p04 1 4. Napjatost v bodě tělesa Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty. Vektor obecného napětí f, které působí v elementárním okolí bodu C na plošce ds s normálou e n, charakterizuje napětí působící pouze v takto skloněném řezu a neříká nic o tom, jaká napětí působí v jinak orientovaných rovinách vedených bodem C. Přitom pro vyloučení mezního stavu je nutno zajistit jistou rezervu vůči mezním hodnotám napětí v kterékoli z těchto nekonečně mnoha rovin, v nichž působí různá obecná napětí f. Teprve souhrn všech těchto obecných napětí popisuje napěťový stav v tomto bodě a zavádíme pro něj název napjatost v bodě tělesa. Napjatost (napěťový stav) v bodě tělesa je množina obecných napětí ve všech řezech, které lze tímto bodem vést. obecné napětí OBSAH další
p04 2 Otázkou je, kolik elementárních plošek a jak orientovaných je nutno k úplnému určení stavu napětí neboli napjatosti v bodu C. Dá se dokázat, že obecné napětí v libovolném řezu vedeném bodem C lze vypočítat ze známých hodnot obecných napětí ve třech vzájemně kolmých řezech, vedených tímto bodem. Pro popis je účelné použít kartézský souřadnicový systém, jehož osy leží v průsečnicích těchto rovin. Obecná napětí budeme označovat písmenem podle normály plochy, ve které působí, tedy např. v plošce v rovině yz, kolmé k ose x, působí obecné napětí f x. Každé obecné napětí, které svírá s příslušnou plochou obecný úhel, lze rozložit do směrů os kartézského souřadnicového systému: f x = σ x i + τ xy j + τ xz k, f y = τ yx i + σ y j + τ yz k, f z = τ zx i + τ zy j + σ z k, kde parametry σ i (i = x, y, z) jsou normálová napětí, τ ij (i, j = x, y, z; i j) smykové napětí, první index i je směr normály roviny, ve které napětí působí a j udává směr působení τ ij. Tato tři obecná napětí lze sestavit vhodným způsobem do čtvercové matice, která reprezentuje v uvedené kartézské souřadnicové soustavě tenzor napětí T σ : T σ = σ x τ xy τ xz τ yx σ y τ yz τ zx τ zy σ z Poznámka Napjatost v bodě tělesa je jednoznačně určena tenzorem napětí T σ.
p04 3 V lineární pružnosti, vycházející mj. z předpokladu malých deformací, nejsou všechny složky tenzoru T σ nezávislé. Lze to doložit z momentové podmínky statické rovnováhy elementárního prvku. Uvolníme-li uvnitř spojitého tělesa trojnásobně elementární prvek, v jeho rovinných stěnách (souřadnicové roviny yz, xz a xy) působí obecná napětí fi. V protilehlých stěnách působí obecná napětí f i. Poznámka ke znaménkové konvenci: Z obrázku je patrné, jak jsou zavedeny kladné složky tenzoru napětí působí na kladných stěnách (vnější normála je orientována souhlasně s některou ze souřadnicových os) ve smyslu kladném. Na záporných stěnách kvádru (orientace vnější normály v záporném smyslu souřadnicové osy) působí kladné složky v záporném smyslu os. MCz = 0 : [ (τ xy +τ xy)dydz Z momentových podmínek k bodu C, který je v těžišti elementu, plyne ] dy 2 = 0 (τ xy+τ xy) (τ yx +τ yx) = 0. ] dx 2 [ (τ yx +τ yx)dxdz Obecná napětí v přední a zadní stěně elementu (s normálou z) nejsou v obrázku zakreslena z důvodu přehlednosti. Výslednice objemových (např. tíhových) sil působících na prvek prochází jeho těžištěm C, jejich moment k tomuto bodu je tedy nulový. Napětí v protilehlých stěnách elementu jsou přibližně stejně velká (platí τ xy τ xy a τ yx τ yx), proto τ xy = τ yx. Analogicky z momentových podmínek pro složky M C ve směru os x a y plyne τ yz = τ zy a τ xz = τ zx.
p04 4 Prvky tenzoru T σ umístěné symetricky kolem hlavní diagonály (smyková napětí) jsou shodné, jinými slovy u smykových napětí nezáleží na pořadí indexů. Obecně lze tyto relace zapsat rovnicí τ ij = τ ji, slovně ji vyjadřuje věta o sdruženosti smykových napětí. Smyková napětí působící ve vzájemně kolmých elementárních řezech kolmo k jejich průsečnici jsou stejně veliká a orientovaná buď k průsečnici nebo od ní. Stav napětí je tedy charakterizován právě 6 nezávislými složkami symetrického tenzoru napětí T σ. Napjatost v bodě tělesa je popsána tenzorem napětí v tomto bodě a může být stanovena v závislosti na zatížení tělesa, jeho tvaru a materiálových vlastnostech a poloze bodu v tělese. Napjatost tělesa je množina napjatostí ve všech bodech tělesa. Je určena tenzorovým polem, tj. množinou tenzorů napětí pro všechny body tělesa. Závisí na zatížení tělesa, jeho tvaru a materiálových vlastnostech. Napjatost tělesa označujeme jako homogenní, jestliže napjatost ve všech bodech tělesa je shodná, tj. tenzory napětí ve všech bodech tělesa jsou totožné. sdruženost smykových napětí
p04 5 4.1. Saint Venantův princip Při řešení praktických problémů pružnosti obvykle neznáme rozložení vnějších sil působících na povrch tělesa a musíme je nahrazovat zjednodušeným modelem silového působení (osamělá síla, silová dvojice, plošná síla konstantní velikosti atd.). Základní otázkou použitelnosti výsledků v praxi je, jak se změní napjatost tělesa, když soustavu vnějších sil nahradíme jinou staticky ekvivalentní soustavou. Podrobné rozbory ukazují, že napjatost tělesa (tj. stav napětí v jednotlivých bodech tělesa) způsobená silovou soustavou Π působící na části povrchu Γ S o lineárním rozměru δ se liší podstatně od napjatosti téhož tělesa zatíženého jinou, staticky ekvivalentní silovou soustavou působící na Γ S, pouze v takovém objemu materiálu v okolí plochy Γ S, jehož rozměry se řádově shodují s rozměrem δ. ekvivalence
p04 6 Znázorníme-li průběh jedné složky tenzoru napětí (např. σ x ) podél přímky vedené tělesem, a to pro původní rozložení sil (realita R) a pro náhradní, staticky ekvivalentní (SE) rozložení (1 a 2), vidíme, že v dostatečné vzdálenosti od bodu A jsou napětí prakticky stejná. Uvedené skutečnosti formuluje pro PP zcela zásadní věta, označovaná jako Saint Venantův princip. Saint Venantův princip. Nahradíme-li v určité oblasti tělesa jednu silovou soustavu jinou, staticky ekvivalentní soustavou, pak napjatost tělesa je pro obě zatížení prakticky stejná s výjimkou blízkého okolí oblasti náhrady, jehož rozměry δ jsou srovnatelné s rozměry této oblasti.
p04 7 Význam Saint Venantova principu: a) umožňuje správně používat výpočtové modely silového působení (objemových a plošných sil) b) umožňuje správně zavádět výpočtové modely styku těles c) lze usuzovat na nesprávnost používání některých zjednodušení, která jsou běžná ve statice, při řešení napjatosti a deformace Podle Saint Venantova principu je tedy v pružnosti a pevnosti možné nahrazovat silovou soustavu jinou, staticky ekvivalentní silovou soustavou. Přípustnost tohoto nahrazení je však závislá na mezních stavech, které rozhodují o provozní schopnosti skutečného tělesa. Jestliže provozní schopnost tělesa je určena mezními stavy v podtělese Ω M, pak přípustné nahrazení je takové, když Ω M neobsahuje žádný bod oblasti Ω S (oblast ovliněná náhradou silového působení na ploše Γ S ). Jinak řečeno, oblast, ve které provádíme staticky ekvivalentní náhradu silového působení, není rozhodující pro vznik mezních stavů. V opačném případě je nahrazení obecně nepřípustné.
p04 8 Někdy je možné připustit SE náhradu i v případě, kdy se oblasti Ω S a Ω M překrývají. Je to tehdy, když oblast nahrazení je relativně malá vůči řešenému tělesu a riziko vzniku mezních stavů je při zatížení náhradní silovou soustavou poněkud vyšší než ve skutečnosti (viz příklad výpočtového modelu na obrázku). předchozí OBSAH následující kapitola