Proceedings of the 6 th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 8-9, 7 Bratislava, Slovakia Faculty of Civil Engineering STU Bratislava Slovak Society of Mechanics SAS PRAVDPODOBNOSTNÍ VÝPOT METODOU PDPV SE ZÁVISLÝMI NÁHODNÝMI VELIINAMI L. Randýsková a P. Janas Abstract Input random variables are expressed by histogram in applications of probabilistic method. Dependent variables enter in calculation as independent in application some of probabilistic method (for example SBRA, PDPV. In this paper is introduced model, in which by the help of other independent histograms the dependent variables are expressed. ÚVOD Náhodný charakter veliin vstupujících do pravdpodobnostních výpot pi posuzování spolehlivosti konstrukcí se asto vyjaduje histogramy vycházejícími z pozorování a mení asto i dlouhodobých. Pi posuzování spolehlivosti konstrukcí nkterými pravdpodobnostními metodami (nap. SBRA, PDPV vstupují do výpotu v zásad vždy statisticky nezávislé veliiny. Nkteré veliiny, napíklad prezové charakteristiky, jsou však statisticky zcela jednoznan závislé. Pokud se zdá tento postup nekorektní, pak lze urit statisticky závislé veliiny zadávat pomocí vtšího potu nezávislých histogram. Prezové charakteristiky jsou pak statisticky závislé, nebo jsou funkcí jiných histogram. V lánku je uveden postup, kterým byl získám model, dle kterého lze prezové charakteristiky zadávat pomocí dalších nezávislých histogram. Tento model byl aplikován na píklad a porovnán s jinými zjednodušenými postupy. ANALÝZA VÍCEROZMRNÝCH DAT. Vstupní data Jako vstupní data pro výpoty byly použity namené skutené a inální parametry válcovaného profilu IPE. A to konkrétn šíka s a výška h profilu IPE, šíka b, b a tlouška t, t dolní a horní pásnice profilu IPE a na nich závislá plocha A, moment setrvanosti I a prezový modul W tohoto profilu IPE. Rozmr použitého souboru dat je n 5. Namená data byla získána z prací Ing. L. Rozlívky [5]. Obr. : Profil IPE Ing. Lenka Randýsková, VŠB-TUO, FAST, Katedra 8, L. Podéšt 875, 78 Ostrava - Poruba, tel. +5979, email: lenka.randyskova@vsb.cz. Doc. Ing. Petr Janas, CSc., VŠB-TUO, FAST, Katedra 8, L. Podéšt 875, 78 Ostrava - Poruba,, tel. +5978, email: petr.janas@vsb.cz.
6 th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 7, Bratislava PROFIL Nominální hodnoty Skutené hodnoty h s b t A I W h skut s skut b skut b skut t skut t skut A skut I skut W skut IPE, 5,6, 8,5 7,8 8559, 8559, 99, 5,8,,7 9, 9, 897, 95667, 9669, IPE, 5,6, 8,5 7,8 8559, 8559, 99, 5,8,7, 9, 8,9 86, 987, 9,5 IPE, 5,6, 8,5 7,8 8559, 8559,,5 5,5,,7 9, 8,8 78, 957, 97, IPE, 5,6, 8,5 7,8 8559, 8559,,6 5,,9, 8, 8, 6,7 7996, 79,9 IPE, 5,6, 8,5 7,8 8559, 8559, 99, 5,9,7, 8,6 8,9 85, 97657,7 8989,8 IPE, 5,6, 8,5 7,8 8559, 8559,, 6,,8, 9, 9, 99,9 5787, 9897, IPE, 5,6, 8,5 7,8 8559, 8559, 99, 5,8,,8 8,8 8,6 89, 9985, 896, IPE, 5,6, 8,5 7,8 8559, 8559, 99, 6,,8, 8,7 8,8 888, 9,6 965, IPE, 5,6, 8,5 7,8 8559, 8559, 99, 6,,,6 8,8 8,9 897, 97768, 97,5 IPE, 5,6, 8,5 7,8 8559, 8559, 99,7 5,8,9,8 8,6 8,8 87, 895, 8797, Tab. : Píklad vstupních dat Z tchto vstupních dat byly vypoteny relativní chyby všech parametr podílem skutených a inálních hodnot. Píklady tchto hodnot jsou uvedeny v tabulce. Hodnoty h/h s/s b /b t /t 5 b /b 6 t /t,995,6,,88,7,65,995,7,7,7,,,8,977,,55,7,,,968,9,9,,95,995,5,7,,,7,,7,8,5,,9,997,6,,5,8,,996,98,8,8,,5,995,98,,9,6,7,999,6,9,6,8,5 Hodnoty A/A I/I W/W,6,58,55,5,5,,,8,6,967,975,97,7,,8,98,9,78,8,,7,6,7,8,6,9,,,,8 Tab. : Píklad veliin,, 6 a,,. Analýza dat Úkolem celé této analýzy je stanovit modely veliin, a, které jsou závislé na veliinách,, 6 (tab., jenž tvoí náhodný vektor x. [ ] T x 5 6 (.. Korelaní matice Abychom zjistili závislosti veliin,, 6, je teba stanovit korelaní matici (x ( x (, (, 6 (, (, (, (, 6 6 6, ( kde ( i, j jsou jednotlivé korelaní koeficienty. Vypotená korelaní matice je uvedena v tabulce. Je patrné, že veliiny, 5 a, 6 jsou siln korelovatelné. 5 6 -,65 -,65 -, -, -,88 -,65,,,89,5 -,65,,,79,7 -,,,,88,669 5 -,,89,79,88,6 6 -,88,5,7,669,6 Tab. : Hodnoty korelaní matice
6 th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 7, Bratislava Z tohoto dvodu byl vytvoen nový náhodný vektor, ve kterém došlo k nahrazení 5, 6. [ ] T x 5 6 ( Hodnoty korelaní matice tohoto nového vektoru (tab. už ukazují, že mezi žádnými veliinami nevznikají silné korelace. -,65 -,58 -,9 -,65,7,58 -,58,7,66 -,9,58,66 Tab. : Hodnoty nové korelaní matice.. Metoda hlavních komponent Pro zjednodušení analýzy a snadnjší hodnocení výsledk je asto vhodné zkoumat, zda by studované vlastnosti pozorovaných objekt nebylo možné nahradit menším potem jiných (teba i umlých promnných, shrnujících poznatky o výchozích promnných získaných z dat, aniž by došlo pi tom k vtší ztrát informace. K ešení tohoto problému byla vytvoena metoda hlavních komponent, která vychází z analýzy kovarianní matice. Nov vytvoené promnné nejsou niím jiným než lineární kombinace pvodních mitelných promnných. Nalezení lineárních kombinací promnných geometricky odpovídá rotaci pvodní souadnicové soustavy provedené tak, že nové osy procházejí smry maximálního rozptylu shluku bod. Tato transformace souadnicového systému umožuje zachytit na nkolika prvních osách maximum informace o prostorové struktue souboru vícerozmrných pozorování. Kovarianní matice náhodného vektoru x je tvercová symetrická matice C(x. Na hlavní diagonále jsou rozptyly D a mimo tuto diagonálu jsou kovariance C. V našem pípad je tato matice ádu. C ( x C C C D( C(, C(, C(, (, D( C(, C(, (, C(, D( C(, (, C(, C(, D( Hodnoty kovarianní matice pro naše data jsou uvedeny v tabulce 5. (,7 -, -,67 -, -,,6 6,555, -,67 6,555 8,,85 -,,,85 5,67 * -5 Tab. 5: Hodnoty kovarianní matice Nové promnné (komponenty jsou tvoeny postupn s klesajícím významem své dležitosti. Komponenty jsou vzájemn nekorelované. Nejdležitjší první (hlavní komponenta vysvtlí co nejvíce z celkové variability, ímž se myslí co nejvtší ást ze soutu rozptyl všech zkoumaných promnných. Každá další komponenta pak vysvtlí co nejvíce se zbývající celkové variability. Ozname postupn klesající vlastní ísla matice C jako λ ( > λ ( > λ ( > λ (, jim odpovídající ortonormální charakteristické vektory ω, ω, ω, ω..,,7,8,9 Tab. 6: Vlastní ísla λ kovarianní matice C,999,5 -,65 -,8,7 -,67,99,96,,997,69,5,7 -,87 -,986,997 Tab. 7: Vlastní vektory ω kovarianní matice C
6 th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 7, Bratislava Pozn. Vlastní íslo tvercové matice C je skalár λ definovaný tak, aby pro njaký nenulový vektor ω platila rovnost Cω λω. Tento vektor ω je vlastním vektorem matice C. Vlastní ísla a vlastní vektory výše uvedené matice, které byly vypoteny pomocí programu MATLAB, jsou uvedeny v tabulce 6 a 7. Definujeme jako první hlavní komponentu veliinu Z T x, (5 ω kde vektor ω je uren tak, aby byla splnna normalizaní podmínka ω T ω. (6 Naprosto stejn jsou definované ostatní komponenty Z, Z, Z s tím, že navíc musí být splnn požadavek nekorelovatelnosti tchto veliin (jejich vlastní vektory jsou ortogonální, tj. ω i T ω j. Hlavní komponenty pro náš píklad byly vypoteny za pomoci vlastních ísel a vektor uvedených v tab. 6 a 7. Hlavní komponenty jsou uvedeny v tabulce 8. Hlavní komponenty Z Z Z Z,8,9,96,,5,98,95,,,89,98,5,5,9,97,5,8,97,9,,8,5,9,5,7,955,98,,8,5,9,,5,,9,,6,95,96, Tab. 8: Píklady hlavních komponent První hlavní komponenta Z vysvtluje (,9/,587 76% celkového rozptylu vysvtlovaných veliin, druhá komponenta Z (,8/,587 8%, tetí komponenta Z (,7/,587 5% a tvrtá poslední komponenta Z pouze (,/,587, %. Lze tedy íci, že první ti komponenty bez velké ztráty informace vyerpají tém celkovou variabilitu veliin,,,. Pro další výpoty a výklad budeme tedy pracovat s temi promnnými, tj. s první, druhou a tetí komponentou, které ale dále budeme oznaovat,,... Stanovení lineárních model Statistická metoda pro modelování závislosti jedné nebo nkolika vysvtlovaných náhodných veliin (závisle promnných na jedné nebo nkolika vysvtlujících veliinách (nezávisle promnných se nazývá regresivní analýza. Pro veliiny,, lze vytvoit lineární model z kombinace hodnot vysvtlujících promnných,,. β + β β + β β + β + β + β + β + β + β + β V tchto rovnicích je β vektor neznámých parametr a ε vektor nepozorovatelných rušivých složek. Pro odhad b vektoru β se používá nejastji metoda nejmenších tverc, která vychází z minimalizace reziduálního soutu tverc Q(e. + ε + ε + ε (7 Q( e n i Pro nalezení minima vycházíme z první derivace Q(e podle b. e i, e b (8 T T ( b (9
6 th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 7, Bratislava Vektory b vypotené pro naše veliiny jsou uvedeny v tabulce 9. b,55,7,5 b,,78,6 b,8,59,9 b,7,99, Tab. 9: Odhad b vektoru β Pro veliiny,, jsme tedy vytvoili následující modely.,55 +,,7 +,78,5 +,6 +,8 +,59 +,9 +,7 +,99 +,.. Autokorelace Pro nkterá data je nezávislost jednotlivých pozorování nerealistickým požadavkem. Závislost jednotlivých (pedevším sousedních pozorování je typická a samozejmá, takže se pi statistické analýze využívá ke konstrukci speciálních model s cílem zvýšit pesnost provádných pedpovdí. Závislost jednotlivých pozorování vede k nesprávnému použití klasického odhadu b a následnému snížení pesnosti. Autoregresivní koeficient je dalším neznámým parametrem lineárního regresivního modelu. Parametr je možné interpretovat jako korelaní koeficient mezi dvma sousedními náhodnými poruchami ε i a ε i+. Odhadem lze urit jako rozdíl,5dw, kde DW je statistika Durbina a Watsona. DW n ( ei ei i n i Veliina DW nabývá hodnot od nuly do ty a rozdlení DW je symetrické kolem hodnoty d. Durbin a Watson vymezili interval, ve kterém se nachází kritická hodnota. Stanovili (dolní hodnotu dw L a (horní hodnotu dw U pro rzný poet K vysvtlujících promnných a vybraná α. V našem píklad, kdy n 5, K a α,5 je z tabulek dw L,55 a dw U,67. Pomocí výše uvedeného vztahu byly vypoteny pro veliiny,, statistiky DW,6, DW,6 a DW,78. Všechny hodnoty DW jsou menší než dw L, což signalizuje pozitivní autokorelaci prvního ádu. Pi autokorelaci je poteba urit místo klasického odhadu b zobecnný odhad b z. b z e i T T ( W W y ( ( V tomto vztahu je inverzní matice W - pomrn jednoduchá triagonální matice. W + + + (
6 th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 7, Bratislava Pro naše veliiny,, byly ureny zobecnné odhady uvedené v tabulce. b z,,5,,6 b z,,,,75 b z,,7,78,57 b z,,8,9,6 Tab. : Zobecnné odhady b z Pro veliiny,, jsme tedy vytvoili nové modely, které obsahují již zobecnné odhady b z. Nová rezidua ve vztahu k hodnotám vysvtlovaných promnných už nesignalizují autokorelaci.,5+,, +,,6 +,75 +,7 +,78 +,57 +,8 +,9 +,6..5 Kritérium výbru promnných - statistika C q Pi použití metody všech možných lineárních regresivních funkcí je oblíbenou mírou statistika C q, kterou navrhl C. L. Mallows. C q (, q ( e, p Q e ( n q ( s V tomto vztahu je Q(e,q reziduální souet tverc modelu s q parametry vetn absolutního lenu (s q - vysvtlujícími promnnými, s (e,p Q(e,p/(n-p je reziduální rozptyl modelu se všemi K uvažovanými vysvtlujícími promnnými (poet parametr vetn absolutního lenu p K +. Podmnožina q - vysvtlujících promnných nemusí obsahovat žádnou promnnou a nejvýše mže obsahovat všech K promnných. Pro q p je C q C p p a model neobsahuje žádné zkreslení. Podmnožina s q vysvtlujícími promnnými (q < p, jejíž hodnota C q se neliší od q indikuje dobrý model pi malém zkreslení odhadu. Statistiky C q vypotené pro náš píklad jsou uvedeny v tabulce. Jelikož se všechny hodnoty podstatn liší od parametru q, lze íci, že nejlepší jsou modely, které obsahují všechny vysvtlující promnné. Mžeme také íci, že nejvtší pínos má veliina, která nejmén zvyšuje regresivní souet tverc. q - C q ( Model C q ( Model C q ( Model 875,5, 9, 98,8 8, 9,8 599, 65, 589,6 9,7,,6 759, 95, 9,5 8696,5 7,,,,, Tab. : Statistiky C q..6 Stanovení model s nelineárními leny Vytvoené modely veliin, které jsou uvedeny v kapitole.. jsou lineárními kombinacemi, a. Vytvoili jsme dále pak ješt modely kombinací souin a mocnin veliin, a. Bylo vytvoeno velké množství model s rznými vysvtlujícími parametry. U všech model byla provena autokorelace a v jejím pípad stanoven zobecnný odhad b z. Pro každý model byl stanoven parametr C q, podle kterého byly vybrány tyto nejlepší modely:
6 th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 7, Bratislava,69 +,75,7,66, +,7 +, +,76 +,5 +,7 +, +,7,5 +,5,7,78,7 Tyto modely jsou nepatrn lepší než lineární modely, avšak obsahují více len než zmínné lineární modely...7 Srovnání lineárních a nelineárních model Pro veliiny,, byly vytvoeny dva typy model, ke kterých se vyskytují hodnoty,,. První typ model je tvoen lineární kombinací,,, druhý typ model pak kombinací nelineárních len. Srovnání tchto dvou model je patrné z obr.. Vypotené veliiny jsou tém shodné. Jelikož je výpoet dle nelineárního modelu složitjší, je použití tohoto modelu zbytené. Lineární model je pro výpoty dostatený.,6,6,,,, Pravdpodobnost P,,8,6, Pravdpodobnost P,,8,6,,,,,9,95,,5,,5, -,,,8,85,9,95,,5,,5, -, nelineární model lineární model nelineární model lineární model,6,, Pravdpodobnost P,,8,6,,,,8,85,9,95,,5,,5, -, nelineární model lineární model Obr. : Histogramy promnných (vypotené dle lineárního a nelineárního modelu MODEL. Statisticky závislé použití tí histogram V kapitole byl vytvoen lineární model závislých veliin,, v závislosti na nezávislých veliinách, a. Tyto modely vyjadují relativní chyby prezových charakteristik A, I a W válcovaného profilu IPE. Hodnoty prezových charakteristik A, I, W vstupujících dále do výpot se pak poítají jako souin veliin,, a inálních hodnot A, I, W. Pi použití tchto model pak hodnoty prezových charakteristik vstupuji do výpotu jako závislé promnné.
6 th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 7, Bratislava A A I I W W A I W (,5 +, +,7 +,8 (, +, +,78 +,9 (,6 +,75 +,57 +,6 (. Statisticky závislé použití jednoho histogramu Nepesnosti profilu lze charakterizovat jedinou relativní délkovou chybou ε []. Tento postup pi pravdpodobnostním výpotu snižuje poet operací. Veliiny jsou sice statisticky závislé, ale otázkou je, jestli je použití jednoho histogramu dostaující. A skut ε (5 A ( ε, W W ( ε, I I ( ε A (6 A. Statisticky nezávislé Pokud pi posuzování spolehlivosti konstrukcí vstupují do výpotu prezové charakteristiky jako statisticky nezávislé veliiny, není výpoet teoreticky korektní. Každá veliina je vyjádena pomocí nezávislého histogramu. Pi tomto postupu mže dojít k tomu, že pi výpotu bude použita napíklad maximální plocha A a minimální moment setrvanosti I, což urit neodpovídá skutenosti a není korektní. A I α A, α A W skut skut skut, α I W (7 I W A A α, W W α, I I α (8 A W I PÍKLAD. Zadání Statické schéma ešené konstrukce je na obr.. Výška sloupu je 6 m. Prez sloupu je tvoen válcovaným profilem HEB z oceli Fe6/S5 a modulu pružnosti v tahu a tlaku E GPa. Maximální poátení imperfekce sloupu a je rovna ± mm. Ve výpotu se objevuje 5 složek zatížení. Jejich návrhové hodnoty jsou dány tabulkou : l D + L + S a δ W + EQ Oznaení Typ zatížení Návrhová hodnota [kn] D Stálé 5 A, I, W, f y L Dlouhodobé nahodilé 75 S Krátkodobé nahodilé 75 Obr. : Schéma ešené konstrukce W Vítr EQ Zemtesení (D+L+S/ 5/ 5 Tab. : Vstupní údaje zatížení
6 th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 7, Bratislava. Výpotový model Pro výpoet maximálního vodorovného pemístní δ dle teorie II. ádu s uvažováním vlivu poáteních imperfekcí se uvádí vztah kde δ W + EQ + F Kl tg l K l F EI a F l, F EI Ohybový moment v kritickém prezu (ve vetknutí a normálové naptí v krajních vláknech tohoto prezu se pak rovná ( + K M F δ ( + K δ M F, σ + F + ( K W A KW A V dalším výpotu je analyzována funkce spolehlivosti dle mezního stavu únosnosti (9 ( SF R Q, ( kde R je mezní hodnota normálového naptí odpovídající materiálovým vlastnostem a Q je extrémní normálové naptí ve vetknutí sloupu. Použitelnost konstrukce je vztažena k povolené hodnot vodorovného petvoení sloupu δ tol 5 mm. Funkce spolehlivosti dle mezního stavu použitelnosti má pak tvar SF δ δ, ( tol kde δ je hodnota skuteného maximálního vodorovného petvoení sloupu. Kritérium spolehlivosti je vyjádeno nerovnicí P f < P d, kde P f je pravdpodobnost poruchy a P d je návrhová pravdpodobnost. Posudek dle mezního stavu únosnosti, založený na analýze funkce spolehlivosti SF, byl proveden v kritickém prezu vetknutí sloupu.. ešení K ešení byl použit program PROBCALC. Tento píklad byl ešen celkem tyikrát, lišil se zpsob zadání prezových charakteristik A, I, W dle kapitoly, pi tvrtém ešení pak byly hodnoty zadány jako konstanty. Pedpokládáme, že modely vytvoené z namených hodnou IPE lze použit i pro profil HEB. Výsledky jsou uvedeny v tabulce, na obrázcích a 5 lze vidt i vypotené hodnoty naptí a graf spolehlivosti konstrukce.. závislé (. závislé (ε. nezávislé (α. konstanty min sigma 6,9 7,7 7,58 9, max sigma,78,8,6,89 p f (násobeno 6,,6,,85 zvýšená zvýšená zvýšená zvýšená Tab. : Vypotené hodnoty maximálního, minimálního naptí a pravdpodobnosti poruchy Z tabulky výsledk (tab. i histogram (obr. a 5 je patrné, že zpsob zadávání prezových charakteristik nemá na výsledné naptí i pravdpodobnost poruchy až tak velký vliv.
6 th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 7, Bratislava. závislé (. závislé (ε. nezávislé (α. konstanty Obr. : Histogramy vypotených naptí. závislé (. závislé (ε. nezávislé (α. konstanty Obr. 5 : Histogramy spolehlivosti konstrukce
6 th International Conference on New Trends in Statics and Dynamics of Buildings October 7, Bratislava. ešení s použitím vícenásobných rozptyl relativních chyb prezových charakteristik V dalším ešení píkladu byly zvtšeny rozptyly relativních chyb prezových charakteristik. Pvodní rozptyl tchto veliin byl zvtšen dvakrát, následn pak i ptkrát a šestkrát. Tyto pípady byly ešeny s hodnotami závislými i nezávislými. V tabulce jsou uvedeny výsledné pravdpodobnosti poruchy. Jak je vidt, u šestinásobného rozptylu relativních chyb, který je však nereálný, se p f liší jen o %. δ δ 5δ 6δ závislé (, 5,,8 8, nezávislé (α,,8,97 57, Tab. : Vypotené pravdpodobnosti poruchy p f (násobeno 6, vícenásobné rozptyly relativních chyb.5 ešení se zvtšeným zatížením V tomto ešení bylo zvtšeno zatížení. Zmnné hodnoty v kn jsou uvedeny v tab. 5. Ani tato zmnu nezpsobila, že by se výsledky se závislými i nezávislými veliinami njak výrazn lišily. D 5, W 5, EQ,5 D, W 5, EQ 57,5 závislé ( 7,7 77,68 nezávislé (α 767,5 77,5 Tab. 5: Vypotené pravdpodobnosti poruchy p f (násobeno 6 se zvtšeným zatížením 5 ZÁVR Všechny uvedené typy model byly aplikovány na uvedených píkladech. K výpotm byl použit program PROBCALC. Výpoty ukazují, že u daného válcovaného profilu je rozptyl prezových charakteristik natolik malý, že zpsob zadávání tchto charakteristik (jako závislé nebo nezávislé vypotenou pravdpodobnost poruchy podstatn neovlivuje. PODKOVÁNÍ Projekt byl realizován za finanní podpory ze státních prostedk prostednictvím Grantové agentury eské republiky. Registraní íslo projekt je /5/H6 a 5/7/65. LITERATURA [] Hebák, P., Hustopecký, J., Jarošová, E. Vícerozmrné statistické metody (, Praha,. ISBN 8-7-5- [] Hebák, P., Hustopecký, J., Malá, I. Vícerozmrné statistické metody ( Praha, 5. ISBN 8-7-6-9 [] Hebák, P., Hustopecký, J., Pecáková, I Vícerozmrné statistické metody (, Praha, 5. ISBN 8-7-9- [] Janas, P., Krejsa, M. Pímý determinovaný pravdpodobnostní výpoet a jeho využití pi posuzování spolehlivosti konstrukce, I. Celostátní konference Pravdpodobnost porušování konstrukcí, FAST VUT, Brno,, str. 97-6, ISBN 8--78-. [5] Rozlívka, Fajkus, M. Reálné pevnostní hodnoty konstrukních ocelí, Konf. Rozvojové tendencie v odbore OK, Jahodná u Košic, [6] Marek, P., Brozzetti, J., Guštar, M. Probabilistic Assessment of Structures using Monte Carlo Simulation, Praha,