ÚLOHA VEDENÍ TEPLA ŘEŠENÁ POMOCÍ MKP A MHP

VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta strojní Katedra pružnosti a pevnosti (339) MKP a MHP (Úlohy pro samostatnou práci studentů) ÚLOHA VEDENÍ TEPLA ŘEŠENÁ POMOCÍ MKP A MHP Autoři: Martin Fusek, Radim Halama, Jaroslav Rojíček Verze: 0 Ostrava 2007

1 Zadání úlohy t=0 u=0 B A 0.25 t=1 t=0 1 Obr. 1 Úprava nosníku na rovinnou úlohu. Řešte úlohu vedení tepla stěnou tloušťky 1 pomocí MHP a MKP. Rozměry řešené oblasti a okrajové podmínky jsou zřejmé z obr.1. Uvažujte smíšené okrajové podmínky, na levém okraji je předepsána nulová teplota, na pravém pak jednotkový teplotní tok směřující ven z oblasti. Pro diskretizaci použijte tentokrát kvadratické prvky. Uvažujte izotropní homogenní materiál stěny s tepelnou vodivostí rovnou 1 W/mK. Kromě kompletního rozložení teploty, zkoumejte také hodnoty teploty získané MKP a MHP v bodech A a B z obr.1. K řešení využijte program Ansys, program založený na MHP z knihy G.Beera Programming the Boundary Element Method a APDL Pre/PostProcessor ze cvičení předmětu MKP a MHP (http://www.339.vsb.cz/). 2 Popis řešení MHP Před samotným řešením je nutné rozbalení souboru MHP.zip umístěného na internetových stránkách Katedry pružnosti a pevnosti VŠB-TUO (http://www.339.vsb.cz/) v pracovním adresáři Ansysu (Working directory). Preprocessing Řešení MHP se zahájí instalací pomocných tlačítek, která se odkazují na makra APDL. V Input okně se zadá: NACTI.MAC Pro zobrazení tlačítek (Obr.2) je nutné vybrat položku: Ansys Utility menu (AUM) > MenuCtrls > Update Toolbar Obr. 2 Pomocná tlačítka APDL Pre/PostProcessoru pro MHP 2/12

V dalším postupu se budou vytvořená tlačítka používat postupně z leva doprava. Po stisknutí tlačítka MHP_UVOD se zadají základní volby pro řešení dle Obr. 3. Obr. 3 Úvodní volby zobrazené po stisknutí tlačítka MHP_UVOD Dále se lze držet instrukcí na obrazovce. Pro vytvoření sítě hraničních prvků se v Ansysu zvolí typ prvku SURF151: Preprocessor > Element Type > Add/Edit/Delete /PREP7 ET,1,SURF151 Defaultně jsou nastaveny prvky s meziuzly, které jsou v zadání vyžadovány (uvažují se parabolické hraniční prvky). Pro případné ověření konvergence MHP je výhodné zavést parametry definující rozměry a délku prvku před tvorbou sítě: *SET,h,0.25 *SET,L,1 *SET,deleni,0.25 Nyní lze vytvořit geometrický model stěny. Vygeneruje se obdélníková plocha L x h : Preprocessor > Modeling > Create > Areas > Rectangle > By Dimensions RECTNG,0,L,0,h Následuje tvorba sítě prvků na hranici. Bude uvažován jeden prvek na výšku (rovnoměrná délka elementu 0.25m): Preprocessor > Meshing > Size Cntrls > Manual Size > Global > Size... ESIZE,deleni,0, Preprocessor > Meshing > Mesh > Lines LMESH,ALL Vygenerováno bylo 10 prvků s celkem 20-ti uzly. Pokračuje se stisknutím tlačítka MHP_SIT (vypsání zadaných údajů a informací o síti do souboru INPUT.TXT). Dulezite je definovani oblasti, která se má řešit. V řešeném případě směřují normály prvku dovnitř řešené oblasti zada se 1 (Obr.4). Pokud by bylo úkolem řešení úlohy vedení tepla v nekonečné desce s obdélníkovým otvorem L x h bylo by nutné zadat hodnotu 2. 3/12

Obr. 4 Definice řešené oblasti Obr. 5 Instrukce pro zadání okrajových podmínek Jak již bylo zmíněno v předchozích příkladech, používaný program MHP umožňuje zadat okrajové podmínky v uzlech každého prvku, a to buď Neumannovu okrajovou podmínku (u úlohy vedení tepla teplotní tok) nebo Dirichletovu okrajovou podmínku (u teplotní úlohy teplota). Na jednom prvku může být však zadána okrajová podmínka jen jednoho typu. Navíc je u daného programu použit předpoklad, že na prvcích s nedefinovanou okrajovou podmínkou je nulová Neumanova okrajová podmínka. U teplotní úlohy nebyla připravena pomocná makra pro vizuální aplikaci okrajových podmínek, proto je nutné zadání přímo do souboru INPUT (viz ohlášení v Ansysu z obr.5). V pracovním adresáři se tedy otevře soubor INPUT.TXT (dvojklikem) a na konec se dopíší řádky definující okrajové podmínky (obr.7). Čísla prvků, pro které se musí definovat okrajové podmínky zjistíme v Ansysu nastavením: Ansys utility menu (AUM) > PlotCtrls > Numbering... (Element Numbers) /PNUM,ELEM,1 /REPLOT Srovnáním získaného číslování prvků (obr.6) a zadání (obr.1) lze vyčíst, že Dirichletova okrajová podmínka bude na prvku 10 a nenulová Neumanova na prvku 5. 4/12

Obr. 6 Číslování prvků Obr. 7 Soubor INPUT.TXT po zapsání okrajových podmínek Ještě je vhodné zmínit, že kladná hodnota teplotního toku je uvažována, jestliže tento směřuje dovnitř řešené oblasti, proto je u daného příkladu nutné zadat hodnotu -1 pro prvek 5 (obr.7). Po doplnění údajů do souboru INPUT.TXT a smazání přípony TXT souboru již lze spustit program prog71.exe a získat tak výsledky teploty a teplotního toku v uzlech prvků na povrchu (v souboru BERESULTS obr.8). Obr. 8 Soubor BERESULTS s výsledky v bodech na povrchu Na obr.8 je zakroužkována požadovaná hodnota teploty v uzlu umístěném v místě A definovaném v zadání (obr.1). Získané výsledky budou komentovány až v závěru srovnáním s výsledky MKP a analytickým řešením. 3 Popis řešení MKP Příprava konečnoprvkového modelu Na úvod je nutné definovat typ prvku (např. PLANE77). Preprocessor > Element Type > Add/Edit/Delete ET,2,PLANE77 Nyní je nutné zadat materiálové vlastnosti. Dle pokynů v zadání bude uvažován homogenní isotropní materiál s tepelnou vodivostí rovnou 1 W/mK (obr.9): Preprocessor > Material Props > Material Models MPTEMP,,,,,,,, MPTEMP,1,0 MPDATA,KXX,1,,1 5/12

Obr. 9 Zadání materiálových vlastností Pro následnou tvorbu sítě je nutné změnit atributy pro síťování: Preprocessor > Meshing > Mesh attributes > Default Attribs TYPE,2 Preprocessor > Meshing > Mesh > Areas > Mapped > 3 or 4 sided AMESH,ALL Nyní je nutné aplikovat okrajové podmínky, nejprve například nulovou telotu na levém okraji (obr.11): Preprocessor > Loads > Define Loads > Apply > Temperature > On nodes LSEL,S,,,4 NSLL,S D,ALL,,,,,,TEMP ALLSEL,ALL Před aplikací tepelného toku je vhodné vrátit se k obr.6. Musí se totiž zobrazit souřadný systém prvků, aby se správně zvolilo znaménko zadávané hodnoty. Kladná hodnota tepelného toku znamená, že bude tento směřovat dovnitř prvku (ve smyslu osy Y souřadného systému prvku SURF151). Na prvek 5 se tedy zadá hodnota tepelného toku -1 W/mK (obr.10). Preprocessor > Loads > Define Loads > Apply > Heat Flux > On elements SFE,5,1,HFLUX,,-1 Obr. 10 Aplikování tepelného toku na prvek číslo 5 6/12

Po zobrazení uzlů se získá obr.11. NPLO Obr. 11 Zobrazení zadaných okrajových podmínek Před spuštěním výpočtu je ještě nutné povolit transfer tepelného toku u prvků SURF151. Nastavení se provede pomocí keyoptionu 8 (obr.12): Preprocessor > Element Type > Add/Edit/Delete tlač.options... KEYOPT,1,8,1 Ukončí se preprocessor. Finish Obr. 12 Povolení transferu tepelného toku z prvků SURF151 na PLANE77 7/12

Výpočet a výsledky výpočtu MKP Přejde se do solution. /solu Může se nechat defaultní nastavení výpočtu, protože se řeší statická úloha (kvazistatická). Všechny okrajové podmínky již byly zadány při přípravě výpočtu MHP, proto již lze rovnou spustit řešení úlohy. Solution > Solve > Current LS SOLVE Pro zjištění průběhů a velikosti složek napětí se využije General postproc. FINISH /POST1 Přibližnou hodnotu teploty na pravém konci (v bodě A) lze získat vykreslením rozložení teploty viz obr. 13: General Postproc > Read results > Last set SET,LAST General Postproc > Plot Results > Contour Plot > Nodal Solu (DOF solution Nodal Temperature) PLNSOL,TEMP Obr. 13 Rozložení teploty získané pomocí MKP Přesněji lze určit výsledek z výpisu uzlových hodnot teploty: General Postproc > List Results > Nodal Solution (DOF solution Nodal Temperature) PRNSOL,TEMP 8/12

4 Vykreslení rozložení teploty získané MHP Po výpočtu MKP již lze použít APDL PostProcesor pro vykreslení průběhu teploty získané pomocí MHP (viz příklad 2 Disk). Nejprve je nutné vytvořit komponentu uzlů zahrnující uzly MKP modelu, které leží uvnitř řešené oblasti. Pro větší přehlednost je vhodné zobrazit místo prvků uzly včetně číslování. NPLO /PNUM,NODE,1 Vytvoří se pomocná komponenta uzlů. Postupovat lze dle obr.14, následně vybrat tři uzly uvnitř oblasti (krok 6 na obr.14) a potvrdit OK. AUM > Select > Component Manager... NSLL,S,1 NSEL,INVE CM,uvnitr,NODE ALLSEL,ALL 6. 1. 4. 2. 3. 5. Obr. 14 Sestavení komponenty uzlů V dalším kroku již lze použít tlačítko MHP_UVNITR. Objeví se postupně dvě dialogová okna (obr.15). Po zadání jména vytvořené komponenty se vygeneruje soubor INPUT2.TXT, který lze po smazání přípony TXT použít jako vstup MHP programu prog81.exe. Obr. 15 Vytvoření souboru INPUT2 pomocí tlačítka MHP_UVNITR 9/12

Obr. 16 Ohlášení dokončení přípravy souboru INPUT2 Nyní již lze dokončit výpočet MHP spuštěním programu prog81.exe (obr.16). Požadované výsledky se zapíší do souboru OUTPUT, kde je může uživatel prostudovat opět užitím Notepadu. V dalším kroku lze výsledky (ze souborů BERESULTS a OUTPUT) načíst zpět do Ansysu stisknutím tlačítka MHP_IMPORT. Po importu se automaticky zobrazí rozložení teploty (obr.17). Obr. 17 Rozložení teploty získané pomocí MHP Na první pohled se příliš rozložení teploty nezměnilo. Lze si všimnout snad jen přemístění minima teploty (značka MN na obr.13 a obr.17). Podrobnější srovnání lze provést vypsáním výsledků, nejprve pro MHP: General Postproc > List Results > Nodal Solution (DOF solution Nodal Temperature) PRNSOL,TEMP Tyto výsledky lze uložit do souboru apod. Pro opětovné načtení výsledků MKP stačí načíst výsledky znovu ze souboru *.rth, tedy: General Postproc > Read results > Last set SET,LAST Po zobrazení výsledků MKP lze výsledky obou metod srovnat (obr.18). Komentář však je proveden v závěru. 10/12

u ΑMHP MHP u ΑMKP MKP výsledky uvnitř výsledky uvnitř Obr. 18 Rozložení teploty získané pomocí MHP (vlevo) a MKP 5 Srovnání výsledků MKP a MHP S ohledem na předchozí text lze shrnout získané výsledky do tabulky 1. V daném případě je jasné, že teplota se bude lineárně měnit po tloušťce stěny. Po srovnání s analytickým řešením lze konstatovat, že obě metody dávají velmi přesné výsledky na hranici. MKP však dává v daném případě při použití ekvivalentní sítě na hranici přesnější výsledky uvnitř oblasti (bod B uzel 22 na obr.18). Větší chyba při výpočtu hodnot uvnitř oblasti při použití MHP je způsobena řešením problému se singularitou pomocí Gaussovy integrace. Čím blíže je bod, ve kterém se počítají dodatečné výsledky, hranici oblasti, tím větší chyba výpočtu vzniká. Důležitým poznatkem této úlohy však je velká přesnost MHP při použití kvadratických prvků. V předchozích dvou příkladech totiž chyba výpočtu mnohdy přesahovala několik procent, kdežto nyní je zanedbatelná (na hranici). Tab. 1 Výsledky řešení úlohy. MHP MKP Analytické řešení u A [ C] -1.0002-1 -1 u B [ C] -0.49128-0.5-0.5 DOF 20 23 11/12

6 Postup řešení při použití připravených maker Pro usnadnění samostatné práce čtenářů tohoto učebního textu byla připravena makra MKP.mac, MHP1.mac, MHP2.mac, a MHP3.mac, která jsou dostupná na http://www.339.vsb.cz/. Kroky pro řešení: 1. spuštění MHP1.mac (preprocessing) a vyplňování dialogových oken dle kapitoly 2 2. dopsání okrajových podmínek do souboru INPUT.TXT (obr.7) a smazání přípony.txt 3. spuštění prog71.exe (solution) 4. spuštění MKP.mac pro řešení MKP 5. spuštění MHP2.mac (postprocessing) 6. spuštění prog81.exe 7. spuštění MHP3.mac (postprocessing - import do Ansysu) 7 Náměty na samostatnou práci Proveďte analogicky výpočet s lineárními prvky při stejném dělení. Zkuste zjemnit síť modifikací počtu dělení čar v makru. Analyzujte vliv na konvergenci úlohy u MHP i MKP při použití lineárních a kvadratických prvků. Ověřte vliv singularity při určování výsledků uvnitř blízko hranice (zvolte bod blízko místa A ale uvnitř oblasti). 12/12