Obtékání drsných stěn (Modelování vlivu drsnosti stěn na ztráty v lopatkové mříži) Ing. Jiří Stanislav, Prof.Ing. Jaromír Příhoda, CSc., Prof.Ing. Pavel Šafařík, CSc. 1 Úvod Znalost smykového napětí na obtékaných stěnách má základní význam při studiu mezních vrstev a samozřejmě v řadě technických aplikací. Zejména v proudových strojích je po určité provozní době drsnost povrchu zvýšena bud erozí způsobenou kapičkami vody nebo korozí či různými nánosy. Proto je důležitá implementace přijatelných modelů drsnosti do numerických modelů proudění. Příspěvek se zabývá aplikací modelu drsnosti implementovaného do komerčního programu FLUENT na proudění oběžnou lopatkovou mříži SE1050 s drsným povrchem. Před touto aplikací byla ověřována funkčnost zvoleného modelu drsnosti na vhodně zvolených testovacích příkladech. 2 Matematický model 2.1 Modelování drsnosti na stěně FLUENT používá k modelování drsnosti na stěně zákon stěny modifikovaný pro drsnost U.u τ w /ρ = 1 ( ) κ ln 9, 793 ρ.u.y B, (2.1) µ kde u = C 1/4 µ k 1/2 a pro B platí vztah: kde f r je funkce drsnosti. B = 1 κ ln f r, (2.2) B obecně závisí na typu a velikosti drsnosti. Neexistuje univerzální funkce drsnosti pro všechny typy drsnosti. V programu FLUENT je k aproximaci posunutí rychlostního profilu užíván vztah, který navrhli Cebeci a Bradshaw [1] na základě dat získaných Nikuradsem. B = 0 pro k s + < 2, 25, (2.3) B = 1 [ ] k + κ ln s 2, 25 C F k s + sin[0, 4258(ln k s + 1)] pro 2, 25 < k s + < 90, 87, 75 B = 1 κ ln (1 + C F k + s ) pro k + s > 90,
kde C F je konstanta drsnosti, závislá na typu drsnosti. FLUENT má tuto konstantu předdefinovanou na hodnotu C F = 0, 5. Tato hodnota byla získána tak, že při použití k ɛ modelu turbulence výsledky výpočtu reprodukují data získaná Nikuradsem pro potrubí s pískovou drsností. Pro jiný typ drsnosti se konstanta C F pohybuje v intervalu C F = (0, 5; 1). Bohužel neexistuje žádný přesný návod jak určit konstantu C F pro libovolný typ drsnosti. Z fyzikálního hlediska není smysluplné, aby buňka přiléhající ke stěně byla menší než je výška elementů drsnosti. Pro získání nejlepších výsledků je doporučeno (viz [5]), aby vzdálenost středu první buňky od stěny byla větší než je hodnota k s, což je hodnota ekvivalentní pískové drsnosti. 2.2 Model turbulence Z důvodu reprodukovatelnosti dat získaných Nikuradsem pro potrubí s pískovou drsností, při hodnotě konstanty drsnosti C F = 0, 5, byl zvolen Realizable k ɛ model turbulence, který má oproti standardnímu vhodněji formulovanou turbulentní viskozitu a transportní rovnici pro rychlost disipace ɛ. Zvolený Realizable k ɛ model turbulence, který navrhl Shih aj. [4], je tzv. modelem dvourovnicovým. Řešeny jsou dvě transportní rovnice. První pro turbulentní energii k (ρk) + (ρku i) = [ ( µ + µ ) ] t k + G k ρɛ (2.4) t x i x i σ k x j a druhá pro rychlost disipace ɛ (ρɛ) t + (ρɛu i) x i = x i [ ( µ + µ ) ] t ɛ ɛ 2 + ρc 1 Sɛ ρc 2 σ ɛ x j k + νɛ, (2.5) kde G k je generace turbulentní energie způsobená gradientem střední rychlosti, S = 2S ij S ij, C 1 = max [ ] η 0.43, η+5, η = S k, C ɛ 2 = 1, 9, σ k = 1, 0, σ ɛ = 1, 2. Turbulentní vazkost je dána vztahem µ t = ρc µ k 2 ɛ, (2.6) kde C µ není konstanta, ale funkce C µ = f(s ij, Ω ij, k/ɛ), čímž se liší od standardního a RNG modelu. Další neuvedené vztahy a konstanty modelu viz [5].
3 Ověřování funkčnosti Funkčnost modelu drsnosti byla ověřena na dvou vhodně zvolených testovacích případech. V obou případech byly výsledky numerické simulace porovnány s experimentálně získanými daty. Prvním testovací příkladem bylo proudění ve 2D kanále s drsnými stěnami. Druhým testovacím příkladem bylo modelování skokové změny hladké stěny na drsnou. Na základě výsledků získaných z řešení testovacích příkladů (viz [2]) se ukázalo, že model vyhovuje pro všechny režimy obtékání drsné stěny a také v oblasti skokového přechodu z hladké stěny na stěnu drsnou. Během tohoto testování se také ukázala důležitost velikosti první buňky na stěně. Nalezení vhodné velikosti má významný vliv na kvalitu získaných výsledků. 4 Aplikace modelu drsnosti Pro aplikaci modelu drsnosti byl vybrán případ proudění oběžnou lopatkovou mříží parní turbíny s profilem lopatek označovaném SE1050. Při výběru praktické aplikace byla zohledněna možnost porovnat výsledky numerické simulace s výsledky získanými měřením provedeném na lopatkové mříži SE1050 s hladkým povrchem. 4.1 Oběžná lopatková mříž SE1050 Oběžná lopatková mříž s profilem lopatek SE1050 je navržena pro poslední stupeň parní turbíny ŠKODA s délkou lopatek 1085 mm a nominální hodnotou otáček 3000 ot.m 1. Zadní část sací strany je přímá. Odtoková hrana na tlakové straně je navržena tak, aby potlačila vnitřní rázovou vlnu. Uspořádání mříže je schematicky zobrazeno na Obr. 4.1, převzatém od Šafaříka aj. [3].
Obr. 4.1: Schema lopatkové mříže SE1050 [3] Hodnoty charakteristických rozměrů lopatkové mříže SE1050, znázorněných na Obr. 4.1, jsou t = 55, 1 mm, b = 100 mm a γ = 37, 1. Mříž je navržena pro vstupní úhel proudu β 1 = 70, 7. Experimentální vyšetřování struktury proudění lopatkovou mříží SE1050 s hladkým povrchem bylo provedeno v aerodynamickém tunelu atmosférického typu s vakuovou nádrží (viz práce Šafaříka aj. [3]). Experimentální vyšetřování bylo provedeno pro výstupní Machova čísla Ma 2is v rozsahu 0, 5 1, 5 a úhly náběhu i (i = 70, 7 β 1 ) od 72 do 30. Ze všech experimentálně vyšetřovaných režimů byl pro numerickou simulaci vybrán subsonický režim proudění (Ma 2is = 0, 489, β 1 = 70, 7, Re 2 5, 2 10 5 ). V případě proudění v subsonickém režimu, kde se nevyskytuje rázová vlna, jsme mohli při numerické simulaci použít strukturovanou sít. Použití strukturované sítě umožnilo, při výpočtu s drsným povrchem, lépe splnit doporučení o velikosti první buňky na stěně uvedené v odstavci 1.1. 4.2 Geometrie sítě V preprocesoru Gambit byly vytvořeny dvě strukturované 2D sítě stejné geometrie. Výpočetní oblast byla tvořena mezilopatkovým kanálem mříže SE1050 (viz Obr. 4.2) a vstupním a výstupním prostorem. Na stranách výpočetní oblasti, navazujících na lopatkový profil, byla aplikována periodická okrajová podmínka. Sít A byla navržena pro výpočet lopatkové mříže s hladkým povrchem lopatek. Sít B,
určená k výpočtu lopatkové mříže s drsným povrchem, respektovala doporučení o velikosti první buňky na stěně, které je uvedeno v odstavci 1.1. Rozdíl mezi sítěmi A a B je jasný při pohledu na detaily sítí v blízkosti stěny (viz Obr. 4.3 resp. Obr. 4.4). Obr. 4.2: Výpočetní oblast - SE1050 Obr. 4.3: Sít A (hladký povrch) Obr. 4.4: Sít B (drsný povrch)
4.3 Výpočetní model Při výpočtu hladkého i drsného případu bylo proudící médium uvažováno jako vazká stlačitelná tekutina. V komerčním softwaru FLUENT byl použit spojený řešič a výpočet byl stacionární. Hladké lopatky Model turbulence: k ɛ model turbulence - realizable, nerovnovážná stěnová funkce. Okrajové podmínky: Referenční tlak: p = 84751 P a. Vstup: tlaková okrajová podmínka: tlak: p 1 = 15054 P a, teplota T 0 = 295, 3 K, intenzita turbulence: 3%, turbulentní délkové měřítko: 0, 0012 m. Výstup: tlaková okrajová podmínka: tlak: p 2 = 0 P a, teplota T = 281, 8 K, intenzita turbulence: 3%, turbulentní délkové měřítko: 0, 0012 m. Stěny: k s = 0 mm. Diskretizace: Upwind 2.řádu u všech veličin. Verze programu: Fluent 6.1.22. Drsné lopatky Výpočetní model byl stejný jako v případě hladkých lopatek, až na okrajovou podmínku na stěně. Okrajové podmínky: Stěny: k s = 0, 3 mm Pozn.: V obou případech se jednalo o proudění v subsonickém režimu. 4.4 Výsledky Výsledky numerické simulace proudění lopatkovou mříží SE1050 s hladkým povrchem lopatek jsou porovnány s experimentálně získanými daty, dále jsou porovnány výsledky numerických simulací mezi sebou. V obou případech se porovnávají hodnoty ztrátového součinitele ξ. Na Obr. 4.5, převzatém od Šafaříka aj. [3], je interferogram (Ma 2is = 0, 489, β 1 = 70, 7 ), získaný při měření oběžné lopatkové mříže SE1050 s hladkým povrchem lopatek. Na Obr. 4.6 je zobrazeno pole rozložení Machových čísel získané numerickou simulací pro případ hladkých lopatek a na Obr. 4.7 je znázorněno pole rozložení Machových čísel pro případ drsných lopatek.
Ztrátový součinitel Ztrátový součinitel ξ je v našem případě definován jako rozdíl celkových tlaků v těsné blízkosti před a za lopatkovou mříží SE1050 dělený dynamickým tlakem před lopatkovou mříží. Vypočtené tlaky jsou střední hodnoty napříč mezilopatkovým kanálem a jsou vztaženy k tlaku referenčnímu. ξ = p c2 p d1. (4.1) Při experimentu byl ztrátový součinitel určován dle vztahu ζ = 1 λ2 2, (4.2) λ 2 2is kde je λ poměr dané rychlosti a rychlosti kritické. Ztrátový součinitel ζ lze, při znalosti hodnot Ma 1, Ma 2is a ζ, pomocí vztahů uvedených níže přepočítat na námi užívaný ztrátový součinitel ξ. ξ = p c2 p d1 = p c2 p s1 = kde p s1 = f(ma 1 ), p c2 p s2 ps2 = f(ma 2 ) f(ma 2is ). 1 p c2 1 p s1, (4.3) ( ) 6Ma 2 1/2 λ 2is = 2is (4.4) 5 + Ma 2 2is λ 2 2 = λ 2 2is(1 ζ) (4.5) ( ) 5λ 2 1/2 M 2 = 2 (4.6) 6 λ 2 2 p s1 = ( ) 1 + 0, 2Ma 2 κ/(κ 1) 1 (4.7) p s2 = ( ) 1 + 0, 2Ma 2 κ/(κ 1) 2is (4.8) p s2 = ( ) 1 + 0, 2Ma 2 κ/(κ 1) 2 (4.9) p c2
Obr. 4.5: Interferogram (M a2is = 0, 489, β1 = 70, 7 ) [3] Obr. 4.6: Rozloz enı Machovy ch c ı sel - vy poc et s hladky m povrchem
Obr. 4.7: Rozloz enı Machovy ch c ı sel - vy poc et s drsny m povrchem Z porovna nı Obr. 4.6 a Obr. 4.7 je zr etelne patrny na ru st tlous t ky meznı vrstvy v pr ı pade drsne ho povrchu lopatek a to hlavne na sacı strane. Vy poc et pc1 [Pa] pc2 [Pa] pd1 [Pa] Hladky povrch Drsny povrch 15053,8 15022,3 14334,2 13825,6 4939,1 4683,7 Tab. 4.1: Hodnoty tlaku vu c i tlaku referenc nı mu Hodnoty ztra tove ho souc initele ξ Pro stejny rez im proude nı (M a2is = 0, 489, β1 = 70, 7 ) byla provedena dve me r enı, ze ktery ch byly zı ska ny dve hodnoty ztra tove ho souc initele ζ. Hodnoty ztra tove ho souc initele ζ pr epoc ı ta ny na na mi pouz ı vany souc initel ξ jsou uvedeny v Tab. 4.2. Hodnoty ztra tove ho souc initele ξ, ktere byly vypoc ı tane dosazenı m hodnot tlaku z Tab. 4.1 do rovnice (4.1), jsou uvedeny v Tab. 4.3.
Měření 1 2 ξ [1] 0,1109 0,1456 Tab. 4.2: Hodnoty ztrátového součinitele ξ - experiment Výpočet Hladký povrch Drsný povrch ξ [1] 0,146 0,256 Tab. 4.3: Hodnoty ztrátového součinitele ξ - výpočet 5 Závěr Byla ověřena funkčnost modelu drsnosti implementovaného v programu FLUENT. Následně byly provedeny numerické simulace proudění lopatkovou mříží SE1050 s drsným a hladkým povrchem lopatek. V obou případech byl vyhodnocen ztrátový součinitel ξ. Vypočtená hodnota ztrátového součinitele ξ pro hladký případ odpovídá jedné z hodnot získaných z experimentálního měření (viz Tab. 4.2). Při porovnávání výsledků numerických simulací pro hladký a drsný případ, nás nejvíce zajímala změna hodnoty ztrátového součinitele ξ (viz Tab. 4.3). Na první pohled je patrné, že drsný povrch lopatek má za následek, v subsonickém režimu proudění, výrazný nárůst ztrát. Tento nárůst je 75%. Z porovnání výsledků také vyplývá, že drsný povrch lopatek má za následek nárůst tloušt ky mezní vrstvy a to zejména na sací straně. Toto jsou zásadní zjištění, které vyžaduje podrobnější zkoumání (experimentální, teoretické i počítačové). Reference [1] CEBECI, T.; BRADSHAW, P. Momentum transfer in boundary layers, Hemisphere Publishing Corporation, New York, 1977 [2] STANISLAV, J.; ŠAFAŘÍK, P.; PŘÍHODA, J.; SLÁDEK, A. Numerické modelování obtékání drsných stěn. interní zpráva, závěrečný projekt, Fakulta strojní ČVUT v Praze, Praha, 2006 [3] ŠAFAŘÍK, P.; ŠŤASTNÝ, M.; BABÁK, M. Numerical and experimental testing of transonic flow in the etalon turbine cascade SE 1050. In TURBOMA- CHINERY - Fluid Dynamics and Thermodynamics, Conference Proceedings, Praha, 2003, s. 1007-1016 [4] SHIH, T.-H.; ZHU, J.; Lumley, J.L. A new Reynolds stress algebraic equation model, NASA TM 106644, 1994 [5] Uživatelský manuál softwaru Fluent 6.1