MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY. Bakalářská práce BRNO 2016 ZLATA LISÁ

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Bakalářská práce BRNO 2016 ZLATA LISÁ

MASARYKOVA UNIVERZITA PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA ÚSTAV MATEMATIKY A STATISTIKY Vývoj zápisu čísel Bakalářská práce Zlata Lisá Vedoucí práce: RNDr. Pavel Šišma, Dr. Brno 2016

Bibliografický záznam Autor: Název práce: Studijní program: Studijní obor: Vedoucí práce: Zlata Lisá Přírodovědecká fakulta, Masarykova univerzita Ústav matematiky a statistiky Vývoj zápisu čísel Chemie Chemie se zaměřením na vzdělávání, Matematika se zaměřením na vzdělávání RNDr. Pavel Šišma, Dr. Akademický rok: 2015/2016 Počet stran: ix + 44 Klíčová slova: historie čísel; číselné symboly; aritmetické operace; Egypt; Mezopotámie; Blízký Východ; Mayové; Aztékové; Inkové; Řecko; Řím; Čína; Indie; islámské země; Evropa

Bibliographic Entry Author: Title of Thesis: Degree Programme: Field of Study: Supervisor: Zlata Lisá Faculty of Science, Masaryk University Department of Mathematics and Statistics History of number systems Chemistry Chemistry with a view to Education, Mathematics with a view to Education RNDr. Pavel Šišma, Dr. Academic Year: 2015/2016 Number of Pages: ix + 44 Keywords: history of numbers; numbers symbols; arithmetic operations; Egypt; Mesopotamia; Near East; Mayans; Aztecs; Incas; Greece; China; India; Islamic countries; Europe

Abstrakt Tématem bakalářské práce je vývoj zápisu čísel. V první kapitole se práce zabývá nejstaršími způsoby zápisu čísel. Následující kapitoly se zabývají číselnou symbolikou používanou na určitém území nebo národem. V kapitolách je uveden historický úvod, symbolika čísel a většinou také aritmetické operace. Abstract The topic of the bachelor thesis is the history of number systems. The first chapter deals with the oldest ways of writing numbers. The following chapters are focused on the symbolism used in a particular territory or nation. In the chapters is possible find a historical introduction, the symbolism of numbers and mostly also arithmetic operations.

Poděkování Na tomto místě bych chtěla poděkovat vedoucímu práce RNDr. Pavlu Šismovi, Dr. za rady a připomínky k bakalářské práci. Dále děkuji RNDr. Romanu Plchovi, Ph.D. a Mgr. Petru Zemánkovi, Ph.D. za pomoc s formální stránkou bakalářské práce. Prohlášení Prohlašuji, že jsem svoji bakalářskou práci vypracovala samostatně s využitím informačních zdrojů, které jsou v práci citovány. Brno 8. května 2016.......................... Zlata Lisá

Obsah Úvod....................................................................... ix Kapitola 1. Počátky vývoje zápisu čísel...................................... 1 1.1 První číslovky.......................................... 1 1.2 Vývoj číslovek.......................................... 1 1.3 Číselné symboly........................................ 2 1.4 Matematické operace..................................... 3 Kapitola 2. Starý Egypt.................................................... 5 2.1 Symbolika čísel......................................... 5 2.2 Aritmetické operace...................................... 6 2.3 Zlomky.............................................. 7 Kapitola 3. Stará Mezopotámie............................................. 8 3.1 Symbolika čísel......................................... 8 3.1.1 Šedesátková soustava................................ 9 3.2 Aritmetické operace...................................... 9 3.3 Babylonské rovnice...................................... 10 Kapitola 4. Národy Blízkého Východu...................................... 11 4.1 Symbolika čísel......................................... 11 Kapitola 5. Mayové........................................................ 13 5.1 Symbolika čísel......................................... 13 5.2 Zajímavosti............................................ 14 Kapitola 6. Aztékové a Inkové.............................................. 15 6.1 Symbolika čísel......................................... 15 Kapitola 7. Starověké Řecko................................................ 16 7.1 Symbolika čísel......................................... 17 7.2 Aritmetické operace...................................... 17 7.2.1 Pomocné tabulky................................... 18 7.3 Milétská škola.......................................... 18 7.4 Pythagorejská škola...................................... 19 vii

7.4.1 Symbolika čísel.................................... 20 Kapitola 8. Starověký Řím................................................. 21 8.1 Symbolika čísel......................................... 21 8.2 Aritmetické operace...................................... 22 Kapitola 9. Čína........................................................... 23 9.1 Symbolika čísel......................................... 23 9.2 Počítací deska.......................................... 25 9.3 Zlomky.............................................. 26 9.3.1 Operace se zlomky.................................. 27 9.4 Záporná čísla.......................................... 27 Kapitola 10. Indie........................................................... 28 10.1 Symbolika čísel......................................... 28 10.2 Aritmetické operace...................................... 30 10.3 Zlomky.............................................. 31 10.4 Odmocňování.......................................... 32 Kapitola 11. Islámské země.................................................. 34 11.1 Symbolika čísel......................................... 34 11.2 Aritmetické operace...................................... 35 11.3 Zlomky.............................................. 36 Kapitola 12. Středověká Evropa............................................. 37 12.1 Byzanc............................................... 37 12.2 Arménie a Gruzie....................................... 37 12.3 Aritmetika v poziční soustavě............................... 38 12.4 Rusko................................................ 39 12.4.1 Početní pomůcky................................... 41 12.5 Symbolická algebra...................................... 41 Závěr...................................................................... 43 Seznam použité literatury................................................... 44

Úvod Práce se zabývá vývojem číselné symboliky a aritmetickými operacemi s čísly. Dále je uváděno využití symbolů či soustav v současnosti. Práce je rozdělena do několika kapitol. První kapitola se věnuje nejstarším způsobům zápisu čísel. Mezi nejzajímavější pomůcky určené k zapisování čísel patří vrubovka a kipu, které jsou znázorněné také na obrázku. Následující kapitoly jsou pojmenovány podle určitého území (např. Čína, Indie) nebo národu (např. Mayové, Inkové). Nejčastěji jsou členěny do podkapitol zabývajících se symbolikou čísel, aritmetickými operacemi a někdy obsahují také zajímavosti (např. Pythagorejská škola). Text práce byl vysázen systémem LATEX. Hlavními zdroji práce byly knihy [1] a [2], ze kterých pochází také většina obrázků v bakalářské práci. Informace týkající se matematiků, které jsou uváděné jako poznámky pod čarou, jsou získané z internetové stránky [6]. Práce má posloužit žákům i učitelům základních a středních škol. ix

Kapitola 1 Počátky vývoje zápisu čísel Počátky vzniku matematiky jsou spojené s historií a vývojem člověka. K měření a počítání je zapotřebí abstraktního myšlení, kterého byl lidský mozek schopen na začátku čtvrtohor. První aritmetické a geometrické pojmy vytvořil člověk podle archeologických vykopávek již v době kamenné. 1.1 První číslovky S vývojem člověka se rozšiřovaly jeho poznatky o okolním světě. Zdokonaloval své poznatky v oblastech týkajících se přírody a technické zkušenosti. Jeho matematické znalosti však nebyly moc vyvinuté. Při výpočtech používal pouze číslovky 2 nebo 3, vše ostatní bylo nazýváno jako mnoho. Této omezené znalosti čísel si můžeme všimnout při vzniku číslovek. Původně člověk vytvořil číslovky 1 a 2. Číslovka 2 představovala pojem mnoho a dále zastupovala určité přirozené páry (oči, ruce, nohy atd.). Číslo 2 mělo v minulosti zvláštní postavení, které můžeme ukázat např. na množném čísle podstatných jmen a duálu (dvojné číslo). Skutečný původ číslovky 2 představuje v semitských jazycích shoda mezi pojmy dvě a zuby neboli sinajim (myšleno jako horní a dolní řada zubů). Jelikož se vyvíjela hospodářská činnost člověka, bylo zapotřebí rozšířit používané číslovky o další. Ze začátku stačilo opakování doposud známých číslovek. Několik australských kmenů z Cooperova zálivu užívá dosud číselné značení: 1 - guna, 2 - barkula, 3 - barkula-guna, 4 - barkula-barkula. V jazyce hindí je množné číslo vyjádřeno jednoduchým opakováním: bchaj (bratr), bchaj-bchaj (bratři). Vyšší čísla postupem času začala dostávat jména, ale došlo se k určité hranici a další čísla se zatím nepojmenovávají. Nově pojmenovanými číslicemi se stávají 5, 6, 10, 12 a 20. Počty přesahující tato čísla jsou pojmenována společným názvem mnoho, nebo se používá opakování číslovek. 1.2 Vývoj číslovek Lidé dříve používali číselné symboly, které vyjadřovaly konkrétní množství (např. hrst ). Postupně se z menší skupiny čísel stala větší. První číslovky byly jak ordinální (neboli řadové - např. pátý), tak kardinální (neboli základní - např. pět). 1

Kapitola 1. Počátky vývoje zápisu čísel 2 Některé jihoafrické kmeny počítaly předměty na prstech rukou. Tento postup používají vývojově zaostalé kmeny ještě dnes. Známý ruský cestovatel N. N. Miklucho-Maklaj (1846 1888) popisuje, jakým způsobem počítali obyvatelé Nové Guineje: Papuánec ohýbá prsty u ruky jeden po druhém, přičemž vydává určitý zvuk, např.: be, be, be. Když počítá pět, řekne ibon-be (ruka). Pak totéž opakuje u druhé ruky, dokud nedospěje k ibon-ali (dvě ruce). Počítá dál, dokud nedojde k samba-be a k samba-ali (jedna noha, dvě nohy). Musí-li počítat dál, používá k tomu prstů rukou i nohou další osoby. [1, s. 22] Počítání na rukou dalo základ pro vznik dalších způsobů počítání. Postupně se přecházelo k jiným pomůckám. Používaly se například kamínky, které se dávaly na hromádku, dělaly se zářezy do hole, které značily např. množství zabité zvěře, nebo se dělaly uzly na provazu. V dnešní době se můžeme setkat s pozůstatky těchto počtů např. v podobě žetonů používaných při hraní her. Postupem času začaly být názvy číslovek jednoznačné. Číslovky měly stejné označení v rámci jazykových skupin. Existovaly dva způsoby vyjádření čísla. První se vyskytoval např. ve francouzštině. Číslo 18 bylo nazváno dix-huit neboli deset-osm, vyšší číslovka je před číslovkou nižší. Druhý způsob vyjádření čísla se vyskytoval např. v češtině. Číslo 18 zde bylo nazváno osmnáct z osm na deset, zde je nižší číslovka dříve jak vyšší. Více se rozšířil druhý způsob vyjádření. Soustavy, jejichž základem je 5, 10 a 20, vznikly na základě počítání pomocí rukou a nohou. Pokud by byla započítávána k pěti prstům ještě celá ruka, pak bychom takto odvodili vznik šestkové soustavy. Soustavy s větším základem vznikly později. Nejčastěji se používala soustava, která měla středně velké číslo jako základ. Desítková soustava je sice vhodnější než pětková a dvacítková, avšak dvanáctková byla používána častěji. Číslo 12 je totiž výhodnější při výpočtech týkajících se času či kružnice. Dvojková soustava je sice v praktickém životě nevhodná, ale zato našla uplatnění při konstrukci počítačů. 1.3 Číselné symboly Člověk byl zvyklý užívat různých symbolů pro zjednodušení komunikace, tudíž začaly vznikat různé číselné zápisy. Zpočátku člověk vyjadřoval čísla pomocí nejdostupnějších prostředků: prsty na rukou a na nohou, kamínky, mušle, hůlky, zářezy na holích (rabuše) nebo zvířecích kostech (vrubovky). Později vytvářel uzly na provazech. V roce 1936 byla ve Věstonicích na Moravě ve vykopávkách ze starší doby kamenné nalezena vřetenní kost mladého vlka, 18 cm dlouhá, na které bylo 55 hlubokých zářezů, rovnoběžných čárek. [1, s. 22] Zářezy byly seskupovány do skupin po pěti, podle těchto pětic vznikl znak pro pětku, který byl prezentován pěti čárkami. Vrubovky se používaly také v Anglii od 13. století až do roku 1820 pro zápisy při výběru daní. Zápis čísel na vrubovkách nebo počítacích tyčinkách dosud používají některé lovecké kmeny na severu Sibiře a Ameriky. Dále se se systémem vytváření pětic (kdy pátá čára přeškrtává šikmo čtyři rovnoběžné čáry) můžeme setkat při počítání bodů ve hře.

Kapitola 1. Počátky vývoje zápisu čísel 3 Obrázek 1.1: Věstonická vrubovka [1, s. 23] Národ Inků používal místo vrubovek kipu (quipo), což jsou barevné provázky s uzlíky. Jednotlivé barvy zastupovaly určité skupiny počítaných předmětů (červená - vojáci, bílá - stříbro, zelená - obilí). Podle složitosti uzlů se jim přisuzovala hodnota (1, 10, 100, 1000). Obrázek 1.2: Kipu [8] Vznik některých číselných symbolů nelze vždy objasnit. Název číslice čtyři v arabštině arba vznikl pravděpodobně ze slova, které v překladu znamená čtyřnohé zvíře. S jistotou však můžeme říci, že číslice 1, 2 a 3 vznikly rychlým zápisem jedné, dvou nebo tří čárek. Římské číslice zaznamenávají tato čísla pomocí čárek bez změn. Číslice pět nejspíše vznikla zjednodušením hieroglyfu, který představoval ruku. Číselné symboly vznikaly převážně na základě hieroglyfických znaků. 1.4 Matematické operace Dříve se zaznamenávala čísla pomocí prstů či kamínků. Pojem calculare (počítat, kalkulovat) je odvozen od slova calculus (kamínek). Vyčíslování se provádělo těžce. I nyní některé kmeny, které jsou málo vyvinuté, vyčíslují velká čísla následujícím způsobem. První člověk ukazuje na prstech jednotky, druhý člověk desítky a třetí člověk stovky. Jedinými matematickými operacemi po tisíciletí bylo sčítání a odčítání (menšenec je větší než menšitel). Postupem času vzniklo také násobení (opakované sčítání). Mnohem později než násobení vzniklo dělení. Poté se relativně brzy utvořil pojem jedné poloviny. Dojem, že dělení je opačný úkon k násobení, byl výsledkem dlouhodobého vývoje matematického myšlení.

Kapitola 1. Počátky vývoje zápisu čísel 4 Společně s dělením vznikaly také početní soustavy, které využívají dělení, násobení a sčítání. V dánštině se do 49 používá soustava desítková a dále dvacítková. V češtině se dodnes můžeme setkat se slovními spojeními: půl druhého litru, půl druhého metru, a dále: půl čtvrté či půl třetí při určování času.

Kapitola 2 Starý Egypt Egyptská civilizace je jednou z nejstarších. Stavby postavené v Egyptě v období Staré říše (3600 2700 př. n. l.) poukazují na to, že tehdejší lidé měli matematické znalosti na vysoké úrovni. Tyto znalosti využívali jak u stavby kanálů a vodních nádrží, tak při sčítání lidí, dobytka a pozemků. Na rozvoj matematiky měl vliv vznik kalendáře, který Egypťané používali už od 4. tisíciletí př. n. l. První známou osobou v historii matematiky byl Imhotep. V Egyptě se zapisovalo na papyrus, který nebyl tak trvanlivý, avšak suché egyptské podnebí umožňovalo jeho zachování po delší dobu. Dva z dochovaných papyrů jsou cenné. První papyrus se nazývá londýnský. Byl napsán písařem Ahmesem, obsahuje 85 úloh a vznikl mezi 18. a 16. stoletím př. n. l. Druhý papyrus se nazývá moskevský. Obsahuje 25 úloh a vznikl v 18. století. Tento papyrus je uložen ve státním muzeu výtvarných umění v Moskvě. 2.1 Symbolika čísel Staří Egypťané používali desítkovou číselnou soustavu. Speciální znaky existovaly pro jedničku a mocniny 10 až do 10 7. Znaky symbolizující tato čísla jsou znázorněny na obrázku 2.1. Jedničku symbolizuje obraz měřicí hole. Desítku symbolizuje val, či kraví pouta na nohy. Stovku symbolizuje měřický provazec, dělící se na 100 loktů, užívaný k měření polí nebo svinutý palmový list. Tisíc symbolizuje květ lotosu. Deset tisíc symbolizuje ukazovák. Sto tisíc symbolizuje pulec (pulců bylo vždy po záplavách Nilu velké množství). Milión symbolizuje bůh Hh či žasnoucí muž. 5

Kapitola 2. Starý Egypt 6 Obrázek 2.1: Číslicová symbolika v Egyptě [9] Všechna ostatní čísla Egypťané zapisovali pomocí předchozích znaků, které opakovali a zapisovali vedle sebe. Čísla byla zapisována zprava doleva postupně od nejnižších řádů. Stejné znaky zapisovali ve skupinách nejvýše po čtyřech znacích. Příklad zápisu většího čísla je znázorněn na obrázku 2.2. Obrázek 2.2: Egyptské znázornění čísla 21623 [10] Zápis čísel se vyvíjel od hieroglyfického písma (hieros = posvátný, glypho = nápis), hieratického písma (hieraton = kněžský) až po démotické písmo (demotikos = lidový). Na obrázku 2.3 je znázorněn vývoj čísla 3. (a) Hieroglyficky (b) Hieraticky (c) Démoticky Obrázek 2.3: Vývoj zápisu čísla 3 [1, s. 34] 2.2 Aritmetické operace Egypťané užívali čtyři základní aritmetické operace (s přirozenými čísly). Sčítání a odčítání (od většího čísla číslo menší) se provádělo obdobně jako v dnešní době. Pro výpočty

Kapitola 2. Starý Egypt 7 používali desítkovou soustavu. Operace sčítání a odčítání se označovaly hieroglyfy a, které dříve značily chůzi jedním či druhým směrem. Násobení si zjednodušovali pomocí zdvojování a sčítání. Vynásobení čísel 11 a 18 se provádělo následujícím způsobem. Nejprve byla sestavena tabulka, tak že následující řádek vznikl zdvojením předchozího řádku. Poslední číslo v levém sloupci nepřevyšovalo násobitele (18). 1 11 / 2 22 4 44 8 88 / 16 176 Dohromady 22 + 176 = 198 V levém sloupci byla vyhledána čísla (postupovalo se od dolního čísla k hornímu), která po sečtení dala číslo 18. Tato čísla byla označena čárkou. Sečtením odpovídajících čísel na pravé straně byl získán výsledek. Použitím obdobné tabulky se provádělo také dělení. Pokud se jednalo o dělení se zbytkem, vyjadřovali výsledek ve formě zlomku. Dělení ukážeme na příkladu 195 : 13. Zdvojnásobování 13 provádíme tak dlouho, dokud součet čísel v pravém sloupci, odpovídajících označeným číslům v levém sloupci, je roven 195. / 1 13 / 2 26 / 4 52 / 8 104 15 195 Podíl je dán součtem odpovídajících čísel v levém sloupci. V našem případě je to 1 + 2 + 4 + 8 = 15. 2.3 Zlomky Zlomky vznikly v důsledku měření a následného dělení pole na části. Nejstarší zlomky měly v čitateli jedničku a ve jmenovateli mocninu dvojky, tj. 2 1, 1 4, 1 8, 1 1 16, 32. Pro zlomky 1 2, 1 3, 2 3, 1 4, 3 4 byly zavedeny speciální symboly. Dále Egypťané používali také kmenné zlomky (tj. zlomky, které mají tvar 1 n ). Vyjadřovali je hieroglyfem ra. Pod tento hieroglyf se psal číselný symbol zastupující jmenovatele. Příkladem je zápis zlomku 10 1, který se psal. V hieratickém písmu se namísto hieroglyfu ra psala tečka, tedy 10 1 byla zapsána pomocí. Egypťané zlomky využívali např. při výpočtech týkajících se kalendáře.

Kapitola 3 Stará Mezopotámie Stará Mezopotámie se nacházela mezi řekami Eufrat a Tigris. Většina matematických textů, které byly zaznamenány na tabulkách, pochází z druhého tisíciletí př. n. l. (doba staré babylonské říše). Další dochované písemné záznamy jsou až z doby od roku 300 př. n. l. Stejně jako Egypťané i Sumerové a Babyloňané měli písařské školy. V nich se studenti učili psát, číst a počítat především formou memorování. Náplní studia matematiky bylo počítání, sčítání a odčítání, dále řešení kvadrátů (pravděpodobně úlohy, ve kterých se vyskytuje neznámá v druhé mocnině). 3.1 Symbolika čísel Sumerové psali pomocí zaostřeného rákosového stébla na hliněnou tabulku. Původní značení jedničky bylo (elipsa), desítky byly značeny (kolečko). Později Sumerové začali jedničku značit (jednoduchý klín), desítky značili. Sumerové užívali šedesátkovou i desítkovou soustavu, v některých případech byla využívána i smíšená soustava. Příkladem je číslo 225, které vyslovovali jako 2 me 25 ( me znamená sto). Vyšší řády zpočátku Sumerové vyjadřovali pomocí znaků nižších řádů. Velikostně byly znaky vyšších řádů větší jak znaky nižších řádů. Tedy velký znak znamenající 10 znamenal 100. Původní rozlišování velikosti znaků se postupem času vytratilo a zachovaly se pouze dva symboly a. Všechna čísla byla zapisována pouhým opakováním předchozích dvou znaků. Číslo 21 bylo zapsáno pomocí (zde bylo využito sčítání). U některých čísel se k jejich zápisu využívalo odečítání jako např. u čísla 19, které bylo zapsáno. Symbol se četl lal, v překladu bez. Směr písma byl nejdříve shora dolů, poté zleva doprava. Vyšší řády byly zapisovány dříve jak řády nižší. Obdobným způsobem se zapisovaly také zlomky, avšak pro 1 2, 1 3 a 2 3 existovaly speciální znaky:, a. Soustavu nelze považovat za řádovou, jelikož v ní chyběl znak, který by odlišoval jednotlivé řády. Později se vyvinul symbol používal pro odlišení řádů. Symbolika čísel je přehledně znázorněna na obrázku 3.1., který se 8

Kapitola 3. Stará Mezopotámie 9 3.1.1 Šedesátková soustava Obrázek 3.1: Babylónská čísla v klínovém písmu [11] S pozůstatky šedesátkové soustavy se setkáváme v každodenním životě. Příkladem jsou jednotky používané při určování času (60 sekund je minuta, 60 minut je hodina) a měření úhlů (plný úhel 360 = 6 60 ). Výhodou šedesátkové soustavy bylo, že číslo 60 lze dělit celkem jedenácti menšími čísly: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 a 30. Čísla 1 60 se zapisovala pomocí dvou symbolů: svislá linka a klínek. Číslo 1 bylo zapsáno pomocí lineárního symbolu a čísla 2 59 se značila pomocí kombinací obou symbolů. Zápis se vytvářel zleva doprava a číslo bylo definované vzájemným postavením symbolů na řádku (záleželo na pořadí). Ve chvíli, kdy se došlo k číslu 60, začalo se znovu od začátku a k zápisu čísel sloužily stejné symboly. Hodnota jednotlivých čísel se tedy dala určit jedině na základě kontextu. Znak pro nulu chyběl. 3.2 Aritmetické operace Babyloňané uváděli pouze výsledky výpočtů. Tak např. psali: 1 10 a 26 40 sečteme a dostaneme 1 36 40. V našem zápise to znamená 1 60 2 + 36 60 + 40. Stejným způsobem se zapisovalo i odčítání. [1, s. 51] Násobení prováděli přímo podle řádů, stejný způsob používáme v dnešní době. Pro zjednodušení výpočtů používali pomocné tabulky. Díky nim si nemuseli pamatovat součiny od 2 2 až po 59 59, což představovalo celkem 1769 násobků. Dále při násobení využívali tabulky převrácených hodnot, které používali také k dělení. V tabulce našli hodnotu převrácenou k děliteli a tu pak vynásobili dělencem. Když nebyla reciproká (převrácená) hodnota v tabulce, tak byl výsledek určen přibližně. Později Babyloňané přešli k dělení podle řádů, které využíváme v současnosti.

Kapitola 3. Stará Mezopotámie 10 3.3 Babylonské rovnice Úlohy, které v dnešní době řešíme pomocí kvadratických rovnic, Babyloňané řešili abstraktním způsobem. Hledanými neznámými byly délka a šířka. Jejich součin plocha (neboli násobenec ) se nazýval igu a jejich převrácená hodnota násobitel se nazýval igibu. Příklad takové úlohy je v algebraické symbolice zapsán níže. x + 1 x = a; x = a 2 + [( a2 ) 2 1 ] ; 1 x = a 2 [( a2 ) 2 1 ] Jiný typ úlohy byl tvaru x + y = a; x y = b. Všechny babylonské úlohy lze převést na tento tvar. Tato úloha se řešila zavedením pomocné neznámé. Z rovnice x +y = a vyplývá: o kolik je jedna neznámá větší než a 2, o tolik je druhá menší než a 2. Předpokládáme-li, že x = = a 2 +z; y = 2 a z, pak dostáváme ( a 2 + z )( a 2 z ) [( = b, z čehož dostáváme z = a ) ] 2 2 b. [1, s. 58] Podle Neugebauera 1 pravděpodobně Babyloňané díky zavedení pomocné neznámé stanovili pravidla pro pythagorejská čísla. Zajímavé je, že užívali Pythagorovu větu zhruba tisíc let před jeho narozením. 1 Otto Neugebauer (1899 1990) se zabýval matematikou, přednášel o její historii. Vybudoval Matematický ústav v Göttingenu.

Kapitola 4 Národy Blízkého Východu V severovýchodní části Mezopotámie byly nalezeny hliněné nádoby, na nichž jsou geometrické ornamenty. Jedná se o pozůstatky po staré kultuře ze 4. tisíciletí př. n. l. Později na tomto místě vznikla raně otrokářská asyrská říše, jejíž rozvojový vrchol byl v polovině druhého tisíciletí př. n. l. Později, v 9.-7. stol. př. n. l., si Asýrie podmanila několik sousedních zemí. Obyvatelé Asýrie měli několik kontaktů se sousedními zeměmi, obchodovali a měli vysoce rozvinutou architekturu a techniku. Bez znalosti matematiky by tato oblast asi těžko prosperovala. Obdobně na tom byly také ostatní staré civilizace, které zakládaly raně otrokářské státy na Blízkém Východě. Chetité vybudovaly říši počátkem 3. tisíciletí př. n. l. ve východní části Malé Asie a v severní Sýrii. Hieroglyfické a klínové písmo Chetitů rozluštil český vědec Bedřich Hrozný. Ve Foinikii a Sýrii byly založeny státy ve 3. tisíciletí př. n. l. 4.1 Symbolika čísel Asyrská číselná soustava nebyla poziční a používala zvláštní znaky: 1 =, 2 =, 5 =, 10 =, 20 =, 100 =, jejichž kombinací vznikaly další symboly: Obrázek 4.1: Asyrská numerace [1, s. 63] Foinická numerace užívala znaky: 1 =, 10 =, 20 =, 100 =, ze kterých byly sestavovány symboly pro ostatní číslovky. Znaky se zapisovaly do skupin po třech. 11

Kapitola 4. Národy Blízkého Východu 12 Obrázek 4.2: Foinická číselná soustava [1, s. 63] Předpokládá se, že foinická a asyrská číselná soustava jsou stejného původu. Toto tvrzení podporuje podobnost symbolů pro čísla 1 a 10. Rozdíl ve velikosti symbolu čísla 10 se vysvětluje tím, že Asyřané psali zleva doprava, kdežto Foiničané zprava doleva. Asyrská soustava byla nejspíše mladší. Symbol čísla 1 představoval prst, symbol pro 10 dvě ruce a symbol pro 20 člověka (Asyřané tento symbol nepřijali). Foinické písmo se vyvinulo z hieroglyfického písma. Z foinického písma později vznikla písmena arabské, hebrejské a řecké abecedy. Řecká abeceda byla zdrojem pro vznik latinky a azbuky. Foiničané byli příbuzní starých Židů. Starožidovská numerace používala 22 znaků hebrejské abecedy, jež byly doplněny tvary pěti koncových písmen. Tyto znaky zastupovaly čísla: až (1 9), až (10 90) a až (100 900). Díky tečce byla odlišena čísla od písmen. Čísla větší jak 1000 měla totožné symboly jako 1, 2,... tedy,..., nad nimi se psaly buď dvě tečky, nebo symbol (první písmeno slova šinaim znamenající dvě). Jako příklad uvádíme číslo 1119, které je zapsané.

Kapitola 5 Mayové Mayové založili říši ve střední Americe na poloostrově Yucatan. Pojmenování těchto obyvatel pochází ze slova maize (neboli kukuřice - byla jejich hlavní obživou). Již ve 4. stol. př. n. l. Mayové užívali kalendář a měli poziční číselnou soustavu (základem byla 20, soustava obsahovala také nulu). Čísla se zapisovala buď hieroglyficky, nebo pomocí vodorovných čárek a teček. Při výpočtech se užíval druhý způsob zápisu. 5.1 Symbolika čísel Mayové používali pro nulu symbol mušle. Na obrázku 5.1 jsou znázorněny znaky pro čísla 0 až 19, které se používaly již ve 4. stol. př. n. l. Obrázek 5.1: Mayská číselná soustava [12] Záznam čísla spočíval ve vytvoření skupinky ze tří druhů znaků (mušle, tečka, vodorovná čárka). Mayové zapisovali číslice do sloupců, a to postupem zdola nahoru, zprava doleva a od nižších řádů k řádům vyšším. V druhém řádu použité znaky dosahovaly hodnot 20krát vyšších než u řádu prvního. 13

Kapitola 5. Mayové 14 Ve třetím řádu byla výjimka zápisu u hodnot týkajících se času. Znak v tomto případě měl místo dvacetinásobné hodnoty (oproti předchozímu řádu) pouze 18krát větší hodnotu. Prakticky měl tedy znak ve třetím řádu hodnotu 360krát větší. Obrázek 5.2: Příklady čísel vyšších řádů [1, s. 66] 5.2 Zajímavosti Největším nalezeným číslem, které bylo zapsáno způsobem popsaným výše, je 1841641600 dní, tedy 5042277 roků. Mayové neměli na psaní zlomků znaky, nebo tyto znaky nebyly dochovány.

Kapitola 6 Aztékové a Inkové Aztékové založili říši ve 12. stol. n. l. ve střední Americe v Mexiku. Inkové založili říši v 9. 13. stol. n. l. na území Peru. 6.1 Symbolika čísel Aztékové k výpočtům užívali dvacítkovou nepoziční soustavu. Čísla zapisovali pomocí symbolů znázorněných na obrázku 6.1. Obrázek 6.1: Aztécká číselná soustava [13] Další znak byl pro 400 =, z kterého se postupnými úpravami získaly hodnoty 100 =, 200 = a 300 =. Číslo 1000 se pak zapsalo jako. Výjimkou bylo číslo 8000, pro které existoval speciální znak. Inkové zaznamenávali čísla pomocí kipu (obrázek 1.2 na straně 3). 15

Kapitola 7 Starověké Řecko Starořecké otrokářské státy byly založeny v 8. 6. stol. př. n. l. Vznikly jako následek rozkladu prvobytně pospolného zřízení. Nejvýznamnější státy vznikly ve střední části západního pobřeží Malé Asie v Ionii. Řekové postupně přešli od otrokářské tyranie k otrokářské demokracii, v tehdejší době to byla nejpokrokovější vládní soustava. Kolem roku 500 př. n. l. do stejné fáze dospěly i Atény. S rozvojem stavitelství, zemědělství a řemeslné výroby úzce souvisel rozvoj vědeckých znalostí. I když se při práci využívala převážně síla člověka či zvířat, tak byly objeveny obléhací a válečné vrhací stroje. Začátkem 7. st. př. n. l. vznikla v Řecku a v Ionii doposud nediferencovaná věda. Tato věda zahrnuje matematické, mechanické, lékařské, astronomické, meteorologické, zeměpisné, ekonomické, politické a filozofické poznatky a vytváří z nich jeden celek. Řekové získali znalosti z babylonských, egyptských a foinických pramenů. Isokrates tvrdil, že Řekové převzali znalosti týkající se matematiky od Egypťanů. Egyptští kněží údajně nežili bohémským životem, ale zabývali se studiem astronomie a geometrie a také výukou mládeže. Aristoteles 1 se ve své knize s názvem Metafyzika zmínil o egyptském původu matematických věd. Totožný názor zastává také Proklos 2. Z počátku se řecká matematika téměř nelišila od babylonské a egyptské, ale počátkem 6. stol. př. n. l. se současně s rozvojem otrokářské demokracie dostávala do popředí teoretická stránka matematiky. Praktickou část (výpočty) Řekové nechávali řešit otroky. Následně došlo k rozdělení matematiky na praktickou a teoretickou. Příkladem je oddělení teoretické aritmetiky od logistiky (tj. praktické aritmetiky) a teoretické geometrie od geodézie (tj. užité geometrie). Oblasti teoretické matematiky se nestaly samostatným oborem, byly součástí filozofie. Teoretická aritmetika a geometrie obsahovala návody na řešení úloh, stejně jako praktická aritmetika a geometrie, a také kladla důraz na správnost řešení, ke kterému mnohdy patřily také důkazy. Matematici se snažili úlohy zobecňovat. Matematika byla od poloviny 6. stol. př. n. l. samostatným vědeckým oborem. Vrcholným dílem matematiky byly Eukleidovy 3 Základy, které vznikly přibližně 300 př. n. l. 1 Aristoteles (384 322 př. n. l.) byl řecký filozof. Jeho filozofie měla dlouhodobý vliv na vývoj západních filozofických teorií. 2 Proklos (411 485) byl řecký filozof, který se stal vedoucím Platónovy Akademie. Napsal několik důležitých komentářů k dílům dalších matematiků. 3 Eukleides (asi 325 265 př. n. l.) byl řecký matematik, který se proslavil především dílem Základy (o geometrii). Toto dílo ovlivnilo západní matematiku po dobu více než 2000 let. 16

Kapitola 7. Starověké Řecko 17 V průběhu rozvoje matematiky Řekové získali spoustu elementárních znalostí, díky kterým mohli dokazovat věty. Později byly vyžadovány důkazy každého tvrzení a byly odlišovány výchozí pojmy od předpokladů. 7.1 Symbolika čísel Řekové používali desítkovou početní soustavu. Menšina Řeků počítala na prstech, většina počítala pomocí kamínků (nazývané pséfos ), které dříve pokládali na zem, později na početní desku. Na desce byly vyznačené čáry, které udávaly řádovou hodnotu kamínků. Na základě tohoto způsobu výpočtu vzniklo počítadlo zvané abax (latinsky abacus ). V době, kdy žil Homér, Řekové užívali číslovky do 1000, vyšší číslovky nepoužívali. Cokoliv, co bylo vyšší, pojmenovávali velmi mnoho ( myrioi ). Postupem času se toto slovo začalo využívat pro označení čísla 10000. Ve 3. stol. př. n. l. Archimédes 4 ve svém díle Počítání písku tvrdí, že neexistuje největší poslední číslo. Řekové počítali pomocí abaku. Na abaku bylo 10 velkých dvojitých sloupců a po straně se nacházely 4 jednoduché menší. Do sloupců se vkládaly kamínky, které byly později nahrazeny zvláštními počítacími známkami. Pomocí velkých sloupců se odlišovaly řády, které byly od nižších k vyšším a to zprava doleva. Každému řádu příslušely dva sloupce vedle sebe. 7.2 Aritmetické operace Psané symboly číslovek se začaly objevovat v 10. stol. př. n. l., kdy Řekové začali používat písmo vzniklé ze znaků foinické abecedy. Tato číselná symbolika se nazývala herodiánská. Podle krajů v Řecku měla dvě verze: atickou a bojótskou. Jednička byla značena pomocí čárky (symbolizuje prst). Další číslovky měly rozdílné značení v atické a bojótské verzi. Pětka byla aticky značena (obraz dlaně s pěti prsty) nebo bojótsky (zkratka slova pente, což znamená pět). Desítku symbolizoval znak nebo. Stovka byla zapisována znakem nebo. Tisíc byl zapisován jako nebo. Deset tisíc bylo zapisováno pomocí. Znaky uvedené dříve byly počátečními písmeny příslušejících číslovek: 10 (deka), 100 (hekaton), 1000 (chilioi) a 10000 (myrioi). Spojováním těchto znaků vznikaly další číslovky jako např. 50, která byla aticky zapsána pomocí znaku a bojótsky. Příkladem zápisu většího čísla je třeba 9821, které se zapsalo pomocí. Řekové v minulosti používali hérodiánské psaní číslovek, které postupně bylo vytlačeno jónským zápisem čísel (stručnější způsob zápisu). Jónský způsob k zápisu čísel využíval písmena abecedy (obdobné značení používali Foiničané a Židé). Mimo písmen abecedy Řekové používali také tři zastaralá písmena. Číslo 6 bylo zaznamenáváno pomocí ( vau ), 90 bylo zapisováno symbolem ( koppa ) a 900 bylo značeno jako ( sampi ). Tisíce 4 Archimédes (287 212 př. n. l.) byl největším matematikem tehdejší doby. Mezi jeho největší objevy patří vzorce pro výpočet objemů těles a metody, které pak byly využity v integrálním počtu. Vytvořil několik vynálezů, nejznámějším je tzv. Archimédův šroub (čerpadlo).

Kapitola 7. Starověké Řecko 18 byly značeny jako jednotky s čárkou před písmenem, např.. Číslice byly od písmen odlišeny pomocí svislé čárky či vodorovného pruhu (např. ). Výpočty usnadňovala znalost tabulek pro sčítání a násobení. Když Řekové sčítali, tak neměli čísla stejných řádů zapsaná pod sebou, ale psali je do řádku. Stejným způsobem zapisovali také zbývající operace. Chyběli jim také znaky matematických operací, místo = psali slovo homoi (dohromady), nebo před výsledek zapisovali znak ( gignetai - dostáváme). 7.2.1 Pomocné tabulky Sčítání i odčítaní si Řekové usnadňovali pomocí tabulek, které mnohdy uměli zpaměti. Část tabulky je uvedena níže. Obrázek 7.1: Tabulka [1, s. 80] Násobení se provádělo jednak stejným způsobem jako v Egyptě a také zpaměti, nebo pomocí tabulky násobení. Násobilo se od nejvyššího řádu oproti našemu násobení, kdy začínáme u nejnižšího řádu. Nejprve vynásobili základy a až poté určovali řád. Není jisté, jakým způsobem Řekové dělili. Nejspíše měli v pozdější době obdobný způsob dělení jako my dnes. Při dělení se zbytkem k vyjádření výsledku používali zlomky, nebo výsledek zaokrouhlili. Zlomky měly tři druhy vyjádření. Nejvíce používané vyjádření bylo pomocí kmenných zlomků. Každý kmenný zlomek n 1 měl doplňkový zlomek n 1 n. Součtem obou těchto zlomků je 1. Kmenné zlomky byly po dlouhou dobu zapisovány slovně až později pro ně byly vytvořeny symboly, např. 3 1 se zapsala pomocí. Obecné zlomky se zapisovaly jako m-násobky kmenných zlomků n 1 nebo pomocí znaku dělení m : n. Nebyl zaveden stejný zápis obecných zlomků, nejlépe se jevil způsob zápisu, kdy se jmenovatel psal nad čitatele, např. 65 9 bylo. Řekové uměli zlomky převádět na společného jmenovatele, krátit a rozšiřovat (vynásobení jmenovatele a čitatele stejným číslem). Sčítání a odčítání kmenných zlomků usnadňovaly tabulky. 7.3 Milétská škola Milétská škola byla první řecká filosofická živelně materialistická škola. Založení milétské školy a vznik řecké matematiky se pojí se jménem Thales 5. V tehdejší době docházelo 5 Thales z Milétu (624 547 př. n. l.) byl prvním známým řeckým filozofem, vědcem a matematikem. Připisuje se mu pět důležitých geometrických vět.

Kapitola 7. Starověké Řecko 19 k propojování filozofie a přírodovědy s řešením praktických úloh. Thales se snažil v neuspořádaném fungování světa najít jakýsi řád a souvislosti, podle kterých by se dalo vše vysvětlit. Jeden z principů mohl Thales shledat v egyptské či mezopotámské mytologii. Řeky a moře měly velký význam, jelikož jich bylo využíváno v hospodářství. Na základě těchto faktů Thales začal za základ veškeré existence považovat vodu. Jeho představa byla v rozporu s náboženstvím, protože nepředpokládal, že svět stvořili bohové. V matematice Thales kladl důraz na současné vyslovení a následné dokázání jevů. Připisují se mu důkazy těchto vět: 1. průměr dělí kruh na dvě poloviny; 2. v rovnoramenném trojúhelníku jsou úhly při základně stejné; 3. vrcholové úhly jsou si rovné; 4. dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se stranou a přilehlými úhly (dnes tzv. věta usu); 5. úhel vepsaný do půlkruhu je pravý. [1, s. 83] Hlavním cílem milétské školy bylo najít odpověď na otázku o podstatě bytí, díky zobecňování babylonských a egyptských znalostí, a zdůvodnit některá geometrická tvrzení. Geometrie začínala býti abstraktnější. Následovníkem Thaleta byl Anaximandros 6, který za základ veškeré existence považoval apeiron (nekonečno, neomezeno). Tvrdil, že světy jsou nekonečné a nacházejí se v nekonečném vesmíru. Dalším představitelem milétské školy byl Las z Hermionu, který prováděl akustické pokusy. 7.4 Pythagorejská škola Na konci 6. st. př. n. l. se kulturní střediska v Řecku přesunula z východu na západ. Tato oblast byla v oblasti zemědělství zaostalá a za účelem vzdělávání zde vznikla pythagorejská škola. Názory, které zastávala pythagorejská škola, byly v rozporu s hlavními myšlenkami milétské školy. Zakladatelem školy byl Pythagoras 7, podle něj byla také škola pojmenována. Filozofií pythagorejců bylo zdůvodnění věčnosti a neměnnosti světového řádu, kterému měl lid nevědomě podléhat. Pythagorejci se snažili nalézt podstatu tohoto systému v číslech. Jak již bylo výše zmíněno, pythagorejská filozofie kritizovala myšlenky milétské školy. Kritizovala např. Anaximandrův pojem neomezeného (apeiron). Základem věcí byly podle pythagorejců dva protikladné principy: neomezeno a omezeno. Za pythagorejců se stala matematika učením, které studovalo pouze několik vybraných jedinců. V matematice došlo k oddělení abstraktna od konkrétna. Tudíž byla čísla (abstraktní pojmy) většinou lidí nepochopena. 6 Anaximandros z Milétu (611 546 př. n. l.) byl prvním, kdo vyslovil, že Slunce, Měsíc a ostatní planety obíhají kolem Země. Vynalezl sluneční hodiny. 7 Pythagoras (asi 569 475 př. n. l.) byl řecký filozof. Přispěl významným způsobem v astronomii, matematice a hudbě. Pythagorovu větu znali již o 1000 let dříve Babyloňané.

Kapitola 7. Starověké Řecko 20 7.4.1 Symbolika čísel Kvůli nedostatku historických pramenů nelze zjistit, jakým způsobem pythagorejci zdokonalili matematické znalosti, které převzali od Babyloňanů a Egypťanů. Pythagorejci zapisovali čísla pomocí bodů, které seskupovali do geometrických obrazců. Z toho vznikl pojem figurální čísla, který dává do souvislosti čísla a geometrické obrazce. Figurální čísla vyjadřovala svým zápisem, zda vznikla sčítáním nebo násobením. Příkladem jsou čtvercová čísla 1, 4, 9, atd., která se vyjadřovala následujícím způsobem:. Dalším příkladem jsou trojúhelníková čísla 1, 3, 6, atd., která se zobrazovala takto:. Bod, jenž symbolizoval jednotku, byl nadále nedělitelný. Samotný bod byl definovaný jako jednotka s určitou polohou. Oddělení bodů zajišťoval vynechaný prostor mezi nimi. Každé číslo mohlo být zapsáno pomocí bodů, či čtvercových polí. Někdy se využívaly oba způsoby zároveň. Jako příklad uvedeme zápis čísla 3:. Čísla v součinovém tvaru byla dále dělena na přímková a plošná. Přímková čísla byla prvočísla, jelikož prvočísla nelze rozložit na činitele, tak se zobrazují jako body v řadě. Plošná čísla lze rozložit na dva činitele, tudíž zapsané body tvarově představují obdélník nebo čtverec (v praktickém využití se jednalo spíše o kosočtverec). Dále existovala ještě tělesná čísla, která vznikla součinem tří činitelů. Tato čísla byla zapisována pomocí bodů do tvaru krychle či rovnoběžnostěnu. Od čísel součtového typu byla oddělena mnohoúhelníková čísla. Nejjednodušším typem mnohoúhelníkových čísel byla trojúhelníková čísla, pomocí nichž pythagorejci odvozovali čísla čtvercová. Figurální čísla a jejich vlastnosti byly objevovány po dobu několika staletí. Postupem času začala figurální čísla v matematice ztrácet uplatnění. Výjimkou jsou čtvercová a kubická čísla, která používáme pro usnadnění výpočtů ploch a objemů v geometrických úlohách.

Kapitola 8 Starověký Řím Na základě rozvoje techniky u Římanů i Etrusků docházelo ve starověkém Římě ke vzniku a vývoji matematických poznatků. 8.1 Symbolika čísel Číselné symboly, které používali Etruskové a Římané, jsou do značné míry podobné, jak si můžeme všimnout na obrázku. Obrázek 8.1: Porovnání etruských a starořímských číselných znaků [1, s. 171] Etruskové používali k zápisu čísel písmena, u nichž si nejsme jisti, zda představují počáteční písmena číslovek nebo byla vzata v abecedním pořadí. Římané se kolem roku 500 př. n. l. seznámili s řeckým alfabetním způsobem zápisu čísel, který nepřejali. Římským číslicím I, V, X, L, C, M pravděpodobně předcházely pouze číslice I, X, C, M. Symboly V a L byly zavedeny později a měly poloviční hodnotu oproti znakům X a C. Symbol C představuje 100 (centum) a M tisíc (mille). Dále byl zaveden znak D pro 500 a znak pro 6, který se brzy přestal používat. Symboly I, II, III, IIII (symbol IV byl zaveden až později) vycházely z podobnosti prstů, znak V připomínal tvar dlaně. Symbol X vznikl převrácením znaku V a spojením s původním obrazem. Symbol nuly chyběl, avšak nula měla svůj název: nullae (nic). Etruský a starořímský číselný zápis není podobný pouze v užívaných symbolech, ale také v principu vytváření čísel. Principem tvorby čísel je odčítání. Římané psali čísla následujícím způsobem: 4 = IV, 8 = IIX, 40 = XL, 90 = XC, 400 = CD. Obdobně zapisovali čísla také Etruskové. Rozdílné bylo pořadí zápisu, odčítaný symbol zapisovali napravo. 21

Kapitola 8. Starověký Řím 22 Etruskové oproti Římanům používali častěji odčítání. Číslo 47 psali jako. Princip odčítání se užíval pouze v psané podobě čísel. Časem se některé zápisy čísel přestaly používat, např. IIX. Čísla větší jak tisíc se zapisovala pomocí znaků nad číslicemi. Číslo 30000 mělo zápis, vodorovný pruh znamenal tisícinásobek. Pro zlomky existovala u Římanů dvanáctinná soustava symbolů, přičemž každý zlomek od jedné dvanáctiny do jedenácti dvanáctin měl svůj znak i název. Tak třeba jednu osminu Římané nazývali i psali: půl druhé dvanáctiny. Původ této soustavy není znám. [1, s. 172] 8.2 Aritmetické operace Římané používali tři různé způsoby počítání (ruce, abakus, pomocné tabulky). Nejstarším způsobem bylo sčítání pomocí prstů na rukou. Druhým způsobem bylo sčítání na abaku, což byla deska rozdělená čarami na sloupce, na kterou se pokládaly kamínky (calculi). Později byly vyrobeny důmyslnější abaky. Obrázek 8.2: Abakus [1, s. 172] Při násobení a dělení musely být zaznamenávány částečné výsledky. Násobení usnadňovaly tabulky, které Římané uměli zpaměti, nebo je měli v písemné podobě.

Kapitola 9 Čína Od poloviny 2. tisíciletí př. n. l. byla v Číně matematika využívána k výpočtům týkajícím se kalendáře. Tyto výpočty předpokládaly dobré aritmetické znalosti. Není však dostatek záznamů o tom, jak se čínská matematika vyvíjela. Čínská matematická literatura z prvního tisíciletí n. l. se dochovala pouze z malé části. Prvním významným dochovaným matematickým dílem byla Matematika v devíti knihách, ve které se nacházel souhrn znalostí, a díky které došlo v prvních pěti stoletích k vývoji matematiky. Rozvoji vědy značně pomohl objev knihtisku. Vzdělanost národa v oblasti matematiky byla v Číně vnímána jako velmi důležitá. Již v období 1122 249 př. n. l. (vláda dynastie Čou) byla vytvořena soustava vyučování aritmetiky pro děti ve věku od 6 do 8 let. Aby mohl člověk za vlády dynastie Tchang získat místo ve státní službě v Číně, bylo zapotřebí složit zkoušky, které obsahovaly také zkoušku z matematiky. 9.1 Symbolika čísel Nejstarší čínský zápis čísel se nachází na magických kostkách ze 14. až 11. stol. př. n. l., mincích z 10. až 3. století a na bronzových nebo keramických předmětech. 23

Kapitola 9. Čína 24 Obrázek 9.1: Číslice ve starověké a středověké Číně [2, s. 21] Největším vyskytujícím se číslem bylo 30000. Počítalo se v desítkové soustavě. Číslice pro čísla 1 10 jsou znázorněny ve čtvrtém a pátém sloupci tabulky na obr. uvedeném výše. První čtyři čísla (1 4) jsou vytvářena pomocí rovnoběžných čar. Způsob vytváření číslic 5 9 nebyl objasněn. Desítka se značí svislou čarou. Velká čísla se vyjadřovala pomocí aditivního či multiplikativního principu. Pomocí speciálního znaku se zapisovala čísla 100 a 1000. Čísla 11 14 se zapisovala tak, že se ke svislé čárce přidal potřebný počet menších vodorovných čárek. Čísla 20 až 40 se zaznamenávala vidlicovitě spojenými svislými čárkami, které byly 2, 3 nebo 4. Dalším způsobem zápisu 20 40 bylo přeškrtání znaku 10 znaky 2, 3, 4. Číslo 50 se zaznamenalo tak, že se nad znak 5 napsal znak 10. Zjednodušený zápis čísel pomocí tyčinek se začal při výpočtech používat od 4. stol. př. n. l. Tento druh zápisu se využíval až do 13. století. Číselné symboly se vytvářely aditivním principem pomocí svislých nebo vodorovných úseček. Jelikož velké množství úseček činilo problémy při zápisu velkých čísel, tak se zápis čísel 6 9 zjednodušil tak, že se pro 5 používala jedna tyčinka. Obdobné zjednodušení bylo také pro zápis čísel 60 90, kde se 50 značila také pomocí jedné tyčinky. Číselná soustava užívající tyčinky byla poziční. Výslovně nacházíme princip poziční hodnoty vyjádřený u čínského učence z 3. nebo 4. století Sun -c : Při počítání musíme znát především postavení čísla, jednotky jsou

Kapitola 9. Čína 25 svislé, desítky vodorovné; stovky stojí, zatímco tisícovky leží; tak mají stovky a tisícovky shodný tvar, stejně jako desetitisíce a stovky. [2, s. 22] Čísla se zapisovala na řádek, např. číslo 6728 se zapsalo jako. Soustava pro počítání pomocí tyčinek je nejstarší desítkovou poziční soustavou. Avšak pozičnost této soustavy není dokonalá, jelikož chybí symbol nuly. Tento problém nejspíše vznikl v důsledku počítání na abaku, jelikož zde nebyl symbol nuly potřeba (jednoduše se vynechalo na desce místo). Znak pro nulu byl v čínských textech poprvé napsán Indem Gautamou Siddhárthou mezi roky 718 a 729. Čchin Ťiou-šao v roce 1247 publikoval dílo Devět knih o matematice, ve kterém se objevuje symbol nuly tvaru kroužku. V Číně jsme se mohli setkat také s dalšími druhy zápisu čísel. Psané texty obsahovaly převážně hieroglyfické číslice, které jsou znázorněny v 1. a 2. sloupci tabulky na obrázku 9.1. Tyto symboly jsou užívány dodnes, avšak ve vědeckých textech se častěji vyskytují arabské číslice. Některé vyšší mocniny desítky měly speciální znaky. Číslo 200 se pak zapsalo pomocí znaků pro 2 a 100, které se napsaly vedle sebe. Symboly představující řád se používaly pouze pro určení řádu předcházející cifry, nikoliv jako samostatně stojící číslovky (číslovky stejné hodnoty měly jiné symboly). 9.2 Počítací deska Počítací deska se používala pro zjednodušení složitějších výpočtů. Jako počítací deska mohla posloužit také horizontální rovná plocha, na kterou se pokládaly do sloupců početní tyčinky. Tyčinky byly dlouhé maximálně 15 cm a jejich tloušťka byla nejvýše 0,5 cm. Vyráběly se ze dřeva, litiny či slonoviny. Vodorovná poloha tyčinek představovala jednotky, stovky, atd. Svislá poloha tyčinek představovala desítky, tisíce, atd. Praktický příklad zápisu čísel je uveden na obrázku. Úkolem je sečíst čísla 9876 a 5647, zápis se čte zdola nahoru. Obrázek 9.2: Sčítání pomocí tyčinek [2, s. 25] Nejprve obě čísla vyjádříme tyčinkami vedle sebe. Potom tisíce druhého přičteme k tisícům prvého, dostaneme 14876 a z druhého sčítance zůstane ještě 647. Pak přičteme stovky druhého sčítance ke stovkám prvého mezisoučtu. Obdobně naložíme s druhým mezisoučtem a desítkami druhého sčítance atd. [2, s. 25] Dalším příkladem je násobení čísel 234 a 24, které je znázorněno na obrázku níže.

Kapitola 9. Čína 26 Obrázek 9.3: Násobení pomocí tyčinek [2, s. 25] Při násobení čísel, třeba 234 a 24, číslici násobitele 24, která má nejmenší desetinný řád, položíme pod tu číslici násobence, která má největší desetinný řád, a násobitele násobíme hodnotou této cifry násobence, tj. dvěma. Výsledek 48 se vloží do střední řádky. Pak posuneme násobitele 24 o jedno místo doprava, v násobenci vynecháme číslici 2 a 24 násobíme třemi ve dvou krocích - nejprve násobíme 2 3 a 6 připočteme ke 48 (obdržíme 54), a potom 4 vynásobíme 3 a výsledek 12 připočteme k 540 - tak získáme 552 a obdobně pokračujeme dále. [2, s. 25] Tento způsob výpočtu je rozdílný oproti současnému postupu výpočtu v tom, že se nejdříve počítá s číslicemi vyššího řádu a postupuje se k řádům nižším. Početní deska umožňovala kromě sčítání, odečítání, násobení a dělení také odmocňování a numerické řešení algebraických rovnic. Dalším typem pomůcky pro matematické výpočty je počítadlo suan-pchan (v překladu počítací deska), které je zobrazeno na obrázku níže. Tato pomůcka byla pravděpodobně používána již v 2. 6. stol. n. l. Koncem středověku bylo suan-pchan rozšířeno také v Japonsku, kde získalo název soroban. Obrázek 9.4: Suan-pchan [2, s. 26] Dalšímu usnadnění výpočtů napomáhala znalost násobilky do 9 9, která se v 8. stol. př. n. l. stala součástí matematického vzdělání. 9.3 Zlomky Zlomky typu m n se zapisovaly jako m ntých dílů. U nejvíce používaných zlomků se dochovaly staré názvy a zápisy pomocí speciálních znaků. Jedna polovina se zapisovala symbolem a nazývala se pchan, jedna třetina měla znak a nazývala se šao pchan, dvě třetiny představoval symbol, kterému se říkalo tchaj-pchan.

Kapitola 9. Čína 27 9.3.1 Operace se zlomky Samotný výpočet byl usnadněn pomocí počítadla. Při výpočtech se zlomky se hojně používalo krácení zlomků. Pravidlo pro krácení říká: To, co můžeš dělit dvěma, děl dvěma; jestliže není možné dělit dvěma, pak urči velikost čitatele a jmenovatele a odečti od většího menší; pokračuj ve vzájemném zmenšování, dokud nezískáš stejná (čísla); tímto stejným číslem krať. [2, s. 27] Popsaný postup představuje nalezení největšího společného dělitele dvou přirozených čísel pomocí Eukleidova algoritmu. Dělení čísla zlomkem bylo prováděno tak, že se dělenec vynásobil jmenovatelem dělitele a výsledek se podělil čitatelem. Antičtí, arabští, byzanští, starořečtí a středověcí matematici dělení prostých zlomků prováděli tak, že nejdříve převedli obě čísla na společného jmenovatele a poté podělili čitatele dělence čitatelem dělitele. Až Michael Stifel v roce 1544 zformuloval postup dělení zlomkem jako násobení jeho reciprokou hodnotou. 9.4 Záporná čísla První rozlišování kladných a záporných čísel můžeme najít v 8. knize Matematiky v devíti knihách. Záporná čísla byla nejspíše zavedena kvůli rozšíření metody fang čcheng na libovolný systém lineárních rovnic. Metoda fang čcheng udává algoritmus řešení systému n lineárních rovnic o n neznámých. Pro rozlišení kladných a záporných koeficientů se používaly speciální pojmy a symboly a také byly vytvořeny speciální tyčinky. Kladné hodnoty byly podle Liou Chueje 1 nazývány čeng a záporné fu. Červené počítací tyčinky s trojúhelníkovým průřezem představovaly kladné hodnoty a černé počítací tyčinky se čtvercovým průřezem představovaly záporné hodnoty. Tyčinky představující kladné hodnoty se pokládaly svisle, druhý druh tyčinek se pokládal šikmo. Li Je v polovině 13. století zapisoval záporná čísla pomocí tyčinkových číselných symbolů. Poslední cifru šikmo přeškrtával. Číslo 10724 tak bylo zapsáno jako. Záporná čísla a pravidla používaná při jejich výpočtech byla největším objevem čínské matematiky. Záporná čísla se na začátku 7. století díky Brahmaguptovi 2 rozšířila také do indické matematiky. V Evropě byla zavedena Leonardem Pisánským 3 začátkem 13. století, více je ovšem používal Nicolas Chuquet koncem 15. století a Michael Stifel v polovině 16. století. 1 Liou Chuej (asi 220 280) byl čínský matematik, který napsal komentář k dílu Matematika v devíti knihách. 2 Brahmagupta (598 670) byl indický matematik, který byl prvním, kdo používal nulu. Objevil algoritmus pro nalezení druhých odmocnin a uměl řešit kvadratické rovnice. 3 Leonardo Pisánský neboli Fibonacci (1170 1250) byl italský matematik, jehož zásluhou došlo k rozšíření arabských číslic v Evropě. Jeho významným dílem je kniha Liber Abaci (Kniha o abaku).

Kapitola 10 Indie V údolí Indu se v polovině 3. tisíciletí př. n. l. nacházel otrokářský stát, který byl značně rozvinut. Na základě dochovaných předmětů a budov, které byly z hlediska geometrie značně propracovány, lze usoudit, že tehdejší obyvatelstvo mělo dostatečné matematické znalosti. V polovině 2. tisíciletí došlo k částečnému vylidnění území a došlo k smísení původních obyvatel s novou arijskou rasou. Stejná situace se ještě několikrát opakovala. První písemné matematické texty vznikaly v 7. 5. stol. př. n. l. 10.1 Symbolika čísel Desetinná číselná poziční soustava vznikala dlouho a není zcela znám celý průběh jejího vývoje. Sanskrtové číslovky od jedné do deseti, stovky a tisíce jsou zapsány níže: 1 ékah, éká, ékam 2 dvau, dvi, dvé 3 trajah, tisrah, tríni 4 čatvárah, čatasrah, čatvári 5 panča 6 šaš 7 sapta 8 ašta 9 nava 10 daša 100 šatam 1000 sahasram Desítky a stovky byly pojmenovávány za použití aditivního principu: 20 vim šat 30 trim-šat 200 dvi-šatam (dve-šate) atd. K zápisu větších čísel se používal aditivní princip, málokdy se využívalo odčítání. Číslo 19 mohlo být pojmenováno navadaša (devět-deset) a také ekauna-vimšati (jedna do dvaceti). Velké množství číslovek existovalo pro vyšší desítkové řády. V díle Lalitavistara 28

Kapitola 10. Indie 29 z 3. stol. př. n. l. je napsáno, že Buddha-Gautama vyjmenoval další čísla řádem až o 22 větší jak 100 Koti (což je 100 10 7 ). Největším číslem bylo tallakšána, neboli 10 7+2 23 = 10 53. V pozdějších pracích jsou uvedena pojmenování dalších desítkových řádů, Šrídhara 1 uvádí čísla do 10 17 a Mahávíra 2 uvádí čísla do 10 23. Zmínění matematici používají z části rozdílná označení. Šrídhara pojmenoval 10 4 ajuta, 10 5 lakša a 10 6 prajuta. Mahávíra pojmenoval 10 4 daša-sahasra (deset tisíc), 10 5 lakša a 10 6 daša-lakša. Před vznikem poziční číselné soustavy se v Indii používaly různé číselné soustavy, které ovšem zanikly. Na území dnešního východního Afghánistánu a severního Paňdžábu byly od 4. stol. př. n. l. do 3. stol. n. l. používány číslice kharóšthí. Obrázek 10.1: Číslice kharóšthí [2, s. 109] Jednotky se zapisovaly podle aditivního principu pomocí znaků 1 a 4, desítky pomocí znaků 10 a 20 a sta se zapisovala multiplikativně, tj. psali znak sta (který se samostatně nepoužíval) a za ním číslicemi vyznačovali počet set. Znaky prvních tří číslic se v mnoha soustavách shodují s čínskými (čtyřka ve tvaru kříže se také občas používala v Číně). Číslice se psaly zprava nalevo. [2, s. 110] Vyšší stupeň představuje číselná soustava bráhmí, která byla více než tisíc let značně rozšířená ve velké části Indie. V této číselné soustavě existovaly speciální symboly pro jednotky, desítky, sta a tisíce. Sta a násobky tisíce byly vyjadřovány multiplikativně. Číslice se zapisovaly zleva doprava. Obrázek 10.2: Číslice bráhmí [2, s. 110] 1 Šrídhara (asi 870 930) byl indický matematik, který ve svých dílech psal o praktických aplikacích algebry. Byl jedním z prvním, kdo popsal postup pro řešení kvadratických rovnic. 2 Mahávíra (asi 800 870) byl indický matematik, který rozšířil Brahmaguptovu matematiku.

Kapitola 10. Indie 30 Multiplikativní a poziční princip získaly svůj význam i ve zvláštní soustavě názvů čísel, která se užívá v dílech pojednávajících o astronomii a matematice. Jedničku zastupoval předmět, který existuje pouze jeden (např. Měsíc, Země). Dvojku zastupovaly párové předměty (např. oči, ruce). Pětka byla zastoupena šípy (5 šípů boha lásky Kámadévy). Dvanáctku zastupovalo slovo Súrja (12 znamení zvěrokruhu). Zápis čísla 867 je tedy: giri-rasa-vazu (hory (7) - vůně (6) - bohové (8)), řády se zapisují od nižších po vyšší. Jelikož je více variant pro zapsání jednotlivých číslic, tudíž je také více možností zápisu čísel. Chybějící řád v čísle byl zapisován pomocí slova díra. Číslo 1021 tedy bylo zapsáno: saši-pakša-kha-éká (Měsíc (1) - křídla (2) - díra (0) - sám (1)). Tento způsob zápisu čísel používal např. Brahmagupta. Árjabhatta 3 používal slabikové označení čísel, byl to nepoziční číselný systém. V první polovině 6. stol. došlo ke změně pořadí zápisu řádů a čísla se zapisovala od řádů vyšších k řádům nižším. Gautama Siddharta zmiňuje kolem r. 725 vyjádření nuly pomocí tečky. Později se začala nula zapisovat pomocí kroužku místo tečky. Postupně docházelo k vytváření poziční desítkové číselné soustavy. 10.2 Aritmetické operace Brahmagupta umí vypočítat 20 operací a 8 určování, Šrídhara počítá 29 operací a 9 určování. Šrídhara zařadil mezi operace osm aritmetických operací s celými čísly, kterými je např. umocňování čísel na druhou a na třetí a odmocňování. U operací sčítání a odčítání zmiňuje také pravidla, jež se vztahují ( ke sčítání ) řady přirozených čísel: S n = n k=1 k = 2 1n(n+1), kde n = 2 1 (8S n + 1) 1 2 1 a S n S m = 1 2 (n m)(n+m+1), (n > m). Obyčejné sčítání a odčítání se považuje za známé. Následující operace se týkají zlomků. Árjabhatta II. 4 definoval sčítání jako slučování několika čísel v jedno a odečítání jako odnímání čísla od nějakého celku. [2, s. 114] Stejné definice se objevují v pozdější době v evropských učebnicích. Bháskara I. 5 tvrdí, že násobení a dělení lze redukovat na sčítání a odčítání. Ve starověké Indii bylo hojně rozšířeno používání počítací desky. Všechny složitější výpočty byly prováděny na abaku pomocí mušliček kauri. Podlouhlé mušličky (anka-ráši) se používaly k označení čísel 1 9 ve sloupcích abaku. Kulaté mušličky (šúnja raši) zastávaly symbol nuly. Kauri byly na abakus pokládány ve skupinkách. Číslo 52077 je znázorněno na obrázku. Podlouhlé mušličky jsou zapsány pomocí šikmých čar a kulaté mušličky jsou znázorněny kroužkem. 3 Árjabhatta (476 550) byl indický matematik. 4 Árjabhatta II. (asi 920 1000) byl indický matematik. Psal o geometrii a astronomii. Sestrojil tabulku hodnot sinu, které byly přesné až na pět desetinných míst. 5 Bháskara I. (asi 600 680) byl indický matematik. Napsal komentáře k práci Árjabhatty I.

Kapitola 10. Indie 31 Obrázek 10.3: Znázornění čísla 52077 na abaku [2, s. 115] Výpočty na abaku s čísly menšími jak 10 předpokládaly, že známe doplněk čísla do 10 (prati-ráši). Jestliže při sčítání přičítané číslo, které si pamatovali, bylo menší než doplněk do desíti odpovídajícího čísla prvního sčítance zaznamenaného na abaku, potom jednoduše přidali potřebný počet mušliček. Jestliže se přičítané číslo rovnalo doplňku, přidali v nejbližším řádu nalevo v prvním sčítanci jednu podlouhlou mušličku, mušličky daného řádu se odebraly a na prázdné místo se položila kulatá mušlička. Konečně jestliže přičítané číslo bylo větší než doplněk do deseti, potom se v řádu nalevo přidala podlouhlá mušlička a z mušliček daného řádu se odebral doplněk do deseti druhého sčítance. [2, s. 115] Obdobným způsobem se odčítalo. Násobení bylo převáděno na opakované sčítání a dělení na opakované odčítání. Později byly výpočty prováděny písemně na počítacích deskách. Ty byly pokryty pískem nebo prachem, do kterého se pomocí zaostřené hůlky kreslily číslice. Jelikož byly desky nedostačující délce výpočtů, tak se průběžné, později nepotřebné výsledky mazaly. Při počítání v poziční soustavě jsou zapotřebí operace s nulou. Šrídhara a Árjabhatta II. zformulovali pravidla používaná při výpočtech s nulou: a ± 0 = a, 0 + a = a (součet kladného čísla a nuly je kladné číslo), 0 + 0 = 0 (součet dvou nul je nula), a a = 0, a 0 = 0 a = 0 (vynásobením jakéhokoliv čísla nulou dostaneme nulu), 0 : a = 0. Vydělení čísla různého od nuly nulou se považuje za nemožné. Avšak Bháskara dělení nulou připouštěl a měl také návrh, že výsledkem dělení nulou by mohlo být nekonečno. 10.3 Zlomky Indové zlomky zapisovali obdobně, jak je v dnešní době zapisujeme my. Jmenovatel byl uveden pod čitatelem, avšak nebyla mezi nimi napsaná zlomková čára. Pokud byl zlomek smíšený, pak psali celou část nad čitatele. Ve výpočtech, které obsahovaly zlomky i celá čísla, zapisovali celá čísla pomocí zlomku s jmenovatelem rovným 1. Obecné zlomky, které mají čitatel různý od jedničky, se poprvé objevují v Ápastambových Pravidlech provazce. Šrídhara uvedl 14 pravidel, jež užíváme při výpočtech se zlomky. Operace sčítání, odčítání až po výpočet třetích mocnin se provádějí stejně jako s celými čísly. Postup nalezení společného jmenovatele byl nejspíše takový, že se pouze vynásobily jmenovatelé a tím byl získán společný jmenovatel. Algoritmus pro nalezení nejmenšího společného násobku totiž v této době ještě nebyl znám. Další pravidla jsou zapsána pomocí následujících výrazů, které obsahují celá čísla a zlomky.

Kapitola 10. Indie 32 a b cd ef = b d a c e f a : b c = ac b a ± c d = ad±c d a b ± c d ab = a(d±c) bd 10.4 Odmocňování Odmocnina byla v Indii označována pojmem múla (základ, počátek, kořen stromu či rostliny). Dále používali také pojem pada (základna, spodek). Árjabhatta I. popsal jako první výpočet druhé a třetí odmocniny. Šrídhara formuloval pravidlo pro výpočet druhé odmocniny následujícím způsobem. Odečti (největší možný čtverec od (posledního) lichého místa, vyděl zbytek zdvojnásobenou (pod nejbližší místo) posunutou odmocninou; podíl umísti na řádce (zdvojnásobené odmocniny) a po odečtení jejího čtverce zdvojnásob (podíl). Potom posuň obdržené (v řádku zdvojnásobené odmocniny) číslo o jedno místo kupředu a děl jím jako dříve. (Po opakování operace do konce) vezmi polovinu zdvojnásobeného čísla. [2, s. 119] Uvedeme příklad výpočtu 186624. Lichá místa jsou zde vyznačena svislými čárkami a sudá vodorovnými 1 8 6 6 2 4. Vezmeme největší čtverec menší než 18, což je 16, odečteme jej od 18 a umístíme zdvojnásobenou jeho odmocninu 2 4 = 8 pod následujícím místem zbytku: 2 6 6 2 4. 8 Nyní 26 dělíme 8 a potom zaměníme 26 zbytkem dělení, tj. 2 (o čemž se v pravidle nemluví) a umístíme podíl 3 na řádce zdvojnásobené odmocniny: 2 6 2 4 8 3. Od 26 odečteme čtverec podílu, tj. 9 a na řádce zdvojnásobené odmocniny změníme 3 na 2 3 = 6: 1 7 2 4 8 6 Posuneme 86 o jedno místo: 1 7 2 4. 8 6. 172 dělíme 86 a zaměníme zbytkem dělení, který je v daném případě nula a podíl 2 umístíme na řádce zdvojnásobené odmocniny: 4 862.

Kapitola 10. Indie 33 Odečteme od zbývajících 4 čtverec podílu, tj. 4, zdvojnásobíme podíl a na řádce zdvojnásobené odmocniny změníme dvojku na 2 4 = 4. Číslo pod odmocninou je vyčerpáno a na řádce zdvojnásobené odmocniny je 864. Vydělíme-li dvěma dostaneme odmocninu 432. [2, 119 120] Zmíněný postup je odlišný od metody výpočtu druhé odmocniny, která byla používána v Číně. Oba algoritmy jsou založené na rozložení čtverce dvojčlenu, avšak nikde nevidíme náznak v dnešní době používaného Hornerova 6 schématu. 6 William Horner (1786 1837) byl anglický matematik. Je známý především díky metodě hledání řešení algebraických rovnic.

Kapitola 11 Islámské země Důležitou oblastí, díky které docházelo v islámských zemích k šíření vědeckých poznatků, byl obchod. Arabové udržovali obchodní styky s Byzancí, Čínou, Indií, Ruskem a pobřežními oblastmi Středozemního moře. V Bagdádu vznikla tzv. bagdádská škola, které fungovala 200 let. Hlavní náplní studia byly staří autoři a překlad jejich děl do arabštiny. Překlad děl Apollonia 1, Archiméda, Diofanta 2, Eukleida, Héróna 3, Ptolemaia 4 a dalších do arabštiny trval zhruba 100 150 let. Dále vznikala terminologie užívaná v arabské matematice. Při rozvoji islámské matematiky byly důležité matematické znalosti z Indie. Vývoj islámské matematiky můžeme rozdělit do tří vývojových stupňů. Nejprve docházelo k osvojování řeckého a orientálního kulturního dědictví. V 9. století vznikla matematická kultura. Touha po vědomostech vzrůstá v průběhu 10. a 11. století v důsledku rozvoje přibližných algebraických a trigonometrických metod. 11.1 Symbolika čísel Důležité dílo pro rozvoj matematiky je od Abú Abdalláha Muhammada ibn Músá al- -Chwárizmí al-mádžúsího. Z díla se dochovalo pět z části přepracovaných opisů. Tyto části se zabývají algebrou, aritmetikou, astronomií, geografií a výpočty kalendáře. Velký vliv na rozvoj matematiky měla především část algebraická a aritmetická. Aritmetický traktát je první arabská práce, v které se zavádí desítková poziční soustava, a vysvětlují algoritmy aritmetických operací v této soustavě. Nové zápisy číslic převážně nejsou v díle uváděny, ale jsou pro ně alespoň vynechána místa. Jen výjimečně můžeme nalézt symboly čísel 1, 2, 3, 5 a 0 (nula byla značená pomocí kroužku). Symboly čísel, jež al-chwárizmí používal, byly pro 1 až 9 pravděpodobně písmena abecedy. Symbolika těchto čísel je znázorněna na obrázku. 1 Apollonius (asi 262 190 př. n. l.) byl řecký matematik, díky jehož působení došlo k velkému rozvoji matematiky. Napsal knihu Kónika - Pojednání o kuželosečkách. 2 Diofantos (asi 200 284) byl řecký matematik, který se proslavil dílem Aritmetika. Toto dílo mělo velký vliv na vývoj teorie čísel. 3 Hérón (asi 10 75) se zabýval mechanikou a vynalezl mnoho strojů. Sestavil vzorec pro výpočet obsahu trojúhelníku pomocí délek jeho stran. 4 Ptolemaios (asi 85 165) byl nejvlivnější řecký astronom a geograf tehdejší doby. Rozpracoval geocentrický systém. 34

Kapitola 11. Islámské země 35 Obrázek 11.1: Východoarabské a západoarabské číslice [2, s. 194] Poté, co Arabové dobyli Egypt, Sýrii a Mezopotámii, se v matematických textech k označování číslic používala slova či řecké alfabetické symboly. Slovní zápis čísel se používal i později, avšak alfabetický zápis čísel se používal méně, ve 12. století se přestal zcela užívat. V 8. 9. století se začala používat arabská numerace, která se do 10. století značně rozšířila. Můžeme se s ní dále setkat v šedesátkové aritmetice u čísel džumal. Poziční zápis čísel se začal šířit už v první polovině 10. století. Tento poziční zápis používá východoarabské číslice a speciální znak pro nulu. U východoarabských číslic můžeme nalézt jistou podobnost s číslicemi bráhmí. Západoarabské číslice lze také nazvat jako číslice džubar. Nula se nejprve značila pomocí kroužku, později se přešlo ke značení pomocí tečky. 11.2 Aritmetické operace Al-Chwárizmí v díle Aritmetický traktát vysvětluje způsob zápisu čísel. Dále pokračuje vyslovováním číslovek velkých čísel (jednotek, desítek, stovek a tisíců), které vysvětluje na příkladu. Je to číslo: 1180703051492863, které čte jako: jeden tisíc tisíců tisíců tisíců tisíců pětkrát a sto tisíc tisíců tisíců tisíců čtyřikrát a osmdesát tisíc tisíců tisíců tisíců čtyřikrát a potom sedmset tisíc tisíců tisíců třikrát, tři tisíce tisíců tisíců třikrát a padesát jedna tisíc tisíců dvakrát a čtyřistatisíc a devadesátdva tisíce a osmset šedesát tři. [2, s. 189] Podobné zdlouhavé a nepřehledné zápisy čísel se v arabské a evropské literatuře vyskytovaly ještě celkem dlouho. Dále Al-Chwárizmí popisuje matematické operace po vzoru Indie. Čísla jsou vyjadřována slovy nebo římskými číslicemi, občas se vyskytuje kombinace obou. Sčítání a odčítání se provádí zleva doprava, tedy od vyšších řádů k řádům nižším. Klade se důraz na zaznamenávání nuly, aby nedocházelo k chybám při výpočtech. Po vysvětlení odčítání je pozornost věnována půlení (mediatio) a zdvojnásobování (duplatio). U násobení se předpokládá znalost násobilky až po 9 9. V díle jsou vysvětleny multiplikativní vlastnosti nuly: 0 n = 0 a n 0 = 0. Součet, rozdíl a součin byl zapisován pod příslušný řád vrchního čísla (u sčítání pod jednoho ze sčítanců, u odčítání pod menšence a u násobení pod násobence). Podíl se zapisoval nad dělence. Pravidla určující umístění číslic zpřehledňovala zápis výpočtu a usnadňovala tak orientaci v příkladu. K výpočtům se používaly tabulky, na kterých se potřebné mezivýpočty mazaly. Postupně se výpočty začaly zapisovat na papír, na který se zaznamenávaly všechny kroky výpočtu (nedocházelo k mazání mezivýpočtů). S tímto zápisem výpočtů se můžeme setkat v evropských textech z 12. století. Později se v Evropě průběžné výsledky ve výpočtech škrtaly, což působilo nepřehledně.

Kapitola 11. Islámské země 36 Popis postupu násobení používaného al-chwárizmím je zaznamenán v následujícím příkladu. Na začátku jsou pod nejvyšším řádem násobence zapsány jednotky násobitele: 2 3 2 6 2 1 4 Násobení dvěma, řádově nejvyšší číslicí vrchního čísla všech postupně se zmenšujících řádů nižšího čísla dává 428, což se také zapisuje nad 214 do řádku násobence, přičemž smažeme nejvyšší řád násobence - dvojku, jakmile násobení dojde k prvnímu řádu dolního čísla, smažeme to, co bylo na místě stojícím nad ním a místo toho napíšeme to, co jsme obdrželi násobením. Pak se násobitel posune o jedno místo doprava: 4 2 8 3 2 6. 2 1 4 Trojka, pod kterou stojí jednotky dolního čísla se násobí číslem 214, tj. 3 214 = 642. Přičteme 64 k 28, což dá 92 která se zapíší nad 21 a dvojka nahradí smazanou trojku. Násobitel se posune opět o řád doprava: 4 9 2 2 2 6. 2 1 4 Stejný postup jako v předcházejících krocích dá mezivýsledek 4 9 6 4 8 6 2 1 4. Po provedení stejné operace se šestkou stojící v horním čísle nad jednotkami násobitele zůstane na desce ve vrchním řádku výsledný součin 497764. [2, s. 191] Ověření správnosti výsledku al-chwarizmí provádí tzv. devítkovou kontrolou (tato kontrola se používá také u zdvojnásobování). 11.3 Zlomky Al-Chwárizmí se v traktátu o aritmetice zabývá také zlomky. Pojem zlomek, z latiny fractiones, pochází ze slova kasara (v češtině lámat). Arabská matematika měla k dispozici speciální označení pro kmenové zlomky do 10 1 včetně. Kmenové zlomky mají následující pojmenování: 1 2 = nisf, 3 1 = thulth, 1 4 = rub, 1 5 = chums, 6 1 = suds, 1 7 = sub, 1 8 = thumn, 1 9 = tus, 1 10 = ušr. Další kmenové zlomky neměly speciální pojmenování (např. 1 13 se pojmenovává jedna část ze třinácti částí nebo jednoduše jedna část ze třinácti ).

Kapitola 12 Středověká Evropa V období raného feudalismu, ke kterému v Evropě docházelo, nebyly příznivé podmínky pro rozvoj v oblasti přírodních věd a matematiky. Lidé běžně používali základní operace s celými čísly a zlomky a dále využívali minimum postupů týkajících se měření jednoduchých geometrických útvarů. Se stálým zájmem o matematiku se můžeme setkat v klášterech. 12.1 Byzanc Matematika se v Byzanci vyučovala v Athénské a Alexandrijské škole. Studiu v Alexandrijské škole se věnovali např. známí matematici Simplikios 1 a Eutokios z Askalónu 2. Eutokios rozšířil hojně starou řeckou matematiku v Byzanci. Planudes ve svém díle o aritmetice vysvětluje devět symbolů čísel 1 9 a dále vysvětluje symbol zvaný cifra ( - tzifra), které znamená nic. Poziční číselná soustava byla v Byzanci šířena pomalu a v různých variantách. V díle ze 14. století se objevuje poziční použití abecedních číslic. Číslo 18 je zapsáno pomocí a zlomek 13 28 je zapsaný pomocí. 12.2 Arménie a Gruzie Na přelomu 4. a 5. století si Arménové vytvořili vlastní písmo, jež vzniklo na základě perské a řecké abecedy. Na základě tohoto písma později došlo ke vzniku arménského abecedního zápisu čísel, který je znázorněn na obrázku. 1 Simplikios (asi 490 560) byl řecký matematik, který napsal komentáře k dílům dalších filozofů a matematiků (např. Eukleides a Aristoteles). 2 Eutokios (asi 480 540) byl řecký matematik, který napsal komentáře k dílům Archiméda a Apollonia. 37

Kapitola 12. Středověká Evropa 38 Obrázek 12.1: Arménský abecední zápis čísel [2, s. 326] Arméni používali pro deset tisíc označení bjur a pro čísla větší jak bjur používali speciální znak (vpravo nahoře u písmene byla zvláštní čárka), který zvětšoval hodnotu abecedních číslic desettisíckrát. Starogruzínský číselný systém byl založen na abecedě, která obsahovala 37 písmen. Tato abeceda byla vytvořena na základně perské a řecké abecedy a do značné míry se podobala arménské abecedě. Gruzínština měla několik speciálních symbolů pro číslice: 10000 bevri, 1000000 uškari a 10000000 ušti. Obrázek 12.2: Starogruzínský číselný zápis [2, s. 328] 12.3 Aritmetika v poziční soustavě Jednotky na počítací desce nebyly vyjadřovány pomocí několika kamínků, ale pomocí speciálních početních známek s vyobrazením příslušných číslic. Tyto obrazy a také samotné

Kapitola 12. Středověká Evropa 39 početní známky se nazývaly apices. Indo-arabské číslice se do Evropy dostaly v 10. století ve formě apices. V uvedené době existovala východní a západní forma arabských číslic. Obrázek 12.3: Apices [2, s. 342] Západní arabské číslice se nazývaly gubar (v překladu písek). Číslice gubar pravděpodobně pochází z Orientu (9. 10. století, Írán a Egypt). Nejdříve se číslice používaly bez symbolu nuly. Řád byl rozlišován pomocí počtu teček (počet teček odpovídá řádu), který byl nad číslicemi. Pro přehlednost uvádíme příklad: 456 odpovídalo číslu 456, 45 odpovídalo číslu 450 a 46 odpovídalo číslu 406. Později se začal používat symbol nuly, kterým byl kroužek. Obrázek 12.4: Dnešní číslice a jejich vývoj [2, s. 343] 12.4 Rusko V Rusku se používal abecední číselný zápis, který se podobal řeckému. Staroruská číselná symbolika vyjadřovala čísla 1 9, dále desítky a stovky pomocí za sebou jdoucími písmeny slovanské abecedy (tzv. Kyrilice), která vznikla v 11. století.

Kapitola 12. Středověká Evropa 40 Obrázek 12.5: Kyrilice [2, s. 349] Přestože se užívalo toto pravidlo, tak existovaly také výjimky. Číslo 2 se zapisovalo třetím písmenem kyrilice vedi. Číslo 9 bylo označeno písmenem fita, avšak číslo 90 bylo vyjádřeno pomocí písmene červ. Tisíce se značily značkou, která se zapisovala vlevo dole u písmen abecedy. V běžném textu byla čísla vyčleněna pomocí znaku titla, který se zapisoval nad písmeno vyjadřující číslici. Prvním známým matematickým dílem vytvořeným v Rusku roku 1126 je Učení, kterým člověk poznává počet všech let od mnicha Kirika, kde se používá abecední číselná symbolika. Postupně do středověkého Ruska proniká poziční systém. Poprvé se s novými číselnými symboly a pozičním principem můžeme setkat v rukopisech ze 17. století. Abecední číselná symbolika ustupuje a přechází se k pozičnímu číselnému systému. Vyšším mocninám deseti byly později vytvořeny názvy a symboly. Rozvinutá desítková soustava se v ruské literatuře objevuje až v 17. století, avšak byla známa již dříve. 10000 se pojmenovává tma, 10 tma se nazývá legion, 10 legion = leodr, 10 leodr = voron, 10 voron = koloda (což odpovídá 10 8 ). Například v jednom rukopise se číslo 9876543210 čte takto: Devět tisíc leodrů a osmset leodrů a sedmdesát leodrů a šest leodrů a pět leionů a čtyři tmy a tři tisíce a dvěstě a deset. [2, s. 353] Tmy byly značeny pomocí kroužku kolem písmene, vyjadřujícího číslo 1 9,. Legiony byly značeny pomocí kroužku z teček. Leodry byly značeny pomocí kroužku z radiálních čárek. Tento systém se nazýval malý počet, dále existoval také systém, který se nazýval velký počet. Ve velkém počtu platily následující pravidla: tma = tisíc tisíců (10 6 ), legion = tma tmoucí (10 12 ), leodr (10 24 ), voron (10 48 ), koloda = 10 voronů. Ostatní řády byly sestavovány pomocí základních řádů - např. 10 23 = sto tisíc tem legionů. Počátkem 18. století se přestal systém výše uvedených názvů používat. Magnickij používal západoevropské názvosloví: miliónů a jejich mocnin.

Kapitola 12. Středověká Evropa 41 12.4.1 Početní pomůcky I když se rozšířily písemné výpočty, jelikož se začal vyrábět papír, tak se i nadále používaly početní pomůcky. V Rusku bylo od konce 15. století do konce 17. století velmi oblíbené počítání na linách. K počítání se používaly speciální počítací známky. Počítání na linách se poprvé v literatuře vyskytuje v polovině 15. století. Při výpočtech na linách se používaly vodorovné čáry liny, na něž byly pokládány početní známky. Směrem od počtáře se na desce rýsovaly křídou vzájemně rovnoběžné přímky, které představovaly jednotky, stovky, tisíce atd. Na každou linu se mohly umístit nejvýše čtyři známky. Pokud byla známka umístěna mezi dvěma linami, pak znamenala pět jednotek řádu nejbližší spodní liny. Mimo jiné se deska rozdělovala také řadou čar kolmých k původním. Takto docházelo k rozdělení desky na několik sloupců pro jednotlivé sčítance, součinitele, atd. a pro výsledek. Příklad výpočtu 66 96 je znázorněn na obrázku. Obrázek 12.6: Výpočet 66 96 pomocí lin [2, s. 359] V 18. století byla v Rusku vyvinuta nová početní pomůcka, jednalo se o tzv. sčoty. Ruské sčoty byly tvořeny čtyřmi poli, která bylo možné po dvou spojených složit do dvou skřínek. Obrázek 12.7: Ruské sčoty [2, s. 361] Každé pole obsahovalo 14 drátků či provázků. K výpočtům s celými čísly se používaly dráty, na kterých bylo navléknuto 9 nebo 10 kuliček. Pokud se počítalo se zlomky, tak se využívaly dráty, na nichž byly tři, čtyři nebo jedna kulička. 12.5 Symbolická algebra Na základě rozvoje algebraických metod a písemného počítání v druhé polovině 15. století došlo k vytvoření algebraických symbolů a kalkulu. Zpočátku nebyly pokusy o vytvoření