1 Sémantika a její vztah k syntaxi

1 Sémantika a její vztah k syntaxi Mjme formální jazyk L T nad abecedou T. Tento formální jazyk je vymezen popisem syntaxe, která stanoví množinu všech syntakticky správných etzc jazyka. V dalším textu pedpokládáme, že podmnožina L je rozhodnutelná, tj. pro každý etzec x T* umíme na základ popisu syntaxe rozhodnout, zda patí do formálního jazyka L, i nikoliv. Píklad Jako píklad uveme jazyk binárních zápis pirozených ísel. Abecedou je množina T 1 ={0,1} binárních íslic. Syntaxe jazyka íká, že správn vytvoený binární zápis je libovolný neprázdný etzec nad abecedou T 1, tj. L 1 = T 1 * - {ε}. Nap. etzce 0010101, 110, 0, 10101 jsou správn vytvoené binární zápisy pirozených ísel. Popisem syntaxe jsou však pouze vymezeny správné etzce znak, které zatím nemají pisouzen žádný význam. Nevíme tedy, jaké pirozené íslo daný etzec oznauje - neumíme urit jeho význam (z definice formálního jazyka L 1 ). Definice Uvažme neprázdnou množinu M, kterou nazveme model význam jazykových konstrukcí. Binární relaci sem mezi etzci x L a prvky y M, tj.: sem L x M, takovou, že L tvoí defininí obor relace sem, nazýváme sémantická interpretace etzc z L v modelu M. Prvky množiny M nazýváme možné významy. Protože L tvoí defininí obor relace sem, je každý etzec jazyka L v relaci nejmén s jedním prvkem množiny M. Obrácené tvrzení obecn neplatí, nebo obecn nemusí být obor hodnot relace sem shodný s množinou M, tj. ne každý prvek množiny M musí nutn modelovat význam nkteré syntaktické konstrukce. Množinu M nkdy též nazýváme univerzum význam pro formální jazyk L. Univerzum význam M spolu se sémantickou interpretací sem pedstavuje definici sémantiky jazyka, jehož syntaxe je vymezena specifikací formálního jazyka L. Sémantická interpretace definuje vztah mezi syntaktickými objekty formálního jazyka a prvky sémantického univerza. Abychom striktn oddlili syntaktické konstrukce popisovaného jazyka od metajazykových prostedk vlastní definice, použijeme pro jejich vyznaení dvojitých závorek [,]. Pokud je x L a y 1,...,y n y i M, 1 i n jsou všechny prvky modelu M takové, že x sem y i, pak místo obvyklého zápisu "sem(x) = {y 1,...,y n }" píšeme "sem[x] = {y 1,...,y n }". V ad pípad má sémantická interpretace charakter zobrazení, tj. sem: L M. Aplikaci zobrazení sem na argument x zapisujeme namísto sem[x] = {y} zkrácen sem[x] = y. Pokud sem[x] = {y} (píp. sem[x] = y) íkáme, že etzec x interpretujeme v dané sémantice jako oznaení objektu y, píp. že význam x modelujeme objektem y. Píklad V pedchozím píkladu jsme zavedli formální jazyk L 1 binárních zápis pirozených Karel Richta 1

ísel. Ozname Nat matematickou strukturu pirozených ísel, tj. množinu všech pirozených ísel spolu s bžnými operacemi na pirozených íslech. Abychom odlišili binární zápisy ísel od prvk Nat, budeme prvky Nat zapisovat ve slovním vyjádení. Sémantiku jazyka binárních zápis pirozených ísel mžeme definovat pomocí zobrazení int 1 : L 1 Nat, kterým popíšeme, jak interpretovat binární zápis x L 1 jako pirozené íslo int 1 [x] Nat. Pirozená interpretace nap. je int 1 [0] = nula, int 1 [1] = jedna, int 1 [2] = dv,.... Binární zápis 10 interpretujeme pak jako oznaení pirozeného ísla dv. Jediný problém, na který zde pi definici interpretace narážíme, je nekonenost množiny L 1. 1.1 Definice sémantické interpretace Pro konený formální jazyk L, který obsahuje dostaten málo etzc, lze definici sémantické interpretace zapsat ve form tabulky dvojic (etzec,význam). Obvykle je však poet prvk L píliš velký - asto se jedná o nekonenou (by samozejm spoetnou) množinu. K vyjádení definice sémantické interpretace musíme proto použít silnjší vyjadovací prostedek, který umožní konené vyjádení nekonené tabulky. Vhodným nástrojem bude syntaxí ízená forma induktivní definice. Popisem syntaxe formálního jazyka L máme definovánu syntaktickou strukturu etzc jazyka. Syntaktickou analýzu etzce x A* nelze chápat pouze jako realizaci charakteristické funkce podmnožiny L A*. Rozhodnutí, zda x patí do L i nikoliv, je provedeno na základ rozboru syntaktické struktury etzce x. Pokud struktura etzce x vyhovuje definici syntaxe jazyka, získáme krom kladného rozhodnutí ješt informaci o jeho syntaktické struktue. Tuto informaci pak mžeme využít pro zjištní významu x, na základ syntaxí ízené definice interpretace. P.: Jazyk binárních zápis pirozených ísel Syntaxi jazyka L 1 binárních zápis pirozených ísel lze popsat následující gramatikou G 1. G 1 = ( {Bin}, {0,1}, P 1, Bin ), kde P 1 = { p 1 : Bin 0, p 2 : Bin 1, p 3 : Bin Bin 0, p 4 : Bin Bin 1 }. Zejm platí L 1 = L(G 1 ). Pi definici sémantické interpretace se budeme ídit možnou syntaktickou strukturou etzc z L 1. Podle pravidel gramatiky G 1 má každý etzec x L 1 práv jeden ze ty možných tvar - bu se jedná o samostatný symbol 0 i 1, nebo je struktura etzce x taková, že koní symbolem 0 i 1 a po oddlení posledního symbolu dostáváme opt binární zápis ísla (který má opt jeden ze ty možných tvar, atd.). To nás vede k závru, že pro popis významu libovolného etzce, postaí urit zpsob, jak zjistit význam všech pravých stran pravidel z P 1. Pesnji, pro popis významu etzce, který lze odvodit z neterminálního symbolu Bin, je nutno urit význam pravých stran pravidel, která mají na levé stran symbol Bin. Následující induktivní definice sémantické interpretace binárních zápis ilustruje výše uvedenou myšlenku. int 1 : L 1 Nat Karel Richta 2

r p1 : int 1 [ 0 ] = nula r p2 : int 1 [ 1 ] = jedna r p3 : int 1 [ Bin 0 ] = dv * int 1 [ Bin ] r p4 : int 1 [ Bin 1 ] = dv * int 1 [ Bin ] + jedna Defininí rovnosti jsou pro pehlednost oznaeny dle pravidel gramatiky, tj. pravidlu p i P odpovídá rovnost r pi. Uvážíme-li nap. etzec 10101 L 1, existuje jeho derivace v gramatice G 1 (šipky jsou oznaeny použitým pravidlem): Bin =>p 4 Bin 1 =>p 3 Bin 01 =>p 4 Bin 101 =>p 3 Bin 0101 =>p 2 10101. Sémantickou interpretaci etzce 10101 získáme postupnou aplikací defininích rovností podle syntaktické struktury vyjadující derivaci etzce 10101 (po pravé stran jsou pro názornost uvedeny odkazy na použité defininí rovnosti). int 1 [10101] = (r p4 ) = dv* int 1 [1010]+jedna = (r p3 ) = dv*(dv* int 1 [101])+jedna = (r p4 ) = dv*(dv*(dv* int 1 [10]+jedna))+jedna = (r p3 ) = dv*(dv*(dv*(dv* int 1 [1])+jedna))+jedna = (r p2 ) = dv*(dv*(dv*(dv*jedna)+jedna))+jedna = = dvacetjedna Abychom ješt více zpesnili formální vyjádení interpretace, zavedeme pojem lineární zápis derivaního stromu, kterým zachytíme syntaktickou strukturu etzce. Syntaktická struktura je popsána derivací etzce podle pravidel gramatiky. Postup aplikace pravidel zachytíme lineárním zápisem derivaního stromu. Lineární zápisy derivaních strom budeme explicitn zapisovat pomocí výraz, složených z oznaení pravidel gramatiky a dalších pomocných symbol. 1.2 Lineární zápisy derivaních strom Bu G = (N,T,P,S) bezkontextová gramatika, kde P = {p 1 : A 1 α 1,..., p n : A n α n }. Jednotlivá pravidla jsou oznaena symboly p 1 až p n a ozname OP(G) množinu všech oznaení pravidel gramatiky G, tj. OP(G) = {p 1,...,p n }. Nech X = {X A, A N} je soubor nejvýše spoetných množin X A symbol promnných pro každý neterminální symbol A N. Lineární zápisy derivaních strom etzc jazyka L(G) definujeme jako soubor D(G,X) = {D(G,X) A, A N}, kde len D(G,X) A nazýváme množina lineárních zápis odvozených z neterminálního symbolu A a definujeme jako nejmenší podmnožinu množiny (OP(G) {(,)} X)*, která spluje následující podmínky. a) X A D(G,X) A (každý symbol promnné je lineární zápis); b) jestliže p OP(G) je oznaení pravidla gramatiky G, které má tvar p: A α, kde A N, α T, pak p je lineární zápis derivaního stromu, tj. p D(G,X) A ; c) jestliže p OP(G) je oznaení pravidla gramatiky G, které má tvar p: A α 1 A 1 α 2 A 2... A n α n+1, kde A N, A i N, i <1,n>, α j T, j <1,n+1> a nech t 1,...,t n jsou lineární zápisy derivaních strom takové, že t i D(G,X) Ai, pak i zápis Karel Richta 3

p(t 1,...,t n ) je lineární zápis derivaního stromu, tj. p(t 1,...,t n ) D(G,X) A. V dalším textu budeme pro zjednodušení používat zkratky derivaní strom namísto úplného oznaení lineární zápis derivaního stromu. Derivaní stromy, které neobsahují promnné budeme nazývat konstantní zápisy. Soubor konstantních zápis znaíme zjednodušen D(G). P.: Jazyk binárních zápis pirozených ísel Pro pípad gramatiky G 1 dostáváme množinu konstantních zápis D(G 1 ) Bin, jejíž nkteré prvky jsou uvedeny v následující tabulce. Pro každý derivaní strom souasn uvádíme i derivaci etzce, kterou reprezentuje. Strom p 1 Bin =>p 1 0 p 2 Bin =>p 2 1 Odpovídající etzec a jeho derivace p 3 (p 1 ) Bin =>p 3 Bin 0 =>p 1 00 p 3 (p 2 ) Bin =>p 3 Bin 0 =>p 2 10 p 4 (p 1 ) Bin =>p 4 Bin 1 =>p 1 01 p 4 (p 2 ) Bin =>p 4 Bin 1 =>p 2 11 p 3 (p 3 (p 1 )) Bin =>p 3 Bin 0 =>p 3 Bin 00 =>p 1 000 p 3 (p 3 (p 2 )) Bin =>p 3 Bin 0 =>p 3 Bin 00 =>p 2 100 Konstantní zápisy reprezentují jednotlivé etzce. Derivaní stromy, které obsahují promnné, zastupují celé množiny etzc. Nap. derivaní strom p 3 (x), kde x X Bin, zastupuje množinu derivací všech etzc, které jsou ukoneny symbolem 0 a obsahují více než jeden symbol. Reprezentace derivací tchto etzc lze z derivaního stromu p 3 (x) získat tak, že nahradíme symbol promnné x libovolným konstantním zápisem odpovídající kategorie, tj. prvkem D(G 1 ) Bin. Nap. nahradíme-li x konstantním zápisem p 4 (p 2 ), dostáváme jednu možnou derivaci p 3 (p 4 (p 2 )) (v tomto pípad etzce 110). Zápisem {p 3 (x): x D(G 1 ) Bin } oznaíme množinu etzc, které zastupuje derivaní strom p3(x). Zejm platí: {p 3 (x): x D(G 1 ) Bin } D(G 1 ) Bin. Pomocí derivaních strom mžeme opt zpesnit zpsob definice sémantické interpretace. Syntaktickou analýzu budeme chápat jako relaci anal z L(G) do D(G), tj. anal L(G) D(G). Pokud <q,t> anal, pak derivaní strom t D(G) reprezentuje (jednu z možných) derivací etzce q L(G) v gramatice G. Sémantickou interpretaci definujeme pro derivaní stromy z D(G) jako relaci int z D(G) do M, tj. int D(G) x M. Karel Richta 4

Obecn, máme-li formální jazyk L(G) a univerzum význam M, definujeme sémantickou interpretaci derivaních strom z D(G) získaných syntaktickou analýzou etzc z L v modelu M pomocí syntaxí ízené sady sémantických rovností. Jestliže bezkontextová gramatika G obsahuje pravidlo p: A α, pak do definice interpretace musí být zahrnuta sémantická rovnost r p tvaru: r p : int A [ α ] = f p, kde f p je výraz popisující zpsob nalezení významu α v sémantickém modelu M. Pokud pravá strana α pravidla p neobsahuje neterminální symbol, oznauje konstantní zápis p pímo derivaci etzce α T* a defininí rovností r p je pímo uren objekt sémantického modelu, tj. f p je výraz oznaující objekt modelu M. Obsahuje-li pravá strana α pravidla p neterminální symboly A 1,...,A n, pak derivaní strom p(x 1,...,x n ), kde x i X Ai (1 i n), oznauje množinu derivací, které lze v gramatice G generovat z neterminálního symbolu A použitím pravidla p. Jednotlivé derivace lze z p(x 1,...,x n ) získat náhradou promnných x i konstantními zápisy odpovídající kategorie. Sémantickou rovností r p pak musí být popsán postup, jak získáme oznaený objekt na základ znalosti významu syntaktických podstruktur x 1,...,x n. Pesnjší zápis sémantické rovnosti proto bude mít tvar: int A [ p(x 1,...x n ) ] = f p (int[x 1 ],...,int[x n ]). Použití promnných v defininích sémantických rovnostech a induktivní charakter rovností umožují konenou prezentaci interpretace i pro nekonenou množinu L. 1.3 Formální popis sémantiky jazyka Formální popis sémantiky jazyka L je trojice (G,M,R), kde G = (N,T,P,S) je bezkontextová gramatika taková, že platí L = L(G), M = {M A, A N} je matematická struktura tvoící sémantické univerzum jazyka a R je soubor R = {R A, A N} množin sémantických rovností. len M A souboru M pedstavuje matematický model syntaktických konstrukcí, které lze vygenerovat z neterminálního symbolu A. len R A souboru R je množina sémantických rovností pro neterminální symbol A N. Bu P = {p 1 : A 1 α 1,..., p k : A k αk} množina pravidel gramatiky G. Nech dále X = {X A, A N} je soubor nejvýše spoetných množin X A symbol promnných pro každý neterminální symbol A N. Množina R A obsahuje pro každé pravidlo p: A α P, na jehož levé stran je neterminální symbol A, práv jednu sémantickou rovnost r p. Jestliže má pravidlo p tvar: p: A α 1 A 1 α 2 A 2... A n α n+1, kde A i N, 1 i n, α j T, 1 j n+1, pak R A obsahuje sémantickou rovnost r p : r p : int A [α 1 x 1 α 2 x 2... x n α n+1 ] = f p (int A1 [x 1 ],...,int An [x n ]), kde x i X Ai (1 i n) jsou promnné a f p je funkce typu f p : M A1,...,M An M A, která popisuje, jak získáme význam syntaktické konstrukce α 1 x 1 α 2 x 2... x n α n+1 na základ význam int A1 [x 1 ],..., int An [x n ] podstruktur x 1,...,x n. P.: Jazyk binárních zápis pirozených ísel Karel Richta 5

Opt použijeme píklad jazyka L 1 binárních zápis pirozených ísel. Formální popis sémantiky jazyka L 1 je trojice (G 1,M 1,R 1 ), kde L 1 = L(G 1 ). Sémantickým modelem M 1 je zde struktura pirozených ísel, tj. M 1 = M 1Bin = Nat. Formální jazyk L 1 generovaný gramatikou G 1 lze nahradit (po syntaktické analýze) množinou derivaních strom D(G 1 ) = D(G 1 ) Bin. Pitom platí: D(G 1 ) = {p 1 } {p 2 } {p 3 (x): x D(G 1 ) Bin } {p 4 (x): x D(G 1 ) Bin }, kde x X Bin. D(G 1 ) lze tedy rozložit na podmnožiny odpovídající množinám derivací, které zaínají pravidly p 1 až p 4. Pro n pak definujeme sémantické rovnosti R 1 = R 1Bin = {r p1,r p2,r p3,r p4 }. r p1 : int 1 [ p 1 ] = nula r p2 : int 1 [ p 2 ] = jedna r p3 : int 1 [ p 3 (x) ] = dv * int 1 [ x ] r p4 : int 1 [ p 4 (x) ] = dv * int 1 [ x ] + jedna 1.4 Sémantická interpretace Bu (G,M,R) formální popis sémantiky jazyka. Sémantická interpretace derivaních strom z D(G) je soubor: int = {int A : D(G) A -> M A, A N}, zobrazení popsaných souborem sémantických rovností R. Pokud má derivaní strom q D(G) A tvar p OP(G), pak využijeme rovnosti r p a definujeme: int A [q] = int A [p] = f p. Pokud má derivaní strom q tvar p(p 1,...,p n ), opt využijeme rovnosti r p a definujeme: int A [q] = int A [p(p 1,...p n )] = f p (int A1 [p 1 ],...,int An [p a ]), kde hodnoty int Ai [p i ] získáme stejným zpsobem. Formální definice sémantiky popisuje peklad z množiny etzc L(G) do výraz zastupujících objekty univerza M. Na základ znalosti sémantické interpretace derivaních strom int: D(G) M a syntaktické analýzy anal L(G) x D(G) mžeme stanovit význam etzc jazyka L(G) jako relaci sem z L(G) do M, tj. sem L(G) x M, kterou získáme složením relací anal a int, tj.: sem = anal int Pokud je gramatika G jednoznaná, je syntaktická analýza zobrazení: anal: L(G) D(G). Rovnž význam etzc jazyka L(G) pak bude zobrazení: sem: L(G) M, sem[x] = int[anal[x]]. P.: Jazyk binárních zápis pirozených ísel Sémantickými rovnostmi R 1 z pedchozího píkladu je ureno zobrazení Karel Richta 6

int 1 : D(G 1 ) Nat, které popisuje sémantickou interpretaci derivaních strom z D(G 1 ). etzec 10101 L(G 1 ) má v gramatice G 1 derivaci, kterou reprezentuje derivaní strom p 4 (p 3 (p 4 (p 3 (p 2 )))). Význam etezce 10101 proto získáme následujícím postupem: sem[10101] = int 1 [anal[10101]] = = int 1 [p 4 (p 3 (p 4 (p 3 (p 2 ))))] = = dv*int 1 [p 3 (p 4 (p 3 (p 2 )))]+jedna = = dv*(dv*int 1 [p 4 (p 3 (p 2 ))])+jedna = = dv*(dv*(dv*int 1 [p 3 (p 2 )]+jedna))+jedna = = dv*(dv*(dv*(dv*int 1 [p 2 ])+jedna))+jedna = = dv*(dv*(dv*(dv*jedna)+jedna))+jedna = = dvacetjedna Pestože je zápis sémantických rovností pomocí derivaních strom pesnjší, budeme kvli pehlednosti a srozumitelnosti rovností používat v zápisu tvar s pravou stranou pravidla, tj. nap. namísto pesnjšího zápisu: int 1 [ p 3 (x) ] = dv * int 1 [ x ], x X Bin použijeme ilustrativnjší zápis: int 1 [ Bin 0 ] = dv * int 1 [ Bin ]. Pedpokládáme pi tom, že pechod k pesnjšímu zápisu je vždy možný. V píkladu jazyka binárních zápis pirozených ísel jsme jako sémantický model použili strukturu pirozených ísel. V sémantických rovnostech jsme pak použili pímo bžných zápis složených z oznaení pirozených ísel a odpovídajících operátor. Ne vždy však je definice sémantického modelu takto jednoduchá. Pro pípad definice sémantiky programovacího jazyka je nutno vybudovat sémantický model význam program a vhodné znaení tchto význam. Touto problematikou se budeme zabývat v následujících odstavcích. 1.5 Sémantické modely programovacích jazyk Rzné definice sémantiky se liší pedevším v použitém sémantickém modelu. Dva základní pístupy jsou: interpretan orientovaná sémantika (nkdy též matematická sémantika), kdy jako univerzum slouží njaká matematická struktura, kompilan orientovaná sémantika, kdy jako univerzum slouží njaký jiný (díve definovaný) jazyk. Dlení na kompilan a interpretan orientovanou sémantiku má smysl spíše z hlediska používaných metod popisu. Pro definici kompilan orientované sémantiky se obvykle využívá atributových i atributových pekladových gramatik. Z hlediska sémantiky pedstavuje peklad relaci: komp L 1 x L 2, kde L 1 je zdrojový jazyk a L 2 je cílový jazyk. Známe-li sémantiku cílového jazyka, známe sémantický model M a relaci sem 2 L 2 M. Na základ této znalosti a s pomocí relace komp mžeme definovat sémantiku zdrojového jazyka jako souin relací, tj. Karel Richta 7

sem 1 L 1 M, sem 1 = komp sem 2 Zde se budeme vnovat zejména interpretan orientované sémantice. Interpretaní sémantika vychází z pedstavy, že program je pedpisem pro innost výpoetního automatu - interpretu jazyka. Výpoetní automat obsahuje jistou sadu výpoetních prostedk - procesor, pamtí a vnjších zaízení. Stavem výpoetního automatu rozumíme souhrn hodnot všech pamových prostedk. Do stavu tedy zahrneme aktuální hodnoty všech promnných (vetn stavu vnjších pamtí) a stav všech vnjších zaízení. Pitom vstupní zaízení mžeme považovat za pam urenou pouze pro tení, výstupní zaízení za pam urenou pouze pro zápis. Nap. tiskárnu lze modelovat posloupností již vytištných znak. Pi formálním popisu abstrahujeme od nepodstatných rys výpoetních prostedk a stav automatu reprezentujeme pomocí njakého matematického modelu. innost výpoetního automatu se projevuje zmnou stavu. Pedpokládejme, že máme vytvoen matematický model stavu výpoetních prostedk a ozname si S množinu všech takových možných stav. Nachází-li se automat v njakém (poátením) stavu s 1 S, a pedložíme-li mu syntakticky správný program p L k provedení, zahájí automat innost pedepsanou programem p, která se projevuje zmnami stavu prostedk. Tuto innost nazýváme výpoetní proces probíhající podle programu p z poáteního stavu s 1. Mohou pi tom nastat dva pípady: po uritém potu krok (zmn stavu) se výpoetní proces zastaví v njakém (koncovém) stavu s 2 S; výpoetní proces probíhá nepetržitou adou zmn stav (což nemusí být sémanticky špatn - uvažme napíklad program pro ízení nepetržitého provozu). V obou pípadech lze ze sémantického hlediska považovat za význam programu posloupnost stav (pípadn prázdnou nebo nekonenou) - jakousi posloupnost snímk z innosti modelu. Metody interpretaní sémantiky založené na této pedstav nazýváme obvykle metodami operaní sémantiky. Jejich použití je nutné zejména tehdy, zajímáme-li se o to, jak výpoet podle daného programu probíhá. Dva programy považujeme pi tomto pístupu za ekvivalentní pouze tehdy, pokud jim odpovídající výpoetní procesy probíhají stejnými stavy. asto nás však nezajímají jednotlivé mezistavy, kterými výpoet probíhá, ale za dležité považujeme pouze poátení a koncový stav výpoetního procesu - zajímá nás co program poítá. Otázku, zda výpoetní proces skoní a má-li tedy vbec smysl o koncovém stavu mluvit, ešíme obvykle oddlen. V takovém pípad lze chápat význam programu p jako (parciální) binární relaci rsem na množin všech stav, tj. rsem S S. Pitom <s 1,s 2 > rsem práv tehdy, když s 2 je koncovým stavem výpoetního procesu probíhajícího podle programu p z poáteního stavu s 1, za pedpokladu, že výpoet skoní (relace rsem je parciální, nebo v pípad, že výpoet nekoní, není koncový stav definován). Sémantickým univerzem je tedy matematická struktura všech binárních relací na množin všech stav S a mluvíme o relaním modelu sémantiky. V ad pípad požadujeme, aby výpoet byl deterministický - tzn. aby koncový stav Karel Richta 8

(pokud existuje) byl nejvýše jeden pro každý poátení stav. Sémantickým univerzem je pak struktura všech (parciálních) funkcí nad množinou S a mluvíme o funkcionálním modelu sémantiky. interpretan orientovaná sémantika /! \ operaní funkcionální relaní sémantika sémantika sémantika 1.6 Interpreten orientované metody popisu Funkcionální sémantiku použijeme pro definici sémantiky jazyka PL0. Následující odstavec proto vnujeme funkcionálnímu sémantickému modelu. 1.7 Funkcionální model Základní myšlenkou funkcionální sémantiky je interpretovat význam programu jako funkci zobrazující vstupní data na výstupní. Aby bylo možno významy program zapisovat, musíme mít k dispozici vhodný aparát, umožující s funkcemi pracovat (oznaovat je, konstruovat, skládat a pod.). Pimeným kandidátem je aparát λ kalkulu, jehož základy vybudoval Alonzo Church [Church,A.: The Calculi of Lambda- Conversion. Annals of Mathemetics Studies No.6, Princeton University Press 1941]. Mezi rznými modifikacemi λ kalkulu si vybereme tzv. typovaný Karel Richta 9

λ kalkul, variantu, která nejvíce vyhovuje našim potebám [Glaser,H., Hankin,Ch., Till,D.: Principles of Functional Programming. Prentice Hall 1984]. Karel Richta 10

λ kalkul Základem každého systému pro znaení funkcí musí být dv konstrukce: konstrukce pro definici nové funkce tak, že zadáme pravidlo pro výpoet funkní hodnoty a konstrukce umožující oznaení aplikace funkce na njaké argumenty. Bžná matematická symbolika nedovoluje dostaten pesný zápis. Uvažme napíklad výraz x+y. Není pesn zejmé, zda se jedná o oznaení hodnoty soutu promnných x a y, i o oznaení funkce sítání. Abychom tento rozdíl explicitn zdraznili, použijeme pro oznaení aplikace operace sítání na argumenty 2 a 3 zápis (x+y)(2,3), zastupující hodnotu 5. Jakou hodnotu však zastupuje zápis (x-y)(2,3)? Zde se mže hodnota lišit podle poadí vazby argument (2-3 nebo 3-2). Tomu lze pedejít explicitním vyznaením argument a poadí jejich vazby, tzv. abstrakcí λxy.x+y. Poadím promnných v zápisu abstrakce je ureno poadí vazby argument. Zejm pak (λxy.x-y)(2,3) = 2-3 = -1, nebo první argument (2) se váže na x a druhý (3) na y. V dosud zavedeném zápisu abstrakce λxy.x+y pipouštíme možnost aplikace operace + na libovolný typ argument. Uvažme však výraz λxy.x/y, oznaující funkci dlení prvního argumentu druhým. Funkní hodnota bude jist záviset na typu operace dlení, kterou použijeme. Napíklad zápis (λxy.x/y)(5,2) mže oznaovat hodnotu 2 nebo 2.5 podle toho, zda uvažujeme celoíselné dlení i dlení reálných ísel. Zápis abstrakce proto zpesníme tak, že explicitn vyjádíme požadovaný typ argument. Pak bude nap. platit: (λxy:integer.x/y)(5,2) = 2 a (λxy:real.x/y)(5,2) = 2.5. Výrazy nerespektující typové požadavky prohlásíme za chybn vytvoené. Nap. výraz (λx:integer.x+1)(2.5) prohlásíme za chybný, nebo skutený typ argumentu neodpovídá typu požadovanému. Uvažme dále výraz λy:real.1/y oznaující funkci, jejíž hodnotou je pevrácená hodnota argumentu. Funkní hodnota této funkce bude stejná, jako hodnota funkce Karel Richta 11

λxy:real.x/y kde za prvý argument dosadíme vždy hodnotu 1, tj. (λy:real.1/y)(z) = (λxy:real.x/y)(1,z), pro všechna z:real. Zápis λxy:real.x/y budeme proto chápat jako zkratku podrobnjšího zápisu Karel Richta 12

λx:integer.(λy:integer.x/y). To nám umožní chápat výraz (λx:real.(λy:real.x/y))(1) jako speciální pípad funkce x/y, když x=1, tj. funkci oznaenou λy:real.1/y. Pak také podrobnji: (λxy:real.x/y)(5,2) = = (λx:real.(λy:real.x/y))(5,2) = = ((λx:real.(λy:real.x/y))(5))(2) = = (λy:real.5/y)(2) = 5/2 = 2.5. Uvedená diskuse je pouze ilustrativní. tenáe, kterého problematika kalkulu pro znaení funkcí zaujala, doporuujeme podrobnjší studium literatury. Zde uvedeme pouze základní definice, potebné pro další výklad. Pro pesnjší definici výraz oznaujících funkce musíme zavést typy a symboly primitivních operací, ze kterých ostatní funkce vytváíme. 1.8 Typy Mjme konenou neprázdnou množinu symbol B = {B 1,...,B n }, kterou nazveme báze. Prvky množiny B budeme nazývat bázové typy. Množinu T(B) všech typ nad bází B definujeme induktivním pedpisem. 1) Každý bázový typ je typ, tj. B T(B). 2) Jsou-li A,B typy, pak i (A B) je typ (tzv. souin typ), (A B) je typ (tzv. sjednocení typ) a (A B) je typ (tzv. funkní typ). Píklad Pro bázi B 1 = {Bool,Int}, kde symboly Bool a Nat zastupují bázové typy logických hodnot a pirozených ísel, bude množina T(B 1 ) všech typ nad bází B 1 obsahovat nap. následující typy (v závorkách je uveden intuitivní význam typu): Bool (typ logických hodnot), Int (typ celých ísel), (Int Int) (typ dvojic celých ísel), (Int Bool) (typ jehož obor hodnot zahrnuje jak celá ísla, tak i logické hodnoty, tj. sjednocení Int a Bool), (Int Bool) (typ vlastností celých ísel), ((Int Int) Bool) (typ charakteristických funkcí binárních relací na celých íslech). 1.9 Signatura Bu B báze. Soubor F = {F A : A T(B)} konených množin F A symbol nazveme signatura nad bází B. Symboly z množiny F A nazýváme konstanty typu A. Pro každý symbol konstanty máme signaturou uren jeho typ. Fakt, že konstanta f je typu A, tj. Karel Richta 13

f F A zapisujeme f:a. Pozn. Bez újmy na obecnosti mžeme pedpokládat, že leny F jsou až na konený poet prázdné (existuje jen konen mnoho symbol). Dále pedpokládáme, že pro všechny bázové typy jsou odpovídající leny neprázdné (každý druh má nejmén jednu konstantu - generátor). Píklad Pro bázový typ celých ísel mže být signatura nad bází B={Int} tvoena nap. následujícími symboly konstant. Pedevším zavedeme primitivní symboly oznaující základní dekadické konstanty. 0,1,2,..., 9: Int. Další dekadické zápisy ísel lze vytváet s využitím unárních operací: _0,_1,_2,..., _9: (Int Int). Dekadický zápis 123 pak chápeme jako zkratku zápisu ((1)2)3. Mimo to lze pro celá ísla použít bžné aritmetické operace: +: (Int (Int Int))... celoíselné sítání, -: (Int (Int Int))... celoíselné odítání, *: (Int (Int Int))... celoíselné násobení, div: (Int (Int Int))... celoíselné dlení, mod: (Int (Int Int))... zbytek po dlení. asto používáme zkrácený zapis, nap. +: Integer,Integer Integer. 1.10 λ výrazy Mjme dánu bázi B={B 1,...,B n } a soubor X={X A : A T(B)} nejvýše spoetných množin symbol promnných pro každý typ nad bází B. Bu dále F = {F A : A T(B)} signatura nad bází B. Pak soubor všech λ výraz (nad bází B) definujeme: 1. Každá konstanta f F A nebo promnná x X A je λ výraz typu A. 2. Je-li x promnná typu A 1 a t λ výraz typu A 2, pak (λx:a 1.t) je λ výraz typu (A 1 A 2 ) (abstrakce). 3. Je-li x λ výraz typu (A 1 A 2 ) a y λ výraz typu A 1, pak x(y) je λ výraz typu A 2 (aplikace). 4. Je-li x λ výraz typu A 1 a y λ výraz typu A 2, pak <x,y> je λ výraz typu (A 1 A 2 ) (konstrukce). 5. Je-li x λ výraz typu (A 1 A 2 ), pak x.1 je λ výraz typu A 1 a x.2 je λ výraz typu A 2 (selekce). 6. Je-li x λ výraz typu A 1 a y λ výraz typu A 2, pak in-a 1 -to-a 1 A 2 (x) a in-a 2 -to-a 1 A 2 (y) jsou λ výrazy typu (A 1 A 2 ) (inspekce). 7. Je-li x λ výraz typu (A 1 A 2 ), pak (A 1 )(x) je λ výraz typu A 1 a (A 2 )(x) je λ výraz typu A 2 (projekce). Zápisem t:a zvýrazujeme, že λ výraz t je typu A. Pokud nemže dojít k nedorozumní, Karel Richta 14

budeme v zápise λ výraz vynechávat nadbytené závorky, nap. místo pesného zápisu: (λx:int.(λy:int.+(x)(y))), použijeme zkrácený tvar: λx:int.λy:int.+(x,y). asto též využijeme infixovou, postfixovou, nebo komplikovanjší notaci zápisu aplikace, nap. λx:int.λy:int.x+y. Použitou notaci lze vyznait pímo deklarací v rámci signatury pomocí znaku "_" uvedeného v míst dosazení argument, nap. deklarací: _+_: Int Int Int, stanovíme infixovou notaci pro operátor +. Deklaraci not: Bool Bool pak lze považovat za zkratku podrobnjší deklarace not(_): Bool Bool. Rovnž povolíme spojování abstrakcí, výsledný zkrácený tvar pak bude: λxy:int.x+y. Soubor všech dobe vytvoených λ výraz má jako generátory jednak konstanty ze signatury, jednak jistý soubor symbol promnných. Ve funkcionální sémantice využijeme λ výrazy jako prostedek pro vyjádení funkcí, které jsou významem syntaktických konstrukcí. Otázkou, kterou funkci daný λ výraz oznauje, se budeme zabývat v následujícím odstavci. Píklad Uvažme bázi B = {Bool,Nat} a signaturu F 1 = {true: Bool, false: Bool, not: Bool Bool, _and_: Bool Bool Bool, _or_: Bool Bool Bool, 0: Nat, _+_: Nat Nat Nat}. Pak nap. λ-výraz λx:nat.x oznauje identickou funkci na pirozených íslech, λ-výraz λx:nat.0 oznauje konstantní funkci, která nabývá pro libovolný argument typu Nat hodnoty 0. λ- výraz λx:nat.<x,0> oznauje funkci, která argumentu typu Nat piadí objekt typu (Nat Nat). Funkce λy:nat Nat.(y.1) naopak argumentu typu (Nat Nat) piadí hodnotu typu Nat. Karel Richta 15