2.9.4 Exponenciální rovnice I

Transkript

1 9 Eponenciální rovnice I Předpoklady: 90 Pedagogická poznámka: Eponenciální rovnice a nerovnice jsou roztaženy do celkem sedmi hodin zejména proto, že jsou brány jako nácvik výběru metody Nejprve si v šesti hodinách probereme jednotlivé typy rovnic (soustav, nerovnic) a triků na jejich řešení Během této doby si studenti sestavují řešící arzenál (obdobu rozkladného arzenálu z kapitoly o rozkladu na součin - hodina 0070) Poslední hodina pak obsahuje promíchané různé typy příkladů, ve kterých by se studenti měli orientovat a vybrat k nim odpovídající metody řešení Pedagogická poznámka: Rychlost, se kterou budete postupovat, závisí na tom, jak rychle dokážou studenti řešit rovnice a jak dobře pracují s eponenty U studentů vyučovaných podle klasických osnov ( ročník rovnice, ročník funkce) je mezi koncem rovnic a touto hodinu tak dlouhá prodleva, že hodně zapomenou a samotné počítání jim činí značné problémy Problémy s eponenty jsou menší, protože odmocniny předcházejí v obou pojetích poměrně těsně a studenti nemají tolik času na jejich zapomenutí Pokud postupujete pomaleji, než je v učebnici předepsáno, raději vynechejte soustavy případně i nerovnice, než abyste zmenšili počet rovnic, které budou studenti řešit při hodinách Co pak asi bude typické pro eponenciální rovnice? Stejně jako u eponenciálních funkcí se neznámá vyskytuje v eponentu Př : Vyřeš eponenciální rovnici Jde to zpaměti, Zkouška vyjde: L P L P Výsledek je správný Musíme trochu upřesnit postup Grafické řešení: Do jednoho obrázku nakreslíme grafy dvou funkcí y a y, -ové souřadnice bodů, ve kterých se grafy protnou, jsou řešením rovnice

2 Rovnice má jedno řešení Grafické řešení je trochu těžkopádné a není přesné (trojku jsme uhádli jenom proto, že si pamatujeme rovnost ) Využijeme rovnost a dosadíme do rovnice Rozebereme vzniklou rovnici: Levá strana: L - hodnota funkce y pro neznámé číslo Pravá strana: Obě strany se mají rovnat funkce Z grafu je vidět, že funkce P - hodnota funkce y pro číslo y y má pro i pro stejnou hodnotu je prostá (ke každému y má pouze jedno ) pokud má funkce y pro i pro stejnou hodnotu (konkrétní y) musí se a rovnat (má pouze jednu hodnotu, ze které jsme se k němu dostali) I všechny ostatní eponenciální funkce a jdou prosté postup můžeme použít obecně výraz výraz Pokud se podaří eponenciální rovnici upravit do tvaru a a, můžeme přejít k rovnici výraz výraz Protože funkce y a je prostá, je tato úprava ekvivalentní Pedagogická poznámka: Všechny další rovnice není možné řešit bez vzorců a pravidel pro úpravy eponentů mocnin Upozorňuji studenty předem, ty, kteří s nimi mají příliš velké problémy, trestám pomocí mínusů Př : + výraz výraz Zkusíme upravit rovnici do tvaru výraz výraz Můžeme od rovnice přejít k rovnici výraz výraz + 6 K 6 { }

3 Předchozí postup budeme moci použít vždy, když rovnice obsahuje pouze součiny a podíly a bude tak možné převést každou ze stran na jedinou mocninu 7 Př : 9 9 výraz výraz Zkusíme upravit rovnici do tvaru ( ) ( ) 6 ( ) ( 6 ) 6 výraz výraz Můžeme od rovnice přejít k rovnici výraz výraz K { } Pedagogická poznámka: Kromě chyb při úpravách mocnin mívají studenti problémy i s tím, výraz výraz že zruší mocniny dříve, než rovnici upraví na tvar a a Někteří se vyhýbají mocninám ve jmenovateli a zbytečně si komplikují řešení zbytečným násobením Př : + výraz výraz Zkusíme upravit rovnici do tvaru + ( ) výraz výraz Můžeme od rovnice přejít k rovnici výraz výraz 5 K Př 5: Zkusíme upravit rovnici do tvaru výraz výraz

4 9 9 ( ) 7 ( ) + + výraz výraz Můžeme od rovnice přejít k rovnici výraz výraz + / K 5 { } Pedagogická poznámka: Objevují se problémy s řešením lineární rovnice vzniklé po přechodu od eponentů Většinou připomínám, že nejvýhodnějším postupem je odstranění zlomků vynásobením číslem Př 6: 6 Platí: přepíšeme rovnici pomocí racionálního eponentu ( ) ( ) výraz výraz Můžeme od rovnice přejít k rovnici výraz výraz 5 + / 5 + K Př 7: Problém: Zdá se, že na obou stranách máme různé základy mocnin Postřeh: zkusíme vyjádřit obě strany rovnice jako mocniny o základu

5 K Př : 6 Pokusíme se přepsat všechno na mocniny dvou ( ) ( ) ( ) b ± b ac 9 ± 9 9 ± 9 9 ± 7, a K ; Pedagogická poznámka: Následující příklad vyžaduje použití triku Pět minut před koncem hodiny přeruším práci studentů na předchozích příkladech, abychom si ho ještě stihli projít Př 9: : Problém: Zdá se, že máme mocniny tří různých základů Nápad: Platí 6 zkusíme vše převést na mocniny ( ) / : + výraz výraz 6 6 Můžeme od rovnice 6 6 přejít k rovnici výraz výraz + K { } 5

6 Př 0: Petáková: strana /cvičení a) b) d) e) h) Shrnutí: Pokud se podaří eponenciální rovnici upravit do tvaru přejít k rovnici výraz výraz a a, můžeme výraz výraz 6