Seminární práce vzor 1 1) V tabulce jsou uvedeny údaje (smyšlené) o věku v dokončených letech a místě trvalého bydliště zaměstnanců jistého libereckého podniku k 1.1. 2008. a) Určete v obou případech, o jaký typ statistické proměnné se jedná. b) Údaje o místě trvalého bydliště zaměstnanců uspořádejte do tabulky rozdělení četností a alespoň jednu z absolutních i relativních četností interpretujte. c) Vhodnou charakteristikou charakterizujte úroveň a variabilitu hodnot dané proměnné a výsledky interpretujte! Graficky znázorněte! d) Údaje o věku roztřiďte do tabulky intervalového rozdělení četností a interpretujte vždy jednu z četností absolutních, relativních a kumulativních absolutních a relativních. K čemu slouží středy intervalů? Vhodným způsobem proměnnou graficky znázorněte! e) Vypočítejte průměrný věk a směrodatnou odchylku věku zaměstnanců a obě hodnoty interpretujte. f) U proměnné věk dále vypočítejte maximum, minimum, hodnoty všech kvartilů a na základě těchto hodnot zkonstruujte krabicový graf. g) Vypočítejte hodnoty prvního decilu, horního tercilu, posledního oktávilu a posledního kvintilu. Co tyto hodnoty v tomto konkrétním případě vyjadřují? Pořadové číslo Věk v dokončených letech Místo trvalého bydliště 1. 52 Liberec 2. 61 Liberec 3. 23 Jablonec n. N. 4. 19 Chrastava 5. 47 Liberec 6. 60 Liberec 7. 25 Liberec 8. 36 Liberec 9. 36 Hrádek n. N. 10. 48 Chrastava 11. 20 Chrastava 12. 19 Liberec 13. 55 Liberec 14. 51 Česká Lípa 15. 26 Liberec 16. 23 Hrádek n. N. 17. 18 Liberec 18. 44 Liberec 19. 41 Chrastava 20. 22 Jablonec n. N. 21. 37 Liberec 22. 47 Liberec 23. 54 Liberec 24. 40 Liberec 2) Rozptyl výdajů za plyn souboru domácností v určitém městě je 846 400 Kč 2. Kvantifikujte změnu směrodatné odchylky výdajů za plyn, jestliže cena plynu jednotně: a) zvýší se 1,2krát; b) vzroste o 200 Kč; c) sníží se o 3 %.
3) Náhodná veličina je počet porouchaných kopírek za směnu. Rozdělení pravděpodobnosti této náhodné veličiny je dáno tabulkou: x 0 1 2 3 P(x) 0,36 0,49 0,14 0,01 a) Určete hodnoty distribuční funkce této náhodné veličiny. b) Vypočítejte střední hodnotu této náhodné veličiny a výsledek interpretujte. c) Vypočítejte rozptyl a směrodatnou odchylku této náhodné veličiny a výsledky interpretujte. 4) V závodní jídelně velkého podniku se stravuje 900 zaměstnanců. Z tohoto souboru bylo náhodně vybráno 100 osob, které byly dotázány, zda by odebíraly kvalitnější ale dražší obědy. Kladně odpovědělo 42 zaměstnanců. Určete, kolik dražších obědů má jídelna připravit a) aby byli s pravděpodobností 0,90 uspokojeni všichni zájemci, b) nemá-li s pravděpodobností 0,95 žádný dražší oběd zbýt. 5) Ve sdělovacích prostředcích se uvádí, že průměrná doba, kterou týdně stráví děti ve věku 6 až 10 let u počítače, je minimálně 12 hodin. Odborníci s tímto názorem nesouhlasí, tvrdí, že průměrná doba, kterou děti v daném věku u počítače stráví, je nižší. V důsledku tohoto názorového sporu bylo provedeno výběrové šetření u 25 dětí ve věku 6 10 let. Byly zjištěny tyto údaje (v h týdně): 10 5,5 4 6,75 18 9,5 6 5,5 4 14,5 13 11,25 7 16,5 12,25 14 12 10 20 6 2 18 11,75 1,5 3 Ověřte na hladině významnosti 0, 05, zda je předpoklad, uváděný v tisku, správný. Předpokládáme, že týdenní počet hodin strávených u počítače, má normální rozdělení. 6) Vezměte hrací kostku a ověřte na hladině významnosti 1 % hypotézu, zda-li je kostka souměrná. Proveďte 60 hodů a četnost padnutí jednotlivých počtů ok zapište do tabulky. Na základě těchto údajů pak testujte, je-li kostka souměrná. Počet ok 1 2 3 4 5 6 Četnost
Seminární práce vzor 2 1) V tabulce jsou uvedeny údaje (smyšlené) o hrubém měsíčním příjmu a nejvyšším dokončeném vzdělání zaměstnanců jistého podniku k 1.1. 2008. a) Určete v obou případech, o jaký typ statistické proměnné se jedná. b) Údaje o nejvyšším dokončeném vzdělání zaměstnanců uspořádejte do tabulky rozdělení četností a alespoň jednu z absolutních i relativních četností a absolutních a relativních kumulativních četností interpretujte. c) Vhodnou charakteristikou charakterizujte úroveň a variabilitu hodnot dané proměnné a výsledky interpretujte! Graficky znázorněte! d) Údaje o hrubém měsíčním příjmu roztřiďte do tabulky intervalového rozdělení četností a interpretujte vždy jednu z četností absolutních, relativních a kumulativních absolutních a relativních. Jaký význam mají středy intervalů? Vhodným způsobem proměnnou graficky znázorněte! e) Vypočítejte aritmetický průměr a směrodatnou odchylku hrubého příjmu zaměstnanců a obě hodnoty interpretujte. f) U proměnné hrubý měsíční příjem dále vypočítejte maximum, minimum, hodnoty všech kvartilů a na základě těchto hodnot zkonstruujte krabicový graf. g) Vypočítejte hodnoty šestého decilu, prvního sextilu, devadesátého prvního percentilu a třetího oktávilu. Co tyto hodnoty v tomto konkrétním případě vyjadřují? Pořadové číslo Hrubý měsíční příjem v Kč Nejvyšší dokončené vzdělání 1. 9600 U 2. 25400 SŠ 3. 36500 VŠ 4. 10100 ZŠ 5. 17200 SŠ 6. 30200 U 7. 38900 VŠ 8. 15600 SŠ 9. 12300 U 10. 11900 U 11. 10800 ZŠ 12. 14100 U 13. 16700 VŠ 14. 13600 U 15. 12500 U 16. 18600 SŠ 17. 13300 SŠ 18. 12400 U 19. 14000 SŠ 20. 29500 VŠ 21. 11800 ZŠ 22. 22400 SŠ 23. 17400 VOŠ 24. 11900 ZŠ 25. 12800 U 26. 12900 U 27. 10600 ZŠ 28. 11400 U Pozn.: ZŠ = základní vzdělání, U = středoškolské bez maturity, SŠ = středoškolské vzdělání, VOŠ = vyšší odborné vzdělání, VŠ = vysokoškolské vzdělání.
2) Průměrná cena pánských obleků vyráběných určitou firmou je 6 000 Kč. Směrodatná odchylka cen obleků je 900 Kč. Vypočítejte, jak se změní variační koeficient cen obleků, jestliže ceny všech obleků : a) klesnou o 200 Kč; b) vzrostou 1,3krát; c) klesnou o 10 %. 3) Pravděpodobnost vyrobení pračky, která má vadu, je 0,06. Stanovte pravděpodobnost, že z 20 náhodně vybraných praček (uvažujme výběr s vracením) budou: a) právě 3 vadné; b) alespoň 5 vadných; c) bude maximálně 1 vadná. 4) Zastupitelé středně velkého města s 16 000 obyvateli chtějí znát názor občanů na obnovení provozu kinokavárny v prostorách kulturního střediska. Ve výběrovém šetření odpovídali respondenti na otázku, zda obnovit provoz kinokavárny, jednoduše ano/ne. Z celkového počtu 1 500 dotázaných občanů jich 540 vyjádřilo svůj nesouhlas. a) Zkonstruujte 95%-ní oboustranný interval spolehlivosti pro podíl obyvatel, kteří souhlasí s obnovením provozu kinokavárny. b) Jaký je možné očekávat maximální počet občanů města, kteří s obnovením provozu kinokavárny nesouhlasí, se spolehlivostí 0,99? 5) Ve sdělovacích prostředcích se uvádí, že děti ve věku 10 až 15 let stráví u počítače průměrně 14 hodin týdně. Odborníci s tímto názorem nesouhlasí, tvrdí, že průměrná doba, kterou děti v daném věku u počítače stráví, je vyšší. V důsledku tohoto názorového sporu bylo provedeno výběrové šetření u 35 dětí ve věku 10 15 let. Byly zjištěny tyto údaje (v h týdně): 6,5 15,75 18 15,25 20 32 14,5 2,5 3,5 1,25 16 21 22 17,5 10 10,5 9,75 8 10,75 11 19 12 13,5 24 28 2 12 11,75 10,5 9 7,25 8,5 6,5 4 1 Ověřte na hladině významnosti 0,05, zda je předpoklad, uváděný v tisku, správný. Předpokládáme, že týdenní počet hodin strávených u počítače, má normální rozdělení. 6) Vezměte hrací kostku a ověřte na hladině významnosti 1 % hypotézu, zda-li je kostka souměrná. Proveďte 50 hodů a četnost padnutí jednotlivých počtů ok zapište do tabulky. Na základě těchto údajů pak testujte, je-li kostka souměrná. Počet ok Četnost 1 2 3 4 5 6
Seminární práce vzor 3 1) V tabulce jsou uvedeny údaje (smyšlené) o počtu let praxe a rodinném stavu zaměstnanců jistého podniku k 1.1. 2008. a) Určete v obou případech, o jaký typ statistické proměnné se jedná. b) Údaje o rodinném stavu zaměstnanců uspořádejte do tabulky rozdělení četností a alespoň jednu z absolutních a relativních četností interpretujte. c) Vhodnou charakteristikou charakterizujte úroveň a variabilitu hodnot dané proměnné a výsledky interpretujte! Graficky znázorněte! d) Údaje o počtu let praxe roztřiďte do tabulky intervalového rozdělení četností a interpretujte vždy jednu z četností absolutních, relativních a kumulativních absolutních a relativních. Jakou funkci mají středy intervalů? Vhodným způsobem proměnnou graficky znázorněte! e) Vypočítejte aritmetický průměr a směrodatnou odchylku počtu let praxe zaměstnanců a obě hodnoty interpretujte. f) U proměnné počet let praxe dále vypočítejte maximum, minimum, hodnoty všech kvartilů a na základě těchto hodnot zkonstruujte krabicový graf. g) Vypočítejte hodnoty sedmého percentilu, dolního tercilu, čtvrtého nonilu a posledního decilu. Co tyto hodnoty v tomto konkrétním případě vyjadřují? Pořadové Počet let číslo praxe Rodinný stav 1. 16 ženatý/vdaná 2. 20 ženatý/vdaná 3. 2 ženatý/vdaná 4. 1 svobodný(á) 5. 15 ženatý/vdaná 6. 5 svobodný(á) 7. 7 ženatý/vdaná 8. 7 rozvedený(á) 9. 12 ženatý/vdaná 10. 24 ovdovělý(á) 11. 30 ženatý/vdaná 12. 3 svobodný(á) 13. 2 svobodný(á) 14. 24 ženatý/vdaná 15. 11 ženatý/vdaná 16. 12 ženatý/vdaná 17. 4 rozvedený(á) 18. 4 svobodný(á) 19. 21 rozvedený(á) 20. 32 ovdovělý(á) 21. 6 rozvedený(á) 22. 9 ovdovělý(á) 23. 17 svobodný(á) 24. 9 rozvedený(á) 25. 20 ženatý/vdaná 26. 4 svobodný(á) 27. 14 ženatý/vdaná 28. 1 svobodný(á) 29. 2 svobodný(á) 30. 26 ovdovělý(á) 31. 29 ženatý/vdaná 32. 10 ovdovělý(á) 33. 5 ženatý/vdaná 34. 8 svobodný(á)
2) Co se stane s aritmetickým průměrem, rozptylem, směrodatnou odchylkou, mediánem a rozsahem souboru, jestliže se každá hodnota statistického souboru : a) zvětší o 5; b) zvětší 2x; c) zmenší o 10%? 3) V dodávce 40 myček je jich 5 nekvalitních. Stanovte pravděpodobnost, že při náhodném výběru 2 myček budou obě vadné. Uvažujte: a) výběr s vracením b) výběr bez vracení. 4) Výrobce jogurtů udává u jogurtů o hmotnosti 125 g směrodatnou odchylku 5 g. Při ověřování přesnosti plnění jogurtů bylo náhodně vybráno 25 jogurtů a zjištěny tyto hodnoty (v g): 126,0 127,5 125,1 128,2 125,5 125,9 126,3 127,4 125,0 124,8 124,5 125,6 126,3 123,5 124,6 125,8 127,4 128,1 127,4 125,6 126,8 126,2 125,2 124,5 125,0 a) Sestrojte 99%-ní oboustranný interval spolehlivosti pro očekávanou hmotnost jogurtu. b) Jaká přesnost odhadu střední hmotnosti jogurtu by byla zaručena se spolehlivostí 0,95? c) Určete, v jakých mezích lze s pravděpodobností 0,95 očekávat směrodatnou odchylku hmotnosti jogurtů. 5) Výrobce vyrábí sušenky s různými příchutěmi. Tyto sušenky jsou baleny do balíčků s předepsanou hmotností 100 g. Balíčky plní automat, který je seřízen tak, aby směrodatná odchylka hmotnosti balíčku byla maximálně 5 g. V nedávné době došlo k poruše na balícím automatu a výrobce chce po opravě zjistit, zda nedošlo ke zhoršení přesnosti při plnění balíčků, tj. zda se směrodatná odchylka hmotnosti balíčků sušenek nezvýšila. Předpokládáme, že hmotnost balíčků sušenek je náhodná veličina s normálním rozdělením. Bylo náhodně vybráno 20 balíčků sušenek a zjištěny tyto hmotnosti v g: 103,5 104,9 100,2 95,3 107,6 106,9 108,0 95,8 108,2 94,1 105,3 100, 0 106,5 107,1 99,8 106,8 107,2 104,3 100,6 108,3 Proveďte rozhodnutí na hladině významnosti 0,01.
6) Výrobce dřevěných párátek tvrdí, že v každé krabičce zákazník napočítá 100 párátek. V náhodně vybraných 150 krabičkách bylo zjištěno následující rozdělení četností počtu párátek chybějících do 100. Počet chybějících párátek Počet krabiček 0 11 1 22 2 34 3 31 4 25 5 13 6 6 7 5 8 a více 3 Celkem 150 Na hladině významnosti 5 % ověřte domněnku, že počet chybějících párátek v krabičce má Poissonovo rozdělení s parametrem 3.
Seminární práce vzor 4 1) V tabulce jsou uvedeny údaje (smyšlené) o výši měsíčních výdajů na domácnost a postavení v zaměstnání zaměstnanců jistého podniku k 1.1. 2008. a) Určete v obou případech, o jaký typ statistické proměnné se jedná. b) Údaje o postavení v zaměstnání uspořádejte do tabulky rozdělení četností a alespoň jednu z absolutních, relativních a kumulativních četností interpretujte. c) Vhodnou charakteristikou charakterizujte úroveň a variabilitu hodnot dané proměnné a výsledky interpretujte! Graficky znázorněte! d) Údaje o měsíčních výdajích na domácnost roztřiďte do tabulky intervalového rozdělení četností a interpretujte vždy jednu z četností absolutních, relativních a kumulativních absolutních a relativních. Jakou funkci mají středy intervalů? Vhodným způsobem proměnnou graficky znázorněte! e) Vypočítejte aritmetický průměr a směrodatnou odchylku měsíčních výdajů na domácnost a obě hodnoty interpretujte. f) U proměnné měsíční výdaje na domácnost dále vypočítejte maximum, minimum, hodnoty všech kvartilů a na základě těchto hodnot zkonstruujte krabicový graf. g) Vypočítejte hodnoty třetího oktávilu, pátého percentilu, horního tercilu a druhého nonilu. Co tyto hodnoty v tomto konkrétním případě vyjadřují? Pořadové číslo Měsíční výdaje na domácnost v Kč Postavení v zaměstnání 1. 25500 TOP 2. 18200 T 3. 12300 D 4. 14000 O 5. 11100 D 6. 10900 D 7. 23400 T 8. 30500 TOP 9. 22200 T 10. 21600 T 11. 16900 O 12. 13800 D 13. 17400 O 14. 19600 T 15. 12500 D 16. 13300 D 17. 12100 D 18. 21200 O 19. 23400 TOP 20. 29800 TOP 21. 37000 TOP 22. 15200 T 23. 14100 O 24. 10500 D 25. 12400 O 26. 10100 D 27. 12100 D 28. 11400 D 29. 16800 T 30. 18000 T Pozn : TOP = top management, T = taktický management, O = operativní management, D = dělník.
2) Textilka vlastní tři typy stavů A, B, C. Stav A dokáže 1 m tkaniny utkat za 28 min, stav B za 18 min a stav C za 15 min. Stavů typu A má podnik 20 ks, typu B 15 ks a typu C 8 ks. Vypočítejte, jaká je průměrná doba utkání 1 m látky, pracují-li všechny stavy současně. Kolik tkaniny utkají za směnu (8 h)? 3) Sadař má v úmyslu rozšířit svůj ovocný sad a proto nakoupil 20 sazenic jabloní. Špatným skladováním došlo k tomu, že 4 sazenice zaschly. Jaká je pravděpodobnost, že při náhodném výběru (bez vracení) 4 sazenic budou: a) všechny dobré; b) všechny zaschlé? 4) Výrobce jogurtů udává u jogurtů o hmotnosti 125 g směrodatnou odchylku 5 g. Při ověřování přesnosti plnění jogurtů bylo náhodně vybráno 25 jogurtů a zjištěny tyto hodnoty (v g): 126,0 127,5 125,1 128,2 125,5 125,9 126,3 127,4 125,0 124,8 124,5 125,6 126,3 123,5 124,6 125,8 127,4 128,1 127,4 125,6 126,8 126,2 125,2 124,5 125,0 a) Sestrojte 99%-ní oboustranný interval spolehlivosti pro očekávanou hmotnost jogurtu. b) Jaká přesnost odhadu střední hmotnosti jogurtu by byla zaručena se spolehlivostí 0,95? c) Určete, v jakých mezích lze s pravděpodobností 0,95 očekávat směrodatnou odchylku hmotnosti jogurtů. 5) Zaměstnanci tiskárny v rámci své práce slepují krabice a krabičky. U každého zaměstnance byl sledován počet ks krabic, který se rozlepil během cesty k odběrateli. Bylo zjištěno, že se v průměru rozlepily 4 krabice a rozptyl počtu rozlepených krabic byl 3,24. Po proškolení zaměstnanců bylo šetření provedeno znovu a zjistilo se, že rozptyl počtu rozlepených krabic je 2,89. Toto šetření se uskutečnilo u 25 vzorků. Lze na hladině významnosti 5 % tvrdit, že se po proškolení zaměstnanců rozptyl počtu rozlepených krabic snížil? 6) Výrobce dřevěných párátek tvrdí, že v každé krabičce zákazník napočítá 100 párátek. V náhodně vybraných 90 krabičkách bylo zjištěno následující rozdělení četností počtu párátek chybějících do 100. Počet chybějících párátek 0 1 2 3 4 5 Celkem Počet krabiček 10 32 28 11 6 3 90 Na hladině významnosti 1 % ověřte domněnku, že počet chybějících párátek v krabičce má Binomické rozdělení s parametry n 12 a 0,4.
Seminární práce vzor 5 1) V tabulce jsou uvedeny údaje (smyšlené) o počtu nezaopatřených dětí a místu narození zaměstnanců jistého podniku k 1.1. 2008. a) Určete v obou případech, o jaký typ statistické proměnné se jedná. b) Údaje o místě narození zaměstnanců uspořádejte do tabulky rozdělení četností a alespoň jednu z absolutních a relativních četností interpretujte. c) Vhodnou charakteristikou charakterizujte úroveň a variabilitu hodnot dané proměnné a výsledky interpretujte! Graficky znázorněte! d) Údaje o počtu nezaopatřených dětí roztřiďte do tabulky rozdělení četností a interpretujte vždy jednu z četností absolutních, relativních a kumulativních absolutních a relativních. Vhodným způsobem proměnnou graficky znázorněte! e) Vypočítejte průměrný počet nezaopatřených dětí a směrodatnou odchylku počtu nezaopatřených dětí zaměstnanců a obě hodnoty interpretujte. f) U proměnné počet nezaopatřených dětí dále vypočítejte maximum, minimum, hodnoty všech kvartilů a na základě těchto hodnot zkonstruujte krabicový graf. g) Vypočítejte hodnoty třetího decilu, horního tercilu, prvního oktávilu a posledního kvintilu. Co tyto hodnoty v tomto konkrétním případě vyjadřují? Pořadové číslo Počet nezaopatřených dětí Místo narození 1. 2 Liberec 2. 0 Chotyně 3. 3 Liberec 4. 1 Tanvald 5. 1 Varnsdorf 6. 1 Rumburk 7. 2 Liberec 8. 0 Liberec 9. 2 Liberec 10. 1 Varnsdorf 11. 3 Rumburk 12. 1 Děčín 13. 1 Rumburk 14. 0 Liberec 15. 1 Rumburk 16. 2 Liberec 17. 2 Rumburk 18. 4 Liberec 19. 1 Varnsdorf 20. 1 Rumburk 21. 1 Liberec 22. 0 Děčín 23. 0 Děčín 24. 1 Liberec 25. 2 Liberec 26. 2 Děčín
2) Tři spolužáci ze střední školy se rozhodli přivydělat si česáním jablek. Tomáš dokáže koš jablek načesat za 6 min, Mojmír za 12 min a Vilém za 8 min. Vypočítejte, jaká doba je v průměru potřeba k načesání 1 koše jablek, pracují-li spolužáci současně. Dále určete, kolik košů jablek spolužáci natrhají za osmihodinovou pracovní dobu. 3) Náhodná veličina X má normální rozdělení se střední hodnotou Určete pravděpodobnost, že tato náhodná veličina nabude hodnoty 26 a rozptylem 2 81. a) maximálně 26, b) alespoň 17, c) z intervalu (25,32). 4) Ze základního souboru 50 000 strojově balených marcipánových bonbonů bylo náhodně vybráno 35 bonbonů. Údaje o jejich hmotnosti v gramech jsou následující: 49,8 50,1 51,0 50,5 51,1 48,9 51,2 50,2 50,6 50,9 50,1 50,8 50,7 49,8 50,1 50,0 51,0 49,9 50,2 50,3 49,7 50,2 50,6 51,4 51,0 50,4 50,9 51,1 50,4 49,9 50,0 50,2 50,6 50,4 51,3 a) Sestrojte 90%-ní a 99%-ní interval spolehlivosti pro očekávanou hmotnost marcipánových bonbonů. b) Zdůvodněte rozdíl mezi oběma intervaly spolehlivosti. c) Zaměřme se nyní na 99%-ní interval spolehlivosti průměrné hmotnosti bonbonů. Řekněme, že šíři tohoto intervalu považujeme za příliš velkou a požadujeme při zachování stejné spolehlivosti, aby šíře intervalu nepřesáhla hodnotu 1 g. Jaký by tedy musel být pro zajištění stanovených podmínek rozsah výběrového souboru? Předpokládáme, že hmotnost marcipánových bonbonů je náhodná veličina řídící se normálním rozdělením. 5) Zaměstnanci tiskárny v rámci své práce slepují krabice a krabičky. U každého zaměstnance byl sledován počet ks krabic, který se rozlepil během cesty k odběrateli. Bylo zjištěno, že se v průměru rozlepily 4 krabice a rozptyl počtu rozlepených krabic byl 3,24. Po proškolení zaměstnanců bylo šetření provedeno znovu a zjistilo se, že rozptyl počtu rozlepených krabic je 2,89. Toto šetření se uskutečnilo u 25 vzorků. Lze na hladině významnosti 5 % tvrdit, že se po proškolení zaměstnanců rozptyl počtu rozlepených krabic snížil? 6) Vezměte hrací kostku a ověřte na hladině významnosti 5 % hypotézu, zda-li je kostka souměrná. Proveďte 70 hodů a četnost padnutí jednotlivých počtů ok zapište do tabulky. Na základě těchto údajů pak testujte, je-li kostka souměrná. Počet ok Četnost 1 2 3 4 5 6
Seminární práce vzor 6 1) V tabulce jsou uvedeny údaje (smyšlené) o počtu členů domácnosti a typu bydlení zaměstnanců jistého podniku k 1.1. 2008. a) Určete v obou případech, o jaký typ statistické proměnné se jedná. b) Údaje o typu bydlení zaměstnanců uspořádejte do tabulky rozdělení četností a alespoň jednu z absolutních i relativních četností interpretujte. c) Vhodnou charakteristikou charakterizujte úroveň a variabilitu hodnot dané proměnné a výsledky interpretujte! Graficky znázorněte! d) Údaje o počtu členů domácnosti roztřiďte do tabulky rozdělení četností a interpretujte vždy jednu z četností absolutních, relativních a kumulativních absolutních a relativních. Vhodným způsobem proměnnou graficky znázorněte! e) Vypočítejte aritmetický průměr a směrodatnou odchylku počtu členů domácnosti zaměstnanců a obě hodnoty interpretujte. f) U proměnné počet členů domácnosti dále vypočítejte maximum, minimum, hodnoty všech kvartilů a na základě těchto hodnot zkonstruujte krabicový graf. g) Vypočítejte hodnoty sedmého decilu, prvního sextilu, osmdesátého druhého percentilu a třetího oktávilu. Co tyto hodnoty v tomto konkrétním případě vyjadřují? Pořadové Počet členů číslo domácnosti Typ bydlení 1. 4 P 2. 4 D 3. 5 D 4. 7 D 5. 1 Č 6. 2 Ř 7. 2 Ř 8. 4 P 9. 4 D 10. 5 P 11. 1 P 12. 2 P 13. 2 P 14. 2 Ř 15. 3 P 16. 4 D 17. 3 Č 18. 7 D 19. 1 P 20. 2 P 21. 2 P 22. 4 P 23. 3 D 24. 3 Ř 25. 4 P 26. 2 Č 27. 4 D 28. 3 P 29. 4 P 30. 5 D Pozn.: Č byt v činžovním domě, P byt v panelovém domě, Ř řadový domek, D samostatně stojící dům
2) Lukáš si střádá do kasičky drobné mince v hodnotě 1, 2 a 5 Kč. Pokud bude chtít peníze dostat z kasičky, musí ji rozbít. Při náhlé potřebě částky 5 Kč se rozhodl mince vyklepat z kasičky malým otvorem, kudy se vhazují dovnitř. Jaká je pravděpodobnost, že vysype postupně mince v hodnotě 2, 2, a 5 Kč, víme-li, že nastřádal 26 korun, 18 dvoukorun a 32 pětikorun? 3) Náhodná veličina X se řídí exponenciálním rozdělením se střední hodnotou 10 a rozptylem 16. Jaká je pravděpodobnost, že tato náhodná veličina nabude hodnoty: a) z intervalu <10, 20>, b) maximálně 18, c) minimálně 24? 4) Ze základního souboru 50 000 strojově balených marcipánových bonbonů bylo náhodně vybráno 35 bonbonů. Údaje o jejich hmotnosti v gramech jsou následující: 49,8 50,1 51,0 50,5 51,1 48,9 51,2 50,2 50,6 50,9 50,1 50,8 50,7 49,8 50,1 50,0 51,0 49,9 50,2 50,3 49,7 50,2 50,6 51,4 51,0 50,4 50,9 51,1 50,4 49,9 50,0 50,2 50,6 50,4 51,3 a) Sestrojte 90%-ní a 99%-ní interval spolehlivosti pro očekávanou hmotnost marcipánových bonbonů. b) Zdůvodněte rozdíl mezi oběma intervaly spolehlivosti. c) Zaměřme se nyní na 99%-ní interval spolehlivosti průměrné hmotnosti bonbonů. Řekněme, že šíři tohoto intervalu považujeme za příliš velkou a požadujeme při zachování stejné spolehlivosti, aby šíře intervalu nepřesáhla hodnotu 1 g. Jaký by tedy musel být pro zajištění stanovených podmínek rozsah výběrového souboru? Předpokládáme, že hmotnost marcipánových bonbonů je náhodná veličina řídící se normálním rozdělením. 5) Výrobci automobilů došla zásilka automobilových komponentů od jistého dodavatele. Výrobce je s dodavatelem dohodnut, že dodávku odmítne, pokud bude obsahovat méně než 90 % kvalitních výrobků. Bylo zkontrolováno 50 výrobků a zjištěno, že 4 jsou nekvalitní. Odmítne výrobce danou zásilku? Uvažujte 1%-ní hladinu významnosti.
6) Matějovi se porouchal mobilní telefon. Dal ho do opravy a musí čekat cca 30 dnů, než mu přístroj opraví. Protože ale potřebuje být kvůli svému zaměstnání stále v kontaktu, rozhodl se, že si pořídí starší telefon z bazaru. Navštívil jeden bazar v Chomutově, kde bydlí, a zjistil, že požadovaný typ telefonu tam mají ve 12 exemplářích za tyto ceny (v Kč): 1490 1450 1600 2250 1000 1070 1800 1360 1400 1200 1230 1550 Protože měl v úmyslu podniknout pracovní cestu do Prahy, žádný telefon v Chomutově nekoupil a rozhodl se, že navštíví některý z bazarů v Praze. Tam našel 14 exemplářů stejného typu za tyto ceny (v Kč): 2050 2550 2370 2400 1800 1990 2100 2000 1950 2350 2150 1900 2100 2200 Po tomto zjištění nabyl dojmu, že si měl telefon raději koupit v Chomutově. Je jeho dojem správný? Za účelem ověření Matějova názoru posuďte na hladině významnosti 5 %, zda průměrná cena starších telefonů v Chomutově je nižší než v Praze. Předpokládejte, že cena telefonu je náhodná veličina, která se řídí normálním rozdělením. Nezapomeňte posoudit shodu rozptylů! Výsledky interpretujte!
Seminární práce vzor 7 1) V tabulce jsou uvedeny údaje (smyšlené) o počtu dnů dovolené a vystudovaném oboru zaměstnanců jistého podniku k 1.1. 2008. a) Určete v obou případech, o jaký typ statistické proměnné se jedná. b) Údaje o vystudovaném oboru uspořádejte do tabulky rozdělení četností a alespoň jednu z absolutních a relativních četností interpretujte. c) Vhodnou charakteristikou charakterizujte úroveň a variabilitu hodnot dané proměnné a výsledky interpretujte! Graficky znázorněte! d) Údaje o počtu dnů dovolené roztřiďte do tabulky intervalového rozdělení četností a interpretujte vždy jednu z četností absolutních, relativních a kumulativních absolutních a relativních. Jakou funkci mají středy intervalů? Vhodným způsobem proměnnou graficky znázorněte! e) Vypočítejte aritmetický průměr a směrodatnou odchylku měsíčních výdajů na domácnost a obě hodnoty interpretujte. f) U proměnné počet dnů dovolené dále vypočítejte maximum, minimum, hodnoty všech kvartilů a na základě těchto hodnot zkonstruujte krabicový graf. g) Vypočítejte hodnoty třetího oktávilu, pátého percentilu, horního tercilu a druhého nonilu. Co tyto hodnoty v tomto konkrétním případě vyjadřují? Pořadové číslo Počet dnů dovolené Vystudovaný obor 1. 20 umělecký 2. 25 strojní 3. 23 zemědělský 4. 26,5 ekonomický 5. 32 ekonomický 6. 39 stavební 7. 41 strojní 8. 20 zemědělský 9. 24 ekonomický 10. 29 ekonomický 11. 30 stavební 12. 22 ekonomický 13. 22 informatika 14. 21 zemědělský 15. 29,5 umělecký 16. 21,5 ekonomický 17. 24 zemědělský 18. 31 umělecký 19. 31,5 informatika 20. 21 stavební 21. 36 informatika 22. 37 strojní 23. 24 strojní 24. 20 ekonomický 25. 20 ekonomický 26. 20,5 informatika 27. 33,5 ekonomický 28. 20 strojní 29. 40 strojní 30. 21 ekonomický 31. 26 ekonomický 32. 25,5 strojní 33. 27 ekonomický 34. 21 informatika 35. 22 stavební 36. 20 ekonomický
2) Máme k dispozici 32 dobře zamíchaných karet. Náhodně bez vracení vytáhneme 4 karty. Jaká je pravděpodobnost, že vytáhneme 4 krále? Jaká by byla tato pravděpodobnost, kdybychom uvažovali, že po každém tahu vracíme kartu zpět? 3) Náhodná veličina má rozdělení s hustotou pravděpodobnosti f x cx 3 =0 pro -1 < x < 3, pro ostatní x. Vypočítejte: a) konstantu c, b) rozptyl X, c) distribuční funkci F (x). 4) Výrobce jogurtů udává u jogurtů o hmotnosti 150 g směrodatnou odchylku 5 g. Při ověřování přesnosti plnění jogurtů bylo náhodně vybráno 30 jogurtů a zjištěny tyto hodnoty (v g): 150,1 148,5 149,5 150,8 151,0 150,2 152,3 151,1 149,6 147,9 151,4 152,6 152,4 149,9 150,0 150,3 148,4 148,6 150,5 151,2 153,0 152,7 150,2 150,0 149,0 149,8 150,4 150,7 151,7 150,9 a) Sestrojte 95%-ní oboustranný interval spolehlivosti pro očekávanou hmotnost jogurtu. b) Jaká přesnost odhadu střední hmotnosti jogurtu by byla zaručena se spolehlivostí 0,99? c) Určete, v jakých mezích lze s pravděpodobností 0,90 očekávat směrodatnou odchylku hmotnosti jogurtů. 5) Majitel restaurace zjistil, že v době oběda (11 14h) navštíví podnik 20% zákazníků, kteří si oběd nedají. Rozhodl se rozšířit nabídku poledních jídel a menu a poté provedl další průzkum, kdy zjistil, že z 86 zákazníků si oběd v době 11 14 h dalo 70 zákazníků. Lze s pravděpodobností 99% tvrdit, že se podíl zákazníků, kteří si v době 11 14h nedali oběd, snížil? 6) Máme k dispozici údaje o spotřebě vody v jednom cyklu mytí v litrech u 18 myček dvou různých značek (A a B). Výrobce značky B tvrdí, že jeho myčky mají průměrnou spotřebu vody nižší, než myčky od výrobce A. Rozhodněte na hladině významnosti 5 %, zda je tvrzení výrobce B pravdivé. Spotřeba vody (l) Značka A 14 17 16 15 16 14 17 15 15 17 18 15 14 14 14 15 16 17 Spotřeba vody (l) Značka B 13 16 15 15 13 14 14 13 15 16 15 14 13 13 14 15 14 16