3 NÁHODNÁ VELIINA. as ke studiu kapitoly: 80 minut. Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umt
|
|
- Renáta Benešová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 NÁHODNÁ VELIINA as ke studiu kapitoly: 8 minut Cíl: Po prostudování tohoto odstavce budete umt obecn popsat náhodnou veliinu pomocí distribuní funkce charakterizovat diskrétní i spojitou náhodnou veliinu porozumt funkci intenzity potuch urovat íselné charakteristiky náhodné veliiny transformovat náhodnou veliinu
2 Výklad:. Definice náhodné veliiny Mjme pravdpodobnostní prostor (, S, P). Náhodná veliina X je reálná funkce X() prvk ze základního prostoru. taková, že pro každé reálné x (x R) je X( < x ) S, tj. náhodným jevem. Tedy náhodná veliina je množina { } zobrazení X : R takové, že pro každé x R platí: X - ((-, x)) { ω Ω X( < x )} Z definice plyne, že pro libovolné x R mžeme urit pravdpodobnost toho, že X( ω ) < x. S Základní prostor Ω Množina všech hodnot { x X( ω } ), se nazývá základní soubor. Prvodce studiem: Pro ty z Vás, kteí nemají rádi matematické definice, zkusíme vysvtlit pojem náhodná veliina ješt jiným zpsobem. Výsledkem náhodného pokusu je v mnoha pípadech reálné íslo (doba do poruchy, píjem státního zamstnance, poet žák v. tíd...). Pak je možno íci, že náhodnou veliinou nazveme takový výsledek náhodného pokusu, který je dán reálným íslem. Náhodné veliiny (NV) budeme oznaovat velkými písmeny z konce abecedy (nap. X, Y, Z nebo X, X,...). Jejich konkrétní realizace pak malými písmeny (x, y, z nebo x, x,...)
3 Píklad: Náhodná veliina X... Poet dtí ženy starší 8-ti let (obecn) x... Poet dtí jedné konkrétní ženy (konkrétní realizace NV X) Výklad: Jedním z úkol teorie pravdpodobnosti je vybudovat matematický aparát, který piadí všem zajímavým podmnožinám množiny reálných ísel R píslušné pravdpodobnosti.. Distribuní funkce Definice: Nech X je náhodná veliina. Reálnou funkci F(t) definovanou pro všechna reálná t, t R vztahem: F(t) P{X (-, t)} P(X < t) nazveme distribuní funkcí náhodné veliiny X. Distribuní funkce je tedy funkce, která každému reálnému íslu piazuje pravdpodobnost, že náhodná veliina nabude hodnoty menší než toto reálné íslo. Distribuní funkce má adu vlastností, které vyplývají pímo z její definice:. Distribuní funkce je nezáporné íslo menší nebo rovno jedné: F(x). Distribuní funkce je neklesající, tj. x, x R: x < x F( x ) F( x ),. Distribuní funkce F( x ) je zleva spojitá. lim F(x) ; lim F(x) x + x 5. a, b R; a < b: P( a X < b ) F( b ) - F( a ) 6. P X x ) lim F(x) F( x ) ( x x + Rozlišujeme dva základní druhy náhodné veliiny - spojitou (mže nabývat hodnot z njakého intervalu) a diskrétní (mže nabývat pouze konen nebo spoetn mnoha hodnot), pesnji eeno náhodnou veliinu se spojitým a diskrétním rozdlením.. Diskrétní náhodná veliina O diskrétní náhodné veliin hovoíme tehdy, jestliže náhodná veliina nabývá pouze hodnot z njaké konené i spoetné množiny. Jedná se nejastji o celoíselné náhodné veliiny, nap. poet student, kteí vstoupili do hlavní budovy VŠB TUO bhem dopoledne (,,,...), poet len domácnosti (,,,...), poet dopravních nehod za jeden den na dálnici z Prahy do Brna (,,,...), souet ok pi hodu temi kostkami (,,...,8) apod
4 Definice: Budeme íkat, že náhodná veliina X má diskrétní rozdlení pravdpodobnosti práv tehdy, když:. konená nebo spoetná množina reálných ísel M{ x,..., x n,... } takových, že P( X x i ) > i,,...n. i P( X x i ) Funkce P( X x i ) P( x i ) se nazývá pravdpodobnostní funkcí náhodné veliiny X Distribuní funkce takového rozdlení je schodovitá se skoky v bodech x,..., x n,.. Pro distribuní funkci diskrétní náhodné veliiny platí: F( x ) P(X xi < x x ) i ešený píklad: Mjme náhodnou veliinu X definovanou jako výsledek hodu klasickou pravidelnou kostkou. Urete typ NV, její pravdpodobnostní a distribuní funkci (zakreslete). ešení: X... výsledek hodu kostkou Základní soubor NV X (množina všech možných výsledk): Ω {; ; ; ; 5; 6} Vzhledem k tomu, že základní soubor je tvoen konen mnoha (šesti) hodnotami, jedná se o diskrétní NV Pravdpodobnostní funkce této NV je uvedena v následující tabulce: x i P( X x i ) /6 /6 /6 /6 5 /6 6 /6 (nap. P(X) teme: pravdpodobnost, že výsledek hodu kostkou je ). V tabulce jsou pitom uvedeny pouze nenulové hodnoty pravdpodobnostní funkce. Je zejmé, že platí:
5 x i R \ Ω : P( X x ) (nap. P(X,5)P(X-)... ). Všimnte si zárove, že je splnna. ást definice diskrétní NV : P ( X ) ( i) x i Na následujícím obrázku pak vidíme grafickou podobu pravdpodobnostní funkce (izolované body). i P(x) /6 5 6 xx Dále se pokusíme na základ definice urit distribuní funkci. Z vlastností distribuní funkce vyplývá, že body nespojitosti této funkce jsou ty body, v nichž je pravdpodobnostní funkce nenulová (P( x x ) lim F(x) - F( x )). Proto si uríme hodnoty distribuní funkce na x x + všech intervalech vymezených body nespojitosti. nap.: x ( ; : F( x) P( X < x) (pravdpodobnost, že na kostce padne íslo menší než ) x ( ; : F( x) P( X < x) / 6 (pravdpodobnost, že na kostce padne íslo menší než ) x ( ; : F( x) P( X < x) / 6 (pravdpodobnost, že na kostce padne íslo menší než )... Hodnoty distribuní funkce na celém defininím oboru (R) jsou uvedeny v následující tabulce. x i F( x i ) (- ;> (;> /6 (;> /6 (;> /6 (;5> /6 (5;6> 5/6 (6; ) Na grafu distribuní funkce si všimnte jejich vlastností: neklesající zleva spojitá lim F(x) ; lim F(x) x + x - 9 -
6 P(x) 5 6 x P X x ) lim F(x) F( x ), tj.: ( x x + distribuní funkce je nespojitá v bodech, v nichž je pravdpodobnostní funkce nenulová velikost skoku v bodech nespojitosti je rovna píslušné pravdpodobnosti F(x) /6 /6 5 6 x. Spojitá náhodná veliina Jestliže náhodná veliina mže nabýt jakékoliv hodnoty z uritého intervalu, hovoíme o náhodné veliin se spojitým rozdlením. Jako píklad lze uvést: životnost výrobku (, ), délku uritého pedmtu (, ), náhodn vybrané reálné íslo (-, ) apod. V takovém pípad nelze jednotlivým realizacím náhodné veliiny piazovat pravdpodobnostní funkci, ponvadž tato pravdpodobnost je nulová. ešený píklad: Urete jaká je pravdpodobnost, že životnost žárovky bude pesn 5 hodin. ešení: Zkusme hledanou pravdpodobnost najít na základ klasické pravdpodobnosti, tj. jako pomr potu píznivých možností a potu všech možností. X životnost žárovky Poet píznivých možností: Poet všech možností: P ( X 5) " " Pravdpodobnost, že životnost žárovky bude pesn 5 hodin je nulová. Už je Vám jasné pro je pravdpodobnost toho, že nastane libovolná realizace spojité náhodné veliiny, nulová? - 9 -
7 Výklad: Mžeme však stanovit pravdpodobnost výskytu náhodné veliiny v libovolném intervalu. To znamená, že pro její popis mžeme použít distribuní funkci. Distribuní funkce spojité náhodné veliiny je definována takto: x ( t) dt pro < x < F( x) f, kde reálnou nezápornou funkci f(x) nazveme hustotou pravdpodobnosti. Hustota pravdpodobnosti je definována jako: F( x + x) F( x) P( x < X < x + x) f ( x) lim lim, x x x x tj. jako limita pravdpodobnosti, že veliina X padne do intervalu (x; x+x), vydlená délkou tohoto intervalu v pípad, že se tato délka blíží nule. Pro hustotu pravdpodobnosti platí: Dkaz: f ( x) t t f ( x) lim f ( x) lim F( t) t Dá se ukázat, že ve všech bodech, kde existuje derivace distribuní funkce, platí: f ( x) df( x) Známe-li tedy distribuní funkci, mžeme lehce urit hustotu pravdpodobnosti a naopak, známe-li hustotu pravdpodobnosti, snadno vtšinou spoítáme distribuní funkci... Pravdpodobnost výskytu spojité NV v njakém intervalu Jaký je tedy vztah mezi pravdpodobnosti výskytu spojité NV v njakém intervalu a distribuní funkci (pop. hustotou pravdpodobnosti)? - 9 -
8 Distribuní funkce v bod x je definována jako pravdpodobnost, že náhodná veliina nabývá hodnot menších než x (že náhodná veliina leží v intervalu (-; x). Z této definice plyne, že a, b R :. P ( X < a) F( a) f ( x) a. P ( X a) F( a) f ( x). P ( a X < b) F( b) F( a) f ( x) a F( x) P( X < x) P{ X ( ; x)} b a Jelikož pro spojitou náhodnou veliinu platí, že P ( X x), mžeme dále tvrdit, že:. P ( X x) 5. P ( X a) P( X < a) 6. P ( X a) P( X > a) 7. P ( a X < b) P( a X b) P( a < X b) P( a < X < b) Dkazy:. plyne z definice distribuní funkce (obecn a speciáln pro spojitou NV). P( X a) P( X < a) F( a) (jev ( X < a) je negací jevu ( a) X<a Xa X ) - a P ( X a) F( a) f a ( x) f ( x) f ( x). P( a X < b) P( X < b) P( X < a) F( b) F( a) f ( x) f ( x) f ( x) X<b X<a a b a b a - a b - 9 -
9 . plyne z definice spojité NV distribuní funkce spojité NV je spojitá funkce a proto P x x ) lim F(x) F( x ) ( x x + 5. P ( x a), P ( X a) P( X a) + P( X < a) P( X < a) 6. P ( x a), P ( X a) P( X a) + P( X > a) P( X > a) 7. P ( x a), P( X b), P( a X < b) P( X a) + P( X b) + P( a < X < b) P( a < X < b) P( a < X b).. Geometrická interpretace vztahu mezi pravdpodobnosti a hustotou pravdpodobnosti Pipomeme si (viz. geometrická interpretace integrálu), že integrál z kivky je vlastn velikost plochy pod touto kivkou. Víme že pro hustotu pravdpodobnosti platí, že: f ( x) Je tedy zejmé, že obsah celé plochy pod kivkou f(x) dává dohromady jedniku. To je analogické situaci u diskrétní náhodné veliiny, kde souet pravdpodobností všech možných výsledk rovnž dával jedniku. Zárove jsme si ukázali, že: P ( a X < b) f ( x) b a A proto mžeme íci, že obsah plochy pod kivkou f(x) pro x < a;b) je pravdpodobnost, že X nabude hodnoty z tohoto intervalu ( a, b R ). P(a X < b) f(x) x Obdobn mžeme znázornit pravdpodobnosti: - 9 -
10 a P ( X < a) f ( x), P ( X a) f ( x) a Píklad Logistické rozdlení pravdpodobnosti má následující distribuní funkci F(x) a hustotu pravdpodobnosti f(x): F( x ) -( + x) f ( x ) -( + x) -( + x) +e e ( + e ) ešený píklad: Nech Y je spojitá promnná definována hustotou pravdpodobnosti: c( y)( + y) f ( y) < y < jinde a) naleznte konstantu c, b) zakreslete f(y) c) naleznte a zakreslete distribuní funkci F(y), d) urete: P(<Y<), P(Y>,5), P(Y,) ešení: a) pro nalezení konstanty c využijeme toho, že: dt + c( t t + ct ) dt + + dt f ( x)
11 y ( ) c( ) ( ) c. c,75 b) f ( y) ( y)( + y) < y < jinde Hustota pravdpodobnosti f(y),8,6,, - - -, y c) Distribuní funkci uríme z definice: F( y) f ( t) dt pro < y < Pro < y < : F( y) dt Pro < Pro y y y t y : F( y) dt + ( t ) dt + t ( y + y + ) t y < : F ( y) dt + ( t ) dt + dt + t y y + Distribuní funkce F(y),,8,6,, , F(y)
12 d) Pravdpodobnosti výskytu náhodné veliiny Y na uritém intervalu uríme pomocí píslušných vztah: P ( < Y < ) F() F() ( + + ) ~ 5% P ( Y >,5) F(,5) ( ( ) P ( Y,) +. + ) 7 5 ~ 5,6% Výklad:.5 Intenzita poruch Pro nezápornou náhodnou veliinu X se spojitým rozdlením definujeme pro F(t) (tj. F(t)<) intenzitu poruch λ(t) : λ ( t) f ( t) F( t) Pedstavuje-li náhodná veliina X dobu do poruchy njakého zaízení, pak intenzita poruch vyjaduje, že pokud do asu t nedošlo k žádné poruše, tak pravdpodobnost, že k ní dojde v následujícím okamžiku malé délky t, je pibližn λ( t). t : ( t X t + t X t) P < > f ( t) F( t) t λ( t). t Vzájemné pevody mezi f ( t), F( t), λ( t) udává následující tabulka: F(t) f(t) ( ) λ t t t F(t) F(t) f ( x) exp λ( x) df( t) t f(t) λ t exp λ x df( t) f ( t) t dt λ( t ) F( t) f ( x) λ ( t) dt f(t) ( ) ( )
13 .5. Jak vypadá nejastjší grafická interpretace intenzity poruch? Pokud zstaneme u pedstavy, že náhodná veliina X popisuje dobu do poruchy njakého zaízení, pak typický tvar intenzity poruch je zobrazen na následujícím obrázku. λ( t) t Kivka na tomto obrázku se nazývá vanová kivka a obvykle se dlí na ti úseky (I, II, III). I. V prvním úseku kivka intenzity poruch klesá. Odpovídající asový interval se nazývá období asných poruch (období zábhu, období poáteního provozu, období osvojování nebo období dtských nemocí podle analogie s úmrtnostní kivkou lovka). Píinou zvtšené intenzity poruch v tomto období jsou poruchy v dsledku výrobních vad, nesprávné montáže, chyb pi návrhu, nebo pi výrob apod. II. III. Ve druhém úseku dochází k bžnému využívání zabhnutého výrobku, k poruchám dochází vtšinou z vnjších píin, nedochází k opotebení, které by zmnilo funkní vlastnosti výrobku. Intenzita poruch je v tomto období pibližn konstantní. Píslušný asový interval se nazývá období normálního užití, i stabilního života. Ve tetím úseku procesy stárnutí a opotebení mní funkní vlastnosti výrobku, projevují se nastádané otesy výrobku z období II (analogie s nesprávnou životosprávou lovka), trhliny materiálu a intenzita poruch vzrstá. Píslušný asový interval se nazývá období poruch v dsledku stárnutí a opotebení..6 íselné charakteristiky náhodné veliiny Rozdlení pravdpodobnosti každé náhodné veliiny X je pln popsáno pomocí její distribuní funkce F(x), pop. podle hustoty pravdpodobnosti f(x). V mnoha pípadech je však výhodné shrnout celkovou informaci o náhodné veliin do nkolika ísel, které charakterizují nkteré vlastnosti této náhodné veliiny a rovnž umožují srovnání rzných náhodných veliin. Tato ísla se nazývají íselné charakteristiky náhodné veliiny X. Nyní se seznámíme s nkterými z nich
14 Momenty rozdlení Obecný moment r-tého ádu µ r ' znaíme µ r ' EX r (r,,, ), r pro diskrétní NV: x. P( x ) µ r,,,... r ( i) i i pro spojitou NV:, x r r. f ( x) µ r,,, (pokud uvedená ada nebo integrál konvergují absolutn) Centrální moment r-tého ádu µ r znaíme µ E( X EX ) (r,,,...), r pro diskrétní NV: ( x EX ). P( x ) r ( i), pro spojitou NV: ( x EX ). r µ r,,... r r f ( x) i µ r,,, (pokud uvedená ada nebo integrál konvergují absolutn) Stední hodnota ( expected value ) Stední hodnota NV je definována jako první obecný moment. Znaí se EX nebo µ. pro diskrétní NV: EX µ xi. P( x i ) ( i) pro spojitou NV: EX µ x. f ( x) Vlastnosti stení hodnoty:. E( ax + b) aex + b a, b R (tj. násobíme-li k X konstantou, násobí se jí i její stední hodnota; piteme-li k X konstantu, zvýší se o tuto konstantu i její stední hodnota). E ( X + X ) EX + EX (tj. stední hodnota soutu náhodných veliin je rovna soutu jednotlivých stedních hodnot). X X... nezávislé NV E( X. X ) E( X ). E( ), X (tj. jsou-li NV X, X nezávislé, pak stední hodnota jejich souinu je rovna souinu jednotlivých stedních hodnot)
15 . (Y g( X ); g( X ) spojitá f-ce) EY E( g( X )) pro diskrétní NV Y: EY g( x ). P( X ) i i x i pro spojitou NV Y: EY g( x ). f( x) Rozptyl ( disperze, variance ) Rozptyl je druhým centrálním momentem, charakterizuje šíku rozdlení a znaí se DX, pop. σ. DX µ ( ) ( ) E X EX EX EX Dkaz výše uvedeného tvrzení je založen na vlastnostech stední hodnoty. pro diskrétní NV: pro spojitou NV: Vlastnosti rozptylu: DX DX x. ( ) i P xi ( i) ( i) x. f ( x) x. f ( x) x. ( ) i P xi. D( ax + b) a DX, a R (tj. násobíme-li náhodnou veliinu konstantou, hodnota jejího rozptylu se vynásobí druhou mocninou této konstanty; piteme-li k náhodné veliin konstantu, její rozptyl se nezmní). X, X... nezávislé NV D( X + X ) DX + DX (tj. jsou-li NV X, X nezávislé, pak rozptyl jejich souinu je roven souinu jednotlivých rozptyl) Smrodatná odchylka ( standard deviation ) Smrodatná odchylka je definována jako odmocnina z rozptylu a znaí se σ x. σ x DX Šikmost ( skewness ) Je mírou symetrie daného rozdlení pravdpodobnosti, znaí se a a je definována jako: - -
16 a µ σ x Symetrii rozdlení (vzhledem k symetrii normovaného normálního rozdlení) pak posuzujeme takto: a symetrické rozdlení a <... negativn zešikmený soubor a >... pozitivn zešikmený soubor Špiatost ( kurtosis ) Je mírou špiatosti (plochosti) rozdlení, znaí se a a je definována jako: a µ σ x Špiatost rozdlení (vzhledem ke špiatosti normovaného normálního rozdlení) pak posuzujeme takto: a... normální špiatost (tj. špiatost normálního rozdlení) a <... menší špiatost než u normálního rozdlení ( plošší ) a >... vtší špiatost než u normálního rozdlení ( špiatjší ) Vzhledem k nepraktickému vyhodnocování špiatosti (vzhledem ke ) se mnohdy používá tzv. standardizovaná špiatost, která je definována jako: a a špiatost rozdlení je pak posuzována vzhledem k hodnot. Kvantily Znaí se x p a jsou definovány obdobn jako v exploratorní analýze dat. Modus pro diskrétní NV: p ; : x sup{ x / F( x ) p} p i i (tj. nejvtší z hodnot, pro které platí, že F( x p ) p ) pro spojitou NV: p ; : F( xp ) p Znaí se xˆ a je definován odlišn pro diskrétní a spojitou NV. pro diskrétní NV: hodnota, pro kterou platí: P( X x) P( X xi ), i,,... (tj. hodnota, které nabývá NV s nejvtší pravdpodobností) ^ - -
17 pro spojitou NV: hodnota, pro kterou platí: f ( x) f ( x) pro < x < (tj. hodnota, v níž hustota pravdpodobnosti nabývá svého maxima) ešený píklad: Vra me se k díve definované diskrétní náhodné veliin X hod kostkou. V jednom z výše ešených píkladu jsme si urili a zakreslili její pravdpodobnostní i distribuní funkci. x i P( X x i ) /6 /6 /6 /6 5 /6 6 /6 x i F( x i ) (- ;> (;> /6 (;> /6 (;> /6 (;5> /6 (5;6> 5/6 (6; ) Nyní ureme: a) stední hodnotu b) rozptyl c) smrodatnou odchylku d) medián e) modus ešení: a) EX µ x. P( ) , 5 ( i) i x i b) DX µ E( X EX ) EX ( ) EX EX xi P( x i ) ( i) DX EX ( EX ) , , c) σ x DX, 7 6 d) x,5? F ( x i ),5 x (; i - -
18 x sup{(; } (ovení: platí, že 5% hodnot náhodné veliiny je ),5 e) modus je hodnota, pro kterou platí: P( X x) P( X xi ), i,,... (tj. hodnota, které nabývá NV s nejvtší pravdpodobností) ^ Protože v našem pípad nabývá NV X všech hodnot se stejnou pravdpodobností, jedná se o vícemodální rozdlení s mody {;;;;5;6}. ešený píklad: A nyní najdeme vybrané íselné charakteristiky pro spojitou náhodnou veliinu. Zvolme si náhodnou veliinu Y definovanou takto: c( y)( + y) f ( y) < y < jinde Urete: a) stední hodnotu b) rozptyl c) smrodatnou odchylku d) medián e) modus ešení: Nejdíve bychom museli urit konstantu c ze vztahu: f ( y) dy My využijeme toho, že daný problém jsme již výše ešili a mžeme proto pímo pevzít výsledek, že c,75. y y (výsledek byl oekávatelný, protože hustota pravdpodobnosti NV Y je sudá funkce) a) EY µ y. f ( y) dy y.dy + y. ( y ) dy + y.dy + + b) DY EY (EY ) EY y. f ( y) dy 5 5 y.dy + y. ( y ) dy + y y.dy + 5 y
19 DY EY ( EY ) 5, 5 5 c) σ y DY, d) F ( y 5), 5, Znovu využijeme toho, že jsme s touto náhodnou veliinou pracovali již díve a bez optovného výpotu použijeme znalosti distribuní funkce F(y). F ( y) ( y + y + ) pro y < ( ) pro ( ) y pro y > Ze vztahu pro distribuní funkci je zejmé, že medián mže být pouze hodnota z intervalu (-;): ( y,5 + y,5 + ) ( y + y + ) y y,5,5,5 + y ( y + ),5,5,5,5 y y y,5,5,5 ( ;) ( ;) e) modus je hodnota, pro kterou platí: f ( xˆ) f ( x) pro < x < (tj. hodnota, v níž hustota pravdpodobnosti nabývá svého maxima) Pro maximum funkce platí, že první derivace v nm musí být nulová (nebo nedefinována) a druhá derivace v nm musí být záporná. Je zejmé, že rovnž modus budeme hledat na intervalu (-;): df ( y) dy ( y ), ( y) y bod podezelý z maxima - -
20 Zda se jedná o maximum bychom mohli ovit z druhé derivace f(y), ale my využijeme opt toho, že jsme s danou NV pracovali a pohledem na graf f(y) si ovíme, že hustota pravdpodobnosti f(y) skuten nabývá svého maxima v bod. y ˆ Výklad:.7 Funkce náhodné veliiny Definujme náhodnou veliinu Y g(x), kde g(x) je njaká prostá reálná funkce definovaná na základním souboru náhodné veliiny X. Odvodíme rozdlení náhodné veliiny Y: distribuní funkci H(y) a hustotu h(y), jestliže známe rozdlení náhodné veliiny X: dána distribuní funkce F(x) a hustota f(x). H ( y) P( Y < y) P( g( X ) < y) pro každé - < y < Jestliže k funkci g existuje funkce inverzní g -, pak platí: H ( y) P( g( X ) < y) P( X < g ( y)) F( g ( y)) pro g rostoucí a H ( y) P( g( X ) < y) P( X > g ( y)) P( X < g ( y)) F( g ( y)) pro g klesající. Pro spojitou náhodnou veliinu X a spojit diferencovatelnou funkci g je hustota h(y) náhodné veliiny Y rovna: h( y) f ( g d ( y)). g ( y) dy ešený píklad: Nech náhodná veliina W je definována jako lineární transformace náhodné veliiny Y.,75( y)( + y) f ( y) < jinde y < W 5Y
21 Naleznte: a) distribuní funkci G(w) náhodné veliiny W b) hustotu pravdpodobnosti g(w) náhodné veliiny W, c) stední hodnotu EW náhodné veliiny W d) rozptyl DW náhodné veliiny W. ešení: Stejn jako v pedchozích pípadech využijeme toho, že jsme již s NV Y pracovali (v opaném pípad bychom museli nejdíve najít F(y), EY a DY). pro y < ( ) F ( y) ( y + y + ) pro ( ) y, EY, DY, pro y > w 6 w 6 a) G ( w) P( W < w) P(5Y + 6 < w) P( Y < ) F( ) 5 5 Nyní uríme distribuní funkci G(w) tak, že do pedpisu pro distribuní funkci F(y) w 6 dosadíme za y výraz. 5 G ( w) w 6 5 w w 6 pro < 5 w 6 pro 5 w 6 pro > 5 G ( w) ( w 5 8w + w 6) pro w < pro w pro w > b) Hustotu pravdpodobnosti uríme jako derivaci distribuní funkce: g ( w) dg( w) dw g ( w) 5 (w 6w + ) pro pro w ( w < ) ( w > ) - 6 -
22 po úprav: g ( w) 5 ( w w + ) pro pro w ( w < ) ( w > ) c) Z vlastností stední hodnoty plyne, že: EW E( 5Y + 6) 5. EY d) Z vlastností rozptylu plyne, že: DW D(5Y + 6) 5. DY 5., 5 ešený píklad: Nech náhodná veliina X má spojitou rostoucí distribuní funkci F(x). Najdte distribuní funkci a hustotu pravdpodobnosti náhodné veliiny Y F(X). ešení: Y F(x) F(x) nabývá pro x R hodnot z intervalu <;> náhodná veliina Y nabývá rovnž hodnot z intervalu <;> pro pro y < H ( y) y > H ( y) pro y H ( y) P( Y < y) P( F( X ) < y) P( X < F ( y)) F( F ( y)) y H ( y) y pro y < pro y pro y > - 7 -
23 Hustota pravdpodobnosti náhodné veliiny Y h( y) h( y) dh ( y) dy pro y ; jinde Hustota pravdpodobnosti rovnomrného rozdlení,,8,6,, -,5 - -,5 - -,5,5,5,5 Náhodná veliina Y má tzv. rovnomrné (rektangulární) rozdlení v intervalu <, >. Shrnutí: Náhodná veliina je veliina, jejíž hodnota je jednoznan urena výsledkem náhodného pokusu (je-li tento výsledek dán reálným íslem). Jde o reálnou funkci definovanou na základním prostoru a charakterizovanou distribuní funkci. Distribuní funkce je definována jako F(x) P(X<x), jde tedy o funkci, která každému reálnému íslu piazuje pravdpodobnost, že náhodná veliina nabývá hodnot menších než toto reálné íslo. Pravdpodobnost výskytu náhodné veliiny na njakém intervalu urujeme na základ tchto vztah: P( X < a) F( a) P( X P( a X b) F( b) < b) F( b) F( a) - 8 -
24 Podle toho, jakých mže náhodná veliina nabýt hodnot (resp. z jakého intervalu), rozlišujeme spojitou a diskrétní náhodnou veliinu, pesnji eeno náhodnou veliinu se spojitým a diskrétním rozdlením. Diskrétní náhodná veliina je náhodnou veliinou, která mže nabývat pouze koneného nebo spoetn nekoneného množství hodnot (nap. výsledek hodu kostkou) Diskrétní náhodnou veliinu popisujeme prostednictvím pravdpodobnostní funkce, pop. distribuní funkce. Spojitá náhodná veliina je náhodnou veliinou, která mže nabývat všech hodnot z libovolného koneného nebo nekoneného intervalu (nap. životnost záivky) Pro popis spojité náhodné veliiny používáme distribuní funkci, hustotu pravdpodobnosti a v pípad, že jde o nezápornou spojitou náhodnou veliinu používáme také intenzitu poruch. Intenzita poruch má pro vtšinu výrobk z technické praxe charakteristický tvar vanové kivky. V mnoha pípadech je výhodné shrnout celkovou informaci o náhodné veliin do nkolika ísel, které charakterizují nkteré vlastnosti náhodné veliiny, pípadn umožují srovnání rzných náhodných veliin. Tato ísla se nazývají íselné charakteristiky náhodné veliiny. Mezi základní íselné charakteristiky adíme nap. stední hodnotu, rozptyl, smrodatnou odchylku, kvantily, modus, šikmost a špiatost. V pípad, že g(x) je njaká prostá reálná funkce, definovaná na základním souboru náhodné veliiny X, mžeme snadno odvodit rozdlení transformované náhodné veliiny Y g(x)
25 Otázky. Popište zavedení náhodné veliiny pomocí distribuní funkce, vetn nejvýznamnjších vlastností této funkce.. Jaký je vzájemný vztah mezi distribuní funkcí a pravdpodobnostní funkcí diskrétní náhodné veliiny?. Jaký je vzájemný vztah mezi distribuní funkcí a hustotou pravdpodobnosti spojité náhodné veliiny?. Co je to intenzita poruch a jak se dá vyjádit pomocí distribuní funkce a hustoty pravdpodobnosti? Jaký je její charakteristický tvar? 5. Které obecné a centrální momenty znáte? Co je to medián a modus? 6. Odvote pedpis pro distribuní funkci náhodné veliiny Y, je-li tato náhodná veliina definovaná jako Yg(X), kde g je prostá reálná funkce definovaná na základním prostoru náhodné veliiny X. - -
26 Úlohy k ešení. Náhodná veliina X je dána soutem potu ok pi dvou hodech klasickou hrací kostkou. Urete pro danou náhodnou veliinu: a) pravdpodobnostní funkci b) distribuní funkci c) stední hodnotu d) rozptyl. Nech náhodná veliina Z je definována takto: f ( z) < < + e + e z z z ( )( ) Naleznte distribuní funkci náhodné veliiny Z.. Bod je náhodn vybrán z koule o polomru R. Náhodnou veliinu X definujme jako vzdálenost tohoto bodu od poátku. Urete pro danou náhodnou veliinu: a) distribuní funkci b) hustotu pravdpodobnosti c) stední hodnotu d) rozptyl. Strana krychle má rovnomrné rozdlení na intervalu <;>. Urete distribuní funkci objemu krychle. 5. X je spojitá náhodná veliina s hustotou pravdpodobnosti x f ( x) e. Urete P ( X ). 6. Spojitá náhodná veliina X je definovaná hustotou pravdpodobnosti f(x): ( x) f ( x) pro x ; jinde Urete %-ní kvantil x a medián. Urete pravdpodobnost P(X>,5), P(X,) - -
27 ešení:. X diskrétní NV a) x i P(Xx i ) /6 /6 /6 /6 5/6 6/6 5/6 /6 /6 /6 /6 Pravdpodobnostní funkce 9/5 /5 7/5 /5 / P(x) /5 /5 /5 /5 6 8 x b) x i (-;> (;> (;> (;5> (5;6> (6;7> F(x i ) /6 /6 6/6 /6 5/6 x i (7;8> (8;9> (9;> (;> (;> (;) F(x i ) /6 6/6 /6 /6 5/6 Distribuní funkce,,8 F(x),6,, x - -
28 d) EX 7 e) DX / 6 5, 8 z e. F( z) + z e. X spojitá NV a) b) c) d). x F ( x) R f x x) R ( R EX R DX 8 F ( x) x pro x pro x ( ;) pro x ; R pro x ( R; ) ; R jinde pro x pro x ( ;) pro x ;8 ( 8; ) 5. P ( X ) e e 6. x α, x,5,9, P ( X >,5), 5, P ( X,) α - -
Pravdpodobnost výskytu náhodné veliiny na njakém intervalu urujeme na základ tchto vztah: f(x)
NÁHODNÁ VELIINA Náhodná veliina je veliina, jejíž hodnota je jednoznan urena výsledkem náhodného pokusu (je-li tento výsledek dán reálným íslem). Jde o reálnou funkci definovanou na základním prostoru
VíceNÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení
NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
VíceJAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová
JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodný pokus? Děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž
VíceSPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI. 7. cvičení
SPOJITÉ ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI 7. cvičení Intenzita poruch Funkce modelující dobu do výskytu události životnost, dobu do poruchy, dobu do relapsu (návratu onemocnění), apod. používáme spolu s distribuční
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
VíceNáhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která
Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho
VíceJAK MODELOVAT VÝSLEDKY
JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁHODNÝCH POKUSŮ? Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodný pokus? Děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
VícePrbh funkce Jaroslav Reichl, 2006
rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 Vyšetování prbhu funkce V tomto tetu je vzorov vyešeno nkolik úloh na vyšetení prbhu funkce. i ešení úlohy jsou využity základní vlastnosti diferenciálního potu.. ešený píklad
VíceV mnoha pípadech, kdy známe rozdlení náhodné veliiny X, potebujeme urit rozdlení náhodné veliiny Y, která je funkcí X, tzn. Y = h(x).
3. FUNKCE NÁHODNÉ VELIINY as ke studu: 40 mnut Cíl: Po prostudování této kaptol budete umt transformovat náhodnou velnu na náhodnou velnu Y, je l mez tmto náhodným velnam vzájemn jednoznaný vztah VÝKLAD
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné
VíceI. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
Vícep(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
Více4. Lineární diferenciální rovnice rovnice 1. ádu
4. Lineární diferenciální rovnice rovnice. ádu y + p( ) y = (4.) L[ y] = y + p( ) y p q jsou spojité na I = (ab) a < b. Z obecné teorie vyplývá že množina všech ešení rovnice (4.) na intervalu I (tzv.
VíceNěkdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?
Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceRozdělení náhodné veličiny. Distribuční funkce. Vlastnosti distribuční funkce
Náhodná veličina motivace Náhodná veličina Často lze výsledek náhodného pokusu vyjádřit číslem: číslo, které padlo na kostce, výška náhodně vybraného studenta, čas strávený čekáním na metro, délka života
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST
MATEMATICKÁ STATISTIKA - XP01MST 1. Úvod. Matematická statistika (statistics) se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
VíceNáhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek
Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
VíceNáhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost
Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením
Více8. Normální rozdělení
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, 2 ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) 2 e 2 2, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá
Více8 Střední hodnota a rozptyl
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení
VíceVYBRANÁ ROZDĚLENÍ. SPOJITÉ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová
VYBRANÁ ROZDĚLENÍ SPOJITÉ NÁH. VELIČINY Martina Litschmannová Opakování hustota pravděpodobnosti f(x) Funkce f(x) je hustotou pravděpodobností (na intervalu a x b), jestliže splňuje následující podmínky:
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
VícePojmy z kombinatoriky, pravděpodobnosti, znalosti z kapitoly náhodná veličina, znalost parciálních derivací, dvojného integrálu.
6. NÁHODNÝ VEKTOR Průvodce studiem V počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice se setkáváme nejen s náhodnými veličinami, jejichž hodnotami jsou reálná čísla, ale i s takovými, jejichž hodnotami
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
Více8.1. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, σ 2 ) s parametry µ a. ( ) ϕ(x) = 1. označovat písmenem U. Její hustota je pak.
8. Normální rozdělení 8.. Definice: Normální (Gaussovo) rozdělení N(µ, ) s parametry µ a > 0 je rozdělení určené hustotou ( ) f(x) = (x µ) e, x (, ). Rozdělení N(0; ) s parametry µ = 0 a = se nazývá normované
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
VíceNáhodné (statistické) chyby přímých měření
Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně
Více2 ELEMENTÁRNÍ POET PRAVDPODOBNOSTI. as ke studiu kapitoly: 70 minut. Cíl: Po prostudování této kapitoly budete umt
2 ELEMENTÁRNÍ OET RAVDODOBNOSTI as ke studiu kapitoly: 70 minut Cíl: o prostudování této kapitoly budete umt charakterizovat teorii pravdpodobnosti a matematickou statistiku vysvtlit základní pojmy teorie
VíceŘešení. Označme po řadě F (z) Odtud plyne, že
Úloha Nechť ~ R(, ) a Y = Jinak řečeno, Y je odmocnina čísla vybraného zcela náhodně z intervalu (, ) Popište rozdělení veličiny Y a určete jeho modus, medián, střední hodnotu a rozptyl Řešení Označme
VíceROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN
ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b
VíceNáhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti
3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro
Více1. Exponenciální rst. 1.1. Spojitý pípad. Rstový zákon je vyjáden diferenciální rovnicí
V tomto lánku na dvou modelech rstu - exponenciálním a logistickém - ukážeme nkteré rozdíly mezi chováním spojitých a diskrétních systém. Exponenciální model lze považovat za základní rstový model v neomezeném
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA
MATEMATICKÁ STATISTIKA 1. Úvod. Matematická statistika se zabývá vyšetřováním zákonitostí, které v sobě obsahují prvek náhody. Zpracováním hodnot, které jsou výstupem sledovaného procesu, se snažíme popsat
VíceUrčete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.
3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její
Vícea způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.
Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným
VícePraktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková
Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo
VíceNáhodné chyby přímých měření
Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná.
VíceNáhodné vektory a matice
Náhodné vektory a matice Jiří Militký Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Symbolika A B Jev jistý S (nastane
VíceMatematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace
Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední
VíceTéma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin
0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 140 160 180 200 220 240 260 Std Téma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Pravděpodobnostní posuzování
Více1 KOMBINATORIKA, KLASICKÁ PRAVDPODOBNOST
1 KOMBINATORIKA, KLASICKÁ PRAVDPODOBNOST Kombinatorické pravidlo o souinu Poet všech uspoádaných k-tic, jejichž první len lze vybrat n 1 zpsoby, druhý len po výbru prvního lenu n 2 zpsoby atd. až k-tý
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
VíceP13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.
P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. Matematický přístup k výsledkům únavových zkoušek Náhodnost výsledků únavových zkoušek. Únavové
VíceDiskrétní náhodná veličina
Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné
VíceDefinice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze
Definice spojité náhodné veličiny zjednodušená verze Náhodná veličina X se nazývá spojitá, jestliže existuje nezáporná funkce f : R R taková, že pro každé a, b R { }, a < b, platí P(a < X < b) = b a f
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
Vícen = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)
5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceDiskrétní náhodná veličina. November 12, 2008
Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.
VíceChyby měření 210DPSM
Chyby měření 210DPSM Jan Zatloukal Stručný přehled Zdroje a druhy chyb Systematické chyby měření Náhodné chyby měření Spojité a diskrétní náhodné veličiny Normální rozdělení a jeho vlastnosti Odhad parametrů
Více2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití
2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student umí definovat funkci přežití, rizikovou funkci a kumulativní rizikovou funkci a zná funkční vazby mezi nimi 2. Student
VíceInovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie
http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Základy zpracování dat chemometrie, statistika Doporučenáliteratura
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VíceVybraná rozdělení náhodné veličiny
3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 4. téma 4. Náhodné vektory V praxi se nám může hodit postihnout více vlastností jednoho objektu najednou, např. výšku, váhu a pohlaví člověka; rychlost chemické
VícePřednáška. Diskrétní náhodná proměnná. Charakteristiky DNP. Základní rozdělení DNP
IV Přednáška Diskrétní náhodná proměnná Charakteristiky DNP Základní rozdělení DNP Diskrétní náhodná veličina Funkce definovaná na Ω, přiřazující každému elementárnímu jevu E prvky X(E) D R kde D je posloupnost
VíceProjekty - Úvod do funkcionální analýzy
Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt
VíceGYMNÁZIUM CHEB. SEMINÁRNÍ PRÁCE Grafy funkcí sbírka ešených úloh. Radek HÁJEK, 8.A Radka JIROUŠKOVÁ, 8.A Cheb, 2006 Petr NEJTEK, 8.
GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE Grafy funkcí sbírka ešených úloh Radek HÁJEK, 8.A Radka JIROUŠKOVÁ, 8.A Cheb, 006 Petr NEJTEK, 8.A Prohlášení Prohlašujeme, že jsme seminární práci na téma: Grafy funkcí
VíceMinikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1
Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.
VíceNormální rozložení a odvozená rozložení
I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět
VíceStřední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která
VícePravděpodobnost a statistika I KMA/K413
Pravděpodobnost a statistika I KMA/K413 Konzultace 3 Přírodovědecká fakulta Katedra matematiky jiri.cihlar@ujep.cz Kovariance, momenty Definice kovariance: Kovariance náhodných veličin Dále můžeme dokázat:,
VíceTéma 2: Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin
0.05 0.0 0.05 0.0 0.005 Nominální napětí v pásnici Std Mean 40 60 80 00 0 40 60 Std Téma : Pravděpodobnostní vyjádření náhodných veličin Přednáška z předmětu: Spolehlivost a bezpečnost staveb 4. ročník
Více1 Sémantika a její vztah k syntaxi
1 Sémantika a její vztah k syntaxi Mjme formální jazyk L T nad abecedou T. Tento formální jazyk je vymezen popisem syntaxe, která stanoví množinu všech syntakticky správných etzc jazyka. V dalším textu
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
Více1 Rozptyl a kovariance
Rozptyl a kovariance Nechť X je náhodná veličina s konečnou střední hodnotou EX Potom rozptyl náhodné veličiny X definujeme jako: DX E(X EX, pokud střední hodnota na pravé straně existuje Podobně jako
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VíceEfektivní hodnota proudu a nap tí
Peter Žilavý: Efektivní hodnota proudu a naptí Efektivní hodnota proudu a naptí Peter Žilavý Katedra didaktiky fyziky MFF K Praha Abstrakt Píspvek experimentáln objasuje pojem efektivní hodnota stídavého
VíceAVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení
AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
VíceNáhodný vektor a jeho charakteristiky
Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich
VíceSplajny a metoda nejmenších tverc
Splajny a metoda nejmenších tverc 1. píklad a) Najdte pirozený kubický splajn pro funkci na intervalu Za uzly zvolte body Na interpolaci pomocí kubického splajnu použijeme píkaz Spline(ydata,, endpts).
VíceDerivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
VíceFunkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
VíceStatistika II. Jiří Neubauer
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Zaměříme se především na popis dvourozměrných náhodných veličin (vektorů). Definice Nechť X a Y jsou
VíceGYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE
GYMNÁZIUM CHEB SEMINÁRNÍ PRÁCE Relace Cheb, 006 Radek HÁJEK Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Relace vypracoval zcela sám za použití pramen uvedených v piložené bibliograii na poítai
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceE(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =
Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceJe založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =
0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si
VíceÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd.
ROZDĚLENÍ NV ÚVOD Velké skupiny náhodných pokusů vykazují stejné pravděpodobnostní chování Mince panna/orel Výška mužů/žen NV mohou být spojeny s určitým pravděpodobnostním rozdělení (již známe jeho hustotu
VíceNMAI059 Pravděpodobnost a statistika
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )
VíceCykly Intermezzo. FOR cyklus
Cykly Intermezzo Rozhodl jsem se zaadit do série nkolika lánk o základech programování v Delphi/Pascalu malou vsuvku, která nám pomže pochopit principy a zásady pi používání tzv. cykl. Mnoho ástí i jednoduchých
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Více