1 FYZIKÁLNÍ MODELY A ANALOGY. ELEKRICKÉ ANALOGY AEROERMOMECHANICKÝCH PROCESŮ Seznámení s aplikací fyzikálních modelů a fyzikálních analogů při řešení aerotermomechanických úloh. Elektrické analogy jako účný prostředek pro řešení řady úloh z oblasti aeromechaniky a šíření tepla. Laboratorní modelování obtékání válce včetně analýzy proudového pole v jeho okolí pomocí elektrického analogu potenciálního proudění ideální tekuty. Porovnání výsledků s analytickým řešením. Laboratorní modelování šíření tepla v rovné stěně pomocí elektrického analogu stacionárního teplotního pole. - 1 -
1.1 CÍL CIČENÍ Seznámit se s fyzikálními modely při řešení úloh. Prcip fyzikálních modelů a jejich možnosti použití. Seznámit se s fyzikálními analogy při řešení úloh. Prcip fyzikálních analogů a jejich možnosti použití. Elektrické analogy jako jeden z nejpoužívanějších druhů fyzikálních analogů. Příklad řešené průmyslové úlohy pomocí elektrických analogů. Elektrický analog hydrodynamické úlohy. Provést analýzu proudového pole v okolí obtékaného válce pomocí elektrické analogie. Na dvourozměrné úloze potenciálního obtékání válce ideální nestlačitelnou tekutou nalézt proudnice a izočáry potenciálu rychlosti proudového pole. Změřit velikosti rychlosti proudící tekuty na osách x a y, dále po obvodu válce. Zjištěné průběhy rychlostí porovnat s výsledky podle analytických vztahů. Elektrický analog tepelné úlohy. Provést analýzu teplotního pole v rovné stěně pomocí elektrické analogie. Na dvourozměrné úloze šíření tepla mezi tekutou v levém vnitřním prostředí, materiálem stěny a pravým vnějším prostředím naměřit teploty uvnitř stěny a na jejím vnitřním a vnějším povrchu. Prakticky si vyzkoušet převod tepelné úlohy na elektrickou, vytvoření elektrické úlohy pomocí polovodivých papírů, změření elektrických potenciálů a zpětné převedení výsledků řešení na tepelné veličy. 1.2 FYZIKÁLNÍ MODELY A FYZIKÁLNÍ ANALOGY 1.2.1 Fyzikální modely Fyzikální modelování je založeno na prcipu fyzikální podobnosti mezi modelem a dílem. Oba dva objekty, resp. procesy, musí splňovat podmínku stejných fyzikálních procesů a tedy i stejného matematického popisu. Fyzikální model je uměle vytvořený objekt (model) na kterém se zkoumá chování díla (origálu). Zvláštním případem fyzikálního modelu je přirozený model, což je dílo (origál) zkoumaný za různých podmínek. Fyzikální modely jsou obvykle fančně i časově náročnější než modely založené na prcipu matematické podobnosti. Postup při fyzikálním modelování vychází z podmínky rovnosti odpovídajících si kritérií podobnosti na modelu a dílu. 1.2.2 Fyzikální analogy Fyzikální analogie je založena na prcipu matematické podobnosti mezi modelem a dílem. Oba dva objekty, resp. procesy, musí splňovat podmínku stejného matematického popisu. - 2 -
mulosti existovala řada různých fyzikálních analogií používaných zejména v hydromechanice, termomechanice, pružnosti, elektrotechnice a dalších oborech. předpočítačové době byly tyto analogie spolu s fyzikálními modely hlavním prostředkem v rozvoji modelování, ale jejich vývoj ustrnul a byl překonán nástupem počítačových modelů. Pouze několik z těchto fyzikálních analogií zůstalo vhodným modelovým prostředkem při řešení některých zvláštních úloh a to v důsledku svého možného zdokonalování vlivem nástupu nových technologií. ýká se to elektrické, optické, chemické a difúzní analogie. yto analogie mohou mít přednosti například v jednoduchosti, názornosti a nenáročnosti. 1.2.3 Příklad průmyslové úlohy řešené pomocí elektrických analogů době, kdy nebyly dostupné metody počítačového modelování, se v aerodynamice a hydrodynamice používala při řešení problémů obtékání profilů elektro-hydrodynamická analogie. yšetřování proudu tekuty v experimentálním kanálu je poměrně náročné a mnohem jednodušší je vyšetřování analogického elektrostatického pole. Jako prostředí, v němž se provádí měření, se volí elektrolytická vana nebo odporový papír. Jako stěny modelovaného kanálu se použijí elektrody a mezi ně se umístí obtékaný profil z elektricky vodivého materiálu. Na povrchu každé z elektrod je konstantní hodnota elektrického potenciálu, stejně tak je konstantní potenciál na povrchu obtékaného tělesa. Ekvipotenciály elektrického pole tedy kopírují povrchy elektrod a vodivé oblasti stejně jako je tomu u proudnic v případě hydrodynamiky, kdy proudnice kopírují stěny kanálu i povrch obtékaného profilu. Ekvipotenciály elektrického pole tedy v tomto experimentálním uspořádání reprezentují proudnice. oto uspořádání se proto nazývá nepřímá analogie mezi hydrodynamickou a elektrostatickou úlohou. případě jého experimentálního uspořádání lze modelovat nikoli proudnice, ale křivky konstantních hodnot potenciálové funkce. tomto uspořádání elektrody reprezentují vstup a výstup proudového kanálu. Stěny kanálu a obtékané těleso jsou reprezentovány elektricky nevodivými oblastmi. Mezi elektrodami protéká elektrický proud, ten se samozřejmě vyhýbá nevodivým oblastem a kopíruje povrch obtékaného tělesa stejně jako tekuta v proudovém kanálu. Zde se tedy mluví o přímé analogii mezi hydrodynamickou a elektrostatickou úlohou. Ekvipotenciály elektrického pole odpovídají ekvipotenciálám hydrodynamického proudového pole. Kromě určení tvaru ekvipotenciál a proudnic lze v přímé analogii měřením gradientu napětí, tj. napětí ve směru proudnic, určovat rychlosti proudění. Jednou z řešených průmyslových úloh bylo modelování potenciálního proudění lopatkovou mříží na elektrickém analogu a fyzikálním modelu. Uvažuje se rovné potenciální proudění dokonalé nestlačitelné tekuty kompresorovou lopatkovou mříží pro zadané geometrické parametry mříže. Úkolem je určit rozložení rychlosti po povrchu lopatkového profilu a provést vzájemné porovnání výsledků měření na elektrickém analogu s výsledky měření na stejné lopatkové mříži v aerodynamickém tunelu při Machově čísle vstupního proudu 0,39. Z výsledků řešení povrchové rychlosti na elektrickém analogu se modeluje vektorové rychlostní pole v lopatkovém kanálu. Řešení na elektrickém analogu zahrnuje dvě základní úlohy. Nepřímou úlohu, při níž se nejdříve modeluje pro zadanou vstupní rychlost a úhel náběhu soustava komplexně - 3 -
sdružených ekvipotenciál a proudnic a z jejich gradientu na povrchu lopatkového profilu rychlost proudění, jíž na elektrickém analogu odpovídá proudová hustota. Přímou úlohu, kdy se z hustoty elektrického proudu, představující okrajovou podmínku 2. druhu, určuje vektorové rychlostní pole v lopatkovém kanálu. Přitom se dá výhodně využít vlastností harmonických funkcí a tzv. logaritmického potenciálu k přímému modelování vektorových polí modulu a argumentu gradientu. ím, že se tato vektorová pole modelují pomocí elektrického potenciálu, se dá dosáhn přesnosti odpovídající přesnosti měření napětí. Obr. 1 ýsledky modelování vektorového rychlostního pole v kompresorové lopatkové mříži ýsledky modelování vektorového pole rychlosti proudění v kanálu kompresorové lopatkové mříže jsou uvedeny na obr. 1. yjadřují je průběhy konstantního modulu (a) a argumentu (b) hydrodynamického potenciálu Φ, jak konstantní velikosti poměrné rychlosti w a konstantního úhlu. ím je určena v libovolném místě lopatkového kanálu nejen velikost rychlosti, ale i směr proudění. K ověření věrohodnosti výsledků dosažených na elektrickém modelu bylo provedeno proměření stejné lopatkové mříže v aerodynamickém tunelu při vstupní rychlosti vzduchu vyjádřené Machovým číslem 0,39, při němž se ještě plně neprojevil vliv stlačitelnosti. Při experimentu se uvažovaly různé alternativy vstupního úhlu od 64º do 42º, což byla optimální hodnota. Pro tuto alternativu je provedeno na obr. 2 porovnání průběhu rychlosti po povrchu lopatky naměřené na elektrickém modelu a na fyzikálním modelu lopatkové mříže v aerodynamickém tunelu. ýsledky vzájemného porovnání ukazují na poměrně dobrý souhlas s tím, že zřetelnější odchylka na přetlakové straně lopatky a zřejmě souvisí s neuvažováním stlačitelnosti proudícího vzduchu. - 4 -
Obr. 2 Porovnání průběhu rychlostí po povrchu kompresorové lopatky při měření na elektrickém analogu a na fyzikálním modelu v aerodynamickém tunelu 1.3 ANALÝZA PROUDOÉHO POLE OKOLÍ OBÉKANÉHO ÁLCE Jsou využity elektrické modely vyjadřující fyzikální pole popisovaná eliptickými rovnicemi, Laplaceovou a Poissonovou. 1.3.1 Elektro-hydrodynamická analogie ychází se z matematické podobnosti rovnic popisujících rozložení hydrodynamického potenciálu na díle a elektrického potenciálu na modelu. Dále platí podmínky fyzikální podobnosti mezi modelem a dílem. Základní hydrodynamické vztahy pro potenciální proudění dokonalé nestlačitelné tekuty mají tvar Laplaceovy rovnice 2 2 Φ = 0 a nebo Ψ = 0, (1) kde Φ je potenciální funkce (hydrodynamický potenciál) a platí pro složky rychlosti při dvourozměrném proudění Ψ je proudová funkce. Dále Φ w x = x, Φ w y =, (2) y - 5 -
Ψ w x =, y Ψ w y =. (3) x Gradient potenciální a proudové funkce má tvar grad grad Φ Φ = i1 wx + i2wy = i1 + i, (4) x y Φ 2 Ψ Ψ = i1 wy + i2wx = i1 + i, (5) x y Ψ 2 kde i1 a i2 jsou jednotkové vektory. Z toho vyplývá, že vektory gradφ a gradψ jsou na sebe kolmé, tj. ekvipotenciály a proudnice jsou na sebe kolné, a jejich absolutní hodnoty jsou si rovny. Základní elektrické vztahy pro elektrostatické pole bez volných nábojů mají analogický tvar rovnice (1) a platí tudíž 2 = 0 a obdobně 2 I = 0, (6) kde je elektrický potenciál a I funkce elektrického proudu. Pro složky proudové hustoty platí analogicky k rovnicím (2) a (3) i x 1 = ρ i x e, x I = 1, h y i y i y 1 = ρ e, (7) y I = 1. (8) h x Porovnáním předchozích hydrodynamických a elektrických vztahů vyplývá analogie Φ ~, w ~ i, Ψ ~ I, w ~ i. (9) x x y y Jako důsledek matematické podobnosti lze odvodit vztah mezi rychlostí proudění a napětím ve dvou místech elektrostatického pole w w ref L ΔU =, (10) U Δl ref - 6 -
kde referenční hodnotou napětí U je napětí mezi elektrodami, referenční rychlostí w je ref rychlost nerozrušeného proudu ve velké vzdálenosti od obtékaného tělesa, L je vzdálenost elektrod, ΔU a Δl jsou napětí mezi hroty a vzdálenost hrotů gradientní dvouhroté sondy. Metodu elektro-hydrodynamické analogie lze rozšířit i na proudění s cirkulací, proudění stlačitelné tekuty, případně i vazké tekuty. Použité elektrické modely mohou být prostorově spojité nebo diskrétní. Okrajová podmínka bývá nejčastěji 1. druhu (Dirichletova), při níž se zná hodnota potenciálu (často 0 a 100%), nebo jeho gradientu (rychlosti proudění). 1.3.2 Úloha ref Úkolem je modelovat pomocí elektrického analogu bezcirkulační obtékání kruhového válce o průměru 71 mm dokonalou nestlačitelnou tekutou. Stanovte: pole proudnic a ekvipotenciál pro jeden kvadrant a v něm pole konstantních velikostí rychlosti, průběh velikosti rychlosti na ose x a na ose y, porovnejte s analytickým vztahem, průběh velikosti rychlosti po obvodu válce, porovnejte s analytickým vztahem. Pole proudnic a ekvipotenciál zjistěte pro hodnoty 10 %, 20 %, 30 %, 35 %, 40 %, 45 % a 50 % napětí mezi elektrodami. Izočáry konstantních velikostí rychlosti změřte pro rychlosti 0,8 w a 1,2 w (v místě, kde osa x protíná povrch válce, by měla být rychlost w = 0; v místě, kde osa y protíná povrch válce, by měla být rychlost w = 2 w ; v místě dostatečně vzdáleném od obtékaného válce (tzv. nenarušené proudění) by měla být rychlost w = w ). Body pro proudnice, ekvipotenciály a izočáry konstatních velikostí rychlosti měřte tak hustě, jak je potřeba pro přesné zakreslení křivek. elikost rychlosti na ose x odpovídá složce rychlosti ve směru osy x, protože složka rychlosti ve směru osy y je nulová. elikost rychlosti na ose y odpovídá též složce rychlosti ve směru osy x, neboť složka rychlosti ve směru osy y je nulová. elikosti rychlostí na osách x a y začněte měřit na povrchu válce a pokračujte v místech vzdálených 1 cm, 2 cm a dalších, vždy po 1 cm. elikost rychlosti na obvodu válce odpovídá tečné rychlosti k povrchu válce, neboť radiální složka rychlosti je nulová. elikosti rychlostí po obvodu válce měřte pro úhly 0º až 90º, vždy po 10º, měřeno od osy x (tj. od směru rovnoběžného se směrem proudění). Pozn: Nepoužívá se číselná hodnota w, ale pracuje s bezrozměrovou rychlostí w w -1. A to jak při měření na vodivém papíru (viz. přepočetní vztah (10)), tak v následujících analytických vztazích. Pro výpočet rychlostí platí: 2 R x-ová složka rychlosti v místech na ose x: w x = w ( 1 ), 2 x - 7 -
2 R x-ová složka rychlosti v místech na ose y: w x = w ( 1+ ), 2 y tečná složka rychlosti v místech po obvodu válce blízko jeho povrchu: w = w sϑ, kde x, y se měří od středu válce, ϑ je úhel měřený od osy x (tj. od směru proudění), R je poloměr válce a w je rychlost nenarušeného proudění (tj. ve velké vzdálenosti od povrchu válce). 1.3.3 Postup modelování ϑ 2 Postup při modelování je následující: a) příprava modelování, b) měření proudnic, c) měření ekvipotenciál, d) měření průběhů velikosti rychlosti na osách x a y, e) měření průběhu velikosti rychlosti po obvodu válce, f) měření izočár stejné velikosti rychlosti. 1 2 Měřící krabička ěleso odivý papír Elektrody Model 3 U+ Modelu 0 5 4 6 Gradient 7 Hlada 8 9 Hlada % 550 10 13 11 Měření gradientu 12 14 Obr. 3 Propojení měřicí krabičky s modelem. (a) Příprava modelování ystřihněte vodivý papír podle šablony (volná deska), tj. získáte čtverec o straně 41,5 x 41,5 cm. Používá se vodivý papír s plošným odporem 1,74 kω (SSSR). Podle obr. 3 propojte svorky (4) měřicích krabiček pomocí kabelů do zdroje napájení. Pro napájení modelu spojte svorky (1) a (3) a svorky (2) a (5). Pro měření tří úloh najednou lze měřicí krabičky mezi sebou vzájemně propojit podle obr. 4. Poté je možné zapn zdroj napájení. - 8 -
(b) Měření proudnic Připravený vodivý papír vložte do držáků elektrod na modelu a upevněte elektrody na stranách jemným utažením šroubků, aby byl dobrý elektrický kontakt mezi elektrodami a vodivým papírem. Nakreslete střed vodivého papíru a souřadné osy x a y. Osa x je ve směru proudění, tj. v tomto zapojení rovnoběžně s elektrodami. Plechovka se položí na střed souřadných os a zatíží se závažím. (Je vhodné případně posun plechovku tak, aby byla na 50 % potenciálu kladné elektrody.) Podle dna plechovky nakreslete povrch válce. Poloměr je přibližně 40 mm. Pod vodivý papír (tj. mezi podložku a vodivý papír) je vhodné v místě válce dát 1-2 mm průklepového papíru (pro lepší elektrický kontakt dna plechovky s vodivým papírem při jejím zatížení). ím je dosaženo stavu, kdy celý obvod válce je vodivě spojen, což je potřebné pro měření proudnic (viz obr. 5a). Obr. 4 Schéma zapojení pracovišť při modelování. Pro měření potenciálu použijte jednohrotou stíněnou sondu. Její měřicí vodič (červený) zapojte do svorky (7) a stíněný vodič do svorky (8). Přepínač (9) přepněte do polohy HLADINA. Na potenciometru (10) nastavte požadovanou hladu potenciálu (např. 550 udává 55 % hodnoty napětí mezi elektrodami). Správné místo hledaných bodů na vodivém papíře se určí pomocí led diod (11) a (12). Hrot sondy se přiloží na vodivý papír. Pokud svítí červená dioda (11) je nutné posun sondu blíže k elektrodě s nulovým napětím (2). Naopak pokud svítí zelená dioda (12), posouvá se sonda blíže k elektrodě s napětím U (1). Pokud nesvítí žádná dioda, je hrot sondy přímo na hledané hodnotě potenciálu. - 9 -
Pozn: Před měřením proudnic je vhodné vyzkoušet, zda válec je na 50 % potenciálu kladné elektrody. Pokud ne, je lépe jej posun blíže některé z elektrod tak, aby byl na polově maximálního potenciálu. ímto způsobem se proměří všechny požadované proudnice. (c) Měření ekvipotenciál odivý papír vyjměte s držáku, modelovaný válec vystřihněte a papír vložte do držáků otočený o 90. ím je dosaženo stavu, kdy modelovaný válec ve vodivém papíru chybí a zároveň obvod válce není vodivě spojen, což je potřebné pro měření ekvipotenciál (viz obr. 5b). Pro měření potenciálu se používá jednohrotá sonda zapojená stejně jako v případě modelování proudnic. Stejným způsobem jako proudnice (rozdíl je pouze ve způsobu zobrazení válce na vodivém papíru a otočení vodivého papíru o 90 ) se proměří všechny požadované ekvipotenciály. 0% y e 0% 100% y x x Odporový papír Odporový papír 100% e a-modelování proudnic e b-modelování ekvipotenciál e Obr. 5 Experimentální uspořádání při modelování (a) proudnic, (b) ekvipotenciál. (d) Měření průběhů velikosti rychlosti na osách x a y odivý papír se ponechá ve stejném zapojení jako v případě měření ekvipotenciál. Pro měření gradientu, tj. rozdílu napětí ve dvou místech vodivého papíru, se používá dvouhrotá sonda. Černý vodič sondy se zapojí do svorky (6) a červený do svorky (7). Přepínač (9) je nutné přepn do polohy GRADIEN. Do svorek (13) a (14) se zapojí vodiče multimetru (např. Omega ruerms Supermeter M HHM290), přičemž vodič z nulové svorky (COM) do zelené svorky (14) a vodič z plusové svorky do žluté svorky (13). Nastavení potenciometru nemá při tomto měření žádný význam. - 10 -
Na dvouhroté sondě je pevně nastavená vzdálenost hrotů. Změřte si proto vzdálenost hrotů na své dvouhroté sondě. Naměřený gradient závisí na velikosti a směru toku v dané oblasti a vzdálenosti hrotů sondy. Gradient může být kladný i záporný. Pokud je kovový červeně obalený hrot na kladnějším potenciálu než kovový neobalený hrot, svítí červená dioda. opačném případě svítí zelená. Pokud je absolutní hodnota gradientu menší než 30 m, nesvítí žádná dioda. tomto uspořádání se proměří velikosti rychlostí na osách x a y pro požadovaná místa. Pokud se hroty sondy otočí do směru osy x, měří rozdíl napětí pro získání x-ové složky rychlosti proudění, obdobně pro osu y. (e) Měření průběhu velikosti rychlosti po obvodu válce odivý papír je ve stejném zapojení jako u předchozího měření, opět se měří dvouhrotou sondou ve stejném zapojení. tomto uspořádání se proměří velikosti rychlostí (tj. tečné složky rychlosti) na povrchu válce, resp. velmi blízko od povrchu, pro požadované úhly od osy x po celé jedné čtvrtě obvodu válce. (f) Měření izočár stejné velikosti rychlosti odivý papír je ve stejném zapojení jako u předchozího měření, opět se měří dvouhrotou sondou ve stejném zapojení. Oblasti na modelu se stejným gradientem potenciálu jsou oblastmi se stejnou velikostí rychlosti. každém místě je nutné otáčením sondy najít takovou polohu, kde je měřený rozdíl napětí maximální, tj. změří se celková velikost rychlosti. tomto uspořádání se proměří dvě požadované izočáry konstantní velikosti rychlosti. Dále je nutné změřit velikost rychlosti nerozrušeného (tj. neovlivněného) proudění ve velké vzdálenosti od válce. Změřte proto velikost rychlosti proudění na m. 3 místech vzdálených od povrchu válce a spočítejte jejich střední hodnotu. Pro přepočet rozdílů napětí měřeného dvouhrotou sondou na rychlost proudění se používá výše uvedený vztah (10), pracuje se přitom s bezrozměrovou rychlostí w w -1. Pozn: Otáčecí knoflík měřicí krabičky umístěný nad potenciometrem nemá žádnou funkci. - 11 -
1.3.4 ýsledky a zhodnocení ýsledky z elektrického analogu dvoudimenzionálního bezcirkulačního obtékání válce ideální nestlačitelnou tekutou zahrnují: Na vodivém papíře zakreslené na jednom kvadrantu proudnice a ekvipotenciály, dále izočáry konstantní velikosti rychlosti. Do prvního grafu vynést průběh naměřených velikostí rychlosti na ose x spolu s hodnotami z odpovídajícího analytického vztahu. druhém grafu zobrazit průběhy naměřených velikostí rychlosti na ose y spolu s hodnotami z příslušného analytického vztahu. řetí graf by měl obsahovat naměřené velikosti rychlosti po obvodu válce v oblasti jednoho kvadrantu spolu s příslušnými hodnotami z analytického vztahu. Provést diskuzi naměřených hodnot a průběhů, zejména jejich porovnání s analytickými vztahy. 1.4 ANALÝZA EPLONÍHO POLE ROINNÉ SĚNĚ Jsou využity elektrické modely vyjadřující fyzikální pole popisovaná rovnicí parabolickou (Fourierovou). 1.4.1 Elektro-tepelná analogie Je založena na matematické podobnosti rovnic popisujících rozložení teplot na díle a elektrického potenciálu na modelu. Kromě toho platí též podmínky fyzikální podobnosti mezi modelem a dílem. Pro nestacionární teplotní pole v tělese platí Fourierova rovnice v rozměrovém a bezrozměrovém tvaru 2 1 =, (11) a τ Θ 2 Θ =, (12) Fo kde značí teplota (K), Θ - bezrozměrová teplota, τ - čas (s), Fo bezrozměrový čas (Fourierovo číslo), a - tepelná difuzivita (m 2.s -1 λ ), přičemž a =, λ - tepelná vodivost cρ M (W.m -1.K -1 ), c - tepelná kapacita (J.kg -1.K -1 ), ρ M - hustota (kg.m -3 ). Bezrozměrové veličy jsou defovány vztahy - 12 -
Θ =, (13) aτ Fo = 2. (14) L Pro okrajovou podmínku 3. druhu (přestup tepla na povrchu tělesa) platí rozměrová a bezrozměrová rovnice λ = α ( P - ), (15) n Θ = Bi ( Θ P Θ ), (16) N kde značí α - součitel přestupu tepla (W.m -2.K -1 ), Bi Biotovo číslo, P povrchová teplota (K), Θ P - bezrozměrová povrchová teplota, n normálový vektor, N bezrozměrový normálový vektor. Bezrozměrové veličy jsou defovány vztahy α. L Bi =, (17) λ Θ P = P. (18) Pro nestacionární elektrické pole platí analogicky k rovnicím (11) a (12) rozměrové a bezrozměrové vyjádření 2 = RC, (19) τ E Φ 2 Φ =, (20) Fo E kde značí elektrický potenciál (), Φ - bezrozměrový elektrický potenciál, τ E - čas (s), Fo E bezrozměrový čas (Fourierovo číslo elektrické), R odpor (Ω), C kapacita (F). Bezrozměrové veličy jsou defovány vztahy Φ =, (21) - 13 -
τ E Fo E = RC. (22) Pro okrajovou podmínku 3. druhu platí analogicky k rovnicím (15) a (16) rozměrová a bezrozměrová rovnice 1 = R n 1 (P - ), (23) R N Φ = Bi E ( Φ P Φ ), (24) N kde značí R N náhradní odpor modelující okrajovou podmínku 3. druhu (Ω), Bi E Biotovo číslo elektrické, P elektrický potenciál na povrchu (), Φ P - bezrozměrový elektrický potenciál na povrchu, n normálový vektor, N bezrozměrový normálový vektor. Bezrozměrové veličy jsou defovány vztahy Bi E = R, (25) R N Φ P = P. (26) Jako důsledek matematické podobnosti musí platit rovnost kritérií podobnosti pro teplotní a elektrické pole. Omezíme-li se na analogii stacionárního teplotního pole a stacionárního elektrického pole (elektrostatické pole), je požadována rovnost kritérií podobnosti Θ = Φ, (27) Bi = Bi E, (28) kde Θ, Bi jsou bezrozměrová teplota a Biotovo číslo tepelného procesu, Φ, Bi E jsou bezrozměrový elektrický potenciál a Biotovo číslo elektrické vyjadřující okrajovou podmínku 3. druhu pro elektrický systém. 1.4.2 Úloha Úkolem je modelovat pomocí elektrického analogu stacionární teplotní pole ve dvourozměrném řezu nekonečnou rovnou stěnou. loušťka stěny je L, tepelná vodivost materiálu stěny je λ. Na levé vnitřní straně proudí tekuta o teplotě, přičemž přestup tepla z vnitřního prostředí do stěny je charakterizován součitelem přestupu tepla α. Pravé vnější prostředí má teplotu a přestup tepla mezi stěnou a vnějším prostředím je dán součitelem - 14 -
přestupu tepla α. libovolném místě stěny ve vzdálenosti x od jejího levého (vnitřního) povrchu je aktuální teplota. x L, α λ, α 1, 2, 3 Obr. 6 Přenos tepla rovnou stěnou z vnitřního do vnějšího prostředí. Podle typu úlohy stanovte: 1) přímá úloha teploty uvnitř stěny ve třech místech vnitřní povrch ( 1 ), vnější povrch ( 3 ) a střed stěny ( 2 ), 2) nepřímá úloha okrajová hodnoty součitele přestupu tepla do vnitřního (α ) a vnějšího prostředí (α ), 3) nepřímá úloha okrajová a parametrická hodnotu tepelné vodivosti materiálu stěny (λ) a součitel přestupu tepla do vnitřního prostředí (α ). Pro všechny typy úloh stanovte: 4) hodnoty teploty uvnitř stěny hodnoty teploty uvnitř stěny na 15 místech rovnoměrně rozmístěných mezi vnitřním a vnějším povrchem stěny. 1.4.3 Postup měření Postup při modelování: a) převod tepelné úlohy na elektrickou, b) sestavení a zapojení elektrického analogu tepelné úlohy, - 15 -
c) měření požadovaných velič na elektrickém analogu a jejich zpětné převedení na tepelné veličy. (a) Převod tepelné úlohy na elektrickou epelnou úlohu (viz obr. 6) lze převést na elektrickou úlohu pomocí elektro-tepelné analogie. Elektrický analog pro úlohu přenosu tepla rovnou deskou se realizuje jako elektrický obvod, ve kterém je prostupový materiál reprezentován odporovým materiálem (vodivý papír), jeho povrch pak představují elektrody na koncích odporového materiálu. Pro modelování přestupu tepla mezi prostředími a stěnou jsou mezi elektrody a napěťový zdroj umístěny nastavitelné odpory reprezentující součitel přestupu tepla. epelná úloha je popsána následujícími fyzikálními veličami: λ, α, α,,, L, 1, 2, 3, x,. yto rozměrové veličy lze převést na bezrozměrová kritéria podobnosti Bi = α L α L, Bi =, (29) λ λ Θ = = 1, Θ = = 0, (30) Θ 1 = 1, Θ 2 = 2, Θ 3 = 3, (31) x X =, Θ = L. (32) Elektrická úloha je popsána fyzikálními veličami: R odpor polovodivého papíru, R N, náhradní odpor pro OP 3. druhu na vnitřní straně stěny, R N, náhradní odpor pro OP 3. druhu na vnější straně stěny, elektrický potenciál charakterizující vnitřní prostředí, elektrický potenciál charakterizující vnější prostředí, L E vzdálenost mezi elektrodami na polovodivém papíru, 1 elektrický potenciál na vnitřním povrchu stěny, 2 el. potenciál uprostřed stěny, 3 el. potenciál na vnějším povrchu stěny, x E - vzdálenost od levé elektrody, aktuální hodnota elektrického potenciálu v místě x E. yto rozměrové veličy lze převést na bezrozměrová kritéria podobnosti Bi,E = R R N,, Bi,E = R R N,, (33) Φ = = 1, Φ = = 0, (34) Φ 1 = 1, Φ 2 = 2, Φ 3 = 3, (35) - 16 -
X E = x E, Φ = LE. (36) případě elektro-tepelné analogie mezi stacionárním teplotním polem a elektrostatickým polem platí rovnost odpovídajících si kritérií podobnosti. Z nich se odvodí vztahy mezi rozměrovými tepelnými a rozměrovými elektrickými veličami. Rozměrové tepelné veličy jsou připravené pro tři úlohy, které se liší určovanými veličami. první úloze, přímé, se určují teploty 1, 2 a 3. e druhé úloze, nepřímé okrajové, se určují přestupy tepla α, α. e třetí úloze, nepřímé okrajové a parametrické, se určuje tepelná vodivost stěny λ a součitel přestupu tepla do vnitřního prostředí α (viz tab. 1). Pomocí nalezených vztahů mezi rozměrovými tepelnými veličami a rozměrovými elektrickými veličami se spočítají elektrické veličy odpovídající zadaným tepelným veličám. Nastavitelné odpory mají maximální odpor 10 kω. zn. při nastavení 0 %o (promile) na displeji odporu se získá odpor o velikosti 0 kω, při nastavení 1000 %o se získá odpor 10 kω. ab. 1 analogy Zadané tepelné a elektrické veličy pro tři typy tepelné úlohy a jejich elektrické tepelná úloha (1) (2) (3) elektrická úloha (1) (2) (3) λ (W.m -1.K -1 ) 0,2 0,2 R (kω) 1,74 1,74 1,74 α (W.m -2.K -1 ) 200 RN, (kω) α (W.m -2.K -1 ) 15 100 RN, (kω) ( C) 50 70 10 () 10 10 10 ( C) 15 20 50 () 0 0 0 L (m) 0,003 0,003 0,003 LE (m) 0,040 0,040 0,040 1 ( C) 40 15 1 () 2 ( C) 35 29 2 () ( C) 30 43 3 () 3 (b) Sestavení a zapojení elektrického analogu tepelné úlohy ystřihněte vodivý papír podle šablony (volná deska), tj. získáte čtverec o straně 41,5 x 41,5 cm. Odpor vodivého papíru je 1,74 kω, tj. používá se stejný vodivý papír jako v případě modelování obtékání válce. Připravený vodivý papír vložte do držáku elektrod na modelu a upevněte elektrody na stranách jemným utažením šroubků, aby byl dobrý elektrický kontakt mezi elektrodami a vodivým papírem. Elektrický analog tepelné úlohy přenosu tepla rovnou stěnou je na obr. 7. Elektrické zapojení budete provádět podle obr. 8. - 17 -
Propojte konektory modelu, tj. elektrody desky, s nastavitelnými odpory R N, a RN, (viz obr. 8), tzn. spojte svorku (1) se svorkou (22), a svorku (2) se svorkou (25). Potenciometr (28) pak představuje vnitřní nastavitelný odpor R N, a potenciometr (30) pak vnější nastavitelný odpor R N,... Krabičku s nastavitelnými odpory propojte pomocí svorky (4) (viz obr. 8) se zdrojem napájení. Pro měření tří úloh najednou lze měřicí krabičky a krabičky s nastavitelnými odpory mezi sebou vzájemně propojit jak je naznačeno na obr. 4. Poté je možno zapn zdroj napájení. Na krabičce s nastavitelnými odpory je vyvedeno nulové napětí modelu, svorky (23) a (26), a U+ modelu, svorky (21) a (24). yto svorky lze využít např. pro připojení jednoho kabelu z voltmetru, jako referenční hodnoty (obvykle se používá nulové napětí modelu, tj. svorky (23) a (26). Pozn: Krabička s nastavitelnými odpory obsahuje též pojistky (27) a (29). x E L E R N, RN, R 1 2 3 Obr. 7 Elektrický analog tepelné úlohy. 1 2 krabička s nastavitelnými odpory 21 U+ modelu 27 29 24 U+ modelu 22 25 vodivý papír elektrody 4 0 23 550 550 28 30 0 26 Obr. 8 Způsob propojení mezi vodivým papírem s elektrodami a krabičkou s nastavitelnými odpory. - 18 -
(c) Měření velič na elektrickém analogu a zpětné převedení na tepelné veličy Na elektrické analogu se nastaví elektrické veličy zadané a vypočítané ze zadaných tepelných velič. Pro měření elektrického potenciálu použijte multimetr (např. Omega ruerms Supermeter M HHM290), přičemž vodič z nulové svorky (COM) se připojí do svorky (23) nebo (26), kde nulové napětí. odič z plusové svorky multimetru bude sloužit jako sonda pro měření napětí na libovolném místě elektrického analogu. Podle typu tepelné úlohy (přímé, nepřímé okrajové, nepřímé okrajové a parametrické) stanovte na fyzikálním analogu potřebné elektrické veličy. Poté pomocí převodních vztahů získaných v bodě (a) je přepočtěte zpět na tepelné veličy. Pro všechny typy úloh změřte hodnotu elektrického potenciálu uvnitř stěny na 15 místech rovnoměrně rozmístěných mezi vnitřním a vnějším povrchem stěny. Poté pomocí převodních vztahů získaných v bodě (a) je přepočtěte zpět na tepelné veličy. 1.4.4 ýsledky a zhodnocení ýsledky z elektrického analogu dvoudimenzionálního stacionárního teplotního pole v řezu nekonečnou rovnou deskou oddělující vnitřní a vnější prostředí zahrnují: Zadané rozměrové tepelné veličy, zadané rozměrové elektrické veličy a dopočítané hodnoty rozměrových elektrických velič ze zadaných tepelných velič. Naměřené hledané hodnoty elektrických velič, včetně jejich přepočtu zpět do tepelných velič. Graf naměřeného rozložení elektrického potenciálu v rovné stěně, včetně analogického grafu v tepelných veličách. Proveďte diskuzi naměřených hodnot a průběhů tepelných velič. 1.5 POKYNY PRO YPRACOÁNÍ PÍSEMNÉHO REFERÁU A KONROLNÍ OÁZKY 1.5.1 Obsah referátu části zvolené metody zpracování stručně popsat: - prcip fyzikálních modelů, - prcip fyzikálních analogů, - prcip elektro-hydronamické analogie, - prcip elektro-tepelné analogie, - postup při řešení úlohy pomocí fyzikálního analogu. - 19 -
části výsledky a diskuse uvést: - výsledky měření proudnic, ekvipotenciál a izočár konstantní velikosti rychlosti při obtékání válce, - výsledky měření rychlostí na osách x, y a po obvodu válce, tyto hodnoty v grafu porovnat s analytickými vztahy, - rychlost proudění ve velké vzdálenosti od obtékaného válce, - výsledky tepelné úlohy. 1.5.2 Kontrolní otázky Fyzikální modely. Prcip a použití. Fyzikální analogy. Prcip a použití. Elektrické analogy jako druh fyzikálních analogů. Prcip elektro-hydrodynamické analogie. Prcip elektro-tepelné analogie. Obecný postup při návrhu analogu pro zkoumaný proces. - 20 -