Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 R. Blažek, M. Jiřina, J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015 Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 7 ZS 2014/2015 1 / 17
Opakování teorie Diskrétní náhodná veličina X Spojitá náhodná veličina X Hustota X: p X (x) f X (x) Distribuční funkce: F(x) = y x p X (y) F(x) = x f X(y)dy Pravděpodobnost X A: P(X A) = y A p X (y) P(X A) = A f X(y)dy Střední hodnota X: E X = x xp X (x) E X = + xf X(x)dx Střední hodnota g(x): E g(x) = x g(x)p X (x) E X = + g(x)f X(x)dx Rozptyl X: var(x) = E(X E X) 2 = var(x) = E(X E X) 2 = = x(x E X) 2 p X (x) = + (x E X)2 f X (x)dx Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 7 ZS 2014/2015 2 / 17
Opakování teorie Definice: Náhodné veličiny X a Y se nazývají nezávislé, jestliže jsou jevy {X x} a {Y y} nezávislé pro každé x a y. (Tedy když numerická hodnota X neovliňuje rozdělení Y.) Náhodné veličiny X a Y se nazývají nekorelované právě když E XY = E X E Y. Lemma: Jestliže jsou X a Y nezávislé, pak jsou i nekorelované. Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 7 ZS 2014/2015 3 / 17
Opakování teorie Definice: Nechť X a Y jsou náhodné veličiny s konečnými druhými momenty. Pak definujeme kovarianci náhodných veličin X a Y vztahem, cov(x, Y ) = E[(X E X)(Y E Y )] = E XY E X E Y a pokud mají X a Y kladné rozptyly definujeme korelační koeficient ρ(x, Y ) = cov(x, Y ) var X var Y Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 7 ZS 2014/2015 4 / 17
Příklad 7.1 a) Dokažte, že pro dvě nekorelované náhodné veličiny X a Y platí, že var(x + Y ) = var(x) + var(y ). b) Najděte podobný obecný vzorec pro náhodné veličiny, které mohou být korelované. var(x + Y ) =? c) Jaký vzorec platí pro nezávislé veličiny? Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 7 ZS 2014/2015 5 / 17
Příklad 7.2 Mějme dvě náhodné veličiny X a Y a konstanty a > 0, b, c > 0, d. Dokažte, že pro korelační koeficient platí: ρ(ax + b, cy + d) = ρ(x, Y ) Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 7 ZS 2014/2015 6 / 17
Příklad 7.3 Necht X 1 a X 2 jsou dvě nezávislé náhodné veličiny se střední hodnotou µ a rozptylem σ 2. a) Najděte střední hodnotu a rozptyl náhodných veličin Y 1 = X 1 + X 2, Y 2 = 2X 1, Y 3 = X 1 X 2. b) Spočtěte kovarianci všech různých dvojic veličin Y i, tj. cov(y i, Y j ), i, j = 1, 2, 3. c) Co lze říci o nezávislosti veličin Y 1, Y 2, Y 3? Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 7 ZS 2014/2015 7 / 17
Příklad 7.4 Necht X a Y jsou nezávislé náhodné veličiny s geometrickým rozdělením s parametrem p. Určete: a) rozdělení min{x, Y }, b) E(max{X, Y }), c) rozdělení max{x, Y }, d) P(X < Y ) Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 7 ZS 2014/2015 8 / 17
Příklad 7.5 Necht X 1, X 2,..., X n jsou iid (nezávislé, stejně rozdělené) náhodné veličiny. Definujme náhodnou veličinu Y jako jejich minimum Y = min {X 1,..., X n }. i=1,...,n Určete rozdělení Y za předpokladu, že a) X i mají rovnoměrné diskrétní rozdělení na podmnožině 1, 2,..., k přirozených čísel. b) X i mají geometrické rozdělení s parametrem p. Začněte s n = 2. Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 7 ZS 2014/2015 9 / 17
Opakování teorie Diskrétní veličiny X a Y Spojité veličiny X a Y Sdružená hustota: p X,Y (x, y) f X,Y (x, y) Marginální hustota X: p X (x) = y p X,Y (x, y) f X (x) = + f X,Y (x, y)dy Nezávislost X a Y : p X,Y (x, y) = p X (x)p Y (y) f X,Y (x, y) = f X (x)f Y (y) Střední hodnota XY při nezávislých X a Y : E XY = E X E Y E XY = E X E Y Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 7 ZS 2014/2015 10 / 17
Opakování teorie Diskrétní veličiny X a Y Spojité veličiny X a Y Sdružená hustota: p X,Y (x, y) f X,Y (x, y) Podmíněná hustota X za podmínky Y = y: p X Y (x y) = p X,Y (x,y) p Y (y) f X Y (x y) = f X,Y (x,y) f y(y) Normalizace podmíněné hustoty: x p X Y (x y) = 1 + f X Y (x y)dx = 1 Podmíněná střední hodnota X za podmínky Y = y: E(X Y = y) = x xp X Y (x y) E(X Y = y) = + xf X Y (x y)dx Střední hodnota X: E(X) = E(E(X Y )) = E(X) = E(E(X Y )) = = y E(X Y = y)p Y (y) = + E(X Y = y)f Y (y)dy Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 7 ZS 2014/2015 11 / 17
Příklad 7.6 Nechť náhodný vektor (X, Y ) má sdruženou hustotu pravděpodobnosti X Y 0 1 2 1 0.4 0.15 0.05 2 0.3 0.06 0.04 a) Najděte marginální rozdělení náhodných veličin X a Y. b) Jsou X a Y nezávislé? c) Najděte podmíněné rozdělení X Y. d) Najděte podmíněné rozdělení X + Y dáno Y. Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 7 ZS 2014/2015 12 / 17
Příklad 7.7 Nechť náhodné veličiny X a Y mají sdruženou hustotu f (x, y) = 1(4xy + 4x 8y) pro 1 x 2, 0 y 1, 5 0 jinde. a) Jsou X a Y nezávislé? b) Najděte E(X + Y ). c) Najděte podmíněnou hustotu f Y X (y x). d) Najděte E(X Y ). Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 7 ZS 2014/2015 13 / 17
Příklad 7.8 Nechť X 1, X 2,..., X n jsou nezávislé náhodné veličiny takové že, X i je exponenciálně rozdělená s parametrem λ i. Definujme náhodnou veličinu Y jako jejich minimum: Y = min{x 1,..., X n }. a) Najděte rozdělení náhodné veličiny Y. (Začněte s n = 2) b) Najděte střední hodnotu max{x 1, X 2 }. c) Spočtěte P(X 1 < X 2 ). Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 7 ZS 2014/2015 14 / 17
Příklad 7.9 Nechť náhodné veličiny X a Y mají sdruženou hustotu f (x, y) = 1 )/2 2 ye( x y2 pro x > 0, y > 0, 0 jinde. a) Jsou X a Y nezávislé? b) Najděte E(X + Y ). Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 7 ZS 2014/2015 15 / 17
Příklad 7.10 Nechť náhodné veličiny X a Y mají sdruženou hustotu f (x, y) = 1( 4xy 4x + 8y + 8) pro 1 x 2, 0 y 1, 3 0 jinde. a) Jsou X a Y nezávislé? b) Najděte E(X + Y ). c) Najděte E(XY ). Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 7 ZS 2014/2015 16 / 17
Příklad 7.11 Nechť náhodné veličiny X a Y mají sdruženou hustotu { 3 f (x, y) = 8 xy2 pro 0 x 1, 2 y 2, 0 jinde a) Najděte marginální hustotu náhodné veličiny X. b) Najděte podmíněnou hustotu f Y X (y x). Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 7 ZS 2014/2015 17 / 17