Úpravy generátorů syntetizovaných proudů pro přestup tepla

Úpravy generátorů syntetizovaných proudů pro přestup tepla Ing Jozef Kordík Prof Ing Pavel Šafařík CSc Ing Zdeněk Trávníček CSc 1 Abstrakt Využití syntetizovaných proudů pro přenos tepla je známo z literatury Cílem tohoto příspěvku je shrnout možnosti jak upravit nebo seřídit generátor syntetizovaného paprsku aby vzniklé proudění vykazovalo větší účinnost přenosu tepla při dopadu na stěnu V příspěvku jsou popsány dva způsoby jak toho docílit První možností je zvýšení kladné průtočné složky rychlosti v ústí generátoru a druhým způsobem je správné nastavení frekvence oscilujícího proudění Klíčová slova syntetizovaný proud hybridní syntetizovaný proud generátor syntetizovaného proudu rezonanční frekvence 1 Úvod - syntetizované a hybridní syntetizované proudy V úvodu bychom si vysvětlili výše uvedená klíčová slova Na obr 1 vidíme zjednodušená schémata která by nám měla pomoci k pochopení pojmů syntetizovaný proud a hybridní syntetizovaný proud V levé části obrázku je schematicky znázorněno zařízení které nazýváme generátor syntetizovaného proudu [1] Je to přístroj který syntetizovaný proud vytváří Přístroj je především tvořen dutinou ve které je umístěna pružná kmitající membrána nebo píst Dutina má jediný otvor do volného prostoru trysku jinak je dutina vzduchotěsně uzavřena Při kmitání membrány dojde v trysce k nasávání a vyfukování proudu tekutiny A protože je Obr 1 Schémata generátorů syntetizovaného proudu (vlevo) a hybridního syntetizovaného proudu 1 Jozef Kordík 1 Zdeněk Trávníček Pavel Šafařík 1 1 Czech Technical University in Prague Faculty of Mechanical Engineering Technická 4 166 07 Prague Czech Republic Institute of Thermomechanics of the ASCR vvi Dolejškova 5 18 00 Prague Czech Republic

tekutina nasávána v sací fázi periody z daleko širšího okolí za tryskou než do kterého je vyfukována dojde k tomu že velká část vyfouknutého objemu tekutiny může proudit vpřed (tj směrem od trysky) Takto vzniklé proudění nazýváme syntetizovaný proud Hybridní syntetizovaný proud který byl původně představen v [] je vytvářen (syntetizován) pomocí generátoru hybridního syntetizovaného proudu (obr 1 vpravo) Generátor hybridního syntetizovaného proudu se liší od generátoru syntetizovaného proudu pouze tím že jsou k němu připojeny fluidické diody Tyto fluidické diody jsou na obr 1 znázorněny ve formě konfusor difusor mohou být ale daleko složitější viz např [3 4] Jde tedy o důmyslně provedené kanálky které mají o mnoho větší odpor při proudění tekutiny v jednom směru než při proudění v druhém směru V našem případě jsou fluidické diody připojeny k dutině generátoru tak aby měly malý odpor při proudění směrem dovnitř dutiny a naopak velký odpor při proudění směrem ven z generátoru Ve výsledku při kmitání membrány dojde v trysce k tomu že se v ní vytvoří kladná složka rychlosti směřující směrem ven z trysky a celé zařízení pak pracuje jako bezventilové čerpadlo [5 6] Tekutina se čerpá přes fluidické diody směrem do hlavní trysky a následně ven z generátoru Využití syntetizovaných a hybridních syntetizovaných proudů Syntetizované i hybridní syntetizované proudy nacházejí v současné době stále více uplatnění v různých oblastech mechaniky tekutin a termodynamiky Jmenujme krátce tři základní využití těchto typů proudů: a) řízení směru proudu tekutiny Pomocí syntetizovaného proudu můžeme snadno odklonit proud tekutiny jako to vidíme na obr Zde je umístěn malý generátor syntetizovaného proudu těsně nad tryskou ze které vytéká kontinuální proud Syntetizovaný proud vytvoří nad ústím trysky oblast s nižším tlakem a tím dojde ke změně směru proudění tekutiny z trysky Obr Řízení směru vytékající tekutiny pomocí syntetizovaného proudu b) řízení vírových struktur Syntetizovaný proud můžeme také aplikovat při proudění v lopatkových mřížích a tím snížit ztráty [7] Existují také pokusy zavést generátory syntetizovaných proudů do leteckého profilu křídla a řídit odtržení mezní vrstvy (předběžné experimenty např [8]) c) přenos tepla Poslední hlavní aplikací syntetizovaných a především hybridních syntetizovaných proudů je využití v oblasti sdílení tepla Dopadá-li paprsek syntetizovaného proudu na stěnu s rozdílnou teplotou dochází na ní k intenzivnímu přestupu tepla A je také experimentálně dokázáno [9] že tento přestup tepla je zpravidla o něco intenzivnější než při dopadu obyčejného kontinuálního proudu se stejným Reynoldsovým číslem Definice Reynoldsova čísla pro syntetizované proudy resp hybridní syntetizované proudy můžeme nalézt např v [1 resp ] Navíc u hybridních syntetizovaných proudů vše nasvědčuje tomu že kladná složka rychlosti v ústí trysky přenos tepla ještě dál zintenzivňuje Dokazují to například experimenty uvedené v [9]

3 Zvýšení přestupu tepla pomocí syntetizovaných proudů V tomto příspěvku bychom chtěli představit dva způsoby jak upravit generátor syntetizovaného proudu za účelem zvýšení účinnosti vytékajícího proudu při přestupu tepla Prvním způsobem je již zmíněné konstrukční řešení generátoru ve formě bezventilového čerpadla neboli generátoru hybridního syntetizovaného proudu Nicméně vysokého přestupu tepla lze také dosáhnout vhodně zvolenou frekvencí V našem případě budeme chtít aby generátor syntetizovaného proudu pracoval v rezonanci kdy budou výchylky pružné membrány maximální Na rezonanční frekvenci budou mít velký vliv jednotlivé geometrické rozměry generátoru a tuhost membrány Existuje několik postupů a teoretických odvození (např v [10]) které dokáží poměrně spolehlivě rezonanční frekvence určit V následujícím textu bychom se věnovali rekapitulaci matematických modelů generátorů syntetizovaných proudů které byly vytvořeny autory tohoto příspěvku Hlavním přínosem pak bude odvození nového modelu na základě předchozích poznatků 4 Matematické modely generátorů syntetizovaných proudů Na obr 3 (a) vidíme příklad skutečného generátoru syntetizovaného proudu jehož hlavním konstrukčním prvkem je reproduktor Tento generátor byl mimo jiné také použit k experimentálnímu ověření níže uvedených matematických modelů Zjednodušené schéma tohoto generátoru (na obr 3 (b)) bylo východiskem pro odvození rezonančních frekvencí Činnou částí generátoru je membrána kterou v našem případě budeme považovat za tuhou Pohyb membrány bude tedy podobný pohybu pístového mechanismu Geometrické parametry generátoru jsou označeny: R 1 poloměr membrány R poloměr trysky L 1 délka dutiny L délka trysky a L e = L + 16R /(3π) prodloužená délka trysky [111] Negeometrické parametry budou: K (tuhost membrány s jednotkou Nm -1 nebo K p = K/S 1 která má jednotku Pam -1 ) m 1 (hmotnost membrány) Souřadnice x 1 a x jsou výchylky membrány a tekutinového sloupce v trysce (v tomto pořadí); p b je barometrický tlak vně generátoru a jako p označíme tlakový rozíl mezi tlakem uvnitř a vně dutiny Také označíme plochy: S 1 = πr 1 S = πr a kruhovou frekvneci Ω = πf; kde rezonanční frekvence je f Hmotu oscilujícího sloupce tekutiny v trysce m počítáme tímto způsobem: m = ρl e S (přesné podklady k teorii prodloužené délky trysky L e můžeme nalézt v [11]) kde jako ρ je označena hustota tekutiny 41 Model na bázi transformace kinetické energie Tento model byl podrobně popsán a odvozen (poněkud jiným způsobem než zde) v [13] Hlavní myšlenka spočívá v transformaci kinetické a potenciální energie V tomto modelu se zanedbávají setrvačné síly vzniklé hmotou membrány a odhlíží se i od stlačitelnosti tekutiny Použijeme-li značení z obr 3 (b) můžeme za těchto zjednodušujících předpokladů napsat následující Newtonovy pohybové rovnice: S S ɺɺ = = 1= S 1 S1 S K + = 0 +Ω = 0 S ɺɺ 1 m mx ps Kx Kx xɺɺ x x x (1)

(a) (b) Obr 3 (a) Schéma generátoru syntetizovaného proudu který je vytvořen pomocí reproduktoru (b) Model generátoru syntetizovaného proudu

Zde byla použita rovnice kontinuity pro nestlačitelné tekutiny: S 1 x 1 = S x Z jednoduchého porovnání rovnic v (1) dostaneme výraz pro resonanční frekvenci: f Ω 1 S K 1 R Kp = = π π = S m π R ρl 1 1 e () Následující odvození (termodynamický model dvou-hmotový model a modely založené na vlnové rovnici) již byly prezentovány v [1415] Tento článek dalším novým teoretickým výsledkem potvrzuje souvislost modelu vzniklého na základě řešení vlnové rovnice s jednoduššími modely rezonančních frekvencí 4 Termodynamický model Jestliže předpokládáme že S 1 x 1 > S x pak můžeme napsat tyto Newtonovy rovnice pro model generátoru z obr 3 (b): mxɺɺ = Kx ps 1 1 1 1 mxɺɺ = ps (3) Do rovnice (3) potřebujeme znát souvislost mezi výchylkou a tlakem Budeme-li považovat tlakové oscilace v dutině za isoentropickou kompresi a expanzi můžeme dostat tuto závislost pro ideální plyn: κ dp dv pv = const ln( p) + κ ln ( V) = const + κ = 0 (4) p V Kde κ je poměr měrných tepelných kapacit Tlakový rozdíl p je možné podle poslední rovnice v (4) zjednodušeně vyjádřit: p V κpb κpb = κ p= ( Sx + Sx ) = ( Sx Sx ) p V V V (5) 1 1 1 1 kde V označuje objem dutiny generátoru V = S 1 L 1 Dosadíme-li výraz pro p do diferenciálních rovnic (3) a zanedbáme-li setrvačné síly způsobené hmotou membrány mxɺɺ 1 1 získáme tuto diferenciální rovnici: pbκ ( SS ) 1 1 pbκ V xɺɺ + S p x 0 x x 0 m V bκ = ɺɺ +Ω = (6) S1 + K V Opět jednoduchým porovnáním dostaneme rezonanční frekvenci: pbκ ( SS 1 ) 1 1 pbκ 1 R Kppb f S p V κ = m V bκ π = = S R1 Le ( LK 1 p pb ) 1 K π ρ + κ + V 1 R K p 1 R K p = π = R LK π R Lρ 1+Π ( ) 1 1 p 1 e 1 Leρ 1+ κpb (7)

Tato rovnice zahrnuje bezrozměrný člen Π 1 = L 1 K p /(κp b ) který se může zanedbat je-li o mnoho menší než 1 Rozsahy jeho vlivu jsou popsány v [14] 43 Dvouhmotový model Pokud budeme brát v úvahu setrvačné síly hmoty membránymxɺɺ 1 1 v rovnici (3) dostaneme rovnice pro dvouhmotové kmitání Rovnice (3) můžeme napsat v maticovém tvaru: pbκ pbκ 1 0 K S 1 1 SS m xɺɺ 1 x1 0 V V 0 0 m p x + bκ pbκ x = + = SS 0 MX iɺɺ KX i ɺɺ 1 S V V (8) Předpoklad harmonického řešení x 1 = A 1 sin(ωt) x = A sin(ωt) rovnic (8) vede k problémům vlastních čísel protože hledáme netriviální řešení homogenních rovnic: Ω 1 ( M ik Ω ) ia= 0 0 Ω A1 = = 0 A A Ω (9) 1 det M ik Ω = 0 (10) Z rovnice (10) dostaneme bikvadratickou rovnici pro rezonanční frekvence Abychom mohli výsledky porovnávat s předchozími vztahy budeme hledat řešení bikvadratické rovnice v nestandardním tvaru: 1 4 rovnice ve tvaru ax + bx + c= 0 x b± b 4ac b b 4ac c = = b b ac b b ac a 4 4 (11) Aplikujeme-li tento výsledek na (10) dostaneme výsledné frekvence: f 1 = KppbπRR 1 κ/ ( 4π ) (1) 4 4 4KLLmp p 1 e 1 bπrr 1 κρ ( 1 b e 1( p 1 b )) mprκ+ ρlπr KL + pκ 1 1 + 4 ( mprκ ρlπr ( KL pκ + + )) 1 b e 1 p 1 b Zde můžeme zavést nový bezrozměrný parametr Π = (m 1 /m )(R /R 1 ) 4 a tím získáme rovnici (1) ve tvaru: f 1 1 R Kp = π R 1 4ΠΠ 1 Leρ( 1+Π 1+Π) 1 1 ( 1+Π +Π ) 1 (13) Je zřejmé že při m 1 0 a L 1 0 bude Π 0 a Π 1 0 a tím přejde rovnice (13) v rovnici () Konkrétnější diskuse vlivu parametrů Π 1 a Π je uvedena v [14] 44 Model založený na řešení vlnové rovnice Poslední odvozený model je založen na řešení této vlnové rovnice:

Φ 1 S Φ 1 + = x S x x Φ c0 t (14) Tato rovnice (14) se nazývá Websterova vlnová rovnice pro šíření jednorozměrných vln proměnným průřezem S Symbol Φ značí rychlostní potenciál a c 0 je rychlost zvuku Rychlost v a tlak p jsou definovány pomocí potenciálu Φ následovně (viz [1]): Výchylku budeme definovat takto: v( xt ) = Φ x p( xt ) ρ Φ t = (15) Φ s( xt ) = v( x τ) d τ+ C1( x) = d τ+ C1( x) x Bk I s( 0 0 ) = s0 C1(0) = s0+ R1 Ω (16) kde s 0 je počáteční výchylka a počáteční rychlost je nulová Obr 4 Pomocné schéma generátoru syntetizovaného proudu Výpočetní oblast generátoru rozdělíme na tři části (obr 4) a v každé části budeme řešit vlnovou rovnici zvlášť Poté aplikujeme příslušné okrajové podmínky ze kterých nám vyplyne rovnice pro rezonanční frekvence V první a třetí části oblasti je výpočetní oblast cylindrická a tudíž se rovnice (14) zjednoduší na: Φ 1 Φ = x c t 0 (17) Ze začátku předpokládáme že druhá část oblasti má tvar kuželového vlnovodu a nakonec ho limitou L x L 1 převedeme na ostrý přechod

Rovnice (14) a (17) vyřešíme metodou separace proměnných V cylindrických částech III a I nalezneme řešení ve formě: Φ I( xt ) = [ AI sin( kx) + BI cos( kx) ] sin ( Ωt) Φ III( xt ) = [ AIII sin( kx) + BIII cos( kx) ] sin ( Ωt) (18) Jako A I A III B I a B III jsme označili integrační konstanty (indexy značí náležitost k příslušné části ) k je vlnové číslo k = Ω/c 0 Řešení pro konickou oblast je o trochu složitější: ( AII sin( kx) + BII cos( kx) ) Φ II( xt ) = sin ( Ωt) ax+ b (19) Konstanty a a b získáme z geometrie generátoru: b R R1 a= Lx L1 R1( Lx L1) + L1( R1 R) = Lx L1 (0) Pomocí rovnic můžeme v každé části vyjádřit jednotlivé rychlosti v I v II v III a tlaky p I p II p III Integrační konstanty A I a B I získáme z okrajové podmínky v x = 0 kde musí být zachována Newtonova rovnice: Dostaneme tyto výsledky: ɺɺ (1) ms 1 I( 0 t) = KsI( 0 t) Sp 1 I( 0 t) K m1ω AI = Rs 1 0 S1ρ0Ω Rs 1 0Ω BI= k () Konstanty A II A III B II a B III získáme z podmínek: vi( L1 t) = vii( L1 t) AII BII pi( L1 t) = pii( L1 t) vii( Lx t) = viii( Lx t) AIII BIII pii( Lx t) = piii( Lx t) (3) (4) Vztahy pro A II A III B II a B III zde neuvádíme kvůli jejich délce Z poslední okrajové podmínky piii( Lx+ Le t) = 0 která požaduje nulový tlak za tryskou dostaneme rovnici pro Ω Na ni aplikujeme limitu L x L 1 a dostaneme výraz: L1Ω L1Ω R + R1 K m1ω + R R1 K m1 cos c0ρs1 sin Ω Ω c 0 c 0 ( L1+ Le) Ω = tan L1Ω L1Ω c0 c0ρs1ω ( R + R1) ( R R1) c0ρs1 cos ( K m1 ) sin Ω + Ω c 0 c 0 ( )( ) ( )( ) Což je transcendentní rovnice která má nekonečně mnoho řešení (5)

45 Model založený na zjednodušení předchozího modelu Některé matematické modely založené na zjednodušení rovnice (5) byly již prezentovány v [15] V článku [15] byla použita linearizace goniometrických funkcí za předpokladu malého argumentu: cos( L1Ω / c0) 1 a sin( L1Ω / c0) L1Ω / c0 Nyní bychom se podívali jaký výsledek získáme jestliže budeme předpokládat nestlačitelnou tekutinu Tento předpoklad je ekvivalentní s předpokladem že rychlost zvuku se blíží k nekonečnu c0 Rovnici (5) nejprve vynásobíme jmenovatelem na pravé straně a provedeme limitu Tím dostaneme tuto rovnici: ( ( )) 1 e 1 4 1 1 1 K πrr LπRρ+ R m + LπRρ Ω = 0 (6) Z rovnice (6) snadno vyjádříme neznámou Ω: p Ω= 1 K πrr p 4 ( LπRρ+ R ( m + LπRρ) ) e 1 1 1 1 (7) 3 1 e 4 1 Zavedeme-li další bezrozměrné parametry Π = L L a Π = R R a s ohledem na ně upravíme vztah (7) dostaneme resonanční frekvenci v tomto tvaru: f 1 R Kp 1 Π4Kp = π = R1 Leρ( 1+Π +ΠΠ 3 4) π Leρ( 1+Π +ΠΠ 3 4) (8) Vidíme že z rovnice (5) která je zdánlivě velice odlišná od výsledků () (7) a (13) jsme dostali rovnici která tyto vztahy značně připomíná Výsledek (8) má ještě více společných rysů s rovnicemi zavedenými v [15] a vzniklými již zmíněnou linearizací goniometrických funkcí v (5) Vlivy parametrů Π3 a Π 4 byly diskutovány opět v [15] rozhodující vliv na rezonanční frekvence má především parametr Π 4 Přestože ještě nebyl na začátku definován vidíme že rovnice () (7) a (13) jej také obsahují a to v podobě podílu Π 4 = R / R1 Závěr V tomto příspěvku byly představeny způsoby jak upravit nebo nastavit generátor syntetizovaného proudu tak aby vykazoval vysokou účinnost při přestupu tepla První možností je vytvoření kladné složky rychlosti v ústí trysky Toho lze docílit připojením fluidických diod čímž vytvoříme tzv hybridní syntetizovaný proud Tento článek je zaměřen především na druhý způsob zvýšení účinnosti Tu můžeme ještě zvýšit vhodně zvolenou frekvencí Abychom dosáhli maximální výchylky membrány generátoru syntetizovaného proudu chceme nastavit zejména rezonanční frekvenci Určit správně rezonanční frekvence je nelehký úkol V příspěvku jsou uvedeny matematické modely které nám umožní určit rezonanční frekvence u jednodušších typů generátorů syntetizovaných proudů Navíc bylo zjištěno že složitější výraz pro rezonanční frekvence generátoru založený na řešení vlnové rovnice v limitních případech přechází k velice podobným výsledkům jaké jsme odvodili na základě jednoduchých mechanických modelů

Seznam symbolů m 1 hmotnost membrány [kg] m hmotnost oscilujícího sloupce tekutiny [kg] L 1 délka dutiny [m] L délka trysky [m] L x pomocná délka [m] L e prodloužená délka dutiny [m] R 1 poloměr membrány [m] R poloměr trysky [m] S 1 obsah membrány [m ] S obsah průřezu trysky [m ] K tuhost membrány [Nm -1 ] K p tuhost membrány [Pam -1 ] ρ hustota tekutiny [kg m -3 ] p b barometrický tlak [Pa] Φ rychlostní potenciál [m s -1 ] v I v II v III rychlosti [ms -1 ] p I p II p III tlaky [Pa] AI AII A III int konstanty [m s -1 ] BI BII B III int konstanty [m s -1 ] tτ čas [s] s výchylka [m] s 0 počáteční výchylka [m] x souřadnice [m] x 1 souřadnice [m] x souřadnice [m] c 0 rychlost zvuku [ms -1 ] p tlakový rozdíl [Pa] Π1 Π Π3 Π 4 bezrozměrné parametry [1] κ poměr měrných tepelných kapacit [1]

Seznam použité literatury [1] B L Smith A Glezer: The formation and evolution of synthetic jet Phys Fluids Vol 10 (1998) pp 81-97 [] Z Trávníček T Vít V Tesař: Hybrid synthetic jets as the nonzero-net-mass-flux synthetic jets Phys Fluids Vol 18 (006) pp 081701-081701-4 [3] F K Forster B E Williams: Parametric design of fixed geometry microvalves - the tesser valve In: Proceedings of IMECE00 ASME International Mechanical Engineering Congress & Exposition November 17 00 New Orleans Louisiana [4] M Anduze S Colin R Caen H Camon V Conedera T Do Conto: Analysis and testing of a fluidic vortex microdiode Journal of Micromechanics and Microengineering Vol 11 (001) pp 108-11 [5] A OlssonG Stemme E Stemme: A numerical design study of the valveless diffuser pump using a lumped-mass model Journal of Micromechanics and Microengineering Vol 9 (1999) pp 34-44 [6] E Stemme G Stemme: A valveless diffuser/nozzle-based fluid pump Sensors and Actuators A Vol 39 (1993) pp 159-167 [7] M Matějka L Popelka P Šafařík J Nožička: Influence of active methods of flow control on compressor blade cascade flow In: Proceedings of ASME Turbo Expo 008: Power for Land Sea and Air GT008 June 9 13 008 Berlin Germany [8] V Tesař J Kordík M Daněk: Lift and separation control on wind turbine blades by vortices having streamwise oriented axes In: Colloquium Fluid Dynamics 008 Institute of Thermomechanics AS CR vvi October 4 008 Prague Czech Republic [9] Z Trávníček T Vít: Hybrid synthetic jet intended for enhanced jet inpingement heat/mass transfer In: 13 th International Heat Transfer Conference IHTC-13 August 13 18 006 Sydney Australia [10] Q Gallas R Holman T Nishida B Carroll M Sheplak L Cattafesta: Lumped Element Modeling of Piezoelectric-Driven Synthetic Jet Actuators AIAA Journal Vol 41 (003) pp 40-47 [11] R Nový: Noise and Vibrations ČVUT Prague 000 (in Czech) [1] Z Škvor: Acoustics and Electro-acoustics Academia Prague 001 (in Czech) [13] Z Trávníček A I Fedorchenko A-BWang: Enhancement of synthetic jets by means of an integrated valve-less pump part I: Design of the actuator Sensors and Actuators A Vol 10 No 19 (005) pp 3-40 [14] J Kordík P Šafařík Z Trávníček: Parametric study of the resonance frequency In: Developments in Machinery Design and Control 008 Eds K Peszyński September 9 1 008 Nowogród Poland [15] J Kordík Z Trávníček P Šafařík: The resonance frequencies of synthetic jet actuators In: Experimental Fluid Mechanics 008 November 6 8 008 Liberec Czech Republic