UNIVERZITA PARDUBICE

UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko technologická Katedra analytické chemie Licenční studium chemometrie na téma Tvorba nelineárních regresních modelů v analýze dat Vedoucí licenčního studia Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Semestrální práce ze 4. soustředění Věra Dvořáková Akreditovaná zkušební laboratoř Elektrárna Počerady, a. s. V Teplicích, únor 2016 Strana 1 z 24

Obsah 1. Úloha 1: Vhodnost navržených regresních modelů a odhady parametrů při atomizaci chromu 4 1.1. Zadání 4 1.2. Data 4 1.3. Program 4 1.4. Modely 4 1.5. Vstup nelineární regresní model 1 4 1.5.1 Podmínky 4 1.5.2 Regresní funkce a počáteční odhady parametrů 5 1.5.3 Počáteční odhady parametrů 5 1.5.4 Bodové odhady parametrů 5 1.5.5 Statistické charakteristiky regrese 5 1.5.6 Analýza klasických reziduí 5 1.6. Upřesnění počátečních odhadů parametrů 5 1.6.1 Optické posouzení vhodnosti modelu 6 1.6.2 Bodové odhady parametrů 7 1.6.3 Regresní model 1 7 1.6.4 Intervalové odhady parametrů 7 1.6.5 Korelační matice odhadů 7 1.6.6 Statistické charakteristiky regrese 7 1.6.7 Analýza klasických reziduí 8 1.6.8 Indikace vlivných bodů 8 1.6.9 Grafy 8 1.6.10 Statistická analýza reziduí 9 1.6.11 Mapa citlivosti funkce 10 1.7. Vstup nelineární regresní model 2 10 1.7.1 Podmínky 10 1.7.2 Regresní funkce a počáteční odhady parametrů 10 1.7.3 Počáteční odhady parametrů 10 1.7.4 Grafy 11 1.7.5 Bodové odhady parametrů 12 1.7.6 Regresní model 2 12 1.7.7 Intervalové odhady parametrů 12 1.7.8 Korelační matice odhadů 12 1.7.9 Statistické charakteristiky regrese 12 1.7.10 Analýza klasických reziduí 13 1.7.11 Indikace vlivných bodů 13 1.7.12 Statistická analýza reziduí 13 1.7.13 Mapa citlivosti funkce 14 1.8. Porovnání statistických charakteristik regrese 14 1.9. Závěr 14 1.10. Tabulka statistických charakteristik regrese 15 programů Adstat, QCExpert a Statistika Strana 2 z 24

2. Úloha 2: Model hmotnostního přírůstku kojence (Růstové křivky) 16 2.1. Zadání 16 2.2. Data 16 2.3. Program 16 2.4. Schnuteho model 16 2.4.1 Grafické posouzení vhodnosti modelu 16 2.4.2 Odhady parametrů 17 2.4.3 Statistické charakteristiky regrese 17 2.5. Mischerliho model 18 2.5.1 Grafické posouzení vhodnosti modelu 18 2.5.2 Odhady parametrů 19 2.5.3 Statistické charakteristiky regrese 19 2.6. Richardsův model 19 2.6.1 Grafické posouzení vhodnosti modelu 19 2.6.2 Odhady parametrů 20 2.6.3 Statistické charakteristiky regrese 20 2.7. Gompertzův model 21 2.7.1 Grafické posouzení vhodnosti modelu 21 2.7.2 Odhady parametrů 22 2.7.3 Statistické charakteristiky regrese 22 2.8. Logistický model 22 2.8.1 Grafické posouzení vhodnosti modelu 22 2.8.2 Odhady parametrů 23 2.8.3 Statistické charakteristiky regrese 23 2.9. Porovnání statistických charakteristik regrese 24 2.10. Závěr 24 Strana 3 z 24

1. Úloha 1: Vhodnost navržených regresních modelů a odhady parametrů při atomizaci chromu 1.1. Zadání Po mikrovlnném rozkladu na zařízení MILESTONE jsme získali vzorek, který byl podroben atomizaci v rozmezí teplot od 2330 do 2550 C. Na výstupu AAS byl sledován signál. Rozhodněte, který z uvedených regresních modelů lépe popisuje závislost výstupního signálu na teplotě atomizace. Stanovte 95% intervalové odhady neznámých parametrů. 1.2. Data x - teplota atomizace C y výstupní signál z AAS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 x 2550 2510 2490 2470 2450 2430 2410 2390 2370 2350 2330 y 0,186 0,178 0,171 0,166 0,161 0,154 0,145 0,138 0,123 0,11 0,097 1.3. Program: ADSTAT Nelineární regrese 1.4. Modely nelineární regresní model 1 y = exp(β 1 + β 2 /x+ β 3 lnx) nelineární regresní model 2 y = β 1 + β 2 x+ β 3 /x 2 1.5. Vstup nelineární regresní model 1 1.5.1 Podmínky Hladina významnosti alfa :0,050 Počet bodů n :11 Počet parametrů m :3 Počet nezávislých proměnných :1 Minimální změna RSC [%] :1.000000-05 Minimální změna parametrů [%] :1.000000-05 Maximální počet iterací :1500 Kvantil Studentova rozdělení t (1-alpha, n-m) :2.306 Kvantil Fisher-Snedecorova rozdělení F(1-alfa,n,n-m) :3.313 Kvantil Chi^2 rozdělení Chi^2(1-alfa,m) :7.815 Strana 4 z 24

1.5.2 Regresní funkce a počáteční odhady parametrů Regresní model: exp(p1+(p2/x)+(p3*ln(x))) 1.5.3 Počáteční odhady parametrů p [1] p [2] p [3] 1.000000E+00 1.000000E+00 1.000000E+00 1.5.4 Bodové odhady parametrů Parametr Bodový odhad Směrodatná Absolutní Relativní odchylka vychýlení vychýlení [%] p [1] 1.1687E+03 1.4018E-03-4.4108E-02-3.7742E-03 p [2] -3.3869E+05 5.7141E-07-1.7973E-05 5.3065E-09 p [3] -1.3228E+02 1.0940E-02-3.4426E-01 2.6025E-01 1.5.5 Statistické charakteristiky regrese Reziduální součet čtverců, RSC Regresní rabat, D^2 [%] Akaikeho informační kriterium, AIC 1.5.6 Analýza klasických reziduí Reziduální součet čtverců, RSC Průměr absolutních hodnot reziduí, MA Průměr relativních hodnot reziduí, MR Odhad reziduálního rozptylu, s^2(e) Odhad reziduální směrodatné odchylky, s(e) Odhad šikmosti reziduí, g1(e) Odhad špičatosti reziduí, g2(e) Mean error of prediction 1 6.2963E-05 9.9230E+01-1.2678E+02 6.2963E-05 1.9944E-03 1.4158E+00 7.8704E-06 2.8054E-03 3.8294E-01 2.3433E+00 2.5351E-08 1.6. Upřesnění počátečních odhadů parametrů p [1] p [2] p [3] 1.1687E+03-3.3869E+05-1.3228E+02 Strana 5 z 24

1.6.1 Optické posouzení vhodnosti modelu Regresní model přijatelně popisuje závislost velikosti výstupního signálu na teplotě atomizace Strana 6 z 24

1.6.2 Bodové odhady parametrů Parametr Bodový odhad Směrodatná Absolutní Relativní odchylka vychýlení vychýlení [%] p [1] 1.1683E+03 1.4017E-03-4.4082E-02-3.7731E-03 p [2] -3.3859E+05 5.7139E-07-1.7962E-05 5.3050E-09 p [3] -1.3224E+02 1.0940E-02-3.4405E-01 2.6018E-01 1.6.3 regresní model 1 y = exp(β 1 + β 2 /x+ β 3 lnx): y = exp(1.1683e+03(1.4017-03)+ -3.3859E+05(5.7139E-07)/x+-1.3224E+02(1.0940E-02)*lnx) 1.6.4 Intervalové odhady parametrů Parametr Bodový odhad Poloviční délka konfidenčního intervalu spočtená z délky: poloos maxim p [1] 1.1683E+03 ±4.8956E-03 ±4.8956E-03 p [2] -3.3859E+05 ±1.9948E-06 ±1.9956E-06 p [3] -1.3224E+02 ±3.8209E-02 ±3.8209E-02 Interval spolehlivosti parametru p [1], p [2], p [3] neobsahuje 0. Parametry jsou významné. 1.6.5 Korelační matice odhadů x[1,i] x[2,i] x[3,i] x[1,i] 1.0000E+00 9.9967E-01 9.9999E-01 x[2,i] 9.9967E-01 1.0000E+00 9.9958E-01 x[3,i] 9.9999E-01 9.9958E-01 1.0000E+00 Korelační koeficienty jsou >0,9, parametry nejsou snadno stanovitelné. 1.6.6 Statistické charakteristiky regrese Reziduální součet čtverců, RSC Regresní rabat, D^2 [%] Akaikeho informační kriterium, AIC 6.2963E-05 9.9230E+01-1.2678E+02 99,23 % bodů vyhovuje navrženému modelu. Strana 7 z 24

1.6.7 Analýza klasických reziduí Reziduální součet čtverců, RSC Průměr absolutních hodnot reziduí, MA Průměr relativních hodnot reziduí, MR Odhad reziduálního rozptylu, s^2(e) Odhad reziduální směrodatné odchylky, s(e) Odhad šikmosti reziduí, g1(e) Odhad špičatosti reziduí, g2(e) Mean error of prediction 1 6.2963E-05 1.9938E-03 1.4156E+00 7.8704E-06 2.8054E-03 3.8252E-01 2.3431E+00 2.5369E-08 1.6.8 Indikace vlivných bodů Bod Jacknife reziduum Cookova vzdálenost Diagonální prvky Normalizovaná vzdálenost Věrohodnostní vzdálenost i ej[i] D[i] H[i,i] FDA LDA 1 1.5226E-01 9.1419E-03 3.2551E+01 2.8393E+16 6.7685E+01 2-5.1822E-02 1.0577E-03 3.0822E+01 1.0289E+04 1.5147E+01 3-2.0810E-01 1.7188E-02 2.9224E+01 1.0561E+04 1.5194E+01 4-1.5554E-01 9.6014E-03 2.7213E+01 1.0560E+04 1.5193E+01 5-1.0528E-02 4.3992E-05 2.4873E+01 1.9844E+03 1.2129E+01 6 9.0077E-02 3.2398E-03 2.2301E+01 2.3874E+07 2.9357E+01 7 1.2669E-01 6.4582E-03 1.9602E+01 4.3784E+07 3.0469E+01 8 3.9932E-01 6.6075E-02 1.6879E+01 3.0733E+12 5.0935E+01 9 5.4341E-02 1.2105E-03 1.4230E+01 2.3698E+04 1.6676E+01 10-1.3097E-01 7.1611E-03 1.1737E+01 6.2499E+03 1.4233E+01 11-3.4584E-01 5.1834E-02 9.4647E+00 8.8203E+03 1.4866E+01 ej[i] 2 <10, není indikován vlivný bod. 1.6.9 Indikace vlivných bodů - grafy Podle vyhodnocení L R grafu jsou body 1 a 11 odlehlé (nachází se nad křivkou oddělující oblast odlehlých bodů). Strana 8 z 24

Byl identifikován jeden bod jako odlehlý, protože se nachází nad vodorovnou linií a jeden extrém, protože se nachází za svislou linií. Byly odhaleny 2 vlivné body. Bod 11 byl identifikován jako odlehlý a bod 11 jako extrém, vzhledem k informaci, kterou obsahují, nebudou ze souboru odstraněny. 1.6.10 Statistická analýza reziduí Program QC expert 2.9 Počet vybočujících bodů: 0 Rezidua vykazují homoskedasticitu. Rezidua mají normální rozdělení. Waldův test autokorelace: Autokorelace je nevýznamná. Strana 9 z 24

1.6.11 Mapa citlivosti funkce Parametr j Relativní změna C j R(-5%) Souhrnná citlivost C j Relativní změna C j R(+5%) [%] [%] 1 2.0479E+01 2.2694E-02-1.6975E+01 2 2.0586E+01 3.7711E-09-1.7048E+01 3 2.0467E+01 1.3824E+00-1.6967E+01 Pokud se parametr změní o ± 5 %, nastane největší změna u parametru P2. Parametr P2 je dobře podmíněn v modelu. 1.7. Vstup nelineární regresní model 2 1.7.1 Podmínky Hladina významnosti alfa :0,050 Počet bodů n :11 Počet parametrů m :3 Počet nezávislých proměnných :1 Minimální změna RSC [%] :1.000000-05 Minimální změna parametrů [%] :1.000000-05 Maximální počet iterací :1500 Kvantil Studentova rozdělení t (1-alpha, n-m) :2.306 Kvantil Fisher-Snedecorova rozdělení F(1-alfa,n,n-m) :3.313 Kvantil Chi^2 rozdělení Chi^2(1-alfa,m) :7.815 1.7.2 Regresní funkce a počáteční odhady parametrů Regresní model: p1+(p2*x)+(p3/(x*x)) 1.7.3 Počáteční odhady parametrů p [1] p [2] p [3] 1.000000E+03-3.000000E+05-1.000000E+02 Strana 10 z 24

1.7.4 Grafy Regresní model popisuje dostatečně závislost velikosti výstupního signálu na teplotě atomizace. Strana 11 z 24

1.7.5 Bodové odhady parametrů Parametr Bodový odhad Směrodatná Absolutní Relativní odchylka vychýlení vychýlení [%] p [1] 7.1820E+00 5.8812E-03-7.3720E+06-1.0265E+08 p [2] -1.7906E-03 1.4307E+01-1.7941E+10 1.0019E+15 p [3] -1.5811E+07 9.9818E-10-1.2475E+00 7.8904E-06 1.7.6 regresní model 2 y = β 1 + β 2 x+ β 3 /x 2 : y = 7.1820E+00(5.8812-03)+ -1.7906E-03(1.4307E+01)*x+-1.5811E+07(9.9818E-10)/x 2 1.7.7 Intervalové odhady parametrů Parametr Bodový odhad Poloviční délka konfidenčního intervalu spočtená z délky: poloos maxim p [1] 7.1820E+00 +-2.0533E-02 +-2.0541E-02 p [2] -1.7906E-03 +-4.9971E+01 +-4.9971E+01 p [3] -1.5811E+07 +-3.4747E-09 +-3.4863E-09 Interval spolehlivosti parametru p [1], p [2], p [3] neobsahuje 0. Parametry jsou významné. 1.7.8 Korelační matice odhadů x[1,i] x[2,i] x[3,i] x[1,i] 1.0000E+00 9.9963E-01 9.9853E-01 x[2,i] 9.9963E-01 1.0000E+00 9.9668E-01 x[3,i] 9.9853E-01 9.9668E-01 1.0000E+00 Korelační koeficienty jsou >0,9, parametry nejsou snadno stanovitelné. 1.7.9 Statistické charakteristiky regrese Reziduální součet čtverců, RSC Regresní rabat, D^2 [%] Akaikeho informační kriterium, AIC 2.5156E-05 9.9693E+01-1.3687E+02 99,69 % bodů vyhovuje navrženému modelu. Strana 12 z 24

1.7.10 Analýza klasických reziduí Reziduální součet čtverců, RSC Průměr absolutních hodnot reziduí, MA Průměr relativních hodnot reziduí, MR Odhad reziduálního rozptylu, s^2(e) Odhad reziduální směrodatné odchylky, s(e) Odhad šikmosti reziduí, g1(e) Odhad špičatosti reziduí, g2(e) Mean error of prediction 1 2.5156E-05 1.1274E-03 7.7513E-01 3.1445E-06 1.7733E-03 1.8483E-01 3.2780E+00 1.5484E-35 1.7.11 Indikace vlivných bodů Bod Jacknife reziduum Cookova vzdálenost Diagonální prvky Normalizovaná vzdálenost Věrohodnostní vzdálenost i ej[i] D[i] H[i,i] FDA LDA 1 3.8676E-08 5.6983E-16 4.2331E+14 7.7541E+58 2.4688E+02 2-3.7653E-11 5.4010E-22 4.1013E+14 6.4763E+52 2.2121E+02 3-6.1367E-08 1.4346E-15 4.0362E+14 1.6136E+59 2.4822E+02 4-4.4619E-08 7.5843E-16 3.9717E+14 7.9976E+58 2.4694E+02 5-3.9037E-10 5.8053E-20 3.9076E+14 5.7362E+54 2.2944E+02 6 1.9095E-08 1.3890E-16 3.8441E+14 1.2853E+58 2.4358E+02 7 1.4172E-08 7.6518E-17 3.7810E+14 6.6278E+57 2.4237E+02 8 9.4653E-08 3.4130E-15 3.7185E+14 2.7656E+59 2.4921E+02 9-1.2113E-08 5.5895E-17 3.6566E+14 4.2348E+57 2.4155E+02 10-3.1589E-08 3.8015E-16 3.5951E+14 2.6913E+58 2.4494E+02 11-1.6484E-08 1.0351E-16 3.5342E+14 6.8438E+57 2.4243E+02 ej[i] 2 <10, není indikován vlivný bod. 1.7.12 Statistická analýza reziduí Program QC expert 2.9 Počet vybočujících bodů: 0 Rezidua vykazují homoskedasticitu. Rezidua mají normální rozdělení. Waldův test autokorelace: Autokorelace je nevýznamná. Strana 13 z 24

1.7.13 Mapa citlivosti funkce Parametr j Relativní změna C j R(-5%) Souhrnná citlivost C j Relativní změna C j R(+5%) [%] [%] 1-3.9053E-09 1.0000E+00-2.0022E-08 2 7.8617E-09 5.9181E+06 1.3510E-08 3 2.4289E-08 2.8806E-14 1.2897E-08 Pokud se parametr změní o ± 5 %, nastane největší změna u parametru P3. 1.8. Porovnání statistických charakteristik regrese Kritérium Model 1 Model 2 Reziduální součet čtverců, RSČ 6.2963E-05 2.5156E-05 Regresní rabat, D^2 [%] 9.9230E+01 9.9693E+01 Akaikeho informační kriterium, AIC -1.2678E+02-1.3687E+02 Mean error of prediction 1, MEP 2.5369E-08 1.5484E-35 RSC, D^2 [%], AIC se u modelů znatelně neliší. Největší je řádový rozdíl kriteria MEP. Nejmenší hodnotu MEP má regresní model 2. Fyzikální smysl Nalezený regresní model závislosti velikosti výstupního signálu AAS na atomizační teplotě chromu lze použít pouze v rozmezí teplot atomizace od 2350 2550 C. 1.9. Závěr Byly stanoveny 95% intervalové odhady neznámých parametrů Parametr Bodový odhad Směrodatná odchylka p [1] 7.1820E+00 5.8812E-03 p [2] -1.7906E-03 1.4307E+01 p [3] -1.5811E+07 9.9818E-10 Na základě porovnání statistických charakteristik regrese byl zvolen model 2, který nejlépe popisuje závislost výstupního signálu na teplotě atomizace. Nelineární regresní model 2(y = β 1 + β 2 x+ β 3 /x 2 ): y = 7.1820E+00(5.8812-03)+ -1.7906E-03(1.4307E+01)*x+-1.5811E+07(9.9818E-10)/x 2 Strana 14 z 24

1.10. Tabulka statistických charakteristik regrese programů Adstat, QCExpert a Statistika Adstat model p1+(p2*x)+(p3/(x*x)) parametry s(e) RSČ MEP AIC R R p D^2 s^2(e) 7.1820E+00 (5,8812E-03) 1,7733E-03 2,5156E-05 1.5484E-35-1,3687E+02 9,9693E+01 3.1445E-06-1,7906E-03 (1.4307E+01) -1.5811E+07 (9.9818E-10) QCExpert model (p1+(p2*[a ])+(P3/([A ]*[A ]))) parametry s(e) RSČ MEP AIC R R p R^2 s^2(e) 7,1822 (6,9500E-006) 0,0017733 2,5156E-05 2,7673E-06-136,87 0,99846135 0,99627907 0,99693 3,1445E-06-0,0017906 (2,1969E-007) -15811000 (6,9500E-006) Statistika model Prom2=p1+(p2*Prom1)+(p3/(Prom1*Prom1)) parametry s(e) RSČ MEP AIC R R p D^2 s^2(e) 7 (1) 0,001586 0,0002516 0,99846135 0,99692507-0 (0) -15810561 (1479126) Strana 15 z 24

2. Úloha 2: Model hmotnostního přírůstku kojence (Růstové křivky) 2.1. Zadání 2.2. Data V časovém období 0 12 měsíců byl sledován hmotnostní přírůstek novorozence a kojence. Na základě analýzy regresního tripletu rozhodněte, který z růstových modelů (Schnuteho model, Mitscherlichův model, Richardsův model, Gompertzův model a Logistický model) nejlépe odpovídá naměřeným hodnotám. x - časové období (měsíce) y - hmotnostní nárůst (kg) x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y 3,8 4,3 4,7 5,4 6,1 7,0 7,8 8,6 9,3 9,7 10,2 10,4 10,7 2.3. Program: ADSTAT Růstové křivky 2.4. Schnuteho model Y := p[1]* [1+p[4]*exp(-p[3]*(x-p[2]))]^(-1/p[4]) pro p[4]>1 2.4.1 Grafické posouzení vhodnosti modelu Strana 16 z 24

Schnuteho model dostatečně popisuje závislost hmotnostního přírůstku kojence na jeho stáří. 2.4.2 Bodové odhady parametrů Parametr Bodový odhad Směrodatná odchylka Absolutní vychýlení Relativní vychýlení p [1] 1.0817E+01 1.3876E-01 1.1630E-02 1.0751E-01 p [2] 5.6701E+00 2.8097E-01-1.9002E-03-3.3512E-02 p [3] 6.2328E-01 9.0315E-02 7.8768E-03 1.2638E+00 p [4] 4.7791E+00 8.8776E-01 7.1577E-02 1.4977E+00 2.4.3 Statistické charakteristiky regrese Průměr absolutních hodnot reziduí, MA Průměr relativních hodnot reziduí, MR Reziduální součet čtverců, RSC Regresní rabat, D^2 [%] 6.5315E-02 1.0310E+00 6.4771E-02 9.9912E+01 99,91 % bodů vyhovuje navrženému modelu. Strana 17 z 24

2.5. Mitscherlichův model Y := p[1]* [1+p[4]*exp(-p[3]*(x-p[2]))]^(-1/p[4]) pro p[4]=-1 2.5.1 Grafické posouzení vhodnosti modelu Mitscherlichův model není vhodný pro vyjádření závislosti hmotnostního přírůstku na stáří kojence. Strana 18 z 24

2.5.2 Bodové odhady parametrů Parametr Bodový odhad Směrodatná odchylka Absolutní vychýlení Relativní vychýlení p [1] 1.0836E+01 1.0441E+00 1.8397E-01 1.6977E+00 p [2] 1.2328E+00 2.1441E-01-1.1638E-02-9.4407E-01 p [3] 3.0278E-01 7.1508E-02 4.2747E-03 1.4118E+00 2.5.3 Statistické charakteristiky regrese Průměr absolutních hodnot reziduí, MA Průměr relativních hodnot reziduí, MR Reziduální součet čtverců, RSC Regresní rabat, D^2 [%] 7.6899E-01 4.7582E+01 2.1006E+01 7.1495E+01 71,50 % bodů vyhovuje navrženému modelu. 2.6. Richardsův model Y := p[1]* [1+p[4]*exp(-p[3]*(x-p[2]))]^(-1/p[4]) pro p[4]<1 2.6.1 Grafické posouzení vhodnosti modelu Strana 19 z 24

Richardsův model stejně jako Schnuteho model dostatečně popisuje závislost hmotnostního přírůstku kojence na jeho stáří. 2.6.2 Bodové odhady parametrů Parametr Bodový odhad Směrodatná odchylka Absolutní vychýlení Relativní vychýlení p [1] 1.0817E+01 1.3876E-01 1.1630E-02 1.0751E-01 p [2] 5.6701E+00 2.8097E-01-1.9002E-03-3.3512E-02 p [3] 6.2328E-01 9.0315E-02 7.8768E-03 1.2638E+00 p [4] 4.7791E+00 8.8776E-01 7.1577E-02 1.4977E+00 2.6.3 Statistické charakteristiky regrese Průměr absolutních hodnot reziduí, MA Průměr relativních hodnot reziduí, MR Reziduální součet čtverců, RSC Regresní rabat, D^2 [%] 6.5315E-02 1.0310E+00 6.4771E-02 9.9912E+01 99,91 % bodů vyhovuje navrženému modelu. Strana 20 z 24

2.7. Gompertzův model Y := p[1]*exp(-exp(-p[2]*(x-p[3]))) 2.7.1 Grafické posouzení vhodnosti modelu Gompertzův model částečně popisuje závislost hmotnostního přírůstku kojence na jeho stáří. Strana 21 z 24

2.7.2 Bodové odhady parametrů Parametr Bodový odhad Směrodatná odchylka Absolutní vychýlení Relativní vychýlení p [1] 1.4118E+01 1.0677E+00 1.6994E-01 1.2037E+00 p [2] 1.4209E-01 1.8559E-02 2.3477E-04 1.6523E-01 p [3] 2.3765E+00 5.5369E-01 1.0900E-01 4.5866E+00 2.7.3 Statistické charakteristiky regrese Průměr absolutních hodnot reziduí, MA Průměr relativních hodnot reziduí, MR Reziduální součet čtverců, RSC Regresní rabat, D^2 [%] 1.8848E-01 2.9935E+00 5.5648E-01 9.9245E+01 99,25 % bodů vyhovuje navrženému modelu. 2.8. Logistický model Y := p[1]* [1+p[4]*exp(-p[3]*(x-p[2]))]^(-1/p[4]) pro p[4]=1 2.8.1 Grafické posouzení vhodnosti modelu Strana 22 z 24

Logistický model dobře popisuje závislost hmotnostního přírůstku kojence na jeho stáří. 2.8.2 Bodové odhady parametrů Parametr Bodový odhad Směrodatná odchylka Absolutní vychýlení Relativní vychýlení p [1] 1.2338E+01 4.2247E-01 3.7906E-02 3.0724E-01 p [2] 3.7794E+00 3.3390E-01 3.2693E-02 8.6503E-01 p [3] 2.4214E-01 1.6365E-02 2.5597E-04 1.0571E-01 2.8.3 Statistické charakteristiky regrese Průměr absolutních hodnot reziduí, MA Průměr relativních hodnot reziduí, MR Reziduální součet čtverců, RSC Regresní rabat, D^2 [%] 1.4496E-01 2.3763E+00 3.3666E-01 9.9543E+01 99,54 % bodů vyhovuje navrženému modelu. Strana 23 z 24

2.9. Porovnání statistických charakteristik regrese Kritérium Průměr absolutních hodnot reziduí, MA Průměr relativních hodnot reziduí, MR Reziduální součet čtverců, RSC Regresní rabat, D^2 [%] Schnuteho Mitscherlichů Richardsův Gompertzův Logistický model v model model model model 6.5315E-02 7.6899E-01 6.5315E-02 1.8848E-01 1.4496E-01 1.0310E+00 4.7582E+01 1.0310E+00 2.9935E+00 2.3763E+00 6.4771E-02 2.1006E+01 6.4771E-02 5.5648E-01 3.3666E-01 9.9912E+01 7.1495E+01 9.9912E+01 9.9245E+01 9.9543E+01 Nejnižší hodnotu MA, RSC a nejvyšší hodnotu D^2 [%] má Schnuteho model, stejně tak model Richardsův. Schnuteho model je lepší než Mitscherlichův, Richardsův, Gompertzův a Logistický model. 2.10. Závěr Na základě analýzy regresního tripletu bylo rozhodnuto, že Schnuteho model Y := p[1]* [1+p[4]*exp(-p[3]*(x-p[2]))]^(-1/p[4]) nejlépe odpovídá naměřeným hodnotám. pro p[4]>1 Byly nalezeny odhady parametrů: Parametr Bodový odhad Směrodatná odchylka p [1] 1.0817E+01 1.3876E-01 p [2] 5.6701E+00 2.8097E-01 p [3] 6.2328E-01 9.0315E-02 p [4] 4.7791E+00 8.8776E-01 Schnuteho model Y := p[1]* [1+p[4]*exp(-p[3]*(x-p[2]))]^(-1/p[4]) pro p[4]>1 Pro závislost hmotnostního přírůstku ne stáří kojence lze Schnuteho model vyjádřit: y := 10,817(0,139)* [1+4,779(0,888)*exp(-0,6233(0,0903)*(x-5,670(0,281)))] (-1/4,779(0,888)) Strana 24 z 24