Kruhová inverze Pepa Tkadlec ØÖ Øº Příspěvekseznamujesezákladnímivlastnostmi kruhovéinverzeana úlohách ze světových soutěží ilustruje, kdy je vhodné inverzi při řešení použít. Obsahuje jeden řešený příklad a stručné návody ke všem ostatním. Kruhová inverze je jedno z nejexotičtějších geometrických zobrazení. Přestože nezachovává ani tak jednoduché objekty jako jsou přímky, má řadu překvapujících a užitečných vlastností, díky nimž je velmi silným nástrojem při řešení jinak obtížných geometrických úloh. Definice Úmluva. Rovinu rozšíříme o(jediný) bod, o němž prohlásíme, že leží na všech přímkách. Definice. Kruhová inverze je geometrické zobrazení určené kružnicí k se středem apoloměrem r,kterébodu Apřiřadíbod A podlenásledujícíhopravidla: (i) Je-li A=,pak A =. (ii) Je-li A=,pak A =. (iii) Jinakje A tenbodpolopřímky A,pronějžplatí A A =r 2. Vlastnosti Takto definované zobrazení má triviálně následující vlastnosti: (i) Body kružnice k jsou samodružné. (ii) Leží-libod Auvnitřkružnice k,ležíobraz A venkuanaopak. (iii) nverze provedená dvakrát podle téže kružnice je identita. ÃÐ ÓÚ ÐÓÚ º kruhováinverze,planimetrie,geometrie,geometrickázobrazení 62
PEPA TKADLEC Tvrzení.(Konstrukce obrazu) Je dána kružnice k a bod A vně této kružnice. Tečnykekružnici kvedenébodem Asejídotýkajívbodech T, U.Pakobraz A bodu Avkruhovéinverzipodlekružnice kjestředúsečky TU. Lemma.(Přepočítávací lemma) Je dána kružnice k(, r) a body X, Y. Označme X, Y obrazybodů X, Y vinverzipodlekružnice k.pak (i) X Y = XY, (ii) X Y = XY r 2 X Y, (iii) XY = X Y r 2 X Y. Cvičení.(Tětivové čtyřúhelníky) Je dána kružnice k se středem a body A, B takové,ženeležínajednépřímces.označme A, B obrazybodů A, Bvinverzi podle k.ukažte,žebody A, B, A, B ležínajednékružnici. Tvrzení.(Stěžejní) Uvažme kruhovou inverzi určenou kružnicí k se středem. Pak (i) Obrazem přímky procházející bodem je ona sama. (ii) Obrazem přímky neprocházející bodem je kružnice. (iii) Obrazem kružnice procházející bodem je přímka. (iv) Obrazem kružnice neprocházející bodem je kružnice. Cvičení.(Středy kružnic) Podle předchozího tvrzení je obrazem kružnice k se středem O nějakákružnice k sestředem S (neprochází-li k středeminverze ). Ukažte,žeačkolivbod Sležínapolopřímce O,nenítoobrazbodu O(kruhová inverze na sebe tedy nezobrazuje středy kružnic). Cvičení.(Samodružné kružnice) Podle předchozího tvrzení se přímka zobrazí na sebe sama právě tehdy, když prochází středem inverze. Které kružnice mají tuto vlastnost také? Záhadou zůstává, jak rozpoznat, že na úlohu lze zaútočit inverzí. Několik rysů nás může k použití inverze navést. Proberme je postupně. Mámevzoriobraz Umíme-li v obrázku interpretovat některou přímku nebo kružnici jako obraz jiné přímky či kružnice ve vhodné inverzi, může pouhé uvážení této inverze vnést do úlohy zcela nové světlo. Příklad1. Přímka pprotnekružnici kvbodech X, Y.Označme Šstředjednoho oblouku XY.Bodem Švedemedvěpřímky,kteréprotnoukružnici kvbodech A, Bapřímku pvbodech C, D.Ukažte,žebody A, B, C, Dležínajednékružnici. Příklad2. Kružnice k 1, k 2, k 3 majípodvouvnějšídotyk.kružnice lmásevšemi třemivnějšídotykpostupněvbodech L 1, L 2, L 3.Kružnice mmásevšemitřemi vnitřnídotykpostupněvbodech M 1, M 2, M 3.Ukažte,žepřímky L 1 M 1, L 2 M 2, L 3 M 3 procházejíjednímbodem. (PraSe) 63
KRUHOVÁ NVERZE Typické použití kruhové inverze je ale jiné. Kruhová inverze nám totiž umožňuje řešit místo zadané úlohy jinou(ale ekvivalentní) úlohu v jiném(zinvertovaném) obrázku. Tento princip objasňuje následující řešený příklad. Příklad3. Kolmépřímky p, qseprotínajívbodě S.Kružnice k 1, k 2 sestředy napřímce paprocházejícíbodem Sprotínajíkružnice l 1, l 2 sestředynapřímce q a rovněž procházející bodem S podruhé ve čtyřech různých bodech. Ukažte, že tyto čtyři body leží na jedné kružnici. Řešení. nvertujme podle kružnice i se středem S a libovolným poloměrem. Tvrzení bude dokázáno, pokud se nám podaří ukázat, že obrazy zmíněných čtyř průsečíků leží na kružnici neprocházející bodem S, protože původní čtyři druhé průsečíky budou potommusetležetnaobrazutétokružnicevinverzipodle i,cožjepodlestěžejního tvrzení kružnice. l 1 q k 1 i l 1 k 2 p k 2 k 1 S l 2 l 2 Přímky p, qsevinverzipodle izobrazísamynasebe.kružnice k 1, k 2 sezobrazí nanějaképřímky k 1, k 2 oběkolména p.obdobněsekružnice l 1, l 2 zobrazínapřímky l 1, l 2oběkolména q.obrazyzmíněnýchčtyřdruhýchprůsečíkůjsouprotovrcholy obdélníka. Vrcholy obdélníka leží na kružnici, tato kružnice neprochází bodem S a my jsme hotovi. Zbývá umět rozpoznat, podle kterého bodu a s jakým poloměrem invertovat. Přetížený bod V úlohách, které překypují kružnicemi, volíme za střed inverze bod, jímž prochází hodněkružnicčipřímek(tzv. přetížený bod).poinverzipakdostanemepodstatně jednodušší obrázek, v němž již bývá snadné ekvivalent dokazovaného tvrzení dokázat. Na poloměru inverzní kružnice při tom zpravidla vůbec nezáleží. 64
PEPA TKADLEC Příklad4. Kružnice k, lmajívnějšídotykvbodě T aoběmajívnitřnídotyk skružnicí mpořaděvbodech U, V.Přímka UTprotnekružnici mpodruhévbodě X.Ukažte,že TV X =90. (KMS) Příklad 5. Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C a uvnitřjehostran AC, BCpořaděbody D, E.Dokažte,žepatyvýšekzbodu Cna přímky AB, AE, BD, DEležínajednékružnici. Příklad 6. Kružnice vepsaná trojúhelníku ABC se dotýká jeho stran BC, CA, AB postupněvbodech D, E, F.Bod Xležíuvnitřtrojúhelníka ABCtak,žekružnice vepsaná trojúhelníku BCX se dotýká jeho stran BC, CX, XB postupně v bodech D, Y, Z.Ukažte,žebody E, F, Y, Zležínajednékružnici. (MOshortlist1995) Příklad 7. Jedánapůlkružnice tnadprůměrem AB.Přímka pkolmána AB protínáúsečku ABvbodě Capůlkružnici tvbodě D.Kružnice ksedotýkáúsečky ACvbodě E,půlkružnice tvbodě Tanavícpřímky p.dokažte,že DEpůlíúhel ADC. (zrael 1995) Příklad8. Dvojicekružnic k 1 a k 2, k 2 a k 3 a k 3 a k 1 majípostupněvnějšídotyk vbodech K 3, K 1, K 2.Navícmají k 1, k 2, k 3 postupněvnitřnídotykzkružnicí m vbodech M 1, M 2, M 3.Dokažte,žepřímky K 1 M 1, K 2 M 2, K 3 M 3 procházejíjedním bodem. Příklad 9. Kružnice k, l se protínají v bodech A, D. Jejich společná tečna bližší bodu Asedotýká kvea lvf.rovnoběžkastoutotečnouprocházejícíbodem D protne kružnice k, l podruhé v bodech C, B. Kružnice opsané trojúhelníkům CDF a BDEsepodruhéprotínajívbodě P.Ukažte,žebody D, A, Pležívpřímce. (Brkos 2011) Divné podmínky ndikátorem toho, že budeme chtít invertovat, jsou i divné podmínky. Často se totiž do rozumného tvarupřeložívsoučasnémzadánínepřirozeněvyhlížejícívztahovelikostech úhlů nebo délkách(máme na paměti Přepočítávací lemma), nebo vyjdou najevo významy některých umělých konstrukcí. Příklad10. Kružnice k 1 a k 3 stejnějako k 2 a k 4 majívnějšídotykvp.označme druhéprůsečíky k 1 k 2 = A, k 2 k 3 = B, k 3 k 4 = Ca k 4 k 1 = D.Dokažte,že AB BC AD DC = PB 2 PD 2. Příklad 11. Bod P uvnitř trojúhelníka ABC splňuje (MO shortlist 2003) APB ACB = APC ABC. 65
KRUHOVÁ NVERZE Označme D, E středy kružnic vepsaných trojúhelníkům AP B, AP C. Dokažte, že přímky AP, BD, CE procházejí jedním bodem. (MO 1996) Příklad 12.(Ptolemaiova věta) Dokažte, že ve čtyřúhelníku ABCD se standardně značnými délkami stran a úhlopříček platí ac+bd ef, přičemž rovnost nastává právě tehdy, když je čtyřúhelník ABCD tětivový. Příklad 13. Je dán trojúhelník ABC. Označme polovinu jeho obvodu s. Na přímce ABnaleznemebody E, F tak,že CE = CF =s.dokažte,žekružniceopsaná trojúhelníku CEF se dotýká kružnice připsané trojúhelníku ABC vzhledem k vrcholu C. Příklad 14. Nechť je dán trojúhelník ABC. Označme S střed jemu vepsané kružnice laoznačme P, Q, Rdotykovébodykružnice lpořaděsestranami BC, AC, AB.Buď kkružniceopsanástředůmstrantrojúhelníku PQR.Buď X Cprůsečík přímky CS a kružnice opsané trojúhelníku ABC, buď Y průsečík úsečky SX akružnice k.buď Zjedenzprůsečíkůkružnice lakolmicekpřímce CXvedené bodem Y.Dokažte,žepřímka XZsedotýkákružnice l. (PraSe) Dominantní úhel Mnohdy je užitečné invertovat podle vrcholu dominantního úhlu, pokud úloha takový má. Příklad 15. Je dán trojúhelník ABC. Uvažme kružnici l, která se dotýká stran AB, AC anavícjehokružniceopsanévbodě T.Označmeještě Dboddotyku kružnice připsané trojúhelníku ABC vzhledem k vrcholu A se stranou BC. Ukažte, že BAD = CAT. Příklad 16. Na stranách AB, AC trojúhelníka ABC zvolme body K, L tak, aby KL BCabuď P = AL BK.Označme Qdruhýprůsečíkkružnicopsaných trojúhelníkům BPKa CPL.Dokažte,že BAP = CAQ. (Balkan MO 2009) Zvol si poloměr! V předchozích úlohách stačilo odhalit střed inverze a aplikovat inverzi s libovolným poloměrem. U následujících úloh je již potřeba zvolit i vhodný poloměr tedy invertovat podle nějaké konkrétní kružnice. Příklad17. Napůlkružnicinadprůměrem ABasestředem Ozvolímebody C, D. Předpokládejme,žesepolopřímky ABa DCprotnouvbodě M.Označme Kdruhý průsečíkkružnicopsanýchtrojúhelníkům AODa BOC.Ukažte,že MKO =90. (Rusko 1995) 66
PEPA TKADLEC Příklad18. Ukažte,žeFeuerbachovakružnice 1 trojúhelníka ABCsedotýkájeho kružnice vepsané i všech jeho kružnic připsaných. Příklad 19. Označme M, N, P body dotyku kružnice vepsané trojúhelníka ABC postupněsestranami BC, CA, AB.Dokažte,žeortocentrumtrojúhelníka MNP, střed kružnice vepsané trojúhelníku ABC a střed O kružnice trojúhelníku ABC opsané leží v přímce. (Írán 1995) Příklad 20.(Steinerův porismus) Uvnitř kružnice k je dána kružnice l. Předpokládejme,žeexistuje n-prvkovýřetězkružnic m 1,..., m n takový,žekaždákružnice vřetězumávnějšídotyksesvýmidvěmasousednímikružnicemiaslavnitřnídotyksk.potomkaždákružnicemajícívnějšídotykslavnitřnídotykskječástí nějakého n-prvkového řetězu. Příklad21. Jedántrojúhelník ABC.Body D, Eležínapřímce ABvpořadí D, A, B, Etak,že AD = AC a BE = BC.Osyúhlůuvrcholů AaBprotnou strany BC a AC pořaděvbodech P, Qakružniciopsanoutrojúhelníku ABC vbodech M, N.Označme U, V středykružnicopsanýchtrojúhelníkům BME, AND.Konečněbuď X= AU BV.Dokažte,že CX PQ. (SrbskoTST2008) Stručné návody Návodkpříkladu1. Uvažteinverzisestředem Š,kterázobrazí pna kavšimněte si,žebody C, Dpřejdounabody A, B. Návod k příkladu 2. Uvažte inverzi podle kružnice opsané trojúhelníku tvořenému bodydotykukružnic k 1, k 2, k 3 avšimnětesi,žetytokružnicesevinverzizachovají. Kružnice l, m se tedy prohodí. Společným průsečíkem je střed inverze. Návodkpříkladu4. nvertujtepodle Tadokazujte uhelv X T =90. Návod k příkladu 5. nvertujte podle C. Obrazy pat výšek interpretujte jako průsečíky kružnic nad průměry CA, CB, CD, CE; tyto tvoří obdélník. Návod k příkladu 6. nvertujtepodle D.Zobraztenejdřívebody A a B aobě kružnice.rozmysletesi,žeobraz EFY Zjeobdélník. Návod k příkladu 7. nvertujte podle E. Dokazované tvrzení přejde v to, že je jistý trojúhelník rovnoramenný. Návod k příkladu 8. nvertujte podle některého z bodů dotyku. Dva ze tří bodů, které budou mět ležet v přímce, určují chordálu jistých dvou kružnic. Ukažte, že třetí bod má k oběma stejnou mocnost. Návod k příkladu 9. nvertujte podle D a rozpoznejte trojúhelník s Gergonnovým bodem. 1 Feuerbachovakružnicejekružniceprocházejícístředystranapatamivýšektrojúhelníka. 67
KRUHOVÁ NVERZE Návod k příkladu 10. nvertujte podle P. Přepočtěte dokazovaný vztah a využijte tho, že v rovnoběžníku mají protější strany shodnou délku. Návodkpříkladu11. nvertujtepodle Anebo P.Využijte,žeosaúhludělíprotější stranu ve známém poměru, tyto poměry dejte do rovnosti a přepočtěte. Vyjde, že jistý trojúhelník má být rovnoramenný, což je díky přepočtení zadané úhlové podmínky. Návod k příkladu 12. nvertujte podle jednoho z vrcholů. Ptolemaiova nerovnost je obrazem trojúhelníkovénerovnosti. Návodkpříkladu13. nvertujtepodle Cspoloměrem s.všimnětesi,ženatéto kružnici leží i body dotyku kružnice připsané s prodlouženími stran CA, CB. Návod k příkladu 14. nvertujte podle kružnice vepsané torjúhelníku ABC. Návod k příkladu 15. nvertujte podle A. Kružnice l přejde v přímku antirovnoběžnou se stranou BC. Dokončete uvážením osové souměrnosti podle osy úhlu BAC. Návod k příkladu 16. Rozpoznejte Q jako Miquelův bod čtyřúhelníka AKP L a dokreslete kružnice ABQL a AKQC. nvertujte podle A. Návod k příkladu 17. nvertujte podle zadané půlkružnice a rozpoznejte obrázek s ortocentrem a Feuerbachovou kružnicí. Návod k příkladu 18. nvertujte podle kružnice se středem ve středu strany a poloměrem po body dotyku s vepsanou a připsanou kružnicí. Uvědomte si, že vepsaná i připsaná se zachovají a ukažte, že obrazem Feuerbachovy kružnice bude jejich druhá společně vnitřní tečna(spočtěte jednak její úhel se stranou, druhak pozici průsečíku). Návod k příkladu 19. nvertujte podle vepsané kružnice. Uvědomte si, že obrazem kružnice opsané ABC je Feuerbachova kružnice M N P a vzpomeňte na Eulerovu přímku. Návod k příkladu 20. nvertujte tak, aby kružnice k, l přešly v soustředné kružnice. Pak je tvrzení zřejmé. Návodkpříkladu21. nvertujtepodle Aspoloměrem bcainterpretujtepřímku AU jakoobrazpřímky AO (kde O je středopsanétrojúhelníku CPQ)vosové souměrnostipodleosyúhluuvrcholu A.TotéžproveďtesBavzpomeňtenato,že střed opsané a ortocentrum jsou isogonal conjugates. Literatura PřitvorběpříspěvkujsemčerpalzestaršíchpříspěvkůMichala Kennyho Rolínka amartinatancera,jimžbychtímtorádpoděkoval,az [1] Mathlinks, http://www.mathlinks.ro [2] Zadači, problems.ru [3] Archiv MKS, http://mks.mff.cuni.cz/archive 68
PEPA TKADLEC Obrázková příloha Na ukázku: ω X 3 X 3 X 1 X 2 X 2 X 1 X 4 = X 4 A na procvičení: T D T D A A B B 69