13. Prostý ohyb Definice

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "13. Prostý ohyb Definice"

Transkript

1 p Prostý ohyb Definice Prostý ohyb je označení pro namáhání přímého prizmatického prutu, jestliže jsou splněny prutové předpoklady, příčné průřezy se vzájemně natáčejí kolem osy ležící v příčném průřezu a následně deformují, nenulové složky VVÚ jsou pouze ohybové momenty M oy, M oz, deformace prutu jsou pro řešení statické rovnováhy prvku nepodstatné. Poznámka: Ze Schwedlerovy věty T = dm o /dx plyne, že má-li být posouvající síla T nulová, musí být M o = konst. To je přesně splněno jen při zatížení silovými dvojicemi. Protože u prostého ohybu jsou nenulové dvě složky VVÚ ( M oy, M oz ), je jeho řešení složitější než u ostatních typů jednoduchého namáhání. Tento typ ohybu nazýváme ohybem obecným (někdy šikmým nebo prostorovým). Pro zjednodušení odvodíme veškeré vztahy pro tzv. základní ohyb, při němž je jen jedna ze složek ohybového momentu nenulová, konkrétně pro M oy 0, M oz = 0. prostá pružnost prutové předpoklady OBSAH další

2 p Geometrické vztahy Z prutu uvolníme prvek jednonásobně elementární Ω 1 a z něj trojnásobně elementární Ω 3. Prvek Ω 1 se deformuje tak, že se limitně blízké příčné průřezy 1, 2 natočí kolem přímky ležící v příčném průřezu, přičemž původní délka dx prvku Ω 3 se změní o deformační posuv du, průřezy prutu zůstanou kolmé k deformované střednici prutu, tj. nezmění se pravé úhly α, β prvků Ω 1 a Ω 3. Protože příčný průřez podle prutových předpokladů zůstává i po natočení rovinný a při zvoleném základním ohybu (M oy = M o 0) se natáčí kolem přímky rovnoběžné s osou y, jsou posuvy du nezávislé na souřadnici y a pro jejich popis postačuje rovnice přímky (řešíme v rovině (x, z)): du(z) = a 1 + b 1 z. Těmto deformacím odpovídají složky tenzoru přetvoření: délkové přetvoření ve směru střednice prutu předpoklady prutové přetvoření ε x (z) = du(z) dx = a + bz, nulová úhlová přetvoření γ xy = γ xz = 0. V důsledku příčné kontrakce vznikají v každém bodě prutu různě velká příčná přetvoření ε y = ε z = µε x.

3 p13 3 U prostého ohybu jsou délková přetvoření rozložena v příčném průřezu lineárně a úhlová přetvoření jsou nulová. V každém bodě prutu tedy vzniká obecný trojosý stav deformace, popsaný tenzorem ε x 0 0 přetvoření ve tvaru T ε = 0 ε y 0. Deformace je na rozdíl od prostého tahu 0 0 ε z nehomogenní po průřezu, hodnoty jsou v každém bodě různé. tenzor přetvoření Rozložení napětí v příčném průřezu Pro hookovský materiál (homogenní, lineárně pružný) platí stejně jako pro přetvoření ε x lineární závislost i pro normálové napětí σ x : Hookův zákon σ x (z) = Eε x (z) = E(a + bz). Pro smykové napětí platí vztah τ = E 2(1 + µ) γ = Gγ. Protože γ xy = γ xz = 0, je i τ xy = τ xz = 0. Ostatní složky tenzoru napětí (σ y, σ z, τ yz ) jsou nulové na základě prutových předpokladů. Jediným nenulovým napětím je tedy normálové napětí σ x rozložené lineárně v příčném průřezu. U prostého ohybu vzniká v bodech prutu jednoosá napjatost, ale na rozdíl od prostého tahu není homogenní. prutové předpoklady

4 p Závislost mezi VVÚ a napětím Vztah pro napětí σ(z) odvodíme z podmínek statické ekvivalence mezi soustavou elementárních plošných sil σds i a jejich výslednicí Moy v příčném průřezu prvku Ω 0, které sestavíme v lokálním souřadnicovém systému podle obrázku. Použitelné podmínky statické ekvivalence pro soustavu rovnoběžných sil v prostoru jsou tři: σds = 0, M oy = z σds, M oz = y σds = 0. statická ekvivalence statické podmínky

5 p13 5 Dosadíme σ = E(a + bz): E (a + bz)ds = 0 a ds + b zds = 0 a = 0, protože zds = U y = 0 v centrálním souřadnicovém systému. M oy = E (a + bz)zds = E(a zds + b Dosazením a, b do vztahu pro napětí, dostáváme z 2 ds) b = M oy EJ y napětí centrální s.s. σ = E(a + bz) = E M oy EJ y z σ = M oy J y z. Vztah však platí pouze tehdy, je-li splněna i třetí použitelná podmínka statické ekvivalence, což je jedině v hlavním centrálním souřadnicovém systému M oz = E (a + bz)yds = E M oy EJ y yzds = M oy J y J yz = 0 J yz = 0 hlavní centrální s.s.

6 p13 6 Poznámka: V případě nenulového momentu M oz platí obdobný vztah pro napětí σ = M oz J z y. Protože obě tato napětí mají směr osy x, je možné je v případě obecného ohybu algebraicky sečíst: σ = M oy z M oz y. J y J z Všechny tyto vztahy platí jen v hlavním centrálním souřadnicovém systému. Základní ohyb proto nastává tehdy, je-li nositelka ohybového momentu totožná s některou z hlavních centrálních os průřezu (např. osou symetrie).

7 p Extrémní napětí Pro usnadnění popisu rozložení napětí v průřezu nejprve zavedeme označení neutrální osa pro přímku, která má tyto vlastnosti: leží v příčném průřezu a prochází jeho těžištěm, ve všech jejích bodech je σ = 0, a tedy i ε = 0, rozděluje průřez na dvě části, z nichž v jedné působí napětí kladná a v druhé záporná. Ze vztahu pro napětí u základního ohybu (M oy 0) je zřejmé, že neutrální osou je osa y, která je současně nositelkou ohybového momentu. Vzhledem k lineárnímu rozložení napětí budou jeho extrémní absolutní hodnoty v bodech od této osy nejvzdálenějších. σ max = M oy z max J y

8 p13 8 Body s největší souřadnicí z jsou tedy nebezpečnými body. U základního ohybu je možno zavést tzv. modul průřezu v ohybu W o [m 3 ], definovaný jako podíl kvadratického osového momentu příčného průřezu vzhledem k neutrální ose a vzdálenosti nejodlehlejšího bodu obrysové čáry od neutrální osy (W o = J y /z max ). Pak můžeme maximální napětí vyjádřit: σ max = M oy z max = M o. J y W o POZOR! W o není aditivní veličina!!! Např. pro mezikruhový průřez ho musíme určit odečtením osových kvadratických momentů, zatímco z max = D/2 se nemění! W o = J y D 2 = πd 4 64 πd4 64 D 2 = πd ( ) 4 d D kvadratický moment U obecného ohybu je určení extrémních napětí podstatně složitější.

9 p Energie napjatosti V lineární pružnosti se celá deformační práce mění na pružnou energii napjatosti A = W. V kapitole 11.6 byl pro jednoosou napjatost odvozen vztah pro energii napjatosti trojnásobně elementárního prvku W Ω3 = A (σds) = ΛdSdx = 1 σ 2 2 E dsdx. energie napjatosti Energii napjatosti jednonásobně elementárního prvku Ω 1 dostaneme integrací energie W Ω3 (do které dosadíme napětí podle vztahu σ(z) = M oy J y z) přes plochu : napětí W Ω1 = 1 σ 2 2 E dxds = 1 2E Moy 2 Jy 2 z 2 dsdx = M oy 2 dx, 2EJ y protože z 2 ds = J y. V prutu o délce l se pak akumuluje energie napjatosti daná integrálem energií elementárních prvků Ω 1 po délce prutu W = l 0 W Ω1 = l 0 M 2 oy 2EJ y dx. Pro obecný ohyb (M oy 0, M oz 0) je energie napjatosti dána superpozicí příspěvků dvou základních prostých ohybů (od složek M oy, M oz ): W = W Moy + W Moz. Vztahy platí jen pro hlavní centrální souřadnicový systém (J yz = 0)! základní ohyb hlavní s.s.

10 p Vyjádření deformačních charakteristik střednice Při ohybovém namáhání přímého prizmatického prutu se jeho střednice ohýbá a vytváří ohybovou čáru. Podle prutových předpokladů příčné průřezy zůstávají rovinné a kolmé k ohybové čáře. Posuvy libovolného bodu příčného průřezu tedy můžeme určit, budeme-li znát průhyby a úhly natočení v jednotlivých bodech střednice (jako průhyby označujeme složky posuvů kolmé ke střednici), které jsou proto základními deformačními charakteristikami prostého ohybu. Určujeme je z rovnice ohybové čáry. Jednonásobně elementární prvek Ω 1 se deformuje tak, že se dva soumezné příčné průřezy vzájemně natočí kolem neutrální osy o úhel dϕ. Neutrální osy v jednotlivých průřezech vytvářejí dohromady neutrální rovinu, v níž jsou napětí a přetvoření nulová. Délka trojnásobně elementárního prvku Ω 3, daná úsečkou GH, se protažením a zakřivením prvku změní na G H. Pro odvození rovnice ohybové čáry budeme uvažovat základní ohyb takový, že ohybový moment ve směru osy y je různý od nuly, ve směru osy z roven nule ( M oy 0, M oz = 0). deformační charakteristiky prostý ohyb prutové předpoklady neutrální osa

11 p13 11 Prvek Ω 3 se střednicí ve vzdálenosti z od neutrální osy měl před deformací délku rdϕ (tj. stejnou jako úsečka OA, jejíž protažení je zanedbatelné) a po deformaci (r + z)dϕ. Délkové přetvoření prvku Ω 3 tedy je ε Ω3 = (r + z)dϕ rdϕ rdϕ = z r U ohybu vzniká jednoosá napjatost, a protože uvažujeme základní ohyb od složky ohybového momentu M oy, platí ε Ω3 = σ E = M oy EJ y z. přetvoření napjatost jednoosá napětí Hookův zákon Porovnáním z r = M oy EJ z 1 y r = M oy EJ dostáváme křivost deformované střednice 1 y r, resp. poloměr zakřivení střednice r. Poznámka: Analogicky pro druhý základní ohyb M oz dostaneme vztah 1 r = M oz EJ z. Pokud bude výraz M oy(x) podél střednice konstantní (dáno předpoklady prostého ohybu), EJ y (x) ohyb bude mít zdeformovaná střednice tvar části kružnice. V praxi jsou ale daleko častější případy, kdy M o (x) konst. Důsledkem je, že 1 r konst. a ohybová čára je obecná rovinná křivka. (O vlivu posouvající síly, která nutně vzniká při M o (x) konst., bude pojednáno v kapitole ) základní ohyb vliv T

12 p13 12 V matematice se pro křivost rovinné křivky znázorňující funkci z = z(x) odvozuje vztah 1 r(x) = ± d 2 z dx 2 [1 + ( dz = ±w, (1 + w 2 ) 3 2 dx )2 ] 3 2 kde posuv bodu střednice ve směru osy z (průhyb) jsme označili w. Porovnáním s odvozenou křivostí dostaneme diferenciální rovnici ohybové čáry ±w (1 + w 2 ) 3 2 = M oy EJ y. Jedná se o obecnou, nelineární diferenciální rovnici 2. řádu, analyticky řešitelnou jen ve speciálních případech. Pro většinu strojních součástí jsou charakteristické malé deformace. Pro úhel natočení ϕ < 0, 1 rad platí w = tg ϕ. = ϕ a w 2 < 0, 01 můžeme vůči 1 zanedbat. Pro malé deformace dostaneme obyčejnou lineární diferenciální rovnici 2. řádu s pravou stranou, řešitelnou přímou integrací: w = M oy EJ y. Záporné znaménko v rovnici je důsledkem zavedených znaménkových konvencí a orientace os.

13 p13 13 Poznámka ke znaménku v rovnici: Volba znaménka souvisí se znaménkovou konvencí momentu M oy (x) a s orientací globálního souřadnicového systému. Veličiny E, J y (x), w 2 (x) jsou vždy kladné. Kladný ohybový moment M oy (x) způsobuje deformaci střednice naznačenou na obrázku. Je zde zakreslen i průběh w (x), tj. úhlu natočení střednice. Je zřejmé, že w (x) (směrnice tečny k w (x)) je podél celé střednice prutu záporná. Odtud vyplývá: pro M oy (x) > 0 je w (x) < 0 a tedy bude-li osa +z orientována směrem dolů (nahoru), bude ve vztahu ±w = M oy EJ y záporné (kladné) znaménko. V námi zavedené orientaci souřadnicových os platí tedy záporné znaménko.

14 p Deformace příčného průřezu Vlivem součinitele příčné kontrakce jsou přetvoření ε y, ε z nenulová, takže dochází ke změnám rozměrů příčných průřezů v důsledku deformace. Jejich určení je však obtížnější než u prostého tahu, protože stav deformace v bodech prutu je nehomogenní. Pro praxi je tato deformace obvykle nepodstatná. deformace Oblasti použitelnosti prostého ohybu prutů Vliv proměnnosti průřezu podél střednice prutu a) Spojitě proměnný příčný průřez Uvažujme prut se spojitě se měnícím příčným průřezem, ve všech průřezech je konstantní ohybový moment M o a hlavní osy v jednotlivých průřezech jsou navzájem rovnoběžné (prut je nešroubovitý). V kapitole je odvozeno, že v příčných průřezech vznikne pro N 0 smykové napětí. Podobně i pro namáhání ohybem se dá odvodit, že proměnnost velikosti příčného průřezu podél střednice prutu způsobuje vznik smykových napětí v příčných průřezech. Podobně jako u prostého tahu zde platí, že bude-li změna příčného průřezu malá, budou malá i smyková napětí v poměru k napětí normálovému (τ σ) a tuto odchylku od prutových předpokladů můžeme považovat za nepodstatnou. Pro určování deformace a napjatosti můžeme pak použít vztahy prosté pružnosti. odvození prutové předpoklady

15 p13 15 b) Náhlé změny příčného průřezu (vruby) Místo největší koncentrace napětí nazýváme kořen vrubu. Hodnota maximálního napětí se určuje pomocí vztahu σ max = ασ n, kde α je součinitel koncentrace napětí, σ n je nominální napětí v místě vrubu, které je vypočteno ze vztahů prosté pružnosti a pevnosti. 3. koncentrace napětí v kořeni vrubu umístěného v blízkosti neutrální osy nemusí u ohybu překročit nominální napětí na obvodu, zatímco u tahu, kde je homogenní napjatost, bude napětí v kořeni vrubu vždy největší. Na příkladu průběhu napětí v místě vrubu prutu, zatíženého v případě a) tahem a v případě b) ohybem jsou vidět odlišnosti: 1. u ohybu může existovat koncentrace napětí současně jak v oblasti tahové, tak tlakové, 2. u ohybu má poloha vrubu vliv na koncentraci napětí (odlišný charakter koncentrace v závislosti na poloze vrubu v příčném průřezu prutu), vruby α grafy napětí Příklad 602

16 p Proměnnost ohybového momentu podél střednice Předpoklady prostého ohybu může splnit jedině prut zatížený osamělými silovými dvojicemi, pro nějž platí posouvající síla T (x) = 0, ohybový moment M o (x) = M = konst. v jednotlivých intervalech, Pak smyková napětí v příčných průřezech nevznikají. V praxi je daleko častější prut zatížený osamělými silami nebo spojitým liniovým zatížením v příčném směru, u nějž je posouvající síla nenulová a ohybový moment není konstantní. Pro takovýto prut se často používá tradiční název nosník. U něj vzniká složitější typ napjatosti: od ohybových momentů M o vznikají v příčných průřezech normálová napětí σ. od posouvající síly T vznikají v příčných průřezech smyková napětí τ. Příčné zatížení vede vždy ke vzniku smykových napětí v příčných průřezech. Velikost a rozdělení smykových napětí v příčných průřezech s obecným tvarem obrysové křivky a s obecnou polohou nositelky posouvající síly je možno stanovit metodami obecné

17 p13 17 pružnosti nebo MKP. Na úrovni pružnosti prutů se smyková napětí určují pro 2 případy: 1. příčné průřezy alespoň s 1 osou symetrie, 2. tenkostěnné příčné průřezy profily I, U, T za předpokladu, že prut je prizmatický, povrch prutu není zatížen smykovými silami. V literatuře lze nalézt vztah pro výpočet smykového napětí, který se někdy nazývá Žuravského vzorec. τ(x, z) = T (x)u y1(z) b(z)j y, statický moment neutrální osa kde U y1 (z) je statický moment plochy 1 (z) k neutrální ose. Tento vzorec je odvozen za předpokladu, že nositelka posouvající síly je osou symetrie příčného průřezu a smyková napětí jsou po jeho šířce rozložena rovnoměrně. Z něj dostaneme vztahy pro maximální smykové napětí a) v obdélníkovém průřezu: τ max = 3 T 2 S b) v kruhovém průřezu: τ max = 4 T 3 S

18 p13 18 Poznámka: Je tedy zřejmé, že v praxi někdy používaná hodnota tzv. smluvního smykového napětí τ s = T/S vede ke značnému podhodnocení smykových napětí. Navíc u některých profilů nejsou všude splněny ani předpoklady Žuravského vztahu a extrémní smyková napětí jsou ve skutečnosti ještě vyšší. Pro výpočet deformačních parametrů využitím Castiglianovy věty je třeba do energie napjatosti zahrnout i vliv posouvající síly. Pro měrnou energii napjatosti od smykových napětí byl odvozen vztah Λ = τ 2 2G. Jeho integrací přes průřez dostaneme energii na- Λ pjatosti jednonásobně elementárního prvku Ω 1, v jehož příčném průřezu působí smykové napětí τ vyvolané posouvající silou T τ 2 W Ω1 = 2G dsdx = 1 T 2 Uy1(z) 2 2G b 2 (z)jy 2 dxds. Vztah upravíme, zlomek rozšíříme o plochu S a výraz (v hranaté závorce), který závisí pouze na průřezových charakteristikách a pro daný tvar průřezu je konstantní, označíme β: W Ω1 = T 2 Uy1(z) 2 S 2GS b 2 (z)jy 2 ds dx = βt 2 2GS dx Castiglianova věta Pro kruhový průřez je β = 32/27 = 1, 185. = 1, 2, pro obdélníkový β = 1, 2. U prutu o délce l tedy posouvající síla přispěje k celkové energii napjatosti hodnotou Příklad 627 W T = l 0 W Ω1 = β l 2G 0 T 2 (x) S(x) dx.

19 p Zakřivení střednice prutu U rovinného zakřiveného prutu, namáhaného základním ohybem, jsou normálová napětí v příčném průřezu rozložena podle hyperboly s neutrální osou posunutou vůči centrální ose, na rozdíl od prutu přímého, kde jsou rozložena podle přímky. Pro porovnání výpočtu průběhu napětí (u prutu s poloměrem křivosti R a rozměrem příčného průřezu v rovině střednice h) při použití vztahů pro pruty zakřivené σ z a pro pruty přímé σ p vyneseme závislost σ(r/h), kde σ = σ z σ p σ z 100 %. Poměr R/h charakterizuje relativní zakřivení prutu, σ je odchylka napětí σ p od σ z. Z grafu je patrné, že průběh napětí u prutů slabě zakřivených, pro něž platí h R (velké R h ), je možno řešit užitím vztahu pro pruty přímé. Při poměru R/h = 10 se dopustíme chyby 4%, pro R/h = 5 bude chyba cca. 8%. Průběh napětí u prutů silně zakřivených s poměrem R/h < 5 je hyperbolický, extrémní hodnota napětí je vyšší a musíme ji počítat pomocí vztahů pro pruty zakřivené (ty nejsou součástí bakalářského studia PP) nebo dnes častěji metodou konečných prvků. základní ohyb neutrální osa centrální osa σ p

20 p Řešení úlohy PP u prutů namáhaných ohybem Volný prut Odvodili jsme vztahy pro napětí, deformační parametry a energii napjatosti u prutu namáhaného ohybem při splnění prutových předpokladů. U praktických výpočtů se omezíme v tomto kurzu na základní ohyb, pro nějž platí vztahy ve zjednodušené podobě σ(z) = M oy J y z; σ max = M o W o ; w = M l oy ; W = EJ y 0 M 2 oy 2EJ y dx Při vyšetřování mezních stavů deformace je třeba znát průhyby resp. úhly natočení aspoň v některých význačných bodech střednice prutu. Pro jejich určení existuje řada metod, z nichž si uvedeme dvě: integrace diferenciální rovnice průhybové čáry prutu (diferenciální přístup), Castiglianova věta (integrální přístup). prutové předpoklady σ(z) σ max w W

21 p Diferenciální přístup Diferenciální rovnice w (x) = M oy(x) EJ y se řeší přímou integrací. Musí být doplněna okrajovými podmínkami. U prutů, u nichž průběh M o (x) po celé délce vyjádříme jedinou Příklad 604 funkční závislostí (hladkou a spojitou), řešíme jednu diferenciální rovnici 2. řádu a potřebujeme pro určení integračních konstant 2 okrajové podmínky. Příklad 607 Okrajové podmínky mohou být popsány a) vazbovými podmínkami známými průhyby a úhly natočení v místě vazeb prutu se základním tělesem, b) symetriií deformace, pro x = l 2 w = ϕ = 0 (tečna k ohybové čáře je rovnoběžná s osou x) Pro prut na obrázku máme tedy dvě možnosti pro vyjádření okrajových podmínek: 1. vazbové podmínky 2. symetrie deformace x = 0 w = 0 x = 0 w = 0 x = l w = 0 x = 2 l w = 0 c) geometrickými prutovými předpoklady (střednice zůstává během deformace spojitá a hladká). Je-li výraz M oy /EJ y vyjádřen na úsecích prutu různými funkčními závislostmi, pak na hranicích těchto úseků formulujeme podmínky spojitosti a hladkosti střednice.

22 p13 22 Např. pro x = a, kde je změna zatížení (změna průběhu M o (x)), musí platit průhyb zleva se rovná průhybu zprava (zachování spojitosti) w I = w II natočení zleva se rovná natočení zprava (zachování hladkosti střednice) ϕ I = ϕ II prutové předpoklady U prutů, u nichž je výraz M oy /EJ y vyjádřen různými závislostmi v určitých částech střednice, pak postupujeme následovně: Příklad 616 Střednici rozdělíme na úseky, v nichž je výraz M oy /EJ y vyjádřen jedinou závislostí. Hranice intervalů jsou v místech změny zatížení, materiálových a průřezových charakteristik. Pro každý úsek napíšeme diferenciální rovnici. Popíšeme vazbové okrajové podmínky, vyplývající z vazeb prutu se základním tělesem. materiálové charakteristiky průřezové charakteristiky ohybová čára Pro všechna rozhraní mezi intervaly napíšeme pro deformovanou střednici podmínky spojitosti (rovnost průhybů zleva a zprava) (w i (a) = w i+1 (a)), Příklad 622 podmínky hladkosti (rovnost natočení zleva a zprava) (ϕ i (a) = ϕ i+1 (a)) Protože k řešení diferenciální rovnice ohybové čáry je třeba stanovit 2 integrační konstanty, musíme napsat odpovídající počet (2x počet intervalů) okrajových podmínek. Pro jejich správné sestavení je nutné, aby funkce M o(x) EJ byla pro všechny úseky vyjádřena v tomtéž y souřadnicovém systému.

23 p Integrální přístup Deformační charakteristiky pro konkrétní body střednice můžeme také určit s využitím Castiglianovy věty. V prutu délky l se akumuluje energie napjatosti W = W Moy + W T = 1 l 2E 0 Moy(x) 2 J y (x) dx + β l 2G 0 T 2 (x) S(x) dx, Castiglianova věta W Mo W T která je superpozicí příspěvků od ohybu a smyku. Při řešení posuvu působiště J síly F J dosadíme energii napjatosti do Castiglianovy věty a v obecném tvaru zderivujeme: w J = W l = F J 0 l M oy M oy dx + β EJ y F J 0 T GS T F J dx. Castiglianova věta Příklad 625 Přitom musíme mít na paměti, že průhyb w J je globální veličinou (závisí na deformacích celého prutu). Proto složky VVÚ musí být vyjádřeny jako funkční závislosti po celé délce střednice prutu. U dlouhých štíhlých prutů (l > 10h) je příspěvek posouvající síly zanedbatelný.

24 p Porovnání diferenciálního a integrálního přístupu 1. diferenciální přístup: Umožňuje: a) řešit i velké průhyby pomocí rovnice pro velké deformace ±w (1 + w 2 ) 3 2 = M oy EJ y velké deformace (pouze v určitých jednoduchých případech), b) určit v obecném místě velikost průhybu a natočení. c) určit extrémní průhyb i v případě, že neznáme polohu extrémního průhybu. Příklad 624 Nevýhody: nezahrnuje vliv posouvající síly na průhyb a natočení a obvykle je matematicky složitější a pracnější. 2. integrální přístup (Castiglianova věta): a) umožňuje určit deformační charakteristiky v kterémkoli konkrétním bodě střed- Příklad 618 nice; pokud v něm nepůsobí odpovídající vnější zatížení, přidáme doplňkovou Příklad 621 sílu F d = 0 nebo silovou dvojici Md = 0, s nimiž pracujeme jako se známým vnějším zatížením, charakteristiky b) umožňuje zahrnout vliv posouvající síly T na průhyb a natočení, Příklad 625 c) ve srovnání s diferenciálním přístupem je výpočet podstatně rychlejší a snazší, d) umožňuje volit různý (optimální) souřadnicový systém v každém úseku, e) je použitelný i u zakřivených a lomených prutů. Nevýhody: a) lze ho použít pouze v lineární pružnosti (malé deformace, hookovský materiál, lineární vazby lineární), pružnost b) řeší deformaci v konkrétním bodě, obtížně se používá při hledání extrémů.

25 p Vázaný prut V blízkém okolí vazeb existuje oblast, kde není prut namáhán prostým ohybem, protože se nepodaří realizovat vazbu tak, aby omezovala jen posuvy a natočení střednice. Tuto oblast nemůžeme řešit pomocí vztahů pro prostý ohyb. Je-li tato oblast rozhodující z hlediska mezních stavů, je třeba použít např. MKP. prutové předpoklady

26 p13 26 Postup při řešení vázaných prutů 1. Prut úplně uvolníme a v místě odstraněných vazeb zavedeme stykové výslednice. uvolnění 2. Sestavíme použitelné podmínky statické rovnováhy. SR 3. Určíme stupeň statické neurčitosti s = µ ν. Mohou nastat tyto případy: a) s = 0 prut je uložen staticky určitě pokračujeme bodem 7. rozbor b) s 1 prut je uložen staticky neurčitě pokračujeme bodem 4. Příklad Prut částečně uvolníme a sestavíme vazbové deformační podmínky, které jsou určeny částečné posuvem ev. natočením tolika bodů střednice, kolikrát je uložení staticky neurčité. uvolnění 5. Vazbové deformační podmínky vyjádříme pomocí silového působení s využitím Castiglianovy věty. Pokud vazby omezují podélné deformace prutu, vznikne v něm nenulová normálová síla a z jednoduchého namáhání se stane kombinované (ohyb + tah jednoduché nebo tlak). Deformační podmínky mohou být namáhání a) homogenní kinematický vazbový parametr má nulovou hodnotu, Příklad 617 b) nehomogenní kinematický vazbový parametr má nenulovou hodnotu v důsledku výrobních nepřesností (např. nestejná výška podpor, nesouosost vazeb), Příklad 608 c) podmíněné podle velikosti posuvu ev. natočení může prut zůstat buď staticky Příklad 613 určitý nebo se stát staticky neurčitým (např. montážní vůle způsobí nefunkčnost vazby). 6. Sestavíme soustavu rovnic, tvořenou podmínkami statické rovnováhy úplně uvolněného prutu a vazbovými deformačními podmínkami částečně uvolněného prutu. 7. Řešíme soustavu rovnic. 8. Řešíme napjatost a deformaci stejně jako u volného prutu.

27 p Příklady k procvičování látky Řešené příklady Příklad 601 Příklad 625 Příklad 627 Neřešené příklady Příklad 602 Příklad 603 Příklad 604 Příklad 608 Příklad 610 Příklad 618 Příklad 622 Příklad 624 Příklad 616 Příklad 617 předchozí OBSAH následující kapitola

12. Prostý krut Definice

12. Prostý krut Definice p12 1 12. Prostý krut 12.1. Definice Prostý krut je označení pro namáhání přímého prizmatického prutu, jestliže jsou splněny prutové předpoklady, příčné průřezy se nedeformují, pouze se vzájemně natáčejí

Více

Pružnost a pevnost I

Pružnost a pevnost I Stránka 1 teoretické otázk 2007 Ing. Tomáš PROFANT, Ph.D. verze 1.1 OBSAH: 1. Tenzor napětí 2. Věta o sdruženosti smkových napětí 3. Saint Venantův princip 4. Tenzor deformace (přetvoření) 5. Geometrická

Více

7. Základní formulace lineární PP

7. Základní formulace lineární PP p07 1 7. Základní formulace lineární PP Podle tvaru závislosti mezi vnějšími silami a deformačně napěťovými parametry tělesa dělíme pružnost a pevnost na lineární a nelineární. Lineární pružnost vyšetřuje

Více

4. Napjatost v bodě tělesa

4. Napjatost v bodě tělesa p04 1 4. Napjatost v bodě tělesa Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty.

Více

2.2 Mezní stav pružnosti Mezní stav deformační stability Mezní stav porušení Prvek tělesa a napětí v řezu... p03 3.

2.2 Mezní stav pružnosti Mezní stav deformační stability Mezní stav porušení Prvek tělesa a napětí v řezu... p03 3. obsah 1 Obsah Zde je uveden přehled jednotlivých kapitol a podkapitol interaktivního učebního textu Pružnost a pevnost. Na tomto CD jsou kapitoly uloženy v samostatných souborech, jejichž název je v rámečku

Více

Zde je uveden abecední seznam důležitých pojmů interaktivního učebního textu

Zde je uveden abecední seznam důležitých pojmů interaktivního učebního textu index 1 Rejstřík Zde je uveden abecední seznam důležitých pojmů interaktivního učebního textu Pružnost a pevnost. U každého termínu je uvedeno označení kapitoly a čísla obrazovek, na nichž lze pojem nalézt.

Více

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Základní rovnice popisující napěťově-deformační chování materiálu při jednoosém namáhání jsou Hookeův zákon a Poissonův zákon. σ = E ε odtud lze vyjádřit také poměrnou

Více

Přetvořené ose nosníku říkáme ohybová čára. Je to rovinná křivka.

Přetvořené ose nosníku říkáme ohybová čára. Je to rovinná křivka. OHYBOVÁ ČÁRA ZA PROSTÉHO OHYBU - rovinné průřez zůstávají po deformaci rovinnými, avšak natáčejí se. - při prostém ohbu hlavní centrální osa setrvačnosti všech průřezů leží v rovině vnějších sil, která

Více

OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6

OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6 OTÁZKY K PROCVIČOVÁNÍ PRUŽNOST A PLASTICITA II - DD6 POSUZOVÁNÍ KONSTRUKCÍ PODLE EUROKÓDŮ 1. Jaké mezní stavy rozlišujeme při posuzování konstrukcí podle EN? 2. Jaké problémy řeší mezní stav únosnosti

Více

Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti)

Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti) VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti (339) Pružnost a pevnost v energetice (Návo do cvičení) Cvičení 7 (Matematická teorie pružnosti) Autor: Jaroslav Rojíček Verze:

Více

16. Matematický popis napjatosti

16. Matematický popis napjatosti p16 1 16. Matematický popis napjatosti Napjatost v bodě tělesa jsme definovali jako množinu obecných napětí ve všech řezech, které lze daným bodem tělesa vést. Pro jednoznačný matematický popis napjatosti

Více

písemky (3 příklady) Výsledná známka je stanovena zkoušejícím na základě celkového počtu bodů ze semestru, ze vstupního testu a z písemky.

písemky (3 příklady) Výsledná známka je stanovena zkoušejícím na základě celkového počtu bodů ze semestru, ze vstupního testu a z písemky. POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z PP I Zkouška úrovně Alfa (pro zájemce o magisterské studium) Zkouška sestává ze vstupního testu (10 otázek, výběr správné odpovědi ze čtyř možností, rozsah dle sloupečku Požadavky)

Více

Prizmatické prutové prvky zatížené objemovou změnou po výšce průřezu (teplota, vlhkost, smrštění )

Prizmatické prutové prvky zatížené objemovou změnou po výšce průřezu (teplota, vlhkost, smrštění ) 1 Prizmatické prutové prvky zatížené objemovou změnou po výšce průřezu (teplota, vlhkost, smrštění ) 1. Rozšířený Hookeův zákon pro jednoosou napjatost Základním materiálovým vztahem lineární teorie pružnosti

Více

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c )

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c ) 3.3 Řešené příklady Příklad 1: Pro nosník na obrázku vyšetřete a zakreslete reakce, T (x) a M(x). Dále určete M max a proveďte dimenzování pro zadaný průřez. Dáno: a = 0.5 m, b = 0.3 m, c = 0.4 m, d =

Více

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu.

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu. Ohyb přímých prutů nosníků Ohyb nastává, jestliže v řeu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řeu Ohybový moment určíme jako součet momentů od všech

Více

1.1 Shrnutí základních poznatků

1.1 Shrnutí základních poznatků 1.1 Shrnutí základních poznatků Pojmem nádoba obvykle označujeme součásti strojů a zařízení, které jsou svým tvarem a charakterem namáhání shodné s dutými tělesy zatíženými vnitřním, popř. i vnějším tlakem.sohledemnatopovažujemezanádobyrůznápotrubíakotlovátělesa,alenapř.i

Více

OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 2010/2011

OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 2010/2011 OTÁZKY VSTUPNÍHO TESTU PP I LS 010/011 Pomocí Thumovy definice, s využitím vrubové citlivosti q je definován vztah mezi součiniteli vrubu a tvaru jako: Součinitel tvaru α je podle obrázku definován jako:

Více

PRUŽNOST A PLASTICITA I

PRUŽNOST A PLASTICITA I Otázky k procvičování PRUŽNOST A PLASTICITA I 1. Kdy je materiál homogenní? 2. Kdy je materiál izotropní? 3. Za jakých podmínek můžeme použít princip superpozice účinků? 4. Vysvětlete princip superpozice

Více

Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku:

Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Velmi stručně o parciálních derivacích Castiglianova věta k čemu slouží Castiglianova věta jak ji použít Castiglianova věta staticky určité přímé nosníky

Více

Betonové konstrukce (S) Přednáška 3

Betonové konstrukce (S) Přednáška 3 Betonové konstrukce (S) Přednáška 3 Obsah Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce Silové působení kabelu na beton Ekvivalentní zatížení Staticky neurčité účinky předpětí Konkordantní kabel, Lineární

Více

Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil

Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil Souřadný systém, v rovině i prostoru Síla bodová: vektorová veličina (kluzný, vázaný vektor - využití),

Více

Pružnost a pevnost (132PRPE) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady. Část 1 - Test

Pružnost a pevnost (132PRPE) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady. Část 1 - Test Pružnost a pevnost (132PRPE) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, kalkulačka (nutná), tabulka průřezových charakteristik, oficiální přehled

Více

POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z PP I

POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z PP I POŽADAVKY KE ZKOUŠCE Z PP I Zkouška úrovně Alfa (pro zájemce o magisterské studium) Zkouška sestává ze o vstupního testu (10 otázek, výběr správné odpovědi ze čtyř možností, rozsah dle sloupečku Požadavky)

Více

Geometricky válcová momentová skořepina

Geometricky válcová momentová skořepina Geometricky válcová momentová skořepina Dalším typem tenkostěnnéo rotačně souměrnéo tělesa je geometricky válcová momentová skořepina. Typický souřadnicový systém je opět systém s osami z, r, a t. Geometricky

Více

Vlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

Vlastnosti a zkoušení materiálů. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Vlastnosti a zkoušení materiálů Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Teoretická a skutečná pevnost kovů Trvalá deformace polykrystalů začíná při vyšším napětí než u monokrystalů, tj. hodnota meze

Více

Nauka o materiálu. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti

Nauka o materiálu. Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Nauka o materiálu Přednáška č.4 Úvod do pružnosti a pevnosti Teoretická a skutečná pevnost kovů Trvalá deformace polykrystalů začíná při vyšším napětí než u monokrystalů, tj. hodnota meze kluzu R e, odpovídající

Více

NOSNÍK NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉM)

NOSNÍK NA PRUŽNÉM PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉM) NOSNÍK NA PRUŽNÉ PODLOŽÍ (WINKLEROVSKÉ) Uvažujeme spojitý nosník na pružných podporách. Pružná podpora - odpor je úměrný zatlačení. Pružné podpory velmi blízko sebe - jejich účinek lze nahradit spojitou

Více

Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady.

Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady. Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, kalkulačka (nutná), tabulka průřezových

Více

1. Úvod do pružnosti a pevnosti

1. Úvod do pružnosti a pevnosti 1. Úvod do pružnosti a pevnosti Mechanika je nejstarší vědní obor a její nedílnou součástí je nauka o pružnosti a pevnosti. Pružností nazýváme schopnost pevných těles získat po odstranění vnějších účinků

Více

FAKULTA STAVEBNÍ. Telefon: WWW:

FAKULTA STAVEBNÍ. Telefon: WWW: VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ ZÁKLADY METODY KONEČNÝCH PRVKŮ Jiří Brožovský Kancelář: LP H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz WWW: http://fast10.vsb.cz/brozovsky/

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

3. kapitola. Průběhy vnitřních sil na lomeném nosníku. Janek Faltýnek SI J (43) Teoretická část: Příkladová část: Stavební mechanika 2

3. kapitola. Průběhy vnitřních sil na lomeném nosníku. Janek Faltýnek SI J (43) Teoretická část: Příkladová část: Stavební mechanika 2 3. kapitola Stavební mechanika Janek Faltýnek SI J (43) Průběhy vnitřních sil na lomeném nosníku Teoretická část: Naším úkolem je v tomto příkladu vyšetřit průběh vnitřních sil na lomeném rovinném nosníku

Více

5. Statika poloha střediska sil

5. Statika poloha střediska sil 5. Statika poloha střediska sil 5.1 Rovnoběžné sily a jejich střed Uvažujeme soustavu vzájemně rovnoběžných sil v prostoru s pevnými působišti. Každá síla má působiště dané polohovým vektorem. Všechny

Více

Kapitola 4. Tato kapitole se zabývá analýzou vnitřních sil na rovinných nosnících. Nejprve je provedena. Každý prut v rovině má 3 volnosti (kap.1).

Kapitola 4. Tato kapitole se zabývá analýzou vnitřních sil na rovinných nosnících. Nejprve je provedena. Každý prut v rovině má 3 volnosti (kap.1). Kapitola 4 Vnitřní síly přímého vodorovného nosníku 4.1 Analýza vnitřních sil na rovinných nosnících Tato kapitole se zabývá analýzou vnitřních sil na rovinných nosnících. Nejprve je provedena rekapitulace

Více

Statika soustavy těles.

Statika soustavy těles. Statika soustavy těles Základy mechaniky, 6 přednáška Obsah přednášky : uvolňování soustavy těles, sestavování rovnic rovnováhy a řešení reakcí, statická určitost, neurčitost a pohyblivost, prut a jeho

Více

Autor: Vladimír Švehla

Autor: Vladimír Švehla Bulletin of Applied Mechanics 1, 55 64 (2005) 55 Využití Castiglianovy věty při výpočtu deformací staticky určité případy zatížení tahem a tlakem Autor: Vladimír Švehla České vysoké učení technické, akulta

Více

3.2 Základy pevnosti materiálu. Ing. Pavel Bělov

3.2 Základy pevnosti materiálu. Ing. Pavel Bělov 3.2 Základy pevnosti materiálu Ing. Pavel Bělov 23.5.2018 Normálové napětí představuje vazbu, která brání částicím tělesa k sobě přiblížit nebo se od sebe oddálit je kolmé na rovinu řezu v případě že je

Více

Rotačně symetrická deska

Rotačně symetrická deska Rotačně symetrická deska je tenkostěnné těleso, jeož střednicová ploca je v nedeformovaném stavu rovinná, kruová nebo mezikruová. Zatížení působí kolmo ke střednicové rovině, takže při deformaci se střednicová

Více

Definujte poměrné protažení (schematicky nakreslete a uved te jednotky) Napište hlavní kroky postupu při posouzení prutu na vzpěrný tlak.

Definujte poměrné protažení (schematicky nakreslete a uved te jednotky) Napište hlavní kroky postupu při posouzení prutu na vzpěrný tlak. 00001 Definujte mechanické napětí a uved te jednotky. 00002 Definujte normálové napětí a uved te jednotky. 00003 Definujte tečné (tangenciální, smykové) napětí a uved te jednotky. 00004 Definujte absolutní

Více

Dvě varianty rovinného problému: rovinná napjatost. rovinná deformace

Dvě varianty rovinného problému: rovinná napjatost. rovinná deformace Rovinný problém Řešíme plošné konstrukce zatížené a uložené v jejich střednicové rovině. Dvě varianty rovinného problému: rovinná napjatost rovinná deformace 17 Rovinná deformace 1 Obsahuje složky deformace

Více

Momenty setrvačnosti a deviační momenty

Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty charakterizují spolu shmotností a statickými momenty hmoty rozložení hmotnosti tělesa vprostoru. Jako takové se proto vyskytují

Více

2. kapitola. Co jsou to vnitřní síly, jakými způsoby se dají určit, to vše jsme se naučili v první kapitole.

2. kapitola. Co jsou to vnitřní síly, jakými způsoby se dají určit, to vše jsme se naučili v první kapitole. 2. kapitola Stavební mechanika 2 Janek Faltýnek SI J (43) Průběhy vnitřních sil Teoretická část: V tomto příkladu máme za úkol vyšetřit průběhy vnitřních sil na rovinné konstrukci zatížené libovolným spojitým

Více

Statika 1. Vnitřní síly na prutech. Miroslav Vokáč 11. dubna ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M.

Statika 1. Vnitřní síly na prutech. Miroslav Vokáč 11. dubna ČVUT v Praze, Fakulta architektury. Statika 1. M. Definování 4. přednáška prutech iroslav okáč miroslav.vokac@cvut.cz ČUT v Praze, Fakulta architektury 11. dubna 2016 prutech nitřní síly síly působící uvnitř tělesa (desky, prutu), které vznikají působením

Více

PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY

PRŮŘEZOVÉ CHARAKTERISTIKY . cvičení PRŮŘEZOVÉ CHRKTERISTIKY Poznámka Pojem průřezu zavádíme u prutových konstrukčních prvků. Průřez je rovinný obrazec, který vznikne myšleným řezem vedeným kolmo k podélné ose nedeformovaného prutu,

Více

Osové a deviační momenty setrvačnosti ploch (opakování ze 4. cvičení) Momenty setrvačnosti k otočeným osám Kroucení kruhových a mezikruhových průřezů

Osové a deviační momenty setrvačnosti ploch (opakování ze 4. cvičení) Momenty setrvačnosti k otočeným osám Kroucení kruhových a mezikruhových průřezů Jedenácté cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Osové a deviační momenty setrvačnosti ploch (opakování ze 4. cvičení) Momenty setrvačnosti k otočeným osám Kroucení kruhových a mezikruhových průřezů

Více

Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy

Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy Přednáška 03 Diferenciální rovnice ohybu prutu Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy Schwedlerovy věty Rovnováha na segmentech prutu Clebschova metoda integrace Příklady Copyright (c) 011 Vít Šmilauer

Více

Kˇriv e pruty Martin Fiˇser Martin Fiˇ ser Kˇ riv e pruty

Kˇriv e pruty Martin Fiˇser Martin Fiˇ ser Kˇ riv e pruty Obsah Dimenzování křivého tenkého prutu zde Deformace v daném místě prutu zde Castiglianova věta zde Dimenzování křivého tenkého prutu Mějme obecný křivý prut z homogeního izotropního materiálu. Obrázek:

Více

Cvičení 1. Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti

Cvičení 1. Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti Cvičení 1 Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti Napjatost v bodě tělesa Napjatost (napěťový stav) v bodě tělesa je množinou obecných napětí ve všech řezech, které lze

Více

Křivé pruty. Kapitola Úvod

Křivé pruty. Kapitola Úvod Kapitola Křivé pruty. Úvod Zakřivené elementy konstrukcí, u kterých, stejně jako u přímých prutů, převládá jeden rozměr,senazývajíkřivýmipruty.mohoubýtstatickyurčité(obr..a,b,c,d), nebostatickyneurčité(obr..a,b,c,d).

Více

Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy

Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy Přednáška 0 Platnost Bernoulli Navierovy hypotézy Diferenciální rovnice ohybu prutu Schwedlerovy věty Rovnováha na segmentech prutu Clebschova metoda integrace Vliv teploty na průhyb a křivost prutu Příklady

Více

TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému

TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE Obrázek 1: Volba souřadnicového systému Pole posunutí, deformace, napětí v materiálovém bodě {u} = { u v w } T (1) Obecně 9 složek pole napětí lze uspořádat do matice [3x3] -

Více

Téma 12, modely podloží

Téma 12, modely podloží Téma 1, modely podloží Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia Úvod Winklerův model podloží Pasternakův model podloží Pružný poloprostor Nosník na pružném Winklerově podloží, řešení

Více

Dynamika vázaných soustav těles

Dynamika vázaných soustav těles Dynamika vázaných soustav těles Většina strojů a strojních zařízení, s nimiž se setkáváme v praxi, lze považovat za soustavy těles. Složitost dané soustavy závisí na druhu řešeného případu. Základem pro

Více

ZÁKLADNÍ ÚLOHY TEORIE PLASTICITY Teoretické příklady

ZÁKLADNÍ ÚLOHY TEORIE PLASTICITY Teoretické příklady Teorie plasticity VŠB TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ KATEDRA PRUŽNOSTI A PEVNOSTI ZÁKLADNÍ ÚLOHY TEORIE PLASTICITY Teoretické příklady 1. ŘEŠENÝ PŘÍKLAD NA TAH ŘEŠENÍ DLE DOVOLENÝCH NAMÁHÁNÍ

Více

Ztráta stability tenkých přímých prutů - vzpěr

Ztráta stability tenkých přímých prutů - vzpěr Ztráta stability tenkých přímých prutů - vzpěr Motivace štíhlé pruty namáhané tlakem mohou vybočit ze svého původně přímého tvaru a může dojít ke ztrátě stability a zhroucení konstrukce dříve, než je dosaženo

Více

Teorie tkaní. Modely vazného bodu. M. Bílek

Teorie tkaní. Modely vazného bodu. M. Bílek Teorie tkaní Modely vazného bodu M. Bílek 2016 Základní strukturální jednotkou tkaniny je vazný bod, tj. oblast v okolí jednoho zakřížení osnovní a útkové nitě. Proces tkaní tedy spočívá v tvorbě vazných

Více

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y]. Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1

Více

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE

ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE PRUŽNOST A PEVNOST Přednáška č. 5 Prof. Ing. Vladislav Laš. CSc. MECHANIKA PODDAJNÝCH TĚLES Úkolem PP z inženýrského hlediska je navrhnout součásti nebo konstrukce, které

Více

vztažný systém obecné napětí předchozí OBSAH další

vztažný systém obecné napětí předchozí OBSAH další p05 1 5. Deformace těles S deformací jako složkou mechanického pohybu jste se setkali už ve statice. Běžně je chápána jako změna rozměrů a tvaru tělesa. Lze ji popsat změnami vzdáleností různých dvou bodů

Více

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.

Více

s01. Základy statiky nutné pro PP

s01. Základy statiky nutné pro PP s01 1 s01. Základy statiky nutné pro PP Poznámka: Tato stať není přehledem statiky, ale pouze připomenutím některých základních poznatků, bez nichž se v PP nelze obejít. s01.1. Mechanický pohyb Pohyb chápeme

Více

Kapitola 8. prutu: rovnice paraboly z = k x 2 [m], k = z a x 2 a. [m 1 ], (8.1) = z b x 2 b. rovnice sklonu střednice prutu (tečna ke střednici)

Kapitola 8. prutu: rovnice paraboly z = k x 2 [m], k = z a x 2 a. [m 1 ], (8.1) = z b x 2 b. rovnice sklonu střednice prutu (tečna ke střednici) Kapitola 8 Vnitřní síly rovinně zakřiveného prutu V této kapitole bude na příkladech vysvětleno řešení vnitřních sil rovinně zakřivených nosníků, jejichž střednici tvoří oblouk ve tvaru kvadratické paraboly[1].

Více

α = 210 A x =... kn A y =... kn A M =... knm

α = 210 A x =... kn A y =... kn A M =... knm Vzorový příklad k 1. kontrolnímu testu Konzola Zadání: Vypočtěte složky reakcí a vykreslete průběhy vnitřních sil. A x A M A y y q = kn/m M = - 5kNm A α B c a b d F = 10 kn 1 1 3,5,5 L = 10 x α = 10 A

Více

7 Lineární elasticita

7 Lineární elasticita 7 Lineární elasticita Elasticita je schopnost materiálu pružně se deformovat. Deformace ideálně elastických látek je okamžitá (časově nezávislá) a dokonale vratná. Působí-li na infinitezimální objemový

Více

Zjednodušená deformační metoda (2):

Zjednodušená deformační metoda (2): Stavební mechanika 1SM Přednášky Zjednodušená deformační metoda () Prut s kloubově připojeným koncem (statická kondenzace). Řešení rovinných rámů s posuvnými patry/sloupy. Prut s kloubově připojeným koncem

Více

FAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW:

FAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW: VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ Stavební statika Přednáška 2 pro kombinované studium Jiří Brožovský Kancelář: LP C 303/1 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz

Více

Průmyslová střední škola Letohrad. Ing. Soňa Chládková. Sbírka příkladů. ze stavební mechaniky

Průmyslová střední škola Letohrad. Ing. Soňa Chládková. Sbírka příkladů. ze stavební mechaniky Průmyslová střední škola Letohrad Ing. Soňa Chládková Sbírka příkladů ze stavební mechaniky 2014 Tento projekt je realizovaný v rámci OP VK a je financovaný ze Strukturálních fondů EU (ESF) a ze státního

Více

1 Veličiny charakterizující geometrii ploch

1 Veličiny charakterizující geometrii ploch 1 Veličiny charakterizující geometrii ploch Jedná se o veličiny charakterizující geometrii průřezu tělesa. Obrázek 1: Těleso v rovině. Těžiště plochy Souřadnice těžiště plochy, na které je hmota rovnoměrně

Více

Určete plochu, statické momenty a souřadnice těžiště. Plocha je určena přímkami z=0, y= aaparabolou z= y2

Určete plochu, statické momenty a souřadnice těžiště. Plocha je určena přímkami z=0, y= aaparabolou z= y2 Určete plochu, statické momenty a souřadnice těžiště. Plocha je určena přímkami z=0, y= aaparabolou z= y2 a. a=100mm. Příklad 102 Určete kvadratické momenty průřezu tvaru rovnoramenného trojúhelníkakosám

Více

Pružnost a pevnost. zimní semestr 2013/14

Pružnost a pevnost. zimní semestr 2013/14 Pružnost a pevnost zimní semestr 2013/14 Organizace předmětu Přednášející: Prof. Milan Jirásek, B322 Konzultace: pondělí 10:00-10:45 nebo dle dohody E-mail: Milan.Jirasek@fsv.cvut.cz Webové stránky předmětu:

Více

K výsečovým souřadnicím

K výsečovým souřadnicím 3. cvičení K výsečovým souřadnicím Jak již bylo řečeno, výsečové souřadnice přiřazujeme bodům na střednici otevřeného průřezu, jejich soustava je dána pólem B a výsečovým počátkem M 0. Velikost výsečové

Více

Pružnost a pevnost. 2. přednáška, 10. října 2016

Pružnost a pevnost. 2. přednáška, 10. října 2016 Pružnost a pevnost 2. přednáška, 10. října 2016 Prut namáhaný jednoduchým ohybem: rovnoměrně ohýbaný prut nerovnoměrně ohýbaný prut příklad výpočet napětí a ohybu vliv teplotních měn příklad nerovnoměrné

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.

Více

Analýza napjatosti PLASTICITA

Analýza napjatosti PLASTICITA Analýza napjatosti PLASTICITA TENZOR NAPĚTÍ Teplota v daném bodě je skalár, je to tenzor nultého řádu, který nezávisí na změně souřadného systému Síla je vektor, je to tenzor prvního řádu, v trojrozměrném

Více

FAKULTA STAVEBNÍ NELINEÁRNÍ MECHANIKA. Telefon: WWW:

FAKULTA STAVEBNÍ NELINEÁRNÍ MECHANIKA. Telefon: WWW: VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ NELINEÁRNÍ MECHANIKA Bakalářské studium, 4. ročník Jiří Brožovský Kancelář: LP H 406/3 Telefon: 597 321 321 E-mail: jiri.brozovsky@vsb.cz

Více

Vybrané okruhy znalostí z předmětů stavební mechanika, pružnost a pevnost důležité i pro studium předmětů KP3C a KP5A - navrhování nosných konstrukcí

Vybrané okruhy znalostí z předmětů stavební mechanika, pružnost a pevnost důležité i pro studium předmětů KP3C a KP5A - navrhování nosných konstrukcí Vybrané okruhy znalostí z předmětů stavební mechanika, pružnost a pevnost důležité i pro studium předmětů KP3C a KP5A - navrhování nosných konstrukcí Skládání a rozklad sil Skládání a rozklad sil v rovině

Více

ANALÝZA KONSTRUKCÍ. 5. přednáška

ANALÝZA KONSTRUKCÍ. 5. přednáška ANALÝZA KONSTRUKCÍ 5. přednáška Nosné stěny rovinná napjatost Způsoby výpočtu napjatosti: Deformační metodou Primární neznámé: posuny u(,y), v(,y) Výchozí rovnice: statické Silovou metodou Primární neznámá:

Více

PRUŽNOST A PEVNOST II

PRUŽNOST A PEVNOST II VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ PRUŽNOST A PEVNOST II Navazující magisterské studium, 1. ročník Alois Materna (přednášky) Jiří Brožovský (cvičení) Kancelář: LP C 303/1

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013

Více

Rozdíly mezi MKP a MHP, oblasti jejich využití.

Rozdíly mezi MKP a MHP, oblasti jejich využití. Rozdíly mezi, oblasti jejich využití. Obě metody jsou vhodné pro určitou oblast problémů. základě MKP vyžaduje rozdělení těles na vhodný počet prvků, jejichž analýza je poměrně snadná a pro většinu částí

Více

Téma 1 Úvod do předmětu Pružnost a plasticita, napětí a přetvoření

Téma 1 Úvod do předmětu Pružnost a plasticita, napětí a přetvoření Pružnost a plasticita, 2.ročník kombinovaného studia Téma 1 Úvod do předmětu Pružnost a plasticita, napětí a přetvoření Základní pojmy, výchozí předpoklady Vztahy mezi vnitřními silami a napětími v průřezu

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Kontrolní otázky pro průběžné studium a pro přípravu ke zkoušce ze statiky. Základní pojmy

Kontrolní otázky pro průběžné studium a pro přípravu ke zkoušce ze statiky. Základní pojmy Kontrolní otázky pro průběžné studium a pro přípravu ke zkoušce ze statiky Základní pojmy Pojem hmota, základní formy existence (atributy) hmoty Čím se liší pojmy hmota a hmotnost Axiomy statiky Mechanický

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Nosné desky. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek (h/l < 1/10) 3. Mindlinova teorie pro tlusté desky (h/l < 1/5)

Nosné desky. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek (h/l < 1/10) 3. Mindlinova teorie pro tlusté desky (h/l < 1/5) Nosné desky Deska je těleso, které má jeden rozměr mnohem menší než rozměry zbývající. Zatížení desky je orientováno výhradně kolmo k její střednicové rovině. 1. Kirchhoffova teorie ohybu tenkých desek

Více

TAH-TLAK. Autoři: F. Plánička, M. Zajíček, V. Adámek R A F=0 R A = F=1500N. (1) 0.59

TAH-TLAK. Autoři: F. Plánička, M. Zajíček, V. Adámek R A F=0 R A = F=1500N. (1) 0.59 Autoři:. Plánička, M. Zajíček, V. Adámek 1.3 Řešené příklady Příklad 1: U prutu čtvercového průřezu o straně h vyrobeného zedvoumateriálů,kterýjezatížensilou azměnou teploty T (viz obr. 1) vyšetřete a

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

Skořepinové konstrukce. tloušťka stěny h a, b, c

Skořepinové konstrukce. tloušťka stěny h a, b, c Skořepinové konstrukce skořepina střední plocha a b tloušťka stěny h a, b, c c Různorodé technické aplikace skořepinových konstrukcí Mezní stavy skořepinových konstrukcí Ztráta stability zhroucení konstrukce

Více

Pružnost a plasticita II CD03

Pružnost a plasticita II CD03 Pružnost a plasticita II CD3 uděk Brdečko VUT v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechanik tel: 5447368 email: brdecko.l @ fce.vutbr.cz http://www.fce.vutbr.cz/stm/brdecko.l/html/distcz.htm Obsah

Více

Projevy dotvarování na konstrukcích (na úrovni průřezových modelů)

Projevy dotvarování na konstrukcích (na úrovni průřezových modelů) PŘEDNÁŠKY Projevy dotvarování na konstrukcích (na úrovni průřezových modelů) Volné dotvarování Vázané dotvarování Dotvarování a geometrická nelinearita Volné dotvarování Vývoj deformací není omezován staticky

Více

Statika 2. Vybrané partie z plasticity. Miroslav Vokáč 2. prosince ČVUT v Praze, Fakulta architektury.

Statika 2. Vybrané partie z plasticity. Miroslav Vokáč 2. prosince ČVUT v Praze, Fakulta architektury. ocelových 5. přednáška Vybrané partie z plasticity Miroslav Vokáč miroslav.vokac@klok.cvut.cz ČVUT v Praze, Fakulta architektury 2. prosince 2015 Pracovní diagram ideálně pružného materiálu ocelových σ

Více

Pružnost a plasticita CD03

Pružnost a plasticita CD03 Pružnost a plasticita CD03 Luděk Brdečko VUT v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechaniky tel: 541147368 email: brdecko.l @ fce.vutbr.cz http://www.fce.vutbr.cz/stm/brdecko.l/html/distcz.htm Obsah

Více

FYZIKA I. Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb

FYZIKA I. Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D.

Více

A x A y. α = 30. B y. A x =... kn A y =... kn B y =... kn. Vykreslení N, V, M. q = 2kN/m M = 5kNm. F = 10 kn A c a b d ,5 2,5 L = 10

A x A y. α = 30. B y. A x =... kn A y =... kn B y =... kn. Vykreslení N, V, M. q = 2kN/m M = 5kNm. F = 10 kn A c a b d ,5 2,5 L = 10 Vzorový příklad k 1. kontrolnímu testu Prostý nosník Zadání: Vypočtěte složky reakcí a vykreslete průběhy vnitřních sil. A x A y y q = kn/m M = 5kNm F = 10 kn A c a b d 1 1 3,5,5 L = 10 α B B y x α = 30

Více

Dynamika soustav hmotných bodů

Dynamika soustav hmotných bodů Dynamika soustav hmotných bodů Mechanický model, jehož pohyb je charakterizován pohybem dvou nebo více bodů, nazýváme soustavu hmotných bodů. Pro každý hmotný bod můžeme napsat pohybovou rovnici. Tedy

Více

1. výpočet reakcí R x, R az a R bz - dle kapitoly 3, q = q cosα (5.1) kolmých (P ). iz = P iz sinα (5.2) iz = P iz cosα (5.3) ix = P ix cosα (5.

1. výpočet reakcí R x, R az a R bz - dle kapitoly 3, q = q cosα (5.1) kolmých (P ). iz = P iz sinα (5.2) iz = P iz cosα (5.3) ix = P ix cosα (5. Kapitola 5 Vnitřní síly přímého šikmého nosníku Pojem šikmý nosník je používán dle publikace [1] pro nosník ležící v souřadnicové rovině xz, který je vůči vodorovné ose x pootočen o úhel α. Pro šikmou

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Mechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin

Mechanika kontinua. Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin Mechanika kontinua Mechanika elastických těles Mechanika kapalin a plynů Kinematika tekutin Hydrostatika Hydrodynamika Kontinuum Pro vyšetřování

Více

Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST

Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Výukový text pro učební obor Technik plynových zařízení Vzdělávací oblast RVP Plynová zařízení a Tepelná technika (mechanika) Pardubice 013 Použitá literatura: Technická

Více

Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST

Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Ing. Jan BRANDA PRUŽNOST A PEVNOST Výukový text pro učební obor Technik plynových zařízení Vzdělávací oblast RVP Plynová zařízení a Tepelná technika (mechanika) Pardubice 2013 Aktualizováno: 2015 Použitá

Více