Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Transkript

1 Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou reálnou osu R {, + } značíme R. Nekonečna nazýváme nevlastními body rozšířené reálné osy. Limitu L R funkce f v bodě 0 R značíme. bud lim 0 f(), 2. nebo f() L pro 0. Jednostranné limity v bodě 0 R značíme. limitu zprava: + 0, 2. limitu zleva: 0. Limita spojité funkce limitu počítáme dosazením K výpočtu limity funkce f v bodě 0 R, která je v bodě 0 spojitá použijeme větu. Při výpočtu pak využíváme toho, že všechny elementární funkce jsou spojité na svých definičních oborech. Věta. Funkce f je v bodě 0 R spojitá právě když má v bodě 0 limitu a ta je rovna f( 0 ). Příklad 2. Limita funkce f : (2 2 3)/(2 2 + ) /5. v bodě 2 je rovna f(2) Použití základních limit Hodnoty následujících limit spočítáme přímo z definice (výpočet zatím v tetu není) pro + a, n log pro 0 + a +, pro +. e pro a +.

2 Další limity spočítáme pomocí věty o sevřené funkci (zatím v tetu není) sin pro 0, e pro 0. Limity a aritmetické operace K použití věty 3 potřebujete znát, jak jsou definovány aritmetické operace výrazů obsahujících nekonečna. Najdete je v tetu Jiřího Veselého, Základy matematické analýzy, definice na straně 64. Uspořádání najdete v definici na straně 60. Věta 3. Necht májí funkce f, g v bodě 0 R limity rovné F, G R. Pak má v bodě 0 : funkce f + g limitu rovnu F + G, pokud je F + G definováno, funkce f g limitu rovnu F G, pokud je F G definováno, funkce f g limitu rovnu F G, pokud je F G definováno, funkce f/g limitu rovnu F/G, pokud je F/G definováno. Tvrzení platí pro oboustranné limity, i pro jednostranné limity. Příklad 4. Máme spočítat limitu funkce f : 2 5 pro +. Větu 3 3 použijeme k výpočtu limity čitatele vyjde 2 (+ ) 5, což je definováno a je rovno +. Podobně spočítáme limitu jmenovatele: 3 (+ ). Větu o limitě podílu ale použít nemůžeme, protože podíl + /( ) není definován. Pomůžeme si úpravou (2 5) (3 ) Po úpravě je limita čitatele rovna 2 5/(+ ) 2, limita jmenovatele 3/(+ ) a věta o limitě podílu dá výsledek f() 2/( ) 2 pro +. Příklad 5. Chceme spočítat limitu funkce f : (3 +3)(2 ) log v bodě 0 zprava. V čitateli je funkce spojitá v bodě 0 zprava, limitu tedy spočítáme dosazením a dostaneme ( )(2 0) 6. Ve jmenovateli je základní limita, která je rovna. Podíl 6/( ) je definován (je roven 0). Použitím věty o limitě podílu dostaneme f() 0 pro 0 +. Přidejme ještě větu o limitě typu a/0. Poznámka 6. Připomínáme, že prstencové okolí bodu 0 R je P( 0 ) ( 0 δ, 0 ) ( 0, 0 + δ).

3 Poznámka 7. Formulace g() nabývá v nějakém prstencovém okolí bodu 0... ve větě 8 by precizněji zformulována zněla eistuje prstencové okolí bodu 0 takové, že na něm g() nabývá.... Věta 8. Necht má funkce f v bodě 0 R limitu rovnu F R \ {0}. Funkce g necht má v bodě 0 limitu rovnu nule a necht g() nabývá v nějakém prstencovém okolí bodu 0 kladných hodnot. Pak má v případě F > 0 funkce f/g v bodě 0 limitu rovnu +. V případě F < 0 je limita f/g v bodě 0 rovna. Poznámka 9. Výslednou limitu ve větě 8 lze v obecném případě F R \{0} zapsat sgn(f ) (+ ). Poznámka 0. Pokud chceme použít větu 8 na případ, kdy je funkce g ve jmenovateli na okolí bodu 0 záporná, stačí rozšířit zlomek f/g na ( f)/( g). Poznámka. Věta 8 platí i pro jednostranné limity. Příklad 2. Limita funkce 3 3+ ( 2) 4 funkce je v bodě 2 rovna. ( 2) 4 je v bodě 2 rovna +. Limita Příklad 3. Limita funkce 3 3+ je v bodě 2 zprava rovna + a ( 2) 3 v bodě 2 zleva rovna. Oboustrannou limitu funkce v bodě 2 nemá. Spojité rozšíření Věta 4. Necht na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R platí f() g(). Necht je dále funkce g spojitá v bodě 0. Pak má funkce f v bodě 0 limitu rovnu g( 0 ). Příklad 5. Máme spočítat limitu funkce f : +3 v bodě Pro D(f) R \ {3, 3} platí f(). Funkce g : je v bodě spojitá. Podle věty 4 je limita funkce f v bodě 3 rovna g( 3) /6. Poznámka 6. Limity racionální funkce počítáme pokrácením kořenového činitele podobně jako v příkladu 5. Příklad 7. Máme spočítat limitu lim Dosazením dostaneme 3 0/0 to není definováno, ale získali jsme informaci, že je kořenem čitatele i jmenovatele. Vydělíme čitatele kořenovým činitelem ( ) : ( ) a dostaneme Podobně bud dělením nebo použitím vzorce

4 získáme ( 3 ) : ( ) Nyní upravujeme a dostaneme ( )( ) ( )( ) lim Poznámka 8. U limit iracionálních funkcí (tj. funkcí, které kromě aritmetických operací obsahují ještě odmocniny) si k odstranění iracionalit pomůžeme použitím vzorců a n b n (a b)(.... Příklad 9. Chceme spočítat limitu funkce f : 2 3+ v bodě Věta 3 nám nepomůže, protože 0 není definováno. Rozšíříme zlomek výrazem (2 3 + )( ) ( )( ), roznásobíme čitatele (2 3 + )( ) ( )( ) 3 3 ( )( ) a upravíme na součin K výpočtu limity tohoto součinu použijeme větu 3 pro součin. Přitom limitu prvního zlomku spočítáme pokrácením kořenovým činitelem podobně jako v příkladu 7 a limitu druhého zlomku dosazením. Výsledek je Příklad 20. Chceme spočítat limitu funkce f v bodě 2 f : ( + 3) 2 (3 + 2 )( 2 + 5) ( 3 + 6)( ) Dosazením dostaneme K odstranění iracionalit (tj. odmocnin), které 0 0 nabývají nulových hodnot, použijeme úpravy + 3 ( + 3)( + + 3) ( + 6 2)( ). + 2

5 Hodnota f() pak po úpravách vyjde ( + 3) 2 (3 + 2 )( 2 + 5) ( 3 + 6)( + 6 2) ( ) (3 + 2 )( 2 + 5) Před použitím věty 3 oddělíme nulové a nenulové části ( ) (3 + 2 )( 2 + 5) ( 2) 2 ( 3 + 6)( + 2) (3 + 2 )( 2 + 5)( ) ( ) 2 Nyní použijeme větu 3 pro součin, přitom limitu prvního zlomku vypočteme pokrácením kořenovým činitelem a druhého zlomku dosazením. Výsledek je Limita složené funkce Věta 2. Necht má funkce f limitu v bodě 0 R rovnu l R a necht je funkce g spojitá v bodě l. Pak má funkce g f : g(f()) v bodě 0 limitu rovnu g(l). Příklad 22. V příkladu 7 jsme spočítali limitu lim Věta 2 nám dá lim , lim sin lim sin 4 3, Věta 23. Necht má funkce f v bodě 0 R nevlastní limitu rovnu l {+, } a necht má funkce g v bodě l limitu L. Pak má funkce g f : g(f()) v bodě 0 limitu rovnu L. Věta platí pro oboustrannou i jednostranné limity v bodě 0. Příklad 24. Máme spočítat limitu funkce 2 tg v bodě π zprava. 2 Dosazením π sin do tg dostaneme a použitím věty 8 (kosinus nabývá 2 cos 0 v pravém okolí π záporných hodnot) získáme lim 2 π/2 tg.

6 Věta 23 pak dá lim π/2 2 tg lim y 2 y. Poslední limita patří mezi základní limity a je rovna nule. Limity iracionálních funkcí v nevlasním bodě Příklad 25. Výpočet si ukážeme na příkladu limity funkce f v bodě +. Zlomek rozšíříme výrazem 5 f : a s použitím vztahu 5 0 ( ) 5 ( 5 + ) 5 platného pro > 0 upravíme na K výpočtu limity odmocniny použijeme větu 2. K celkovému 9 0 výsledku pak použijeme větu 3 a dostaneme 3 2. Příklad 26. Při výpočtu limity funkce z příkladu 25 v bodě budeme postupovat obdobně, jen musíme uvážit, že pro < 0 platí 5 Limita vyjde 4. Příklad 27. Vypočtěte limity funkce f v bodech + a f : ( 3 5 ) V bodě stačí použít větu 3. Výsledek je ( ) +. V bodě + větu 3 použít nelze, protože (+ ) (+ ) není definováno. Abychom se tohoto nedefinovaného výrazu zbavili, rozšíříme rozdíl v závorce ( )( ) a čitatele roznásobíme ( )( )

7 Teprve ted výraz 3 ( 3) rozšíříme výrazem a po úpravě použijeme větu 2 na výpočet limity odmocniny a následně použijeme větu 3. Výsledek je 5 0. Limity posloupností Všechny uvedené metody lze použít i na limity posloupností. Věta 28. Necht má funkce f v bodě + limitu L R. Pak má posloupnost {f(k)} k limitu L.