Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,

Transkript

1 Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,1 2 Poznámka Vázané extrémy lze počítat dvěma způsoby. V tomto příkladu využijeme první z nich. Úlohy se řeší podle následujícího principu. Lze-li z funkce (,)=0 vyjádřit jako funkci, pak dosazením do funkce redukujeme problém na hledání extrému funkce jedné proměnné. Řešení 1a Máme najít body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: (,)= + 1, (,)=+ 1 Z rovnice (,)=0 vyjádříme jako funkci. + 1=0 =1 Dosadíme do předpisu funkce (,), tím tuto funkci převedeme na funkci jedné proměnné ()=(1 ) +(1 ) 1 ()= +1 1 Neboli ()= Nyní budeme hledat lokální extrémy takto modifikované funkce. Vypočteme první derivaci ()= 2 1 Je-li funkce i její derivace spojitá, pak lokální extrém může být jen tam, kde je první derivace nulová. Vyřešíme tedy rovnici 2 1=0 Dosazením vypočteme = 1 2 =1 1 2 =3 2 1

2 Tedy bod ; je bodem, v němž leží vázaný extrém. Pro zjištění, zda se jedná o maximum či minimum, vypočteme nejprve obecně ()= 2 Nyní vypočteme druhou derivaci v bodě, který vyšetřujeme (to je v tomto konkrétním případě zbytečné, protože druhá derivace je konstantní). Tedy 1 2 = 2 Druhá derivace je ve zkoumaném bodě záporná, funkce je tedy v tomto bodě konkávní. Nalezený bod ; je tedy lokálním vázaným maximem. Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: (,)=+, (,)= Z rovnice (,)=0 vyjádříme jako funkci =0 1 =1 1 = 1 Neboli = 1 Dosadíme do předpisu funkce (,), tím tuto funkci převedeme na funkci jedné proměnné ()=+ 1 ()= + 1 Neboli ()= 1 Nyní budeme hledat lokální extrémy takto modifikované funkce. Vypočteme první derivaci ()= 2( 1) 1 ( 1) = 2 ( 1) =( 2) ( 1) Je-li funkce i její derivace spojitá, pak lokální extrém může být jen tam, kde je první derivace nulová. Vyřešíme tedy rovnici ( 2) =0 ( 1) =0, =2 2

3 Dosazením vypočteme = =0, = =2 Tedy body 0;0 a 2;2 jsou body, v nichž leží vázané extrémy. Pro zjištění, zda se jedná o maximum či minimum, vypočteme nejprve obecně ()= (2 2)( 1) ( 2)2( 1) ( 1) = (2 2)( 1) 2( 2) ( 1) ()= ( 1) = ( 1) Nyní vypočteme druhou derivaci v bodech, které vyšetřujeme. Tedy (0)= 2, (2)=2 Druhá derivace je v bodě 0;0záporná, funkce je tedy v tomto bodě konkávní. Nalezený bod 0;0 je tedy lokálním vázaným maximem. Druhá derivace je v bodě 2;2kladná, funkce je tedy v tomto bodě konvexní. Nalezený bod 2;2 je tedy lokálním vázaným minimem. Řešení 1c Máme najít body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: (,)=, (,)=+ 1 Z rovnice (,)=0 vyjádříme jako funkci. + 1=0 =1 Dosadíme do předpisu funkce (,), tím tuto funkci převedeme na funkci jedné proměnné ()= () ()= Nyní budeme hledat lokální extrémy takto modifikované funkce. Vypočteme první derivaci ()= (1 2) Je-li funkce i její derivace spojitá, pak lokální extrém může být jen tam, kde je první derivace nulová. Vyřešíme tedy rovnici (1 2)=0 Dosazením vypočteme = 1 2 =1 1 2 =1 2 3

4 Tedy bod ; je bodem, v němž leží vázaný extrém. Pro zjištění, zda se jedná o maximum či minimum, vypočteme nejprve obecně ()= (1 2) + ( 2) Nyní vypočteme druhou derivaci v bodě, který vyšetřujeme. Tedy 1 2 = ( 2)= (1 1) + ( 2)= (0) + ( 2) =0 2 = 2 2,5685 Druhá derivace je ve zkoumaném bodě záporná, funkce je tedy v tomto bodě konkávní. Nalezený bod ; je tedy lokálním vázaným maximem. 4

5 Příklad 2 Najděte body, v nichž má funkce (,,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,,)=0, je-li: a) (,,)= +, (,,)=++ 1 Poznámka I v tomto příkladu využijeme první způsob výpočtu vázaných extrémů. Úloha se řeší podle následujícího principu. Lze-li z funkce (,,)=0 vyjádřit jako funkci a, pak dosazením do funkce redukujeme problém na hledání extrému funkce dvou proměnných. Řešení 2a Máme najít body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: (,,)= +, (,,)=++ 1 Z rovnice (,,)=0 vyjádříme jako funkci a. ++ 1=0 =1 Dosadíme do předpisu funkce (,,), tím tuto funkci převedeme na funkci dvou proměnných (,)= (1 ) +(1 ) (,)=+ Nyní budeme hledat lokální extrém takto modifikované funkce. Vypočteme první parciální derivace =1 2 =1 2 Lokální extrémy leží v bodech, v nichž jsou obě parciální derivace nulové. Musí tedy platit 1 2 =0 1 2=0 Z první rovnice vyjádříme =1 2 A dosadíme do druhé rovnice 1 2(1 2)= =0 1+3=0 = 1 3 5

6 = 1 3 Nalezli jsme tedy bod ;, ve kterém může být lokální extrém. Abychom určili, zda se jedná o lokální minimum či lokální maximum, vypočítáme druhé parciální derivace nejprve obecně = 2 = 2 Dosadíme souřadnice nalezeného bodu (to je v tomto případě poněkud zbytečné, neb druhé parciální derivace jsou konstantní) 1 3 ;1 3 = ;1 3 = 2 Funkce je v nalezeném bodě konkávní, proto je v tomto bodě lokální maximum. Dopočteme = =1 3 je bod ; ; bodem, ve kterém má funkce vázané lokální maximum. 6

7 Příklad 3 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)=, (,)= + lok.max.v 1,1, 1, 1 2 lok.min.v 1, 1, 1,1 b) (,)= +2, (,)= 2+2 lok.max.v 2, 2 +4 lok.min.v 0,0 c) (,)=+, (,)= 1 1 2, lok.max.v lok.min.v 2, 2 Poznámka I tyto úlohy lze řešit pomocí první metody. Nyní již ale bude vyjádření poněkud obtížnější, respektive poskytne více výsledků. Tento typ úloh je ale již velmi vhodný pro použití Lagrangeovy metody. Tu lze stručně popsat jako sestrojení funkce (,)=(,)+(,). Má-li funkce v bodě ; křivky (,)=0 lokální extrém na této křivce, pak existuje konstanta taková, že pro funkci (,) jsou v bodě ; splněny rovnice ( ; )=0, ( ; )=0, ( ; )=0 Vázané extrémy tedy lze hledat tak, že sestrojíme funkce (,) a řešíme uvedené tři rovnice pro neznámé ; ;. To, zda se jedná o vázané lokální minimum či maximum, rozhodneme pomocí hodnot druhých parciálních derivací funkce (,) v každém z těchto bodů. Konkrétně rozhodneme pomocí druhého diferenciálu. Označme = (, ), = (, ), = (, ), V bodě, je vázané lokální minimum (respektive maximum), jestliže >0 a současně >0, respektive <0. Řešení 3a Máme najít body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: (,)=, (,)= + 2 Sestrojíme funkci (,)=+( + 2) Sestavíme rovnice, které budeme řešit vzhledem k neznámým ; ; ( ; )= +2 =0 ( ; )= +2 =0 7

8 + 2=0 Z první rovnice vyjádříme = 2 Dosadíme do druhé a třetí rovnice +2( 2 )=0 +( 2 ) 2=0 4 =0 +4 2=0 Dále (1 4 )=0 (1+4 ) 2=0 Z první rovnice dostáváme buď =0 nebo 1 4 =0. Ale první případ nepřipadá v úvahu, protože pak by byla byla ve sporu druhá rovnice. Proto nutně 1 4 =0 Tudíž První případ Zvolíme = 1 4, =± 1 2 Dosadíme do prvních dvou rovnic v původním tvaru A dále Pro první případ jsme tedy dostali dvě řešení = = =0 + 2=0 + =0 + =0 + 2=0 = +( ) 2=0 2 =2 =±1 = 1 2, =1, = 1 8

9 Druhý případ Zvolíme = 1 2, = 1, =1 = 1 2 Dosadíme do prvních dvou rovnic v původním tvaru = =0 + 2=0 =0 =0 + 2=0 = +( ) 2=0 A dále 2 =2 =±1 Pro druhý případ jsme tedy dostali také dvě řešení = 1 2, =1, =1 = 1 2, = 1, = 1 Našli jsme tedy čtyři body, ve kterých může mít funkce vázaný lokální extrém. Vypočteme nejprve obecně =2 =1 =2 Do těchto druhých parciálních derivací dosadíme postupně všechny vytipované body a rozhodneme o tvaru extrému. Pro bod 1; 1 máme = 1 2, = =2 1 2 =1, = =1, = =2 1 2 =1, =0 V tomto bodě tedy funkce f má vázané lokální minimum. Pro bod 1;1 máme = 1 2, = =2 1 2 =1, = =1, = =2 1 2 =1, =0 9

10 V tomto bodě tedy funkce f má vázané lokální minimum. Pro bod 1;1 máme = 1 2, = =2 1 2 = 1, = =1, =0 V tomto bodě tedy funkce f má vázané lokální maximum. Pro bod 1; 1 máme = 1 2, = =2 1 2 = 1, = =1, = =2 1 2 = 1, = =2 1 2 = 1, =0 V tomto bodě tedy funkce f má vázané lokální maximum. O maximu a minimu nám pomohly rozhodnout spíše hodnoty a, protože výraz je nulový. Řešení 3b Máme najít body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: (,)= +2, (,)= Sestrojíme funkci (,)= +2 +( ) Sestavíme rovnice, které budeme řešit vzhledem k neznámým ; ; ( ; )=2 +2 2=0 ( ; )= =0 Rovnice upravíme Z první dvou rovnic vyjádříme Dosadíme do třetí rovnice =0 + =0 + += =0 = 1+ = =0 2 (1+) (1+) 1+ =0 Dále převedeme na společný jmenovatel 10

11 Proto nutně První případ Zvolíme Vypočteme 2 (1+) 2(1+) + (1+) 4(1+) = (1+) =0 3 6 =0 (1+) 3(+2) (1+) =0 (+2)=0 =0, = 2 =0 = =0 = =0 Pro první případ jsme tedy dostali řešení =0, =0, =0 Druhý případ Zvolíme = 2 Vypočteme 2 = 1+( 2) =2 = ( 2) 1+( 2) = 2 Pro druhý případ jsme tedy dostali řešení = 2, =2, = 2 Našli jsme tedy dva body, ve kterých může mít funkce vázaný lokální extrém. Vypočteme nejprve obecně =2+2 =0 =4+4 Do těchto druhých parciálních derivací dosadíme postupně všechny vytipované body a rozhodneme o tvaru extrému. Pro bod 0;0 máme 11

12 =0, = =2+2 0=2, = =0, =8 V tomto bodě tedy funkce f má vázané lokální minimum. Pro bod 2; 2 máme = =4+4 0=4, = 2, = =2+2 ( 2)= 2, = =0, = =4+4 ( 2)= 4, =8 V tomto bodě tedy funkce f má vázané lokální maximum. Řešení 3c Máme najít body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: (,)=+, (,)= Sestrojíme funkci (,)= Sestavíme rovnice, které budeme řešit vzhledem k neznámým ; ; ( ; )=1 2 =0 ( ; )=1 2 =0 Z první rovnice vyjádříme Dosadíme do třetí rovnice Tedy =0 1 2 = 2 = =0 2 2 =1 2 =2 ±2= 2 =± 8 2, =± 2 12

13 První případ Zvolíme Vypočteme = 2 Pro první případ jsme tedy dostali řešení Druhý případ Zvolíme Vypočteme Pro první případ jsme tedy dostali řešení = 2 2 = 2 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2, = 2, = 2 = 2 2 = 2 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2 = 2, = 2, = 2 Našli jsme tedy dva body, ve kterých může mít funkce vázaný lokální extrém. Vypočteme nejprve obecně =6 = 6 =0 =6 = 6 Do těchto druhých parciálních derivací dosadíme postupně všechny vytipované body a rozhodneme o tvaru extrému. Pro bod 2; 2 máme = 2, = 2; 2=6 2 = = 3 2, = ( 2; 2)=0, = ( 2; 2)=6 2 = = 3 2, = 9 2 V tomto bodě tedy funkce f má vázané lokální minimum. 13

14 Pro bod 2; 2 máme = 2, = 6 2 2; 2= 2 = 6 2 = 3 4 2, = ( 2; 2)=0, = ( 2; 2)= = = 3 2, = 9 2 V tomto bodě tedy funkce f má vázané lokální maximum. 14

15 Příklad 4 Najděte globální extrémy funkce (, na předepsané množině, je-li: a), 2 461,, :0,0,3 b), 4,, :0,0,60 c),,, : 4 globální maximum v 2,0,globální minimum v 0,2 Řešení 4a Máme nalézt globální extrémy funkce (, na předepsané množině, je-li:, 2 461,, :0,0,3 Nejprve si zobrazíme množinu, která je omezena třemi přímkami, které tvoří její hranice zadané nerovnostmi v zadání. Daná funkce je v oblasti M spojitá, má tam tudíž extrémy. Body extrémů jsou buď stacionární body v M, nebo body na hranici M. Stacionární body určíme z podmínek nulovosti parciálních derivací. Dostaneme Rovnice upravíme

16 Z druhé rovnice vyjádříme = Dosadíme do první rovnice +230 dostáváme souřadnice stacionárního bodu 1, 1 Je zřejmé, že stacionární bod 1;1 je vnitřním bodem množiny. Hodnota funkce v tomto bodě je 1, Nyní prozkoumáme hranici. Je tvořena třemi úsečkami, jež si označíme,,. Na úsečce je 0, 03,,0 61 Hledáme v tomto případě nejmenší a největší hodnotu funkce na uzavřeném intervalu 0;3. Extrémních hodnot může funkce nabývat buď ve stacionárním bodě, nebo v krajním bodě intervalu. Vypočteme derivaci 26. vidíme, že stacionární bod je současně krajním bodem 3. Stačí tedy vyšetřit hodnoty 0, , Na úsečce je 0, 03, 0, 2 1 Hledáme v tomto případě nejmenší a největší hodnotu funkce na uzavřeném intervalu 0;3. Extrémních hodnot může funkce nabývat buď ve stacionárním bodě, nebo v krajním bodě intervalu. Vypočteme derivaci 4. vidíme, že stacionární bod je současně krajním bodem 0. Stačí tedy vyšetřit hodnoty 0, , Na úsečce je 3, 03,, Hledáme v tomto případě nejmenší a největší hodnotu funkce na uzavřeném intervalu 0;3. Extrémních hodnot může funkce nabývat buď ve stacionárním bodě, nebo v krajním bodě intervalu. Vypočteme derivaci vidíme, že stacionární bod má x-ovou souřadnici 1,8. Vyšetříme tedy hodnoty 1,8;31,8 1,85 1,8 18 1,8192,8 3, , Nyní můžeme rekapitulovat. Na množině nabývá funkce nejmenší hodnoty -19 v bodě 0;3. Největší hodnoty -1 nabývá v bodě 0;0. Formálně zapsáno gmin =(0;319 gmax =(0;01 16

17 Řešení 4b Máme nalézt globální extrémy funkce (, na předepsané množině, je-li:, 4,, :0,0,60 Nejprve si zobrazíme množinu, která je omezena třemi přímkami, které tvoří její hranice zadané nerovnostmi v zadání. Daná funkce je v oblasti M spojitá, má tam tudíž extrémy. Body extrémů jsou buď stacionární body v M, nebo body na hranici M. Stacionární body určíme z podmínek nulovosti parciálních derivací. Dostaneme Rovnice vyjádříme samostatně Z první rovnice vyjádříme Dosadíme do druhé rovnice Tuto rovnici budeme postupně upravovat

18 Nyní vidíme, že rovnice má tři řešení pro. K nim si z dříve odvozeného vztahu najdeme příslušná. 0, , , Je zřejmé, že stacionární body 2;0 a 0;4 jsou hraničními body množiny a stacionární bod 1;2 je jejím vnitřním bodem. Hodnota funkce v těchto bodech je 2, , , Nyní prozkoumáme hranici. Je tvořena třemi úsečkami, jež si označíme,,. Na úsečce je 0, 0 6,, Vidíme, že na úsečce má funkce konstantní hodnotu 0. Ta je tedy na této úsečce i extrémní hodnotou. Na úsečce je 0, 0 6, 0, Vidíme, že na úsečce má funkce konstantní hodnotu 0. Ta je tedy na této úsečce i extrémní hodnotou. Na úsečce je 6, 0 6,, Hledáme v tomto případě nejmenší a největší hodnotu funkce na uzavřeném intervalu 0;6. Extrémních hodnot může funkce nabývat buď ve stacionárním bodě, nebo v krajním bodě intervalu. Vypočteme derivaci Derivace ve stacionárním bodě musí být nulová. Dostáváme tedy rovnici

19 Postupně upravíme vidíme, že stacionární body mají x-ovou souřadnici 2 a 6. Vidíme, že druhý stacionární bod je zároveň i krajním bodem. Vyšetříme tedy hodnoty: 2; ; , , Nyní můžeme rekapitulovat. Na množině nabývá funkce nejmenší hodnoty -64 v bodě 2;4. Největší hodnoty +2 nabývá v bodě 1;2. Formálně zapsáno gmin 2;464 gmax 1;22 Řešení 4c Máme nalézt globální extrémy funkce (, na předepsané množině, je-li:,,, : 4 Poznámka V tomto případě můžeme být mírně na rozpacích. Zadání množiny se nezdá býti jednoznačným. Pod tímto zápisem si lze jistě představit čtverec v prvním kvadrantu s jedním vrcholem v počátku, dvěma vrcholy na osách a o délce hrany 4. Stejně tak si ale je možné pod tímto zápisem představit kruh se středem v počátku a poloměrem 2. Jako první možnost mne napadl ten kruh, proto budu úlohu řešit s kruhem. Je to ostatně o něco málo těžší, takže snad i zábavnější. Konec poznámky Nejprve si zobrazíme množinu, která je omezena kružnicí. 19

20 Tuto kružnici nahradíme dvěma kruhovými oblouky tvořícími její horní a dolní polovinu. Tyto kruhové oblouky snadno popíšeme jako funkce 4 4 Pro hranici množiny M tedy dostaneme dva kruhové oblouky s právě odvozeným popisem. Daná funkce je v oblasti M spojitá, má tam tudíž extrémy. Body extrémů jsou buď stacionární body v M, nebo body na hranici M. Pro lepší představu si můžeme funkci f zobrazit. Zjevně se jedná o sedlovou plochu. Stacionární body určíme z podmínek nulovosti parciálních derivací. Dostaneme 20

21 20 20 je zřejmé, že souřadnice stacionárního bodu jsou 0, 0 Je zřejmé, že stacionární bod 0;0 je vnitřním bodem množiny. Hodnota funkce v tomto bodě je 0, Nyní prozkoumáme hranici. Je tvořena dvěma kruhovými oblouky, jež jsme si již výše označili,. Na oblouku je 4, 22,, Pro funkci tedy máme situaci z obrázku Hledáme v tomto případě nejmenší a největší hodnotu funkce na uzavřeném intervalu 2;2. Extrémních hodnot může funkce nabývat buď ve stacionárním bodě, nebo v krajním bodě intervalu. Vypočteme derivaci 4. vidíme, že x-ová souřadnice stacionárního bodu je 0. To je vnitřní bod zkoumaného intervalu. Vyšetříme tedy hodnoty 2, , , Na oblouku je 4, 22,,

22 Pro funkci tedy máme situaci z obrázku (vidíme, že jde o zcela stejnou situaci, jako u ) Vzhledem k tomu, že jde o stejnou situaci, tak se v následujícím odstavci budeme až na nepatrné výjimky opakovat. Hledáme v tomto případě nejmenší a největší hodnotu funkce na uzavřeném intervalu 2;2. Extrémních hodnot může funkce nabývat buď ve stacionárním bodě, nebo v krajním bodě intervalu. Vypočteme derivaci 4. vidíme, že x-ová souřadnice stacionárního bodu je 0. To je vnitřní bod zkoumaného intervalu. Vyšetříme tedy hodnoty 2, , , Nyní můžeme rekapitulovat. Na množině nabývá funkce nejmenší hodnoty -4 v bodech 0;2 a 0;2. Největší hodnoty 4 nabývá v bodech 2;0 a 2;0. Formálně zapsáno gmin 0;20;24 gmax 2;02;04 22