i Teoretická elektrotechnika FBMI Text, který vám předkládám vznikl úpravou a redukcí textu mého skripta Elektrotechnika pro informatiky, k předmětu přednášenému do roku 2014 na elektrotechnické fakultě jako 31ELI v prvém ročníku programu Softwarové technologie a management. Text si zdaleka neklade za cíl, naučit jeho čtenáře navrhovat cokoli z oblasti konstrukce elektrických zařízení. Měl by však dát tušení o čem se hovoří při práci s elektrickým proudem a elektornickými přístroji. Výklad se na vstupu důsledně drží středoškolských znalostí fyziky [7] a matematiky a nestaví na žádných dalších znalostech. Bylo by však velmi potěšitelné, kdyby studium tohoto textu čtenáře inspirovalo k zájmu o elektrotechnické disciplíny tak aktuální v současné technice, včetně techniky zdravotnické. Zvládnutí látky velmi usnadní pravidelná účast na přednáškách. Některé obtížnější partie osvětlí přednášky lépe, než předložený text. Učební text vznikl po zkušenosti s výukou. K jeho obsahu, rozsahu i formě výkladu významně přispěli kolegové ing. Zdeněk Horčík, ing. Václav Hanžl, CSc. a ing. Jan Havlík, Ph.D, kteří vedli semináře a cvičení. Srdečně jim děkuji za spolupráci. Prof. Ing. Jan Uhlíř, CSc. Praha, květen 2017
Obsah 1 Úvod, základní pojmy 1 1.1 Elektronické zařízení a jeho model................ 1 1.2 Elementy elektronických obvodů................. 2 1.2.1 Pasivní elementy..................... 3 1.2.2 Zdroje proudu a napětí.................. 7 1.3 Elektrický obvod Kirchhoffovy zákony............. 10 2 Elementární výpočty 12 2.1 Kombinace rezistorů....................... 12 2.1.1 Sériové spojení rezistorů................. 12 2.1.2 Paralelní spojení rezistorů................ 13 2.2 Kombinace kapacitorů...................... 14 2.2.1 Paralelní spojení kapacitorů............... 14 2.2.2 Sériové spojení kapacitorů................ 15 2.3 Sériové a paralelní spojení induktorů.............. 16 2.4 Sériové a paralelní spojení zdrojů................ 16 2.5 Dělič napětí, výkon na spotřebiči................ 18 2.5.1 Grafická konstrukce ke druhému Kirchhoffovu zákonu. 20 2.6 Věta o náhradním zdroji Theveninův teorém......... 21 3 Výpočty ve frekvenční oblasti 23 3.1 Integrační RC obvod ve frekvenční oblasti........... 26 3.2 Derivační RC obvod ve frekvenční oblasti............ 30 3.3 Obvody RL............................ 32 3.4 Rezonanční obvod ve frekvenční oblasti............. 33 3.5 Výkon v harmonickém ustáleném stavu............. 37 4 Výpočty v časové oblasti 39 4.1 Integrační RC obvod se skokem napětí............. 39 4.2 Derivační RC obvod se skokem napětí.............. 45 4.3 Obvody RL............................ 48 ii
OBSAH iii 4.4 Rezonanční obvod v časové oblasti............... 50 5 Přenos impulsů, homogenní vedení 54 5.1 Parametry impulsního signálu.................. 54 5.2 Přenos impulsního signálu.................... 55 5.2.1 Přenos lineárním obvodem................ 55 5.2.2 Impulsy v obvodech s logickými členy.......... 56 5.3 Homogenní vedení........................ 58 5.3.1 Model dlouhého vedení.................. 58 5.3.2 Grafická konstrukce odrazů............... 64 6 Magnetické účinky proudu 66 6.1 Materiály magneticky měkké................... 69 6.1.1 Konstrukce transformátoru................ 69 6.1.2 Obvodové vlastnosti transformátoru........... 73 6.2 Materiály magneticky tvrdé................... 74 6.2.1 Permanentní magnety.................. 74 6.2.2 Magnetický záznam.................... 74 7 Přenos elektromagnetickou vlnou 77 7.1 Elektromagnetické vlny...................... 77 7.1.1 Kmitočtové spektrum a kmitočtová pásma....... 78 7.1.2 Využití některých kmitočtových pásem......... 81 7.2 Modulace............................. 81 7.2.1 Amplitudová modulace AM.............. 82 7.2.2 Kmitočtová (frekvenční) modulace FM........ 83 7.2.3 Fázová (úhlová) modulace PM............ 83 7.3 Modulace digitálními daty.................... 84 7.3.1 Reprezentace binárních dat............... 84 7.3.2 Modulace nosné vlny dvoustavová........... 85 7.3.3 Modulace nosné vlny vícestavová........... 86 8 Polovodičové součástky 89 8.1 Elektrický proud v polovodičích................. 89 8.1.1 Proud v čistých polovodičích............... 89 8.1.2 Proud v dotovaných polovodičích............ 90 8.2 Dioda............................... 90 8.2.1 Vlastnosti diod...................... 91 8.2.2 Diodový obvod zotavení diody............. 94 8.2.3 Speciální diody...................... 96 8.3 Bipolární tranzistor........................ 97
OBSAH iv 8.3.1 Doplněk inventáře obvodových modelů řízené zdroje. 99 8.3.2 Tranzistorový obvod kolektorové charakteristiky... 100 8.3.3 Tranzistorový zesilovač.................. 101 8.4 Unipolární tranzistor....................... 104 8.4.1 Model FETu........................ 106 8.4.2 Zesilovač s unipolárním tranzistorem.......... 107 8.5 Struktura CMOS......................... 108 9 Spínače 110 9.1 Model spínače........................... 110 9.2 Mechanický spínač........................ 111 9.2.1 Manuálně ovládané spínače............... 112 9.2.2 Elektromagnetické relé.................. 113 9.2.3 Jazýčkové kontakty.................... 114 9.3 Polovodičové spínače FET................... 115 9.3.1 Model unipolárního spínače............... 115 9.3.2 Spínací obvod s unipolárním tranzistorem....... 117 9.4 Polovodičové spínače bipolární tranzistor........... 118 9.4.1 Model spínače s bipolárním tranzistorem........ 118 9.4.2 Spínací obvod s bipolárním tranzistorem........ 120 9.4.3 Přechodné děje v polovodičových spínačích....... 121 9.5 Polovodičové spínače různé................... 124
Kapitola 1 Úvod, základní pojmy Současná zařízení výpočetní techniky jsou elektronickými přístroji plně odkázanými na napájení elektrickým proudem. V jejich konstrukci jsou použity polovodičové součástky integrované obvody, elektromagneticky ovládané pohybové mechanizmy a motory, optické zobrazovací a komunikační součástky, kabely a spojovací vedení atd. Je tedy vhodné, aby (i kancelářský) uživatel měl základní představu o funkci jednotlivých částí počítačů, a k tomu jsou elementární znalosti z elektrotechniky nezbytným předpokladem. V úvodu připomeneme elementární středoškolskou látku o elektrických obvodech a jejich základních vlastnostech. [7] 1.1 Elektronické zařízení a jeho model Pracujeme s elektronickými zařízeními. Ta napájíme elektrickou energií a vzájemně je propojujeme. Vzájemné propojení uskutečňujeme: galvanickým spojením konektorem, elektrovodným kabelem, optickou vazbou optickým kabelem, volným prostředím, radiovým spojem WIFI, mikrovlnným pojítkem, družicovým spojem, akustickým vstupem/výstupem mikrofon, reproduktor. Obrázek 1.1 ukazuje, jak lze popsat vztah systému k jeho okolí. Náš zájem bude upřen hlavně na spojení a funkci zařízení elektronických, nicméně i optická, akustická a radiová spojení jsou založena na funkci elektronických systémů. Pro popis vnějších charakteristik systémů a nakonec i jejich vnitřní struktury musíme umět popsat: 1
KAPITOLA 1. ÚVOD, ZÁKLADNÍ POJMY 2 220V~ 12V= WIFI Ethernet USB RS232... Obrázek 1.1: Počítač a jeho okolí vlastnosti elektrických veličin (signálů), které se v systému zpracovávají napětí, proudy, časové průběhy, podmínky vzájemného spojení vzdálenost, parametry spojovacího prostředí (vlastnosti vedení, vliv rušení, ), uvnitř zařízení pak obvodové veličiny proud, napětí, ale také rozptýlené teplo, vznik elektromagnetického rušení, apod. Abychom mohli uvedený popis vytvořit, musíme mít možnost vytvořit model elektronického systému. Model nám pak musí umožnit výše uvedené charakteristiky identifikovat. Na obrázku 1.2a je ukázka, jak výrobce popisuje model svého elektrického obvodu, použitého pro spojení prostřednictvím rozhraní USB. Detailnější popis vnitřního uspořádání elektrického zařízení, resp. jeho modelu, ukazují další tři obrázky. 1.2 Elementy elektronických obvodů Vidíme, že používáme systém schematických značek, které jsou vytvořeny pro elementy elektronických obvodů. Představují stavební prvky modelů funkčních celků. Pro jednotlivé elementy existují matematické vztahy, které umožňují analyzovat a navrhovat elektronické systémy. Na obrázku 1.3) je přehled elementárních součástí, které při modelování systémů budeme používat. [3] Povšimněme si matematických vztahů, které popisují vzájemné závislosti fyzikálních veličin na jejich svorkách a které umožní v rozsáhlejším systému najít závislosti proudů a napětí navzájem, na budicích zdrojích a na čase. [3]
KAPITOLA 1. ÚVOD, ZÁKLADNÍ POJMY 3 D+ Differential Driver Xmt Dat a V1 10 D- + - Differential Receiver Force SE0 OE Rcv Data HA R2 1 R6 10K C1.01U R3 1 R1 10K R4 200 Q2 R5 25 SE0 Detect b) Single-Ended Receivers a) X1 X2 c) d) Obrázek 1.2: Schémata elektronických obvodů 1.2.1 Pasivní elementy Rezistor součástka v zařízení se běžně označuje jako odpor, což není zcela správné odpor je její vlastnost, ohmická hodnota, takže málo používaný, avšak správnější je název odporník :-) je element nesetrvačný (v popisu závislosti mezi proudem a napětím nevystupuje čas proud reaguje na napětí okamžitě a naopak). Vztah mezi napětím a proudem je popsán Ohmovým zákonem kde R je odpor v ohmech [Ω], u je napětí ve voltech [V] a i je proud v ampérech [A]. u = Ri, i = u R, R = u i, (1.1) Kapacitor v zařízení je realizován nejčastěji kondenzátorem) je element schopný akumulovat náboj. Náboj musí být do kapacitoru dodán protékajícím proudem, což probíhá v určitém čase. Jde tedy o element setrvačný a ve vztahu mezi napětím a proudem bude vystupovat čas. Vztah mezi nábojem a napětím určuje rovnice
KAPITOLA 1. ÚVOD, ZÁKLADNÍ POJMY 4 u zdroj napětí proud i = podle odběru (libovolný) i zdroj proudu napětí u = určené zátěží (není omezeno) R rezistor u = Ri C kapacitor Q = Cu L induktor Φ = Li x Obrázek 1.3: Elementy elektrických obvodů kde nově vystupuje q náboj v coulombech [C] a C kapacita ve faradech [F]. q = Cu, u = q C, C = q u, (1.2) Uvedli jsme, že náboj dopraví do kapacitoru proud i. Pokud bude proud i = I konstantní a náboj v čase t = 0 bude q(0) = 0, lze snadno pochopit, že náboje bude přibývat lineárně s časem (náboj v coulombech, proud v ampérech a čas v sekundách) q(t) = I.t, takže u(t) = I.t C. (1.3) Pokud se však bude proud v čase měnit, je nutno pro náboj nahromaděný za čas T použít zápisu pomocí integrálu (opět předpokládáme, že v čase t = 0 je náboj nulový) q(t ) = T 0 i(t)dt,, takže u(t ) = T i(t)dt 0. (1.4) C Také můžeme říci: do kapacitoru vtéká proud (kondenzátor se nabíjí nebo vybíjí) jen tehdy, kdy se na jeho svorkách mění napětí: i(t) = C du(t). (1.5) dt
KAPITOLA 1. ÚVOD, ZÁKLADNÍ POJMY 5 Induktor (v zařízení je realizován nejčastěji cívkou) je element vytvářející magnetický tok, ve kterém je uložena energie vytvořená elektrickým proudem, který vodičem prochází. Rovněž vznik magnetického toku je děj setrvačný. Vztah mezi magnetickým tokem a proudem popisuje rovnice kde nově vystupuje Φ magnetický tok ve weberech [Wb] a L indukčnost v henry [H]. Φ = L.i, i = Φ L, L = Φ i, (1.6) Jistě nás nepřekvapí, že na koncích vinutí cívky není žádné napětí, pokud se v jejím okolí nemění magnetické pole. Avšak pokud se magnetický tok mění, vzniká na vinutí elektrické napětí (např. v každé elektrárně). Takže lze napsat u(t) = dφ(t). (1.7) dt Jestliže je magnetický tok určen procházejícím proudem, pak lze ze změn proudu určit napětí na svorkách induktoru u(t) = L di(t) dt. (1.8) Protože nás velmi často zajímá, jaký proud poteče induktorem v čase T, pokud je na jeho svorkách určité (proměnné) napětí, lze úvahu (podobně jako u kapacitoru) obrátit i(t ) = 1 L T t 0 u(t)dt + i(t 0 ). (1.9) Zde jsme vzorec, na rozdíl od úvah nad kapacitorem, vybavili údajem o počáteční podmínce, která respektuje nenulový proud v čase t = 0. Jistě lze podobně zdokonalit i výraz (1.4). Přibližme si užití uvedených vztahů v jednoduchém případě, a to tehdy, kdy na svorky induktoru, kterým na počátku neteče žádný proud, připojíme zdroj konstantního napětí U. Pak bude proud do induktoru lineárně s časem narůstat. Pokud napětí na zdroji poklesne v čase T na nulu (zdroj nahradíme zkratem), bude obvodem dál procházet proud
KAPITOLA 1. ÚVOD, ZÁKLADNÍ POJMY 6 i(t ).Jde o podobný projev, jaký jsme pozorovali u narůstajícího napětí na kapacitoru v okamžiku odpojení zdroje proudu. 1 i(t) = U U.T t, i(t ) = L L. (1.10) Proud v reálném obvodu samozřejmě za určitý čas zanikne, protože jsou v obvodu rezistory (odpor vinutí cívky a vnitřní odpor zdroje napětí), avšak úvaha není zcela bezpředmětná, uvážíme-li existenci supravodivých materiálů, ze kterých lze cívku vyrobit. V předchozích vztazích jsme předpokládali, že na svorkách uvedených elementů pozorujeme napětí a proudy obvodové veličiny. Proud a napětí mohou konat práci, máme k dispozici elektrickou energii. V určitém okamžiku platí, že výkon elektrického proudu je dán součinem P (t) = u(t) i(t), kde výkon je ve wattech [W]. (1.11) Výkon v čase představuje práci W (T ) = T 0 P (t)dt = T 0 u(t)i(t)dt, (1.12) kde práce (energie) je v wattsekundách [Ws], které jsou ekvivalentní joulům [J] (doma platíme za kilowatthodiny [kwh] 1kWh= 3,6.10 6 Ws). Z předchozích definic vlastností základních obvodových prvků lze odvodit: Rezistor v obvodu rozptyluje elektrickou energii přeměňuje ji na teplo proto, že je nesetrvačným prvkem, u kterého je stále součin napětí a proudu kladný. Kapacitor je prvek akumulující energii. Ideální kapacitor energii nerozptyluje je prvkem bezeztrátovým (reálný kondenzátor má ztráty a energii díky nim rozptyluje). Uvážíme-li, že náboj C.U mohl v kapacitoru uložit konstantní proud I za dobu T s tím, že napětí lineárně narůstalo, pak energie nahromaděná v kondenzátoru při napětí U = IT/C je dána W (T ) = T 0 It Idt, (1.13) C 1 Je třeba si uvědomit, že rozpojené svorky představují ideální zdroj proudu s nulovou hodnotou a zkrat představuje ideální zdroj napětí s nulovou hodnotou proud zkratem je skutečně závislý jen na vnějším obvodu, a to při nulovém napětí.
KAPITOLA 1. ÚVOD, ZÁKLADNÍ POJMY 7 W C = 1 2 C.U 2. (1.14) Induktor je analogicky bezeztrátovým prvkem (reálná cívka má odpor vinutí, takže výkon rozptyluje) a energie nahromaděná v magnetickém toku je 1.2.2 Zdroje proudu a napětí W L = 1 2 L.I2. (1.15) Dosud jsme se nezabývali otázkou, jak se do obvodu s některým základním prvkem dostane elektrická energie, abychom mohli pozorovat vztahy mezi proudy a napětími a aby obvod byl něčím užitečný. Zdrojem elektrické energie je většinou zařízení přeměňující jiné formy energie na elektrickou. Současné elektrárny přeměňují tepelnou energii nejprve na pohybovou a ta v generátorech vyrábí elektřinu. Pohybovou energii lze získat i z větru a tekoucí vody. Baterie pracují s energií související s chemickými reakcemi. V současné době jsou aktuální zdroje využívající světelnou energii fotovoltaické články. Připomeňme ještě, že napětí je veličina měřená ve voltech. Volt je definován ve vztahu k základním jednotkám s odkazem na práci, která je potřebná k tomu, aby byl přenesen náboj mezi dvěma místy s různým elektrickým potenciálem. Elektrické napětí 1 V (volt) je mezi dvěma místy tehdy, kdy k přenesení náboje 1 C (coulomb) mezi těmito dvěma místy je třeba práce 1 J (joule) = 1 Ws (wattsekunda) Pro modely systémů definujeme ideální zdroje: Zdroj napětí v zařízení je nejčastěji realizován baterií nebo sít ovým zdrojem blokem přeměňujícím napětí elektrovodné sítě na potřebné stejnosměrné napětí). Zdroj střídavého napětí je zásuvka na stěně, resp. elektrovodná sít. Budeme však pracovat i se zdroji různých signálů, např. impulsního signálu pro taktování procesoru, signálu pro přenos dat mezi zařízeními, apod.) To jsou reálné (neideální) zdroje napětí. Ideální zdroj napětí udržuje na svých svorkách napětí dané hodnotou u ve voltech, a to pro všechny možné proudy odváděné (či dokonce zaváděné) z (do) jeho svorek. Veličina u představuje předpis pro napětí zdroje, a to jak co do hodnoty, tak co do časových změn. Je tedy správné popisovat zdroj napětí časovou funkcí u(t). Používané funkční předpisy
KAPITOLA 1. ÚVOD, ZÁKLADNÍ POJMY 8 poznáme v dalším výkladu. Uvedeme jen základní možnosti: zdroj konstantního napětí, zdroj skokového napětí a zdroj harmonického napětí: u(t) = U = konst. (1.16) { 0, t < 0 u(t) = U, t 0 (1.17) u(t) = U m sin(ωt + ϕ), (1.18) kde U m je amplituda sinusového signálu ve voltech, ω = 2πf je kruhová frekvence v radiánech za sekundu [rad.s 1 ], f je frekvence v hertzech [Hz] a ϕ je počáteční fáze sinusového průběhu. Reálné zdroje (napájecí zdroje elektronických zařízení, rozvod elektrovodné sítě, přípojku počítačové sítě, baterii v mobilním telefonu,...) lze většinou reprezentovat sériovým spojením ideálního zdroje napětí a rezistoru. Takový reálný zdroj pak popisujeme jeho vnitřním napětím (napětím ideálního zdroje) a vnitřním odporem. Zdroj proudu (v technické praxi se nesetkáváme s produktem, který by se svým chováním blížil zdroji proudu na rozdíl od elektrochemických i jiných zdrojů napětí). Existují jen elektronické obvody, které se svým chováním v určité oblasti napětí a proudů chovají přibližně jako zdroje proudu). Ideální zdroj proudu do obvodu zavádí proud předepsané hodnoty i(t), a to za všech okolností, tedy bez ohledu na velikost a polaritu napětí na jeho svorkách. Přestože není snadno konstrukčně realizovatelný (zdroje blízké svým chováním zdrojům napět ovým jsou technicky snáze dosažitelné), má v teorii elektronických obvodů významnou pozici a uvidíme některé výhody jeho použití v modelech obvodů. V předchozím odstavci o zdrojích proudu a napětí jsme uvedli některé typy časových závislostí napětí a proudu. Pro další výklad uvedeme následující dohody: Malá písmena u a i budeme používat pro zcela obecné vyznačení napětí nebo proudu třeba tam, kde se hodnota může změnit vlivem změn hodnot obvodových elementů (odporu, indukčnosti, kapacity). Funkční předpis zapsaný malými písmeny u(t) a i(t) bude použit tam, kde budeme popisovat časový průběh příslušné obvodové veličiny.
KAPITOLA 1. ÚVOD, ZÁKLADNÍ POJMY 9 Velkými písmeny U a I vyjádříme hodnotu napětí nebo proudu, která se v čase nemění (zdroj konstantního napětí, napětí v obvodu se stejnosměrným zdrojem a konstantními hodnotami odporů). Ve speciálním případě může být u(t) = U m sin(ωt + ϕ). Je tedy vyhrazeno velké U m a I m pro označení amplitudy sinusového napětí a proudu. V technické praxi se pro napětí a proud zavedl jeden zvláštní způsob jejich popisu, a to veličinou označovanou jako efektivní napětí a efektivní proud. Jejich definice vychází z požadavku, nalézt takové hodnoty napětí U ef a I ef, které při výpočtu práce vykonané časově proměnným proudem a napětím na rezistoru budou použitelné tak, jako by se jednalo o stejnosměrné veličiny. Podle vztahu 1.12 lze vypočítat práci vykonanou elektrickým proudem pro jakýkoli časový průběh proudu a napětí. Lze také napsat W = R T 0 i 2 (t)dt = R I 2 ef T nebo 1 T u 2 (t)dt = 1 R 0 R U ef 2 T. (1.19) Dosadíme-li do výrazu 1.19 sinusový průběh napětí s amplitudou U m nebo proud s amplitudou I m, dostaneme při integraci přes celistvý počet period vztah mezi amplitudou a efektivní hodnotou ve tvaru 2 U ef = U m 2 2 U m = U ef 2 Ief = I m 2 2 I m = I ef 2. (1.20) Napětí i proud jsou obvodové veličiny, pro které musí být definována orientace směr. U stejnosměrných napětí je kladným číslem určena hodnota napětí mezi kladnou a zápornou svorkou. Proud považujeme za kladný, když protéká od kladné svorky k záporné. Číselná hodnota tedy svým znaménkem vyjadřuje shodu nebo neshodu skutečných poměrů s touto dohodou. U časově proměnných hodnot proudu a napětí musí být při zvolené orientaci napětí zřejmý směr proudu, a to v každém časovém okamžiku tak, že kladnému okamžitému napětí na svorkách rezistoru musí odpovídat kladný směr proudu (zápornému záporný). 2 Pro napětí elektrovodné sítě se uvádí efektivní napětí 230 V. Z uvedeného vztahu plyne, že amplituda napětí v zásuvce elektrického rozvodu je rovna přibližně 325 V
KAPITOLA 1. ÚVOD, ZÁKLADNÍ POJMY 10 Pokud ve složitém obvodu není zřejmé, jakým směrem poteče proud, resp. jaké napětí bude na vybraných svorkách, potom můžeme orientaci zvolit a výpočtem zjistit znaménko, které reálné poměry identifikuje. To znamená, že pro obecný výpočet se rozhodneme, s jakou orientací budeme počítat (všechna znaménka v rovnicích podřídíme zvolené orientaci šipce v obrázku) a podle znaménka u výsledku konkrétního výpočtu zjistíme, zda naše volba odpovídala skutečné orientaci (kladné znaménko), nebo zda je orientace právě opačná (záporné znaménko u číselného výsledku). 1.3 Elektrický obvod Kirchhoffovy zákony Již v předchozím textu jsme předpokládali, že se jednotlivé modelové elementy mohou navzájem spojovat (např. zdroj proudu připojíme na svorky kapacitoru a pozorujeme nárůst napětí). Model může popisovat vzájemné spojení desítek až milionů elementů. Máme-li analyzovat vztahy obvodových veličin, musíme vycházet z podstaty vedení elektrického proudu. Tou je skutečnost, že elektrický proud nesou elektrony uzavřené ve vodivém prostředí. Představa elektronů jako kuliček, které se mohou pohybovat pouze ve vodivém prostředí, případně se shromažd ovat v kapacitorech a nikam jinam se nemohou ztratit, plně podpoří tvrzení Kirchhoffových zákonů. [3] 1. Kirchhoffův zákon Součet všech proudů v uzlu elektrického obvodu je v každém okamžiku nulový. i 1 (t) C i 2 (t) R 1 i 4 (t) i 3 (t) u(t) R 2 Obrázek 1.4: 1. Kirchhoffův zákon
KAPITOLA 1. ÚVOD, ZÁKLADNÍ POJMY 11 N i n (t) = 0. (1.21) n=1 Povšimněme si, že jsme v obrázku 1.4 vyznačili směr proudu všech větví směrem do uzlu. Má-li být součet nulový (a jistě nejsou všechny proudy identicky rovny nule), pak některé hodnoty proudu budou záporné. Na počátku výpočtu nemusí být zřejmé, které to budou a v různých časových okamžicích se může znaménko měnit. Je-li znaménko záporné, znamená to pouze to, že skutečný směr proudu je opačný, než jsme vyznačili. Taková volba je výhodná. Chyba při formulaci rovnic popisujících obvod je méně pravděpodobná, než kdybychom spekulovali dopředu o pravděpodobném fyzikálním směru proudu. 2. Kirchhoffův zákon Součet napětí podél libovolné smyčky v obvodu je v každém okamžiku nulový. n u n (t) = 0. (1.22) 1 Opět si povšimněme, že zdroj se skutečnou polaritou plus a minus má v obrázku 1.5 orientaci vyznačenou šipkou s opačným směrem. Do rovnice tedy hodnota jeho napětí vstoupí se záporným znaménkem. V případě použití stejnosměrného zdroje u 4 = U (tedy s polaritou odpovídající plus a minus v obrázku) bude platit U + u 1 + u 2 + u 3 = 0, tedy u 1 + u 2 + u 3 = U. u 2 (t) C R 1 u 1 (t) i R 2 u 4 (t) u 3 (t) Obrázek 1.5: 2. Kirchhoffův zákon
Kapitola 2 Elementární výpočty V přírodních a technických vědách a v technické praxi je samozřejmostí, že se vlastnosti systémů popisují matematickým aparátem (vzorci a rovnicemi, maticemi, diferenciálním počtem, statistickými charakteristikami, apod.). Předchozí kapitola uvedla matematický popis vlastností elementů elektrických obvodů. To je východisko k výpočtům vlastností složitých elektrických systémů. [3], 2.1 Kombinace rezistorů 2.1.1 Sériové spojení rezistorů u 1 (t) u 2 (t) u x (t) R 1 R 2 R u(t) i(t) u(t) i(t) Obrázek 2.1: 2. Kirchhofův zákon sériové spojení rezistorů Hledáme hodnotu odporu R rezistoru, který je ekvivalentní sériové kombinaci R 1 a R 2, tedy takového rezistoru, který v obvodu se zdrojem u(t) nastaví proud i(t) totožný s tím, který prochází obvodem s rezistory R 1 a R 2, tak jak ukazuje obrázek 2.1. Z 2. Kirchhofova zákona můžeme odvodit 12
KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ VÝPOČTY 13 u(t) = u 1 (t) + u 2 (t) = R 1 i(t) + R 2 i(t) = (R 1 + R 2 )i(t) (2.1) u(t) = u x (t) = Ri(t) R = R 1 + R 2. (2.2) Je-li zařazeno N rezistorů v sérii, je možno je nahradit jedním rezistorem s odporem R = N R n. (2.3) n=1 Z obrázku 2.1 můžeme vytěžit ještě jednu informaci. Je-li výsledný odpor součtem odporů jednotlivých rezistorů a protéká-li všemi stejný proud, pak můžeme snadno zjistit, jaké jsou hodnoty napětí na každém z nich. i(t) = u(t) R 1 + R 2 R 1 u 1 (t) = u(t) R 1 + R 2 R 2 u 2 (t) = u(t). (2.4) R 1 + R 2 Obecně na n-tém rezistoru bude napětí i(t) = u(t) N R n n=1 u n (t) = u(t) R n (n = 1... N). (2.5) N R n n=1 2.1.2 Paralelní spojení rezistorů Úloha je obdobná. Hledáme jeden ekvivalentní rezistor (jeho hodnotu R), který odvede proud ze zdroje napětí stejný, jako ze zdroje odvádí řada paralelně spojených rezistorů (viz obr. 2.2). R i(t) i 1 (t) i 2 (t) i x (t) R 1 u(t) 2 u(t) R Obrázek 2.2: 1. Kirchhofův zákon paralelní spojení rezistorů
KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ VÝPOČTY 14 i(t) = i 1 (t) + i 2 (t) = u(t) R 1 + u(t) R 2 (2.6) i x (t) = u(t) R = i(t) 1 R = 1 R 1 + 1 R 2 R = R 1.R 2 R 1 + R 2. (2.7) Převrácenou hodnotu odporu označujeme jako vodivost G = 1/R a udáváme ji v jednotkách siemens [S] (S = Ω 1 ). Je-li zařazeno N rezistorů paralelně, je možno je nahradit jedním rezistorem s odporem R nebo vodivostí G N 1 R = 1 G = R n n=1 N G n. (2.8) Jaké jsou hodnoty proudů, které každým z rezistorů procházejí zjistíme při napájení napět ovým zdrojem velmi jednoduše. Pokud však známe jen celkový proud i(t) vstupující do uzlu, z kterého jsou do společné svorky zapojeny různé rezistory, pak rozdělení proudu mezi jednotlivé rezistory vypočteme takto: n=1 i n (t) = i(t)g n (n = 1... N). (2.9) N G n n=1 2.2 Kombinace kapacitorů 2.2.1 Paralelní spojení kapacitorů U C 1 C 2 U C Obrázek 2.3: Paralelní spojení kapacitorů Na obrázku 2.3 je zdroj napětí u(t) připojený k paralelní kombinaci kapacitorů. Pokud se u(t) mění (a musí se měnit spojitě, aby byl proud konečný),
KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ VÝPOČTY 15 zavádí nebo odvádí z kapacitorů proud, který závisí na kapacitě každého z nich. V každém okamžiku je v kapacitoru C 1 uložen náboj q 1 (t) = C 1 u(t) a v kapacitoru C 2 je uložen náboj q 2 (t) = C 2 u(t). V kapacitoru C je v témže okamžiku náboj q(t) = Cu(t). Za ekvivalentní budeme oba obvody považovat, pokud zdroj dodal v obou obvodech týž náboj. Tedy q(t) = q 1 (t) + q 2 (t) C = C 1 + C 2. (2.10) Je-li zařazeno N kapacitorů paralelně, je možno je nahradit jedním kapacitorem s kapacitou C = N C n. (2.11) n=1 2.2.2 Sériové spojení kapacitorů u 1 (T ) u 2 (T ) I C 1 C 2 I I I C u( Obrázek 2.4: Sériové spojení kapacitorů K výkladu použijeme na obrázku 2.4 zdroj konstantního proudu I, který nabíjí dvojici sériově spojených kapacitorů. Napětí u 1 (t) i u 2 (t) lineárně roste s časem. Za dobu T necht proud klesne k nule (obvod se rozpojí), tudíž se růst zastaví na hodnotě u 1 (T ) a u 2 (T ). Proud I uložil za čas T v kondenzátoru C 1 náboj q 1 (T ) = I.T = q(t ) = C 1.u 1 (T ). Týž proud ukládal náboj do kapacitoru C 2, takže q 2 (T ) = I.T = q(t ) = C 2.u 2 (T ) a v ekvivalentním obvodu q(t ) = I.T = C.u(T ). Platí však u(t ) = u 1 (T ) + u 2 (T ) q(t ) C = q(t ) C 1 + q(t ) C 2 1 C = 1 C 1 + 1 C 2 (2.12) C = C 1.C 2 C 1 + C 2 (2.13)
KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ VÝPOČTY 16 a pro N kapacitorů N 1 C = 1. (2.14) C n n=1 Z uvedené úvahy si již můžeme snadno odvodit, jak se na sériové kombinaci kondenzátorů rozděluje celkové napětí. Sériová kombinace kapacitorů má vždycky menší ekvivalentní kapacitu, než má nejmenší ze zapojených kapacitorů. 2.3 Sériové a paralelní spojení induktorů Poté, co jsme vysvětlili postup odvození vlastností obvodu složeného ze sériové a paralelní kombinace rezistorů a kapacitorů, ponecháváme na studentovi, aby si s ohledem na úvahy o vytváření magnetického toku, např. zdrojem konstantního napětí dodávajícího rostoucí proud, odvodil následující vztahy, které budu platit jen tehdy, kdy se magnetické toky spojovaných induktorů vzájemně neovlivňují. Pro sériovou kombinaci N induktorů je možno najít jeden ekvivalentní induktor s indukčností L = N L n. (2.15) n=1 Pro paralelní kombinaci N induktorů je možno najít jeden induktor s indukčností N 1 L = 1. (2.16) L n n=1 Pro převrácenou hodnotu kapacity se v teorii obvodů používá pojem elastance a pro převrácenou hodnotu indukčnosti pojem inverzní indukčnost a lze k nim mít i obvodové modely (nemají narozdíl od vodivosti zvláštní název jednotky). My je nadále nebudeme používat. 2.4 Sériové a paralelní spojení zdrojů Zdroje napětí: S odkazem na jednoduchou fyzikální úvahu lze vyslovit závěr: zdroje napětí lze řadit do série a výsledné napětí je součtem napětí jednotlivých zdrojů
KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ VÝPOČTY 17 u(t) = N u n (t). (2.17) n=1 Paralelní spojení ideálních zdrojů napětí nelze nikdy použít: pokud by napětí byla různá, protékal by mezi zdroji nekonečný proud (a v obvodu by nebyl element, který by rozptýlil nekonečný výkon), pokud by byla napětí stejná, dělily by se o proud dodávaný do obvodu, ale jak??, když je každý schopen dodat libovolný proud. Stačí tedy vždy jen jeden. Tento závěr platí pro paralelní spojení ideálních zdrojů napětí, tedy teoreticky. V praxi se setkáme s paralelním spojením zdrojů stejných napětí velmi často. Důvody mohou být dva. Prvým důvodem může být u baterií a akumulátorů jejich omezená kapacita, tedy omezená doba, po kterou mohou do obvodu dodávat určitý proud. Spojíme-li takové baterie paralelně, je zřejmé, že doba jejich vybíjení doba po kterou budou napájet obvod, bude vyšší. Podmínkou je, že obě baterie musejí mít stejné napětí. Pokud by tomu tak nebylo, protékal by mezi nimi proud, který by neužitečně rozptyloval výkon na jejich vnitřních odporech. Druhý důvod může spočívat v potřebě zredukovat vnitřní odpor reálného zdroje napětí. Budeme-li mít dva zdroje se stejným napětím a různými vnitřními odpory, můžeme každý z nich nahradit ideálním zdrojem v sérii s jeho vnitřním odporem. Protože předpokládáme, že oba zdroje mají stejné napětí, lze je nahradit jedním. Jejich vnitřní odpory vytvoří paralelní spojení, které nahradíme jedním ekvivalentním odporem podle vztahu (2.7). Taková kombinace rezistorů má vždy menší odpor než kterýkoli ze spojovaných rezistorů, což oceníme při zatěžování zdroje proudem tekoucím do zátěže (viz další kapitola). Praktickým příkladem může být použití startovacích kabelů pro posílení nedostatečně nabité baterie automobilu. Zdroje proudu: Paralelní spojení dodá do obvodu proud daný součtem proudů jednotlivých zdrojů i(t) = N i n (t). (2.18) n=1 Sériové spojení ideálních zdrojů proudu nelze připustit, protože z definice plyne, že každý ze zdrojů generuje proud nezávislý na tom, jak je obvod zapojen. Těžko bychom si vysvětlili, jaký proud z takové kombinace vlastně poteče. Teoreticky by na každém z nich bylo nekonečné napětí, vzájemně opačné polarity.
KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ VÝPOČTY 18 2.5 Dělič napětí, výkon na spotřebiči zdroj spotřebič R 0 u 0 R z u z Obrázek 2.5: Dělič napětí Uvedený obrázek 2.5 lze vyložit různě. * 1 Je to sériové spojení rezistorů v jediné smyčce se zdrojem napětí. Celkový odpor v obvodu je R = R 0 + R z. Zdroj napětí dodává do obvodu proud i = u/r. Podstatné však je, že R z u z = u 0. (2.19) R 0 + R z Napětí u z vzniklo rozdělením napětí zdroje na dvě části, na napětí na rezistoru R 0 a na R z vytvořili jsme dělič napětí, se kterým se setkáme v nesčetném množství modelů reálných zařízení. * 2 Je to model spojení reálného zdroje napětí se spotřebičem. Uvedli jsme, že v praxi neexistuje dokonalý zdroj napětí. Každý reálný zdroj napětí je v nejjednodušším případě nutno modelovat ideálním zdrojem napětí a rezistorem reprezentujícím jeho vnitřní odpor. Baterie může mít např. napětí 12 V a vnitřní odpor 0,1 Ω. Díváme-li se na jakoukoli dvojici svorek, která nám má posloužit jako zdroj napětí (napájecího stejnosměrného nebo střídavého, či impulsního signálu), vždy za nimi musíme vidět obvod v nejjednodušším případě namodelovaný napětím u 0 a odporem R 0. Protože jde o tak významný model, uvedeme několik základních pojmů a poznatků. Napětí naprázdno je napětí, které na svorkách reálného zdroje změříme, když není připojen spotřebič, R z, i 0. Zřejmě platí u naprazdno = u 0. (2.20)
KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ VÝPOČTY 19 Proud nakrátko je proud, který bychom naměřili, kdybychom svorky zdroje zkratovali (mnohdy lze jen na papíře). Tehdy R z 0 Zajímavé použití obou údajů vede na vyjádření i nakratko = u 0 R 0. (2.21) R 0 = u naprazdno i nakratko, (2.22) které lze využít k výpočtu ve složitém obvodu nebo i k praktickému měření, pokud zkratování nevede k destrukci a měření naprázdno lze dostupnými přístroji provést. Další významná úvaha spočívá v hodnocení důsledků, které má zatěžování zdroje různými zátěžemi (pokud nám situace dává ve volbě zátěže volnost). 1. Požadujeme co největší napětí (napět ový rozkmit), např. na výstupu portu počítače. Největší možné napětí je u 0. Většinou připojené zařízení nemá nekonečný vstupní odpor, takže s rostoucím proudem do zátěže s klesajícím zatěžovacím odporem napětí (rozkmit napětí) klesá. Po zatížení je na svorkách reálného zdroje vždycky menší napětí než na zdroji bez zátěže. 2. Požadujeme relativně velký proud, např. pro rozsvícení indikační LED z portu mikropočítače. Maximální proud je proud nakrátko, avšak při nulovém napětí na zátěži. V praxi téměř nikdy není zátěž dokonalým zkratem, takže maximální dosažitelný proud je menší než proud nakrátko. (V elektrovodné síti maximální proud určují pojistky.) 3. Zajímavý je požadavek na maximální výkon dodaný do zátěže zdrojem s daným napětím naprázdno (vnitřním napětím) a daným vnitřním odporem. Zřejmě to nebude ani při velkém odporu R z, to protéká obvodem malý proud, ani při malém odporu R z, to je na zátěži malé napětí, a my usilujeme o co největší součin proudu a napětí. Máme-li dané stejnosměrné napětí U = u 0 vnitřního zdroje a vnitřní odpor zdroje R 0, pak výkon na zátěži v závislosti na velikosti zatěžovacího odporu R z ukazuje obrázek 2.6, ve kterém platí:
KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ VÝPOČTY 20 R z U P z = u z.i = U. = R z + R 0 R z + R 0 U 2 R z (R z + R 0 ) 2 = P zi (R z + R 0 ) 2, (2.23) kde P zi je ideální výkon, který by zdroj U dodal při nulovém vnitřním odporu zdroje R 0. 0.26 0.24 0.22 0.2 Pz/Pzi 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08-1 -0.8-0.6-0.4-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 log(r z /R 0 ) Obrázek 2.6: Výkon odevzdaný do zátěže Vidíme, že největší výkon odevzdá reálný zdroj tehdy, kdy se zatěžovací odpor rovná jeho vnitřnímu odporu. Říkáme tomu výkonové přizpůsobení. Přitom toto maximum představuje čtvrtinu výkonu, který by do téže zátěže dodal zdroj s nulovým vnitřním odporem (obvodem teče poloviční proud a napětí je rozděleno na dvě poloviny, takže součin je čtvrtina). 2.5.1 Grafická konstrukce ke druhému Kirchhoffovu zákonu Vrat me se k odporovému děliči na obr. 2.5 a složme ho z rezistorů R 1 a R 2. Budeme předpokládat, že je připojen ke zdroji stejnosměrného napětí U. Na děliči se toto napětí rozdělí na napětí u 1 na rezistoru R 1 a u 2 na rezistoru R 2, pro která podle Kirchhoffova zákona musí platit U = u 1 + u 2. resp. u 1 = U u 2. (2.24) Platí u 1 = R 1 i. Graficky můžeme závislost proudu i na napětí u 1 znázornit v souřadnicích u, i přímkou procházející počátkem, tak, jak je naznačeno na obr. 2.7.
KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ VÝPOČTY 21 0.25 0.2 i u 2 R 2 = 25 Ω R 1 = 15 Ω U u 1 0.15 0.1 0.05 0 R 1 = 15 Ω R 2 = 25 Ω 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 U u 1 u 2 u Obrázek 2.7: Grafická konstrukce napětí na odporovém děliči Nyní hledejme graf pro pravou stranu výrazu 2.24. Pro naši konstrukci zakreslíme do souřadnicové soustavy závislost u 2 na i, tedy u 2 = U R 2 i, jako přímku, která protíná vodorovnou osu v bodě U a svislou osu v bodě U/R 2. Protože jsme nakreslili grafy levé a pravé strany jedné rovnice, bude její řešení ležet v průsečíku obou čar. V grafu vidíme, jak se rozdělilo napětí U a jaký proud teče obvodem. Pro rezistor R 1 jsme závislost proudu na napětí i = g(u) zapsali vztahem i = g(u) = u 1 /R 1 a do grafu ji zakreslili uvedenou přímkou. Předpokládejme nyní, že rezistor R 1 nahradíme součástkou, pro kterou známe závislost u 1 = f(i) pouze v grafickém vyjádření, např. jako výsledek měření voltampérové charakteristiky. Do rovnice Kirchhoffova zákona již nemůžeme zapsat u 1 = R 1 i 1, ale můžeme obvodové vztahy popsat obecnou rovnicí U = f(i) + R 2 i. Pro tento obvod a tuto rovnici je grafická konstrukce analogická (viz obr. 2.8) jako pro dva rezistory a umožňuje najít hodnotu proudu v obvodu a napětí na výstupu děliče i pro případ, že není znám analytický popis voltampérové závislosti na připojeném obvodovém prvku. Navíc grafická konstrukce přináší možnost názorně zobrazit i vlastnosti obvodu při měnícím se U, nebo měnících se vlastnostech nelineárních charakteristik použitých součástek. 2.6 Věta o náhradním zdroji Theveninův teorém I nadále se budeme zabývat děličem napětí. Předpokládejme, že dělič napětí je uvnitř zařízení a my se chceme dívat na jeho výstupní svorky tak, jako
KAPITOLA 2. ELEMENTÁRNÍ VÝPOČTY 22 0, 2 i[a] u 2 R 2 = 20 Ω i 1 = g(u 1 ) 0.15 0.1 R 2 = 20 Ω U u 1 0.05 i 1 = g(u 1 ) U 0 0, 5 1 1, 5 2 2, 5 3 3, 5 4 4.5 u 1 u 2 u[v] Obrázek 2.8: Grafická konstrukce napětí na děliči s nelineárním elementem by v zařízení byl ideální zdroj napětí u 0 s vnitřním odporem R 0. Takový případ ukazuje obrázek 2.9. Uvedená obvodová ekvivalence je popsána tzv. Theveninovým teorémem. [3] zdroj spotřebič zdroj spotřebič R 01 R R z R 0 R z 02 u 0 u u z 0 u z Obrázek 2.9: Náhrada děliče napětí Theveninův teorém můžeme odvodit s odkazem na skutečnost, že vlastnosti reálného zdroje lze identifikovat z napětí naprázdno a proudu nakrátko. Tedy u 0 = u 0 R 02 R 01 + R 02, (2.25) R 0 = R 02 u 0 R 01 + R 02 u 0 R 01 = R 01 R 02 R 01 + R 02. (2.26)
Kapitola 3 Výpočty ve frekvenční oblasti Obvody jsou velmi často posuzovány tak, že jsou popsány jejich vlastnosti při zpracování sinusových (harmonických) signálů. [3] Proč jsou takové vlastnosti zajímavé? Každý lineární model obvodu (složený ze součástí, které jsme až dosud popisovali, příp. z několika dalších, které ještě poznáme) má tu vlastnost, že všechny obvodové veličiny mají časový průběh vytvořený superpozicí sinusových signálů s frekvencemi totožnými s frekvencemi zdrojů sinusových signálů uvnitř soustavy. Od parametrů zdrojů se mohou složky obvodových veličin lišit amplitudou, fází a příp. rozměrem. Každý nesinusový periodický signál lze rozložit na řadu signálů s frekvencemi, které jsou dány celočíselnými násobky základní (nejnižší) frekvence periodického signálu Fourierova řada. Každý neperiodický signál (má-li určité často splnitelné vlastnosti) můžeme charakterizovat tak, že k němu získáme hodnoty kmitočtů, které musí být přeneseny, aby nebyl takový signál při přenosu tvarově narušen Fourierova transformace. V našich výpočtech nebudeme uvažovat vznik přechodných dějů, které provázejí okamžik připojení sinusových zdrojů k obvodu. Nebudeme počítat ani s žádnými počátečními napětími na setrvačných prvcích. Výpočty budou platit pro tzv. harmonický ustálený stav, tj. pro obvodové veličiny se sinusovými časovými průběhy, jejichž amplitudy a fáze se v čase nemění, pokud se nemění vlastnosti připojených zdrojů napětí a proudů. Kapacitor se sinusovým zdrojem napětí Budeme nyní předpokládat, že 23
KAPITOLA 3. VÝPOČTY VE FREKVENČNÍ OBLASTI 24 i(t) u(t) = U m sin(ωt) C Obrázek 3.1: Kapacitor se zdrojem sinusového napětí u(t) = U m sin(ωt). (3.1) Pak s využitím derivace (i = C du ) dostaneme výraz pro proud i(t) dt i(t) = U m ωc sin(ωt + π/2). (3.2) Odtud lze najít vztah mezi amplitudou napětí a proudu tak, že platí I m = U m ωc. (3.3) Pokud by v obvodu byl rezistor, vztah by měl tvar I m = U m R, (3.4) takže při hledání analogie bychom mohli říci, že se kapacitor chová jako rezistor s odporem 1/ωC. Vztah amplitud tak lze v tomto případě popsat, ale vztah napětí a proudu, včetně jejich časových průběhů, rozhodně ne. Proud, na rozdíl od proudu protékajícího rezistorem, je u kapacitoru fázově posunut o π/2. To zásadním způsobem určuje vliv kapacitoru na obvodové veličiny v jakémkoli obvodu v harmonickém ustáleném stavu. Vzniká otázka, jak takový vliv na fázi obvodových veličin matematicky popsat. Matematika dokázala vstoupit do druhého rozměru vytvořením oboru komplexních čísel. Elektrotechnika obor komplexních čísel využívá. Jestliže se v popisu signálu pracuje stále s jedním kmitočtem, lze údaj o veličině s fází otočenou o ±π/2 zapsat jako ryze imaginární číslo. Jestliže v obvodu takovou situaci vytváří setrvačný obvodový element, pak musí být právě jeho parametr zapsán jako imaginární číslo.
KAPITOLA 3. VÝPOČTY VE FREKVENČNÍ OBLASTI 25 Aparát komplexní aritmetiky nám pak poskytne i prostředek, jak popsat obvodové veličiny s fází libovolně pootočenou zřejmě jako komplexní čísla s reálnou i imaginární složkou. Taková komplexní čísla se v aplikacích s harmonickým ustáleným stavem označují jako fázory. Mají zvláštní symboly a vždy za sebou skrývají popis ustáleného sinusového signálu o daném kmitočtu. Aplikaci fázorů pro náš jednoduchý obvod lze demonstrovat následujícím vztahem: Î = Û = jωcû, (3.5) Ẑ C kde jsme ve vzorci analogickém s Ohmovým zákonem použili fázorový obraz kapacitoru Ẑ C = 1 jωc. (3.6) Veličina Ẑ se označuje jako (komplexní) impedance a v oblasti výpočtů harmonického ustáleného stavu s pomocí fázorů se s ní zapisují obvodové rovnice podle Kirchhoffových zákonů stejně jako v obvodech s rezistory, avšak s respektem k výpočtům s komplexními čísly. Bez důkazu a rozboru uvedeme impedanci induktoru Ẑ L = jωl. (3.7) Výpočet obvodu s fázory (závislost mezi dvěma napětími, závislost proudu na napětí a naopak) se většinou snažíme dovést ke vztahu, který má obecně tvar Ŷ 2 = ĤŶ 1. (3.8) Takové vyjádření platí v prostoru fázorů, avšak velmi jednoduše lze dosadit a získat představu o časovém průběhu. Vždycky bude kde a y 1 (t) = Y 1m sin(ωt + ϕ 1 ) a y 2 (t) = Y 2m sin(ωt + ϕ 2 ), (3.9) ( ) 2 ( 2 Y 2m = Y 1m Ĥ = Y 1m Re(Ĥ) + Im(Ĥ)) (3.10) ϕ 2 = ϕ 1 + arctg ( ) Im(Ĥ). (3.11) Re(Ĥ)
KAPITOLA 3. VÝPOČTY VE FREKVENČNÍ OBLASTI 26 Pilný student se sám přesvědčí, že úvodní výklad o vztahu napětí a proudu na kapacitoru se zdrojem napětí jsme uvedli v souladu s právě uvedeným obecným výkladem: ϕ 1 = 0, Im(Ĥ) = ωc, Re(Ĥ) = 0, ϕ 2 = π/2, Ĥ = ωc a Ŷ 1 = Û, Ŷ 2 = Î. Důležité: Svět tučných symbolů se stříškami fázorový, je jiný svět než svět časových průběhů u(t) a i(t) a jim odpovídajících derivací a integrálů. My však víme, že se dá jedno z druhého vypočítat, ale do jedné rovnice nikdy tyto různé symboly nenapíšeme. 3.1 Integrační RC obvod ve frekvenční oblasti R C Û 1 Û 2 Obrázek 3.2: RC integrační obvod Uvedli jsme, že s impedancemi pracujeme jako s odpory. Takže využijeme znalostí o děliči napětí a napíšeme Ẑ C 1/jωC Û 2 = Û 1 = Û 1 R + Ẑ C R + 1/jωC = Û 1 1 1 + jωrc. (3.12) Z uvedeného vztahu můžeme zapsat pro Ĥ Ĥ = 1 1 + jωrc = 1 jωrc 1 + (ωrc). (3.13) 2 Protože se jedná o matematické vyjádření poměru fázoru výstupního napětí k fázoru vstupního napětí, tedy o popis jak se vstupní napětí obvodem ovlivní, je-li přeneseno na výstup, nazývá se Ĥ (napět ovým) přenosem obvodu. Jde o bezrozměrnou komplexní funkci kmitočtu ω, což bývá někdy vyjádřeno zápisem Ĥ H(jω).
KAPITOLA 3. VÝPOČTY VE FREKVENČNÍ OBLASTI 27 Vlastnosti obvodů ve frekvenční oblasti popisujeme pomocí analýzy přenosové funkce Ĥ. Ukážeme to na uvedeném integračním obvodu. První významná informace se týká vlivu obvodu na amplitudu vstupního napětí. Uvedli jsme, že U 2m = U 1m Ĥ, takže U 2m = U 1m 1 1 + (ωrc) 2. (3.14) Vidíme, že amplituda sinusového průběhu je závislá na kmitočtu a s rostoucím kmitočtem bude klesat. Je zvykem tuto závislost zobrazit v grafu funkce Ĥ, ve kterém nezávisle proměnnou (vodorovná osa) je logaritmus kmitočtu a na svislé ose je A, kde A = 20 log Ĥ. (3.15) Takto vyjádřená absolutní hodnota přenosu je sice bezrozměrná, ale pro její hodnoty se uvádějí jednotky decibely [db], graf s takto zvolenými měřítky na osách se v literatuře uvádí jako Bodeho charakteristika a pro integrační obvod je na obrázku 3.3. 5.0 A [db] 0.0-5.0-10.0-15.0-20.0 1 10 100 1K f [Hz] Obrázek 3.3: Amplitudová frekvenční charakteristika integračního RC obvodu (R = 100 kω a C =10 nf) Předmětem analýzy je dále fázový posuv. Podíváme-li se na časové průběhy na obr. 3.4, zjistíme, že se napětí na výstupu fázově neshoduje s napětím vstupním. (Obrázek ukazuje vztah vstupního a výstupního napětí v harmonickém ustáleném stavu. To jsme zdůraznili tím, že časová osa nezačíná nulovou hodnotou, ale obrázek zachycuje stav v průběhu času.) V ustáleném stavu těžko zjistíme, zda se výstup předbíhá nebo zpožd uje. Pokud jde obecně o obvod s jediným setrvačným prvkem, může se fázový úhel měnit
KAPITOLA 3. VÝPOČTY VE FREKVENČNÍ OBLASTI 28 1,5 u 1 (t) 1,0 0,5 u 2 (t) 0,0 u [V] -0,5-1,0 4,0 6,0 8,0 10,0 t [ms] Obrázek 3.4: Časový průběh ustáleného harmonického stavu integračního RC obvodu jen v intervalu ϕ = ±π/2, resp. ϕ = ±90. Pro integrační obvod zjistíme, že výstupní napětí se opožd uje za napětím vstupním. Na obrázku je fázový posun odhadem 60. Jistě lze očekávat, že bude závislý na kmitočtu. Z výrazu pro přenos plyne při ϕ 1 = 0 ( ) Im(Ĥ) ϕ 2 = arctg = arctg (ωrc). (3.16) Re(Ĥ) 25 0-25 ϕ [ ] -50-75 -100 1 10 100 1K f [Hz] Obrázek 3.5: Fázová frekvenční charakteristika integračního RC obvodu Když se podíváme na oba obrázky, amplitudovou a fázovou charakteristiku, zjistíme, že při nízkých kmitočtech je amplituda výstupního napětí téměř shodná s amplitudou vstupního napětí a fáze je téměř nulová. S rostoucím kmitočtem klesá amplituda a fázový posun se zvětšuje. Kvalifikovaněji tuto úvahu vyjádříme, když oba výrazy, pro amplitudu a pro fázi, ještě
KAPITOLA 3. VÝPOČTY VE FREKVENČNÍ OBLASTI 29 podrobíme diskusi, která umožní zavést určité termíny a objasní obecnější vlastnosti frekvenčních charakteristik. Amplitudová frekvenční charakteristika: Ĥ = 1 1 + (ωτ) 2. (3.17) ω 0. Pro nízké kmitočty (ωτ 1) se přenos obvodu blíží k jedničce. Pomalé změny okamžité hodnoty střídavého napětí vedou k tomu, že se kondenzátor nabíjí a vybíjí malými okamžitými hodnotami proudu a na rezistoru se vytváří malý úbytek napětí. Napětí na kapacitoru stíhá sledovat vstupní napětí. V grafu přenosové charakteristiky se její průběh asymptoticky blíží k vodorovné přímce odpovídající hodnotě 0 db. Obvod propouští nízké kmitočty, říkáme mu dolnofrekvenční propust. ω. Pro vysoké kmitočty (ωτ 1) klesá přenos obvodu s rostoucím kmitočtem Ĥ 1/ωτ. V této oblasti kmitočtů lze pro přenosovou charakteristiku v decibelech napsat A = 20log(2πf τ), což znamená, že každé zvýšení kmitočtu na desetinásobek vede k poklesu přenosu o 20 db (tedy desetkrát). Je-li v grafu i kmitočet zobrazen logaritmicky, blíží se průběh charakteristiky asymptoticky k přímce se sklonem -20 db na dekádu kmitočtu. Vysoké kmitočty jsou zadržovány hornofrekvenční zádrž. Uvedené dvě asymptoty se protnou na ose kmitočtu v bodě ωτ = 1 resp. ω = 2πf = 1 τ. (3.18) Tomuto kmitočtu se říká mezní kmitočet a skutečný průběh charakteristiky se na něm nejvíce vzdaluje od asymptot. Dosazením zjistíme, že na mezním kmitočtu je Ĥ = 1 2 = 2 2 0, 707, resp. A 3 db. (3.19) Fázová frekvenční charakteristika ϕ = arctg(ωτ). (3.20)
KAPITOLA 3. VÝPOČTY VE FREKVENČNÍ OBLASTI 30 ω 0. Pro nízké kmitočty (ωτ 1) se fáze přenosu obvodu blíží k nule. Již jsme uvedli, že napětí na kapacitoru stíhá sledovat vstupní napětí. V grafu přenosové charakteristiky se průběh fáze asymptoticky blíží k vodorovné přímce s hodnotou ϕ = 0. Časový průběh výstupního napětí zdaleka nereprezentuje integrál z časového průběhu napětí vstupního. ω. Pro vysoké kmitočty (ωτ 1) klesá přenos obvodu proto, že pomalý kapacitor nestačí reagovat na rychlé změny okamžité hodnoty vstupního napětí. Protože jde o harmonický ustálený stav, je napětí na kapacitoru sinusové, ale pomalost, s jakou kapacitor dovoluje měnit na svých svorkách napětí, způsobí, že se fáze zpožd uje. Pro rostoucí kmitočty se asymptoticky blíží k 90 resp. π/2. Čím vyšší bude kmitočet, tím nižší bude odchylka fáze od 90 a tím lépe bude možno obvod považovat za integrátor. Dosazením do výše uvedeného vztahu zjistíme, že na mezním kmitočtu je ϕ = arctg(ωτ) = arctg(1) = 45 = π/4. (3.21) Povšimněme si, že vše zmíněné je relativní. Hodnocení jsme vázali k součinu ωτ, což znamená, že popsané jevy mohou v závislosti na časové konstantě obvodu nastávat při nejrůznějších kmitočtech. 3.2 Derivační RC obvod ve frekvenční oblasti C R Û 1 Û 2 Obrázek 3.6: RC derivační obvod
KAPITOLA 3. VÝPOČTY VE FREKVENČNÍ OBLASTI 31 Přehledně uvedeme matematický popis vlastností derivačního obvodu na obr. 3.6 a jeho charakteristiky na obr. 3.7. Ĥ = R R Û 2 = Û 1 = Û 1 R + Ẑ C R + 1, (3.22) jωc Ĥ = ωrc 1 + (ωrc) 2 jωrc 1 + jωrc, (3.23) ϕ = arctg ( ) 1. (3.24) ωrc 12 0-12 -24 A [db] -36-48 1 10 100 1K f [Hz] 125 100 75 ϕ [ ] 50 25. 0 1 10 100 1K f [Hz] Obrázek 3.7: Frekvenční charakteristiky derivačního RC obvodu Derivační obvod ve frekvenční oblasti má následující asymptotické vlastnosti: ω 0. Směrem k nízkým kmitočtům (ωτ 1) absolutní hodnota přenosu klesá. Asymptota má sklon +20 db na dekádu kmitočtu a fáze přenosu obvodu se blíží k +90, tedy výstupní napětí předbíhá napětí vstupní. ω. Pro vysoké kmitočty (ωτ 1) se absolutní hodnota přenosu obvodu asymptoticky blíží k jedničce a fáze k nule.
KAPITOLA 3. VÝPOČTY VE FREKVENČNÍ OBLASTI 32 Na mezním kmitočtu (τ = 1/ω) je ϕ = arctg(1/ωτ) = arctg(1) = 45 = π/4. (3.25) O derivačním působení obvodu tedy lze hovořit tehdy, kdy je kmitočet relativně nízký (relativně k převrácené hodnotě časové konstanty). Amplituda je sice malá, ale fázový posun téměř odpovídá derivaci sinu časového průběhu vstupu. 3.3 Obvody RL L R R L Û 1 Û 2 Û 1 Û 2 integrační obvod derivační obvod Obrázek 3.8: RL obvody Pro přenos RL obvodů na obr 3.8 platí následující vztahy integrační H(jω) = 1 1 + jω L R, derivační H(jω) = jω L R. (3.26) 1 + jω L R Souhrnně o frekvenční oblasti Popis obvodu v harmonickém ustáleném stavu je prakticky významný proto, že reprezentuje vlastnosti obvodu pro širokou oblast jeho použití. Matematický aparát pracuje s komplexními impedancemi a fázory tak, že formulace popisu obvodů je velmi jednoduchá, avšak omezená jen na harmonický ustálený stav vylučuje výpočet přechodných dějů. Výrazy s fázory (impedance, přenosy a obrazy signálu) nemohou vystupovat ve vztazích pro časové průběhy signálů.
KAPITOLA 3. VÝPOČTY VE FREKVENČNÍ OBLASTI 33 Matematický popis obvodu dovoluje formulovat komplexní funkci kmitočtu označovanou jako přenosová funkce (přenos) obvodu. Z ní lze odvodit amplitudovou a fázovou frekvenční charakteristiku obvodu. Amplitudová charakteristika je většinou zobrazována v logaritmických souřadnicích na obou osách (x - logaritmus frekvence, y - logaritmus absolutní hodnoty přenosu v decibelech [db]) a fázová charakteristika s logaritmem frekvence a lineární stupnicí fázového úhlu. V kvalitativním odhadu vlastností obvodů s kapacitory a induktory lze na dostatečně vysokých kmitočtech považovat kapacitor za zkrat a induktor za rozpojený obvod. Na dostatečně nízkých kmitočtech lze kapacitor považovat za rozpojený obvod a induktor za zkrat. 3.4 Rezonanční obvod ve frekvenční oblasti Mějme obvod se dvěma setrvačnými elementy induktorem a kapacitorem, které v obvodu uspořádáme tak, že jsou zapojeny v sérii se zdrojem harmonického signálu a rezistorem tak, jak je uvedeno na obr. 3.9. Û Î R L 2,533 C 1 µf Obrázek 3.9: Sériový rezonanční obvod V sériovém obvodu platí 2. Kichhoffův zákon, takže můžeme vypočítat fázor proudu pomocí součtu fázorů napětí na svorkách jednotlivých elementů. Î = Û R + jωl + 1 jωc jωc = Û (1 ω 2 LC) + jωrc, (3.27) kde lze odvodit podmínku, za které je proud reálný, s nulovým fázpvým posunem vůči napětí. Ta je splněna na rezonančním kmitočtu: 1 LC = ω2 r,... ω r = 1 LC = 2πf r. (3.28)
KAPITOLA 3. VÝPOČTY VE FREKVENČNÍ OBLASTI 34 Nyní můžeme odvodit údaje pro vyjádření proudu ve tvaru časové funkce. Û U m sin ωt (3.29) Î I m sin(ωt + ϕ) (3.30) ωc I m = Î = U m (3.31) (1 ω2 LC) 2 + (ωrc) 2 ( 1 ω 2 LC ϕ = arctg ωrc Když bude obvod naladěn do rezonance: ). (3.32) ω = ω r = 1 LC, (3.33) ωc I m = Î = U m (1 ω2 LC) 2 + (ωrc) = U m 2 R (3.34) ( ) 1 ω 2 LC ϕ = arctg = 0 ωrc (3.35) Je-li obvod naladěn na rezonanční kmitočet, přestane se projevovat přítomnost induktoru a kapacitoru a v obvodu určuje proud jen rezistor. Fáze proudu je shodná s fází napětí zdroje. Frekvenční charakteristiku amplitudovou a fázovou ukazuje obr. 3.10. Podívejme se, co se děje v rezonanci na svorkách induktoru a kapacitoru. Popíšeme napětí na induktoru, nejprve pro libovolně zvolený kmitočet Při rezonanci pak dostaneme ω 2 LC Û L = jωlî = Û (1 ω 2 LC) + jωrc Û L = jû 1 ω r RC kde Q je činitel jakosti obvodu, takže 1 = jq Û, Q = ω r RC = 1 L R C (3.36) (3.37) U Lm = U m Q ϕ = π/2 (3.38) Podobně bychom odvodili napětí na kapacitoru. Mělo by však opačnou fázi.
KAPITOLA 3. VÝPOČTY VE FREKVENČNÍ OBLASTI 35 log(i/i0) [db] (i0 = -15-30 -45-60 -75-90 Q < 0, 5 Q = 4 Q = 40 100 ϕ [ ] 50 0-50 -100 10 100 1K logf [Hz] Obrázek 3.10: RLC obvod frekvenční charakteristika Vidíme, že přestože se kombinace LC chová při rezonanci jako zkrat, je na obou prvcích možno pozorovat mnohdy velmi veliké napětí vzniklé tím, že si oba ideální setravačné prvky vzájemně předávají energii, aniž dochází k energetickým ztrátám. Tato energie se v obvodu nahromadí v přechodném ději po připojení zdroje, který však výpočet harmonického ustáleného stavu nedokáže popsat. Nárůst napětí v okolí rezonančního kmitočtu ukazuje frekvenční charakteristika na obr. 3.11. Postupný nárůst napětí na induktoru při zapnutí zdroje harmonického napětí ukazuje obr. 3.12 50 V ULm 40 V 30 V 20 V 10 V 0 V 70 Hz 100 Hz 140 Hz U m = 1 V Q = 40 log(f) Obrázek 3.11: Napětí na induktoru
KAPITOLA 3. VÝPOČTY VE FREKVENČNÍ OBLASTI 36 R1 60 RLC-HUS.cir 39.5 1u C1 40 20 V1 2.533 L1 0-20 -40 0m 100m 200m 300m 400m 500m v(3) (V) T (Secs) Obrázek 3.12: Napětí na induktoru přechodný děj V radiotechnických aplikacích se setkáme s pojmem šířka pásma. Jedná se o určení intervalu frekvencí mezi dvěma body na frekvenční chrakteristice, pro něž platí stejné pravidlo jako pro již známé mezní kmitočty, tedy ϕ = ±45, U Rm /U m = 3dB Graficky to znázorňuje obr.3.13 Û R = Û ωrc jωrc ω 2 LC + 1 (3.39) ϕ = ±45 = 1 ω2 LC = ±1 (3.40) ωrc Pro kvalitní rezonátory lze nalézt užitečný vztah mezi šířkou pásma a činitelem jakosti. Pro Q > 5 ω 1,2 = ω r (1 ± 1 2Q ) = Q = ω r ω 1 ω 2 = f r / f(3db) (3.41) U Rm [db] 7,5 0,0-7,5-3 db -15,0-22,5-30,0 98,75Hz 101,25 Hz 100 Hz =2,50 Hz f Obrázek 3.13: Šířka pásma
KAPITOLA 3. VÝPOČTY VE FREKVENČNÍ OBLASTI 37 3.5 Výkon v harmonickém ustáleném stavu Výkon v elektrickém obvodu při použití fázorové analýzy je definován jako součin fázoru napětí a komplexně sdruženého fázoru proudu. Uvědomme si, že výkon jako součin proudu a napětí koná práci jen na rezistorech. Induktory a kapacitory energii s harmonickýcm signálem jen akumulují a odevzdávají do obvodu, a to v každé periodě harmonického ustáleného stavu. Ŝ = 1 2ÛÎ (3.42) takže Ŝ = 1 2 U mi m (cos ϕ + j sin ϕ) (3.43) P = Re(Ŝ) = 1 2 U mi m cos ϕ, Q = Im(Ŝ) = 1 2 U mi m sin ϕ (3.44) kde P je činný výkon ve watech [W], Q je jalový výkon uváděný v jednotkách [var] (voltampéry reaktanční) a S = 1/2U m I m je zdánlivý výkon ve voltampérech [VA]. Pro efektivní hodnoty proudu a napětí platí P = U ef I ef cos ϕ, Q = U ef I ef sin ϕ S = U ef I ef (3.45) Nejvýznamnější je uspořádání, kdy je zdroj harmonického napětí připojen ke komplexní zátěži Ẑ složené z rezistorů a setrvačných induktorů a kapacitorů. Komplexní výkon v zátěži připojené ke zdroji napětí Û (fázi napětí považujme za nulovou) lze odvodit z proudu obvodem Î = Û Ẑ = U m Ẑ e jϕz, (3.46) ( ) kde ϕ z je fáze zátěže ϕ z = arctg Im(Ẑ) Re(Ẑ) Potom Ŝ = ÛÎ = U m 2 2 Ẑ ejϕz = U ef 2 Ẑ ejϕz = U ef 2 Ẑ (cos ϕ z + j sin ϕ z ) (3.47) Pro výkon spotřebičů (spotřebovávajících energii) je definován účiník λ = P = cos ϕ (3.48) S
KAPITOLA 3. VÝPOČTY VE FREKVENČNÍ OBLASTI 38 Pro maximální činný výkon je potřebné výkonové přizpůsobení impedance zdroje komplexně sdružená s impedancí zátěže (kompenzace účiníku). Jak se s poměry mezi hodnotami součástek mění fázový posun mezi proudem a napětím a spolu se měnící se amplitudou mění činný a jalový výkon, ukazují dva následující obrázky. Na prvém z nich 3.14 je malý fázový posun mezi proudem a napětím a odevzdaný činný výkon je veliký, blízký výkonu zdánlivému.. 2µF 15 ϕ = 16 Im = 96 [ma] Um = 10 [V] 10 Û 100Ω 5 0-5 -10 9.000m 9.090m 9.180m 9.270m 9.360m 9.450m 9.540m 9.630m 9.720m -I(V1)*100 V(v1) (V) ω = 1745 [rad/s] Ẑ = 100 j.28, 648 [Ω] 1.6 1.2 0.8 Î = 0.0924 + j.0, 0265 [A] Û = 10 [V] Ŝ = 0, 4621 j.0, 1324 [VA] 0.4 0.0-0.4 9.000m 9.090m 9.180m 9.270m 9.360m 9.450m 9.540m 9.630m 9.720m -V(V1)*I(V1) PDT (W) T (Secs) P = 0, 4621 [W] S = 0, 48 [VA]. Obrázek 3.14: Napětí, proud, výkon v RC obvodu Na druhém z obrázků 3.15 je mezi proudem a napětím velký posun a činný výkon je malý ve srovnání s výkonem zdánlivým.. 0, 2µF 15 10 ϕ = 70, 8 Im = 33 [ma] Um = 10 [V] Û 100Ω 5 0-5 -10 9.000m 9.090m 9.180m 9.270m 9.360m 9.450m 9.540m 9.630m 9.720m -I(V1)*100 V(v1) (V) ω = 1745 [rad/s] Ẑ = 100 j.286, 48 [Ω] 240.0m 120.0m Î = 0.0109 + j.0, 0311 [A] Û = 10 [V] Ŝ = 0, 0543 j.0.1556 [VA] 0.0m -120.0m 9.000m 9.090m 9.180m 9.270m 9.360m 9.450m 9.540m 9.630m 9.720m -V(V1)*I(V1) PDT (W) T (Secs) P = 0, 0543 [W] S = 0, 165 [VA]. Obrázek 3.15: Napětí, proud, výkon v RC obvodu
Kapitola 4 Výpočty v časové oblasti Těmi nejelementárnějšími matematickými formulemi, použitelnými pro popis elektrických obvodů, jsme se v předchozích odstavcích dostatečně seznámili. Nyní se začneme zabývat popisem obvodů, které lze vypreparovat z konstrukcí prakticky používaných elektronických zařízení. [3], [5] V digitální technice se nejvíce vyskytují signály impulsního charakteru. Jak reagují elektronické obvody na takové signály posuzujeme tak, že se zajímáme o časový průběh obvodových veličin ve vybraných obvodových uspořádáních, která považujeme za reprezentativní a na která lze mnohdy převést i velmi složitá zapojení s mnoha součástkami. Matematicky je poměrně jednoduché popsat vlastnosti obvodů, jsou-li na vstupu buzeny signálem, který má charakter skoku. Takový signál je teoretický, protože každá změna v hodnotě proudu nebo napětí se v technice může odehrát jen v určitém byt krátkém, ale ne nekonečně krátkém čase. Vždycky však můžeme najít a požadovat takovou strmost nárůstu napětí nebo proudu, že vše, co se v obvodu odehraje, bude odpovídat s dostatečnou přesností výpočtům s teoreticky nekonečně strmým skokem. Definici skokového průběhu napětí ukazuje obr. 4.1. 4.1 Integrační RC obvod se skokem napětí Na obrázku 4.2 je obvod, který se podobá známému děliči napětí, avšak s tím rozdílem, že zdroj s rezistorem dodává proud do kapacitoru, na jehož svorkách pozorujeme výstupní napětí. V literatuře je obvod označován jako integrační článek nebo dolnofrekvenční propust. Při výkladu o jeho vlastnostech poznáme, že přesně vzato nereprezentuje časový průběh jeho výstupního napětí integrál časového průběhu signálu vstupního. Takovému chování se za určitých podmínek může přiblížit. 39
KAPITOLA 4. VÝPOČTY V ČASOVÉ OBLASTI 40 u(t) U 0 u(t) = t { 0, t < 0 U, t 0 ȯ R Obrázek 4.1: Skok napětí C u 1 (t) u C (t). Obrázek 4.2: RC integrační obvod Ani o propouštění nízkofrekvenčních sinusových signálů a zadržování vysokofrekvenčních signálů, nelze hovořit, aniž bychom nevytýčili podmínky platné pro hodnoty součástek a kmitočty signálů. Přesto se tohoto zjednodušeného označení budeme držet. Ve výkladu o fyzikálních vlastnostech kapacitoru jsme uvažovali nabíjení kapacitoru konstantním proudem tehdy napětí na jeho svorkách rostlo lineárně s časem. V integračním RC obvodu se bude kapacitor jistě také nabíjet, ale zřejmě s přibývajícím časem bude nabíjecí proud klesat, protože se bude zmenšovat napětí na svorkách rezistoru R s tím, jak poroste napětí na kapacitoru C. Napětí u 2 (t) v čase t = 0 necht je nulové a v čase t se přiblíží k hodnotě U. Nabíjecí proud klesne k nule tehdy, kdy se napětí na zdroji vyrovná s napětím na nabitém kapacitoru. Tento časový průběh pro t 0 popisuje vztah u 2 (t) = U ( 1 e t τ ), (4.1) kde veličina τ = RC se označuje jako časová konstanta a má rozměr v sekundách.
KAPITOLA 4. VÝPOČTY V ČASOVÉ OBLASTI 41 Graficky průběh nabíjení ukazuje obrázek 4.3, a to pro případ, že U = 1 V a součin RC = τ = 1 s, např. R = 100 kω a C = 10 µf. 1 τ 0,9 0,8 u b 0,7 0,6 0,5 t ab u a u C (t) [V] 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 čas t [s] Obrázek 4.3: Časový průběh napětí na kapacitoru v integračním článku Z obrázku lze vyčíst některé často zmiňované vlastnosti exponenciálního nárůstu napětí na kapacitoru: směrnice tečny exponenciály na počátku přechodného děje je rovna časové konstantě τ, po uplynutí doby t = τ dosáhne exponenciála přibližně 63% z ustálené hodnoty, po uplynutí času odpovídajícího třem časovým konstantám je napětí na kapacitoru větší než 95% ustálené hodnoty, po uplynutí času odpovídajícího pěti časovým konstantám je napětí na kapacitoru větší než 99% ustálené hodnoty, zvolíme-li na exponenciálním průběhu dvě libovolné úrovně napětí u a a u b, můžeme při známé velikosti ustálené hodnoty U vypočítat dobu t ab, po kterou exponenciála bude probíhat mezi napětími u a a u b ( ) U ua t ab = τ ln. (4.2) U u b
i KAPITOLA 4. VÝPOČTY V ČASOVÉ OBLASTI 42 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 c Obrázek 4.4: napětí Časový průběh proudu v integračním článku buzeném skokem Na obrázku 4.4 je časový průběh proudu. Pro něj platí i(t) = U R e t τ. (4.3) Nad výrazy pro napětí na kapacitoru a proud obvodem lze uvést následující praktické úvahy: přechodný děj lze urychlit jenom zmenšením časové konstanty τ = R.C, zmenšení časové konstanty lze docílit zmenšením kapacity C, což v praxi nemusí být vždycky možné, zmenšení časové konstanty lze docílit zmenšením odporu R; to ale vede k většímu proudu i(0) = U/R, což nemusí snášet zdroj impulsního napětí. Zkracování přechodných dějů v elektronických obvodech je vždy bojem s přírodou. Dále popíšeme, co se bude v obvodu odehrávat, když zdroj napětí v čase t i skočí z hodnoty U zpět na napětí u(t i ) = 0. Takové vstupní napětí na vstupu obvodu označujeme jako buzení (osamělým) impulsem (viz obr. 4.5 nahoře). Napětí na kapacitoru zřejmě začne klesat. Jeho průběh bude popsán obecnějším vztahem
KAPITOLA 4. VÝPOČTY V ČASOVÉ OBLASTI 43 u 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 0,0 1,0 2,0 3,0 t 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 u u 0,0 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 0,0 1,0 2,0 t 3,0 0,0 1,0 2,0 3,0 t Obrázek 4.5: RC integrační obvod, průběh napětí při buzení impulsem ( u 2 (t) = u 2 (t i )+[u 1 (t i ) u 2 (t i )] 1 e t t i τ ) = u 1 (t i )+[u 2 (t i ) u 1 (t i )] e t t i τ (4.4) pro t t i. Vztah je použitelný pro všechny situace v uvedeném obvodu: u 2 (t i ) je napětí na kapacitoru před příchodem skoku, u 1 (t i ) je napětí odpovídající skoku v čase t = t i. Pro skok v čase t i = 0, u 1 (t i ) = U a napětí u 2 (t i ) = 0 v tomto čase, dostaneme výraz z počátku našeho výkladu. Obrázek 4.5 ukazuje dvě situace, které mohou nastat ve vztahu mezi časovou konstantou a délkou impulsu. Na prvém grafu je časový průběh impulsu o délce 1 µs s rozkmitem 10 V. Na dalších dvou grafech je nejprve uveden časový průběh výstupního napětí pro případ, že časová konstanta τ = RC je výrazně kratší, než doba trvání impulsu (τ = 0, 1 µs). Na dalším grafu je uveden případ, kdy je časová konstanta rovna délce impulsu (povšimněme si, že náběh končí na úrovni 63% velikosti skoku). Při výpočtu musíme pro u 2 (t i ) vždy použít hodnotu, kterou získáme z výpočtu
KAPITOLA 4. VÝPOČTY V ČASOVÉ OBLASTI 44 předchozího přechodného děje. Čtenář si jistě představí situaci, kdy bude časová konstanta ještě větší. Uvedený příklad má dalekosáhlé praktické důsledky. V datových přenosech se po spojích mezi zařízeními přenášejí data jako elektrické impulsy. Jestliže ke zdroji takových impulsů připojíme zařízení s velkou vstupní kapacitou (větší než předpokládal jeho konstruktér), může dojít k úplnému znehodnocení přenosu proto, že kratší impulsy za dobu svého trvání nedosáhnou požadované napět ové úrovně a přijímací zařízení datový impuls nezaznamená. Časový průběh proudu v obvodu popisuje výraz, který je opět zformulován tak, že obsahuje obecně jak počáteční napětí na kapacitoru před skokem, tak vstupní napětí po skoku. i(t) = (u 1(t i ) u C (t i )) e t t i τ pro t t i. (4.5) R Podívejme se ještě na situaci, kdy se budou impulsy z předchozího příkladu opakovat periodicky (buzení periodickými impulsy). Obrázek 4.6 ukazuje přechodný děj při dvou možných relacích mezi časovou konstantou obvodu a periodou opakování impulsů. Na obrázku 4.6 nahoře je naznačen průběh periodického impulsního signálu o kmitočtu 1 MHz (impuls a mezera mají dohromady trvání 1 µs). Impuls má velikost 10 V, v mezeře je napětí nulové. Impulsy mají dobu trvání 700 ns, mezera je 300 ns. Poměr mezi impulsem a mezerou se označuje jako střída impulsů (v našem případě 3:7). Na prvém grafu výstupního signálu je časový průběh na výstupu z obvodu s časovou konstantou τ = 50 ns (tedy 5 % z periody impulsního průběhu), na druhém grafu je časová konstanta obvodu nastavena na 5 µs (tedy pětinásobek periody). V tomto druhém případě se chování obvodu dá interpretovat jako integrace. Povšimněme si, že výstupní napětí obvodu na konci přechodného děje osciluje kolem hodnoty 7 V. To je hodnota integrálu z periody vstupního průběhu (10 V a 70 % periody). Napětí se vlní, ale pokud bychom časovou konstantu zvětšili, zvlnění by se zmenšilo, avšak ustálení na hodnotě integrálu by trvalo déle. Právě uvedený princip vytváření stejnosměrného napětí závislého na šířce impulsu uvnitř známé periody periodického průběhu napětí, je využit v číslicově analogových převodnících označovaných zkratkou PWM (Pulse Width Modulation). Chceme-li z PWM výstupu počítače dostat stejnosměrné napětí, musíme impulsy PWM generátoru integrovat, např. obvodem, kterým jsme se až dosud zabývali.
KAPITOLA 4. VÝPOČTY V ČASOVÉ OBLASTI 45 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 u u u 0,0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 t 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 t 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 t Obrázek 4.6: RC integrační obvod, průběh napětí při buzení periodickými impulsy 4.2 Derivační RC obvod se skokem napětí V praxi se rovněž setkáme s obvodem, který je vytvořen ze stejných elementů jako právě popsaný obvod, ale uživatel pozoruje přechodné děje na svorkách rezistoru (obr. 4.7). Jde o obvod označovaný jako derivační článek RC, nebo horní propust. O výstižnosti tohoto označení platí totéž, co jsme uvedli na počátku této kapitoly o obvodu integračním. Protože tímto obvodem prochází stejný proud jako obvodem integračním, snadno z výrazu, který jsme uvedli pro průběh proudu v integračním obvodu, odvodíme časový průběh napětí na výstupu obvodu derivačního u 2 (t) = [u 2 (t i ) + u 1 (t i )] e t t i τ pro t t i. (4.6) Pro aplikace ve výpočetní technice je zvláště zajímavé chování obvodu s impulsním buzením a s buzením periodicky se opakujícími impulsy. Podobně jako u integračního obvodu ukazuje obr. 4.9 pro derivační obvod výstupní napětí s dvěma různými časovými konstantami, a to při impulsním
KAPITOLA 4. VÝPOČTY V ČASOVÉ OBLASTI 46 C R u 1 (t) u R (t). Obrázek 4.7: RC derivační obvod u 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 ta 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 c Obrázek 4.8: Časový průběh napětí na výstupu derivačního obvodu buzeného skokem napětí buzení impulsem o délce 1 µs, s rozkmitem 0 +10 V. V prvém grafu jde o obvod s časovou konstantou 0,1 µs, druhý graf odpovídá odezvě obvodu s časovou konstantou 1 µs. I když to není z obrázku 4.9 jasně patrno je plocha vymezená časovým průběhem nad osou napětí a pod osou napětí stejná. Pokud se vstupní impuls svou sestupnou hranou vrátí k výchozí stejnosměrné úrovni, ke které je superponován, budou obě plochy stejné a výstupní napětí se ustálí na nule, a to i pro případ, že jsme použili impulsní průběh kladné polarity U = 0 10 0 V, i pro případ skoků U = 10 0 10 V, nebo U = 5 +5 5 V, apod. Tato vlastnost plyne z toho, že kapacitorem nemůže trvale procházet stejnosměrný proud proud náboj do kapacitoru ukládá, náboj musí být proudem opačného směru odveden, v ustáleném stavu
KAPITOLA 4. VÝPOČTY V ČASOVÉ OBLASTI 47 12,0 8,0 u [V] u [V] u [V] 4,0 0,0 0,0 1,0 2,0 3,0 12,0 8,0 4,0 0,0-4,0-8,0-12,0 12,0 8,0 4,0 0,0-4,0-8,0 t [µs] 0,0 1,0 2,0 3,0 t [µs] -12,0 0,0 1,0 2,0 3,0 t [µs] Obrázek 4.9: RC derivační obvod, průběh napětí při buzení impulsem je proud nulový. Obecně můžeme říci, že derivační obvod odděluje stejnosměrnou složku každého vstupního signálu tak, že výstupní signál stejnosměrnou složku nemá. To se ukáže i v případě buzení derivačního obvodu periodickými impulsy. Na obrázku 4.10 je naznačena situace analogická k příkladu buzení integračního obvodu periodickými impulsy. Nejprve je uveden příklad buzení obvodu impulsy s periodou 1 µs a střídou 0,7 (impuls):0,3 (mezera) s tím, že časová konstanta obvodu je 0,1 µs. V druhém případě je časová konstanta obvodu 5 µs. V prvém případě lze přiznat obvodu roli obvodu derivačního, protože generuje jednotlivé impulsy, které svou polaritou a krátkostí trvání připomínají derivaci skoků (derivace ideálního skoku je nekonečně krátký impuls). Kdyby skoky nebyly strmé, rozkmit impulsů by se měnil tak, že méně strmým skokům ve vstupním napětí by odpovídaly nižší impulsy na výstupu obvodu, což odpovídá představě derivace. Pro velkou časovou konstantu je činnost obvodu derivačním účinkům vzdálena. Užitek obvodu spočívá v tom, že za těchto podmínek přenáší tvarově věrně vstupní impulsy s tím, že po odeznění přechodného děje má výstupní signál nulovou stejnosměrnou složku. Vidíme, že se posunul tak,
KAPITOLA 4. VÝPOČTY V ČASOVÉ OBLASTI 48 u [V] u [V] u [V] 12,0 8,0 4,0 0,0-4,0-8,0-12,0 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 12,0 8,0 4,0 0,0-4,0-8,0-12,0 12,0 8,0 4,0 0,0-4,0-8,0-12,0 t [µs] 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 t [µs] 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 18,0 20,0 t [µs] Obrázek 4.10: RC derivační obvod, průběh napětí při buzení periodickými impulsy že vrcholy impulsů sahají do úrovně 3 V a paty impulsů do úrovně -7 V, což nepochybně odpovídá skutečnosti, že plocha vymezená průběhem signálu nad vodorovnou osou je stejná jako pod ní. Takto by se posunul impulsní průběh s uvedeným poměrem impuls:mezera at by byl vstupní signál superponován na jakékoli napětí, nejen k nule, jak je uvedeno. 4.3 Obvody RL Derivační a integrační článek RL ukazuje obrázek 4.11 Pro integrační článek složený z induktoru a rezistoru buzený skokem napětí v čase t i platí pro t t i ( u 2 (t) = u 2 (t i )+[u 1 (t i ) u 2 (t i )] 1 e t t i τ kde τ = L R. ) = u 1 (t i )+[u 2 (t i ) u 1 (t i )] e t t i τ, (4.7)
KAPITOLA 4. VÝPOČTY V ČASOVÉ OBLASTI 49 L R R L u 1 (t) u 2 (t) u 1 (t) u 2 (t) integrační obvod derivační obvod Obrázek 4.11: RL obvody Proud obvodem je dán i(t) = u 2(t) R. (4.8) Chování obvodu pro R 0 jsme již popsali v úvodu o elementárních obvodových prvcích. Zde bychom s použitím pravidel pro výpočet limity potvrdili, že pro R 0 (samozřejmě u 2 (t) 0) skutečně platí i(t) = u 1(t i ) t, L tedy induktor bude způsobovat lineární nárůst proudu s časem. Pro derivační článek složený z induktoru a rezistoru buzený skokem napětí v čase t i platí pro t t i u 2 (t) = u 2 (t i ) + [u 1 (t i ) u 2 (t i )] e t t i τ, kde τ = L R. (4.9) Povšimněme si, že u integračního obvodu se v okamžiku skoku vstupního napětí nezmění napětí na rezistoru R (mění se teprve s přibývajícím časem). V prvém okamžiku se induktor chová jako setrvačný prvek udržující v obvodu proud, který tam procházel v čase t < t i, tedy i(t i ) = u 2 (t i )/R. Je tedy na místě úvaha, co se stane, když se v nějakém ustáleném stavu změní skokem hodnota odporu R na hodnotu R. Z obou výše uvedených vztahů lze odvodit, že se skokem změní u 2 (t i ) na hodnotu u 2(t i ) = R u 2 (t i ) (4.10) R a proběhne přechodný děj podle vztahu pro integrační obvod, a to s novou časovou konstantou a s původním ustáleným napětím u 2 (t) u 1 (t i ) (s novým proudem v obvodu).
KAPITOLA 4. VÝPOČTY V ČASOVÉ OBLASTI 50 Na obrázku 4.12 je uveden příklad odezvy integračního obvodu s induktorem, kdy zdroj napětí u 1 (t) = U = konst. = 0,5 V, odpor R = 1 Ω, a indukčnost L = 4 H. V čase t = 4 s se hodnota odporu skokem změní na 4 Ω. V ustáleném stavu před změnou velikosti odporu bude obvodem procházet proud 0,5 A. V okamžiku skokové změny odporu bude proud induktorem protékat dál a na rezistoru 4krát větším se skokem zvětší napětí na čtyřnásobek. Přechodný děj však potom ustálí výstupní napětí obvodu na 0,5 V a obvodem bude procházet proud 0,125 A. 2 u [V] R 1 R 2 1 0,5 0 4 8 12 16 20 t [s] Obrázek 4.12: Odezva na skokovou změnu odporu Z uvedeného příkladu plynou prakticky velmi významné poznatky: V obvodu s induktorem můžeme vytvořit situaci, kdy se na svorkách některých součástek může objevit napětí vyšší, než má kterýkoli zdroj napětí. To využíváme ve zdrojích napájecích napětí a v zapalovacích soustavách automobilů Pokud skokem změníme odpor v obvodu k nekonečnu rozpojíme obvod, vznikne skok s teoreticky nekonečným napětím (které zanikne v teoreticky nekonečně krátkém okamžiku). Prakticky to znamená, že při rozpojování obvodů, ve kterých jsou cívky, mohou vznikat napět ové špičky s možnými destruktivními projevy (např. zničené tranzistory). 4.4 Rezonanční obvod v časové oblasti Na obrázku 4.13 je sériový rezonanční obvod, ve kterém budeme zkoumat časový průběh proudu, když připojený zdroj napětí vytvoří napět ový skok. Konkrétní výpočty založené na odvozených rovnicích budou vycházet z parametrů uvedených na obrázku. Napět ový skok je předpokládán s hodnotou
KAPITOLA 4. VÝPOČTY V ČASOVÉ OBLASTI 51 i(t) R U 0 L 2,533 H C 1 µf. Obrázek 4.13: Sériový rezonanční obvod U 0 = 10 V. Hodnota indukčnosti induktoru je zvolena tak, že rezonanční kmitočet LC obvodu je 100 Hz. Ze druhého Kirchhoffova zákona odvodíme rovnici pro výpočet obvodového proudu. Z matematického popisu vlastností jednotlivývh prvků obvodu s nulovými počátečními podmínkami získáme integrodiferenciální rovnici: Ri + L di dt + 1 C t 0 i(τ)dτ = U 0 pro t > 0 a u C (0+) = 0. (4.11) Připomeňme rezonanční kmitočet a zaved me činitel tlumení 1 LC = ω2 r, α = R 2L = ω r 2Q, (4.12) Hodnota rezonančního kmitočtu již byla zmíněna (ω r = 2πf r 628 [rad/s]) a α bude záviset na hodnotě odporu rezistoru R. Pro rovnici 4.11 se skokem napětí na vstupu je známo řešení ve tvaru i(t) = U 0 ( e λ 1 t e ) λ 2t (4.13) L(λ 1 λ 2 ) kde λ 1,2 = α ± α 2 ω 2 r (4.14) Zvláštní tvar bude mít časový průběh proudu pro případ, že ω r = α. Bude to exponenciální impuls popsaný rovnicí (4.15), zobrazený na obr. 4.14 i(t) = U 0 L t e αt (4.15)
KAPITOLA 4. VÝPOČTY V ČASOVÉ OBLASTI 52 25mA 0 0 20ms Obrázek 4.14: Mezní aperiodická odezva rezonančního obvodu R = 3183Ω Pokud λ 1,2 jsou dvě reálná čísla (α > ω r ), bude časový průběh i(t) = U 0 e αt 2L α 2 ω 2 r ) (e t α 2 ωr 2 e t α 2 ωr 2 (4.16) Průběh odezvy pro reálné kořeny rovnice (4.14) je na obr. 4.15. Týl impulsu je v tomto případě vždy delší, než na obr. 4.14. V obvodu podle obr. 4.13 je dvojice reálných λ 1,2 pro hodnotu R = 3500 Ω λ 1 = 403.61 a λ 2 = 978.16 2.5mA 2 1.5 t=[0:0.0001:0.02]; 1 U=10; R=3500; C=1e-6; 0.5 L=2.533; alfa=r/(2*l) 0 omegar=1/sqrt(l*c) fr=omegar/(2*pi) 0 20ms i=(u*exp(-alfa*t)/(2*l*sqrt(alfa^2-omegar^2))). *(exp(t*sqrt(alfa^2-omegar^2))-exp(-t*sqrt(alfa^2-omegar^2))); plot(t,i) Obrázek 4.15: Aperiodická odezva rezonančního obvodu R = 3500Ω i(t) = Pokud λ 1,2 jsou dvě komplexně sdružená čísla (α < ω r ), bude U 0 e αt ( 2jL e jt ωr α 2 2 e jt ωr α 2 2) = ωr 2 α 2 U 0e α t ( L ωr 2 α sin t ) ω 2 2 r α 2 (4.17)
KAPITOLA 4. VÝPOČTY V ČASOVÉ OBLASTI 53 Takto popsaný přechodný děj ukazuje obr. 4.16. Obvod je málo tlumen tím, že rezistor má nízkou ohmickou hodnotu a výměna energie mezi induktorem a kapacitorem vytváří kmity proudu obou polarit. V obvodu podle obr. 4.13 je dvojice komplexně sdružených λ 1,2 pro hodnotu R = 400 Ω λ 1,2 = 78.958 ± 623.341j 6mA 5 4 3 2 1 t=[0:0.0001:0.1 ]; 0 U=10; R=400; -1 C=1e-6; -2 L=2.533; -3 alfa=r/(2*l) omegar=1/sqrt(l*c) -4mA fr=omegar/(2*pi) 100ms i=(u*exp(-alfa*t)/(2*l*sqrt(alfa^2-omegar^2))). *(exp(t*sqrt(alfa^2-omegar^2))-exp(-t*sqrt(alfa^2-omegar^2))); plot(t,i) Obrázek 4.16: Periodická odezva rezonančního obvodu R = 400Ω
Kapitola 5 Přenos impulsů, homogenní vedení Výpočetní technika pracuje téměř výhradně s impulsními signály. Pro popis impulsních signálů se používají parametry a charakteristiky, které umožňují posoudit, zda signál může nebo nemůže sloužit k reprezentaci binárních informací v systému s určitou rychlostí výpočetních operací. 5.1 Parametry impulsního signálu Na obrázku 5.1 je uveden minimální soubor charakteristik impulsního signálu, s kterým budeme dále pracovat. Pro určité oblasti aplikací je takový soubor možno rozšířit o údaje, které postihnou vlastnosti signálu pro dané použití. t r t f u vrchol impulsu (u i ) 90%u i 50%u i t d t i u i 10%u i pata čelo týl t Obrázek 5.1: Impulsní signál Časový průběh impulsu jsme zjednodušili na čtyři intervaly. Před impulsem a po jeho zániku odpovídá napětí na vybraném místě systému hodnotě 54
KAPITOLA 5. PŘENOS IMPULSŮ, HOMOGENNÍ VEDENÍ 55 označované jako napětí paty impulsu. Impuls má po odeznění přechodného děje napětí odpovídající vrcholu impulsu u i.[4] Časový průběh vytvoření a ukončení impulsu je charakterizován takto: t r je doba trvání čela (náběhu) impulsu (rise time) a měří se jako čas, který impulsní napětí potřebuje k přechodu mezi 10% u i a 90% u i. t f je doba trvání týlu (poklesu) impulsu (fall time) a měří se jako čas, který impulsní napětí potřebuje k přechodu mezi 90% u i a 10% u i. t d je doba zpoždění čela impulsu (delay time) a může být vztažena k jakémukoli časovému okamžiku, obvykle před příchodem čela. Obecně může být vztažena i k okamžiku pozdějšímu, pak má záporné znaménko. Pokud se vztahuje k jinému impulsu, bývá měřena rovněž vůči okamžiku, kdy tento impuls prochází úrovní 50% u i. t i doba trvání impulsu u periodicky se opakujících impulsů se uvádí kmitočet nebo perioda opakování impulsu střída (duty cycle), tj., poměr doby trvání impulsu k době trvání paty, opět měřeno v úrovni 50% u i 5.2 Přenos impulsního signálu 5.2.1 Přenos lineárním obvodem Nyní můžeme jako příklad uvést vlastnosti impulsů, které produkuje integrační článek, pokud je buzen impulsy s dostatečně strmým čelem. (viz obr. 4.2) ( ) ui 0 t d = τ ln = τ ln2 0, 7τ (5.1) u i 0, 5u i ( ) ui 0, 1u i t r = t f = τln = τ ln9 2, 2τ (5.2) u i 0, 9u i V praxi však nejčastěji pracujeme s impulsními signály, které postupují z jednoho bloku do druhého s tím, že jak na vstupu, tak na výstupu jsou deformovány a k jejich popisu máme právě jejich časové charakteristiky reprezentované uvedenými parametry. Přesné výpočty, vycházející z analýzy modelů vnitřního uspořádání bloků, lze provést simulačními programy. To
KAPITOLA 5. PŘENOS IMPULSŮ, HOMOGENNÍ VEDENÍ 56 může být velmi obtížné, pokud neznáme dokonale model všech částí systému. Pro přibližné hodnocení obvodů a systémové úvahy lze použít následující postup. Mějme lineární systém uvedený na obrázku 5.2. Je charakterizován bud časem t rs, tj. trváním čela impulsu, který se na jeho výstupu objeví, pokud je na jeho vstup zaveden impuls s dostatečně strmým čelem, nebo je charakterizován horním mezním kmitočtem ω hs = 2 πf hs, tedy kmitočtem, na kterém jeho modulová frekvenční charakteristika poklesne o 3 db, pokud na nízkých kmitočtech vykazuje v určitém pásmu kmitočtů konstantní hodnotu (což bývá většinou splněno). Tento kmitočet umíme vypočítat pro jednoduchý RC obvod. Systémy však bývají složitější a potom je údaj o mezním kmitočtu nebo šířce přenášeného kmitočtového pásma významnou informací. Obrázek 5.2: Impulsní signál v lineárním obvodu Pro toto uspořádání jsou užitečné následující přibližné vztahy [4]: 0, 35 t rs (5.3) f hs t ro t 2 ri + t2 rs (5.4) Prvý vztah říká, že pokud zavedeme na vstup systému ideální skok napětí, bude na jeho výstupu impuls znehodnocen tak, že jeho čelo bude trvat dobu t rs. Jestliže si např. koupíme zesilovač, který má horní mezní kmitočet 1 MHz, tak nemůžeme na jeho výstupu nikdy očekávat impulsy s kratším čelem než 350 ns. Nebo, pokud chceme zesílit impulsy např. z fotodiody optického spoje tak, že budou přímo odpovídat požadované strmosti impulsů v rodině logických členů s t r =10 ns, pak musí mít zesilovač šířku pásma alespoň 35 MHz. To by však musela dioda produkovat čela impulsů výrazně strmější než 10 ns. Pokud bude fotodioda sama produkovat impulsy s čelem např. 10 ns, pak podle druhého vztahu bude mít tentýž zesilovač na výstupu impulsy s t ro (100 + 100) 14 ns. 5.2.2 Impulsy v obvodech s logickými členy V obvodech s logickými členy je situace složitější, než jsme zatím předpokládali. Logické členy jsou obvody se spínači a dalšími nelineárními obvodovými ele-
KAPITOLA 5. PŘENOS IMPULSŮ, HOMOGENNÍ VEDENÍ 57 menty. V předchozím textu jsme nikde neuvedli žádný údaj o frekvenční charakteristice, která by popisovala logický člen, protože výpočet ve frekvenční oblasti vyžaduje analýzu za podmínek harmonického ustáleného stavu. V takových podmínkách logické členy nikdy nepracují. Výše uvedené úvahy se vztahují k obvodům, v jejichž modelech většinou rozhoduje o strmosti impulsních průběhů napětí proces nabíjení kapacitorů a strmost změn proudu určuje působení induktorů, tedy v obvodech, které lze v harmonickém ustáleném stavu analyzovat. Pro logické členy jsme uvedli časový údaj o zpoždění odezvy. V katalozích také nalezneme údaj o strmosti hran impulsů generovaných na výstupu logického členu. Tento údaj je možno využít ve vztahu 5.4, a to kdykoli se počítá se vstupem takového impulsu do lineární soustavy, tedy i v situaci, kdy impuls vedeme na vstupy dalších obvodů. Jedinou podmínkou je, že lze výstupní obvod logického členu reprezentovat napět ovým zdrojem s lineárním výstupním odporem a vstup následujících obvodů rovněž modelovat lineárními obvodovými prvky. Umíme si tak vysvětlit, proč se strmost čela a týlu impulsu na výstupu logického členu výrazně mění, když k jeho výstupní svorce připojujeme kondenzátory s různou kapacitou. Roli připojovaných kondenzátorů jistě plní i různý počet připojených vstupů dalších logických obvodů. Obrázek 5.3 ukazuje výstupní napětí logického členu 74HC00 při různých hodnotách připojeného kondenzátoru. Konkrétní hodnoty v obrázku reprezentují připojení jednoho nebo deseti vstupů logických členů téže technologické rodiny. Obrázek 5.3: Kapacitní zátěž invertujícího logického členu
KAPITOLA 5. PŘENOS IMPULSŮ, HOMOGENNÍ VEDENÍ 58 5.3 Homogenní vedení 5.3.1 Model dlouhého vedení Zátěží pro výstup logického členu jsou i spojovací vedení. Pro kabely i paralelně vedené spoje na desce plošných spojů jsou uváděny typické hodnoty kapacity v pikofaradech na metr. Vodič má však charakter nejen kapacitní, ale vykazuje na jednotku délky také indukčnost (nh/m), odpor (Ω/m) a ztrátovou vodivost mezi vodiči (S/m). Každý úsek vedení pak lze modelovat obvodovými prvky podle obrázku 5.4. [8] vedení se ztrátami R/2 L/2 L/2 R/2 C G bezeztrátové vedení L/2 L/2 C Obrázek 5.4: Model úseku vedení Nahoře je model vedení se ztrátami jak na sériovém odporu vedení R, tak na nedokonalé izolaci mezi vodiči G. Dole je náhradní obvod úseku vedení, ve kterém jsou zanedbány ztráty a který se obvykle používá při simulaci logických systémů. Uvedený model vystihuje jakkoli dlouhý spoj. V obvodech zpracovávajících velmi vysoké kmitočty, nebo velmi strmé časové průběhy však musíme respektovat skutečnost, že kapacita není soustředěna uprostřed vedení, ale je rozložena rovnoměrně podél celého spoje. Vedení tedy rozdělíme na řadu na sebe navazujících krátkých úseků podle obrázku 5.5. Nezbytnost takového modelování ukazuje jednak experimentální zkušenost, jednak i výsledek simulace. Následující obr. 5.6 ukazuje simulaci přenosu impulsu vedením o délce 50 cm, které má kapacitu 100 pf/m a indukčnost 250 nh/m. Na prvém obrázku je zobrazen výstupní signál pro model složený ze soustředěných parametrů (tedy podle obr. 5.4 nahoře s parametry 50 pf
KAPITOLA 5. PŘENOS IMPULSŮ, HOMOGENNÍ VEDENÍ 59 L/2 L L L L L L/2 C C C C C C Obrázek 5.5: Model bezeztrátového vedení s rozloženými parametry a L/2 = 62, 5 nh), na druhém obrázku je tentýž signál přenesen modelem s parametry rozloženými do pěti sekcí po deseti centimetrech (C = 5 pf a L/2 = 12, 5 nh, L = 25 nh)) a na třetím obrázku je simulace přenosu vedením, jehož model vychází z teoretického odvození modelu pro nekonečné množství nekonečně krátkých sekcí. Z uvedeného popisu vlastností vedení plyne významný poznatek. Vedení, ač je charakterizováno kapacitou na jednotku délky, se nechová jako kapacitní zátěž obvodu. Přítomnost rozložené indukčnosti vytváří strukturu, která vnáší do přenosu zpoždění. Vedení, které je složeno jen z rozložené indukčnosti a kapacity je bezeztrátové, neztrácí se v něm činný výkon a pro stejnosměrné, nebo pomalu se měnící signály se chová jako dokonalý vodič. Vedení může být i velmi dlouhé a rychlé změny napětí na vstupu nemohou být ovlivněny obvody na výstupu vedení (není tam do té dálky vidět), takže na zdroj signálu působí jen vstup vedení. Z teorie vedení plyne, že se bezeztrátové vedení pro vstupující signál chová jako reálný odpor, tzv. charakteristická impedance Z 0. Na svém výstupu se vedení chová rovněž jako zdroj s vnitřním odporem odpovídajícím charakteristické impedanci. Signál však dospěje na výstup se zpožděním t d. Část napětí, které se na výstupu vedení vytvoří se může vracet zpět jako tzv. odražená vlna a po příslušném zpoždění se projeví na vstupních svorkách. Vstup se tedy něco dozví o poměrech na výstupu vedení až po uplynutí dvojnásobné doby t d. Na konci vedení se superponuje odražená vlna k příchozí napět ové úrovni a šíří se zpět ke zdroji, kde se opět může odrazit. Na celém vedení se vytvoří podmínky odpovídající ustálenému stavu (stavu, který by tam byl, kdybychom vedení nahradili zkratem) až po odeznění všech odrazů na koncích vedení. Dlouhé vedení se chová na obou koncích jako obvod s impedancí danou Z 0. Jde však o obvod, kterým se šíří vlna, která postupně energii ukládá do bezeztrátových prvků L a C a na konci vedení ji odevzdává do zátěže. Pro charakteristickou impedanci platí
KAPITOLA 5. PŘENOS IMPULSŮ, HOMOGENNÍ VEDENÍ 60 Obrázek 5.6: Simulace vedení s rozloženými parametry L Z 0 = C, (5.5) kde L je indukčnost a C je kapacita vedení na jednotku délky. Zpoždění na jednotku délky je dáno vztahem t d = L C. (5.6) Následující tabulka ukazuje hodnoty parametrů charakterizujících některé typy vedení. L [nh/m] C [pf/m] Z 0 [Ω] t d [ns/m] vodič ve vzduchu 2000 6 600 3,5 kroucená dvoulinka 500-1000 50-100 80-120 5-10 plochý kabel 500-1000 50-100 80-120 5-10 koax. kabel 250 100 50 5
KAPITOLA 5. PŘENOS IMPULSŮ, HOMOGENNÍ VEDENÍ 61 Uspořádání obvodu, ve kterém se uplatňuje vliv dlouhého vedení, lze znázornit obrázkem 5.7. R 0 Z 0 t d u 0 u A u B R z Obrázek 5.7: Obvod s vedením Naznačený úsek vedení má charakteristickou impedanci Z 0 a zpoždění t d. Tyto hodnoty můžeme vypočítat ze známých parametrů vedení indukčnosti a kapacity na jednotku délky a z délky vedení. Většinou však jsou v praxi dány (z katalogu) spíše údaje o Z 0 a t d. Na vstup vedení je připojen impulsní signál ze zdroje s vnitřním odporem R 0. Signál je veden z tohoto zdroje do zátěže R s. I když je charakteristická impedance reálná, má hodnotu odporu v ohmech, jeví se nám v prvém okamžiku jako rezistor a vytvoří s vnitřním odporem zdroje reálný dělič napětí, je vedení nutno považovat za setrvačný element, jehož chování je určováno induktivním a kapacitním charakterem jeho náhradního obvodu. Funkci takového uspořádání lze chápat i tak, že se vedení nejprve nabíjí na přiložené napětí a pak svůj náboj odevzdává do zátěže. Celý proces je však provázen daným poměrem napětí a proudu (určuje ho charakteristická impedance spolu s vnitřním odporem zdroje signálu), které na vstupu vedení panují. Na zatěžovacím rezistoru zdaleka nemusí procházející proud vytvořit napětí, na které je kapacita vedení nabita. To vede k tomu, že na konci vedení můžeme pozorovat odraz přicházející vlny. Bud přicházející proud vytvoří vyšší napětí, než které jsme do vedení vyslali a tento rozdíl se projeví jako signál na výstupu vedení odeslaný zpět na vstup, nebo je přicházející napětí nižší než je napětí, které na zátěži vytvoří přicházející proud a takto vzniklý rozdíl se opět šíří po vedení zpět k jeho začátku. Pro popis chování takového obvodu můžeme zavést dva koeficienty odrazu ρ A = R 0 Z 0 R 0 + Z 0 a ρ B = R z Z 0 R z + Z 0. (5.7) Je-li na vstup v čase t = 0 zaveden impuls o velikosti U = u 0 (0) platí následující vztahy
KAPITOLA 5. PŘENOS IMPULSŮ, HOMOGENNÍ VEDENÍ 62 Potom Z 0 u A (0) = U, u B (0) = 0. (5.8) Z 0 + R 0 u B (t d ) = u A (0)(1 + ρ B ) u A (2t d ) = u A (0)(1 + ρ B + ρ B ρ A ) u B (3t d ) = u A (0)(1 + ρ B + ρ B ρ A + ρ B ρ A ρ B ) u A (4t d ) = u A (0)(1 + ρ B + ρ B ρ A + ρ B ρ A ρ B + ρ B ρ A ρ B ρ A ) R z u B ( ) = u A ( ) = U. (5.9) R z + R 0 Názorně to ukazuje obrázek 5.8 pro případ, že Z 0 = 50 Ω, R 0 = 30 Ω a R z = 70 Ω. Je tedy ρ A = 0, 25 a ρ B = 0, 1667. Obrázek 5.8: Odrazy na vedení V uvedeném grafu nabývá napětí u A postupně hodnot 6,25 V, 7,03 V a 7 V, zatímco napětí u B hodnot 0 V, 7,29 V, 6,99 V, 7 V. Lze ukázat, že při vhodné volbě hodnot rezistorů R 0 a R z nedojde k žádnému odrazu, nebo odraz nenaruší tvar výstupního signálu. Jsou to případy, kdy je vedení impedančně přizpůsobeno, a to bud na začátku, nebo na konci. Impedančního přizpůsobení dosáhneme, pokud bude ρ B = 0, tedy tehdy, kdy R z = Z 0. Vedení je na svém konci impedančně přizpůsobeno a napětí se na výstupu ustálí okamžitě po uplynutí doby t d. Na vstupu je napětí odpovídající ustálenému stavu okamžitě s příchodem vrcholu vstupního impulsu a již se nezmění.
KAPITOLA 5. PŘENOS IMPULSŮ, HOMOGENNÍ VEDENÍ 63 ρ A = 0 a ρ B = 1, tedy tehdy, kdy R 0 = Z 0 a současně R z. Vedení je impedančně přizpůsobeno ke zdroji signálu a na výstupu je naprázdno (častý případ spojení obvodů CMOS, kdy výstupní vnitřní odpor logického členu má hodnotu blízkou charakteristické impedanci a výstup vedení je zapojen na vstup izolovaných hradel). V tomto případě se na vstupu vedení vytvoří nejprve napětí poloviční než má zdroj impulsu, takový impuls se šíří vedením, na jehož konci se při odrazu zdvojnásobí na hodnotu shodnou s napětím zdroje, a když odražená vlna dorazí zpět na vstup, ustálí se vstupní napětí na vrcholu vstupního impulsu. (Nelze tedy na výstup logického členu připojit současně se vstupem vedení vstupy dalších logických členů, protože by po dobu 2t d měly na vstupu nedovolenou napět ovou úroveň). ρ A = 0 a ρ B = 1, tedy tehdy, kdy R 0 = Z 0 a současně R z = 0. Vedení je přizpůsobeno na vstupu a na konci je zkrat. Na vstupu vedení se vytvoří napětí poloviční než je napětí zdroje U. Vlna s touto výškou se šíří ke konci vedení a odrazí se s opačnou polaritou (na zkratu je nulové napětí) a za dobu 2t d se na vstupu vedení vytvoří ustálené nulové napětí. Takto lze generovat na vstupu vedení krátké, poměrně přesně časově definované impulsy. Dosavadní výklad by mohl vést k úvaze, že jsou všechny zdroje signálu trvale zatíženy charakteristickými impedancemi připojených vodičů. To však platí jen v době, kdy se ze zdroje šíří dopředná vlna a na vstupních svorkách nepůsobí odražené vlny. Pokud se napětí na vedeních mění tak pomalu, že se zpětná vlna vrátí dříve, než se vstupní signál výrazně změní, pak lze vstup vedení považovat za obvod se soustředěnými parametry a počítat s ním jako s vodičem o nulovém odporu, který nechá na výstup zdroje působit přímo připojený vstup navazujícího obvodu. Pro posouzení nutnosti řešit spoj s ohledem na odrazy a související defekty v napět ových úrovních platí empirický vztah [8] t r 2 t d l, (5.10) který říká, že vedení o délce l ovlivní významně přenos impulsů, pokud impulsy mají trvání čela kratší, než je dvojnásobek doby zpoždění. Např. pro kroucený pár se zpožděním t d = 10 ns/m a impulsy s časem t r = 2 ns, začne být vliv odrazů významný již od délky spoje 10 cm.
KAPITOLA 5. PŘENOS IMPULSŮ, HOMOGENNÍ VEDENÍ 64 5.3.2 Grafická konstrukce odrazů Na obr. 5.9 je grafická konstrukce, která představuje určitou analogii k obr. 2.7. Je tam vyznačeno, jak bude rozděleno napětí u i mezi vnitřní odpor zdroje signálu a zatěžovací odpor. Potud jde o shodu s uvedeným obrázkem. Na obrázku je však zakreslena situace, kdy se vytvoření výsledného rozdělení napětí na děliči R 0 R s odehraje jako postupné ustálení obvodu s odrazy čela impulsu, který napětí u i do obvodu zavedl. [8] R 0 i u z Rz Z0 u u 0 Obrázek 5.9: Odrazy na vedení - grafická konstrukce Grafická konstrukce ukazuje, jak se v prvém okamžiku rozdělí napětí mezi vnitřní odpor zdroje a charakteristickou impedanci. Tak je vytvořena vlna napětí a proudu, která na výstupu vedení narazí na zatěžovací rezistor R s a vygeneruje odraženou vlnu, která se po návratu na vstup setká s generátorem impulsu a jeho vnitřním odporem R s. Postupnými odrazy vlny se nakonec obvod dosatne do podmínek odpovídajících stejnosměrnému řešení. Na obrázku lichá čísla odpovídají lichým násobkům zpoždění t d, sudá sudým. Na vodorovné ose lze odečíst v bodech odpovídajících lichým číslům vývoj napětí na vstupu vedení a v bodech odpovídajících sudým číslům vývoj napětí na
KAPITOLA 5. PŘENOS IMPULSŮ, HOMOGENNÍ VEDENÍ 65 výstupu vedení, a to vždy s odpovídajícím násobkem t d na časové ose. Uvedený diagram s poněkud jinak zvolenou orientací os je znám z literatury jako tzv. Bergeronův diagram a podobně jako umožňuje obr. 2.7 odvozovat stejnosměrná řešení v nelineárních obvodech, umožňuje Bergeronův diagram v nelineárních obvodech graficky znázorňovat časové průběhy odrazů na vstupních i zatěžovacích obvodech dlouhého vedení. V předchozím textu jsme jednoznačně poukázali na to, že je třeba každé dlouhé vedení ošetřit tak, aby na něm nevznikaly odrazy. Superpozice užitečných signálů s jejich nežádoucími odrazy mohou způsobit úplné ochromení elektronických obvodů určených pro příjem a dekódování dat. Proto jsou všechny datové sítě i poměrně krátké spoje uvnitř počítačů vždy vytvořeny tak, aby bylo vyhověno požadavkům na bezodrazové vzájemné spojení.
Kapitola 6 Magnetické účinky proudu Magnetických jevů jsme se dotkli v úvodních kapitolách, když jsme hledali vztahy mezi obvodovými veličinami na svorkách induktoru. Tam jsme definovali magnetický indukční tok Φ. Nyní stručně shrneme další poznatky o magnetismu a o vztazích mezi elektrickým proudem, magnetickou indukcí a jevy v magnetickém poli. [7] S proudem procházejícím vodičem bezprostředně souvisí magnetický indukční tok. Geometrie uspořádání vodičů (cívka, rovný vodič, dvojice vodičů) a prostředí v okolí vodičů určují pro vybrané místo v magnetickém poli hustotu a tvar magnetických siločar magnetickou indukci B. Pro magnetickou indukci B platí vyjádření B = Φ S, (6.1) kde S je plocha kolmá k siločarám a B je magnetická indukce v jednotkách tesla [T] (1T=1Wb/m 2 ). Kolik magnetického toku vytvoří elektrický proud je z hlediska obvodových veličin postiženo definicí indukčnosti, ale z hlediska magnetických jevů v okolí vodiče není tento systém vztahů reprezentativní. Pro magnetické účinky proudu je zavedena veličina nezávislá na prostředí intenzita magnetického pole H, která má rozměr [A/m]. Tuto intenzitu má magnetické pole uprostřed kruhového závitu o poloměru 1 m, pokud závitem protéká proud 1 A. Pro magnetickou indukci, kterou pole H vytvoří, platí B = µh, (6.2) kde µ je permeabilita prostředí. Vidíme, že při daném proudu vodičem jsou, jak magnetický tok, tak magnetická indukce, závislé na prostředí, ve kterém je elektrický vodič s daným 66
KAPITOLA 6. MAGNETICKÉ ÚČINKY PROUDU 67 proudem umístěn. Bude na něm tedy závislá indukčnost cívky i přímého vodiče. Ve vzduchu je magnetická indukce určena konstantou µ 0 = 1, 256 10 6 H/m (6.3) Každý materiál v magnetickém poli vykazuje určitou permeabilitu obecně označovanou µ (s tímtéž rozměrem [H/m]). Je rovněž zaveden pojem relativní permeabilita µ r = µ/µ 0, bezrozměrná veličina určující poměr mezi permeabilitou daného materiálu a permeabilitou vzduchu. Materiály, s kterými se setkáváme v elektrotechnice, můžeme rozdělit takto: diamagnetické látky relativní permeabilita µ r < 1, např. měd, křemík, zlato, zinek, mosaz, grafit, paramagnetické látky relativní permeabilita µ r > 1, např. platina, alkalické kovy, feromagnetika nad Curieovým bodem, feromagnetické látky relativní permeabilita µ r 1, např. železo, nikl, kobalt, ferimagnetické látky chovají se jako feromagnetika, jedná se o všechny druhy feritů. Feromagnetické látky vykazují pokles relativní permeability s teplotou a nad Curieovou teplotou T C přechází feromagnetikum do paramagnetického stavu. Pro železo je T C = 768 C, pro nikl je T C = 360 C. Feromagnetické materiály jsou takové materiály, které mohou být zmagnetizovány působením vnějšího magnetického pole. Toto pole může být vytvořené permanentním magnetem nebo elektromagnetem. Feromagnetické látky jsou charakterizovány magnetizační křivkou. Typická křivka magnetizace je na obrázku 6.1. Uvažme nejprve materiál, který není zmagnetizován. Při zvyšování vnějšího magnetického pole H se zvyšuje také indukce B. Křivka vychází z počátku a dospěje k nasycení. Při snižování vnějšího pole se snižuje také indukce, ale závislost nesleduje původní křivku. Klesne-li vnější pole na nulu, zůstane v materiálu určitá magnetická indukce, která se nazývá remanentní magnetická indukce, remanence B r. Materiál je zmagnetován. Pokud se vnější pole dále snižuje, klesá i indukce. Intenzita pole, pro kterou je magnetická indukce nulová, se nazývá koercitivní intenzita, neboli koercitivita H c. Součin těchto dvou hodnot se někdy nazývá síla magnetu. Další pokles pole vyvolá vznik magnetizace ve směru opačném k původní magnetizaci. Křivka postupuje
KAPITOLA 6. MAGNETICKÉ ÚČINKY PROUDU 68 B Nasycení +B r H c +H c H B r Nasycení. Obrázek 6.1: Hysterezní křivka velmi podobně k nasycení, remanentní magnetizaci a koercitivitě s opačnou orientací. Podle tvaru hysterezní křivky se rozdělují magnetické materiály na magneticky měkké a magneticky tvrdé. Tvrdost je chápána jako tvrdá obrana materiálu před přemagnetováním. Tedy magneticky tvrdé materiály mají hysterezní křivku širokou, s velkou remanencí a koercitivitou. Lze ukázat, že k jejich přemagnetování v poli elektrického vodiče (v cívce) je potřeba velký elektrický výkon. Naproti tomu jsou materiály magneticky měkké, které se přemagnetovávají snadno. Křivku měkkého a tvrdého materiálu ukazuje obrázek 6.2. pravoúhlý B tvrdý H měkký Obrázek 6.2: Hysterezní křivka tvrdého a měkkého feromagnetika Na obrázku je uveden ještě jeden typ charakteristiky magnetického materiálu. Vhodným technologickým postupem lze materiál zpracovat tak, že jeho hysterezní křivka má velmi hranatý tvar pravoúhlou hysterezní charakteristiku. Takové materiály umožňují využití magnetické remanence
KAPITOLA 6. MAGNETICKÉ ÚČINKY PROUDU 69 k uchování binárních informací. To využívaly historicky nejstarší paměti s feritovými jádry. 6.1 Materiály magneticky měkké Magnetický indukční tok je skalární veličina Φ = BS (6.4) kde S je plocha kolmá k siločarám a Φ indukční tok v jednotkách weber [Wb] (1Wb=T m 2 ) Vztah mezi magnetickým tokem a proudem popisuje pro induktor rovnice Φ = L.i, i = Φ L, L = Φ i, (6.5) u = Φ/ t, nebo u(t) = dφ(t). (6.6) dt Jestliže je magnetický tok určen procházejícím proudem, pak lze ze změn proudu určit napětí na svorkách induktoru u(t) = L di(t) dt. (6.7) Napětí na svorkách induktoru (cívky) vznikne, pokud v něm budeme měnit magnetický tok pohybujícím se magnetem to je případ dynama a alternátoru. Napětí na svorkách induktoru (cívky) také vznikne, pokud magnetický tok v cívce bude měnit magnetický tok jiné cívky, kterou prochází proměnlivý (střídavý) proud to je případ transformátoru, resp. vázaných induktorů. 6.1.1 Konstrukce transformátoru Transformátor je vyroben tak, že elektrický proud vytváří v navinuté cívce (primární) magnetický tok, který, prochází-li jinou cívkou (sekundární), indukuje na jejích svorkách elektrické napětí. Již víme, že magnetický tok musí být časově proměnný, má-li v sekundární cívce napětí vyvolat. Proto i primární proud musí být proměnný, a jen jeho změny mohou vyvolávat potřebné změny indukčního toku. Transformátor tedy může transformovat z primární do sekundární cívky jen střídavé napětí, případně impulsní napětí s dostatečně vysokou rychlostí změn napět ových úrovní. Vlastnosti transformátoru lze v tomto ohledu přirovnat k vlastnostem derivačního obvodu,
KAPITOLA 6. MAGNETICKÉ ÚČINKY PROUDU 70 který rovněž nepřenáší stejnosměrné napětí ani proud. Transformátor tedy bude v konkrétním zapojení obvodu možno charakterizovat dolním mezním kmitočtem. Každý transformátor bude nepochybně vykazovat i omezenou šířku pásma v oblasti vysokých kmitočtů. Základní vztah, který popisuje vlastnosti transformátoru, vychází ze vztahu mezi indukčním tokem a indukovaným napětím (u je úměrné dφ/dt). Je-li transformátor uspořádán tak, že oběma cívkami prochází společný magnetický tok, můžeme předpokládat, že každý závit primární cívky vytvoří svůj příspěvek k celkovému toku. Celkový tok tak bude N 1 -násobkem toku vytvořeného jedním závitem primární cívky. Tentýž tok bude indukovat v sekundární cívce o N 2 závitech N 2 -násobek napětí, které připadlo na jeden závit cívky primární. Takže platí u 2 = N 2 N 2 u 2 = u 1 (6.8) u 1 N 1 N 1 Poznamenejme, že transformátor nelze vyrobit tak, že všechen tok primární cívky prochází sekundární cívkou. Rovnice tedy nebude platit přesně a pro popis reálných transformátorů se zavádějí různé koeficienty charakterizující dokonalost (stupeň) vazby mezi vinutími. Všechny konstrukce transformátorů se ideální vazbě mezi vinutími snaží přiblížit. Příkladem dobře fungujícího uspořádání může být transformátor na toroidním jádře. Při konstrukci obvodu s transformátorem je důležité nejen zajištění transformačního poměru N 2 /N 1, ale v obvodu vždy hraje velmi významnou roli i indukčnost primáru a sekundáru a energetické ztráty dané ohmickým odporem vinutí obou cívek a ztrátami, které přináší potřeba přemagnetovávat magnetické jádro, na kterém jsou cívky navinuty. Může pak být užitečné zadávat transformační poměr údajem o indukčnosti L 1 primární a indukčnosti L 2 sekundární cívky a činitelem vazby K. Ten si můžeme představit jako zlomek z indukčního toku vytvořeného primárem, který projde všemi závity sekundáru. Pro indukčnost cívky o N závitech, která má plochu závitu S a délku vedle sebe nakladených závitů l platí přibližný vztah L µ N 2 S. (6.9) l Ze vztahu vyplývá, že indukčnost cívky je úměrná kvadrátu počtu závitů, takže lze z měření na transformátoru usoudit na jeho přenos s využitím vztahu u 2 K u 1 L2 L 1 (6.10) N 1, N 2 počet závitů primární a sekundární cívky L 1, L 2 indukčnost primární a sekundární cívky
KAPITOLA 6. MAGNETICKÉ ÚČINKY PROUDU 71 i 1 i 2 N 1 N 2 u 1 Φ r1 Φ r2 u 2 L 1 L 2 Φ 1,2. Obrázek 6.3: Uspořádání transformátoru Φ r1 a Φ r2 jsou rozptylové magnetické toky, které jdou mimo vázanou cívku Φ 1,2 je magnetický tok procházející oběma cívkami, bez ohledu na to, která jej vytváří Ideální transformátor (bez rozptylových toků a odporů vinutí) dφ 1,2 dφ 1,2 u 2 = N 2, u 1 = N 1 dt dt (6.11) n = u 1 = N 1 (6.12) u 2 N 2 Ideální transformátor nerozptyluje výkon, je bezeztrátovým elementem, takže u 1 i 1 = u 2 i 2 u 1 = i 2 = N 1 L1 = = n (6.13) u 2 i 1 N 2 L 2 Transformace odporu ze sekundárního vinutí na primár R z = u 2 /i 2 (6.14) R z = u 1 i 1 = nu 2 i 2 /n = n2 u 2 i 2 = n 2 R z (6.15) Bezeztrátový transformátor s rozptylovými toky Indukčnost primární, resp. sekundární cívky má dvě složky: hlavní indukčnost L h1, resp. L h2, vytvořenou magnetickým tokem procházejícím oběma cívkami a rozptylovou indukčnost L r1, resp. L r2 s tokem, který jde mimo protější cívku. Rozptylová a hlavní indukčnost tvoří vázané induktory. Činitel vazby k 1, resp. k 2 udává poměr napětí na hlavní a rozptylové indukčnosti (převod autotransformátoru). Lh1 L r1 + L h1 = L 1 k 1 = L h1 = k L 1L 2 1 (6.16) 1
KAPITOLA 6. MAGNETICKÉ ÚČINKY PROUDU 72 Převod reálného transformátoru potom je L r1 = (1 k 2 1) L 1 (6.17) n = k 1 L1 L 2 k 1 N 1 N 2 (6.18) Pro dvoubránový popis je definována vzájemná indukčnost M M = k 1 k 2 L1 L 2 a kdy k 1 k 2 = k, pak M = k L 1 L 2 (6.19) M L r1 L r2 u 1 L 1 L 2 u 2 u 1 k1 2L 1 k2 2L u 2 2 Obrázek 6.4: Model bezeztrátového transformátoru Základní dvoubránové vztahy pro vázané induktory V časové oblasti di 1 u 1 (t) = L 1 dt ± M di 2 dt u 2 (t) = ±M di 1 dt + L di 2 2 dt Ve frekvenční oblasti (6.20) (6.21) Û 1 = jωl 1 Î 1 ± jωmî 2 (6.22) Û 2 = ±jωmî 1 + jωl 2 Î 2 (6.23) r L1 L r1 n 2 L r2 n 2 r L2 n : 1 L u h1 R h n 2 R z u 1 2 Obrázek 6.5: Úplný fyzikální model transformátoru R h1 je odpor, který reprezentuje ztráty v jádře transformátoru, r L1 a n 2 r L2 jsou odpory vinutí primáru a sekundáru
KAPITOLA 6. MAGNETICKÉ ÚČINKY PROUDU 73 Obrázek 6.6: Frekvenční charakteristika transformátoru 6.1.2 Obvodové vlastnosti transformátoru Frekveenční charakteristiku reálného transformátoru ukazuje obr. 6.6. Z údajů uvedených na obrázku můžeme odvodit, že N 2 /N 1 L 2 /L 1 = 10 u 2 /u 1 = A u, čemuž odpovídá v grafu zobrazený přenos ve středním pásmu kmitočtů A u = 20 db. Pokud bychom v obvodu měnili některé parametry transformátoru, platilo by, že s klesajícím K by klesal horní mezní kmitočet a s klesajícími hodnotami indukčností L 1 a L 2 (při zachování jejich poměru) by se směrem k vyšším kmitočtům posouval dolní mezní kmitočet. Uvážíme-li, že indukčnost obou cívek transformátoru závisí na počtu závitů, dostaneme vysvětlení, proč jsou transformátory na proud o kmitočtu 50 Hz výrazně objemnější a těžší, než transformátory používané např. v napájecích zdrojích počítačů, kde elektronické obvody zpracovávají proud s kmitočtem 100 khz. Při přenosu impulsního signálu se projeví skutečnost, že frekvenční charakteristika klesá směrem k nízkým kmitočtům (derivační obvod) i směrem k vysokým kmitočtům (integrační obvod). Tomu odpovídá i zkreslení pravoúhlého impulsu, jak ho ukazuje obr. 6.7.
KAPITOLA 6. MAGNETICKÉ ÚČINKY PROUDU 74 Obrázek 6.7: Přenos impulsu transformátorem 6.2 Materiály magneticky tvrdé 6.2.1 Permanentní magnety Materiály magneticky tvrdé jsou charakteristické tím, že vykazují využitelnou magnetickou remanenci. Nejvýznamnější využití magneticky tvrdých materiálů je v oblasti výroby permanentních magnetů, které používáme na magnetických tabulích, ve spínačích s jazýčkovými kontakty, v bezkolektorových motorech, atd. Feritové magnety jsou nejlevnější běžné permanentní magnety a jsou typickým představitelem feromagnetických materiálů. Základ feritu tvoří ve většině případů směs oxidů železa s uhličitanem barnatým nebo strontnatým, s použitím výrobní technologie práškové metalurgie. Remanence může být B r = 0, 2 0, 5 T. Koercitivita H c = 0, 1 0, 7 A/m. 6.2.2 Magnetický záznam Magneticky tvrdé vrstvy nanesené na různé pohyblivé nosiče slouží k záznamu analogových signálů i digitálních dat.[6], [1] V analogové technice jsou používány magnetofonové pásky pro záznam akustických i obrazových signálů. Magnetické médium musí umožnit reprezentovat spojitě se měnící okamžitou hodnotu zaznamenávaného signálu. Záznam je založen na schopnosti uchovat, v různých místech magneticky tvrdé vrstvy na povrchu pásky, různou úroveň magnetické remanence. Zmag-
KAPITOLA 6. MAGNETICKÉ ÚČINKY PROUDU 75 netování na potřebnou úroveň remanence zabezpečí záznamová hlava. Ta je zkonstruována tak, že magnetický obvod z magneticky měkkého materiálu tvoří ve vzduchové mezeře magnetický tok schopný zmagnetovat magneticky tvrdý materiál na povrchu pohybujícího se záznamového média. Při čtení zaznamenané informace podobná (čtecí) hlava ve vzduchové mezeře svého magnetického obvodu zachycuje okamžité změny magnetického toku na povrchu nosiče a magnetickou indukcí vytváří v navinuté cívce spojité napětí. Pro záznam binárních dat je možno použít pro povrch média materiál, u kterého se nevyžaduje spojitá reprezentace úrovně zaznamenávaného signálu. Naproti tomu se vyžaduje schopnost materiálu na malých vzdálenostech zaznamenat co nejvíce změn v orientaci remanentní indukce. Princip záznamu ukazuje obrázek 6.8. Z C Obrázek 6.8: Princip magnetického zázanamu dat na pohybující se médium Obrázek ukazuje schématicky uspořádání záznamu a čtení binárních dat, uložených ve stopě na povrchu pohybujícího se záznamového média. Takovým médiem může v současné době být magnetická páska, pružný disk, nebo pevný disk (harddisk). Magnetický obvod s budicí cívkou je vyroben z kvalitního magneticky měkkého materiálu. Do cívky je zaváděn impulsní signál s měnící se polaritou. Tím je v okolí vzduchové mezery vytvářeno magnetické pole, které zmagnetovává povrch (orientuje magnetické domény) magnetického nosiče. Vznikají tak ostrovy se dvojí orientací remanence tak, jak je vyznačeno šipkami v obrázku. Pohybující se nosič záznamu je sledován čtecí hlavou. Ta může být vyrobena stejně jako hlava záznamová. Pohybující se nosič vytváří magnetickou indukcí indukční tok v magnetickém obvodu a ve čtecí cívce vznikají proudové impulsy. Impulsy uvedené na obrázku dole se objevují v okamžicích, kdy se mění orientace magnetické vrstvy záznamového média běžícího pod čtecí hlavou. V současné době bývá čtecí hlava vytvořena ze speciálního materiálu,
KAPITOLA 6. MAGNETICKÉ ÚČINKY PROUDU 76 který se chová jako magnetorezistor, tedy rezistor, jehož odpor se mění v závislosti na působícím magnetickém poli. Taková hlava by vytvářela impulsní průběh podobný průběhu záznamového proudu. Většinou je však velmi malý signál z magnetorezistoru zesilován zesilovačem, který se k signálu zachová jako derivační obvod, takže i v případě použití magnetorezistoru musíme počítat s výstupním signálem nakresleným na obrázku dole.
Kapitola 7 Přenos elektromagnetickou vlnou 7.1 Elektromagnetické vlny Princip vyslání elektromagnetické vlny z elektronického systému vysílače, do vnějšího prostoru popíšeme velmi zjednodušeně. Vrátíme se k dlouhému vedení a připomeneme, že vedení je soustavou s rozloženou kapacitou a indukčností podél vodičů. Připomeneme, že jsme hovořili o šíření vlny podél vedení a o odrazech na koncích vedení. Pokud se na začátku vedení připojí zdroj signálu, který generuje sinusový signál a ve správných okamžicích podporuje rozkmit odražených vln, pak na vedení vznikne tzv. stojaté vlnění. Když vodiče takového vedení vzájemně vzdálíme, vytvoříme vysílací anténu a postupující vlna vyzáří energii do prostoru. Z uvedeného plyne, že rozměr takové antény bude muset respektovat kmitočet vyzařované vlny, protože při dané rychlosti šíření vlny bude fáze odražené vlny záviset na kmitočtu a délce vedení. [10] Na obrázku 7.2 je jedna z možností, jak vyslat elektromagnetickou vlnu do prostoru. Bude-li v místě kam se vlna prostorem dostane umístěn dipól, nebo jiné uspořádání schopné vlnu zachytit, získáme elektrický signál, který po zesílení bude mít vlastnosti signálu, kterým byla vysílací anténa buzena. Rychlost šíření elektromagnetických vln v prostoru závisí na prostředí. Ve vakuu (a přibližně i ve vzduchu) lze počítat s rychlostí v = 3.10 8 m/s. Délka vlny λ souvisí s jejím kmitočtem f podle vztahu λ = v f (7.1) Elektromagnetická vlna má dvě navzájem neoddělitelné složky. Elektrickou charakterizuje vektor intenzity elektrického pole a magnetickou vektor 77
KAPITOLA 7. PŘENOS ELEKTROMAGNETICKOU VLNOU 78 stojatá vlna napětí. dipól λ/2 vedení s otevřeným koncem λ/4 stojatá vlna proudu Obrázek 7.1: Dipól magnetické indukce. Tyto vektory jsou navzájem kolmé, mají souhlasnou fázi a jejich kmity probíhají kolmo ke směru, kterým se vlna šíří. λ E H Obrázek 7.2: Vlna v prostoru Elektromagnetické vlny jsou ve fyzice charakterizovány vlastnostmi vlnovými a kvantovými: Za vlnové vlastnosti pokládáme odraz, lom, ohyb, interferenci a polarizaci vln. Za kvantovou vlastnost považujeme např. představu fotonu, který vyvolává fotoelektrické jevy.[7] 7.1.1 Kmitočtové spektrum a kmitočtová pásma Do prostoru lze vyzářit elektromagnetické vlny ve značném rozsahu vlnových délek, resp. frekvencí. Bude tomu jistě odpovídat i velký počet typů zářičů antén. Vlny o různých délkách budou rovněž vykazovat odlišné chování při
KAPITOLA 7. PŘENOS ELEKTROMAGNETICKOU VLNOU 79 svém šíření prostorem, ale i při šíření vedením. V následující tabulce je uveden přehled kmitočtů a vlnových délek různě používaných elektromagnetických vln. frekvence vlnová délka extrémně dlouhé vlny 0,3-3 khz 1000-100 km velmi dlouhé vlny 3-30 khz 100-10 km dlouhé vlny (DV) 30-300 khz 10-1 km střední vlny (SV) 0,3-3 MHz 1-0,1 km krátké vlny (KV) 3-30 MHz 100-10 m velmi krátké vlny (VKV) 30-300 MHz 10-1 m ultra krátké vlny (UKV) 0,3-3 GHz 1-0,1 m mikrovlny 3-30 GHz 100-10 mm mikrovlny 30-300 GHz 10-1 mm infračervené záření 10 10-10 14 Hz 1 mm - 1 µm viditelné záření 10 14 Hz 400-700 nm ultrafialové záření 10 14-10 16 Hz 400-10 nm rentgenové záření 10 16-10 19 Hz 10-0,1 nm gama záření 10 19-10 24 Hz 10 10-10 14 m Využití různých vlnových délek je většinou vázáno na vlastnosti vln z hlediska možnosti jejich generování, resp. vysílání do prostoru, jejich šíření, možnosti jejich zachycení, jejich účinků. Za radiové vlny pokládáme vlny od délky 1000 m do délky 0,1 m, (od DV do UKV), na kterých se šíří, kromě jiných služeb i pozemní rozhlas a televize. Pásma mikrovln 3 300 GHz jsou rovněž používána pro veřejnou rozhlasovou službu, avšak jen ve velmi úzce vymezených kmitočtových pásmech. Radiové vlny jsou generovány v radiových vysílačích, které v elektronických obvodech vytvoří signál potřebné frekvence, namodulují na tento signál přenášenou informaci a signál s potřebným výkonem vyšlou pomocí vysílací antény. Dlouhé vlny se šíří do velkých vzdáleností podél zemského povrchu. Krátké vlny se odrážejí od ionosféry (začíná ve výšce 60 80 km nad zemským povrchem, obsahuje určité množství molekul vzduchu rozštěpených na ionty a volné elektrony, takže se chová podobně jako vodivá plocha. Stav ionosféry se mění vlivem slunečního záření, takže se mění i podmínky šíření krátkých vln v různých denních a nočních dobách). Krátké vlny mají díky ionosferickým odrazům velký dosah. Velmi krátké vlny se používají k přenosu televizního signálu a zahrnují též pásmo rozhlasového vysílání FM. Velmi krátké a ultra krátké vlny vyžadují
KAPITOLA 7. PŘENOS ELEKTROMAGNETICKOU VLNOU 80 přímou viditelnost mezi vysílačem a přijímačem, a pokud jsou zachyceny mimo viditelnost, jedná se o vlny odražené od překážek s velkým rizikem interferencí mezi různě odraženými vlnami. V centru zájmu současných komunikačních technologií je pásmo na horním okraji UKV a pásmo mikrovln. Ke kmitočtům některých služeb z této oblasti se ještě vrátíme. Mikrovlny v pásmu mezi rádiovými vlnami a infračerveným zářením plní kromě komunikačních rolí též roli tepelného zdroje. Mikrovlnné záření může rozkmitávat molekuly vody a organických struktur, čehož se využívá např. u mikrovlnné trouby nebo v termoterapii v lékařství (mikrovlnná destrukce nežádoucích tkání). Kratší vlnové délky jsou svázány s tak vysokými kmitočty, že k jejich generaci nelze vytvořit elektronický obvod, který by generoval elektrický signál příslušné frekvence. Zdrojem vln jsou fyzikální pochody v různých materiálech a technologických strukturách, a to zcela běžných (ohřáté železo) i vysoce speciálních (polovodičový laser). Infračervené IR (infrared) záření nebo tepelné záření. Infračervené záření je podstatou šíření tepla zářením, a to i vakuem (např. i povrch Země je zahříván infračerveným slunečním zářením). Zdrojem IR záření je každé těleso, které má teplotu vyšší než je absolutní nula. Původcem IR záření jsou změny elektromagnetického pole vyvolané pohybem molekul. Pohyb molekul závisí na teplotě. Proto tělesa zahřátá na vyšší teplotu jsou původcem silnějšího IR záření než tělesa chladnější. IR záření není viditelné okem, proniká mlhou a znečištěným ovzduším, pomocí vhodných přístrojů (infrakamer) je lze zachytit, ačkoli ho ve tmě okem nevnímáme. Při pohlcování IR záření vzniká tepelná odezva - energie elektromagnetického vlnění se mění na teplo v ozářeném tělese. Praktické aplikace zahrnují: Vidění v mlze. Infralokátory, brýle pro noční vidění (lze pozorovat v naprosté tmě lidské tělo, které vyzařuje IR záření), videokamery pro noční natáčení, kdy jako osvětlení slouží IR zářiče, okem vnímáme tmu, ale kamera zachytí osvětlené předměty. V dálkových ovladačích neruší radiový signál a zároveň ho nevnímáme. Infrazářiče slouží k vytápění. Viditelné světlo může být složeno z řady vln o různé vlnové délce. Jde o světlo chromatické, např. bílé světlo může být složeno ze tří základních barev, ale také může mít téměř spojité spektrum s velmi velikým počtem složek. V případě, že jde o světlo monochromatické, pak je záření neseno jednou vlnovou délkou. Typickým zdrojem monochromatického světla je laser. U světla rozeznáváme jeho intenzitu a barvu, která závisí na vlnových délkách obsažených ve světle. Světelné spektrum je část elektromagnetického spektra, ve kterém je zobrazena závislost barev světla na vlnových délkách: střední vlnové délky se uvádějí takto: červená (650 nm), oranžová (600 nm),
KAPITOLA 7. PŘENOS ELEKTROMAGNETICKOU VLNOU 81 žlutá (580 nm), zelená (525 nm), modrá (450 nm), fialová (400 nm) Ultrafialové záření: Zdrojem jsou tělesa zahřátá na velmi vysokou teplotu: Slunce, výbojky, elektrický oblouk (sváření). Způsobuje zhnědnutí kůže a produkci vitamínu D, ve vyšších dávkách rakovinu kůže, ničí mikroorganismy. Vyvolává luminiscenci (při dopadu na luminofory se mění na viditelné světlo), je pohlcováno obyčejným sklem. Rentgenové záření (paprsky X). Rentgenové záření vzniká změnami elektromagnetického pole v atomovém obalu, což lze vyvolat ve vakuové elektronce bombardováním kovového povrchu svazkem elektronů. Je pohlcováno v závislosti na protonovém čísle a v závislosti na tloušt ce látky. To je využito v lékařské rentgenologii a v defektoskopii materiálů. Záření γ: Zdrojem vlnění jsou změny elektromagnetického pole při jaderných reakcích. Podobně jako rentgenové záření je pohlcováno podle struktury používá se v defektoskopii. Způsobuje genetické změny, nemoc z o- záření (po genetických změnách buněk může dojít k rakovinnému bujení). 7.1.2 Využití některých kmitočtových pásem Uved me některé kmitočty a kmitočtová pásma využívaná v různých aplikacích a službách: Pozemní a kabelová televize 54 806 MHz Satelitní televize pásmo 12 GHz Bluetooth 2,4 2,48 GHz WI-FI pásma 2,4 a 5 GHz GPS satelitní navigace 1227,6 MHz GSM mobilní telefony 900 MHz a 1800 MHz rádiem řízené modely legální pásmo pro všechny modely je 40 MHz, jen pro letecké modely je 35 MHz. civilní pásmo 27 MHz ovládání zámků a pod. 434 MHz amatérská pásma (radioamatéři je rozlišují podle vlnových délek) 160 m 1,5 MHz, 80 m 3,5 MHz, 40 m 7 MHz, 20 m 14 MHz, 15 m 21 MHz, 10 m 28 MHz 2 m 144 MHz, 70 cm 433 MHz 7.2 Modulace Předchozí výklad se soustředil na vytvoření a vyslání vlny o určité vlnové délce, resp. vlny s určitým kmitočtem. Lze dokázat, že trvale vysílaná vlna
KAPITOLA 7. PŘENOS ELEKTROMAGNETICKOU VLNOU 82 s konstantním kmitočtem a amplitudou nepřenáší informace (jedinou informací, kterou nese, je informace o jejím kmitočtu a rozkmitu). Abychom přenesli např. hlasovou informaci, musíme mít možnost na stranu příjemce přenést signál s kmitočtem měnícím se v intervalu nejméně 300 3400 Hz. To jsou však kmitočty, které nejsou vhodné pro šíření elektromagnetickými vlnami. Proto se kmitočet např. krátkých vln použije jako tzv. nosná vlna a kmitočet akustického signálu se na nosnou vlnu namoduluje. Otázkou je, jak lze nosnou vlnu k takovému přenosu použít, tedy jak lze realizovat zmíněnou modulaci. Uvedeme nejprve metodu typickou pro spojitě se měnící signály. Pak se věnujeme metodám používaným pro digitální signály. 7.2.1 Amplitudová modulace AM spočívá v řízení amplitudy nosné vlny okamžitými hodnotami modulačního signálu. Takové ovlivnění nosné vlny konstantním kmitočtem ukazuje obr. 7.3. Obrázek 7.3: Amplitudově modulovaná nosná vlna Matematicky lze tento proces popsat následujícím vztahem y = A n (1 + m sin(ω m t)) sin(ω n t), (7.2) kde y je signál vedený do antény, m je hloubka modulace m = A m /A n, kdy A m je amplituda modulačního signálu a A n je amplituda nosného signálu, ω m je kmitočet modulačního signálu a ω n je kmitočet nosné vlny. Po úpravě goniometrickými vzorci dostaneme y = A n [sin(ω n t) + m 2 cos[(ω n ω m )t] m ] 2 cos[(ω n + ω m )t]. (7.3) Uvedený vzorec ukazuje, že vysílaný signál, má-li nést nějakou informaci (např. uloženou v měnícím se kmitočtu modulačního signálu), musí být přenášen nikoli jako signál s jediným kmitočtem, ale vysílač musí vyslat a
KAPITOLA 7. PŘENOS ELEKTROMAGNETICKOU VLNOU 83 přijímač musí zpracovat kmitočty v určitém kmitočtovém pásmu. U amplitudové modulace jde o pásmo ω n ±ω mmax, kde ω mmax je maximální kmitočet modulačního signálu. Principů, které lze použít pro modulaci nosného kmitočtu, je velké množství a pro všechny platí, že k přenosu informace si vyžádají určité frekvenční pásmo soustředěné kolem nosného kmitočtu. Zmíníme se jak o principech používaných pro spojité signály, tak o principech používaných pro modulaci nosných vln signály digitálními. A n A n m 2 ωn Obrázek 7.4: Postranní pásma při amplitudové modulaci ω n ωn + ω 7.2.2 Kmitočtová (frekvenční) modulace FM spočívá v řízení kmitočtu nosné vlny okamžitými hodnotami modulačního signálu. Matematicky je kmitočtová modulace popsána vztahem y = A n sin(ω n t + m f sin ω m t), (7.4) kde m f je index kmitočtové modulace, který určuje, jak velkou změnu kmitočtu nosné vlny vyvolá rozkmit modulačního signálu. Pro určení šířky pásma již nevystačíme s jednoduchými trigonometrickými vzorci, výpočet by bylo nutno založit na rozvoji sinu do trigonometrické řady. Potřebná šířka pásma je vždy větší než u amplitudové modulace. Výhodou frekvenční modulace je významně vyšší odolnost přenášeného signálu proti rušení. 7.2.3 Fázová (úhlová) modulace PM spočívá v řízení fázových posuvů v kmitočtu nosné vlny, a to okamžitými hodnotami modulačního signálu. Matematicky je fázová modulace popsána podobným vztahem jako frekvenční modulace. Rozdíl v chování obou modulací je v tom, že u frekvenční modulace se po delším čase fáze pro danou okamžitou hodnotu modulačního signálu nemusí shodovat s fází v předchozím čase, kdežto u fázové modulace je v kterémkoli okamžiku fáze nosné frekvence
KAPITOLA 7. PŘENOS ELEKTROMAGNETICKOU VLNOU 84 pevně vázána na okamžitou hodnotu modulačního signálu. Velmi názorně to uvidíme v odstavci o modulaci digitálními signály. y Obrázek 7.5: Frekvenčně modulovaná nosná vlna t ω ωn ωn ωn ω n ωn + ωn + ωn + Obrázek 7.6: Postranní pásma při frekvenční modulaci 7.3 Modulace digitálními daty Modulace digitálními daty musí být vyřešeny dva problémy: 1. Reprezentace binárních dat sérií impulsů o dvou, příp. více, napět ových úrovních 2. Modulace nosné vlny impulsním signálem 7.3.1 Reprezentace binárních dat Problém reprezentace binárních dat pro potřeby jejich přenosu přenosovým médiem se označuje jako linkové kódování (line coding). Problém spočívá v tom, že data v počítači mají obvykle jednoduchou reprezentaci dvěma hodnotami napět ových úrovní, které se v logických obvodech zpracovávají jako
KAPITOLA 7. PŘENOS ELEKTROMAGNETICKOU VLNOU 85 paralelní binární slova o určitém počtu bitů (paralelně vstupují do aritmetických a logických operací a jsou zaznamenávána v registrech a v pamětech). Rozložení nul a jedniček v jednotlivých binárních slovech je dáno kódováním zpracovávaných informací a nevylučuje ani dlouhé sekvence nul nebo jedniček, ani jakékoli jiné zvláštnosti. Pro přenos mezi systémy, a v poslední době stále častěji i uvnitř systému, musejí být data přenášena jako data sériová, kdy jsou po jednom vodiči data přenášena bit po bitu. Takto také data vstupují do modulátoru, pokud mají být přenesena radiovým nebo optickým spojem. Závažné je, že sériový přenos dat může vyžadovat pro sled binárních stavů na vstupu a výstupu přenosového média určitá specifika. Pak je třeba zvolit pro sled sériových dat z počítače pravidla pro to, jak budou na vstupu přenosového média data ztransformována. Na výstupu pak musejí být data identifikována a převedena do původní sekvence binárních stavů. V čem tedy mohou spočívat požadavky na přenášené binární stavy. Uvedli jsme, že pro přenos informace modulovanou vlnou je potřeba určité frekvenční pásmo. Bude nás tedy zajímat, jaké frekvenční pásmo budou sériová data pro přenos potřebovat. Budeme hledat takové impulsní průběhy, které při přenosu spotřebují co nejužší pásmo. Zhruba platí, že šíři pásma určuje kmitočet přechodů mezi napět ovými úrovněmi (čím častěji se úroveň mění, tím vyšší kmitočtové pásmo musí být k dispozici, aby se po demodulaci dal signál bezchybně rekonstruovat). Tedy cílem bude ztransformovat sled nul a jedniček do dvouúrovňového (impulsního) signálu s malým počtem přechodů mezi úrovněmi. Velmi častým požadavkem také je, aby signál měl nulovou stejnosměrnou složku, tedy aby relativní četnost intervalů s jednou úrovní byla stejná jako četnost intervalů, kdy je signál ve druhé napět ové úrovni opačné polarity. Můžeme také vytvořit signál, ve kterém se bude střídat kladná, záporná a nulová úroveň (v posledně zmíněném způsobu kódování je nulová stejnosměrná úroveň dosažitelná nejsnáze). 7.3.2 Modulace nosné vlny dvoustavová Na obrázku jsou tři základní principy dvoustavové modulace nosné vlny. Vycházejí ze zmíněných tří principů modulace: amplitudové, frekvenční a fázové. ASK (Amplitude-Shift Keying, Klíčování nosné) je nejjednodušší způsob modulace nosné vlny. Využívá se v optických spojích, kde modulátor mění intenzitu svitu polovodičového laseru. PSK (Phase-Shift Keying) Modulace fázovým posunem je velmi často používaným způsobem modulace. Binární signál svými logickými stavy
KAPITOLA 7. PŘENOS ELEKTROMAGNETICKOU VLNOU 86 Obrázek 7.7: Modulace dvouhodnotovým signálem zavádí do nosné vlny skokové fázové posuny. Skok fáze je v případě BPSK (Binary PSK) roven 180. Fázovou modulaci skokem 180 lze však rovněž interpretovat jako amplitudovou modulaci bipolárním signálem. Skutečně fázová modulace je spojena s obecně definovanými skoky fáze, a to nejen dvěma. Budeme pak hovořit o vícestavové fázové, nebo fázově amplitudové modulaci. FSK (Frequency-Shift Keying). Modulace je založena na řízení nosného kmitočtu binárním signálem. Střední nosná frekvence ω n je o malý kmitočtový rozdíl zvýšena pro jeden logický stav (ω n + ) a pro druhý logický stav snížena (ω n ). 7.3.3 Modulace nosné vlny vícestavová V obecném textu o modulacích jsme výklad začali u modulací signálem analogovým, spojitě se měnícím v intervalu hodnot, které dovolil modulační předpis. V případě binárních dat lze modulovat nosnou vlnu tak, že modulační signál bude působit na nosnou vlnu nikoli dvěma úrovněmi, ale jejich větším počtem. Úrovně nebudou reprezentovat jen dva stavy jednoho bitu, ale např. čtyři úrovně budou reprezentovat čtyři možné kombinace dvojice
KAPITOLA 7. PŘENOS ELEKTROMAGNETICKOU VLNOU 87 bitů. Pokud to systém dovolí, lze si jistě představit třeba i 64 úrovně, z nichž každá bude reprezentovat jednu z čtyřiašedesáti kombinací šestice bitů. Nalezneme pak v technických řešeních následující typy vícestavových modulací: QASK nebo též PAM. Čtyři různé amplitudy nosné vlny reprezentují čtyři kombinace dvojic přenášených bitů. Časový průběh modulované nosné ukazuje obr. 7.8. Obrázek 7.8: Amplitudová modulace čtyřhodnotovým signálem QPSK je kvadraturní fázová modulace, které naznačuje cestu, kterou se rozvíjejí modulační algoritmy. Její princip spočívá v tom, že fáze signálu může být posunuta do čtyř různých hodnot, takže jedním skokem ve fázi je do nosného signálu namodulována dvojice bitů. Obrázek 7.9 ukazuje často používaný způsob popisu modulačního principu. Jde o zobrazení okamžitých poloh fázoru nosného kmitočtu v závislosti na právě přenášené hodnotě vícestavového signálu. Prvé dva diagramy ukazují binární modulace dvouhodnotovým signálem. Druhé dva diagramy ukazují čtyřstavovou modulaci, nejprve signálem s proměnnou amplitudou a polaritou a nakonec signálem s konstantní amplitudou a řízenou fází. V současné době jsou často používány systémy kombinující oba vícestavové modulační principy. Lze tak modulovat signál i 64stavovým signálem, kdy každý fázor nese informaci o šesti bitech.
KAPITOLA 7. PŘENOS ELEKTROMAGNETICKOU VLNOU 88 Obrázek 7.9: Kvadraturní fázové modulace
Kapitola 8 Polovodičové součástky Vyzbrojeni nástroji pro zkoumání vlastností elektronických obvodů můžeme rozšířit znalosti o popis polovodičových součástí a vyložit jejich uplatnění v elektronických systémech. [2] [9], [5]. 8.1 Elektrický proud v polovodičích Polovodiče jsou látky, jejichž elektrický měrný odpor je menší než u izolantů a větší než u kovů. V současné době nejčastěji používaný polovodivý prvek je křemík (Si) ze čtvrté skupiny periodické soustavy prvků se čtyřmi valenčními elektrony. 8.1.1 Proud v čistých polovodičích Valenční elektrony vytvářejí v krystalu elektronové páry. Elektrony se z vazby mohou uvolňovat, získají-li dostatečnou energii, např. zahřátím. Při nízkých teplotách má takovou energii málo elektronů a polovodivý materiál má velký měrný odpor. Při vyšších teplotách se elektrony snáze uvolňují a pohybují se uvnitř materiálu. Volné místo po elektronu se chová jako kladně nabitá částice díra. Čím více párů elektron-díra vznikne (čím vyšší je teplota), tím menší je měrný odpor. To je opak proti kovům, u nich se s teplotou odpor zvětšuje. Současně se vznikem párů elektron-díra probíhá v polovodiči rekombinace, jejich zánik. Při stálé teplotě jsou generace a rekombinace v rovnováze. Zapojíme-li vlastní polovodič do obvodu, vzniká v něm elektrické pole, které způsobuje uspořádaný pohyb děr k zápornému pólu zdroje a elektronů ke kladnému. 89
KAPITOLA 8. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 90 Příkladem využití součástky z vlastního polovodiče je teplotně závislý rezistor termistor. 8.1.2 Proud v dotovaných polovodičích Dodáním cizích atomů s nižším nebo vyšším počtem valenčních elektronů do krystalické struktury vlastního polovodiče můžeme vytvořit polovodičový materiál se dvěma typy vodivosti: Vodivost N: Dodáním atomů prvků s pěti valenčními elektrony se vytvoří situace, kdy jen čtyři se uplatní v kovalentní vazbě. Páté elektrony jsou vázány jen slabě a i při nízkých teplotách se volně pohybují krystalem. V takto upraveném krystalu je více volných elektronů než děr. Elektrony proto označujeme jako majoritní nosiče náboje a díry jako nosiče minoritní. Vodivost P: Pokud jsou v krystalu příměsi se třemi valenčními elektrony, obsadí jen tři vazby se sousedními atomy prvku IV. skupiny. Vznikne díra, která může být snadno zaplněna přeskokem elektronu od sousedního atomu. Vytvořené díry se v polovodiči volně pohybují a tvoří zde majoritní nosiče náboje, minoritními nosiči jsou elektrony. Přechod PN: Existují technologie, které vyrobí součástku, v níž oblasti P a N vytvoří rozhraní PN přechod. V místě styku obou polovodičů vznikne dynamická rovnováha (některé elektrony přestoupí do prostoru P a naopak díry do N). V oblasti přechodu nejsou vlivem rekombinace žádné volné elektricky nabité částice a na vnějších svorkách není žádné napětí. Pokud připojíme polovodič typu P ke kladnému pólu zdroje a polovodič typu N k zápornému, z polovodiče typu P jsou vtahovány díry do prostoru polovodiče N a naopak z polovodiče N jsou do obvodu dodávány elektrony. Vnějším polem jsou nosiče náboje uvedeny do pohybu PN přechod je zapojen v propustném směru. Pokud zapojíme PN přechod obráceně, k pohybu děr a dodávání elektronů nedochází, tzn. proud neprochází. Díry přitahuje ke svému přívodu záporné napětí, proto zůstávají v P, stejně elektrony jdou ke kladnému kontaktu, a proto zůstávají v N PN přechod je zapojen v závěrném směru. To ukazuje názorně obrázek 8.1. PN přechod propouští proud pouze jedním směrem. 8.2 Dioda Z fyzikální podstaty činnosti přechodu PN při vedení elektrického proudu vyplývá, že vztah mezi proudem a napětím na jeho svorkách je nelineární
KAPITOLA 8. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 91 - + + + + + nevede + + + + + + + + + + + + + + + P N + - + vede - - - - + + + - - - - + - - - - + + + - - - - + - - - - P + + + - - - - + - - - - + + + - - - - + - - - - + + + - - - - + N P N Obrázek 8.1: PN přechod neplatí Ohmův zákon. Avšak v obvodech platí Kirchhofovy zákony. Neplatí předpoklady pro použití fázorů ve frekvenční oblasti. Obvody, zvláště v oblasti konstrukce výpočetní techniky, většinou popisujeme jen v časové oblasti. Jestliže nelze nesetrvačné vlastnosti popsat jediným parametrem odporem rezistoru, jaké možnosti tedy máme? 8.2.1 Vlastnosti diod K popisu vlastností nelineárních nesetrvačných elementů používáme voltampérovou charakteristiku zobrazenou graficky, nebo vyjádřenou aproximativním funkčním předpisem 1. Grafické znázornění voltampérové charakteristiky diody ukazuje obr. 8.2. Na obrázku je třeba nepřehlédnout různá měřítka na osách pro kladné a záporné napětí. [5] Analyticky lze voltampérovou charakteristiku diody přibližně popsat rovnicí ( ) i D = I S e u D nuθ 1, (8.1) kde i D je proud procházející diodou při napětí u D. Napětí u D je kladné, je-li přechod PN pólován v propustném směru. Proud I S je tzv. nasycený (saturační) proud přechodu a závisí na technologii a materiálu diody. Závisí značně na teplotě, protože je tvořen tepelně generovanými dvojicemi elektron-díra. Napětí U θ je tzv. teplotní napětí 1 Zde je na místě uvést, že voltampérová charakteristika je graf závislosti proudu (na ose y), procházejícího obvodovým prvkem, na přiloženém napětí (na ose x). Každý tedy jistě snadno zakreslí voltampérovou charakteristiku rezistoru o odporu R, popsaného Ohmovým zákonem.
KAPITOLA 8. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 92. i D i 0,5 0,4 u D 0,3 0,2-60 0,1 0 0,2 0,4 0,6 0,8 u. Obrázek 8.2: Voltampérová charakteristika křemíkové diody U θ = kθ q 26 mv, (8.2) kde k = 1, 38.10 23 [J/K] (joule na kelvin) je Boltzmanova konstanta, q = 1, 602.10 19 [C] (coulombu) je elementární náboj a θ je absolutní teplota (v Kelvinech). Emisní součinitel n se mění v rozmezí 1 < n < 2 a závisí na technologii. Napětí nu θ je tedy pro teplotu 300 K (= +27 C) v rozmezí 26 až 52 mv. Pro napětí u D U θ lze zanedbat jedničku proti exponenciále a dostaneme pro průběh voltampérové charakteristiky propustně pólované diody přibližný vztah i D = I S e u D nuθ. (8.3) Skutečný průběh voltampérové charakteristiky diody je ovlivněn v propustném směru hlavně sériovým odporem přívodů a v závěrném směru paralelními svody. V elektronických systémech se setkáme s ohromným množstvím různých typů diod vyrobených tak, aby vyhověly požadavkům konkrétních aplikací. Diody jsou používány v silnoproudé elektrotechnice jako usměrňovače střídavého proudu pro napájení stejnosměrných motorů a pro další aplikace využívající stejnosměrný proud. Diody jsou v napájecích zdrojích počítačů a nabíječkách akumulátorů. I při takové šíři aplikací lze s určitým zjednodušením uvést hlavní statické a dynamické vlastnosti diod. Statické parametry diod I max maximální propustný proud; konstrukcí diody, okolní teplotou, způsobem chlazení je určen maximální proud, který smí diodou
KAPITOLA 8. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 93 procházet v propustném směru; při jeho překročení je nebezpečí tepelného zničení diody. U max maximální závěrné napětí; závěrný proud diody prudce narůstá, jestliže se napětí blíží k napětí označovanému jako průrazné napětí. Při něm vzroste intenzita elektrického pole uvnitř přechodu nad mez, za níž dochází k vytrhávání nosičů náboje z krystalové mřížky polovodiče a jejich lavinovitému množení. Jde o průraz, který může vést k destrukci, je-li provázen současným přehřátím přechodu. U T prahové napětí; napětí, které musíme vložit na diodu v propustném směru, aby začal protékat znatelný proud. Pro křemíkové diody lze pracovat s U T 0, 6 0.8 V. Při řešení statických poměrů v obvodech s diodou používáme nejčastěji numerických metod výpočtů nebo grafických konstrukcí názorně řešících nelineární obvodové rovnice. Grafickou konstrukci jsme ukázali v kapitole 2.5.1. Při přibližných výpočtech obvykle používáme tzv. linearizace voltampérové charakteristiky pomocí několika úseků, kde je vždy pro určitý interval napětí dioda popsána hodnotou odporu, který vystihuje závislost změn proudu na změnách napětí, avšak vždy jen pro určitý interval hodnot proudu a napětí. Čím více takových úseků zvolíme, tím je náhrada přesnější, ale výpočet obtížnější. Existuje však množství úloh, kde lze k aproximaci použít jen dvou úseků (vede/nevede). Dynamické parametry diod Kromě statických parametrů úbytku napětí v propustném směru a proudu v závěrném směru jsou velmi důležité i parametry dynamické, nebot ovlivňují vztah mezi časovými průběhy napětí a proudu na diodě při přechodných dějích. Zpoždění reakce, např. napětí, při náhlé změně proudu se projevuje jako nelineární kapacita přechodu PN, která je z hlediska fyzikálního složena ze dvou složek. Statická (bariérová) kapacita je kapacita kondenzátoru, jehož polepy tvoří oblasti P a N a dielektrikem je vyprázdněná vrstva v okolí přechodu při závěrné polarizaci. Její tloušt ka závisí na vnějším napětí, takže pro bariérovou kapacitu platí přibližný vztah C T C T 0 ( 1 u D Uj ) m, (8.4) kde U j je tzv. difúzní potenciál (U j 0, 5 0, 9 V), u D je napětí při závěrné polarizaci záporné, C T 0 je konstanta závislá na ploše přechodu
KAPITOLA 8. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 94 (kapacita při nulovém napětí), m je exponent závislý na typu přechodu (m 0, 3 až 0,5). Dioda zapojená tak, že v obvodu působí její bariérová kapacita, je v praxi využívána. Je vyráběna jako tzv. varikap nebo varaktor. Jedná se o elektronickou součástku, která může v závislosti na přiloženém napětí přelad ovat rezonanční obvody, např. v radiových přijímačích a vysílačích. Difúzní kapacita se uplatňuje, je-li dioda pólována v propustném směru. Není ve skutečnosti tvořena izolační vrstvou a dvěma elektrodami. Využíváme podobnosti chování kapacitoru a propustně pólované diody. Pomocí difúzní kapacity popisujeme dynamické jevy, které provázejí průchod proudu přechodem. Pro difúzní kapacitu C D platí přibližně C D τi D 1 nu θ, (8.5) kde i D je proud procházející diodou a τ je efektivní doba života menšinových nosičů. Uvedený vztah je užitečný hlavně tím, že demonstruje přímou úměru mezi propustně tekoucím proudem a nahromaděným nábojem v prostoru polovodičového přechodu. Takový náboj musí být při vypínání procházejícího proudu odveden, což může v některých aplikacích představovat závažný problém. 8.2.2 Diodový obvod zotavení diody I v obvodech s polovodičovými součástkami je prostředkem jejich zkoumání a hodnocení použitelnosti v praktických aplikacích, řešení obvodů s impulsními signály. Nejjednodušší obvod je na obrázku 8.3. Ukazuje obvod s diodou, která stojí v cestě impulsu zaváděnému na svorky rezistoru. Prametry impulsu jsou následující { +5 V t < 0, 5µ s a t > 2 µs u 1 (t) = (8.6) 5 V t = 0, 5 2µ s Na obrázku 8.3 je možno nejprve identifikovat napět ové úrovně odpovídající ustálenému stavu před vznikem a po odeznění přechodných dějů { 0 V t < 0, 5µ s a t 2 µs u 2 (t) = (8.7) +4, 2 V t 0, 7 2µ s Při záporném napětí na vstupu je na výstupu nulové napětí proto, že dioda nepropouští do obvodu žádný proud.
KAPITOLA 8. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 95 D R 5kΩ u 1 u 2 10,0 +5 V u1 [V] 0,0-10,0 10,0 0,0 vliv C T +4,2 V -5 V 0 V u2 [V] t rr vliv C D -10,0 0,0 0,6 1,2 1,8 2,4 3,0 t [µs] Obrázek 8.3: Diodový obvod s impulsním buzením Při kladném napětí na vstupu je na výstupu napětí zmenšené o úbytek napětí na diodě (cca 0,8 V). Velmi důležitý je popis přechodných dějů, které mají odlišný charakter při spínání proudu a při jeho vypínání. Při spínání diody je analogie s derivačním obvodem zcela na místě, protože se uzavřená dioda chová jako kvalitní závěrným napětím nabitý kondenzátor C T, který se musí do zátěže v přechodném ději vybít. Časovou konstantu však nelze definovat, protože se kapacita PN přechodu v průběhu přechodného děje mění. Při vypínání proudu uzavírání vodivé diody závěrným napětím, dochází k zotavení (na obrázku zotavení začíná v čase t = 2 µs). Zotavení lze chápat velmi dobře jako vybíjení difúzní kapacity, ale protože se jedná o přechodný děj v nelineárním obvodu, nelze analogii s derivačním obvodem jednoduše použít. Zotavení bývá v mnoha případech nejdůležitější pro praktickou použitelnost diody. Při propustné polarizaci diody jsou v oblastech přilehlých k přechodu PN v každém okamžiku volné nezrekombinované nosiče. Změní-li se náhle polarita vnějšího napětí, objeví se na přechodu bariéra proti přechodu majoritních nosičů, avšak volné minoritní nosiče mohou ještě po určitou dobu
KAPITOLA 8. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 96 uzavírat proud procházející v závěrném směru můžeme říci, že se vybíjí difúzní kapacita. Teprve po vyčerpání těchto volných nosičů klesne závěrný proud na velikost danou statickou voltampérovou charakteristikou (na našem obrázku trvá zotavení cca 200 ns). Náboj, který projde přechodem v závěrném směru po přepólování, je závislý na proudu, který původně procházel v propustném směru. Zotavovací dobu lze zkrátit přiložením velkého závěrného napětí. Proud, který se uzavírá v obvodu po dobu zotavování diody, je totiž omezen pouze odpory zařazenými v obvodu, je tedy při vyšším závěrném napětí větší, a náboj je rychleji odveden. 8.2.3 Speciální diody Dioda s přechodem kov-polovodič (Schottkyho dioda) Dioda může být zhotovena jako přechod kov-polovodič. Technologie výroby je obtížnější než u diod s přechodem PN. Statická voltampérová charakteristika je podobná voltampérové charakteristice diody s přechodem PN, má však menší prahové napětí U T = 100 150 mv. Protože u diod tohoto typu je přenos uskutečňován většinovými nosiči, nedochází zde k hromadění menšinových nosičů a dosažitelná doba zotavení dosahuje jednotek pikosekund (u rychlých křemíkových PN diod 500 700 ps). Zenerova a lavinová dioda Zenerovy diody jsou diody, které jsou navrženy tak, že je výrobní technologií zajištěna žádaná hodnota průrazného napětí v rozmezí od jednotek do stovek voltů. V obvodech se pak předpokládá, že chlazením je zajištěno, že proud procházející za mezí průrazu nezpůsobí tepelnou destrukci. Voltampérová charakteristika Zenerovy diody je uvedena na obrázku 8.4. Zenerových diod se využívá hlavně ve stabilizátorech napětí, ve zdrojích referenčních úrovní, v omezovačích úrovní apod. Tunelová dioda Tunelová dioda je rovněž součástka tvořená přechodem PN. U tunelové diody však existují nosiče náboje, které přechodem mohou procházet ( tunelují ) při napětí nižším než je napětí prahové. Voltampérová charakteristika (obr. 8.5) strmě stoupá již od nulového napětí. Strmost se s rostoucím napětím postupně zmenšuje, až při napětí U p a proudu I p charakteristika dosáhne lokálního maxima. Při dále rostoucím napětí
KAPITOLA 8. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 97 i D u D i D I Zn U Z U Zn u D I Zn Obrázek 8.4: Voltampérová charakteristika Zenerovy diody i D I p I v U p U v ud Obrázek 8.5: Voltampérová charakteristika tunelové diody na přechodu již přestávají působit podmínky pro vznik tunelového jevu a proud klesá, až při napětí U v dosáhne lokálního minima I v. Potom se dioda začne chovat podobně jako PN dioda v propustném směru. 8.3 Bipolární tranzistor Tranzistor je polovodičová součástka se dvěma PN přechody. V současné době je tranzistor nejčastěji vyráběn pomocí tzv. planární technologie. Strukturu takto vyrobeného tranzistoru ukazuje schematicky následující obrázek. PN přechody by bylo jistě možno používat jako dvě diody. Na rozdíl od dvou různých diod je však v tranzistoru místo dvou anod (tranzistor NPN) jedna společná velmi tenká polovodičová vrstva báze, která tvoří společnou anodu pro obě diody (katodu v tranzistoru PNP).
KAPITOLA 8. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 98 Obrázek 8.6: Struktura tranzistoru Podstatou činnosti tranzistoru je využití schopnosti závěrně polarizovaného přechodu kolektor-báze, odvádět nosiče náboje z oblasti báze, pokud jsou tam dodány propustně pólovaným přechodem báze-emitor. (Přechod kolektor-báze se tedy v podstatě nechová jako uzavřená dioda, i když mu řada vlastností závěrně pólované diody zůstává, např. bariérová kapacita.) Uvedené chování struktury s tenkou bází se nazývá tranzistorový jev. ++ - - - i C B C E + i B N - - - - - N - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - P i C C i B B u BE E i E βi B u CE. Obrázek 8.7: Nosiče náboje ve struktuře tranzistoru Na obrázku 8.7 je názorně ukázáno, jak se rozvětví celkový proud emitoru na proud tekoucí do báze a proud uzavřený přes kolektorový přívod (čtyři kuličky do emitoru, jedna z báze, tři z kolektoru). Vpravo je pak nejjednodušší model bipolárního tranzistoru. Platí v něm při propustné polarizaci přechodu báze-emitor a nepropustné polarizaci přechodu kolektor-báze i E = i B + βi B, i C = βi B, β = i C i B, i C i E = β β + 1 = α, (8.8) kde β je proudový zesilovací činitel tranzistoru v zapojení se společným emitorem (když přepočítáme kuličky na obrázku dostaneme, že by uvedený
KAPITOLA 8. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 99 tranzistor měl β = 3) a α je proudový zesilovací činitel v zapojení se společnou bází (s uvedenými kuličkami je α = 0, 75) Poznamenejme však, že běžné tranzistory mají výrazně vyšší zesilovací činitele. Pro vytvoření modelu tranzistoru jsme si museli zavést nový obvodový prvek, v tomto případě proudový zdroj řízený proudem. Jde o zdroj s vlastnostmi shodnými s vlastnostmi dříve popsaného zdroje proudu. Rozdíl je jen v tom, že proud zdroje je předepsán vztahem, který jeho okamžitou hodnotu určuje v závislosti na velikosti proudu v jiné části obvodu. Takový řízený zdroj umožňuje namodelovat schopnost tranzistoru zesilovat proud malým proudem do báze řídíme velký proud v obvodu kolektoru. 8.3.1 Doplněk inventáře obvodových modelů řízené zdroje V teorii obvodů jsou používány ještě další řízené zdroje. Shrneme je a označíme jako lineární řízené (aktivní) elementy (obr. 8.8). zdroj proudu řízený proudem parametrem je bezrozměrná konstanta, proudový zesilovací činitel (označme např. α nebo β), zdroj napětí řízený napětím parametrem je bezrozměrná konstanta, napět ové zesílení (označme např. A u ), napětím řízený zdroj proudu parametrem je transkonduktance s rozměrem vodivosti v siemensech (označme např. G m ), proudem řízený zdroj napětí parametrem je transrezistance, která má rozměr odporu v ohmech (označme např. Z m ). Řízený zdroj v lineárních obvodech definuje závislost řízené veličiny na řídicí veličině s tím, že řídicí účinek je určen konstantním parametrem. Uvidíme, že při výpočtech obvodů s polovodičovými součástkami budeme muset připustit, že i řídicí účinek může být nelineárně závislý na některých obvodových veličinách. Musí tedy být popsán graficky nebo aproximující funkcí. Pokud je možno řídicí parametr u řízeného zdroje považovat v určité oblasti činnosti obvodu za konstantní, může být použit i pro výpočty ve frekvenční oblasti. V takovém případě může být reprezentován i komplexní funkcí kmitočtu.
KAPITOLA 8. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 100 i 2 = α.i 1 i 2 = G.u 1 i 1 u 1 i 1 u 2 = Z.i 1 u 1 u 2 = A.u 1 x Obrázek 8.8: Řízené zdroje 8.3.2 Tranzistorový obvod kolektorové charakteristiky V nejjednodušším tranzistorovém obvodu budíme bázi ze zdroje zvoleného proudu a v kolektorovém obvodu pozorujeme procházející proud v závislosti na kolektorovém napětí. Zachytíme-li pozorování graficky, půjde o zobrazení parametrické soustavy voltampérových kolektorových charakteristik tranzistoru v zapojení se společným emitorem (emitor je společnou svorkou jak vstupního, tak výstupního obvodu). Obrázek 8.9 zachycuje soustavu kolektorových charakteristik pro změny kolektorového napětí v mezích 0 až 10 V, při buzení báze proudy 0, 0,5, 1, 1,5,..,5 µa. Na obrázku 8.9 je zobrazena soustava charakteristik, odpovídajících buzení báze proudem. Připsaná napětí mezi bází a emitorem jsou jen přibližná, protože se při změnách kolektorového napětí nepatrně mění. Na charakteristikách můžeme pozorovat, že kolektorový obvod není dokonalým zdrojem proudu (to by musely být charakteristiky rovnoběžné s osou x). Dále pozorujeme, že kolektorový proud zanikne, pokud se napětí na kolektoru přiblíží k nule. To je názorným dokladem toho, že tranzistor sám do obvodu žádnou energii nedodává, jen velmi účinně ovládá proud dodávaný z vnějšího zdroje. Dále je třeba upozornit na to, že rozestup charakteristik je pro konstantní krok proudu báze přibližně stále stejný. V oblasti dostatečně velikých kladných napětí kolektoru lze činitel β považovat přibližně za konstantu. To nelze říci v případě, že bychom chtěli modelovat řídicí účinek báze zdrojem proudu řízeným napětím. Z charakteristik vyčteme, že pro lineární nárůst proudu kolektoru by muselo být na bázi přiváděno napětí, které by
KAPITOLA 8. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 101 IC(Q1) (A) IB(Q1) (A) Q1 VC(Q1) (V) VCC V1 VB(Q1) (V) IB(Q1) (A) 1.00m VC(Q1) (V) 0 1 IC(Q1) (A) 60m 0.90m 0.75m 0.60m 0.45m 0.30m 0.15m 0.00m 50m 40m 30m 20m 10m 0m 0.80 0.78 0.76 0.74 0.72 0.70 VB(Q1) (V) -0.15m -1.00-0.50 0.00 0.50 1.00 1.50-10m -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 VB(Q1) (V) VC(Q1) (V) Obrázek 8.9: Charakteristiky tranzistoru narůstalo s postupně se zmenšujícími přírůstky. (Použití takového modelu ale není nikterak vyloučeno, jestliže tuto nelinearitu řídicího účinku napětí báze dokážeme popsat graficky nebo aproximující funkční závislostí). 8.3.3 Tranzistorový zesilovač Na uvedené charakteristice můžeme snadno ukázat schopnost zesilovat proud. Např. při proudu báze 3 µa prochází kolektorem proud o něco vyšší než 1 ma (β 350). Zesilovací efekt se projevuje v ovládání proudu procházejícího kolektorem z vnějšího zdroje napětí. Toho se dá využít pro zesilování signálů. Na obrázku 8.10 je zapojení, které pracuje jako zesilovač napětí. [5] Vysvětlíme postupně, jak obvod svou roli zesilovače plní: Aby obvod s tranzistorem zesiloval malý signál, musí být nastaveny stejnosměrné klidové podmínky pracovní bod. Tranzistor vede stejnosměrný proud přibližně 1 ma. To je podmíněno stejnosměrným napětím na bázi cca 860 mv, které je rozloženo mezi přechod bázeemitor a emitorový rezistor R 2. Napětí na bázi určuje dělič z rezistorů R 3 a R 4. Proud procházející do kolektoru vytváří na rezistoru v kolektorovém přívodu stejnosměrný úbytek cca 5,3 V, takže vůči společné svorce je na kolektoru 4,7 V (mezi kolektorem a emitorem 4,5 V). Za těchto stejnosměrných podmínek může zdroj vstupního střídavého
KAPITOLA 8. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 102 857,4mV 856,8mV 856,2mV 4,740V 855,6mV 4,728V 855,0mV 1,5mV 1,0mV 0,5mV 0,0 ~ C1 1µ F R4 10kΩ R3 100kΩ 856 mv R1 5kΩ R2 200Ω 4,7 V 212 mv 10 V 4,716V 4,704V 4,692V 4,680V -0,5mV -1,0mV Obrázek 8.10: Zesilovač napětí s amplitudou 1 mv působit na bázi tranzistoru. Kapacitor C 1 zabezpečí, že zdroj signálu neovlivní stejnosměrné nastavení klidových podmínek (pracovního bodu) připomeňme významnou vlastnost derivačního obvodu, schopnost oddělit stejnosměrnou složku proměnného napětí. Vstupní střídavé napětí je tedy superponováno ke stejnosměrnému předpětí báze. Kolektorový proud je vlivem vstupního střídavého napětí řízen tak, že klesající napětí na vstupu ho zmenšuje a kolektorové napětí roste (zmenšuje se úbytek na kolektorovém rezistoru) a rostoucí napětí na vstupu proud zvětšuje a napětí klesá. Napětí na kolektoru má sinusový průběh s amplitudou cca 20 mv a s opačnou fází než má napětí na vstupu. Rozkmit sinusové složky kolektorového napětí je cca 20krát větší než rozkmit napětí na vstupu napětí bylo zesíleno. Uvedené chování zesilovače lze popsat ve středním pásmu kmitočtů, tj. v pásmu, kde se s měnícím se kmitočtem nemění zesílení (v obrázku 8.12 cca od 100 Hz do 1 MHz) zjednodušeným modelem, který použije např. napětím řízený napět ový zdroj podle obrázku 8.11. Frekvenční charakteristiku nebudeme hlouběji zkoumat. Pouze konstatujeme, že zesilovač má klesající zesílení směrem k nízkým kmitočtům rozhodující vliv na to má kapacita kapacitoru C 1, resp. časová konstanta R vst C 1, kde R vst je vstupní odpor zesilovače. Směrem k vysokým kmitočtům zesílení rovněž klesá a v daném zapojení o tom rozhodují technologické vlastnosti použitého tranzistoru, které jsou dosazeny si-
KAPITOLA 8. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 103 R vyst 9, 1 kω u 1 u 2 = A.u 1 R vst 2, 6 kω A 170 mulačním programem. 37,5 Obrázek 8.11: Model zesilovače A 30,0 22,5 15,0 7,5 0,0 0,0 1 10 100 1K 10K 100K 1M 10M 100M ph -75,0-150,0-225,0-300,0-375,0 1 10 100 1K 10K 100K 1M 10M 100M Obrázek 8.12: Frakvenční charakteristika zesilovače s bipolárním tranzistorem Zesilovač lze prakticky použít a uvedeným způsobem modelovat pouze tehdy, kdy se neprojeví podstatným způsobem nelineární vlastnosti tranzistoru. Jakmile by rozkmit vstupního signálu vzrostl natolik, že výstupní napětí by již nebylo možno považovat za sinusové, pak nelze lineárního modelu použít a obvod by bylo nutno modelovat v časové oblasti s tím, že frekvenční charakteristika neexistuje nebyly by splněny podmínky pro reprezentaci impedancí a signálů fázory. Následující obrázek ukazuje, jak se výstupní napětí u našeho zesilovače zkreslí při vstupním f
KAPITOLA 8. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 104 signálu s rozkmitem 800 mv. 12,0 10,0 u 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 t Obrázek 8.13: Přebuzený zesilovač 8.4 Unipolární tranzistor Další významnou polovodičovou součástkou je unipolární tranzistor tranzistor řízený elektrickým polem (FET Field Effect Tranzistor). Strukturu a model tranzistoru FET ukazuje obrázek. D ugd rd udb uds D G B ugb G ids B S ugs rs S usb Obrázek 8.14: Vnitřní struktura FETu V polovodičovém materiálu typu P je vytvořena dvojice oblastí s dotací typu N. Předpokládáme, že obě tyto oblasti, označené S (source) a D (drain), jsou vůči substrátu B (bulk) pólovány tak, že jimi neteče proud v propustném směru. To také musíme zabezpečit ve všech praktických obvodových aplikacích. Na povrchu substrátu je izolační vrstva (oxid, nitrid,..) a na ní je vytvořena vodivá elektroda G (gate). Proto se takový tranzistor označuje jako MOS FET (Metal Oxid Semiconductor). Podstatou činnosti tranzistorů řízených elektrickým polem je ovládání vodivosti vrstvy substrátového materiálu, která leží bezprostředně pod řídicí
KAPITOLA 8. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 105 elektrodou gatem. Elektrostaticky ovládaná tzv. inverzní vrstva tvoří vodivý kanál spojující dvě oblasti stejného typu vodivosti. V případě FETu se substrátem typu P spočívá řídicí účinek gatu v tom, že kladným napětím jsou z povrchové vrstvy odtlačeny díry a převládne v ní elektronová vodivost indukuje se kanál typu N. Do takového kanálu mohou volně vstupovat majoritní nosiče (elektrony) z obou oblastí D i S. Celá cesta, kterou prochází proud, je tedy vytvořena polovodičem jednoho typu vodivosti (v našem případě typu N). Proto se také tyto tranzistory označují jako unipolární. Vnitřní struktury FETů se mohou lišit typem vodivého kanálu, tedy mohou být s N kanálem, nebo s P kanálem. Dále rozlišujeme FETy s vestavěným a indukovaným kanálem. To, co jsme až dosud uvedli, platilo pro MOSFET s indukovaným kanálem cesta mezi sourcem a drainem byla při nulovém napětí na gatu nevodivá. Lze však pod řídicí elektrodou technologicky vytvořit vodivou vrstvu, takže kanál vede proud i při nulovém řídicím napětí. Záporným napětím na gatu u tranzistoru s N kanálem je možno kanál uzavřít, kladným napětí otvírat více, než odpovídá vestavěné vodivosti. U tranzistoru s vestavěným P kanálem lze naopak kanál uzavřít kladným napětím na gatu a více otvírat napětím záporným. Řídicí elektrodu lze vytvořit i přechodem PN, který musí být vůči kanálu nevodivý. Napětím na přechodu lze ovládat tloušt ku vyprázdněné vrstvy, která vestavěný kanál přehrazuje. Tyto FETy se označují jako JFETy (Junction FET). typ kanálu drain indukovaný zabudovaný PN přechod gate source vodivost kanálu P N P N P N Obrázek 8.15: Schematické značky FETů Obrázek 8.15 naznačuje, jak se ve schématech odlišují jednotlivé typy FETů. Je však třeba mít na paměti, že v literatuře je rozšířeno velké množství systémů značení, takže se nelze spolehnout na obrázek a je nutno v textu nebo z funkce obvodu usoudit o jaký typ se jedná.
KAPITOLA 8. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 106 8.4.1 Model FETu Řízení proudu mezi drainem a sourcem se uskutečňuje zvětšováním a zmenšováním tloušt ky inverzní vrstvy pomocí napětí řídicí elektrody. Pro malá napětí drainu je řídicí elektrodou ovládán odpor cesty mezi drainem a sourcem. Tento odpor je lineární jen do určitého napětí, za nímž dojde k vyčerpání nosičů, které jsou v kanálu k dispozici. Tím je omezeno další zvětšování proudu. Voltampérovou charakteristiku (indukovaného) kanálu D-S pro různá napětí na řídicí elektrodě ukazuje následující obrázek 8.16. 5 ids 4 2.1 V 2.0 V ugs uds idsm 3 1.9 V 1.8 V ugs 2 1 1.7 V 1.6 V 1.5 V 1.4 V 1.3 V 0 0 2,5 5 7,5 10 udsv 0.9 V Obrázek 8.16: Výstupní charakteristiky MOS FETu Vrát me se k nákresu struktury a jejímu modelu. [5] V přívodech ke kanálu jsou v modelu zařazeny rezistory, které reprezentují odpor přívodů a odpor polovodivého materiálu mimo kanál. V mnoha praktických aplikacích jsou spojeny svorky B a S, takže se často předpokládá u SB = 0 u GB = u GS. Prahové napětí u FETů je takové napětí, při kterém se objevuje inverzní vrstva vzniká kanál (tranzistor na obrázku má prahové napětí 0,8 V). Pro tranzistory s indukovaným kanálem N je prahové napětí kladné, pro tranzistory s vestavěným kanálem je záporné, a v obou případech se kanál otvírá růstem řídicího napětí směrem ke kladným hodnotám. U tranzistoru s kanálem typu P je tomu naopak. Z popisu činnosti plyne, že řízený proudový zdroj je nutno zvolit jako zdroj proudu řízený napětím, protože do řídicí elektrody nevstupuje žádný proud.
KAPITOLA 8. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 107 Z charakteristik je zřejmé, že proudový zdroj je napětím řízený zdroj proudu, u něhož nelze definovat řídicí účinek konstantou, tedy musíme počítat s obecnou funkční závislostí. Jen pro velmi malé změny obvodových veličin lze najít náhradní obvod s lineárně řízeným zdrojem. i DS = G(u GB ) příp. i DS = G(u GS ). Z charakteristik je rovněž patrno, že pro malá napětí mezi drainem a sourcem je možno nahradit vodivý kanál rezistorem ovládaným napětím. (Takový obvodový prvek jsme zatím nedefinovali a v teorii obvodů se s ním obvykle nepracuje, nicméně pro dílčí úvahy o obvodu s MOSFE- Tem se může hodit). 8.4.2 Zesilovač s unipolárním tranzistorem Na obrázku 8.17 je schéma zesilovače s MOS tranzistorem, jehož charakteristiky byly na předchozím obrázku. 10 u 8 6 ud 6,41V R4 C1 R2 10MΩ R1 2,5kΩ 10V 4 300kΩ 10nF R3 1,8MΩ 2 1,52V ug 0 0,0 0,2 t Obrázek 8.17: Zesilovač s MOS FETem O zapojení lze uvést podobné informace jako jsme již zmínili u zesilovače s bipolárním tranzistorem. Dělič napětí (vytvořený rezistory R 3 a R 2 ) v přívodu gatu musí nastavit napětí větší než je napětí prahové, aby mezi drainem a sourcem procházel klidový proud. Tento dělič není zatížen žádným proudem, protože gate je dokonale izolován vůči celému obvodu díky oxidu na povrchu substrátu. Vstupní odpor celého zesilovače tedy určuje jen tento dělič, kdežto u bipolárního tranzistoru je paralelně s tímto děličem ještě přechod báze-emitor
KAPITOLA 8. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 108 s konečnou hodnotou odporu. O oddělení stejnosměrné složky napětí zdroje od stejnosměrného nastavení pracovního napětí na gatu platí totéž, co o stejnosměrném oddělení báze tranzistoru bipolárního. Ostatní úvahy o funkci obvodu s malým střídavým napětím jsou shodné jako u zesilovače s bipolárním tranzistorem, včetně posouzení frekvenční charakteristiky, která je na obr. 8.18. 18 A 12 6 0-6 1 10 100 1K 10K 100K 1M 10M -60 ph -120-180 -240-300 1 10 100 1K 10K 100K 1M 10M f Obrázek 8.18: Frakvenční charakteristika zesilovače s MOSFETem V lineárním modelu, který má rovněž stejnou strukturu jako na obr. 8.11, bychom dosadili: A 8, R vst = (1, 8 MΩ.10 MΩ)/(1, 8 MΩ + 10 MΩ) 1, 5 MΩ, R vyst = 2, 5 kω. 8.5 Struktura CMOS Na závěr výkladu o unipolárních tranzistorech uvedeme strukturu, která zaujímá význačné postavení v konstrukci integrovaných obvodů. Jedná se o kombinaci tranzistorů s kanálem typu N a P. Možnost využít takovou kombinaci jako zesilovač ukazuje obrázek 8.19. Výstupní napětí je ovládáno dvěma tranzistory s opačnou vodivostí. Takové zapojení se označuje jako dvojčinné, nebo z angličtiny push-pull (tlačit-tahat). Proud do zátěže je účinně ovládán oběma směry. Vtip uspořádání struktury CMOS spočívá v tom, že oba tranzistory jsou buzeny týmž signálem a protože mají opačný typ vodivosti kanálu, způsobí
KAPITOLA 8. POLOVODIČOVÉ SOUČÁSTKY 109 rostoucí vstupní napětí omezování proudu horním tranzistorem a růst proudu dolním tranzistorem. Výstupní napětí klesá díky oběma efektům, a pro klesající vstupní napětí se situace obrátí, horní tranzistor se otvírá a dolní zavírá, napětí na výstupu roste. V dalších kapitolách poznáme, že ještě významnější je tato struktura v konstrukci logických integrovaných obvodů a počítačových čipů. R1 1MΩ C1 1µ F R2 ~ u1 1kΩ u2 + 5V Obrázek 8.19: Zesilovač s obvodem CMOS Další obrázek 8.20 ukazuje výstupní napětí u 2 napětí u 1 má amplitudu 1 mv a kmitočet 1 khz. pro případ, že vstupní 2,64 u2 2,58 2,52 2,46 2,40 2,34 0.0, 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 t Obrázek 8.20: Výstupní napětí zesilovače se strukturou CMOS Pracovní bod je nastaven rezistorem R 1 tak, že výstupní napětí má stejnosměrnou složku 2,5 V. Zesílení A 100. Takto lze zapojit i invertor z některé sestavy logických integrovaných obvodů.
Kapitola 9 Spínače Spínače hrají v elektrotechnice významnou roli, protože umožňují ovládání celých funkčních bloků jediným povelem zapnout/vypnout (on/off). V elektronice je další významné použití tam, kde chceme vytvořit ze stejnosměrného napětí střídavé a naopak. Stejnosměrné napětí můžeme pomocí spínačů měnit na impulsní a impulsní časové průběhy napětí pak mohou reprezentovat binární informace v logických a výpočetních systémech. Znamená to, že spínače představují kategorii obvodových elementů s ohromným rozsahem možných požadavků, od spínačů, které odpojí elektrárnu od elektrovodné sítě, až po spínače, které v počítači vytvoří ze stejnosměrného napájecího napětí signál pro sběrnici USB. Přesto se pokusíme ukázat, jaké parametry lze pro spínače definovat a jakými hledisky se spínače posuzují. 9.1 Model spínače Na obr. 9.1 je statický (nesetrvačný) obvodový model tzv. plovoucího spínače. Jako plovoucí se označuje proto, že obě jeho svorky mohou mít v rozpojeném stavu různá (nenulová) napětí vůči společné svorce (v okamžiku spojení by ovšem mělo být napětí obou svorek shodné, ale může být nenulové). Jako uzemněný (neplovoucí) označujeme spínač, který spíná proud z určité svorky obvodu k nulovému (zemnímu, společnému) potenciálu. V modelu je zakreslen především ideální spínač SP, který má v rozpojeném stavu nekonečný odpor a v sepnutém stavu odpor nulový. Reálné spínače nemají vlastnosti ideálního spínače. Proto jsou v modelu naznačeny elementy, které mohou nedokonalosti spínače reprezentovat. Jsou to tyto nesetrvačné elementy: Rezistor (vodivost) v rozpojeném stavu g off Rušivý proud procházející rozpojeným spínačem i off 110
KAPITOLA 9. SPÍNAČE 111 on/off r on u on u SP 1 u2 u 1 u 2 g off i off Obrázek 9.1: Model spínače Odpor v sepnutém stavu r on Rušivé napětí vzniklé na sepnutém spínači u on 1 Izolace vůči okolí (dalším spínačům) Ovládání mechanické, elektrické Vliv ovládacího obvodu na spínaný obvod Rychlost sepnutí a vypnutí Rychlost sepnutí a vypnutí jistě nemá charakter nesetrvačného parametru. O rychlosti spínání pojednáme jen velmi povšechně s tím, že model naznačíme jen u spínačů s polovodičovými součástkami. 9.2 Mechanický spínač Mechanické spínače jsou vyrobeny jako dvojice kontaktů, jejichž spojení je ovládáno manuálně nebo jinou vnější silou. Pro kvalitní mechanický spínač, s kontakty ze speciálních kovových slitin platí: Odpor v sepnutém stavu r on může být v řádu tisícin ohmu a záleží na materiálu kontaktů a na stavu jejich povrchu. Rušivé napětí na sepnutém spínači u on vzniká převážně termoelektrickým jevem, pokud spoje mezi různými materiály nemají shodnou teplotu. Jedná se o napětí řádu zlomků milivoltů. Odpor v rozpojeném stavu 1/g off = r off závisí na konstrukci a kvalitě materiálu, na kterém jsou kontakty namontovány. Může dosahovat terraohmů. 1 Předpokládá se, že 1/g off r on, takže na model sepnutého spínače mají paralelně připojené součásti modelující vlastností rozpojeného spínače zanedbatelný vliv.
KAPITOLA 9. SPÍNAČE 112 Rušivý proud vytvořený rozpojeným spínačem i off = 0. Izolace vůči okolí (dalším spínačům) závisí na konstrukci a použitých materiálech. Většinou je působení okolních elektrických obvodů zanedbatelné. Rychlost sepnutí a rozpojení závisí na setrvačných hmotách kontaktů a mechanické konstrukci. Bývá v řádu milisekund až sekund. Specifickým problémem mechanických spínačů jsou tzv. odskoky kontaktů. Jedná se o jev, který souvisí se setrvačným chováním pružného materiálu, z kterého bývají kontakty vyrobeny. V okamžiku sepnutí může dojít ke krátkému (i opakovanému) rozpojení a spojení, které se teprve po čase ustálí v sepnutém stavu. V závislosti na mechanických vlastnostech kontaktu mohou odskoky trvat několik jednotek až desítek milisekund. Tento jev musí být ošetřen všude tam, kde se mechanickým kontaktem ovládá elektronické zařízení vybavené rychle reagujícími obvody, např. ve vstupních obvodech počítačů. Pokud zařízení reaguje velmi rychle (požadavek na přerušení v programu počítače), hrozí nebezpečí, že se odskakujícím kontaktem vyvolá požadovaná reakce vícekrát, než si uživatel přeje. 9.2.1 Manuálně ovládané spínače Nejběžnější představa spínače se váže ke spínačům v elektrovodné síti (rozsvěcejí a zhasínají osvětlení), tlačítkům domovních zvonků, vypínačům na panelech přístrojů, apod. Ve většině z nich je uplatněn mechanický princip mžikového spínání, kdy předepnutá pružina ( žabka ) v určité poloze ovládacího prvku (páčky, hmatníku) vyvolá rychlý přeskok kontaktu z jedné polohy do druhé s tím, že v sepnutém stavu pružina vyvíjí na kontakt určitý tlak a tím zmenšuje přechodový odpor, případně mechanicky prorazí vrstvu koroze. Zvláštním případem mechanických spínačů jsou klávesy počítačových klávesnic a klávesnic kalkulaček a mobilních telefonů, u nichž je spínání obvodu zabezpečeno vodičem, který je přitlačen k dvojici kontaktů na desce plošných spojů. Kontakt může být kovový (dobře ošetřený proti korozi), nebo také z vodivé pryže, která tvoří pružnou membránu. Odpor v sepnutém stavu může být u takových klávesnic v řádu jednotek až stovek ohmů. Sepnutí je vyhodnoceno elektronickým obvodem. Pro pružný kontakt je typickou aplikací počítačová klávesnice, pro membránový kontakt je typickým příkladem aplikace mobilní telefon.
KAPITOLA 9. SPÍNAČE 113 pružný kontakt membrána Obrázek 9.2: Spínače Obrázek 9.3: Spínače 9.2.2 Elektromagnetické relé Z hlediska spínaného obvodu je možno elektromagnetické relé považovat po všech stránkách za mechanický spínač, který jsme již popsali. Do úvah vstupuje řídicí elektrický obvod, který může být zcela izolovaný od obvodu spínaného. Je však třeba počítat s možností ovlivnění spínaného obvodu rušivými signály vytvořenými elektromagnetickým polem a kapacitními vazbami. Obrázek 9.4: Klasické relé Relé je sestaveno z elektromagnetu, který pohybuje kotvou a ta mecha-
KAPITOLA 9. SPÍNAČE 114 nicky ovládá spínání, vypínání a přepínání kontaktů. Jedním elektromagnetem lze ovládat větší množství kontaktů s různými funkcemi. Rychlost spínání a vypínání je určována dvěma zpožd ujícími činiteli přechodným dějem ve vinutí cívky a setrvačnými hmotami kotvy a pérového svazku nesoucího kontakty. Doba přítahu a odpadu kotvy se pohybuje v mezích od desítek milisekund do zlomků sekund. Existují i relé s uměle zpožd ovaným sepnutím a rozpojením. 9.2.3 Jazýčkové kontakty Jazýčkové kontakty představují mechanický spínač s kovovými kontakty obdobných vlastností, jaké jsme popsali v předešlém odstavci. Lze ho ovládat elektricky jako relé, manuálně, nebo působením pohyblivých částí různých zařízení. Jazýčkové kontakty mají kontaktní pružiny vyrobené z feromagnetického materiálu zatavené ve skleněné trubičce. Vnější dostatečně velké magnetické pole zmagnetuje kontaktové pružiny, které se vzájemně přitáhnou a tím se kontakty spojí. V jazýčkovém relé jsou kontakty vloženy do jádra budicí cívky, kde procházející proud vytvoří magnetické pole potřebné k sepnutí. Obrázek 9.5: Jazýčkové relé Obrázek 9.6: Jazýčkový kontakt Rychlá jazýčková relé dosahují spínací a vypínací doby v řádu jednotek až desetin milisekund. Samotný jazýčkový kontakt lze také spínat permanentním magnetem. Může pak sloužit jako indikátor polohy (koncový spínač) a indikátor pohybu. Nalezneme ho např. v chladničce pro ovládání vnitřního osvětlení při otevření dveří. Používá se v zabezpečovacích systémech pro hlídání zavřených oken