OTÁZKY Z TEORIE ELEKTROMAGNETICKÉHO POLE Letní semestr 2003/2004 posední úprava 25. června 2004 1. ía současně působící na eektrický náboj v eektrickém a magnetickém poi (Lorentzova sía) [ ] F m = Q E + ( v B) 2. Kasifikace átek z hediska poohy, směru a závisosti na E a H. Homogenní nehomogenní ve všech bodech stejné různé vastnosti; izotropní anizotropní ve všech směrech stejné různé vastnosti; ineární neineární patí nepatí princip superpozice; stacionární nestacionární má časově stáé proměnivé vastnosti. 3. Kasifikace eektromagnetických jevů typy poí, jejich zdroje Rozišujeme tato poe: eektrostatické poe (zdrojem jsou nepohybivé náboje), stacionární proudové poe (zdrojem je stejnosměrný proud), magnetostatické poe, kvazistacionární (nízkofrekvenční proudy) a nestacionární eektromagnetické poe. 4. Couombův zákon, orientace vektorů Mezi dvěma bodovými náboji působí Couombova sía, která závisí přímo úměrně na veikosti nábojů a nepřímo na kvadrátu jejich vzdáenosti. ía působí ve směru spojnice nábojů, náboje stejného znaménka se odpuzují. Konstanta ε 0 je permitivita vakua. 5. Co je a kdy ze použít princip superpozice F = 1 4πε 0 Q 1 Q 2 r 2 r 0 ía působící na ibovoný náboj je rovna vektorovému součtu Couombových si od ostatních nábojů. Princip superpozice vyjadřuje způsob řešení eektrických poí sečtením sožek jednotivých zdrojů stejně jako sožky vektorů (vyřešených samostatně) a tím získat výsedné řešení ceé soutavy. Princip superpozice ze použít pouze v ineárním prostředí. 6. Definice intenzity eektrického poe Intenzita eektrického poe je rovna síe působící na jednotkový kadný náboj: E = im q 0 F q E = F Q = 1 4πε 0 Q r 2 r 0 7. Rovnice siočáry E obecně a zváště v kartézských souřadnicích iočára je myšená orientovaná křivka, po níž by se pohybova v eektrickém poi uvoněný kadný náboj. Každým bodem prostoru prochází pouze jediná siočára. iočáry se nikde neprotínají. eektrostatickém poi siočára začíná na kadném a končí na záporném náboji. Říkáme, že kadný náboj je zřídem poe, záporný náboj je norou. Rovnice siočáry v kartézských souřadnicích: E x dx = E y dy = E z dz 1
8. yjádření vektorového poe E pomocí skaárního poe potenciáu ϕ Gradient skaárního potenciáu ϕ je vektor určující směr a veikost největšího růstu potenciáu (proti směru E) ( ϕ E = grad ϕ = ϕ = x x 0 + ϕ y y 0 + ϕ ) z z 0 9. kaární potenciá ϕ buzený eektrickým nábojem Q Potenciá bodu poe je roven energii, potřebné k přenesení jednotkového kadného náboje vnějšími siami (tedy proti siám poe) z bodu vztažného do bodu uvažovaného. eikost konstanty K závisí na pooze vztažného místa (místa nuového potenciáu). ztažný bod se často pokádá do nekonečna. Definujeme ho vztahem: ϕ = E d r + K = Q 4πε 0 10. E a ϕ buzené daným rozožením hustoty náboje ρ dr r 2 + K = Q 4πε 0 r + K Potenciání poe vyvoané obecnými zdroji (náboji s daným prostorovým uspořádáním) můžeme vyjádřit jako sumu (integrá) příspěvků jednotivých eementárních nábojů, na které zdroje rozděíme. Tomu se říká Greenovo fundamentání řešení. E = 1 4πε 0 E = 1 4πε E = 1 4πε 11. Co je napětí a jak souvisí s E a ϕ ρ d r 2 r 0 ϕ = 1 4πε 0 σ 0 d r 2 ϕ = 1 4πε τ 0 d r 2 ϕ = 1 4πε ρ d r σ 0 d r τ 0 d r Napětí je rozdí potenciáů mezi dvěma body eektrostatického poe: U AB = ϕ A ϕ B = A B + K + K B E d = E d A 12. Jaký je charakter eektrostatického poe, rovnice, které ho popisují Eektrostatické poe je zřídové (zřída jsou náboje) a konzervativní (tzn., že cirkuace vektoru intenzity v eektrostatickém poi po uzavřené křivce je nuová). Konzervativní poe se také často nazývají nevírové či potenciání. Použitím tokesovy věty poté dostaneme vztah pro diferenciání podobu vztahu. Jednoznačně je určeno rovnicemi: div E = ρ ε 0 E d = Q 0 ε + K E d = 0 rot E = E i j k = x y z E x E y E = 0 z 13. Lapaceova a Poissonova rovnice pro eektrický skaární potenciá Tyto rovnice získáme tak, že do vztahu div E = ρ 0 /ε dosadíme vztah E = grad ϕ. div E = div grad E = 2 ϕ = ρ 0 ε 2
Takto dostaneme Poissonovu rovnici: ϕ = 2 ϕ = 2 ϕ x 2 + 2 ϕ y 2 + 2 ϕ z 2 = ρ 0 ε obasti beze zdrojů (tj. vně zdrojů) se Poissonova rovnice redukuje na rovnici Lapaceovu: ϕ = 0 Lapaceovy nebo Poissononovy diferenciání rovnice je výhodné použít při výpočtu poí, jejichž eektrody jsou ekvipotenciáními pochami o známém potenciáu. K úpnému řešení je nutné znát také okrajové podmínky, ty mohou být dvojího druhu: Dirichetova na hranici řešené obasti je znám potenciá ϕ, Neumannova na hranici obasti je známá normáová sožka intenzity poe E n. Funkce ϕ vyhovující těmto rovnicím a okrajovým podmínkám se nazývají harmonické. 14. Gaussova věta v eektrostatickém poi a definice eektrického toku Eektrický tok je definován takto: Ψ = E d = E n d. Tok intenzity uzavřenou pochou je úměrný vonému náboji Q uzavřenému v této poše (Gaussova věta): E d = Q. ε 0 Necháme-i objem uzavřený pochou imitovat k nue a děíme-i obě strany rovnice tímto objemem, dostaneme diferenciání tvar Gaussovy věty. ýraz div E má význam vydatnosti zdroje toku: div E E = im d Q 0 = im 0 0 ε = ρ 0 ε 15. Čemu se rovná E na povrchu vodiče div E = E = E x x + E y y + E z z Při vožení těesa do vnějšího poe se na jeho povrchu vytvoří takové rozožení náboje, aby bya intenzita poe uvnitř těesa nuová. Tomuto jevu se říká eektrostatická indukce. A náboji, který se na povrchu nashromáždí se říká indukovaný náboj. Protože uvnitř vodiče je intenzita poe nuová, je také tok vektoru intenzity E z ibovoné uzavřené pochy uvnitř vodiče nuový. To je možné pouze tehdy, pokud pocha neobkopuje žádný náboj. Z prvního vztahu pro E = 0 (viz 8.) vypývá, že vodivé těeso je ve statickém poi vždy ekvipotenciání pochou. Protože je povrch vodivého těesa ekvipotenciáou, musí k němu být siočáry komé. To znamená, že intenzita eektrického poe má na povrchu vodiče směr normáy. eikost intenzity určíme snadno pomocí Gaussovy věty. Náboj je na povrchu rozožen s pošnou hustotou σ 0. Nyní protneme povrch vodivého těesa eementární vácovou pochou komou k povrchu, kterou uzavřeme dnem (supkou těesa) a víkem o pochách d. Uvedená pocha uzavírá náboj dq 0 = σ 0 d. Tok vektroru E bude vycházet pouze víkem, vně vodivého těesa. Proto je: E d = E n d = dq ε 0 = σ d ε 0 E n = σ ε 0 3
16. E osamocené neomezené nabité rovinné vodivé foie Intenzitu určíme pomocí Gaussovy věty rovinu protneme eementárním vácem průřezu d, komým na rovinu, který z obou stran uzavřeme. ektor intenzity E je komý k rovině a směřuje na obě strany roviny. E 2 d = σ 0 d ε E = σ 0 2ε 17. E a ϕ nabité vodivé koue ně koue (pode Gaussovy věty) je poe stejné jako od bodového náboje: E 4πr 2 = Q ε E = Q 4πεr 2, ϕ = E dr = Q 1 4πε r 2 dr = Q + K (r > R). 4πεr Uvnitř koue je intenzita nuová, potenciá je konstantní a je roven potenciáu na povrchu koue: 18. E a ϕ douhého nabitého vácového vodiče E = 0, ϕ = Q + K (r < R). 4πεR Náboj je rozožen na přímce s iniovou hustotou τ. Přímku obkopíme souosým vácem. Tok vektoru E prochází pouze páštěm váce a je na něj komý. Z Gaussovy věty patí: E 2πr = τ ε E = τ 2πεr, ϕ = E dr = τ dr 2πε r = τ n r + K (r > R). 2πε Uvnitř vodiče je intenzita nuová, potenciá je konstantní a je roven potenciáu na povrchu: E = 0, ϕ = τ n R + K (r < R). 2πε 19. Energie eektrostatického poe buzeného ρ, σ nebo soustavou eektrod W = 1 2 N Q i ϕ i W = 1 2 i=1 ρϕ d W = 1 2 σϕ d Pro energii poe buzeného ρ (spojité rozožení nábojů v prostoru), nahradíme v předchozím vztahu náboj Q vyjádřením ρ d a sumu integráem. Anaogicky bychom dostai i vztah pro energii poe buzeného σ. W = 1 ρϕ d 2 20. Energie eektrostatického poe vyjádřena pomocí vektorů poe W = 1 2 D E d 21. Co je eektrický dipó, definice dipóového momentu, orientace použitých vektorů Eektrický dipó je soustava dvou bízkých nábojů stejné veikosti a opačného znaménka, jejichž vzdáenost je vzhedem ke vzdáenosti pozorování zanedbatená. Dipóový moment je roven součinu náboje Q a vzdáenosti mezi náboji: p = Q d. ektor p má směr od záporného náboje ke kadnému. 4
22. Dipóový moment soustavy eektrických momentů ožením dipóu do homogenního poe se dipó snaží natáčet tak, aby směry vektorů E a p spynuy. Dipó umístěný v poi bodového náboje (obdobně tak v obecném nehomogenním poi) bude natáčen a také vtahován do směru rostoucí intenzity poe. Kvadrupó jsou dva antiparaení eementární dipóy, jeho potenciá kesá s třetí mocninou. ožitější seskupení dipóů se nazývá mutipó. 23. Definice kapacity, význam všech použitých symboů Kapacita je koeficient ineární závisosti mezi nábojem a potenciáem, charekterizuje množství náboje Q přeneseného vynaožením určité práce U. Je definována jako C = Q ϕ = Q U. 24. Řešení Lapaceovy rovnice pro eektrický skaární potenciá v rovině (xy) kartézských souřadnic Hedáme anaytické řešení rovnice 2 ϕ x 2 + 2 ϕ y 2 = 0 ve tvaru ϕ(x, y) = X(x)Y (y). Pro jednoduché případy poí ze k řešení Lapaceovy rovnice použít metody přímé integrace (pokud ϕ závisí pouze na jedné proměnné), separace proměnných, konečných diferencí nebo superreaxační metodu. Úpravou Lapaceovy rovnice a pomocí separace proměnných dostaneme rovnici: 1 X d 2 X dx 2 + 1 Y d 2 Y dy 2 = 0. Jednotivé čeny jsou na sobě nezávisé, proto můžeme rovnici rozděit: 1 X d 2 X dx 2 = k2 x, 1 Y d 2 Y dy 2 = k2 y, k 2 x + k 2 y = 0. Dostai jsme dvě obyčejné diferenciání rovnice, které už umíme snadno vyřešit. 25. Gaussova věta v eektrostatickém poi, kdy ji ze použít k výpočtu E E d = q. ε o Gaussova věta udává siový tok, procházející uzavřenou pochou. Určuje tzv. zřídovost eekstostatického poe. Gaussovu větu můžeme s výhodou použít k výpočtu eektrických poí symetricky uspořádaných nábojů. Podmínkou je, že se nám podaří najít takovou pochu, uzavřenou koem náboje (nábojů), která spňuje tyto podmínky: pocha prochází bodem v němž intenzitu poe hedáme, intenzita E má pouze normáovou sožku E n k naezené poše, sožka E n je na této poše konstantní. Na její části může být nuová. Jako např. prostorový náboj se sférickou, pošnou či ineární symetrií. Tyto podmínky jsou spněny jen v těch případech, kdy se dá vhodnou vobou souřadnic vyjádřit intenzita poe jako funkce jedné proměnné (rovina, váec, koue). Tohoto postupu ze použít také u sožitějších poí, u nichž nejsou spněny uvedené předpokady. Ae jen tehdy, pokud se dají pokádat za superpozice někoika poí, u nichž všech tyto předpokady spněny jsou. 5
26. Jakou úohu má konformní zobrazení při výpočtu eektrostatického poe a jak se používá Tato metoda se používá k řešení poí sožitějších tvarů. Princip řešení Lapaceovy rovnice metodou konformního zobrazení hedané poe, které máme řešit, je dvourozměrné nehomogenní poe nabitých eektrod obecného tvaru. Toto poe geometricky transformujeme na poe homogenní, ve kterém řešení snadno naezneme a výsedek transformujeme zpátky do původního poe. Transformace, která zachovává vastnosti potenciáního poe musí být zprostředkovaná tzv. anaytickou funkcí kompexní proměnné, tj. funkcí která vyhovuje Cauchyovým-Riemannovým podmínkám. Tato funkce se však obtížně hedá, ae existují jejich obsáhé sovníky. 27. chema výpočtu eektrického potenciáu ve vnitřním uzu 2D čtvercové homogenní sítě superreaxační metodou konečných diferencí Při výpočtu potenciáu postupujeme takto: nejdříve všem vnitřním uzům sítě přiřadíme ibovonou počáteční hodnotu. Potom v uspořádaném sedu projdeme všechny vnitřní uzy a v každém určíme chybu pode vztahu: R = 1 ( ) ϕ(x, y + h) + ϕ(x, y h) + ϕ(x + h, y) + ϕ(x h, y) ϕ(x, y). 4 Hodnotu potenciáu v aktuáním uzu nahradíme novou hodnotou: ϕ n (x, y) = ϕ s (x, y) + αr, kde α je reaxační koeficient. Aby metoda konvergovaa, musí být 1 α 2. Tento postup opakujeme do té doby, až se nové hodnoty v žádném uzu nebudou išit o více než stanovenou odchyku. 28. Co je a jak je definována eektrická poarizace ektor poarizace je definován jako objemová hustota dipóových momentů. Nebo také jako množství vázaného náboje, který se při poarizaci přesune, vztažené na jednotkovou pochu. P = i im p i 0. 29. Jak souvisí eektrická poarizace s prostorovým a pošným vázaným eektrickýn nábojem eikost vektoru poarizace je rovna pošné hustotě vázaného náboje, který se při poarizaci přesune: P n = σ v. Patí: P n = σ v div P = ρ v 30. Definice eektrické indukce, jak souvisí s eektrickou susceptibiitou a permitivitou v ineárních prostředích, co je zdrojem E, D, P ektor eektrické indukce D je definován vztahem D = ε 0 E + P. Patí: D = ε 0 E + P = ε0 E + ε0 χ E = ε 0 (1 + χ) E = ε 0 ε r E = ε E. Bezrozměrná konstanta χ (χ > 0) se nazývá eektrická susceptibiita. Zdrojem toku vektoru E jsou voné i vázané náboje: E d = Q = Q 0 + Q v = Q 0 = Q 0 ε 0 ε 0 ε r ε 0 ε Zdrojem toku D jsou voné náboje: D d = Q 0 6
Zdrojem toku vektoru P jsou vázané náboje: P d = Q v 31. Gaussova věta eektrostatického poe v dieektriku a definice indukčního toku Gaussova věta pro dieektrikum: D d = Q 0 div D = ρ 0 Eektrický indukční tok Ψ uzavřenou pochou je roven veikosti voného náboje, který je v poše uzavřen. Zdrojem toku vektoru D je pouze voný náboj. Ψ = D d 32. Podmínky pro tečné sožky poe E, D na rozhraní dvou dieektrik, vyznačit orientaci normáy k rozhraní Zvoíme integrační dráhu tak, aby při h 0 dráha obepínaa úsek rozhraní o déce d, pak ze vztahu E d = 0 vypývá vztah pro tečné sožky: E 1t = E 2t D 1t ε 1 = D 2t ε 2 33. Podmínky pro normáové sožky poe E, D na rozhraní dvou dieektrik, vyznačit orientaci normáy k rozhraní Abychom určii vztahy pro normáové sožky vektorů poe na rozhraní dvou prostředí, budeme uvažovat eementární váeček o výšce h 0, který uzavírá část rozhraní tak, že jeho dno a víko eží na různých jeho stranách. Uvažovaná pocha obepíná (uzavírá) voný náboj s hustotou σ 0. Tok vektoru páštěm váce je nuový. Patí: D d = Q 0 D 1n D 2n = σ 0. Odtud pyne, že normáové sožky eektrické indukce nejsou spojité a jejich rozdí je roven pošné hustotě náboje v uvažovaném bodě rozhraní. Pokud na rozhraní není přítomen voný náboj, tak jak to mezi dieektriky bývá, pak patí: E 1n ε 1 = E 2n ε 2 D 1n = D 2n 34. Ceková kapacita kapacitorů řazených seriově a paraeně Kapacita kapacitorů řazených sériově (na všech kapacitorech je stejně veiký náboj, cekové napětí jednotivých kapacitorů: U = U 1 + U 2 + + U n a z definice kapacity C = Q/U pyne Q U = Q U 1 + Q U 2 + + Q U n.): 1 C = 1 + 1 +... + 1. C 1 C 2 C n Kapacita kapacitorů řazených paraeně (na všech kapacitorech je stejné napětí, cekový náboj je dán součtem včech kapacitorů Q = Q 1 + Q 2 + + Q n, po dosazení Q = CU a vynásobení 1/U): C = C 1 + C 2 +... + C n. 7
35. Energie nabitého kapacitoru W = Q 0 q Q2 1 dq = C 2 C = 1 2 CU 2 = 1 2 QU 36. Definice eektrického proudu ve stacionárním proudovém poi Proud je množství náboje procházející pochou za jednotku času: I = q c t = Nq v, kde q c je cekový náboj procházející pochou, N je koncentrace náboje, q je eementární náboj a v je rychost pohybu nábojů. ýraz Nq vyjadřuje objemovou hustotu náboje: Nq = ρ. Proudová hustota je množství náboje procházející jednotkovou pochou za jednotku času: J = Nq v = ρ v I = J d = J n d. Za kadný směr proudu považujeme směr pohybu kadných nábojů. 37. Rovnice kontinuity stacionárního proudu v integráním a diferenciáním tvaru e stacionárním proudovém poi patí, že proud, který vtéká do ibovoného objemu z něho musí ve stejné veikosti vytékat (1. Kirchhoffův zákon). tomto poi je tedy tok vektoru proudové hustoty uzavřenou pochou nuový. J d = 0 div J = 0. Rovnici J d = 0 můžeme přepsat do tvaru j I j = 0, což je známý Kirchoffův zákon. 38. Jaký je charakter stacionárního proudového poe, rovnice které ho popisují tacionární proudové poe je nezřídové to znamená, že proudové čáry jsou vždy uzavřené křivky. Popisují ho tyto rovnice: J d = 0, E d = U e. ně zdrojů je stacionární proudové poe nevírové: E d = 0. 39. Ohmův zákon v diferenciáním a integráním tvaru Ze vztahů v = be a ρ e = Ne, dosazených do J = ρv, dostaneme J = NebE, což je Ohmův zákon ve tvaru: J = σ E diferenciáním, E d J d = U I = R integráním. 40. Podmínky pro tečné a normáové sožky J na rozhraní dvou vodivých prostředí, vyznačit orientaci normáy k rozhraní Z rovnice kontinuity pyne podmínka pro normáové sožky: J n1 = J n2. 8
Pro obast mimo zdrojů patí pro tečné sožky E to samé jako v eektrostatickém poi; z Ohmova zákona pyne podmínka J t1 σ 1 = J t2 σ 2. 41. Definice eektromotorického napětí a jeho vztah ke svorkovému napětí zdroje Eektromotorické napětí je práce rozděujících si nutných k přenesení kadného jednotkového náboje od záporné eektrody ke kadné. Je definováno vztahem U e21 = 2 1 E r d. vorkové napětí je rovno eektromotorickému napětí zmenšenému o úbytek na vnitřním odporu zdroje: U 12 = U e21 R i I. 42. Joueovy ztráty v proudovém stacionárním poi Eementární práce A vykonaná poem při přenesení náboje Q na vzdáenost je rovna A = QE = ρ d E, z tohoto vztahu odvodíme vztah pro výkon P = A/ t = ρ d Ev = JE d, potom také patí, že objemová hustota výkonu stacionárního proudu je dp d = E J = σe 2 = J 2 σ Pro výkon spotřebovaný v objemu je P = E J d = J E d = UI = RI 2 43. Definice odporu vodiče, cekový odpor rezistorů řazených seriově a paraeně Odpor vodiče: R = Odpor rezistorů řazených sériově: 0 R = Odpor rezistorů řazených paraeně: G = d σ = U I = E J = E σe = σ = 1 G. n R i = R 1 + R 2 +... + R n. i=1 n G i = G 1 + G 2... + G n = 1 R = 1 + 1 R 1 R 2 i=1 44. Biotův-avartův zákon, nakresete orientaci vektorů +... + 1. R n Biotův-avartův zákon udává veikost magnetické indukce způsobené vodičem déky protékaným proudem i v bodě P ve vzdáenosti r od tohoto vodiče. B = µ 0 i d r0 4π r 2. měr vektoru B určíme pravidem pravé ruky paec pravé ruky poožíme do směru proudu a ohnuté prsty ukazují směr indukce. Biotův-avartův zákon spou s principem superpozice umožňuje zformuovat vztah pro výpočet magnetického poe zdrojů s ibovonou geometrií. zhah i d můžeme nahradit kterýmkoiv ekvivaentním výrazem dq v nebo d J. 9
45. Co je magnetická indukce a její definice pomocí pohybujícího se náboje Q, J, K a I Magnetická indukce B je vektorová veičina popisující siové působení magnetického poe na pohybující se náboj. Je definována pomocí vztahu pro Lorentzovu síu: d F = dq( v B) = I( d B) = d( K B) = d ( J B). Její směr odpovídá směru stočení severního póu magnetky v okoí proudového vodiče. 46. Definice magnetického toku Magnetický tok je tok vektoru magnetické indukce pochou : Φ = B d. 47. Jaký je charakter magnetostatického poe, rovnice které ho popisují Magnetostatické poe je nezřídové a vírové. Je určeno vztahy (integrání tvar): B d = µ 0 I B d = 0, diferenciání tvar: rot B = µ 0 J div B = 0. 48. Definice vektorového potenciáu, podmínka jednoznačnosti B určené pomocí A ektorový magnetický potenciá je definován vztahem: B = rot A. Aby byo poe definováno jednoznačně, poožíme divergenci potenciáu rovnu nue: div A = 0 (Couombova podmínka). 49. Poissonova a Lapaceova rovnice pro vektorový potenciá a její obecné řešení v integráním tvaru Dosazením do Ampérova zákona (rot B = µ 0 J) získáme Poissonovu rovnici: Pro obasti vně zdrojů patí Lapaceova rovnice: A = µ 0 J. A = 0. Partikuární řešení Poissonovy rovnice má tvar (Greenovo řešení): A = µ 0 J 4π r d + K A µ 0 I d = 4π r + K, kde K je vektorová konstanta. 50. Ampérův zákon a kdy ho ze použít k výpočtu B nebo H Ampérův zákon říká, že integrá B d po ibovoné křivce se rovná cekovému proudu, který křivka obepíná násobenému µ 0 (ve vakuu). Mimo jiné určuje, že magnetické poe je poe vírové. Ampérův zákon můžeme s výhodou použít k výpočtu magnetických poí s vyšší symetrií zdrojů (douhý přímý vodič, koue, váec, poe uvnitř toroidní cívky, vemi douhého soenoidu). B d = µ 0 I H d = I 0 Diferenciání tvar dostaneme použitím tokesovy věty. rot B = µ 0 J rot H = J. 10
51. Magnetický tok vyjádřený pomocí vektorového potenciáu Magnetický tok Φ určíme z vektorového potenciáu A pomocí tokesovy věty: Φ = B d = rot A d = A d. 52. Definice magnetického skaárního potenciáu, kdy ho ze použít kaární magnetický potenciá je definován takto: B = grad ϕ m nebo B = µ 0 grad ϕ m. Lze ho zavést jen v obastech bez proudu (rot B = 0). 53. Co je magnetický dipó, definice dipóového momentu, orientace použitých vektorů Magnetický dipó je magnetické poe kruhové smyčky o pooměru a, jehož veikost se vůči vzdáenosti pozorování h jeví jako zanedbatená, tj. patí a h. tomto poi definujeme moment magnetického dipóu m jako vektor, jehož směr je určen směrem oběhu proudu ve smyčce pravidem pravé ruky a jehož veikost je dána násedujícím vztahem. Proudům, které tyto dipóy způsobují, říkáme vázané proudy a značíme je I v. m = I v d = I v πa 2 z 0 ymbo d je orientovaná pocha proudové smyčky. 54. tatická definice vastní a vzájemné indukčnosti Uvažujeme-i ineární prostředí, je i závisost magnetického toku cívkou na proudu, který ho vyvoa, ineární a patí: Φ c = NΦ = LI. Konstanta úměrnosti L se nazývá indukčnost (vastní) a je definována vztahem L = Φ c I. Mějme dvě cívky (N 1, I 1, N 2, I 2 ). První cívka vybudí tok Φ 1 a část tohoto toku Φ 12 projde i druhou cívkou. Mezi proudem I 1 a magnetickým tokem Φ 12 je ineární závisost. Konstanta úměrnosti této závisosti se nazývá vzájemná indukčnost: M 12 = Φ 12c I 1. ineárních prostředích patí Φ 12c = M 12 I 1 = M 21 I 2. 55. Co je a jak je definována magnetizace ektor magnetizace M vyjadřuje míru uspořádanosti magnetických momentů. Je definován jako objemová hustota magnetických momentů: i M = im m i 0. 56. Jak souvisí magnetizace s prostorovými a pošnými vázanými proudy Buď objem, ve kterém je vektor magnetizace konstantní a výsedný magnetický moment eementárních smyček je m c. Účinek těchto smyček můžeme nahradit ekvivaentní proudovou vrstvou s vázaným proudem I v. eikost vektoru magnetizace je rovna dékové hustotě tohoto vázaného proudu (j v je hustota pošného vázaného proudu): M = I v h = j v I v = B A M d 11
57. Definice intenzity magnetického poe, jak souvisí s magnetickou susceptibiitou a permeabiitou v ineárním prostředí Pode Ampérova zákona patí vztah B d = µ 0 (I 0 + I v ). Jehož úpravou dostaneme: ( ) B M µ d 0 Intenzita magnetického poe H je definována vztahem: H = B µ 0 M. ineárním a izotropním prostředí je M = χ m H, kde χm je magnetická susceptibiita a patí: B = µ 0 ( H + M) = µ 0 (1 + χ m ) H = µ 0 µ r H = µ H. 58. Podmínky pro normáové sožky poe B, H na rozhraní dvou magnetik, vyznačit orientaci normáy k rozhraní ztah mezi normáovými sožkami odvodíme ze vztahu B d = 0. Určíme tok vektoru B povrchem nízkého váečku, jehož výška h imituje k nue tak, aby váeček stáe obsahova rozhraní. Odtud: B n1 = B n2 µ 1 H n1 = µ 2 H n2 59. Podmínky pro tečné sožky poe B, H na rozhraní dvou magnetik, vyznačit orientaci normáy k rozhraní ztah tečných sožek odvodíme z Ampérova zákona H d = I. Cirkuaci vektoru H provedeme po dráze c, kde h necháme imitovat k nue tak, že dráha bude stáe obepínat rozhraní. Obepnutý proud proto musí být nuový. H t1 = H t2 B t1 µ 1 = B t2 µ 2 60. Energie magnetostatického poe buzeného J, K W m = 1 J A 2 d d = 1 2 J A d = 1 2 K A d 61. Energie magnetostatického poe vyjádřena pomocí vektorů poe W = 1 2 B H d 62. Energie nahromaděná v induktoru, energetická definice indukčnosti W = 63. Energie soustavy induktorů Φ 0 i dφ = Φ 0 Φ Φ2 dφ = L 2 L = 1 2 ΦI = 1 2 LI2 Mějme dvě cívky. První cívkou prochází magnetický tok Φ A, druhou Φ B. Energie poe obou cívek je dána vztahem W = 1 2 Φ AI 1 + 1 2 Φ BI 2 = 1 2 L 1I 2 1 + 1 2 L 2I 2 2 ± MI 1 I 2. 12
64. Jaké síy působí mezi dvěma paraeními vodiči protékanými stejným proudem ve stejném směru a opačnými směry Mezi dvěma rovnoběžnými vodiči se vzájemnou vzdáeností a působí sía: F = BI = µ 0I 2 2πa. odiče protékané proudy o stejném směru se přitahují. Na zákadě tohoto vztahu je definována jednotka proudu: proud o veikosti 1 A vyvoá mezi dvěma nekonečně douhými vodiči vzdáenými od sebe 1 m siové působení o veikosti 2 10 7 N na 1 m déky vodiče. 65. Hopkinsonův zákon a definice reuktance Hopinsonův zákon vyjadřuje přímou úměrnost mezi magnetickým tokem a magnetomotorickým napětím: U m = NI = ΦR m. Reuktance (magnetický odpor) je definována vztahem R m = 0 d µ. 66. yjádření vastní a vzájemné indukčnosti cívek pomocí reuktance Magnetický tok cívkou je určen vztahem Φ = NI/R m, což po dosazení do vztahu statické indukčnosti dá: L = Φ c I = NΦ I = N 2 I R m I = N 2 R m M 12 = M 21 = N 1N 2 R m 67. Faradayův indukční zákon U e = dφ c dt = E d = d dt B d rot E = B t eikost eektromotorického napětí U e indukovaného ve vodivé smyčce je rovna rychosti změny magnetického indukčního toku Φ c procházející touto smyčkou. 68. Dynamická definice vastní a vzájemné indukčnosti Jestiže cívkou protéká časově proměnný proud i(t), pak bude magnetický tok Φ(t) také čásově proměnný. Po dozazení do definice statické indukčnosti Φ(t) = Li(t) a do Faradayova indukčního zákona bude patit: u = L di u 2 = M di 1 dt dt 69. Jak transformuje ideání transformátor u, i, R i 1 i 2 = N 2 N 1 u 1 u 2 = N 1 N 2 Je-i na sekundárním vinutí zátěž R z jeví se tato zátěž z pohedu primárního vinutí jako efektivní zátěž o veikosti R 1ef = u ( 1 N1 ) 2Rz =. i 1 N 2 13
70. Zápis okamžité hodnoty E pomocí fázoru, který definujte Fázor je obecně kompexní veičina nezávisející na čase. yjádříme jej vztahem E(x, y, z) = Ê e 0 = E m e jϕ e 0. Máme-i veičinu měnící se s časem pode vztahu E(x, y, z, t) = E(x, y, z) sin ωt, vyjádříme ji pomocí fázoru vektoru E(x, y, z, t) = Im { E(x, y, z)e jωt }. 71. Časová střední hodnota energie eektrického a magnetického poe zapsaná pomocí fázorů st = 1 { } 2 Re E H = 1 2 E mh m cos ϕ 72. Jaké je rozožení B v harmonicky podéně magnetovaném feromagnetickém pechu Na povrchu pechu bude indukce maximání B m. Toušťka pechu je 2a. B = B cos kx m cos ka = B cosh(1 + j)βx m cosh(1 + j)βa Na povrchu pechu je indukce maximání, směrem k rovině středního řezu kesá, uprostřed pechu je minimání. 73. Jaké je rozožení J ve vodiči kruhového průřezu protékaném harmonicky se měnícím proudem I Nejsinější je poe na vnějším povrchu, povrchový jev je tím výraznější, čím je f harmonického proudu vyšší (až v extrémním případě se feromagnetikum chová jako trubka). 74. Impedance vodiče při výrazném eektrickém povrchovém jevu, frekvenční závisost Z = E I = 1 + j σδ ωµ = (1 + j) 2σ Poznámka: δ = 1/α houbka vniku, α = ωµσ/2 75. Rovnice kontinuity pro voné náboje a proudy v nestacionárním poi, diferenciání a integrání tvar Je-i nějaký objem zdrojem toku vektoru proudové hustoty J, musí v něm existovat voný náboj Q a jeho hustota ρ se musí v čase měnit. J d = dq dt div J = ρ t 76. Rovnice kontinuity pro poarizační proud a vázané náboje v nestacionárním poi div J p = ρ v t div J p = t (div P ) J p = P t 77. První Maxweova rovnice v nestacionárním poi v diferenciáním tvaru pro hmotné prostředí a obecnou časovou závisost, význam všech použitých symboů rot H = J + J p = J + D t, kde J je pošná hustota voného (kondukčního a konvekčního) proudu a J p = D/ t je hustota poarizačního (posuvného) proudu. 14
78. Druhá, třetí, čtvrtá Maxweova rovnice v nestacionárním poi pro hmotné prostředí a obecnou časovou závisost, význam všech použitých symboů rot E = B t div D = ρ div B = 0 79. Čtyři Maxweovy rovnice v integráním tvaru v nestacionárním poi, obecná časová závisost Ampérův-Maweův zákon vyjadřuje souvisost mezi cirkuací magnetické indukce B podé uzavřené orientované křivky a časovou změnou toku eektrické intenzity E d pochou ohraničenou touto křivkou a cekovm proudem procházejícím touto pochou. H d = I + I p = I + dψ dt Faradayův zákon vyjadřuje souvisost mezi cirkuací intenzity eektrického poe E podé uzavřené orientované křivky a časovou změnou indukčního magnetického toku Φ = B d pochou ohraničenou touto křivkou E d = dφ dt Gaussův zákon pro eektrostatické poe vyjadřuje souvisost mezi tokem intentzity eektrického poe E uzavřenou pochou a cekovým eektrickým nábojem uvnitř této pochy. D d = Q Gaussův zákon pro magnetické poe vyjadřuje poznatek, že tok magnetiké indukce B ibovonou uzavřenou pochou je roven nue (tj. neexistuje magnetický náboj) B d = 0 80. Maxweovy rovnice v diferenciáním tvaru pro harmonicky proměnné nestacionární poe rot H = J + jω D = σ E + jωε E = (σ + jωε) E rot E = jω B = jωµ H div D = div ε E = ρ div B = div µ H = 0 81. Maxweovy rovnice v integráním tvaru pro harmonicky proměnné nestacionární poe H d = I + jωψ E d = Φ D d = Q B d = 0 15
82. Podmínky na rozhraní dvou prostředí v nestacionárním poi pro tečné sožky E, H Podmínky na rozhraní pro nestacionární poe jsou dány rovnicemi: Rot H = K, Rot E = 0, Div D = σ, Div B = 0, kde K je hustota pošného proudu a σ je pošná hustota voného náboje. Pro tečné sožky patí: H 1t H 2t = K, E 1t = E 2t. 83. Podmínky na rozhraní dvou prostředí v nestacionárním poi pro normáové sožky E, H ε 1 E 1n ε 2 E 2n = σ, µ 1 H 1n = µ 2 H 2n. 84. Energetická biance eektromagnetického poe, obecná časová závisost, fyzikání význam jednotivých čenů Energetická biance (Poyntingův teorém) v diferenciáním a integráním tvaru: ( ) div E H = E J + w t ( ) E H d = E J d + W t Levá strana udává energii, která za jednotku času teče pochou do uvažovaného objemu; první čen na pravé straně vyjadřuje pohcenou energii za jednotku času v objemu (Joueovy ztráty), druhý čen je výkon zvyšující akumuovanou energii. Pro jednoduchost: energie, která se z daného objemu ztratí, se změní na tepo nebo se vyzáří. 85. Poyntingův vektor, definice a zápis pomocí vektorů Poyntingův vektor vyjadřuje okamžitou hodnotu pošné hustoty výkonu. měr vektoru, který je komý na E a H, udává směr toku energie. Je definován jako = E H. 86. Energetická biance činného výkonu { } 2P s = Re E H d = σe 2 m d 87. Energetická biance jaového výkonu { } 2Q s = Im E H d = ω ( εe 2 m µhm 2 ) d 88. nová rovnice pro E nebo H v obecném prostředí mimo obast zdrojů, obecná časová závisost E µσ E t µε 2 E t 2 = 0 H µσ H t µε 2 H t 2 = 0 89. nová rovnice pro E nebo H v obecném prostředí mimo obast zdrojů, harmonické časové změny poe, zápis pomocí fázorů E jωµσ E + ω 2 µε E = E jωµ(jωε + σ) E = E + k 2 E = 0 k = jωµ(jωε + σ) = β jα 16
90. Zápis E harmonicky proměnné postupné rovinné vny v obecném prostředí a zápis její okamžité hodnoty, význam všech použitých symboů Pro rovinnou vnu šířící se ve směru osy z má řešení tvar E(z) = K 1 e jkz + K 2 e jkz, kde K 1 a K 2 jsou konstanty. Pro vnu šířící se v kadném směru osy z je E(z) = E 0 e jkz = E 0m e jϕ 0 e jkz, E(z, t) = E 0m e αz sin(ωt βz + ϕ 0 ). 91. Jaká je pocha konstantní ampitudy a pocha konstantní fáze u rovinné eektromagnetické vny, co je uniformní a neuniformní vna Poše vny (geometrickému místu) s konstantní fází říkáme vnopocha. Uniformní vna je vnopocha, která má navíc konstantní i ampitudu. Neuniformní vna je vnopocha s proměnnou amitudou. 92. Co je a jak je definována fázová rychost Fázová rychost v f je rychost pohybu vnopochy (místa konstantní fáze). Je definována vztahem v f = ω/β. bezeztrátovém prostředí je v f = 1 µε = c 0 µr ε r 93. Co je a jak je definována skupinová rychost kupinová (grupová) rychost je rychost pohybu maxima energie vny. v g = dω dβ = d(βv f ) = v f + β dv f dβ dβ 94. Nakresete orientaci E, H, k u rovinné vny, jaký je vztah těchto tří vektorů, jaký typ vny je rovinná vna Uvažujme vnu šířící se ve směru osy z a souřadnou soustavu orientovanou tak, aby intenzita E měa jen sožku ve směru osy x (E x ). ektory E, H a z0, kde z 0 je směr šíření vny, tvoří pravotočivý ortogonání systém. Mezi intenzitami patí vztah: Ĥ y = k ωµêx Êx = ẐĤy. 95. Co je a jak je definována charakteristická impedance v obecném prostředí nová impedance prostředí je pro neohraničené prostředí definována vztahem 96. Čemu se rovná k, v f a Z v ideáním dieektriku Ẑ = ωµ k = jωµ jωε + σ. ideáním dieektriku je σ = 0 a proto nedochází ke ztrátám. Měrný útum je nuový a konstanta šíření reáná: k = β = ω µε, α = 0, v f = 1 µ µ0, Z = (ωε σ), Z = = 120π Ω (ve vakuu) µε ε ε 0 17
97. Čemu se rovná k, v f a Z v dobrém vodiči dobrém vodiči je ωε σ. Konstantu šíření můžeme aproximovat k 2 = jωµσ: k = ωµσ 2ω ωµ ωµ jωµσ, β = α = 2, v f =, Z = (1 + j) µσ 2σ = σ ejπ/4 (ωε σ) 98. Co je a jak je definována houbka vniku Ekvivaentní houbka vniku je vzdáenost, kterou musí vna urazit, aby její ampituda kesa na e 1 násobek (37 %) původní hodnoty. Je definována jako převrácená hodnota měrného útumu: δ = 1 α 99. Činný výkon přenášený rovinnou vnou pochou 1 m 2 obecně a zváště ve vakuu Činný výkon procházející jednotkovou pochou je roven střední hodnotě Poyntingova vektoru: st = 1 { } 2 Re E H = 1 2 E mh m cos ϕ z 0 = 1 Em 2 2 Z cos ϕ z 0 = 1 2 Z H2 m cos ϕ z 0. e ztrátovém prostředí závisí ampitudy intenzit na souřadnici z: E m (z) = E m (0)e αz, H m (z) = H m (0)e αz st (z) = st (0)e 2αz. e vakuu je ϕ = 0 a Z 0 = 376, 73 = 120π Ω: st = E2 m 240π z 0 = 60πH 2 m z 0 100. Co je a jaké jsou typy poarizace eektromagnetické vny Je to způsob pohybu koncového bodu vektoru E v příčné rovině. Druhy poarizace jsou ineárně poarizovatená (vertikání, horizontání), kruhově poarizovatená (evotočivě, pravotočivě), eipticky poarizovatená. 101. Za jakých podmínek dvě ineárně poarizované vny vytvoří vnu ineárně, kruhově a eipticky poarizovanou uperpozicí dvou ineárně poarizovaných vn vznikne ineárně poarizovaná vna tehdy, budou-i vektory intenzit (např. E) rovnoběžné nebo ve fázi. Kruhově poarizovaná vna vznikne superpozicí dvou vn stejné ampitudy s navzájem komými vektory E a s fázovým posunem π/2. ostatních případech vznikne eipticky poarizovaná vna. 102. Teegrafní rovnice pro harmonicky v čase proměnné u nebo i v případě dvouvodičového vedení, na kterém se šíří vna TEM, význam všech použitých symboů Zákadní rovnice pro u a i: nová rovnice pro napětí: u = Ri + L i x t i u = Gu + C x t 2 u x 2 = LC 2 u + (LG + RC) u t2 t + RGu nová rovnice pro proud má stejný tvar. R je odpor, L indukčnost, C kapacita a G svod vedení na jednotku déky. nová rovnice pro napětí pro harmonický ustáený stav má tvar 2 Û x 2 = (R + jωl)(g + jωc)û = ẐŶqÛ 2 Û x 2 + k2 Û = 0. Konstanta k = α jβ je konstanta šíření (vnové číso), α je fázová konstanta (měrný posun) a β je měrný útum. Ẑ je podéná impedance a Ŷq je příčná admitance vedení na jednotku déky. 18
103. Zápis řešení teegrafní rovnice pomocí fázorů, význam všech použitých symboů Mějme vedení déky s charakteristickou (vnovou) impedancí Ẑ0. Označme s vzdáenost od konce vedení a Û2, Î2 poměry na konci vedení. Pak patí: Û(s) = Û2 cos ks + Ẑ0Î2 sin ks Î(s) = Û2 Ẑ 0 sin ks + Î2 cos ks 104. Impedance vedení s rozprostřenými parametry v závisosti na pooze Označme Ẑs impedanci na konci vedení: Ẑs = Û2/Î2. ztah pro impedanci je Ẑ(s) = Û(s) Î(s) = Û2 cos ks + Ẑ0Î2 sin ks bu 2 sin ks + bz Î2 cos ks 0 Ẑ s + = Ẑ0 Ẑ0 tg ks Ẑ 0 + Ẑs tg ks. 105. Charakteristická impedance vedení s vnou TEM u reáného a bezeztrátového vedení Charakteristická (vnová) impedance se spočítá pode vztahu: Ẑ R + jωl Ẑ 0 = = Ŷ q G + jωc, kde Ẑ je podéná impedance a Ŷq příčná admitance na jednotku déky vedení. U bezeztrátového vedení je odpor R a svod G nuový a patí: L Z 0 = C. 106. stupní impedance reáného a bezeztrátového vedení s vnou TEM déky a zakončeného impedancí Z s Ẑ v = Ẑ s + Ẑ() = Ẑ0 Ẑ0 tg k Ẑ 0 + Ẑs tg k 107. stupní impedance bezeztrátového vedení s vnou TEM déky na konci zkratovaného a otevřeného L L Z k = C tg β Z p = cotg β C 19
Abecední seznam otázek Ampérův zákon a kdy ho ze použít k výpočtu B nebo H...................................................10 Biotův-avartův zákon, nakresete orientaci vektorů......................................................... 9 Ceková kapacita kapacitorů řazených seriově a paraeně.................................................... 7 Co je a jaké jsou typy poarizace eektromagnetické vny.................................................... 18 Co je a jak je definována eektrická poarizace............................................................... 6 Co je a jak je definována fázová rychost....................................................................17 Co je a jak je definována houbka vniku.................................................................... 18 Co je a jak je definována charakteristická impedance v obecném prostředí.................................. 17 Co je a jak je definována magnetizace...................................................................... 11 Co je a jak je definována skupinová rychost................................................................ 17 Co je a kdy ze použít princip superpozice................................................................... 1 Co je eektrický dipó, definice dipóového momentu, orientace použitých vektorů............................ 4 Co je magnetická indukce a její definice pomocí pohybujícího se náboje Q, J, K a I........................ 10 Co je magnetický dipó, definice dipóového momentu, orientace použitých vektorů..........................11 Co je napětí a jak souvisí s E a ϕ........................................................................... 2 Couombův zákon, orientace vektorů.........................................................................1 Časová střední hodnota energie eektrického a magnetického poe zapsaná pomocí fázorů....................14 Čemu se rovná k, v f a Z v dobrém vodiči.................................................................. 18 Čemu se rovná k, v f a Z v ideáním dieektriku.............................................................17 Čemu se rovná E na povrchu vodiče......................................................................... 3 Činný výkon přenášený rovinnou vnou pochou 1 m 2 obecně a zváště ve vakuu............................ 18 Čtyři Maxweovy rovnice v integráním tvaru v nestacionárním poi, obecná časová závisost............... 15 Definice eektrického proudu ve stacionárním proudovém poi................................................ 8 Definice eektrické indukce, jak souvisí s eektrickou susceptibiitou a permitivitou v ineárních prostředích, co je zdrojem E, D, P............................................................................................ 6 Definice eektromotorického napětí a jeho vztah ke svorkovému napětí zdroje................................ 9 Definice intenzity eektrického poe.......................................................................... 1 Definice intenzity magnetického poe, jak souvisí s magnetickou susceptibiitou a permeabiitou v ineárním prostředí...................................................................................................... 12 Definice kapacity, význam všech použitých symboů..........................................................5 Definice magnetického skaárního potenciáu, kdy ho ze použít............................................. 11 Definice magnetického toku................................................................................ 10 Definice odporu vodiče, cekový odpor rezistorů řazených seriově a paraeně................................. 9 Definice vektorového potenciáu, podmínka jednoznačnosti B určené pomocí A............................. 10 Dipóový moment soustavy eektrických momentů........................................................... 5 Druhá, třetí, čtvrtá Maxweova rovnice v nestacionárním poi pro hmotné prostředí a obecnou časovou závisost, význam všech použitých symboů...........................................................................15 Dynamická definice vastní a vzájemné indukčnosti......................................................... 13 E a ϕ douhého nabitého vácového vodiče...................................................................4 E a ϕ nabité vodivé koue................................................................................... 4 E osamocené neomezené nabité rovinné vodivé foie......................................................... 4 Energetická biance činného výkonu........................................................................ 16 Energetická biance eektromagnetického poe, obecná časová závisost, fyzikání význam jednotivých čenů. 16 Energetická biance jaového výkonu........................................................................ 16 Energie eektrostatického poe buzeného ρ, σ nebo soustavou eektrod........................................ 4 Energie eektrostatického poe vyjádřena pomocí vektorů poe................................................4 Energie magnetostatického poe buzeného J, K.............................................................12 20