Evgeny Kalenkovich. z Teorie pravděpodobnosti I

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Evgeny Kalenkovich. z Teorie pravděpodobnosti I"

Transkript

1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Evgeny Kalenkovich Metodická sbírka příkladů z Teorie pravděpodobnosti I Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Petr Dostál, Ph.D. Studijní program: Matematika, Finanční matematika 2008

2 Na tomto místě bych chtěl poděkovat Mgr. Petru Dostálovi, Ph.D. za pomoc při psaní bakalářské práce, Miroslavu Kuchtovi a Miroslavu Rokytovi za pomoc s TeXem, Janě Plačkové, Adamu Štefanikovi, Kirillu Troshkovi za poskytování poznámek z příslušného cvičení. Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsal samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním. V Praze dne Evgeny Kalenkovich 2

3 Obsah 1 Úvod 5 2 Základní pojmy a definice 7 3 Nezávislost 15 4 Elementární podmíněná pravděpodobnost 29 5 Vytvořující funkce 40 6 Transformace náhodných veličin 46 7 Podmiňování 64 8 Charakteristická funkce 95 Literatura 116 3

4 Název práce: Metodická sbírka příkladů z Teorie pravděpodobnosti I Autor: Evgeny Kalenkovich Katedra: Katedra Pravděpodobnosti a Matematické Statistiky MFF UK Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Petr Dostál, Ph.D. vedoucího: dostal@karlin.mff.cuni.cz Abstrakt: V předložené práci se věnujeme metodám řešení příkladů k cvičení z přednášky Teorie pravděpodobnosti I. Hlavními okruhy jsou podmiňování náhodnými veličinami a charakteristické funkce. Kromě toho jsou také důsledně probírány příklady z pomocných témat, která jsou nezbytná pro zvládnutí příkladů z již zmíněných hlavních okruhů. Uvedená řešení jsou dost podrobná na to, aby tato sbírka byla vhodná nejen pro studenty navštěvující cvičení ze zmíněné přednášky, ale i pro ty, kteří se na písemnou část zkoušky plánují připravovat samostatně. Pro potřeby řešení jsou uvedeny příslušné definice a tvrzení ve tvaru vhodném k bezprostřednímu použití. Klíčová slova: nezávislost, podmíněná střední hodnota, podmíněné rozdělení, charakteristické funkce. Title: Methodical Collection of Solved Examples from Probability Theory I Author: Evgeny Kalenkovich Department: Department of Probability and Mathematic Statistics, MFF UK Supervisor: Mgr. Petr Dostál, Ph.D. Supervisor s address: dostal@karlin.mff.cuni.cz Abstract: The present work is devoted to the methods of solving exercises on probability theory. Main topics are conditioning and characteristic functions. Exercises on other topics - essential for coping with the above-mentioned two - are also covered thoroughly. Solutions are given in enough amount of detail to make this collection suitable for both students attending tutorial following the above-mentioned lecture and those preparing for the written part of the examination on their own. Problems and their solutions are extended with the corresponding definitions and propositions, which makes it possible to use this script with no need for any additional material. Keywords: independence, conditional expected value, conditional distribution, characteristic functions. 4

5 Kapitola 1 Úvod Tato práce je sbírkou řešených příkladů z teorie pravděpodobnosti doplněná o příslušné definice a potřebná tvrzení. Zdrojem většiny tvrzení jsou poznámky autora z přednášky Teorie pravděpodobnosti I uvedené z důvodu stručnosti bez důkazu. Některým tvrzením předchází úvaha, ze které ta tvrzení plynou. Jsou to především pomocná tvrzení vhodná pro řešení příkladů, která ale nejsou uvedené ve skriptech, jsou to také věty, jejichž důkaz je názorným cvičením na příslušnou teorii. V kapitolách 3 a 4 se probírají příklady, které jsou obvykle součástí základních kurzů teorie pravděpodobnosti a statistiky. V kapitole 3 si čtenář připomene pojmy nezávislosti náhodných veličin, marginálních a sdružených charakteristik náhodných veličin. V kapitole 4 se zabýváme takzvaným elementárním podmiňováním, to jest podmiňováním náhodnými jevy. Kapitola 5 je velmi stručná, jednoduchá a ryze technická. Její význam se projeví až v kapitole 8. V kapitole 6 jsou příklady zaměřené na větu o transformaci, která se obvykle podrobně probírá na přednáškách ze statistiky. Jsou to pracné a namáhavé příklady, ale bez jejich zvládnutí se dá velice těžko řešit příklady z následující kapitoly. Kapitola 7 je první kapitola, která není opakováním. V ní se čtenář naučí podmiňovat σ-algebrami a náhodnými veličinami. Příslušné pojmy jsou dány do souvislosti s pojmy zavedenými v kapitole o elementárním podmiňování. Poslední kapitola je věnovaná charakteristickým funkcím - nové úplné charakteristice náhodné veličiny. Jsou tam příklady pouze dvou druhů: spočíst charakteristickou funkci dané náhodné veličiny a zkontrolovat, zda dána funkce není charakteristickou funkcí nějaké náhodné veličiny. Pro řešení 5

6 příkladů druhého druhu je uvedeno velké množství poměrně jednoduchých kritérií. Mimo jiné je v této kapitole uveden důkaz věty 8.25, jejíž znění lze nalézt jako cvičení v [K], str.77. Poslední dvě kapitoly jsou vlastně cílem celé práce, k jehož dosažení je nutné projít prvními pěti kapitolami. Nejpodstatnějším zdrojem čerpání pro ně je [L]. Čtenáře zvyklého na skripta [L] je vhodné už ted upozornit na odlišnou konvenci v používaní rovnosti mezi náhodnou veličinou a podmíněnou střední hodnotou, viz poznámka

7 Kapitola 2 Základní pojmy a definice Tato kapitola obsahuje některé základní pojmy a tvrzení, jejichž znalost je nezbytná pro pochopení zadaní příkladů. V případě, že rozumíte všem pojmům vyskytujícím v příkladech, můžete ji přeskočit. Začneme základním pojmem teorie pravděpodobnosti - pravděpodobnostním prostorem. Definice 2.1. Trojice (Ω, A, P), kde Ω, A je σ-algebra na Ω a P je pravděpodobnostní míra 1 na A, se nazývá pravděpodobnostní prostor. 1. Pokud Ω je nejvýše spočetná, A = 2 Ω a pro všechna A A P (A) = ω A P ({ω}), pak (Ω, A, P) je diskrétní pravděpodobnostní prostor. 2. Necht Ω B k je nespočetná, A = Ω B k = {B B k, B Ω}. Necht dále f : Ω R je lebesgueovsky měřitelná nezáporná funkce taková, že f(ω) dω = 1, pak f je hustota pravděpodobnosti. Pokud pro Ω všechna A A P (A) = f(ω) dω, pak (Ω, A, P) je spojitý pravděpodobnostní prostor. Dalšími pojmy, se kterými se budeme setkávat téměř v každém příkladě jsou pojmy náhodné veličiny a rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny. 1 To jest míra na A taková, že P (Ω) = 1. A 7

8 Definice 2.2. Necht (Ω, A, P) je pravděpodobnostní prostor, (S, S) je měřitelný prostor a funkce X : Ω S je měřitelná, pak řekneme, že X je náhodná veličina s hodnotami v (S, S). Definice 2.3. Necht X : (Ω, A) (S, S) je náhodná veličina. Rozdělením pravděpodobnosti náhodné veličiny X je pravděpodobnostní míra P X na S taková, že pro všechna B S platí P X (B) = P (X B). 1. Je-li (S, S, P X ) je diskrétní pravděpodobnostní prostor, pak říkáme, že X je diskrétní náhodná veličina. 2. Analogicky, je-li (S, S, P X ) je spojitý pravděpodobnostní prostor, pak říkáme, že X je spojitá náhodná veličina. Poznámka 2.4. Náhodné veličiny nelze rozdělit do těchto dvou kategorií, existují i takzvané singulární a smíšené náhodné veličiny. Ty ale probírat nebudeme a omezíme se pouze na spojité a diskrétní náhodné veličiny. Definice 2.5. Náhodná veličina (X j, j = 1,..., k) s hodnotami v prostoru ( k ) k S j, S j,, respektive v (R k, B k ), j=1 j=1 se nazývá náhodný vektor, respektive reálný náhodný vektor. V případě reálného náhodného vektoru a k = 1 se tato veličina nazývá reálná náhodná veličina. Definice 2.6. Necht (S n, S n ) pro n N jsou měřitelné prostory. Pak součinovou σ-algebrou + n=1 na prostoru + n=1 S n nazveme σ-obal 2 množiny všech konečně-rozměrných válců na něm, to jest množin typu + n=1 S n A n, kde A n S n a A n S n jen pro konečně mnoho n. 2 σ-obal systému množin - nejmenší σ-algebra obsahující tento systém. 8

9 Definice 2.7. Necht (S n, S n, µ n ) pro n N jsou pravděpodobnostní prostory. Pak součinovou pravděpodobnostní mírou µ = + µ n n=1 nazveme míru µ na + n=1 S n takovou, že µ(a) = n N µ n (A n ), pro libovolný měřitelný válec A = + n=1 A n na + n=1 S n, kde N N je konečná a A n = S n pro všechna n N\N. Definice 2.8. Náhodná veličina (X n, n N) s hodnotami v prostoru ( ) n N S n, n N S n,, respektive v (R, (B(R)) ), se nazývá náhodná posloupnost, respektive reálná náhodná posloupnost. Definujeme nezávislost nejprve pro náhodné jevy. Definice 2.9. Necht (Ω, A, P) je pravděpodobnostní prostor a pro k od 1 do n N necht A k jsou náhodné jevy na tomto prostoru, potom řekneme, že jsou nezávislé, pokud pro každou konečnou množinu I {1, 2,..., n} platí ( ) P A i = P (A i ). i I i I Tuto definici rozšíříme jednak tím, že se nebudeme omezovat pouze na jevy, ale budeme pracovat se systémy jevů, jinak tím, že počet systému jevů nebudeme nijak omezovat, tedy jich může být případně i nespočetně mnoho. Definice Necht (Ω, A, P) je pravděpodobnostní prostor, I necht je neprázdná množina, pro všechna i I necht C i A je neprázdný systém náhodných jevů. Řekneme, že systémy C i, i I jsou nezávislé, pokud pro každou konečnou množinu J I a pro každé A i C i, i J platí ( ) P A i = P (A i ). i J i J 9

10 Ted definujeme nezávislost pro náhodné veličiny. Nejprve pro konečný jejich počet, pak pro libovolný. Definice Necht X k : (Ω, A, P) (S k, S k ) pro k = 1, 2,..., n jsou náhodné veličiny. Řekneme, že jsou nezávislé, pokud pro libovolné B i S i, i I platí ( n ) n P [X k B k ] = P (X k B k ). k=1 Definice Necht I je neprázdná množina, pro všechna i I necht X i : (Ω, A, P) (S i, S i ) jsou náhodné veličiny. Řekneme, že jsou nezávislé, pokud pro každou konečnou množinu J I a libovolné B i S i, i J platí ( ) P [X i B i ] = P (X i B i ). i J i J Definice Necht X : (Ω, A, P) (S, S) je náhodná veličina, potom σ-algebru σ(x) = {[X B], B S} nazveme σ-algebrou generovanou náhodnou veličinou X. Poznámka Náhodné veličiny jsou nezávislé právě tehdy, když jsou nezávislé jimi generované σ-algebry. Poznámka Vektory, až na kapitolu o charakteristických funkcích, považujeme za řádkové. Následující dvě tvrzení nám pomohou ověřit nezávislost v konkrétních příkladech. Věta Necht (X 1,..., X k ) je reálný náhodný vektor s diskrétním rozdělením s hodnotami v nejvýše spočetné množině S = k i=1 S i B k. Označme pro (x 1,..., x k ) S P (X 1 = x 1,..., X k = x k ) = p(x 1,..., x k ). Potom 1. pro všechna i = 1,..., k X i je diskrétní náhodná veličina s rozdělením p i (x i ) = P (X i = x i ) = p(x 1,..., x k ), k=1 x j S j,i j 10

11 2. veličiny X 1,..., X k jsou nezávislé právě tehdy, když pro všechny vektory (x 1,..., x k ) S platí p(x 1,..., x k ) = k p i (x i ). i=1 Věta Necht X = (X 1,..., X k ) je reálný náhodný vektor se spojitým rozdělením s hustotou pravděpodobnosti f(x 1,..., x k ). Necht dále X i mají hodnoty v B i B. Potom 1. pro všechna i = 1,..., k X i má spojité rozdělení s hustotou f i (x i ) = f(x 1,..., x k ) dx 1... dx i 1, dx i+1... dx k, S 1 S i 1 S i+1 S k 2. veličiny X i, i = 1,..., k jsou nezávislé právě tehdy, když rovnost f(x 1,..., x k ) = k f i (x i ) i=1 platí pro skoro všechna x R k. Zavedeme ještě několik charakteristik náhodných veličin. Definice Necht R = R {, + }, B je příslušné rozšíření B. Necht dále X : (Ω, A) ( R, B) je zobecněná reálná náhodná veličina. Existuje-li EX = X(ω) dω R, Ω pak se EX nazývá střední hodnotou náhodné veličiny X. V opačném případě řekneme, že X nemá střední hodnotu. Poznámka Spočítat střední hodnotu přímo z definice většinou se nedá, proto v konkrétních případech používáme následující tvrzení plynoucí ze substitučních vět. 11

12 Tvrzení Necht X je zobecněná reálná náhodná veličina s hodnotami v ( R, B), h je měřitelná funkce z ( R, B) do ( R, B), potom h(x) je zobecněná reálná náhodná veličina a platí + Eh(X) = h(x(ω)) dω = h(x) d P X (x), pokud aspoň jeden z výrazů má smysl. Speciálně: 1. pro spojitou náhodnou veličinu X platí Ω Eh(X) = + h(x) f X (x) dx, kde f X je hustota pravděpodobnosti veličiny X, 2. pro diskrétní náhodnou veličinu X platí Eh(X) = h(x i ) p i, i=1 kde X nabývá hodnot z množiny {x i, i N} a hodnoty x i s pravděpodobností p i. nabývá V ještě speciálnějším případě, když h je identické zobrazení, dostáváme následující vzorce: 1. pro spojitou náhodnou veličinu X platí EX = + 2. pro diskrétní náhodnou veličinu X platí x f X (x) dx, EX = x i p i. i=1 Tvrzení Necht X, Y jsou reálné náhodné veličiny, a, b, c jsou reálná čísla. Potom E(a + b X + c Y ) = a + b EX + c EY. 12

13 2. Pokud B je náhodný jev, potom EI B = P (B). Definice Distribuční funkcí reálné náhodné veličiny X nazveme funkci F X (x) = P (X x). Poznámka Připomeňme si, že hustota reálné náhodné veličiny je skoro všude derivací distribuční funkce. Poznámka Pro nezápornou spojitou náhodnou veličinu X střední hodnotu můžeme spočíst pomocí distribuční funkce následovně: EX = + 1 F X (x) dx. 0 Definice Rozptylem reálné náhodné veličiny X nazveme číslo var X = E(X EX) 2, pokud výraz na pravé straně rovnosti má smysl. I střední hodnota, i rozptyl náhodné veličiny jsou jejími takzvanými momenty. Definice Pro reálnou náhodnou veličinu X nazveme jejím k-tým obecným momentem číslo EX k, pokud má smysl, k-tým centrálním momentem - číslo pokud má smysl. E(X EX) k, Definice Šikmostí reálné náhodné veličiny X nazveme číslo γ 3 = E(X EX) 3 /( varx) 3, pokud výraz na pravé straně rovnosti má význam. 13

14 Definice Špičatostí reálné náhodné veličiny X nazveme číslo γ 4 = E(X EX) 4 /(varx) 2, pokud výraz na pravé straně rovnosti má význam. Definice Kovariancí reálných náhodných veličin X, Y nazveme číslo cov(x, Y ) = E(X EX)(Y EY ), pokud výraz na pravé straně rovnosti má význam. Pro rozptyl a kovarianci náhodných veličin platí následující tvrzení. Tvrzení Necht X, Y jsou reálné náhodné veličiny, a, b, c, d jsou reálná čísla, potom 1. var X = EX 2 (EX) 2, pokud aspoň jedna strana má smysl, 2. cov(x, Y ) = EX Y EX EY, pokud veličiny X, Y a X Y mají konečnou střední hodnotu, 3. cov(x, X) = var X, pokud aspoň jedna strana má smysl, Poznámka Veličinám, jejichž kovariance je nulová, se říká nekorelované. Pokud X, Y jsou nezávislé a existuje jejich kovariance, pak jsou nekorelované. Opak však neplatí, to jest nekorelované náhodné veličiny obecně nemusejí být nezávislé. Některé z posledních definic jsou aplikovatelné i pro reálné náhodné vektory. Definice Necht (X 1,..., X n ) je reálný náhodný vektor, potom jeho střední hodnotou nazveme vektor EX = (EX 1,..., EX n ), pokud všechny složky na pravé straně mají smysl. Varianční maticí vektoru X nazveme matici V ar X typu n n takovou, že pro všechna i, j = 1,..., n platí (V ar X) i,j = cov(x i, X j ), pokud kovariance libovolných dvou složek vektoru X existují konečné. Distribuční funkcí vektoru X nazveme funkci F : R n R danou předpisem F (x 1,..., x n ) = P (X 1 x 1,..., X n x n ), (x 1,..., x n ) R n. Další definice a tvrzení budou uvedeny podle potřeby. 14

15 Kapitola 3 Nezávislost Začneme příkladem na nezávislost náhodných jevů. Příklad 3.1. Najděte takový pravděpodobnostní prostor s jevy A, B, C, aby 1. jevy A, B, C byly po dvou nezávislé, ale aby jako celek nebyly nezávislé, 2. platilo P (A B C) = P (A) P (B) P (C), ale aby jevy A, B, C nebyly nezávislé. Řešení. 1. Uvažujme hody mincí se stejnou pravděpodobností padnutí líce (L) a rubu (R). Dále uvažujme dva postupné nezávislé hody mincí, tomu pak odpovídá pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P), kde Ω = {R, L} 2 = {(L, L), (L, R), (R, L), (R, R)}, A = 2 Ω, P ({(L, L)}) = P ({(L, R)}) = P ({(R, L)}) = P ({(R, R)}) = 1 4, Necht dále A = {(R, L), (L, R)}, B = {(L, R), (L, L)}, C = {(R, L), (L, L)}, pak P (A) = P (B) = P (C) = 1/2 a P (A B) = P ({(L, R)}) = 1 4 = = P (A) P (B).

16 Analogicky se dá ukázat, že P (C B) = P (C) P (B) a P (C A) = P (C) P (A), to jest jevy A, B, C jsou po dvou nezávislé. Ale zároveň P (A B C) = P ( ) = = P (A) P (B) P (C), tedy jevy A, B, C nejsou nezávislé. 2. Necht Ω = {0, 1,..., 26}, A = 2 Ω, P ({i}) = 1/27 pro všechna i = 0, 1,..., 26. Necht dále A = {0, 1, 2,..., 8}, B = {0, 9, 10,..., 16}, C = {0, 17, 18,..., 24}, potom P (A) = P (B) = P (C) = 1/3 a ale P (A B C) = P ({0}) = 1 27 = P (A B) = P ({0}) = ( ) 3 1 = P (A) P (B) P (C), 3 = P (A) P (B), to jest jevy A, B, C nejsou nezávislé. Velmi užitečným nástrojem při práci s dvousložkovými diskrétními náhodnými vektory nabývajícími konečně mnoha hodnot je takzvaná pravděpodobnostní tabulka. Dejme tomu, že reálný náhodný vektor (X, Y ) nabývá hodnot z množiny A B = {a 1,..., a nx } {b 1,..., b ny } a pro i = 1,..., n X, j = 1,..., n Y platí P (X = a i, Y = b j ) = p i,j, pak tyto údaje můžeme shrnout do následující tabulky. X\ Y b 1 b 2 b j b ny a 1 p 1,1 p 1,2 p 1,j p 1,nY a 2 p 2,1 p 2,2 p 2,j p 2,nY. a i p i,1 p i,2 p i,j p i,ny. a nx p nx,1 p nx,2 p nx,j p nx,n Y 16

17 Bod 1 věty 2.16 nám umožňuje jednoduše spočítat marginální rozdělení složek X a Y. K tomu stačí sečíst čísla v každém řádku a v každém sloupci a výsledky zapsat do přidaného napravo sloupce a přidaného dolů řádku. V těch nových sloupci a řádku tím pádem dostaneme marginální rozdělení X a Y respektive. Ted pro kontrolu výpočtu ještě sečteme čísla i v nich, měli by se oba součty rovnat jedničce. Jako výsledek dostaneme následující tabulku, které budeme říkat rozšířená pravděpodobnostní tabulka. X\ Y b 1 b 2 b j b ny Σ a 1 p 1,1 p 1,2 p 1,j p 1,nY p X (1) a 2 p 2,1 p 2,2 p 2,j p 2,nY p X (2) a i p i,1 p i,2 p i,j p i,ny p X (i) a nx p nx,1 p nx,2 p nx,j p nx,n Y p X (n X ) Σ p Y (1) p Y (2) p Y (j) p Y (n Y ) 1 (3.1) kde pro všechna i = 1,..., n X, j = 1,..., n Y p X (i) = p Y (j) = n Y j=1 n Y i=1 p i,j = P (X = a i ), p i,j = P (Y = b j ). V této rozšířené tabulce se snadno ověřuje i nezávislost veličin X, Y. Podle bodu 2 věty 2.16 stačí k tomu zkontrolovat, zda pro všechny možné kombinace i = 1,..., n X, j = 1,..., n Y platí p i,j = p X (i) p Y (j). Příklad 3.2. Reálný náhodný vektor (X, Y ) nabývá pouze čtyř hodnot (0, 0) - s pravděpodobností 1/2 (1, 0), (0, 1), (1, 1) - každou s pravděpodobností 1/6 1. Spočtěte střední hodnotu a varianční matici tohoto vektoru. 2. Jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé? 17

18 Řešení. 1. Sestavíme rozšířenou pravděpodobnostní tabulku náhodného vektoru (X, Y ). X\ Y 0 1 Σ 0 1/2 1/6 2/3 1 1/6 1/6 1/3 Σ 2/3 1/3 1 Ted již víme marginální rozdělení a můžeme spočíst střední hodnoty X a Y, navíc vidíme, že jsou stejně rozdělené, z čehož plyne, že mají stejné momenty EX = EY = = 1 3. Vypočteme rozptyly náhodných veličin X, Y. var X = var Y = EX 2 (EX) 2 = (1 3 )2 = = 2 9. Jediné co zbylo spočíst je kovariance X, Y. K tomu nejprve najdeme rozdělení veličiny X Y. Obě veličiny X a Y nabývají pouze hodnot 0 a 1, tedy i jejích součin nabývá stejných hodnot, spočteme s jakými pravděpodobnostmi jich nabývá. pak P (X Y = 1) = P (X = 1, Y = 1) = 1 6, P (X Y = 0) = 1 P (X Y = 1) = = 5 6. cov(x, Y ) = E(X Y ) EX EY = = Z výše uvedeného plyne následující výsledek. E(X, Y ) = (EX, EY ) = (1/3, 1/3), V ar (X, Y ) = ( 2/9 1/18 1/18 2/9 ). 2. Náhodné veličiny X, Y mají nenulovou kovarianci, tedy nejsou nezávislé. 18

19 Příklad 3.3. Reálný náhodný vektor (X, Y ) má rovnoměrné rozdělení na množině {(0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1), (2, 2)}. 1. Zjistěte obě marginální rozdělení. 2. Jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé? Řešení. 1. Sestavíme rozšířenou pravděpodobnostní tabulku náhodného vektoru (X, Y ). X\ Y Σ 0 0 1/8 1/8 4/8 1 1/8 1/8 1/8 3/8 2 1/8 1/8 1/8 3/8 Σ 2/8 3/8 3/8 1 Tím je příklad vyřešen, nebot v dolním řádku máme rozdělení Y, v pravém sloupci - rozdělení X. 2. Náhodné veličiny X a Y nejsou nezávislé, nebot například 0 = P (X= 0, Y = 0) P (X= 0) P (Y = 0) = Poznámka 3.1. Skutečnost, že jsme při ověřování nezávislosti vybrali z pravděpodobnostní tabulky prvek s pravděpodobností nula, není náhoda. Obecně platí: pokud pravděpodobnostní tabulka je sestavená správně v tom smyslu, že neobsahuje žádný nulový řádek ani sloupec, ale obsahuje prvek s pravděpodobností nula, pak veličiny nejsou nezávislé. Je to skoro zřejmé, ale pro jistotu uvedeme i důkaz tohoto tvrzení. Budeme používat stejné označení jaké jsme používali při zavedení pojmu rozšířené pravděpodobnostní tabulky (3.1). Necht p i,j = 0. z předpokladu ani i-tý řádek ani j-tý sloupec neobsahují samy nuly, tedy ani součty čísel v nich nejsou nulové, to jest p X (i) 0 p Y (j). Pak ale 0 = p i,j = P (X = a i, Y = b j ) P (X = a i ) P (Y = b j ) = p X (i) p Y (j) 0, tedy náhodné veličiny X, Y nejsou nezávislé. Věta 3.2. Necht X 1,..., X n jsou nezávislé reálné náhodné veličiny s hodnotami v A i R, h 1,..., h n jsou měřitelné funkce z A i do R, potom náhodné veličiny h 1 (X 1 ),..., h n (X n ) jsou také nezávislé. 19

20 Poznámka 3.3. Jednoduchým důsledkem předešlé věty je skutečnost, že jsouli v ní funkce h 1 (X 1 ),..., h n (X n ) měřitelné bijekce, přičemž jejích inverze jsou také měřitelné, potom veličiny X 1,..., X n jsou nezávislé právě tehdy, když h 1 (X 1 ),..., h n (X n ) jsou nezávislé. Příklad 3.4. Reálný náhodný vektor (X, Y ) nabývá pouze šesti hodnot: (0, 1), (1, 0), (2, 3), (3, 2) - každou s pravděpodobností 1/12, (1, 2), (2, 1) - každou s pravděpodobností 1/3. 1. Spočtěte střední hodnotu a varianční matici tohoto vektoru. 2. Jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé? 3. Jsou log(x + Y ) a log(x Y + 2) nezávislé náhodné veličiny? Řešení. 1. Jako vždy nejprve sestavíme rozšířenou pravděpodobnostní tabulku náhodného vektoru (X, Y ). X\ Y Σ 0 0 1/ /12 1 1/12 0 1/3 0 5/ /3 0 1/12 5/ /12 0 1/12 Σ 1/12 5/12 5/12 1/12 1 Spočteme střední hodnoty a rozptyly náhodných veličin X, Y s využitím toho, že tyto veličiny jsou stejně rozdělené. EX = EY = = 3 2, var X = var Y = EY 2 (EY ) 2 = (3 2 )2 = = = Vzhledem k tomu, že vektor (X, Y ) nabývá pouze hodnot (0, 1), (1, 0), (2, 3), (3, 2), (1, 2) a (2, 1), náhodná veličina X Y nabývá pouze hodnot 20

21 0, 6 a 2 a to s následujícími pravděpodobnostmi: P (X Y = 0) = P (X = 0, Y = 1) + P (X = 1, Y = 0) = = 1 6, P (X Y = 2) = P (X = 1, Y = 2) + P (X = 2, Y = 1) = = 2 3, P (X Y = 6) = P (X = 2, Y = 3) + P (X = 3, Y = 2) = = 1 6. Pak cov(x, Y ) = EX Y EX EY = (3 2 )2 = = Z výše uvedeného plyne následující výsledek. ( 7/12 1/12 E(X, Y ) = (3/2, 3/2), V ar (X, Y ) = 1/12 7/12 2. Náhodné veličiny X, Y mají nenulovou kovarianci, tedy nejsou nezávislé. 3. Vektor (X, Y ) nabývá pouze hodnot (0, 1), (1, 0), (2, 3), (3, 2), (1, 2) a (2, 1), náhodný vektor (X Y, X + Y ) nabývá pouze hodnot ( 1, 1), ( 1, 3), ( 1, 5), (1, 1), (1, 1), (1, 5). ). P (X Y = 1, X + Y = 1) = P (X = 0, Y = 1) = 1/12, P (X Y = 1, X + Y = 3) = P (X = 1, Y = 2) = 1/3, P (X Y = 1, X + Y = 5) = P (X = 2, Y = 3) = 1/12, P (X Y = 1, X + Y = 1) = P (X = 1, Y = 0) = 1/12, P (X Y = 1, X + Y = 3) = P (X = 2, Y = 1) = 1/3, P (X Y = 1, X + Y = 5) = P (X = 3, Y = 2) = 1/12. Vzhledem k tomu, že zobrazení (x, y) (x y, x + y) je prosté, při sestavení pravděpodobnostní tabulky náhodného vektoru (X Y, X + Y ) jde pouze o přepis hodnot z tabulky vektoru (X, Y ) na příslušná místa. Rozšířená pravděpodobnostní tabulka vektoru (X Y, X + Y ) 21

22 pak vypadá následovně: X Y \ X+Y Σ 1 1/12 1/3 1/12 1/2 1 1/12 1/3 1/12 1/2 Σ 1/6 2/3 1/6 1 Jednoduchou kontrolou na základě rozšířené pravděpodobnostní tabulky zjistíme, že náhodné veličiny X Y, X + Y jsou nezávislé. Uvědomíme si, že funkce log z + 2 a log z jsou měřitelné na { 1, 1} a {1, 3, 5} respektive, tedy veličiny log(x + Y ) a log(x Y + 2) jsou také nezávislé. Příklad 3.5. Reálný náhodný vektor (X, Y ) nabývá pouze šesti hodnot: (0, 0) - s pravděpodobností 1/6, (0, 1) - s pravděpodobností 1/3, (1, 1) - s pravděpodobností 1/9, (1, 2) - s pravděpodobností 2/9, (2, 2) - s pravděpodobností 1/18, (2, 3) - s pravděpodobností 1/9. 1. Spočtěte střední hodnotu a varianční matici vektoru (X, X Y ). 2. Jsou náhodné veličiny X a Y nezávislé? 3. Jsou X a X Y nezávislé náhodné veličiny? Řešení. 1. Vzhledem k tomu, že vektor (X, Y ) nabývá pouze hodnot (0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 2), (2, 2) a (2, 3), náhodný vektor (X, X Y ) nabývá pouze hodnot (0, 1), (0, 0), (1, 1), (1, 0), (2, 1), (2, 0) a to s následujícími pravděpodobnostmi: P (X = 0, X Y = 1) = P (X = 0, Y = 1) = 1/3, P (X = 0, X Y = 0) = P (X = 0, Y = 0) = 1/6, P (X = 1, X Y = 1) = P (X = 1, Y = 2) = 2/9, P (X = 1, X Y = 0) = P (X = 1, Y = 1) = 1/9, P (X = 2, X Y = 1) = P (X = 2, Y = 3) = 1/9, P (X = 2, X Y = 0) = P (X = 2, Y = 2) = 1/18. 22

23 Sestavíme rozšířenou pravděpodobnostní tabulku náhodného vektoru (X, X Y ). X\ X Y 0 1 Σ 0 1/6 1/3 1/2 1 1/9 2/9 1/3 2 1/18 1/9 1/6 Σ 1/3 2/3 1 Spočteme střední hodnoty a rozptyly náhodných veličin X a X Y. EX = = 2 3, E(X Y ) = = 2 3, var X = var (X Y ) = ( 1)2 2 3 ( 2 3 ( ) 2 2 = = 5 9, ) 2 = = 2 9. Vektor (X, X Y ) nabývá pouze hodnot (0, 1), (0, 0), (1, 1), (1, 0), (2, 1), (2, 0), tedy náhodná veličina X (X Y ) nabývá pouze hodnot 0, 1, 2 a to s následujícími pravděpodobnostmi: Pak P (X (X Y ) = 2) = P (X = 2, X Y = 1) = 1 9, P (X (X Y ) = 1) = P (X = 1, X Y = 1) = 2 9, P (X (X Y ) = 0) = 1 P (X (X Y ) = 2) = = 2 3. P (X (X Y ) = 1) cov(x, X Y ) = E(X (X Y )) EX E(X Y ) = ( 3 2 ) = = 0. Z výše uvedeného plyne následující výsledek. E(X, X Y ) = (2/3, 2/3), V ar (X, Y ) = ( 5/ /9 ). 23

24 2. cov(x, Y ) = var X cov(x, X Y ) = 2/9 0 = 2/9 0, tedy náhodné veličiny X, Y nejsou nezávislé. 3. Jednoduchou kontrolou na základě rozšířené pravděpodobnostní tabulky náhodného vektoru (X, X Y ) zjistíme, že náhodné veličiny X, X Y jsou nezávislé. Neprázdné kolekce nezávislých náhodných veličin jsou nezávislé. Věta 3.4. Necht I je neprázdná množina a pro každé i I necht T i je také neprázdná množina. Pro všechna i I a pro všechna t T i necht X i,t, i I, t T i jsou nezávislé náhodné veličiny. Potom pro všechna i I náhodné veličiny (X i,t, t T i ), i I jsou také nezávislé. Příklad 3.6. Rozhodněte, zda existují spojité náhodné veličiny X, Y a Z a měřitelné funkce f a g takové, že Y = f(x) a Z = g(x) jsou nezávislé. Řešení. Uvedeme bez důkazu dvě tvrzení. Jsou téměř zřejmé, ale jejích formální důkaz by zabral dost času, aniž by byl nějakým způsobem důležitý pro tento příklad. 1. Pokud náhodné veličiny X i jsou nezávislé s alternativním rozdělením s parametrem 1/2, potom náhodná veličina X = i N 2 i X i má rovnoměrné rozdělení na intervalu (0, 1). 2. Naopak, pokud X má rovnoměrné rozdělení na intervalu (0, 1) a X i je i-tá číslice X v nekonečném dyadickém rozvoji, přičemž dáváme přednost rozvojům obsahujícím nekonečně mnoho nul, potom náhodné veličiny X i jsou nezávislé náhodné veličiny s alternativním rozdělením s parametrem 1/2. Necht dále X má rovnoměrné rozdělení na intervalu (0, 1), potom podle tvrzení 2 pro všechna i přirozená X i jsou nezávislé náhodné veličiny s alternativním rozdělením, kde X i je i-tá číslice X v nekonečném dyadickém rozvoji (zase v případě dvou možných rozvojů vybereme obsahující nekonečně 24

25 mnoho nul). Náhodné posloupnosti {X 2k 1 } k N a {X 2k } k N jsou nezávislé jako kolekce nezávislých náhodných veličin. Dále podle tvrzení 1 náhodné veličiny Y = k N 2 k X 2k 1 a Z = k N 2 k X 2k mají rovnoměrné rozdělení na intervalu (0, 1), tudíž jsou spojité. Zároveň jsou nezávislé jako měřitelné transformace nezávislých náhodných veličin. Poznamenáme si ještě, že X i jsou měřitelnými transformacemi X, čímž jsme vlastně hotoví. Zavedeme ještě jeden užitečný pojem. Definice 3.5. Necht X : (Ω, A, P) (R k, B k ) je spojitý náhodný vektor. Množinu A B k nazveme nosičem náhodného vektoru X, pokud jsou splněny dvě podmínky: 1. P (X A) = 1, 2. pokud pro měřitelnou množinu B A platí λ k (A\B) > 0, potom P (X B) < 1. Poznámka 3.6. Nosič náhodného vektoru je určen jednoznačně až na množinu Lebesgueovy míry nula. Poznámka 3.7. Pokud X je spojitý reálný náhodný vektor s hustotou f, pak množina {f 0} je jeho nosičem. Necht X, Y jsou dvě nezávislé spojité reálné náhodné veličiny s hustotami f, g. Necht A = {f 0}, B = {g 0}, pak A a B jsou nosiči veličin X a Y. Dále z nezávislosti náhodných veličin X, Y plyne, že hustota f g je hustotou vektoru (X, Y ), tedy A B = {f g 0} je nosičem vektoru (X, Y ). Právě uvedené nám dává následující vlastnost nezávislých spojitých náhodných veličin. Tvrzení 3.8. Pokud X, Y jsou nezávislé spojité reálné náhodné veličiny, pak libovolný nosič vektoru (X, Y ) je až na množinu Lebesgueovy míry nula kartézským součinem nosičů X a Y, speciálně musí být až na množinu Lebesgueovy míry nula měřitelným obdélníkem, to jest kartézským součinem dvou měřitelných množin. 25

26 Příklad 3.7. Necht náhodný vektor (X, Y ) má rovnoměrné rozdělení na jednotkovém kruhu. Dokažte, že náhodné veličiny X, Y nejsou nezávislé. Řešení. Jednotkový kruh se liší od každého měřitelného obdélníku o množinu kladné Lebesgueovy míry, tedy veličiny X, Y nemohou být nezávislé. Příklad 3.8. Rozhodněte, zda platí následující implikace: 1. je-li (X, Y ) spojitý náhodný vektor, pak X a Y jsou spojité náhodné veličiny, 2. jsou-li X a Y spojité náhodné veličiny, pak (X, Y ) je spojitý náhodný vektor. Řešení. 1. Tato implikace je součástí věty Opačná implikace neplatí. Necht X je spojitá reálná náhodná veličina a necht Y = X, potom P (X, Y {(x, y) R 2, x = y}) = 1. Pokud by vektor (X, Y ) byl spojitý, pak měl by hustotu a měla by se rovnat nule skoro všude na R 2 \{(x, y) R 2, x = y}, tedy by byla nulová skoro všude na celé rovině. Tohle je ale ve sporu s definicí hustoty dvojrozměrné náhodné veličiny, podle které se integrál z hustoty přes celou rovinu má rovnat jedničce. Příklad 3.9. Bud (Ω, A, P ) = n=1 (Ω n, A n, P n ), kde pro všechna n N Ω n = {0, 1}, A n = 2 {0,1}, P n ({0}) = P n ({1}) = 1/2. Pro ω Ω položme Ukažte, že X(ω) = 2 n ω n. (3.2) n=1 1. X je náhodná veličina (že je měřitelná funkce), 2. X má rovnoměrné rozdělení na (0, 1). 26

27 Řešení. 1. Nejprve si povšimneme, že řada (3.2) obsahuje pouze nezáporné členy a je omezená shora konvergentní řadou n=1 2 n, tedy podle srovnávacího kritéria konverguje pro všechna ω Ω a funkce X je korektně definovaná. Navíc X nabývá hodnot pouze z intervalu [0, 1]. Ukážeme, že A obsahuje všechny jednoprvkové množiny z Ω. Necht ω 0 Ω, pak {ω 0 } = + n=1 {ω Ω, k n ω k = ω 0 k}. Každá z množin v tomto spočetném průniku je konečně-rozměrným válcem na Ω, to jest patří do A. Pak ale z uzavřenosti σ-algeber na spočetné průniky plyne, že i ω 0 patří do A. Dále využijeme toho, že B([0, 1]) = σ ({[ k 1 2 m ; k 2 m ) } ), m N, k = 1,..., 2 m {{1}} (3.3) Vzor X 1 ({1}) = {(1, 0, 0, 0,..., ), (0, 1, 1, 1,..., )} A, tedy pro důkaz měřitelnosti X zbývá dokázat, že pro všechna m N a pro všechna k = 1,..., 2 m X 1 ([ k 1 2 m ; k 2 m )) A. Necht ω 1 je libovolný zápis čísla 2k 1 (to je střed intervalu [ k 1 2 m+1 ve dvojkové soustavě. Rozmyslete si, že potom ([ )) k 1 X 1 2 ; k = A B\C, m 2 m kde A ozn. = {ω Ω, k m ω k = ω 1 k}, B ozn. = {(ω 1 1,..., ω 1 m 1, 1, 1,..., )}, C ozn. = {(ω 1 1,..., ω 0 m, 0, 0,..., )}. 2 m ; k 2 m ) ) A je konečně-rozměrný válec, pro B, C jsme již ukázali, že patří do A, tedy i X ([ )) 1 k 1 k ; 2 m 2 = A B\C A. m Tím je dokázána měřitelnost X, tedy je náhodnou veličinou. 27

28 2. S ohledem na (3.3) stačí dokázat, že P X ( [ ) k 1 k ; 2 m 2 ) = 1 pro každé m 2 m m N a každé k = 1,..., 2 m. Využijeme dříve zavedených označení ω 1, A, B, C, pak ( [ )) k 1 P X 2 ; k = P (A B\C) = P (A) + P (B) P (C). m 2 m z definice součinovou pravděpodobnostní míry plyne, že P (A) = m k=1 P k (ω 1 k) = 1 2 m, tedy zbývá ukázat, že pro všechna ω 2 Ω platí P ({ω 0 }) = 0 platí P ( {ω 0 } ) ( + ) = P {ω Ω, k n ω k = ωk} 0 n=1 spoj. = lim P ( {ω Ω, k n ω k = ωk} ) 0 def. = lim n + n + 2 n = 0, kde def. a spoj. označují využití definice součinové míry a spojitosti míry respektive. Tím je důkaz dokončen. 28

29 Kapitola 4 Elementární podmíněná pravděpodobnost Dalším pojmem, který budeme potřebovat je podmíněná pravděpodobnost jevu. Definice 4.1. Necht A, B jsou náhodné jevy na stejném pravděpodobnostním prostoru a P (B) 0, pak podmíněnou pravděpodobností jevu A za podmínky B nazveme číslo P (A B) = P (A B). P (B) Tato definice má následující interpretaci: očekáváme výskyt jevu A s nějakou pravděpodobností, jak se změní toto očekávaní, pokud dozvíme, zda nastal jev B? Tomu modifikovanému očekávaní budeme říkat podmíněná pravděpodobnost jevu A za podmínky B. Jinými slovy: podmíněna pravděpodobnost jevu A za podmínky B je očekávání výskytu jevu A za podmínky, že nastal jev B. Poznámka 4.2. V případě, že jevy A, B z definice 4.1 jsou nezávislé, potom platí P (A B) = P (A) P (B), tedy P (A B) = P (A). Tato rovnost odpovídá intuitivní představě o nezávislosti, nebot říká, že pokud jevy A, B jsou nezávislé, pak pravděpodobnost jevu A nezávisí na podmínce B. 29

30 Tvrzení 4.3. Necht (Ω, A, P) je pravděpodobnostní prostor, B A, P (B) 0, potom množinová funkce je pravděpodobnostní míra na (Ω, A). P Ω B : A P (A B), A A Na základě definice podmíněné pravděpodobnosti jevů zavedeme pojem podmíněného rozdělení náhodné veličiny. Definice 4.4. Necht X je náhodná veličina s hodnotami v měřitelném prostoru (S, S), B je náhodný jev s kladnou pravděpodobností. Potom pravděpodobnostní míru P X B na S takovou, že P X B (C) = P (X C B), C S, nazveme podmíněným rozdělením X za podmínky B. Pokud X, Y jsou dvě diskrétní náhodné veličiny nabývající hodnot ze spočetných množin A, B, přičemž všech hodnot z množiny B veličina Y nabývá s kladnou pravděpodobností, pak zjistit podmíněná rozdělení X za podmínky Y = y znamená spočíst P (X = a Y = b) pro všechna a A a pro všechna b B. V případě, že množiny A, B jsou konečné, zjištěné údaje můžeme shrnout do následující tabulky podmíněných pravděpodobností. kde X Y b 1 b 2 b j b ny a 1 p 1 1 p 1 2 p 1 j p 1 ny a 2 p 2 1 p 2 2 p 2 j p 2 ny. a i p i 1 p i 2 p i j p i ny. a nx p nx 1 p nx 2 p nx j p nx n Y a p i j označuje P (X = a i Y = b j ). A = {a 1,..., a nx }, B = {b 1,..., b ny }, Příklad 4.1. Vektor (X, Y ) je dán pravděpodobnostní tabulkou 30

31 1. X\ Y /8 1/4 3/8 1 1/24 1/12 1/8 2. X\ Y , 1 0, 2 0, 3 1 0, 1 0, 1 0, 2 V obou případech rozhodněte, zda jsou náhodné veličiny X, Y nezávislé, spočtěte marginální rozdělení náhodné veličiny X a podmíněná rozdělení Y za podmínky X = x. Řešení. 1. Sestavíme rozšířenou pravděpodobnostní tabulku vektoru (X, Y ) a zkontrolujeme, že jeho složky jsou nezávislé. X\ Y Σ 0 1/8 1/4 3/8 3/4 1 1/24 1/12 1/8 1/4 Σ 1/6 1/3 1/2 1 Je již vyřešeno sestavením rozšířené pravděpodobnostní tabulky. X a Y jsou nezávislé, proto oba sloupce tabulky podmíněných pravděpodobností X za podmínky Y splývají s dolním řádkem rozšířené pravděpodobnostní tabulky vektoru (X, Y ). Y X /6 1/6 1 1/3 1/3 2 1/2 1/2 2. Sestavíme rozšířenou pravděpodobnostní tabulku náhodného vektoru (X, Y ). X\ Y Σ 0 0, 1 0, 2 0, 3 0, 6 1 0, 1 0, 1 0, 2 0, 4 Σ 0, 2 0, 3 0, 5 1 Veličiny X, Y nejsou nezávislé, nebot například 0, 1 = P (X = 0, Y = 0) P (X = 0) P (Y = 0) = 0,

32 Je již vyřešeno sestavením rozšířené pravděpodobnostní tabulky. Spočteme všechny možné podmíněné pravděpodobnosti typu P (Y = y X = x). P (Y = 0 X = 0) = 0, 1/0, 6 = 1/6, P (Y = 0 X = 1) = 0, 1/0, 4 = 1/4, P (Y = 1 X = 0) = 0, 2/0, 6 = 1/3, P (Y = 1 X = 1) = 0, 1/0, 4 = 1/4, P (Y = 2 X = 0) = 0, 3/0, 6 = 1/2, P (Y = 2 X = 1) = 0, 2/0, 4 = 1/2. A shrneme získané údaje v tabulce podmíněných pravděpodobností. Y X /6 1/4 1 1/3 1/4 2 1/2 1/2 Ted dokážeme tvrzení, které jsme již použili při řešení příkladu 4.1 bez důkazu. Příklad 4.2. Necht X a Y jsou reálné náhodné veličiny, přičemž X má diskrétní rozdělení. 1. Ukažte, že pokud X a Y jsou nezávislé, pak podmíněné rozdělení Y za podmínky X = x nezávisí na x R, tj. B B(R), x R [P (X = x) > 0] [P (Y B X = x) = P (Y B)] 2. Rozhodněte, zda (4.1) implikuje nezávislost veličin X a Y. Řešení. 1. Necht B B(R), x R, P (X = x) 0, pak P (Y B X = x) = čímž je tvrzení dokázáno. nez. = P (Y B, X = x) P (X = x) P (Y B) P (X = x) P (X = x) 32 = P (Y B), (4.1)

33 2. Abychom dokázali, že z (4.1) plyne nezávislost potřebujeme vlastně dokázat, že B, C B(R) platí P (Y B, X C) = P (Y B) P (X C). (4.2) Necht C = {x C, P (X = x) 0}, pak x C platí P (Y B, X = x) = P (Y B X = x) P (X = x) (4.1) = = P (Y B) P (X = x). (4.3) To už stačí na to, abychom dokázali (4.2). P (Y B, X C) = P (Y B, X C ) = x C P (Y B, X = x) Tím je tvrzení dokázáno. (4.3) = x C P (Y B) P (X = x) = P (Y B) P (X C ) = P (Y B) P (X C). Zavedeme pojmy podmíněné distribuční funkce a podmíněné hustoty. Definice 4.5. Necht X je reálná náhodná veličina, B je náhodný jev s kladnou pravděpodobností, potom podmíněnou distribuční funkcí náhodné veličiny X za podmínky B nazveme funkci F X B (x) = P (X x B), x R. Definice 4.6. Necht X je reálná náhodná veličina, A je náhodný jev s kladnou pravděpodobností. Necht dále existuje nezáporná měřitelná funkce f X B taková, že P (X B A) = f X B d P X B, B B(R), B potom funkci f X B nazveme podmíněnou hustotou náhodné veličiny X za podmínky B. 33

34 Poznámka 4.7. Mezi podmíněnou distribuční funkcí a podmíněnou hustotou je obdobný vztah, jako mezi obyčejnými distribuční funkcí a hustotou. Použijeme-li označení z posledních definic, pak pro skoro všechna x platí f X B (x) = F X B(x). Poznámka 4.8. Tvrzení analogické tvrzení z příkladu 4.2 platí i pro podmíněné distribuční funkce, to jest náhodné veličiny X, Y, kde Y je diskrétní, jsou nezávislé pravě tehdy, když podmíněná distribuční funkce X za podmínky Y nezávisí na podmínce. Příklad 4.3. Necht X je reálná náhodná veličina s rozdělením symetrickým kolem nuly. Rozhodněte, zda náhodné veličiny Y a Z jsou nezávislé, kde { 1 pokud X>0 Y = X a Z = 0 jinak. Řešení. Pokud P (X>0) = 0, pak ze symetrie rozdělení X P (X<0) = 0, tedy X, Y, Z jsou konstantní nuly a jsou zřejmě nezávislé. V opačném případě P (Z = 0) 0 P (Z = 1) a můžeme porovnat podmíněné distribuční funkce F Y Z=0 a F Y Z=1. F Y Z=0 (y) = P (Y y Z = 0) = P ( X y X>0) = P (0<X y) P (X>0), F Y Z=1 (y) = P (Y y Z = 1) = P ( X y X 0) = P ( y X 0). P (X 0) Ze symetrie rozdělení veličiny X pak plyne, že F Y Z=1 (y) = P (0 X y) P (X 0). V případě, že P (X = 0) = 0, obě podmíněné distribuční funkce jsou stejné a tedy Y, Z jsou nezávislé. Zkusme se podívat co se stane v případě, že tomu tak nebude. Necht X má rovnoměrné rozdělení na množině { 1, 0, 1}, potom P (X = 1) P (Y = 1 Z = 1) = P ( X = 1 X > 0) = P (X = 1) = 1 P (X = 1) P (Y = 1 Z = 0) = P ( X = 1 X 0) = P (X = 1) + P (X = 0) = 1 2. Tedy P (Y = 1 Z = 1) P (Y = 1 Z = 0) a veličiny Y, Z obecně nejsou nezávislé. 34

35 Příklad 4.4. Necht X je náhodná veličina s exponenciálním rozdělením s parametrem 1. Pro jaké s (0, ) jsou náhodné veličiny Y a Z nezávislé, kde { 1 pokud X > s Y = Z = (X s) + + (log 1 ) + e s. 0 jinak, 1 e X Řešení. P (X (0, + )) = 1, tedy P ( 0 < 1 e X < 1 ) = 1 a můžeme považovat výraz 1 e X za vždycky se nacházející v intervalu (0, 1). Dále s (0, + ), tedy 1 e s (0, 1). S využitím těchto pozorování provedeme následující řetězec ekvivalencí. X s > 0 X > s X < s e X < e s 1 e s < 1 e X 1 e s 1 e s < 1 log < 0. 1 e X 1 e X Analogicky se dá ukázat, že X s = 0 log 1 e s 1 e s = 0 a X s<0 log >0. 1 e X 1 e X Ted můžeme přepsat definici Z následujícím způsobem: X s pokud X>s Z = log 1 e X jinak anebo ještě jiným způsobem: X s pokud Y = 1 Z = log 1 e X pokud Y = 0. Z toho už je vlastně vidět, že Y, Z nejsou nezávislé, ale potřebujeme to ještě dokázat. Vypočteme podmíněné distribuční funkce Z za podmínky Y = 1 a Y = 0. Z za obou možných podmínek je nezáporná a spojitá, proto pro z 0 F Z Y =1 (z) = F Z Y =0 (z) = 0. Při následujících výpočtech využijeme toho, že funkce F (x) = (1 e x ) I (0,+ ) (x) 35

36 je distribuční funkcí exponenciálního rozdělení s parametrem 1. Necht z > 0, potom F Z Y =1 (z) = P (Z z Y = 1) = P (X s z X > s) P (s < X s + z) = = [ 1 e x] / s+z [1 ] P (s < X) s e x + s = e s e (s+z) e s 0 = 1 e z, to jest za podmínky Y = 1 Z má exponenciální rozdělení s parametrem 1. F Z Y =0 (z) = P (Z z Y = 0) = P (log 1 ) e s 1 e z X s ( ) X 1 e s = P 1 e X ez X s = P ( 1 e s (1 e X ) e z X s ) ( ) 1 e s = P 1 e X X s e ( z ) = P e X ez + e s 1 X s e ( z ) = P X log ez + e s 1 X s e ( z ) e z = P X log e z + e s 1 X s = ( ). Označme log e z e z + e s 1 = κ, pak ( ) = [ 1 e x] s /[ ] ( κ 1 e x s e z = + e s 1 e s 0 e z = ez + e s 1 e s e z e z (1 e s ) = (ez 1)(1 e s ) e z (1 e s ) ) /(1 e s ) = ez 1 e z = 1 e z. Tedy i za podmínky Y = 0 veličina Z má exponenciální rozdělení s parametrem 1, to jest podmíněné rozdělení Z za podmínky Y nezávisí na podmínce a veličiny X, Y jsou nezávislé. Dříve získaný zřejmý výsledek tedy nebyl správný. 36

37 Poznámka 4.9. Na první pohled podivný výsledek příkladu 4.4 souvisí s tím, že exponenciální rozdělení nemá pamět, což je verbální vyjádření skutečnosti, kterou ted popíšeme formálně. Necht náhodná veličina X má exponenciální rozdělení, potom a, b > 0 platí P (X > a + b X > a) = P (X > b). Příklad 4.5. Necht X, Y jsou nezávislé náhodné veličiny, X má standardní normální rozdělení a P (Y = 1) = P (Y = 1) = 1/2. Necht dále Z = X Y. Ukažte, že 1. Z má standardní normální rozdělení, 2. cov(x, Z) = 0, 3. veličiny X a Z nejsou nezávislé. Řešení. 1. Dokážeme, že Z a X mají stejné distribuční funkce. Při tom využijeme toho, že standardní normální rozdělení je symetrické kolem nuly, což znamená, že P ( X x) = P (X x) pro všechna reálná x. F Z (x) = P (Z x) = P (X Y x) = P (X Y x Y = 1) P (Y = 1) = P (X x Y = 1) P (Y = 1) + P (X Y x Y = 1) P (Y = 1) + P ( X x Y = 1) P (Y = 1) nez. = P (X x) P (Y = 1) + P ( X x) P (Y = 1) = 1 2 P (X x) P (X x) = P (X x) = F X(x), tedy X a Z mají stejné distribuční funkce a tedy jsou i stejně rozděleny. 2. Spočteme kovarianci veličin Z a X. cov(z, X) = cov(x Y, X) = E(X 2 Y ) E(X Y ) EX nez. = EX 2 EY EX (EY ) 2. Střední hodnoty obou náhodných veličin X a Y jsou nulové, tedy cov(z, X) = EX (EY ) 2 = 0. 37

38 3. Platí, že P ((X, Z) { x = z }) = 1, tedy nosič (X, Z) je podmnožinou { x = z } = 1 a není až na množinu míry nula kartézským součinem jednotlivých nosičů těchto veličin, veličiny X, Z tedy nejsou nezávislé. Poznámka Poslední příklad ukazuje, že nekorelované náhodné veličiny s normální rozdělením obecně nemusí být nezávislé, pokud jejich sdružené rozdělení není normální. Uvedené níže neobsahuje už žádné příklady ani nepomůže při řešení jiných, ale může být užitečné pro pochopení zobecněného pojmu podmíněné střední hodnoty, který zavedeme v kapitole 7. Definice Necht X : (Ω, A) ( R, B) je zobecněná reálná náhodná veličina a B A je náhodný jev s kladnou pravděpodobností. Existuje-li E(X B) = X d P Ω B R, Ω pak se E(X B) nazývá podmíněnou střední hodnotou náhodné veličiny X za podmínky jevu B. V opačném případě řekneme, že X nemá podmíněnou střední hodnotu za podmínky B. Poznámka Pokud existuje nepodmíněná střední hodnota, potom existuje i podmíněná. Pro výpočet podmíněné střední hodnoty platí obdobné tvrzení jako pro nepodmíněnou. Tvrzení Necht X je reálná zobecněná náhodná veličina s hodnotami v ( R, B), B A je náhodný jev s kladnou pravděpodobností, h je měřitelná funkce z ( R, B) do ( R, B), potom platí E(h(X) B) = h(x) d P Ω B = Ω R h(x) d P X B(x). Speciálně: 1. pokud existuje podmíněná hustota f X B, potom E(h(X) B) = R h(x) f X B(x) dx, 38

39 2. pokud X je diskrétní náhodná veličina s hodnotami ve spočetné množině A, potom E(h(X) B) = a A h(a) P (X = a B). V ještě speciálnějším případě, když h je identické zobrazení, dostáváme následující vzorce: 1. E(X B) = R x f X B(x) dx, 2. E(X B) = a A a P (X = a B). 39

40 Kapitola 5 Vytvořující funkce Připomeňme si, že střední hodnota reálné náhodné veličiny je v podstatě integrál, proto rozšířeni tohoto pojmu pro případ komplexní náhodné veličiny je obdobné tomu, jak se to dělá u integrálů. Definice 5.1. Necht X je náhodná veličina s hodnotami v C, potom její střední hodnotou nazveme číslo EX = EReX + ıeimx, pokud obě střední hodnoty na pravé straně výrazu existují a jsou konečné. V opačném případě řekneme, že X nemá střední hodnotu. Definice 5.2. Vytvořující funkcí reálné diskrétní náhodné veličiny X nabývající hodnot pouze z N 0 = N {0} nazveme funkci ψ X komplexní proměnné definovanou na uzavřeném jednotkovém kruhu vztahem ψ X (s) = Es X, s C, s 1. Poznámka 5.3. Označme pro náhodnou veličinu X z definice 5.2 a pro n N 0 P (X = n) = p n, potom platí Dále + p n 1 n n=0 Es X = + n=0 P (X = n) s n = + n=0 p n s n. (5.1) = 1, tedy řada (5.1) konverguje absolutně na jednotkové kružnici v komplexní rovině. Z toho plyne, že konverguje absolutně i na uzavřeném jednotkovém kruhu a definice vytvořující funkce je korektní. 40

41 Z vět o derivaci a integraci mocninné řady člen po členu plyne následující tvrzení. Tvrzení 5.4. [viz [P],str.136] Pokud X je náhodná veličina nabývající pouze nezáporných celých hodnot a Es X je její vytvořující funkce, pak E[X(X 1)... (X (k 1))] = E [ X(X 1)... (X (k 1))s X k] ( sx) s=1 k = E k s k s EsX. s=1 = k s=1 Příklad 5.1. Spočtěte vytvořující funkci, střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny s 1. geometrickým rozdělením s parametrem p, 2. Poissonovým rozdělením s parametrem λ, 3. binomickým rozdělením řádu n s parametrem p, 4. negativně binomickým rozdělením s parametry p, q (q = 1 p), r. Poznámka 5.5. Při vyšetření negativně binomického rozdělení budeme potřebovat použít následující důsledek zobecněné binomické věty. x C, x < 1, r R 1 (1 x) = + r k=0 ( r + k 1 k ) x k, (5.2) kde ( ) r+k 1 k značí takzvaný zobecněný binomický koeficient definovaný pro z R, n N 0 takto: ( ) z z (z 1) (z 2)... (z (n 1)) =. n n! Řešení. 1. Pro geometrické rozdělení p n = p (1 p) n, n N 0, pak Es X = = + n=0 p (1 p) n s n = p p 1 (1 p) s. + n=0 ((1 p) s) n 41

42 S využitím tvrzení 5.4 vypočteme střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X. EX = p p(1 p) s 1 (1 p)s = s=1 (1 (1 p)s) 2 = 1 p s=1 p, E(X 2 X) = p(1 p) 2p(1 p)2 = 2(1 p)2 =, s (1 (1 p)s) 2 (1 (1 p)s) 3 p 2 s=1 s=1 var X = EX 2 (EX) 2 = E(X 2 X) + EX (EX) 2 = 2(1 p)2 = + 1 p ( ) 2 1 p = 1 p. p 2 p p p 2 2. Pro Poissonovo rozdělení p n = λn n! e λ, pak Es X = + n=0 λ n + n! e λ s n = e λ (λ s) n n! n=0 = e λ e λs = e λs λ. S využitím tvrzení 5.4 vypočteme střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X. EX = s eλs λ s=1 = λe λs λ s=1 = λ, E(X 2 X) = s λ eλs λ s=1 = λ 2 e λs λ s=1 = λ 2, var X = EX 2 (EX) 2 = E(X 2 X) + EX (EX) 2 = λ 2 + λ λ 2 = λ. 3. Pro binomické rozdělení p k = ( n k) p k (1 p) n k, k = 0, 1,..., n, pak Es X = + k=0 ( ) n p k (1 p) n k s k = k = (ps + (1 p)) n. + k=0 ( ) n (ps) k (1 p) n k k S využitím tvrzení 5.4 vypočteme střední hodnotu a rozptyl náhodné 42

43 veličiny X. EX = s (ps + (1 p))n s=1 = pn(ps + (1 p)) n 1 s=1 = pn, E(X 2 X) = s pn(ps + (1 p))n 1 s=1 = p 2 n(n 1)(ps + (1 p)) n 2 s=1 = p 2 n(n 1), var X = EX 2 (EX) 2 = E(X 2 X) + EX (EX) 2 = p 2 n(n 1) + pn + (pn) 2 = np(1 p). 4. Pro negativně binomické rozdělení p k = ( ) r+k 1 k 1 p r q k, k N 0, pak Es X = + n=0 ( r + k 1 k 1 (5.2) = p r (1 qs) r. ) p r q k s k = p r + n=0 ( ) r + k 1 (qs) k k 1 S využitím tvrzení 5.4 vypočteme střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny X. EX = s pr (1 qs) r s=1 = p r rq(1 qs) r 1 s=1 = q p r, E(X 2 X) = s pr rq(1 qs) r 1 s=1 = p r r(r + 1)q 2 (1 qs) r 1 s=1 = ( ) 2 q r(r + 1), p var X = EX 2 (EX) 2 = E(X 2 X) + EX (EX) 2 = = q2 p r(r + 1) + q 2 p r q2 p 2 r2 = q ( ) q + p p r = q q p r. 2 Součet mocninné řady s kladným poloměrem konvergence jednoznačně určuje její koeficienty. Z této skutečnosti plyne následující tvrzení. Tvrzení 5.6. Rozdělení náhodné veličiny s pouze nezápornými celými hodnotami je jednoznačně určeno její vytvořující funkcí. 43

44 Tvrzení 5.7. Vytvořující funkce součtu dvou nezávislých náhodných veličin nabývající pouze nezáporných celých hodnot se rovná součinu jejich vytvořujících funkcí. Poslední tvrzení je skoro zřejmé, uvedeme však krátký důkaz. Necht X 1, X 2 jsou nezávislé náhodné veličiny nabývající pouze nezáporných celých hodnot, potom Es X 1+X 2 = E(s X1 s X 2 ) nez. = Es X1 Es X 2, odkud dokazované tvrzení přímo plyne. Příklad 5.2. Pomocí vytvořujících funkcí ukažte, že 1. pokud náhodné veličiny X 1, X 2 jsou nezávislé s binomickým rozdělením s parametry (n 1, p) a (n 2, p), pak součet X 1 + X 2 má binomické rozdělení s parametry (n 1 + n 2, p). 2. pokud náhodné veličiny X 1, X 2 jsou nezávislé s Poissonovým rozdělením s parametry λ 1 a λ 2, pak součet X 1 + X 2 má Poissonovo rozdělení s parametrem λ 1 + λ pokud náhodné veličiny X 1, X 2 jsou nezávislé s negativně binomickým rozdělením s parametry r 1 a r 2 a se stejnými parametry p, q pak součet X 1 + X 2 má negativně binomické rozdělení s parametrem r 1 + r 2 a parametry p, q. Řešení. 1. Necht náhodná veličina X má binomické rozdělení s parametrem (n 1 + n 2, p). Potom Es X = (ps + (1 p)) n 1+n 2 = (ps + (1 p)) n1 (ps + (1 p)) n 2 = Es X1 Es X 2 = Es X 1+X 2. Tím je tvrzení dokázáno. 2. Necht náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení s parametrem λ 1 + λ 2. Potom Es X = e (λ 1+λ 2 )(s 1) = e λ 1(s 1) e λ 2(s 1) = Es X1 Es X 2 = Es X 1+X 2. Tím je tvrzení dokázáno. 44

45 3. Necht náhodná veličina X má negativně binomické rozdělení s parametrem r 1 + r 2 a parametry p, q. Potom Es X = p r 1+r 2 (1 qs) r 1 r 2 = p r 1 (1 qs) r1 p r 2 (1 qs) r 2 = Es X1 Es X 2 = Es X 1+X 2. Tím je tvrzení dokázáno. 45

46 Kapitola 6 Transformace náhodných veličin Začneme jednorozměrnou větou o transformaci. Věta 6.1. Necht spojitá reálná náhodná veličina X s hustotou f X skoro jistě nabývá hodnot z otevřené množiny U. Necht dále g je ryze monotónní reálná funkce na U, která má na U spojitou nenulovou derivaci, potom Y = g(x) je spojitá náhodná veličina s hustotou { f X (g 1 (y)) (g 1 ) (y), y g(u) f Y (y) = 0, jinak. Poznámka 6.2. Pokud explicitní vyjádření g 1 a (g 1 ) jsou přirozeně definovány na celém R, potom místo rozlišení případů y g(u) a y / g(u) můžeme vzorec z věty o transformaci vynásobit indikátorem množiny g(u) a tím dostaneme jednodušší vyjádření. Konkrétně to uvidíme již na dalším příkladě. Příklad 6.1. Necht náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení na intervalu (0, 1). Najděte rozdělení náhodné veličiny Y = X α, kde α > 0. Řešení. X má otevřený nosič (0, 1) a hustotu f X (x) = I (0,1) (x). Funkce g(x) = x α je rostoucí a má spojitou a nenulovou derivaci na intervalu (0, 1). Dále g 1 (y) = y 1/α, I (0,1) (y 1/α ) = I (0,1) (y) pro y (0, 1), g((0, 1)) = (0, 1), (g 1 ) (y) = 1 y 1 α α α = 1 y 1 α α. α 46

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika

NMAI059 Pravděpodobnost a statistika NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413

Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz Kovariance, momenty Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:,

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti

Více

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení

AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární

Více

1 Rozptyl a kovariance

1 Rozptyl a kovariance Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

Náhodný vektor a jeho charakteristiky

Náhodný vektor a jeho charakteristiky Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich

Více

Základy matematické analýzy

Základy matematické analýzy Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné

Více

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus

Více

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory

letní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika vektory Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 202 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Náhodný vektor často potřebujeme

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST

MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného

Více

Základy teorie množin

Základy teorie množin 1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a

Více

Náhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X

Náhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristiky často potřebujeme vyšetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické

Více

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y) 5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií

prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Pravděpodobnost a statistika Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií prof. RNDr. Roman Kotecký DrSc., Dr. Rudolf Blažek, PhD Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman Kotecký, 2011 Pravděpodobnost

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 7 R. Blažek, M. Jiřina, J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení

Více

1 Lineární prostory a podprostory

1 Lineární prostory a podprostory Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Podmíněné hustoty

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Podmíněné hustoty Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vladimír Krásný Podmíněné hustoty Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Jan Seidler,

Více

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která

Náhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho

Více

Statistika II. Jiří Neubauer

Statistika II. Jiří Neubauer Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,

Více

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.

Pojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu. 6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující

Více

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost

Náhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením

Více

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice

Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u

Více

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení

Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový

Více

TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose.

TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose. TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose. Kvůli těmto těžkostem se měření zúžilo jen na délku

Více

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4

Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 4 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015

Více

Náhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X

Náhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristik často potřebujeme všetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich

Více

Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice

Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální

Více

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III

Matematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost

Více

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1

Minikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1 Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.

Více

2. přednáška 8. října 2007

2. přednáška 8. října 2007 2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =

Více

TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA.

TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA. TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA. PAVEL RŮŽIČKA 4.1. (Kvazi)kompaktnost a sub-báze. Buď (Q, ) uspořádaná množina. Řetězcem v Q budeme rozumět lineárně

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení

NÁHODNÝ VEKTOR. 4. cvičení NÁHODNÝ VEKTOR 4. cvičení Náhodný vektor Náhodným vektorem rozumíme sloupcový vektor X=(X, X,, X n ) složený z náhodných veličin X, X,, X n, který je charakterizován sdruženým rozdělením pravděpodobnosti.

Více

K oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory

K oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2015/2016 PŘÍKLADY KE KAPITOLE I K oddílu I1 základní pojmy, normy, normované prostory Příklad 1 Necht X je reálný vektorový prostor a : X

Více

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin

z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin Příklady k procvičení z Matematické statistiky Poslední úprava. listopadu 207. Konvergence posloupnosti náhodných veličin. Necht X, X 2... jsou nezávislé veličiny s rovnoměrným rozdělením na [0, ]. Definujme

Více

Vícerozměrná rozdělení

Vícerozměrná rozdělení Vícerozměrná rozdělení 7. září 0 Učivo: Práce s vícerozměrnými rozděleními. Sdružené, marginální, podmíněné rozdělení pravděpodobnosti. Vektorová střední hodnota. Kovariance, korelace, kovarianční matice.

Více

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť

Více

9. Vícerozměrná integrace

9. Vícerozměrná integrace 9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných

Více

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R... Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -

Více

Základy teorie pravděpodobnosti

Základy teorie pravděpodobnosti Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC

KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC Přednáška 03 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky KMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC jiri.cihlar@ujep.cz Diskrétní rozdělení Důležitá diskrétní rozdělení pravděpodobnosti

Více

1 Soustavy lineárních rovnic

1 Soustavy lineárních rovnic 1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem

Více

Projekty - Úvod do funkcionální analýzy

Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt

Více

Přednáška 6, 6. listopadu 2013

Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,

Více

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé

Více

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední

Více

Intuitivní pojem pravděpodobnosti

Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost

Více

Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc.

Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Náhodné veličiny III Mgr. Rudolf Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký Dr.Sc. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Rudolf Blažek, Roman

Více

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.

Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B.

správně - A, jeden celý příklad správně - B, jinak - C. Pro postup k ústní části zkoušky je potřeba dosáhnout stupně A nebo B. Zkouška z předmětu KMA/PST. Anotace předmětu Náhodné jevy, pravděpodobnost, podmíněná pravděpodobnost. Nezávislé náhodné jevy. Náhodná veličina, distribuční funkce. Diskrétní a absolutně spojitá náhodná

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.

Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť. Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

15 Maticový a vektorový počet II

15 Maticový a vektorový počet II M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.

Více

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík Úvod do informatiky přednáška pátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní

Více

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.

a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,

Více

Definice : Definice :

Definice : Definice : KAPITOLA 7: Spektrální analýza operátorů a matic [PAN16-K7-1] Definice : Necht H je komplexní Hilbertův prostor. Řekneme, že operátor T B(H) je normální, jestliže T T = T T. Operátor T B(H) je normální

Více

10 Funkce více proměnných

10 Funkce více proměnných M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y

Více

Zobecněný Riemannův integrál

Zobecněný Riemannův integrál Zobecněný Riemannův integrál Definice (Zobecněný Riemannův integrál). Buď,,. Nechť pro všechna existuje určitý Riemannův integrál. Pokud existuje konečná limita, říkáme, že zobecněný Riemannův integrál

Více

11. Číselné a mocninné řady

11. Číselné a mocninné řady 11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +

Více

17. Posloupnosti a řady funkcí

17. Posloupnosti a řady funkcí 17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.

Více

Charakterizace rozdělení

Charakterizace rozdělení Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf

Více

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod

Více

Univerzita Karlova v Praze procesy II. Zuzana. funkce

Univerzita Karlova v Praze   procesy II. Zuzana. funkce Náhodné 1 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze email: praskova@karlin.mff.cuni.cz 11.-12.3. 2010 1 Outline Lemma 1: 1. Nechť µ, ν jsou konečné míry na borelovských

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Lineární algebra : Lineární prostor

Lineární algebra : Lineární prostor Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)

Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I) Matematická analýza pro informatiky I. 3. přednáška Limita posloupnosti (I) Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 25. února 2011 tomecek@inf.upol.cz

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Limita funkce

Matematická analýza pro informatiky I. Limita funkce Matematická analýza pro informatiky I. 5. přednáška Limita funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

Lineární algebra : Lineární (ne)závislost

Lineární algebra : Lineární (ne)závislost Lineární algebra : Lineární (ne)závislost (4. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií

Více

Zpracování náhodného vektoru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného vektoru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Př. 1: Cestující na vybraném spoji linky MHD byli dotazováni za účelem zjištění spokojenosti s kvalitou MHD. Legenda 1 Velmi spokojen Spokojen 3 Nespokojen 4 Velmi nespokojen

Více

Pravděpodobnost a statistika

Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost a statistika Náhodné vektory Vilém Vychodil KMI/PRAS, Přednáška 8 Vytvořeno v rámci projektu 2963/2011 FRVŠ V. Vychodil (KMI/PRAS, Přednáška 8) Náhodné vektory Pravděpodobnost a statistika

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1] KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus

Více

Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )

Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh   1. cvičení ( ) 2. cvičení ( ) Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem

Více