Matematická rozcvička pro KMA/MAT a KMA/MT Pro rozhýbání použijeme část z podařených podpůrných materiálů ke knize Sally Jordan, Shelagh Ross, and Pat Murphy: Maths for Science. Oxford University Press, 202. Tyto jsou dostupné na adrese http://global.oup.com/ uk/orc/biosciences/maths/jordan/0student/exercises/, kde naleznete i mnohé další úlohy i s jejich řešením. Začneme (velmi) opatrně Počítání se zápornými čísly Úloha Q..: Bez použití kalkulačky vypočtěte: (a) 2 + ( 5) (b) 2 ( 5) (c) 2 ( 5) (d) ( 2) ( 5) (e) ( 2) ( 5) (f) ( 8) 4 (g) 8 : ( 4) (h) ( 8) + 4 (i) ( 0) : 5 Úloha Q..2: S použitím kalkulačky vypočtěte: (a) ( 76) + 2678 (b) 56 ( 27) (c) ( 07) + ( 578) (d) ( 274) ( 5670) (e) 27 ( 67) (f) ( 20748) : ( 76) Sčítání a odčítání zlomků Úloha Q..: Vypočtěte a výsledek převed te na co nejjednodušší zlomek: (a) + 5 (c) 2 7 + 2 5 (e) 4 8 (b) 2 2 5 (d) 2 7 2 (f) 2 4 + 0
Násobení zlomků Úloha Q..4: Vypočtěte a výsledek převed te na co nejjednodušší zlomek: (a) 7 6 2 (b) 5 8 2 (c) 2 5 4 Dělení zlomků Úloha Q..5: Vypočtěte a výsledek převed te na co nejjednodušší zlomek: (a) 4 : 2 7 (c) : 2 5 (e) 2/5 6/5 (b) 8 : 5 (d) 2 : 2 9 Počítání s procenty Úloha Q..6: Následující procenta převed te na co nejjednodušší zlomky: (a) 5% (b) 60% (c) 64% (d) 69% Úloha Q..7: Následující zlomky převed te na procenta: 7 (a) 0 (b) 25 (c) 2 (d) 6 Úloha Q..8: Vyčíslete následující podíly: (a) 5 8 z 64 (b) 5 z 90 (c) % z 500 (d) 95% z 50 2
Mocniny Úloha Q..4: Bez použití kalkulačky vypočtěte: (a) 6 0 (b) 0 (c) 6 2 (d) 2 4 (e) 2 (f) 2 (g) 2 (h) 2 (i) 5 (j) 5 2 (k) 5 0 Zkontrolujte, zda stejné výsledky obdržíte i na kalkulačce. Násobení a dělení s mocninami Úloha Q..5: Následující výrazy zjednodušte na co nejjednodušší mocniny: (a) 6 27 : 6 (b) 6 (c) 08 0 4 (d) 0 8 0 9 (e) 0 4 : 0 27 (f) 0 0 0 Úloha Q..6: S použitím kalkulačky vypočtěte: (a) 5 2 (b) 4 2 (c) 4 + 4 4 (d) 4 4 4 Úloha Q..7: Následující výrazy zjednodušte na co nejjednodušší mocniny: (a) ( 8 9 (b) 2) 90 (c) 4 0 2 2 Mocniny mocnin Úloha Q..8: Následující výrazy zjednodušte na co nejjednodušší mocniny: (a) ( 5 2) 4 (e) ( 5 9) (i) ( 5 4) (b) ( 6 ) 6 (c) ( 5 ) 2 (f) ( 0 2) (g) ( 0 ) (j) ( ) 0 0 (d) ( 5 2) (h) ( 2 ) 2
Úloha Q..9: Následující výrazy zjednodušte na co nejjednodušší mocniny: (a) ( 0 0 5) 2 (b) ( ) 7 6 5 (c) 7 2 ( ) 2 2 4 Odmocniny a mocniny s racionálními exponenty (podíl celého a přirozeného čísla) Úloha Q..20: Bez použití kalkulačky vypočtěte (při výpočtech je dobré si uvědomit, že 2 = 8, 2 4 = 6, 2 5 = 2, = 27, 4 = 64, 5 = 25, 9 2 = 8, 0 2 = 00, 0 = 000): (a) 00 2 (b) 25 (c) 6 2 (d) 6 4 (e) 2 5 (f) 9 2 (g) 8 2 (h) 8 (i) 27 (j) 0,25 2 (Nápověda: 0,25 si můžete vyjádřit jako zlomek.) Zkontrolujte, zda stejné výsledky obdržíte i na kalkulačce. Úloha Q..2: Následující výrazy zjednodušte na co nejjednodušší mocniny: (a) ( 0 2 (b) ( 0 2 ) 20 ) 2 (c) ( 0 0) 5 (d) ( ) (e) ( 6 9) (f) ( π ) 4 (g) 8 (h) (08 ) 2 ( 0 ) 9 (i) ( ) 0 7 ( ) 2 0 9 2 Úloha Q..22: Bez použití kalkulačky vyčíslete následující výrazy (při výpočtech je dobré si uvědomit, že 2 = 8, 2 4 = 6, 2 5 = 2, = 27, 4 = 64, 5 = 25, 9 2 = 8, 0 2 = 00, 0 = 000): (a) 9 2 (b) 6 5 4 (c) 00 2 (d) 00 2 (e) 4 5 2 (f) 2 2 5 (g) 2 2 5 (h) 9 2 (i) 4 2 (j) 25 2 (k) 0,25 2 (Nápověda: 0,25 si můžete vyjádřit jako zlomek.) Zkontrolujte, zda stejné výsledky obdržíte i na kalkulačce. 4
Správné pořadí operací Úloha Q..2: Bez použití kalkulačky vypočtěte (dejte pozor na správné pořadí operací): (a) 2 4 + 7 (b) (2 + 4)( ) (c) 2 2 (d) (2 + 5) 2 (e) (6 2 2 ) 2 (f) 2 6 2 2 (g) 2(25 5 2 ) (h) 2 ( + ) (i) 4 + 2 4 Úpravy algebraických výrazů Úpravy rovnic Úloha Q.5.: (a) Z rovnice h = g vyjádřete g. (b) Z rovnice c = ba vyjádřete a. (c) Z rovnice g = f + h vyjádřete f. (f) Z rovnice h = f g (g) Z rovnice h = f g vyjádřete f. vyjádřete g. (d) Z rovnice a = b 4 vyjádřete b. (e) Z rovnice C = 2πr vyjádřete r. (h) Z rovnice a 2 = b vyjádřete b. (i) Z rovnice a 2 = b vyjádřete a. Úloha Q.5.2: (a) Z rovnice c = 2d vyjádřete d. (b) Z rovnice q = mc T vyjádřete c. (c) Z rovnice Eg = mg h vyjádřete h. (d) Z rovnice a = b+c+d+e vyjádřete d. (e) Z rovnice d = bcf g (f) Z rovnice d = bcf g (g) Z rovnice a = bc de vyjádřete c. vyjádřete g. vyjádřete d. 5
Úloha Q.5.: (a) Z rovnice h = gk f vyjádřete f. (b) Z rovnice h = gk f vyjádřete g. (c) Z rovnice h = fg 2 vyjádřete f. (d) Z rovnice A = πr 2 vyjádřete r. (e) Z rovnice V = 4 πr vyjádřete r. (f) Z rovnice h = (g) Z rovnice a = 2 d fg b cd vyjádřete d. vyjádřete d. Úloha Q.5.4: (a) Z rovnice C = 5 (F 2) 9 vyjádřete F. (b) Z rovnice v 2 = u 2 + 2as vyjádřete a. (c) Z rovnice v 2 = u 2 + 2as vyjádřete u. (d) Z rovnice F el = vyjádřete q. 4πǫ 0 q q 2 r 2 (e) Z rovnice F el = vyjádřete r. (f) Z rovnice v p = vyjádřete ρ. (g) Z rovnice v p = vyjádřete µ. 4πǫ 0 q q 2 r 2 k + 4µ ρ k + 4µ ρ Zjednodušování rovnic Úloha Q.5.9: Zjednodušte následující výrazy: (a) h ν λ (b) ab c : b (c) ab c : b (d) ab c b a (e) b a + c 2a (f) a b 2 + b 4π (g) (g + ) g 2 h 2 (h + ) (h) 2b + c (2c + d) a 2 2 a 2 (i) (j) 2π h (h + ) 2π h (h + 2) 2π h (h + ) : 2π h (h + 2) 6
Úloha Q.5.0: Přepište následující výrazy tak, že se zbavíte závorek (většinou násobením) a výsledky co nejvíce zjednodušíte: (a) 2a(a + 5) (b) (4b 5) (c) (a 2)(a + ) (d) (a 2)(a 7) (e) (2a + ) 2 (f) (2a + b)(a + c) (g) (s 2 )(s 2 + ) (h) c(c + ) + c + (i) (b 2 ) (b+)(b ) (j) (g )(g 2 + g + ) Úloha Q.5.: Následující výrazy převed te na součin: (a) a 2 2a (b) 2b 2 + 6b (c) 4 πr + πr 2 h Úloha Q.5.2: Z rovnice V = π r2 h + πr 2 h 2 vyjádřete r a výsledek co nejvíce zjednodušte. Úloha Q.5.: S využitím výsledků z Q.5.0 nalezněte řešení následujících kvadratických rovnic: (a) 6a 2 + 0a = 0 (b) a 2 + a 6 = 0 (c) a 2 a + 4 = 0 (d) 4a 2 + 2a + 9 = 0 Úloha Q.5.4: S využitím vzorce vyřešte následující kvadratické rovnice: (a) x 2 + 6x + 9 = 0 (b) x 2 6x + 5 = 0 (c) x 2 5x 6 = 0 (d) 2x 2 5x = 0 Kombinování rovnic Úloha Q.5.5: (a) Zkombinujte rovnice a = ω 2 r a ν = ωr tak, abyste dostali rovnici pro r, která neobsahuje ω. (b) Zkombinujte rovnice F x = ma x a ν x = u x + a x t tak, abyste dostali rovnici pro F x, která neobsahuje a x. (c) Zkombinujte rovnice E = mc T a E = mg h tak, abyste dostali rovnici pro c, která neobsahuje E. 7
Úloha Q.5.6: (a) Zkombinujte rovnice m = n p a p = s r neobsahuje p. tak, abyste dostali rovnici pro r, která (b) Zkombinujte rovnice a = bcd a e = ct tak, abyste dostali rovnici pro d, která neobsahuje c. n (c) Zkombinujte rovnice m = p a p = 9a2 tak, abyste dostali rovnici pro n, n která neobsahuje p. Úloha Q.5.7: (a) Zkombinujte rovnice b = a c a d = ce2 tak, abyste dostali rovnici pro a, která neobsahuje c. (b) Pokud v předchozích dvou rovnicích je a měřeno v newtonech, b v kilogramech a d v metrech, v jakých jednotkách, vyjádřených jen pomocí základních jednotek SI (metr, kilogram, sekunda, ampér, kelvin, mol, kandela) je potom veličina e? (Nápověda: nejprve si pomocí základních jednotek SI vyjádřete odvozenou jednotku newton.) 8