variant zanedbatelné a kritérium maximální dovolené příčné výchylky bylo splněno. Vyhodnocení všech variant bylo provedeno z hlediska maximálního zrychlení ve svislém směru; to je dle (2) úměrné odmocnině budící frekvence. Jako nejhorší zatěžovací případ vyšla dle očekávání varianta 9 běh frekvencí 2,286 Hz. Pro tento zatěžovací případ je limitní zrychlení dáno hodnotou a lim = 0,76 m.s -2, které je na celé ploše mostovky v celém časovém intervalu splněno, protože maximální hodnota svislého zrychlení je A z = 0,23 m.s -2. Oblasti s touto úrovní zrychlení jsou malé a na většině plochy mostovky dosahuje hodnota špičkového zrychlení hodnoty cca třikrát nižší. Při vyhodnocení variant s chůzí dosahovala maximální hodnota zrychlení ve svislém směru A z = 0,14 m.s -2. 6.1.5 Zatížení více osobami Tento případ je nutno rozdělit na zatížení malou skupinou osob, u které je odvozena odezva násobením odezvy vyvolané pohybem jednotlivce, a na zatížení souvislým zástupem či davem. Ve skupině o 10 až 15 osobách je možné počítat se synchronizací odpovídají trojnásobku účinků vyvolaných jednotlivcem. Z vyhodnocení provedeného v předchozí kapitole vyplývá, že tento stav nepředstavuje omezení komfortu osob na lávce. Při výpočtu odezvy konstrukce visuté lávky na zatížení vyvolané přirozeným pohybem velkého množství osob se opět vycházelo z metodiky [37] odvozené z [20]. Výpočty byly provedeny pro kategorii I., která představuje lávky s velmi vysokou koncentrací osob (nádraží, stadiony apod.). U této kategorie se počítá s možností častého výskytu zástupu s hustotou d = 1 osob.m -2 i přesto, že lávka svým způsobem využití odpovídá spíše kategorii II. (d = 0,8 osob.m -2 ), či dokonce III. (d 22

= 0,5 osob.m -2 ). Hlavní rozdíl je ve stanovení účinků zatížení, kdy u kategorie I. je navíc zohledněna nucená synchronizace omezeným pohybem ve velmi hustém davu. U I. kategorie dochází při plném obsazení 556 osobami k synchronizaci 43 osob, pro kategorii II. s plným obsazením 445 osobami se jedná jen o 14 osob rovnoměrně rozptýlených po ploše mostovky. Pohybuje-li se zástup krokovou frekvencí mimo interval 1,7 2,1 Hz, je možné tuto sílu redukovat součinitelem ψ. Proto byl pro výpočet uvažován jen tvar odpovídající frekvenci 1,965 Hz prázdné mostovky. V [16] je experimentálně dokazováno, že účinná synchronizace ve skupině je možná jen na první harmonické frekvenci. Tato skutečnost byla potvrzena i numericky, kdy uvažováním nenulového pouze prvního harmonického členu se výsledky téměř nelišily od případu s prvními třemi nemulovými členy. Ve všech zjednodušených výpočtech se předpokládá kmitání v základním tvaru, tj. s jednou půlvlnou; zde analyzovaná konstrukce má na celé délce devět půlvln. Proto se řešily dva případy synchronizace osob s kmitáním mostovky. Pohybující se síla byla násobena součinitelem λ, který nabýval buď konstantní hodnoty λ = +1 po celé délce, nebo podle pozice působiště +1, nebo -1 podle tvaru kmitu. Dav, který se pohybuje po mostovce, mění kmitající hmotnost a tím i vlastní frekvence v intervalu 1,965 Hz pro prázdnou mostovku po 1,911 Hz v případě, že zástup pokrývá celou plochu mostovky. Byl sledován vliv změny vlastní frekvence na odezvu. Předpokládal se souvislý zástup s délkou minimálně rovnou délce mostovky. Pro každou pozici čela zástupu se určila vlastní frekvence. Závislost je znázorněna na obrázku 85. Hodnota x = -79,5 m ukazuje frekvenci prázdné mostovky, x = 0 m; čelo zástupu dorazí do poloviny rozponu a x = 79,5 m představuje plně obsazenou plochu mostovky. Ve výpočtu byla změna hmotnosti zohledňována vždy, když se čelo zástupu posunulo o délku 3 metry, což odpovídá délce jednoho panelu i délce deskostěnového prvku. Podle pozice čela zástupu se měnila nejen hmotnost obsazených prvků, ale i budící kroková frekvence pohybujících se osob. Stejná změna byla prováděna, když zástup postupně opouštěl mostovku. Frekvence použité během řešení varianty 3 jsou na obrázku 23. Další numerické simulace byly zaměřeny na vliv synchronizace osob a konstrukce v závislosti na aktuální orientaci svislé složky rychlosti nebo zrychlení. Podobně jako v případě součinitele λ vlivu tvaru kmitu byl v každém časovém kroku v každém působišti změněn smysl působení buzení podle znaménka složky rychlosti nebo zrychlení předchozího kroku. Frekvence tímto nebyla nijak ovlivněna. Obr. 22 Změna frekvence podle obsazení Obr. 23 Aktuální frekvence v čase řešení Jako další byl zkoumán vliv doby působení buzení tj. délky zástupu. Byly uvažovány tři varianty délka 80 m, tj. odpovídající polovině přemostění, 160 m zástup právě odpovídá délce přemostění, tj. na okamžik dojde k plnému obsazení mostovky, a délka 300 m představuje 82 sekund trvající buzení při plně zatížené mostovce. Délka výpočtového kroku byla 0,02 m. Vynucené kmitání pro poslední variantu trvalo přibližně 265 sekund a řešilo se 22 950 kroků. Pro kategorii I. 23

vychází při rovnoměrném rozdělení synchronizovaných osob jejich vzájemná x-ová vzdálenost 3,67 m. Zatížení vyvolané jednotlivcem mělo tedy působiště na podélné ose mostovky vzdálené 3,67 m od předchozího. Jednotlivé řešené varianty jsou patrné z tabulky. Tabulka 4 Řešené varianty zatížení pohybujícím se zástupem Varianta Délka zástupu [m] Počet Fourier. členů F(t) Frekvence [Hz] Změna smyslu 1 160 3 1,911 λ = ±1 2 160 3 1,965 λ = +1 3 160 3 dle obr. 23 λ = ±1 4 160 3 1,965 λ = ±1 5 160 3 1,911 λ = +1 6 300 3 dle obr. 23 λ = ±1 7 300 3 1,911 λ = ±1 8 300 3 dle obr. 23 A z 9 300 3 dle obr. 23 -A z 10 300 3 1,965 λ = ±1 11 300 1 1,911 V z 12 300 1 1,911 -V z 13 300 1 1,911 λ = ±1 14 80 3 1,911 λ = ±1 15 300, II. kat. 3 1,911 λ = ±1 16 160 0 Statika 17 300 0 Statika Při vyhodnocování bylo postupováno obdobně jako pro případy odezvy vyvolané pohybem jedné osoby. Byly vytvořeny obálky absolutních maxim na celé konstrukci ze všech časových kroků. Zde byla určena místa výskytu maximálních svislých posunů U z, svislých rychlostí V z a svislých zrychlení A z a celkového zrychlení A SUM. Ani při zatížení vyvolaném zástupem nedosahovaly amplitudy příčného kmitání hodnot nad úrovní numerické chyby. V postprocesoru /POST26 byl získán průběh posunu ve svislém směru a zrychlení v ose mostovky u pylonů a ve středu rozpětí v celém časovém intervalu. Z průběhu svislých posunů U z (na obr. 24 označeno U z_p1_sum ), svislých rychlostí V z a svislých zrychlení A z byly stanoveny extrémní hodnoty. Výsledky variant 16 a 17 představují průhyb způsobený tíhou zástupu bez zohlednění setrvačných a tlumících sil, označeno U z_p1_sta U z_st_sta. Odečtením statické odezvy byla získána u variant 1 15 dynamická odezva posunutí, u ní bylo opět provedeno vyhodnocení maxima a minima a příslušný časový bod. 24

Obr. 24 Celkový svislý posun p 1, var. 7 Obr. 25 Relativní svislý posun p 1, var. 7 Obr. 26 Celkový svislý posun středu, var. 7 Obr. 27 Relativní svislý posun středu, var. 7 Obr. 28 Svislé zrychlení A z středu, var. 7 Obr. 29 Svislé zrychlení A z v p 1, var. 7 Obrázky 24 až 29 představují průběhy celkového a dynamického posunutí ve svislém směru v ose mostovky na pozici pylonů a středu rozpětí. Od časového okamžiku 92,4 s po 174,4 s byla mostovka rezonančně buzena při plném obsazení. Špičková zrychlení dosahují hodnot okolo 2,3 m.s -2 (~1,6 m.s -2 efektivní zrychlení) u pylonů a 1,6 m.s -2 ve středu mostovky, výchylky mají amplitudu 15 mm. Při tomto zatížení konstrukce nesplňuje kritéria komfortu dle (2) a lim = 0,69 m.s -2. Ale i při této situaci je na více než polovině plochy mostovky toto kritérium splněno po celou dobu. Pro představu frekvence vstupujících je 6 osob.s -1 a během tří minut přes lávku přejde více než tisíc osob, které se pohybují rychlostí 1,72 m.s -1 ; toto je situace, která zde není reálná. Grafy na obrázcích 30 a 31 představují rozdíl svislých posuvů a zrychlení bodů mostovky u pylonů, kde je při plném obsazení patrná synchronizace pohybu obou míst i celé mostovky. Pokud by 25

se stejný zástup pohyboval frekvencí 1,965 Hz (+2,7%), odezva v posunech by nepřekročila 3,5 mm a ve zrychleních hodnotu 0,5 m.s -2 (varianta 10). Obr. 30 Rozdíl A z u pylonů p 1 a p 2, var. 7 Obr. 31 Rozdíl U z u pylonů p 1 a p 2, v. 7 Přestože pouze ve velmi výjimečném případě a na omezené ploše mostovky konstrukce nesplňuje kritéria komfortu pohybu osob, byl proveden i výpočet (varianta 15) s dynamickým zatížením zástupem pro II. kategorii lávek. Aby bylo možné výsledky srovnávat s ostatními variantami, zůstala hmotnost pohybujícího se zástupu zachována a odpovídala hustotě d = 1 osoba.m -2. Dynamické zatížení bylo odvozeno od d = 0,8 osob.m -2, počet synchronizovaných osob při plném obsazení zástupem pak odpovídal 14 osobám rovnoměrně rozděleným po délce zástupu. Maximální hodnoty zrychlení zde dosahují hodnoty 0,5 m.s -2 v jednom časovém okamžiku, během zatížení plným zástupem je špičkové zrychlení 0,38 m.s -2, efektivní hodnota zrychlení odpovídá 0,27 m.s -2. 6.2 ZAVĚŠENÁ LÁVKA PŘES JIZERU 6.2.1 Popis nosné konstrukce Lávka je navržena pro pěší a s možným pojezdem vozidel do 3,5 tuny. Lávka se nachází v areálu továrny, kde se očekává minimální provoz, proto byla zařazena do III. kategorie s možným výskytem zástupu s hustotou d = 0,5 osob.m -2. Jedná se o dvoupolovou otevřenou ocelovou příhradovou konstrukci s rozpětím hlavního pole 65,65 m a vedlejšího 21,9 m. Obr. 32 Pohled na řešenou konstrukci 26

Dřevěná mostovka z příčně uložených hranolů je umístěna ve spodní části příhradoviny mezi příhradovými pasy výšky 1,7 m. Konstrukce hlavního pole je tvořena třemi dvojicemi táhel zavěšenými na šikmém ocelovém pylonu tvaru A a výšky 23,9 m. Táhla tvoří vnitřní pružné podpěry spojitého nosníku o rozpětích (od břehu) 17,05 + 17,03 + 17,00 + 14,57 m. Pylon je od svislice odkloněn o 16,6 stupňů a stabilizován dvěma táhly zakotvenými do opěry na pravém břehu. Sloupy pylonu jsou ve tvaru svařovaného truhlíku a příčníky jsou ze silnostěnných trubek [21]. Obr. 33 Výpočtový model 6.2.2 Výpočet vlastního kmitání Obr. 34 Výpočtový model - detail K výpočtu vlastních frekvencí a vlastních tvarů kmitů výpočtového modelu byla použita bloková Lanczosova metoda. Bylo vyčísleno deset nižších vlastních frekvencí a vlastních tvarů kmitů. Výpočty byly provedeny pro model s hmotností odpovídající vlastní hmotnosti konstrukce. Dále byl proveden výpočet s přídavnou hmotou odpovídající hmotnosti zástupu III. kategorie (0,5 osob.m -2, tj. 35 kg.m -2 ). Tento případ představuje obsazení 198 osobami rovnoměrně rozdělenými po ploše mostovky. Byla řešena konstrukce bez omezovače, s fixovaným a aktivním omezovačem pro prázdnou a plně obsazenou mostovku, viz tabulka 5. Ladění omezovače kmitů bude popsáno níže; zde jen uveďme, že byly řešeny čtyři případy naladění, všechny s hmotností přídavné hmoty 1 500 kg. Obdobně jako u předešlé konstrukce byla řešena i varianta synchronizace frekvence pohybu zástupu s frekvencí odpovídající aktuálně obsazené mostovce osobami. Protože konstrukce je v podélné ose nesymetrická, bylo nutno stanovit funkce pro směr ve směru kladné poloosy x pro pozici čela zástupu a při opouštění mostovky. Grafy na obrázcích 35a a 35b představují změnu frekvencí pro konstrukci bez přídavné hmoty (col1), s fixovanou přídavnou hmotou (col2), pro dolní (col3) a horní rozdvojenou frekvenci při aktivaci omezovače (col4). Vlivem ladění docházelo k posunu funkčních hodnot grafů 3 a 4, zde zobrazené přibližně odpovídají variantě 3. Obr. 35 Frekvence vs. pozice čela (a vlevo) a vs. pozice konce zástupu (b vpravo) 27