I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta
|
|
|
- Lubomír Černý
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 343 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta Věta 26. Funkce f má v bodě x 0 diferenciál (je diferencovatelná v x 0 ) právě tehdy, když existuje vlastní derivace f (x 0 ). Přitom platí df(x 0 )(h) = f (x 0 ) h, píšeme též df(x) = f (x) dx. Pro dostatečně malé h platí: f(x 0 + h). = f(x 0 ) + f (x 0 )h, též f(x) f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) pro x x 0. Věta 27 (Taylorova věta). Nechť má funkce f v okolí bodu x 0 vlastní derivace až do řádu n + 1 pro nějaké n N {0}. Pak pro všechna x z tohoto okolí platí tzv. Taylorův vzorec f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 ) 1! kde (x x 0 )+ f (x 0 ) 2! (x x 0 ) f(n) (x 0 ) (x x 0 ) n + R n (x), n! R n (x) = f(n+1) (ξ) (n + 1)! (x x 0) n+1, přičemž ξ je vhodné číslo ležící mezi x 0 a x. Chyba R n (x) se nazývá zbytek Zbytek uvedený v Taylorově větě je v tzv. Lagrangeově tvaru, což není jediná možnost jeho vyjádření. Pokud v Taylorově vzorci vynecháme zbytek, obdržíme tzv. Taylorův polynom. Pokud v Taylorově větě položíme x 0 Maclaurinův polynom. = 0, získáme tzv. Maclaurinův vzorec, resp. tzv.
2 344 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (295) Určete df(x 0 )(h) pro f(x) = x a x 0 = 1. Nejdříve musíme vyčíslit derivaci funkce f(x) v bodě x 0, tj. proto dle definice platí f (x) = x x2 + 1 x 0 =1 1 2, df(1)(h) = 2 2 h.
3 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 345 (296) Pomocí diferenciálu funkce přibližně určete 382. Nejdříve musíme zvolit vhodnou funkci f(x), jejímž vyčíslením obdržíme 382. Zvolíme f(x) = x (druhou možnou volbou by mohla být např. funkce g(x) = x 382). Nyní musíme zvolit vhodný bod x 0. Tento bod musí být zvolen tak, abychom byli bez problémů schopni vyčíslit funkci f(x) v tomto bodě. Navíc, tento bod by měl být nejbližší možný k zadané hodnotě, abychom se dopustili co nejmenší chyby. Proto zvolíme x 0 = 400 a h = 18 (aby platilo 382 = x 0 + h). Potom vyčíslíme funkci a její derivaci v bodě x 0, tj. f(x) = x x 0=400 20, f (x) = 1 2 x Nyní pomocí diferenciálu funkce obdržíme f(382) = f(400 18) = x 0 = = 19, 55.
4 346 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (297) Pomocí diferenciálu funkce přibližně určete Zvolíme f(x) = 5 x, x 0 = 32 a h = 4. Potom f(x) = 5 x x 0=32 2, f (x) = x 4 Tedy pomocí diferenciálu funkce dostaneme f(36) = f(32 + 4) = x 0 = = 2, 05.
5 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 347 (298) Pomocí diferenciálu funkce přibližně určete arctg 1, 1. Zvolíme f(x) = arctg x, x 0 = 1 a h = 0, 1. Potom f(x) = arctg x x 0=1 π 4, f (x) = 1 x 0 = x 2 2. Tedy pomocí diferenciálu funkce dostaneme f(1, 1) = f(1 + 0, 1) = arctg 1, 1 π 4 + 0, 1 2 = π + 0,
6 348 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (299) Pomocí diferenciálu funkce přibližně určete ln 1, 3. Zvolíme f(x) = ln x, x 0 = 1 a h = 0, 3. Potom f(x) = ln x x 0=1 0, Tedy pomocí diferenciálu funkce dostaneme f (x) = 1 x x 0 =1 1. f(1, 3) = f(1 + 0, 3) = ln 1, , 3 = 0, 3.
7 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 349 (300) Pomocí diferenciálu funkce přibližně určete sin( 0, 22). Zvolíme f(x) = sin x, x 0 = 0 a h = 0, 22. Potom f(x) = sin x x 0=0 0, f (x) = cos x x 0=0 1. Tedy pomocí diferenciálu funkce dostaneme f( 0, 22) = f(0 0, 22) = sin ( 0, 22) ( 0, 22) = 0, 22.
8 350 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (301) Napište Taylorův polynom pro n = 4, x 0 = 1 a f(x) = x ln x. Než sestavíme Taylorův polynom, musíme vyčíslit funkci a všechny potřebné (tj. až do čtvrtého řádu) derivace v bodě x 0, tj. f(x) = x ln x x 0=1 0, f (x) = ln x + 1 x 0=1 1, f (x) = 1 x x 0 =1 1, f (x) = 1 x 2 x 0 =1 1, f (4) (x) = 2 x 3 x 0 =1 2. Proto nyní dle definice platí x ln x = (x 1) + 1 2! (x 1)2 1 3! (x 1) ! (x 1)4 = = x (x 1)2 1 6 (x 1) (x 1)4.
9 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 351 (302) Napište Taylorův vzorec pro n = 2, x 0 = 1 a f(x) = arctg x. Nejdříve vyčíslíme funkci a první dvě derivace v bodě x 0 a také spočítáme (ale nevyčíslíme) třetí derivaci, tj. Proto nyní platí f(x) = arctg x x 0=1 π 4, f (x) = 1 x 0 = x 2 2, f (x) = 2x x 0 =1 1 (1 + x 2 ) 2 2, f (x) = 2 ( 3x 2 1 ) (1 + x 2 ). 3 arctg x = π (x 1) 1 4 (x 1)2 + 6ξ2 2 6(ξ 2 + 1) 3 (x 1)3, kde ξ leží mezi x a 1.
10 352 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (303) Určete maximální chybu v aproximaci z Příkladu 302, kde x (0, 9; 1, 1). Chyba je určena výrazem R 2 (x) = 6ξ2 2 6(ξ 2 + 1) 3 (x 1)3, 0, 9 < ξ < 1, 1. Musíme tedy vhodně omezit výraz R 2 (x) a tak určit maximální chybu aproximace. Nejdříve se zaměříme na čitatele, tj. 6ξ 2 2 a + b a + b 6 ξ < 6 1, = 9, 26. Jmenovatele omezíme takto 6(ξ 2 + 1) 3 = 6 ( ξ ) 3 10, 86, neboť jistě platí ξ > 0, = 1, 81. Proto nyní můžeme psát R 2 (x) = 6ξ 2 2 6(ξ 2 + 1) 3 (x 1) 3 9, 26 10, 86 (x 1) 3 0, , 1 3 = 0, = 0, Maximální chyba aproximace Taylorovým polynomem druhého stupně je 0,
11 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 353 (304) Vyjádřete funkci sin xπ 4 pomocí mocnin x 2. Takovéto vyjádření je možné pomocí Taylorova polynomu. Ze zadání plyne, že x 0 = 2 a že musíme polynom sestavit v obecné podobě, neboť nebyl zadán stupeň aproximace. Proto f(x) = sin xπ 4 x 0 =2 1, f (x) = π 4 cos xπ x 0 =2 0, 4 ( π ) 2 f xπ ( x (x) = sin 0 =2 π ) 2, ( π ) 3 f xπ x (x) = cos 0 =2 0, 4 4 ( π ) 4 f (4) xπ ( x (x) = sin 0 =2 π ) Z tvaru jednotlivých derivací můžeme ( pro k N {0} odvodit f (2k) (x) = ( 1) k π ) 2k xπ ( x sin 0 =2 ( 1) n π ) 2k, ( f (2k+1) (x) = ( 1) k π ) 2k+1 xπ x cos 0 = Proto hledaný Taylorův polynom je tvaru sin xπ ( π ) 2 4 = 1 (x 2) 2 ( π ) 4 (x 2) 4 ( π ) 2n ( 1) n (x 2) 2n 4 2! 4 4! 4 (2n)! +.
12 354 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (305) Najděte Maclaurinův vzorec pro obecné n a pro funkci f(x) = e x. Musíme vyčíslit funkci a všechny derivace v bodě x 0, tj. f(x) = e x x 0=0 1, f (x) = e x x 0=0 1. Navíc je zřejmé že platí f(x) = f (x) = f (x) = = f (n) (x) a f(x 0 ) = f (x 0 ) = f (x 0 ) = = f (n) (x 0 ) = 1. Proto můžeme sestavit Taylorův polynom ve tvaru e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + + xn n! + e ξ (n + 1)! xn+1, kde ξ leží mezi 0 a x.
13 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 355 (306) Najděte Maclaurinův vzorec pro obecné n a pro funkci f(x) = sin x. Nejdříve vyčíslíme funkci a všechny derivace v bodě x 0, tj. f(x) = sin x x 0=0 0, f (x) = cos x x 0=0 1, f (x) = sin x x 0=0 0, f (x) = cos x x 0=0 1, f (4) (x) = sin x x 0=0 0. Navíc je zřejmé, že pro k N {0} platí Proto můžeme napsat f (2k) = ( 1) k sin x x 0=0 0, f (2k+1) = ( 1) k cos x x 0=0 1. sin x = x x3 3! + x5 5! + + x 2n 1 ( 1)n 1 (2n 1)! + x 2n+1 ( 1)n cos ξ, (2n + 1)! kde ξ leží mezi 0 a x.
14 356 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (307) Najděte Maclaurinův vzorec pro obecné n a pro funkci f(x) = cos x. Nejdříve vyčíslíme funkci a všechny derivace v bodě x 0, tj. f(x) = cos x x 0=0 1, f (x) = sin x x 0=0 0, f (x) = cos x x 0=0 1, f (x) = sin x x 0=0 0, f (4) (x) = cos x x 0=0 1. Navíc je zřejmé, že pro k N {0} platí Proto můžeme napsat f (2k) = ( 1) k cos x x 0=0 1, f (2k+1) = ( 1) k sin x x 0=0 0. cos x = 1 x2 2! + x4 x2n + + ( 1)n 4! (2n)! + x 2n+2 ( 1)n cos ξ, (2n + 2)! kde ξ leží mezi 0 a x.
15 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 357 (308) Užitím Maclaurinova polynomu vypočtěte přibližnou hodnotu čísla e s chybou menší než 0, 001. Z Příkladu 305 víme, že platí e x = 1 + x + x2 2! + x3 3! + + xn n! + e ξ (n + 1)! xn+1, což pro x = 1 dává e = 1 + x + 1 2! + 1 3! n! + e ξ (n + 1)!, kde ξ (0, 1). K tomu, abychom dosáhli chyby menší než 0, 001, musíme vyřešit nerovnici e ξ (n + 1)! < 0, 0001 protože ξ (0, 1) 3000 < (n + 1)! n > 5. 3 (n + 1)! Proto musíme použít Taylorův polynom alespoň šestého stupně, tj. < 0, 0001 e = ! + 1 3! + 1 4! + 1 5! + 1 6! = 2,
16 358 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (309) Pro jaké hodnoty x platí přibližný vztah cos x = 1 x2 2 Z Příkladu 307 pro n = 2 víme, že platí s přesností 0, 0001? cos x = 1 x2 2! + R 2(x), kde R 2 (x) = x4 cos ξ a ξ leží mezi 0 a x. Z omezenosti funkce cos x plyne, že 4! x 4 cos ξ cos ξ x4 24 x Musíme proto vyřešit nerovnici x , 0001 x4 0, Řešením tedy je x [ 4 0, 0024, 4 0, 0024]. = [ 0, 222, 0, 222], tj. x 0, 222 =
17 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 359 (310) Pomocí Taylorova polynomu pro n = 3 určete přibližně Uvažujme funkci f(x) = 3 x a položme x 0 = 27. Vypočteme funkční hodnotu a všechny potřebné derivace v bodě x 0, tj. f(x) = 3 x x 0=27 3, f (x) = x 2 f (x) = x 5 f (x) = x 8 Nyní můžeme vypočítat přibližnou hodnotu = x 0 = , x 0 = , x 0 = = 3,
18 360 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (311) Pomocí Maclaurinova mnohočlenu třetího stupně, vyjádřete hodnotu cos 1 (výsledek uveďte na 6 desetinných míst). Z Příkladu 307 víme, že platí proto obdržíme cos x = 1 x2 2, cos 1 = cos π π2 180 = = 0,
19 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 361 (312) Pomocí Maclaurinova mnohočlenu třetího stupně, vyjádřete hodnotu sin 2 (výsledek uveďte na 6 desetinných míst). Z Příkladu 306 víme, že platí proto obdržíme sin x = x x3 6, sin 2 = sin 2π 180 = π π = 0,
20 362 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné (313) Vypočtěte číslo log 11 s přesností Zvolíme f(x) = log x a x 0 = 10. Nyní vyčíslíme funkci a její derivace v bodě x 0, tj. Obecně můžeme psát f(x) = log x x 0=10 1, f (x) = 1 x 0 =10 1 x ln ln 10, f (x) = 1 x 0 =10 1 x 2 ln ln 10, f 2 x (x) = 0 =10 2 x 3 ln ln 10, f (4) (x) = 6 x 0 =10 6 x 4 ln ln 10. f (n) (x) = ( 1) n 1 (n 1)! x n ln 10 Tedy Taylorův vzorec je tavru kde 1 1 log x = ln 10 (x 10) 2! 10 2 ln 10 x 0 =10 ( 1) n 1 (n 1)! 10 n ln 10. (x 10) ln 10 3! + + ( 1) n 1 (n 1)! n!10 n ln 10 (x 10)n + R n (x), (x 10) 3 + R n (x) = ( 1) n n! (x (n + 1)!ξ n 10)n+1 ln 10 a ξ leží mezi x a 10. Abychom dosáhli požadované přesnosti, musíme vyřešit nerovnici 1 R n (11) = (n + 1)ξ n+1 ln 10 < n + 1 ξ < n ln 10 1 < 1 n+1 1 ξ < n ln 10 ξ (10, 11) 1 10 < n ln n 1 < 10 5 ln 10 ( n 1) ln 10 < ln ( 10 5 ln 10 ) < 5 n 1 < ln ( 10 5 ln 10 ) < 5 ln 10 n < 4 n > 4, musíme tedy použít Taylorův polynom alespoň pátého stupně, tj. 1 log 11 = ln ln ! 3! 10 3 ln 10 3! 4! 10 4 ln ! = 1, ! 10 5 ln 10
1 L Hospitalovo pravidlo
L Hospitalovo pravidlo Věta.. Bud R R R {± }). Necht je splněna jedna z podmínek i) ii) f) g), g). Eistuje-li vlastní nebo nevlastní) f ) g ) Obdobné tvrzení platí i pro jednostranné ity., pak eistuje
dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )
6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí
7. Aplikace derivace
7. Aplikace derivace Verze 20. července 2017 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické praxe i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce, výpočet limity, vyšetřování průběhu funkce
Diferenciál a Taylorův polynom
Diferenciál a Taylorův polynom Základy vyšší matematiky lesnictví LDF MENDELU c Simona Fišnarová (MENDELU) Diferenciál a Taylorův polynom ZVMT lesnictví 1 / 11 Aproximace funkce v okoĺı bodu Danou funkci
Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011
Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Jiří Fišer 22. a 23. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 6 22. a 23. března 2011 1 / 18 y ω(h) dy O x Obrázek:
Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),
![Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),](/thumbs/62/47835194.jpg "Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),")
Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)
5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.
8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce
7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
Diferenciální počet funkcí více proměnných
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet
1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
f(c) = 0. cn pro f(c n ) > 0 b n pro f(c n ) < 0
KAPITOLA 5: Spojitost a derivace na intervalu [MA-8:P5] 5 Funkce spojité na intervalu Věta 5 o nulách spojité funkce: Je-li f spojitá na uzavřeném intervalu a, b a fa fb < 0, pak eistuje c a, b tak, že
Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 16. ledna 2009
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 5 Celkem bodů Bodů 8
Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5
Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt
Interpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
Zimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Zimní semestr akademického roku 015/016 5. ledna 016 Obsah Cvičení Předmluva iii
Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak
30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: s1a64/cd/index.htm.
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení č. 11 30. listopadu 2017 [KS] Jaromír Kuben Petra Šarmanová: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: http://homel.vsb.cz/ s1a64/cd/inde.htm. 1
Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0
Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud
Teorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R.
Řešené příklady k extrémům funkcí více proměnných 8 Určete všechny lokální extrémy funkce fx y x + arctg x + y + y x y R Řešení Funkci f si vyjádříme jako součet f + f kde f x x + arctg x x R f y y + y
Derivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.
. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny.,. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.. Spočtěte všechny první parciální derivace funkcí: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y, b) f(x,
4. Diferenciál a Taylorova věta
4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce
Funkcionální řady. January 13, 2016
Funkcionální řady January 13, 216 f 1 + f 2 + f 3 +... + f n +... = f n posloupnost částečných součtů funkcionální řada konverguje na množine M konverguje posloupnost jeho částečných součtů na množine
Cyklometrické funkce
Cyklometrické funkce Definice. Cyklometrické funkce jsou funkce arcsin(x) (čteme arkussinus x), arccos(x) (čteme arkuskosinus x), arctg(x) (čteme arkustangens x) a arccotg(x) (čteme arkuskotangens x),
Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
Pojem limity funkce charakterizuje chování funkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých funkce není definovaná. platí. < ε.
LIMITA FUNKCE Pojem ity unkce charakterizuje chování unkce v blízkém okolí libovolného bodu, tedy i těch bodů, ve kterých unkce není deinovaná Zápis ( ) L Přesněji to vyjadřuje deinice: znamená, že pro
8.2. Exaktní rovnice. F(x, y) x. dy. df = dx + y. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda a jak lze od této diferenciální formule
Cíle Ve výkladu o funkcích dvou proměnných jsme se seznámili také s jejich diferenciálem prvního řádu, který je pro funkci F(x, y) vyjádřen výrazem df dx + dy. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R
Definice derivace v bodě
Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
Derivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
Teorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VI. Derivace složené funkce.
VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,
má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2,
4. Parciální derivace a diferenciál. řádu 0-a3b/4dvr.tex Příklad. Určete parciální derivace druhého řádu funkce f v obecném bodě a v daných bodech. Napište obecný tvar. diferenciálu, jeho hodnotu v daných
Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
Kombinatorická minimalizace
Kombinatorická minimalizace Cílem je nalézt globální minimum ve velké diskrétní množině, kde může být mnoho lokálních minim. Úloha obchodního cestujícího Cílem je najít nejkratší cestu, která spojuje všechny
( ) ( ) Vzorce pro dvojnásobný úhel. π z hodnot goniometrických funkcí. Předpoklady: Začneme příkladem.
Vzorce pro dvojnásobný úhel Předpoklady: 0 Začneme příkladem Př : Pomocí součtových vzorců odvoď vzorec pro sin x sin x sin x + x sin x cos x + cos x sin x sin x cos x Př : Pomocí součtových vzorců odvoď
Management rekreace a sportu. 10. Derivace
Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu
Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010
Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy
I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
INTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
1 Integrální počet. 1.1 Neurčitý integrál. 1.2 Metody výpočtů neurčitých integrálů
Integrální počet. Neurčitý integrál Neurčitým integrálem k dané funkci f() nazýváme takovou funkci F (), pro kterou platí, že f() = F (). Neboli integrálem funkce f() je taková funkce F (), ze které bychom
Obecnou definici vynecháme. Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když dosadíme za argument funkci g. Potom y f g
Složená funkce Obecnou definici vynecháme Jednoduše řečeno: složenou funkci dostaneme, když do funkce y f dosadíme za argument funkci g Potom y f g Funkce f je vnější složka, funkce g vnitřní složka Pochopitelně
1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.
Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření
4 Numerické derivování a integrace
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Téma je podrobně zpracováno ve skriptech [1], kapitola 7, strany 85-94. Jedná se o úlohu výpočtu (první či druhé) derivace či o výpočet určitého integrálu jinými metodami,
NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 17. února ( sin (π 2 arctann) lim + 3. n 2. π 2arctan n. = lim + 3.
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 5 7 0
+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
Matematická analýza pro informatiky I. Spojitost funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 6. přednáška Spojitost funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.
INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Jestliže znáte derivace
4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
Obsah. Derivace funkce. Petr Hasil. L Hospitalovo pravidlo. Konvexnost, konkávnost a inflexní body Asymptoty
Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) / 46 Obsah Základní vlastnosti derivace Geometrický význam derivace Věty o střední hodnotě L Hospitalovo pravidlo 2 Etrémy Konvenost,
METODICKÝ NÁVOD MODULU
Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH
Limita ve vlastním bodě
Výpočty it Definice (a případné věty) jsou z knihy [] příklady z [] [] a []. Počítám u zkoušky dvacátou itu hlavu mám dávno už do čista vymytu papír se značkami skvěje z čela mi pot v proudech leje než
Numerické metody a statistika
Numerické metody a statistika Radek Kučera VŠB-TU Ostrava 016-017 ( ) Numerické metody a statistika 016-017 1 / Numerické integrování ( ) Numerické metody a statistika 016-017 / Geometrický význam integrálu
Derivace funkce a parciální derivace
Derivace funkce a parciální derivace Derivace funkce jedné proměnné Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Parciální derivace. p.1/18 Derivace funkce jedné proměnné Příklad 3.1.1 Vypočtěte z definice
5. cvičení z Matematiky 2
5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými
Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
verze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu
Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové
Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62
Nekonečné řady Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 0. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 62 Obsah Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů 2 Kritéria
Kapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
I. 4. l Hospitalovo pravidlo
I. 4. l Hospitalovo pravidlo 235 I. 4. l Hospitalovo pravidlo Věta (l Hospitalovo pravidlo). Buď 0 R. Nechť je splněna jedna z podmínek 0 f() 0 g() 0, 0 g() +. Eistuje-li (vlastní nebo nevlastní) 0 0 f
Limita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39
Limita funkce FIT ČVUT v Praze 3.týden (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Definice funkce. Zobrazení (f, D f ), jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nazývá
Wolfram Alpha. v podobě html stránky, samotný výsledek je často doplněn o další informace (např. graf, jiné možné zobrazení výsledku a
Wolfram Alpha jde o výpočetní prostředí z nejrůznějších oborů (matematika, fyzika, chemie, inženýrství... ) přístupné online: http://www.wolframalpha.com/ Jaké matematické výpočty Wolfram Alpha zvládá?
NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 26. ledna x. x 1 + x dx. q 1. u = x = 1 u2. = 1 u. u 2 (1 + u 2 ) (1 u 2 du = 2.
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 5 6 8
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2017
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 27 Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření
Kapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
NMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 4. února 2009
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů. Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 4 4
Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus
Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB4 pondělí 25. května 2015, 9:00 11:00 Vypočítejte integrál y d(, y), kde Ω Objekt Ω načrtněte do obrázku! Ω = { (, y) R 2 :, y 0 4 + y 4 1 ( 4 + y 4 ) 3 16
Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
Řešení 1a Budeme provádět úpravu rozšířením směřující k odstranění odmocniny v čitateli. =lim = 0
Příklad Vypočítejte ity funkcí: a) b) c) d) Poznámka Po dosazení do všech těchto úloh dostaneme nedefinovaný výraz. Proto je třeba provést úpravy vedoucí k vykrácení a následně k výsledku. Řešení a Budeme
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =
7B. Výpočet limit L Hospitalovo pravidlo
7B. Výpočet it L Hospitalovo pravidlo V prai často potřebujeme určit itu výrazů, které vzniknou operacemi nebo složením několika spojitých funkcí. Většinou pomohou pravidla typu ita součtu násobku, součinu,
Interpolace Lagrangeovy polynomy. 29. října 2012
Interpolace Lagrangeovy polynomy Michal Čihák 29. října 2012 Problematika interpolace V praxi máme často k dispozici údaje z různých měření tzv. data. Data mohou mít například podobu n uspořádaných dvojic
4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu
4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po
Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou
4 Cíle Nejčastějšími funkcemi, s kterými se setkáváme v matematice i v jejích aplikacích, jsou funkce, jejichž ita v bodě 0 je rovna funkční hodnotě v tomto bodě Seznámíme se s vlastnostmi takových funkcí
Parciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Použití derivací L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT. Monotónie. Konvexita. V této části budou uvedena některá použití derivací.
V této části budou uvedena některá použití derivací. Použití derivací L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou itu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí pro itu zleva
Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
- funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte. V obou případech vyzkoušejte Taylorovy řady
Vzorové řešení domácího úkolu na 6. 1. 1. Integrály 1 1 x2 dx, ex2 dx spočítejte přibližně následují metodou - funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte.
Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0
Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +
Matematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
Úvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
Asymptoty funkce. 5,8 5,98 5,998 5,9998 nelze 6,0002 6,002 6,02 6, nelze
Asymptoty funkce 1 Asymptota bez směrnice 6 Máme dvě funkce f 1 : y a 3 f : y 3 Člověk nemusí být matematický génius, aby pochopil, že do předpisu obou funkcí lze dosadit za libovolné reálné číslo kromě
MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze
Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III
Cvičení 1 Elementární funkce
Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte
Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
Parciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
úloh pro ODR jednokrokové metody
Numerické metody pro řešení počátečních úloh pro ODR jednokrokové metody Formulace: Hledáme řešení y = y() rovnice () s počáteční podmínkou () y () = f(, y()) () y( ) = y. () Smysl: Analyticky lze spočítat