Mechanické kmitání (test version, not revised) Petr Pošta pposta@karlin.mff.cuni.cz 9. prosince 2009
Obsah Kmitavý pohyb Kinematika kmitavého pohybu Skládání kmitů Dynamika kmitavého pohybu Přeměny energie v mechanickém oscilátoru Nucené kmity
Kmitavý pohyb
Jaké pohyby známe? Typy pohybů klid přímočaré (rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený) po kružnici Při všech těchto pohybech má působící síla stálou velikost.
Kmitavý pohyb Kmitavý pohyb pohyb kolem stabilní rovnovážné polohy vzniká (malým) vychýlením působením síly, která se těleso snaží vrátit zpět Může být periodický i neperiodický. (Např. netlumené vs. tlumené kmitání pružiny.) Periodický pohyb těleso má po určité době (periodě) stejnou polohu, rychlost, zrychlení,... Periodický děj fyzikální veličiny, které jej charakterizují, mají po určité době (periodě) stejné hodnoty.
Kmitavý pohyb Mechanický oscilátor libovolné mechanické zařízení, které koná kmitavý pohyb bez vnějšího působení Příklady pružina kyvadlo kulička v jamce bóje ve vodě...
Kmitavý pohyb Časový diagram vyjádření polohy tělesa jako funkce času Příklady harmonické kmitání ( funkce sinus ) pilovité kmity ( výtah ) obdélníkové kmity ( svítí/nesvítí )...
Kinematika kmitavého pohybu
Kinematika kmitavého pohybu Rovnoměrný / nerovnoměrný? Kmitavý pohyb je vždy nerovnoměrný Těleso se musí neustále vracet do rovnovážné polohy, mění se tedy orientace i velikost jeho rychlosti Přímočarý / křivočarý? my se budeme zabývat především přímočarým kmitáním každé jiné se z nich dá poskládat podle principu superpozice Dále se budeme zabývat pouze periodickým kmitavým pohybem.
Kinematika kmitavého pohybu Kmit část pohybu, během které kmitající těleso dospěje do stejné polohy (se stejnou rychlostí, zrychlením,...) Pozor, během jednoho kmitu pružina projde stejnou polohou dvakrát! Perioda T / Frekvence f Perioda = doba jednoho kmitu (jednotkou je sekunda) Frekvence = počet kmitů za jednu sekundu jednotka s 1 = Hz [hertz] f = 1 T
Kinematika kmitavého pohybu Velikost frekvence různých dějů mohou být značně odlišné. Frekvence různých dějů sekundové kyvadlo (1 Hz) komorní A (440 Hz) mobilní sítě (900, 1800 Mhz) procesor počítače (3 GHz) viditelné světlo (cca 3,9-7,9. 10 14 Hz)
Kinematika kmitavého pohybu (okamžitá) výchylka (elongace) vztažnou soustavu obvykle spojujeme s polohou těžiště kmitajícího tělesa v rovnovážné poloze výchylkou rozumíme polohu těžiště kmitajícího tělesa v této vztažné soustavě Pro přímočaře kmitající oscilátor (např. pružinu) je určena jedinou souřadnicí y y určuje vzdálenost od rovnovážné polohy podle znaménka y můžeme určit, na kterou stranu je oscilátor vychýlen amplituda výchylky maximální kladná hodnota výchylky
Kinematika kmitavého pohybu Harmonický kmitavý pohyb Jako harmonický kmitavý pohyb (též harmonické kmitání) označujeme takový kmitavý pohyb, kdy je výchylka určena funkcí sinus y = y m sin(ωt + ϕ 0 ) Veličině ω se říká úhlová frekvence. ω = 2πf = 2π T [ω] = s 1 = rad. s 1 Veličině ϕ = (ωt + ϕ 0 ) se říká fáze, ϕ 0 je počáteční fáze. Harmonický kmitavý pohyb dostaneme promítáním rovnoměrného pohybu po kružnici do svislé roviny.
Kinematika kmitavého pohybu Význam fáze a počáteční fáze fáze jednoznačně určuje polohu tělesa nenulová počáteční fáze indukuje, že čas začínáme měřit v okamžiku, kdy těleso nemusí být v rovnovážné poloze (pokud ϕ 0 2kπ, kde k je celé číslo). Speciální případy: ϕ 0 = 0... rovnovážná poloha ϕ 0 = π... jedna krajní poloha 2 ϕ 0 = π... rovnovážná poloha, těleso z ní ale vychází opačným směrem než výše ϕ 0 = 3π... druhá krajní poloha 2
Kinematika kmitavého pohybu Úloha Napište rovnici harmonických kmitů hmotného bodu s amplitudou 1,5 cm, periodou 0,2 s a nulovou počáteční fází. Úloha Rovnice harmonických kmitů má tvar y = 5, 0 10 3 sin(4π{t}) cm. Určete amplitudu výchlky, úhlovou frekvenci, frekvenci a periodu kmitavého pohybu.
Kinematika kmitavého pohybu Úloha Harmonické kmitání je určeno vztahem y = 2, 0 sin(π{t}) cm Určete periodu kmitání a všechny časy během první periody, kdy je těleso vzdáleno na 1,0 cm od rovnovážné polohy.
Kinematika kmitavého pohybu Rychlost a zrychlení harmonického kmitání (odvození přes kružnici) v = ωy m cos (ωt + ϕ 0 ) Amplitudy a = ω 2 y m cos (ωt + ϕ 0 ) = ω 2 y v m = ωy m a m = ω 2 y m Rychlost je maximální při průchodu rovnovážnou polohou, nulová v krajních polohách. Zrychlení je maximální v krajních polohách, nulové v rovnovážné poloze. Zrychlení je přímo úměrné výchylce a má opačný směr.
Kinematika kmitavého pohybu Harmonická veličina libovolná veličina, která má sinusový průběh (např. výchylka, rychlost, zrychlení kmitavého pohybu) Fázový rozdíl Rozdíl fází dvou harmonických veličin. Mohou se týkat různých veličin u stejného pohybu: mezi výchylkou a rychlostí je fázový rozdíl π/2 (odvodit) mezi výchylkou a zrychlením je fázový rozdíl π (odvodit) Mohou se také týkat různých pohybů: při skládání dvou kmitavých pohybů je pro výslednou výchylku důležitý fázový rozdíl výchylek obou kmitavých pohybů. Poznámka fázor a fázorový diagram.
Skládání kmitů
Skládání kmitů v témže směru Princip superpozice pro kmity Jestliže hmotný bod koná současně několik harmonických kmitavých pohybů téhož směru s výchylkami y 1, y 2,..., y k, je výchylka výsledného kmitání y = y 1 + y 2 +... + y k (Obdobný vztah platí pro rychlost a zrychlení.)
Skládání kmitů v témže směru 1. Skládání izochronních kmitů (o stejné amplitudě) izochronní kmity kmity stejné frekvence y 1 = y m sin(ωt + ϕ 01 ) y 2 = y m sin(ωt + ϕ 02 ) Kmity mají stejnou amplitudu a stejnou (úhlovou) frekvenci, mohou mít ale rozlišnou počáteční fázi. Na fázovém rozdílu závisí amplituda výsledných kmitů. y = y 1 + y 2 = 2y m cos ϕ 01 ϕ 02 2 ( sin ωt + ϕ ) 01 + ϕ 02 2
Skládání kmitů v témže směru 2. Skládání izochronních kmitů (obecně) Obecněji platí: Skládáním izochronních kmitů stejného směru vzniká harmonické kmitání téže frekvence. Jeho amplituda závisí na fázovém rozdílu obou složek. 1. speciální případ: ϕ = 2kπ (kmity mají stejnou fázi) y m = y m1 + y m2 2. speciální případ: ϕ = (2k + 1)π (mají opačnou fázi) y m = y m1 y m2 Při rovnosti amplitud dojde k vzájemnému utlumení.
Skládání kmitů v témže směru Skládání neizochronních kmitů Vždy vzniká pohyb, který není harmonický. v případě, že frekvence jsou soudělné, vzniká pohyb, kterému říkáme složené kmitání. (graf) v případě, že frekvence jsou nesoudělné, vzniká neperiodický pohyb v případě, že frekvence jsou si velmi bĺızké (a amplituda stejná), vznikají rázy. y 1 + y 2 = y m sin(ω 1 t) + y m sin(ω 2 t) = ( ) ( ) ω1 ω 2 ω1 + ω 2 = 2y m cos t sin t 2 2 Graf! Význam pro měření frekvencí. Zázněje.
Skládání kolmých kmitů Skládání kolmých kmitů Vznikají obrazce. stejné frekvence (úsečka, elipsa, kružnice) soudělné frekvence (Lissajousovy křivky) nesoudělné frekvence (otevřené křivky)
Dynamika harmonického kmitání
Dynamika kmitavého pohybu Zrychlení...... odpovídá síla a = ω 2 y F = mω 2 y pohybová rovnice oscilátoru síla je přímo úměrná výchylce a je oproti ní opačně orientovaná
Dynamika kmitavého pohybu Každá síla, jejíž velikost je přímo úměrná výchylce a vůči ní opačně orientovaná, způsobuje harmonické kmitání tělesa. nucené kmitání (síla je daná zvnějšku) vlastní kmitání (síla je určena parametry oscilátoru) Jak určit (úhlovou) frekvenci vlastních kmitů? F = mω 2 y Jestliže umíme určit sílu v případě konkrétního oscilátoru z jeho parametrů (tuhost pružiny, délka kyvadla,...), pak umíme také určit frekvenci vlastních kmitů.
Dynamika kmitavého pohybu Pružina (obrázek!) Po zavěšení závaží o hmotnosti m se pružina prodlouží o délku l a zůstane v klidu. Prodloužení uvažujeme elastické, podle Hookova zákona tedy přímo úměrné působící síle. Platí tedy F = k l a F + F G = 0, tj. k l mg = 0. Při malém vychýlení y z rovnovážné polohy působí na závaží síla F = F p + F G = k( l y) mg = ky (Pozor na znaménka!!) k je tzv. tuhost pružiny
Dynamika kmitavého pohybu Pružina Zjistili jsme, že pokud k je tuhost pružiny a m hmotnost zavěšeného tělesa (a vlastní hmotnost pružiny zanedbáváme), pak F = ky (pružina) F = mω 2 0y odkud vyplývá, že úhlová frekvence (vlastních) kmitů je (kmitání) Odtud ω 2 0 = k m ω 0 = k m, f 0 = 1 k 2π m, T = 2π m k
Dynamika kmitavého pohybu Jestliže je na (nehmotnou) nit délky l zavěšeno závaží a (málo) výchyleno z rovnovážné polohy, začne konat (přibližně) harmonický kmitavý pohyb. Výchylka nesmí přesáhnout úhel cca 5. Matematické kyvadlo (obrázek a odvození!) ω 0 = g l, f 0 = 1 g 2π l, T = 2π l g Úloha Určete délku sekundového kyvadla. (Doba kyvu = poloviční perioda = 1 s.) Poznámka o fyzikálních kyvadlech.
Dynamika kmitavého pohybu Úloha jiný typ oscilátoru Určete úhlovou frekvenci (frekvenci, periodu) malých kmitů homogenní krychlové bóje o hraně a plovoucí ve vodě, jestliže má mořská voda hustotu ϱ.
Přeměny energie
Přeměny energie kmity netlumené (ideální nebo s kompenzací odporových sil) kmity tlumené Přeměny energie při netlumeném vlastním kmitání kinetická energie oscilátoru E k = 1 2 mv 2 maximální v rovnovážné poloze nulová v krajních polohách potenciální energie oscilátoru E p = 1ky 2 2 Je rovna práci potřebné na překonání síly působící kmitavý pohyb při vychýlení z rovnovážné polohy o výchylku y. (odvození z grafu!) maximální v krajních polohách nulová v rovnovážné poloze
Přeměny energie Celková mechanická energie vlastních kmitů oscilátoru E = E p + E k E = 1 2 ky 2 + 1 2 mv 2 V krajní poloze je E = E p = 1 2 ky m 2 V rovnovážné poloze je E = E k = 1 2 mv 2 m Při netlumeném kmitání se mechanická energie zachovává v průběhu celého děje (výpočet!)
Přeměny energie Tlumené kmity zmenšuje se mechanická energie oscilátoru prodlužuje se perioda kmitů Při příliš velkém tlumení tělesu nemusí udělat ani jeden kmit. Při tzv. kritickém tlumení se z krajní polohy vrátí do rovnovážné a zůstane tam. (Zavírání dveří.)
Nucené kmity. Rezonance
Nucené kmity. Rezonance Nucené harmonické kmitání je způsobeno vnější silou, která má harmonický průběh F = F m sin(ωt) oscilátor pak vždy kmitá s úhlovou frekvencí ω vnějšího působení tato frekvence ω může být v zásadě libovolná obecně je tedy frekvence ω různá od frekvence vlastních kmitů ω 0 nucené kmitání je vždy netlumené Vlastnosti kmitajícího objektu neovlivní frekvenci, ale zato významně ovlivňují amplitudu nucených kmitů.
Nucené kmity. Rezonance Rezonance v případě, že nutíme kmitat mechanický oscilátor, skládají se jeho vlastní kmity a nucené kmity rezonanční křivka závislost amplitudy výsledných kmitů na frekvenci nucených kmitů rezonance pokud ω = ω 0 (frekvence nucených a vlastních kmitů se shoduje), dochází k velkému zvětšení amplitudy (teoreticky neomezenému, ovšem reálně nikoliv díky všudypřítomnému tlumení).
Nucené kmity. Rezonance Rezonance (matematické odůvodnění) Odtud vyplývá, že ma = ky + F m sin ωt mω 2 y m sin ωt = ky m sin ωt + F m sin ωt y m = F m m 1 ω 2 0 ω2
Nucené kmity. Rezonance Význam rezonance Malou, periodicky působící silou, lze dosáhnout velkého zvětšení amplitudy kmitů. Houpačka lze ji značně rozhoupat i malými přesuny těžiště. Poznámka o spřažených kyvadlech (rezonance jako mechanismus přenosu energie). Hudební nástroje. Elektrická rezonance. Nežádoucí rezonance (turbíny, mosty,...)