5. KNFERENCE GEMETRII A PČÍTAČVÉ GRAFICE ELIPSID HMTETICKÝ K REFERENČNÍMU ELIPSIDU Astrkt V isttické ltimtrii s z znlsti plhy dv stlitů S, S délky signál vyslnéh z jdnh n drhý stlit hldá d P drz signál n zmském těls. Z všch dů dné vlstnsti zvlím tn, ktrý j njlíž střd Změ sstrjím jím lipsid hmttický k rrnčním lipsidům. Klíčvá slv Bisttická ltimtri, rrnční lipsid, střd křivsti. Úvd N lipsid drzných dů, znčím h Q, hldám d P, v ktrém s h vně dtýká lipsid hmttický s rrnčním lipsidm Q. Elipsid drzných dů Elipsid Q vyjádřím v gcntrické sstvě sřdnic. Jh střd j d ( S S ). Jdntkvý vktr sy lipsid znčím S S. S S
Pr dy lipsy, jjíž rtcí vzniká lipsid Q, pltí, (). () Střdvá rvnic tét lipsy ptm j. () Dszním () () d rvnic () pstpně dstávám rvnici (4) lipsid Q,,. (4) Rzpsáním d sřdnic má rvnic lipsid tvr, kd jsm znčili,, vktr sy lipsid Q,, rdis vktr jjíh střd.
ELIPSID HMTETICKÝ K REFERENČNÍMU ELIPSIDU znčím-li jště ε, mtic lipsid j ε F ε ( ) ε ( ) ε ε ( ) ε ( ) ε ( ) ε ε ε ε ε ε ε ε ε Ainit rrnčníh lipsid Ainit, ktrá přvádí rrnční lipsid Q, s plsmi,, n sér, d mít vyjádřní ', y' y, z' z / q, (5) q /. kd jsm znčili V tét initě j rzm rtčníh lipsid Q nrtční lipsid, znčím h Q. Jstliž, i, j,...,, js prvky mtic F, ptm F q q ij q q q q q j mtic lipsid Q. Tím j řšná úlh trnsrmván n úlh njít n dném lipsid Q d, ktrý j njlíž střd rrnčníh lipsid, tdy i inní séry. 4 Minimální vzdálnst d d lipsid znčím, rsp. střd rrnčníh lipsid Q, rsp. lipsid Q. Úsčk prtíná llipsid Q v dě P. V dě P zvlím nrmálv rvin lipsid Q, ktrá shj d, jdntkvý nrmálvý vktr n jdntkvý tčný vktr t lipsid Q v dě P. Přitm nrmálvý vktr rintjm dvnitř lipsid. V dě P rčím střd nrmálvé křivsti lipsid v směr tčnéh vktr. Tnt střd přírá úlh d, tj. rčím průsčík P nvé úsčky s lipsidm Q. Tk sstrjím pslpnst průsčíků P s lipsidm Q, ktrá knvrgj k d lipsid Q njmnší vzdálnsti d střd rrnčníh lipsid Q..
Pdmínk cykl lz vlit vyklým způsm pčt itrcí, vzdálnst d P v dv p sě jdcích itrcích pd. Ukzj s, ž plně stčí dst itrcí. 5 Střd křivsti nrmálvéh řz lipsid Střd nrmálvé křivsti lipsid Q v dě P j střdm křivsti jh nrmálvéh řz. Aychm tnt řz nlyticky ppsli, zvlím v nrmálvé rvině krtézsk sstv sřdnic lipsy řz v příslšných hmgnních sřdnicích d P,n, t. Rvnic (,, ), (6) kd. Rvnic jjí tčny v pčátk j. Y n P t Q dtd pl yn. Rvnic (6) v krtézských sřdnicích nyní j y y y. (7)
ELIPSID HMTETICKÝ K REFERENČNÍMU ELIPSIDU Pr něktré výpčty v lgritm j vhdné prmtrické vyjádřní lipsy (7). Bdm ji prmtrizvt svzkm přímk střd v dě Y, tj. Y,. průsčík s s y, d [ ] Drhým dm těcht přímk d jjich průsčík s s, znčím h Q [ t,]. Ptm prmtrické vyjádřní svzk přímk j ( Q Y ) αt, ( α ) Y α. (8) Bd z rvnic (8) dsdím d rvnic (7) lipsy vypčítám prmtr α 4 ( t ) α. t 4t 4 Ptm dszním d (8) dstávám hldn prmtrizci lipsy 4 ( t ) t, t 4t 4 t 4t 4 t. (9) Pr křivst k křivky, dné plicitní rvnicí y y(), pltí známý vzrc k y. ( y ) ě drivc vypčítám z implicitní rvnic (7) lipsy. J y y y yy, y y y y y y. dtd drivc v dě P js y k y. y, Ptm hldná křivst j přvrácná hdnt, tj. r. Střd křivsti lipsy v dě P j S P' r n. dpvídjící plměr křivsti jjí
6 Hmttický lipsid K d P lipsid Q v invrzní initě k initě (5) rčím rz P n lipsid Q. Pr různé gdtické výpčty s pžívjí různé rrnční lipsidy, v sčsné dě j jich spň pdsát. Elipsid prcházjící drzným dm P rčím stjnlhlstí střd Kicint tét stjnlhlsti j dán dvjicí dů P, P, kd P j průsčík plpřímky P s rrnčním lipsidm Q. 7 Závěr Tt j jdn z kmplních mtmtických řšní prlém isttické ltimtri. Dlší lz njít v [], []. Litrtr [] Kčndrlvá M.: Singlární kvdriky v mdl GPS-ltimtri, Srník 4. knrnc GCG, VŠB-TU strv, 4, str. 76-9 [] Kčndrlvá M.: Střdy nrmálvých křivstí lipsid v mdl isttické ltimtri, Prcdings Sympsim n Cmptr Gmtry, v.4, SSGG, Kčvc, 5, str. 7-4