.8.8 Výpočty s odmocninami II Předpoklady: 00807 Př. : Vypočti. Odmocniny, které nejdou počítat z hlavy usměrni. 5 0 7 3 c) 5 3 5 0 = 00 = 0 7 3 = 9 3 3 = 3 3 = 9 c) 5 = 9 5 = 3 5 3 = 6 = Př. : Vypočti (všechny body mají "hezké" řešení). 9 5 c) 8 5 9 = 3 = = c) 5 5 5 8 8 = = = (jinak 8 = = ) = = 5 5 6 9 9 3 = = = = 6 (jinak 5 6 9 6 9 9 3 = = = = ) 6 6 Př. 3: Doplň vzorec a b = a přečti jej. a a = a 0; b > 0 b b Levá strana: odmocnina, kterou děláme z čísla, které získáme jako podíl odmocnina podílu. Pravá strana: podíl dvou čísel, obě čísla jsou odmocniny podíl odmocnin. Odmocnina podílu se rovná podílu odmocnin. Př. : Hugvenc navrhl další vzorce pro odmocniny: a + b = a + b a a b = a b. Zkusíme, zda vzorce platí při dosazení konkrétních čísel. a =, b = 3 : a + b = + 3 = = a + b = + 3 = + 3 vzorec neplatí (na obou stranách nevyšla stejná čísl.
a = 5, b = 6 : a b = 5 6 = 9 = 3 a b = 5 6 = 5 = vzorec neplatí (na obou stranách nevyšla stejná čísl. Pedagogická poznámka: U prvního vzorce je elegantnější a = 6 a b = 9, je však poměrně vzácné, když s ním někdo přijde. Pedagogická poznámka: Následující příklad mohou řešit pouze žáci s normální kalkulačkou (případně žáci, kteří mají kalkulačku na mobilu, ale nebudou si měnit nastavení počtu platných číslic na display). Př. 5: Vypočti s pomocí kalkulačky (ne kalkulačky mobilu) co nejpřesněji. 0,07 0,0005 c) 0,00008 0,07 Klasický výpočet: 0, 07 0, 65753 (více číslic kalkulačka neukáže, protože se nevejdou na display). Nápad: 0, 07 = 7 0, 0. Hodnotu 7 určí kalkulačka přesněji (nebude plýtvat jedno desetinné místo na nulu, kterou si můžeme přidat sami). 0, 07 = 7 0, 0, 65753 0, = 0, 65753 zpřesnili jsme výpočet o jeden řád. 0,0005 Klasický výpočet: 0, 0005 0, 03379 (překvapivě ještě méně mist než 0). 0, 0005 = 5, 0, 000,33790008 0, 0 = 0, 033790008 zpřesnili jsme výpočet o čtyři řády (teď už víme, proč toho kalkulačka ukázala tak málo, zbytek čísla byly nuly). c) 0,00008 Klasický výpočet: 0, 00008 0, 00897. 0, 00008 = 80 0, 00000 8, 979 0, 00 = 0, 008979. Pedagogická poznámka: Hledání odmocnin v tabulkách máme v ŠVP, takže ho učit musím. Navíc mě přijde i užitečné upevňuje v žácích cit pro inverzi mocniny a odmocniny, zlepšuje orientaci a zkušenost se samostatným pochopením tabulky se může hodit (žáci vyšších ročníků často nejsou schopni se orientovat ani v daleko přehlednějších tabulkách). Hledání v tabulce navíc provádíme jako skupinovou práci. V této hodině dostávají žáci celé tabulky, v další hodině pak rozdám okopírovanou dvojstránku, kterou si mohou nechat (a musí si na ni dávat pozor, kvůli použití v písemc. Na zbytek hodiny je třeba minimálně 0 lépe však 5 minut.
Pedagogická poznámka: Nevysvětluji žákům, jak mají mocniny hledat. Jediné udílené rady: na začátku: najděte si mocniny čísel, které znáte (; 5;,;...), u třetí platné číslice: spočtěte si mocninu (například,3 ) na kalkulačce a koukejte, kde v tabulkách je výsledek, rozmyslete si, jakou část tabulky jste využívali a kolik má tabulka částí, u čtvrté platné číslice: kde v tabulce najdete hodnoty, se kterými se pracuje v ukázce. Př. 6: Najdi v tabulkách tabulku pro vyhledávání druhých mocnin a odmocnin. Tabulka druhé mocniny a odmocniny se podle obsahu nachází na stránkách 66-67. Př. 7: Urči pomocí tabulky. Výsledky kontroluj na kalkulačce.,8 35 c) 70 0,57 0,093,8 = 7,80 (řádek,8; sloupec 0) 35 Tabulka obsahuje mocniny pouze pro čísla menší nebo rovna 0 rozdělíme si 35 = 3,5 0. 3,5 =, 5 (řádek 3,5; sloupec 0) 35 = 3, 5 0 =, 5 00 = 5 c) 70 7, = 50, (řádek 7,; sloupec 0) 70 = 7, 00 = 50, 0000 = 50 00 0,57 5,7 = 3, 9 (řádek 5,7; sloupec 0) 0,57 = 5, 7 0, = 3, 9 0, 0 = 0,39 0,093 9,3 = 86,9 (řádek 9,3; sloupec 0) 0, 093 = 9,3 0, 0 = 86, 9 0, 000 = 0, 00869 Př. 8: Urči pomocí tabulky. Výsledky kontroluj na kalkulačce, ale udávej je s přesností zapsanou v tabulce.,3 3, c) 7 0,78 0,0809, 3,53 (řádek,; sloupec 3, výsledek je pouze přibližný,3 =,59 ) 3,,3 5, 76 (řádek,3; sloupec ) 3, =,3 0 5, 76 00 = 57, 6 3
c) 7, 7 9,98 (řádek,; sloupec 7) 7 =, 7 00 9,98 0000 = 99 800 0,78 7,8 53,00 (řádek 7,; sloupec 8) 0,78 = 7, 8 0, 53,00 0,0 = 0,5300 0,0809 8,09 6,5 (řádek 8,0; sloupec 9) 0,0809 = 8,09 0,0 6, 5 0,000 = 0,0065 Př. 9: Urči pomocí tabulky co nejpřesněji (s využitím všech míst). Výsledky kontroluj na kalkulačce, ale udávej je s přesností zapsanou v tabulce.,5 37, c) 0,783 635 0,0993 Vysvětlení oprav v tabulkách:,6 5,08 řádek,; sloupec + 7 sloupec 6 oprav 5,05,5, 5... řádek,, sloupec... sloupec 5oprav, 65 3,7 3,8...řádek 3,7, sloupec... sloupec oprav 3,86 37, = 3, 7 0 3,86 00 = 386 c) 7,83 5,55... řádek 7,, sloupec8... sloupec3oprav 5,59 0, 783 = 7,83 0, 5, 59 0, 0 = 0,559 6, 35 38,8... řádek 6,, sloupec3 6... sloupec5oprav 38,87 635 = 6, 35 000 38,87 000 000 = 38 870 000,993 8,90... řádek 8,9, sloupec9 8... sloupec 3oprav 8,958
0, 0993 =,993 0, 0 8,958 0, 000 = 0, 0008958 Př. 0: Sepiš pod tabulku návod, jak s její pomocí určit druhou mocninu. Návod sestavte společně za celou skupinu.. Upravíme si číslo pomocí součinu s mocninou deseti tak, abychom získali číslo větší nebo rovno a menší nebo rovno než 0.. Najdeme v tabulce hodnotu druhém mocniny (první dvě číslice udávají řádek, třetí číslice sloupec, čtvrtá číslice udává opravu, kterou přičítáme k nejnižším řádům čísla nalezeného v tabulc. 3. Vynásobíme nalezené číslo umocněnou mocninou deseti. Pedagogická poznámka: Následující příklad je procvičování na doma, pro žáky s problémy. Obsahuje nezbytné minimum pro hledání odmocnin v následující hodině. Př. : Urči mocniny pomocí tabulky. Výsledky kontroluj pomocí kalkulačky., 0,08 c) 93 0,333 0,007,, = 7,6 (řádek,; sloupec 0) 0,08 8, = 65, 6 (řádek 8,; sloupec 0) 0, 08 = 8, 0, 0 65, 6 0, 000 = 0, 00656 c) 93,93 3, 75 (řádek,9; sloupec 3) 0,333 3,33,09 (řádek 3,3; sloupec 3) 0,333 = 3,33 0,, 09 0, 0 = 0,09 0,007,07,85 (řádek,0; sloupec 7) 0,007 =,07 0,0, 85 0,000 = 0,00085 Shrnutí: Ukázku pro hledání v tabulkách pochopíme, když v tabulce najdeme všechna čísla, která v ukázce vystupují. 5