ZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.

Transkript

1 VARIAČNÍ POČET ZÁKLADY V prxi se čsto hledjí křivky nebo plochy, které minimlizují nebo mximlizují jisté hodnoty. Npř. se hledá nejkrtší spojnice dvou bodů n dné ploše, nebo tvr zvěšeného ln (má minimální potenciální energii, nebo tvr těles, které má v pohybujícím se prostředí minimální odpor, td. Nejdříve je nutné vyjádřit uvedené hodnoty mtemtickým výrzem pro ten se pk hledá minimum nebo mximum. V uvedených příkldech se dostávjí postupně výrzy 1 + y 2 dx kde y je hlednou funkcí proměnné x. y 1 + y 2 dx y 3 dx Ověřování, zd dná (nlezená funkce oprvdu npř. minimlizuje uvedené hodnoty se provádí její mlou změnou, vricí. Po těchto změnách musí uvedené hodnoty vzrůst. Úlohy popsného typu se rozdělují n několik zákldních typů. První uvedený příkld hledání nejkrtší spojnice dvou bodů v rovině je tzv. úloh s pevnými konci (hledné křivky zčínjí končí v dných bodech. Pokud se hledá nejkrtší spojnice dvou křivek, jedná se o úlohu s volnými konci (zčáteční koncové body hledné křivky nejsou pevně dány. Jestliže místo roviny hledáme nejkrtší cestu mezi dvěm body nebo křivkmi n dné ploše, mluví se o úlohách s podmínkou; hledá se funkce y splňující dlší podmínky npř. splňuje rovnici plochy nebo u příkldu zvěšeného ln má dnou délku. Pomocí vričního počtu lze řešit npř. diferenciální nebo integrální rovnice řešení rovnice minimlizuje určitý funkcionál. Ve výše uvedených příkldech se hledl funkce y proměnné x pro kterou je výrz minimální nebo mximální (při vhodné volbě F. F (y = f(x, y, y dx Zobrzení F se nzývá funkcionál, který je definován přinejmenším pro x [, b] pro funkce y n [, b] mjící derivci, které mohou dále splňovt dlší podmínky množin tkovýchto funkcí y se oznčí C. Stejně jko u extrémů reálných funkcí jedné nebo více proměnných se i u extrémů uvedených funkcionálů rozlišuje bsolutní extrém lokální extrém, který se ve vričním počtu čstěji nzývá reltivní extrém. Jejich definice jsou zcel přirozené: DEFINICE. Funkcionál F nbývá bsolutního mxim n množině C pro křivku y 0, jestliže y 0 C F (y F (y 0 pro všechn y C. Funkcionál F nbývá reltivního mxim n množině C pro křivku y 0, jestliže y 0 C F (y F (y 0 pro všechn y U C, kde U je nějké okolí funkce y. Co to je okolí funkce? N množinách funkcí lze definovt okolí mnoh neekvivlentními způsoby dostávjí se neekvivlentní pojmy reltivních extrémů. Pro dlší postupy stčí použít jednk okolí popsné stejnoměrnou konvergencí funkcí jednk okolí popsné stejnoměrnou konvergencí funkcí jejich derivcí: 1

2 DEFINICE. Necht y je funkce definovná n množině M. Okolí (0. řádu funkce y je tková množin U funkcí g n M, pro níž existuje ε > 0 tk, že {g; g(x y(x < ε pro kždé x M} U. Necht y je funkce definovná n množině M mjící n M derivci. Okolí (1. řádu funkce y je tková množin U funkcí g mjících n M derivci, pro níž existuje ε > 0 tk, že {g; g(x y(x < ε, g (x y (x < ε pro kždé x M} U. Reltivní extrémy pro okolí nultého řádu se nzývjí silné reltivní extrémy, pro okolí prvního řádu slbé reltivní extrémy. Zřejmě je kždý bsolutní extrém silným reltivním extrémem kždý silný reltivní extrém slbým reltivním extrémem. Opky těchto implikcí nepltí. Poznámky 1 Příkldy 1 Otázky 1 1 ÚLOHY S PEVNÝMI KONCI Z funkce, mezi kterými se hledá extrém funkcionálu, se v tomto přípdě berou části množiny C = {y; y( = A, y(b = B, existuje spojitá y }. Následuje nutná podmínk pro to, by nějká funkce byl slbým reltivním extrémem funkcionálu. VĚTA. Necht funkce f(x, y, y má spojité prciální derivce 2.řádu n intervlu [, b]. Jestliže funkcionál F (y = f(x, y, y dx nbývá slbého reltivního extrému pro funkci y 0 n množině C, je y 0 řešením rovnice y d ( dx y = 0. Uvedená rovnice se nzývá Eulerov rovnice. Řešení Eulerovy rovnice se nzývjí extremály jsou to obdoby kritických bodů pro extrémy reálných funkcí reálných proměnných. V extremálách může le nemusí funkcionál doshovt extrému. Jestliže se v Eulerově rovnici provede derivce podle x, dostává se diferenciální rovnice 2.řádu: ( y y y + y x = 0. y Eulerov rovnice se obecně nevyřeší. Existují všk speciální přípdy, kdy lze tuto rovnici zjednodušit nebo vyřešit. Proberte smi přípd, kdy funkce f nezávisí n y. Eulerov rovnice má potom tvr Funkce f nezávisí n x, y y 2 y = 0. Přípd f y y = 0 dává pro kždé y stejnou hodnotu funkcionálu F je tedy nezjímvý. Přípd y = 0 dává řešení y(x = C 1 x+c 2, konstnty C 1 C 2 se určí z okrjových podmínek (přímk musí procházet body (, A, (b, B. 2

3 Eulerov rovnice má v tomto přípdě tvr Funkce f nezávisí n y y x = tkže výsledkem je diferenciální rovnice 1.řádu s konstntou C y = C. d ( dx y = 0, Eulerov rovnice má po vynásobení y tvr Funkce f nezávisí n x y ( y y y = 0. y Levá strn je derivcí podle x funkce y f y f, tkže výsledkem je diferenciální rovnice 1.řádu s konstntou C y y f = C. První druhá vrice Pro funkcionál F (y = f(x, y, y dx jsme při odvozování Eulerovy rovnice sestrojili pomocnou funkci prmetru α. g(α = F (y 0 + αv = f(x, y 0 (x + αv(x, y 0 (x + αv (x dx Eulerov rovnice odpovídl podmínce g (0 = 0. Obecně lze zkoumt Tylorův rozvoj ve tvru g(α = F (y 0 + αv 1 (y 0, v α2 V 2 (y 0, v +, kde V 1 (y 0, v nzýváme první vrice funkcionálu F znčíme δf. Podobně V 2 (y 0, v nzýváme druhá vrice funkcionálu F znčíme δ 2 F. Nulovost první vrice odpovídá Eulerově rovnici, pozitivní definitností druhé vrice můžeme zjišt ovt skutečné nbývání extrému v extremále (jde o nutnou podmínku pro minimlizci. Po spočtení vyjde g (α = f yy v 2 (x + 2f yy v(xv (x + f y y (v (x 2 dx. Tedy jde o definitnost mtice tvořené druhými prciálními derivcemi f podle y y. Postčující podmínk pro extrém Eulerov rovnice je nutnou podmínkou pro nbývání extrému funkcionálu F (y = f(x, y, y dx. 3

4 Pokud je nvíc funkce f(x, y, y konvexní ve svých proměnných y y součsně, je extremál bsolutním minimem funkcionálu F. Poznámky 2 Příkldy 2 Otázky 2 2 ÚLOHY S VOLNÝMI KONCI V předchozí části byly okrjové podmínky pro nlezené extremály v jistém smyslu pevné, extremály musely zčínt"v jednom pevně dném bodě končit"v jiném pevně zvoleném bodě. Vyskytují se úlohy, kde se chce, by extremály zčínly n dné křivce C 1 končily n jiné křivce C 2 (nebo pro více proměnných n plochách. To je npř. úloh o nejkrtší vzdálenosti mezi křivkmi nebo plochmi. Úlohy tohoto typu se nzývjí úlohy s volnými konci: Definují-li ϕ, ψ dvě hldké křivky v rovině, z funkce, mezi kterými se hledá extrém funkcionálu, se v tomto přípdě berou části množiny C = {y; y(x 1 = ϕ(x 1, y(x 2 = ψ(x 2, existuje spojitá y n [x 1, x 2 ]} body x 1, x 2 závisí n y, tj. pro různé funkce y mohou být různé i tyto body. Přesněji by se tyto body měly znčit x 1,y, x 2,y funkcionál má pk tvr F (y = x2,y x 1,y f(x, y, y dx. Postup při hledání nutné podmínky je podobný jko u úlohu s pevnými konci. VĚTA. Necht funkce ϕ, ψ n [p, q] mjí spojité první derivce. Necht funkce f(x, y, y má spojité prciální derivce 2.řádu n intervlu [, b]. Jestliže funkcionál F (y = x 2,y x 1,y f(x, y, y dx nbývá slbého reltivního extrému pro funkci y 0 (s konci (, A, (b, B n množině C, je y 0 řešením rovnice pltí y d ( dx y = 0, f(x, y 0, y 0 + (ϕ (x y 0 (xf y x, y 0, y 0 = 0 pro x =, f(x, y 0, y 0 + (ψ (x y 0 (xf y x, y 0, y 0 = 0 pro x = b. Obě poslední podmínky se nzývjí podmínky trnsverslity. Poznámky 3 Příkldy 3 Otázky 3 3 ÚLOHY S PODMÍNKOU Čsto se stává, že množin C funkcí y, mezi kterými se hledá funkce minimlizující dný funkcionál f(x, y, y dx, je zúžen dlší podmínkou, která je vyjádřen integrálem g(x, y, y dx = C, pro nějkou funkci g. Následující dv příkldy jsou typické: Jký tvr bude mít lno zvěšené n svých koncích v dných bodech? Lno zujme tkovou polohu, by jeho potenciální energie byl minimální. Hledá se tedy funkce y, která splňuje okrjové podmínky (jko v úlohách s pevnými konci, minimlizuje funkcionál y 1 + y 2 dx nvíc splňuje podmínku dné délky, tj. b 1 + y 2 dx = d, kde d je předem dné číslo. Jký tvr má jednoduchá uzvřená křivk dné délky s mximálním obshem svého vnitřku? 4

5 Řešením je křivk y, která mximlizuje funkcionál vyjdřující obsh vnitřku uzvřené jednoduché křivky ( splňuje okrjové podmínky - jké jsou? opět nvíc splňuje podmínku dné délky 1 + y 2 dx = d. Poslední příkld je historicky nejdůležitější podle něj se tyto úlohy nzývjí isoperimetrické úlohy. Lze dospět k následující nutné podmínce pro reltivní extrémy těchto úloh. VĚTA. Necht f, g jsou funkce tří proměnných x, y, y, kde y je funkcí x n intervlu [, b] obě funkce f, g mjí spojité prciální derivce 2.řádu. Pro čísl A, B, C bud C = {y; y má spojitou derivci n [, b], y( = A, y(b = B} C = {y C; g(x, y, y dx = C}. Je-li y 0 slbý reltivní extrém funkcionálu f(x, y, y dx n množině C není extremálou funkcionálu g(x, y, y dx, pk existuje reálné číslo λ tkové, že y 0 je slbý reltivní extrém n množině C funkcionálu ( f(x, y, y + λg(x, y, y dx. Stejně jko u hledání extrémů funkcí více reálných proměnných se tu pomocí Lgrngeových multiplikátorů úloh s vázným extrémem převede n úlohu s volným extrémem. Z předchozí věty lze usoudit tzv. reciproční prvidlo: VĚTA. Necht y 0 je extrémem popsným v předchozí větě. Pk y 0 je i extrémem funkcionálu g(x, y, y dx n množině C z podmínky f(x, y, y dx = C}. Jestliže tedy víte, že řešením druhého uvedeného příkldu je kružnice, tj. mezi všemi rovinnými obrzci s dným obvodem má kruh největší obsh, pk víte, že mezi všemi rovinnými obrzci s dným obshem má kruh nejmenší obvod. Poznámky 4 Příkldy STANDARDY z kpitoly VARIAČNÍ POČET Ověřování, zd dná (nlezená funkce oprvdu npř. minimlizuje hodnoty zdnho funkcionálu se provádí její mlou změnou, vricí. Po těchto změnách musí hodnoty funkcionálu vzrůst. V příkldech se hledá funkce y proměnné x pro kterou je výrz minimální nebo mximální. F (y = f(x, y, y dx Zobrzení F se nzývá funkcionál, který je definován přinejmenším pro x [, b] pro funkce y n [, b] mjící derivci, které mohou dále splňovt dlší podmínky množin tkovýchto funkcí y se oznčí C. Stejně jko u extrémů reálných funkcí jedné nebo více proměnných se i u extrémů uvedených funkcionálů rozlišuje bsolutní extrém lokální extrém, který se ve vričním počtu čstěji nzývá reltivní extrém. Jejich definice jsou zcel přirozené: DEFINICE. Funkcionál F nbývá bsolutního mxim n množině C pro křivku y 0, jestliže y 0 C F (y F (y 0 pro všechn y C. Funkcionál F nbývá reltivního mxim n množině C pro křivku y 0, jestliže y 0 C F (y F (y 0 pro všechn y U C, kde U je nějké okolí funkce y. 5

6 DEFINICE. Necht y je funkce definovná n množině M. Okolí (0. řádu funkce y je tková množin U funkcí g n M, pro níž existuje ε > 0 tk, že {g; g(x y(x < ε pro kždé x M} U. Necht y je funkce definovná n množině M mjící n M derivci. Okolí (1. řádu funkce y je tková množin U funkcí g mjících n M derivci, pro níž existuje ε > 0 tk, že {g; g(x y(x < ε, g (x y (x < ε pro kždé x M} U. Reltivní extrémy pro okolí nultého řádu se nzývjí silné reltivní extrémy, pro okolí prvního řádu slbé reltivní extrémy. Zřejmě je kždý bsolutní extrém silným reltivním extrémem kždý silný reltivní extrém slbým reltivním extrémem. Opky těchto implikcí nepltí. ÚLOHY S PEVNÝMI KONCI Z funkce, mezi kterými se hledá extrém funkcionálu, se v tomto přípdě berou části množiny C = {y; y( = A, y(b = B, existuje spojitá y }. Následuje nutná podmínk pro to, by nějká funkce byl slbým reltivním extrémem funkcionálu. VĚTA. Necht funkce f(x, y, y má spojité prciální derivce 2.řádu n intervlu [, b]. Jestliže funkcionál F (y = f(x, y, y dx nbývá slbého reltivního extrému pro funkci y 0 n množině C, je y 0 řešením rovnice y d ( dx y = 0. Uvedená rovnice se nzývá Eulerov rovnice. Řešení Eulerovy rovnice se nzývjí extremály jsou to obdoby kritických bodů pro extrémy reálných funkcí reálných proměnných. V extremálách může le nemusí funkcionál doshovt extrému. Jestliže se v Eulerově rovnici provede derivce podle x, dostává se diferenciální rovnice 2.řádu: ( y y y + y x = 0. y Eulerov rovnice má potom tvr Funkce f nezávisí n x, y y 2 y = 0. Přípd f y y = 0 dává pro kždé y stejnou hodnotu funkcionálu F je tedy nezjímvý. Přípd y = 0 dává řešení y(x = C 1 x+c 2, konstnty C 1 C 2 se určí z okrjových podmínek (přímk musí procházet body (, A, (b, B. Eulerov rovnice má v tomto přípdě tvr Funkce f nezávisí n y y x = tkže výsledkem je diferenciální rovnice 1.řádu s konstntou C y = C. 6 d ( dx y = 0,

7 Eulerov rovnice má po vynásobení y tvr Funkce f nezávisí n x y ( y y y = 0. y Levá strn je derivcí podle x funkce y f y f, tkže výsledkem je diferenciální rovnice 1.řádu s konstntou C y y f = C. První druhá vrice Pro funkcionál F (y = f(x, y, y dx jsme při odvozování Eulerovy rovnice sestrojili pomocnou funkci g(α = F (y 0 + αv = f(x, y 0 (x + αv(x, y 0 (x + αv (x dx prmetru α. Eulerov rovnice odpovídl podmínce g (0 = 0. Obecně lze zkoumt Tylorův rozvoj ve tvru g(α = F (y 0 + αv 1 (y 0, v α2 V 2 (y 0, v +, kde V 1 (y 0, v nzýváme první vrice funkcionálu F znčíme δf. Podobně V 2 (y 0, v nzýváme druhá vrice funkcionálu F znčíme δ 2 F. Nulovost první vrice odpovídá Eulerově rovnici, pozitivní definitností druhé vrice můžeme zjišt ovt skutečné nbývání extrému v extremále (jde o nutnou podmínku pro minimlizci. Po spočtení vyjde g (α = f yy v 2 (x + 2f yy v(xv (x + f y y (v (x 2 dx. Tedy jde o definitnost mtice tvořené druhými prciálními derivcemi f podle y y. Postčující podmínk pro extrém Eulerov rovnice je nutnou podmínkou pro nbývání extrému funkcionálu F (y = f(x, y, y dx. Pokud je nvíc funkce f(x, y, y konvexní ve svých proměnných y y součsně, je extremál bsolutním minimem funkcionálu F. ÚLOHY S VOLNÝMI KONCI Vyskytují se úlohy, kde se chce, by extremály zčínly n dné křivce C 1 končily n jiné křivce C 2 (nebo pro více proměnných n plochách. To je npř. úloh o nejkrtší vzdálenosti mezi křivkmi nebo plochmi. Úlohy tohoto typu se nzývjí úlohy s volnými konci. 7

8 Definují-li ϕ, ψ dvě hldké křivky v rovině, z funkce, mezi kterými se hledá extrém funkcionálu, se v tomto přípdě berou části množiny C = {y; y(x 1 = ϕ(x 1, y(x 2 = ψ(x 2, existuje spojitá y n [x 1, x 2 ]} body x 1, x 2 závisí n y, tj. pro různé funkce y mohou být různé i tyto body. Přesněji by se tyto body měly znčit x 1,y, x 2,y funkcionál má pk tvr F (y = x2,y x 1,y f(x, y, y dx. Řešení musí utomticky splňovt Eulerovu rovnici. Nvíc u úlohy s volnými konci dostneme nvíc v kždém volném konci dlší rovnici. Tyto rovnice se nzývjí podmínky trnsverslity. ÚLOHY S PODMÍNKOU Čsto se stává, že množin C funkcí y, mezi kterými se hledá funkce minimlizující dný funkcionál f(x, y, y dx, je zúžen dlší podmínkou, která je vyjádřen integrálem g(x, y, y dx = C, pro nějkou funkci g. Následující dv příkldy jsou typické: Jký tvr bude mít lno zvěšené n svých koncích v dných bodech? Lno zujme tkovou polohu, by jeho potenciální energie byl minimální. Hledá se tedy funkce y, která splňuje okrjové podmínky (jko v úlohách s pevnými konci, minimlizuje funkcionál y 1 + y 2 dx nvíc splňuje podmínku dné délky, tj. b 1 + y 2 dx = d, kde d je předem dné číslo. Jký tvr má jednoduchá uzvřená křivk dné délky s mximálním obshem svého vnitřku? Řešením je křivk y, která mximlizuje funkcionál vyjdřující obsh vnitřku uzvřené jednoduché křivky ( splňuje okrjové podmínky - jké jsou? opět nvíc splňuje podmínku dné délky 1 + y 2 dx = d. Poslední příkld je historicky nejdůležitější podle něj se podobné úlohy nzývjí isoperimetrické úlohy. Lze dospět k následující nutné podmínce pro reltivní extrémy těchto úloh. VĚTA. Necht f, g jsou funkce tří proměnných x, y, y, kde y je funkcí x n intervlu [, b] obě funkce f, g mjí spojité prciální derivce 2.řádu. Pro čísl A, B, C bud C = {y; y má spojitou derivci n [, b], y( = A, y(b = B} C = {y C; g(x, y, y dx = C}. Je-li y 0 slbý reltivní extrém funkcionálu f(x, y, y dx n množině C není extremálou funkcionálu g(x, y, y dx, pk existuje reálné číslo λ tkové, že y 0 je slbý reltivní extrém n množině C funkcionálu ( f(x, y, y + λg(x, y, y dx. Stejně jko u hledání extrémů funkcí více reálných proměnných se tu pomocí Lgrngeových multiplikátorů úloh s vázným extrémem převede n úlohu s volným extrémem. Z předchozí věty lze usoudit tzv. reciproční prvidlo: VĚTA. Necht y 0 je extrémem popsným v předchozí větě. Pk y 0 je i extrémem funkcionálu g(x, y, y dx n množině C z podmínky f(x, y, y dx = C}. Jestliže tedy víte, že řešením druhého uvedeného příkldu je kružnice, tj. mezi všemi rovinnými obrzci s dným obvodem má kruh největší obsh, pk víte, že mezi všemi rovinnými obrzci s dným obshem má kruh nejmenší obvod. 8