4. FRAUNHOFERŮV OHYB NA ŠTĚRBINĚ Měřicí potřeby 1 helium-neonový laser měrná obélníková štěrbina 3 stínítko s měřítkem 4 stínítko s fotočlánkem 5 zapisovač Obecná část Při opau rovinné monochromatické vlny na štěrbinu ochází k tzv. ohybovému jevu (viz obr.1. Jev vysvětlujeme pomocí Huygensova principu. Boy roviny, které vymezuje obélníková štěrbina, chápeme jako elementární zroje vlnění vysílající vlnění všemi směry. Charakter vlnění na stínítku za štěrbinou pak opovíá součtu vlnění o elementárních zrojů. Ze uvažujeme tzv. Fraunhoferův ohyb, k němuž ochází ve velké vzálenosti o štěrbiny. Rovinu štěrbiny rozělíme po élce na n elementárních zrojů. Ve směru P 0, kolmém k rovině štěrbiny, jsou všechny zroje ve fázi, a proto výslená amplitua vlnění A(P 0 ve směru P 0 je rovna A(P 0 = n. A, (1 ke A je amplitua vlnění elementárního zroje. B B' C C' A P 0 Obr. 1 Ohyb světla na štěrbině AB štěrbina, šířka štěrbiny, α úhel ohybu, δ ráhové Ve směru P nejsou již jenotlivé vlny ve fázi, ale mají jistý fázový rozíl. Vlnění vycházející z bou B ve směru P má proti vlně vycházející z bou A ráhový rozíl δ =.. Dvě sousení elementární vlny mají ráhový rozíl δ. =. ( n n To opovíá fázovému rozílu (v raiánech π δ π. ϕ = =, (3 n n ke je vlnová élka záření laseru ( = 63,8 nm. Celková amplitua ve směru P je ána vektorovým součtem fázorů jenotlivých elementárních vln (viz obr. nϕ nϕ A (P = r. = A, (4 ϕ P 51
A ke r =. (5 ϕ Vztahy (1 a (4 použijeme pro výpočet poměru intenzit. Platí nϕ π. A(P = =. A(P ϕ π. 0 n. n. n Jestliže přejeme k limitě pro n, platí π. π. lim n. =. n n Potom π. u A(P = A(P π. 0 = A(P0, ke u =. (6 π. u Protože intenzita vlny je úměrná čtverci amplituy, platí u I (P = I(P0, (7 u ke I(P 0 je intenzita ve směru P 0. Z rozboru této závislosti vyplývá, že minimum intenzity pozorujeme ve směrech aných vztahem α = k, (8 ke k = ± 1, ±,. Maximální intenzita je ána pomínkou tg u = u. Řešením této rovnice ostaneme pomínky pro maxima ( ( 0 = 0 ± 3 = ± 3,4708895 ( ± 1 = ± 1,430967 ( ± 4 = ± 4,477400 (9 ( ± = ±,459041 ( ± 5 = ± 5,481536 A. Fraunhoferův ohyb pozorovaný na stínítku Jak bylo výše řečeno, vzniknou při ohybovém jevu na stínítku světlé proužky (maxima oělené minimy intenzity záření, pro něž platí α = k = s k, (10 5
ke je vlnová élka opaajícího světla, α je úhel, po kterým pozorujeme minimum a k = ± 1, ±,. Za přepoklau, že ifrakční obraz je symetrický vzhleem k přímému paprsku 1 (x +k = x k = x k, určíme polohu minima x k na stínítku měřením souřanic l +k a l k (viz obr. 3. Potom platí l+ k l k xk ( měř =. (11 Směroatnou chybu honoty x a k(měř stanovte sami pole praviel uveených v kapitole Chyby měře- I 3 ní, ost. B a C (chyba stupnice a chyba nepřímo měřené veličiny. x x x x x x x 3 1 +1 + +3 Polohu minima x k lze stanovit též teoreticky výpočtem ze 0 l x (měř l 4 + vztahu x k = a.tg α = Obr. 3 Průběh intenzity I na stínítku při ohybovém jevu. (kótování proveeno pro k = ± 1 paprsek laseru, štěrbina, 3 stínítko, 4 měřítko s noniem, a vzálenost štěrbiny o stínítka = a. 1 = α a. s 1 k sk, (1 ke za je osazeno z (10 a a je vzálenost štěrbiny o stínítka. Teoretická honota vypočtená ze vztahu (1 má ovšem rovněž svoji chybu je funkcí několika veličin, z nichž kažá přispívá svojí chybou k chybě výslené. Výslenou chybu musíme tey stanovit pole věty o přenosu chyby (kap. Chyby měření, ost. C. Zanebáme-li chybu vlnové élky světla laseru, jež je velmi malá, ostaneme xk xk sk a δx ( ( k = δa + δsk δa + δs 3 k a = s, (13 k 1 sk (1 sk ke δ sk je absolutní chyba veličiny s k a δ a je chyba v určení vzálenosti štěrbina stínítko. Chybu δ s určíme opět pole věty o přenosu chyby jako k ( ξ ( ξ ξ s k = +, δ sk = sk. ξsk (14 Relativní chyba vlnové élky ξ je ve srovnání s relativní chybou šířky štěrbiny ξ zanebatelná, takže lze psát ξs k ξ. Veškeré informace týkající se chyb měření najete v úvoní části skript v kapitole Chyby měření. Vztah (1 lze považovat za experimentálně potvrzený, jestliže souhlasí x k(měř s x k vypočteným v rámci chyb měření (pravilo σ. 53
Měření Prověření vztahu (10 proveeme na zařízení, které je znázorněno na obr. 4. Zrojem monochromatického záření je helium-neonový laser pracující na vlnové Obr. 4 Zařízení pro pozorování Fraunhoferova ohybu 1 stínítko, oečítací lupa, 3 měřítko s noniem, 4 mikrometrický šroub, 5 štěrbina, 6 voítko, 7 výstup z laseru, 8 laser, 9 ifrakční obraz na stínítku, 10 nosník zařízení élce = 63,8 nm. Laser je napájen vysokým napětím ze zroje, který se uvee o chou síťovým vypínačem. Výstupní paprsek laseru nesmí opaat přímo o oka. Expozice po obu řáově několik esetin sekuny může způsobit poškození sítnice oka. Štěrbina má plynule nastavitelnou šířku pomocí mikrometrického šroubu 4 s ělením stupnice po 0,01 mm. Polohy minim na stínítku oečítáme měřítkem s esetiílkovým noniem a zapisujeme o prvních tří sloupců tabulky 1. Pracovní úkol 1 Změřte všechny viitelné (tj. minimálně 3! polohy minim pro tři různé šířky štěrbiny. Z naměřených honot vypočtěte x k(měř a její chybu měření δ x k(měř. Vypočítejte teoretickou honotu x k a její chybu δ x k pole vztahů (1 a (13. 3 Srovnejte x k(měř a x k vypočtenou. Pro zápis naměřených a vypočtených honot (včetně jenotek! použijte tabulku 1. Tabulka 1 Měřené Vypočtené k l +k l k xk(měř δ x k(měř x k δ x k 54
B. Fraunhoferův ohyb na štěrbině registrovaný fotočlánkem Na zařízení, schematicky znázorněném na obr. 5, prověříme platnost vztahů (7 a (1. Namísto stínítka je ze posuvný fotočlánek, jímž lze proměřit intenzitu 6 IN 1 3 Schema uspořáání měřicí aparatury a 1 - kloubová hříel - posuvná skříňka s fotočlánkem a vstupní štěrbinou 3 - pohybový šroub pro posuv skříňky 4 - štěrbina, na níž vzniká ifrakce 5 - He-Ne laser, = 63,8 nm 6 - zapisovač s pohonnou jenotkou 4 5 Obr. 5 světla I ve všech boech osy x (viz obr. 3. Pro polohu x ohybových vln na stínítku platí x = a.tgα, ke a je vzálenost štěrbiny o stínítka. I (P je naměřená intenzita ve směru P (obr. 1. O této honoty musíme oečíst intenzitu I, kterou změříme při zacloněném laserovém paprsku abychom vyloučili vliv enního světla. Skutečnou intenzitu ve směru P tey ostaneme jako I(P = I (P I. I( P Z naměřených honot spočítáme pro kažé maximum experimentální poměr I( P 0 a pole vztahu (7 poměr teoretický, ke I(P 0 je intenzita v přímém směru. Obě honoty by v rámci chyb měly souhlasit. Měření 1 Zapněte laser, nastavte šířku štěrbiny a vzálenost a štěrbiny o fotočlánku. Nastavte na zapisovači (obr. 6 vhoný poměr otáček pohonného mechanismu vzhleem k posuvu papíru knoflíkem 9. Stoupání pohybového šroubu je 1 mm, takže při jené otáčce se fotočlánek posune o 1 mm. 3 Nastavte vhonou rychlost posuvu papíru knoflíkem 6 ( v sec/cm. 4 Nastavte knoflík 5 o polohy J 5 Knoflíkem 4 volte vhoný prouový rozsah. Protože je poměr intenzit hlavního maxima (přímý paprsek a velejších maxim velmi velký, bue nutné pro zápis 55
Obr. 6 Zapisovač 1 síťový vypínač spuštění posuvu papíru 3 nastavení nuly 4 přepínač rozsahů (100 je nejnižší citlivost 5 přepínač měření napětí/prou 6 rychlost posuvu papíru 7 výstupní otvor pohonné jenotky 8 páčka pro přepínání smyslu otáčení (v mezipoloze je možno s hříelí otáčet ručně 9 nastavení rychlosti otáček vzhleem k rychlosti papíru (v cm/otáčku 10 otvor pro vkláání pera 11 páčka pro spuštění pera hlavního maxima použít jiný rozsah než pro ostatní maxima. Celou operaci přepínání rozsahů je vhoné si vyzkoušet nanečisto bez spuštěného pera zapisovače. Použité rozsahy je nutné si zaznamenat pro alší vyhonocení! 6 Není-li zápis symetrický vzhleem k nultému maximu, neopaá paprsek kolmo na štěrbinu. Pracovní úkol 1 Změřte průběh intenzity světla při ohybu na štěrbině pro tři různé šířky štěrbiny. Vypočtěte poměr intenzit pole vztahu (7 a porovnejte s naměřenými honotami. Pro zápis honot použijte tabulku. 3 Oečtěte ze záznamu polohy maxim a minim, zapište o tabulky 3 a porovnejte s teoretickými honotami vypočtenými pole vztahů (8 a (9. Tabulka = [mm] a = [m] I = Řá I( P I( P Maxima I (P I(P P 0 P 0 5 1 0 +1 +5 I( měř I( vyp 56
Tabulka 3 číslo = [mm] a = [m] maxima/minima x min (měř. x min (vyp. x max (měř. x max (vyp. 5 1 +1 +5 57