Přednáška 12 Obecná deformační metoda, nelineární úlohy u prutových soustav

Transkript

1 Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakaářského studia Přednáška Obecná deformační metoda, neineární úohy u prutových soustav Fyzikáně neineární úoha Geometricky neineární úoha Konstrukčně neineární úoha Katedra stavební mechaniky Fakuta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

2 Podstata neineárních úoh epatí obecně principy úměrnosti a superpozice eineární úohu musíme formuovat jako posoupnost ineárních kroků, často ve spojení s přírůstkovým nebo iteračním výpočtem (zvyšuje se pracnost řešení úoh) emožnost kombinace jednotivých předem vyřešených díčích zatěžovacích stavů eze při vyšetřování pohybivého zatížení vůbec používat příčinkových čar

3 Fyzikáně neineární úoha apětí nepřesáhne mez úměrnosti ineárně pružná konstrukce Překročení meze pružnosti vznik trvaých (nevratných) deformací Ideaizace materiáu mode ideáního pružnopastického materiáu Dosažení mezního pastického momentu vznik tzv. pastického koubu (ohybový moment není nuový, ae trvae roven meznímu pastickému momentu) 3

4 Fyzikáně neineární úoha Zjištění mezní pastické únosnosti konstrukce pomocí ODM:. Konstrukci vyřešíme pro původně zadané zatížení (předpokad ineárně pružného chování). Dané zatížení nyní vynásobíme tzv. zatěžovacím součiniteem k z (vznik prvního pastického koubu) 3. Do místa vzniku pastického koubu vožíme skutečný koub, obě koubem spojené části zatížíme M p 4. Pozměněný výpočtový mode opět řešíme ineárně (původně dané zatížení vynásobeno k z ) 5. Daší (větší) hodnotu k z určíme z podmínky vzniku dašího pastického koubu 6. Postupujeme tak douho, dokud nevznikne tzv. pastický mechanismus 7. Hodnotou k z, při které došo ke vzniku posedního pastického koubu, vynásobíme původní zatížení mezní pastická únosnost 4

5 Fyzikáně neineární úoha Zjištění mezní pastické únosnosti konstrukce pomocí ODM: Použití ODM jen díky rozděení neineární úohy na posoupnost ineárních kroků eineární závisost růstu zvoené deformace na zvětšování zatěžovacího součinitee k z : Po vožení 4. koubu sedovaný posun vzrůstá bez dašího zvětšení zatížení. 5

6 a f W M Příkad 3, fyzikáně neineární úoha, zadání Určete hodnotu spojitého zatížení q, při které se z daného spojitého nosníku stane tzv. pastický mechanismus. yd y, p Rd, p f b 4 6 yk M 4 W bh y, p 4,35 MPa,3 m f yd 3 6,54 km q M p c E f γ h 8 mm b mm yk M GPa 35 MPa,5 6

7 Příkad 3, fyzikáně neineární úoha,. ineární řešení pro q = a b q ( ) ( ) ( ) c I bh 3EI K F R r K 3 8,533 3EI 8 q 7 m 34,4 89,6 8 q F,6 4 b 4, 4,5,5 7

8 8

9 V Příkad 3, fyzikáně neineární úoha,. ineární řešení pro q = a,5 b 3,58 q c -,875 -,4-3,5 M Max M b 3,5 km M,63,9 9

10 Příkad 3, fyzikáně neineární úoha, vznik prvního pastického koubu Zatěžovací součinite k M p 6,54 k,868 M Max 3,5 zatížení q zvýšíme na hodnotu q = k =,868 k/m -6,54 M b M p 6,54 km M,8 a q,868 k/m b 5,46 vznik prvního pastického koubu c

11 Příkad 3, fyzikáně neineární úoha,. ineární řešení při q a M p b ( ) ( ) ( ) ( ) M p q,868 k/m c a q,868 k/m b b q,868 k/m c M p 6,54 km M p 6,54 km

12 Příkad 3, fyzikáně neineární úoha,. ineární řešení při q bc ba p p q q M M EI EI,85,85,87,8 8,4 3,74 6,54 6, ,6 34,4 3 3 F K r R S F K

13 3

14 Příkad 3, fyzikáně neineární úoha,. ineární řešení při q a b q,868 k/m c V, M p 6,69-5,37-6,54 M p -4,5 M,8 místo vzniku dašího pastického koubu 5,46 zatížení q postupně zvyšujeme na q, dokud hodnota M max v poi bc nedosáhne hodnoty M p = 6,54 km 4

15 Příkad 3, fyzikáně neineární úoha,. ineární řešení při q 5 a b c q,7 k/m M p M p bc ba p p q q M M EI EI,78,879,49,53 9,3 4, 6,54 6, ,6 34,4 3 3 F K r R S F K

16 Příkad 3, fyzikáně neineární úoha,. ineární řešení při q a b q,7 k/m c M p -6,54 M p M,4 M max, bc M p 6,54 km 6,54 a q,7 k/m b vznik druhého pastického koubu x n 3,6 m c k,7 6

17 Příkad 3, fyzikáně neineární úoha, 3. ineární řešení při q q a,7 k/m b d c M p M p 3,6 M p M p ( ) ( ) ( ) ( 3 4) ( 3 5) ( ) 7

18 K det Příkad 3, fyzikáně neineární úoha, 3. ineární řešení při q 3EI ab K 4EI bd 6EI bd EI bd 6EI bd EI 3EI 3 3 bd dc 6EI bd 3EI dc EI bd 6EI bd 4EI bd 3EI dc 3EI dc 34,4 98,5 8,5 99,3 8,5 85, 8,5 94, 99,3 8,5 98,5 94, 5, matice tuhosti spojitého nosníku K je singuární spojitý nosník se sta tzv. pastickým mechanismem mezní pastické zatížení (mezní pastická únosnost) q d,p =,7 k/m 8

19 Geometricky neineární úoha Teorie. řádu podmínky rovnováhy se sestavují pro konstrukci deformovanou (respektuje se zejména déková změna ramen si při výpočtu statických momentů těchto si) Předpokady Pouze přímé pruty stáého (ne tenkostěnného) průřezu Prut není po své déce zatížen osovými zatížením ( = konst.) 9

20 Geometricky neineární úoha Pode teorie. řádu: Pode teorie. řádu: d dx w M EI d dx w M w EI d dx w EI w M EI a d dx w EI a pomocná veičina w M EI Horní znaménko u druhého čenu na evé straně rovnice patí pro tažený prut >, doní znaménko pro tačený prut <.

21 Geometricky neineární úoha w w C sinh ax C cosh ax (pro ) w w C sin ax C cosax (pro ) w partikuární integrá (závisý na funkci M) C, C integrační konstanty (určí z okrajových podmínek x =, w = a x =, w = ) Pozn. sinh x i sin ix cosh x cosix i

22 Geometricky neineární úoha apříkad pro pné rovnoměrné zatížení patí: pro cos cos,,.. a a tg a q x x a x a a q w qx qx M a b b a

23 3 Geometricky neineární úoha Pro zatížení jednotkovým momentem na evém konci patí: sin, sin sin sinh, sinh sinh /,,., a a tga a x a x a w a a tgha a a x a x w x M a b b a a b b a

24 Geometricky neineární úoha 4

25 Geometricky neineární úoha 5

26 X M Z Z Geometricky neineární úoha, okání primární vektor koncových si T Rab X ab Z ab M ab X ba Z ba M ba ab, ba ab ba ab X Z Z ab ab, ba, výpočet stejně jako pode teorie. řádu Ostatní prvky se vypočtou dosazením čísených hodnot koncových pootočení a,b, a b,a, a měr ohybové poddajnosti, do vzorců: ab ba ba ba M M ab ab M ab M ab ba ba M Z Z ba ab, ba, ab ba ab M M ba ab 6

27 Geometricky neineární úoha, okání matice tuhosti čtyři prvky týkající se osového namáhání ponecháme beze změny předpokad konstantního průřezu ( a,b = b,a = ) např. prvky k, = k 5,5 a k,5 = k 5, byy vypočteny z momentové podmínky rovnováhy ve. a 5. jednotkovém deformačním stavu k 6, 3, k, 5,, k3, k6, k5, 7

28 8 Geometricky neineární úoha, okání matice tuhosti EA EA EA EA k a,b Prut oboustranně monoiticky připojený:

29 Geometricky neineární úoha, postup výpočtu. Konstrukci vyřešíme pode teorie. řádu (výsedkem tohoto výpočtu jsou mimo jiné osové síy všech prutů). Získané osové síy prutů použijeme k výpočtu zákadních parametrů deformace, primárních vektorů a matic tuhosti pode teorie. řádu 3. Vyřešíme znovu zadaný rám obvykým postupem, ovšem s nově vypočtenými vektory a maticemi (získáme upřesněné hodnoty osových si prutů, které použijeme k novému výpočtu vektorů a matic) 9

30 Geometricky neineární úoha, postup výpočtu 4. Bod 3 opakujeme tak douho, než zjistíme, že se výsedky dvou po sobě násedujících kroků shodují s požadovanou přesností e e m j j, i m j j, i i i- normáové síy vypočtené v i-té iteraci normáové síy vypočtené v předešé iteraci 5.Po spnění bodu 4 iteraci ukončíme, hodnoty vypočtené v posedním kroku je pak možno prohásit za hodnoty vypočtené pode teorie. řádu 3

31 Příkad 4, pravoúhý rám, zadání Řešte pravoúhý rám, který je zatížen de obrázku. Stojky rámu jsou tvořeny profiem I3, doní příče I36 a horní příče pak I34. E = GPa. F 3 k q k/m f g h F k d q 3 k/m a b c e 5 3

32 Příkad 4, pravoúhý rám, výpočtový mode F 3 k q k/m f 7 g 8 h (7 8 9) ( ) (3 4 5) F k 5 d q 3 k/m ( 3) 6 (4 5 6) 9 6 a b c e 5 n p = 5 ( ) ( ) ( ) 3

33 Příkad 4, pravoúhý rám, ineární řešení F 3 k F k d Zatěžovací vektor F q k/m f g h 3 4 q 3 k/m a b c e 5 F S R 3 35,5 35, ,5 35,

34 Příkad 4, pravoúhý rám, ineární řešení Matice tuhosti soustavy K 34

35 Příkad 4, pravoúhý rám, ineární řešení, vektor deformací r K F 7,9,66 7,76 7,86,,89 54,99 3, 7,3 54,79,9,47 54,76,47,55 Deformace rámu (deformace x zvětšené) 35

36 Příkad 4, pravoúhý rám, ineární řešení, normáové síy,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,6 k 3,33 k 74, k 68,73 k 57,5 k, k 4,85 k 8,3 k F 3 k F k d q 3 k/m q k/m f g h a b c e 5 36

37 Příkad 4, pravoúhý rám, neineární řešení,. iterace F 3 k F k d Zatěžovací vektor F q 3 k/m q k/m f g h a b c e 5 F 35,58 35, ,3 5 75, 6 6, F 35,5 35,

38 Příkad 4, pravoúhý rám, neineární řešení,. iterace Matice tuhosti soustavy K 38

39 Příkad 4, pravoúhý rám, neineární řešení,. iterace, vektor deformací r 8,85,66 7,94 8,8,,77 57,84 3, 7,3 57,64,93,44 57,6,48,49 r 7,9,66 7,76 7,86,,89 54,99 3, 7,3 54,79,9,47 54,76,47,55 Deformace rámu (deformace x zvětšené) 39

40 Příkad 4, pravoúhý rám, neineární řešení,. iterace, normáové síy, 9,8 k, 9,6 k, 3,9 k, 3,33 k 3, 4, 5, 6, 73,79 k 68,68 k 57,53 k,99 k 3, 4, 5, 6, 74, k 68,73 k 57,5 k, k e e 8 j, j 8,795 j j, 7, 4,7 k 7, 4,85 k 8, 8,3 k 8, 8,3 k 4

41 Příkad 4, pravoúhý rám, vnitřní síy na prutech 4

42 Konstrukčně neineární úoha Konstrukční neinearita, způsobená jednostrannými vazbami nebo táhy, spočívá v tom, že v některých zatěžovacích stavech mohou být vazby nebo táha vyřazeny z funkce, zatímco v jiných zatěžovacích stavech zůstanou funkční. Při řešení takovéhoto zatěžovacího případu, u něhož může dojít k vyřazení vazby nebo táha z funkce, provedeme výpočet nejprve za předpokadu, že vazby nebo táha jsou funkční. Vyřazení z funkce se pak pozná pode toho, že ve vazbě vychází opačná reakce, než jakou může vazby přenášet, nebo v táhe vychází tak. 4

43 Příkad 5, konstrukčně neineární úoha, zadání L =,5 m L =,5 m F = k E = GPa b = mm F h = 4 mm L C = Mm -3 L osník rozděen na 5 díků. 43

44 Příkad 5, konstrukčně neineární úoha, ineární řešení Deformace fi [mrad] w [mm] V [k] M [km] Vnitřní síy 6,88 5,,5,,5,, F 5,,5,,5,, ,73 - L L Vznikne-i v podoží záporná reakce (záporný průhyb), pooží se C v tomto místě maé hodnotě, např. C = -5 km

45 Příkad 5, konstrukčně neineární úoha, neineární řešení F L L C = -5 km -3 Vyřešíme-i tento příkad neineárně s předpokadem, že v případě vzniku záporných reakcí vyoučíme působení podoží, dojdeme k závěru, že se nosník převrátí. 45

46 Příkad 5, konstrukčně neineární úoha, upravené zadání F k F k q k L,5 L L L, 5 46

47 Příkad 5, konstrukčně neineární úoha, neineární řešení upraveného zadání Průhyb w [mm] -,5 -, -,5 -, -,5,,5,,5,,,,3,4,5,6,7,8,9,,,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5 k = k = k = 3 k = 4 k = 5 k = 6 k = 7,,5 Při řešení tohoto upraveného zadání proběho cekem 7 iterací. V 7. iteraci bya vyoučena posední záporná reakce podoží. 47

48 Příkad 5, konstrukčně neineární úoha, neineární řešení upraveného zadání Reakce [k] 3, 5,, k = k = 7 5,, 5,, -5,,,,,3,4,5,6,7,8,9,,,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5 48

49 Použitá iteratura [4] Benda, J., a ko. Statika stavebních konstrukcí II. Skriptum CERM, Brno 996. [6] Randýsková, L. Dipomová práce, Ostrava 5. [7] Randýsková, L. umerické řešení nosníku na pružném podkadu. In Modeování v mechanice 9. Mezinárodní konference. Sborník příspěvků, Ostrava 9, s ISB