. STŘÍDAVÉ JEDNOFÁOVÉ OBVODY Příklad.: V elektrickém obvodě sestávajícím ze sériové kombinace rezistoru reálné cívky a kondenzátoru vypočítejte požadované veličiny určete také charakter obvodu a nakreslete fázorový diagram proudů a napětí naznačených ve schématu. Parametry reálné cívky vyjádříme pomocí indukčnosti a odporu. Skutečné schéma R R ( R ) R R Náhradní schéma R 5 Ω R 7 Ω 0 H 33 µf 4 V f 50 Hz rčit: R P Q S. Potřebujeme znát úhlovou frekvenci: ω π f π 50 345 rad s - Výsledný odpor sérioparalelní kombinace tří rezistorů v obvodě: nduktivní reaktance cívky: ω 345 0 34 Ω Kapacitní reaktance kondenzátoru : 6 96 46 Ω ω 34 5 33 0 reaktancí vypočítáme impedance jednotlivých prvků které budeme později potřebovat pro výpočty napětí na prvcích velikost impedance rezistoru se rovná jeho odporu a má reálný charakter (fázový posuv je 0 ): R R e j0 5 e j 0 Ω impedance reálné cívky: R + j (7 + j 34) Ω 3 e j 774 Ω velikost impedance ideálního kondenzátoru je rovna jeho reaktanci a má imaginární charakter (fázový posuv -90 ). -j -j 9646 Ω 9646 e -j 90 Ω. Dále vypočítáme výslednou impedanci spojení všech prvků: R + R + j ( - ) 5 + 7 + j (34-9646) ( - j 6504) Ω rčíme amplitudu (absolutní hodnotu) a fázový posun ψ a převedeme impedanci ze složkového tvaru na tvar exponenciální: Re{ } + m{ } + 65 04 68 66 m{ } 65 04 ψ arctg arctg 7 3 Re{ } Vypočítáme proud (nejdříve jeho - j 73 68 66 e velikost absolutní hodnotu): 4 68 66 0 3495 A pro jednoduchost výpočtu si zvolíme že počáteční fázový posuv proudu je 0 : 03495 e j 0 A Vypočítáme jednotlivá napětí (pro konečnou kontrolu výsledků i ve složkovém tvaru): R R 5 e j 0 03495 e j 0 5 03495 e j (0+-0) 54 e j 0 V 54 V 3 e j 774 03495 e j 0 3 03495 e j (774+0) 5 e j 774 V (45 + j 098) V 9646 e -j 90 03495 e j 0 9646 03495 e j (-90+0) 337 e -j 90 V -j 337 V elkové napětí 6866 e -j 73 03495 e j 0 4 e -j 73 V R
Kontrola vypočítaných napětí podle druhého Kirchhoffova zákona součet napětí na jednotlivých prvcích se musí rovnat napětí zdroje: R + + 54 + 45 + j 098 - j 337 (769 - j 73) V 4 e -j 73 V Kontrola vyšla výsledky jsou správně. Vypočítáme celkový fázový posuv v obvodě v tomto případě se rovná fázovému úhlu výsledné impedance: ψ -774 Kdybychom neznali fázový posuv výsledné impedance mohli bychom vypočítat fázový posuv z rozdílu fázového úhlu napětí a proudu: ψ -ψ -774-0 -774 Vypočítáme činný jalový a zdánlivý výkon: ω +j P cos() 4 03495 cos(- 774 ) 83 W Q sin() 4 03495 sin(- 774 ) -89 var R S 4 03495 8388 VA rčíme výsledný charakter obvodu. Obvod má odporově kapacitní charakter protože: - výsledný fázový posuv je záporný menší než 0 a větší než -90 - v obvodě je činný výkon větší než nula a záporný jalový výkon. Pro určení charakteru obvodu by nám stačila i jen jedna z těchto podmínek. Fázorový diagram : mm V mm 00 A + Příklad.. schéma zapojení svítidla Máme zářivkové svítidlo zapojené podle uvedeného schématu. Byly naměřeny uvedené hodnoty napětí a proudu. Předpokládejme že tlumivka (cívka s železným jádrem) je ideální indukčnost a zářivková trubice se chová jako ideální odpor R. rčete účiník [cos()] zářivkového svítidla a navrhněte kapacitu kompenzačního kondenzátoru K pro kompenzaci na účiník roven a vypočítejte proud odebíraný svítidlem po kompenzaci ( po připojení kondenzátoru K ) Poznámka: - V původním zapojení není kompenzační kondenzátor. - Startér funguje jako spínač který spíná pouze na krátkou dobu při zapnutí. Při chodu zářivky je rozepnutý takže se v náhradním schématu neuplatní. Napájecí síť: 9 V f 50 Hz Naměřené hodnoty: 05 A tl 9 V z 05 V. rčit: cos( ) účiník zářivkového svítidla bez kompenzace tlumivka K tl z zářivková trubice startér náhradní schéma obvodu K pro kompenzaci na účiník cos ( k ). kompenz. proud odebíraný svítidlem po kompenzaci K tl R z
Pro určení fázového posuvu mezi proudem a napětím nekompenzovaného svítidla vyjdeme z fázorového diagramu. Protože celým obvodem (bez kompenzačního kondenzátoru) prochází stejný proud zvolíme si že fázor proudu bude ležet v reálné ose. Fázorový diagram napětí a proudu v zářickovém svítidle bez kompenzace. (Pro určení cos() z naměřených hodnot proudu a napětí) fázorového diagramu vidíme že z cos z 05 arccos arccos 6 35 9 Pro potřebný jalový výkon kompenzačního kondenzátoru platí: Q P (tg - tg K ) S (sin - sin K ) kde: je fázový posuv před kompenzací K je požadovaný fázový posuv po kompenzaci Q (sin - sin K ) 9 05 {sin(635 )-sin(0 )} 980 var toho vypočítáme potřebnou kapacitu kompenzačního kondenzátoru: Q sin přičemž 90 zcela korektně -90 ale pro tento výpočet záporné znaménko zanedbáme. Potom: + j tl Q sin 98 0 9 0 4476 A z toho potom 489 3 Ω 9 0 4476 6 5 0 6 F 65 µ F ω ω π f π 50 489 3 Výpočet proudu po kompenzaci můžeme vypočítat například z napájecího napětí a činného výkonu protože tyto veličiny se kompenzací nezmění: P cos( ) cos( ) kompenz. k cos( ) cos( 6 35 ) kompenz. 0 5 0 4 A cos( k ) kompenz. Poměry v obvodě před a po kompenzaci znázorňuje fázorový diagram. Jak je vidět z výpočtu i z fázorového diagramu proud odebíraný ze sítě se při kompenzací podstatně zmenší. Poznámka: Pži řešení je možno také vycházet z rovnosti jalových výkonů kondenzátoru a obvodu před kompenzací. Tato rovnost platí za předpokladu nulového fázového úhlu(cos) po kompenzaci. Příklad.3. z mm 6 V mm 00 A + Máme jednofázové vedení délky l na jehož konci je odporově induktivní zátěž viz. schéma. Vypočítejte napětí na konci vedení a činný výkon zátěže. 40 V; f 50 Hz; k 03 Ω km - (induktivní reaktance kilometru vedení) S 50 mm (průřez vodiče vedení); ρ 7 0-8 Ω m (měrný odpor vodiče-hliník) l 8 km (délka vedení); R 8 Ω; 4 mh 3 +j Fázorový diagram napájecího napětí a proudů zářivkového svítidla před a po kompenzaci. mm 6 V mm 00 A +
rčit: P Pro určité typy elektrického vedení (průřez a V vzdálenost vodičů) se v tabulkách udává jejich induktivní reaktance na jeden kilometr délky pro R kmitočet 50 Hz celková induktivní reaktance se V R V určí: V l k 8 03 084 Ω Odpor jednoho vodiče vedení bude: l RV ρ 7 0 V 8 6 5 Ω Obr. Náhradní schéma obvodu S 50 0 (000 je tam kvůli přepočtu kilometrů na metry) Úhlová rychlost ω π f π 50 345 rad s - nduktivní reaktance zátěže ω 345 004 753 Ω. mpedance zátěže elková impedance: ( V V + R 7 53 + 8 0 99 Ω + ) + ( R + R ) ( 0 84 + 7 53) + ( 5 + 8) 4 36 40 Proud protékající vedením: 6 7 A 4 36 Napětí na konci vedení: 67 099 8364 V Výkon na zátěži P R 8 67 34 W Příklad.4. V R V Pro jednofázový spotřebič odporově induktivního charakteru s činným výkonem P a účiníkem cos navrhněte kompenzační kondenzátor pro kompenzaci na cos k. Napětí napájecí sítě je. Vypočítejte další požadované parametry kompenzačního kondenzátoru. adáno: P 0 kw cos 075 30 V f 50 Hz cos k 095 rčete: jalový výkon kompenzačního kondenzátoru Q kapacitu kompenzačního kondenzátoru maximální hodnotu napětí na kterou musí být kondenzátor dimenzován max proud procházející kondenzátorem. arccos(cos ) arccos (075) 44 k accos(cos k ) arccos (095) 89 Potřebný jalový výkon kompenzačního kondenzátoru vypočítáme ze vztahu: Q P [tg () - tg( k )] 0000 [tg(44 )-tg(89 )] 55333 var následujícího obecného vztahu pro jalový výkon určíme proud procházející kompenzačním kondenzátorem. (Pozn. fázový posuv u kondenzátoru je 90 sin ). Q 55333 Q sin( ) 406 A sin( ) 30 30 rčíme potřebnou kapacitní reaktanci kondenzátoru: 9 56 406 Úhlová rychlost napájecího napětí: ω π f π 50 345 rad s - reaktance určíme kapacitu kondenzátoru: 4
4 33 0 F 33 F ω ω 345 956 µ Příklad.5. Máme skutečnou cívku jejíž náhradní schéma si můžeme představit jako sériovou kombinaci odporu R a indukčnosti. K cívce byl nejprve připojen stejnosměrný zdroj s napětím av a v obvodě byl naměřen proud av pak střídavý zdroj s napětím a byl naměřen proud viz obrázek. rčete parametry náhradního schématu cívky. A av adáno: av V; av 3 A; 0 V; 5 A; fi 50 Hz rčete: R Při stejnosměrném napájení se v ustáleném stavu uplatní pouze činný odpor cívky: av R 9 3 Ω av 3 napětí a proudu při střídavém napájení vypočítáme impedanci cívky: 0 5 4 3Ω av A Dále platí: + R R 43 93 4 9 Vypočítáme úhlovou frekvenci: ω π f π 50 345 rad s - e známé induktivní reaktance cívky vypočítáme její indukčnost: 4 9 ω 0 3 H ω 34 5 R skutečná cívka 5