Matematická rozcvička pro KMA/MAT a KMA/MT Pro rozhýbání použijeme část podpůrných materiálů ke knize Sally Jordan, Shelagh Ross, and Pat Murphy: Maths for Science. Oxford University Press, 0. Začneme (velmi) opatrně Počítání se zápornými čísly Úloha Q..: Bez použití kalkulačky vypočtěte: (a) + ( 5) = 5 = (b) ( 5) = + 5 = 7 (c) ( 5) = 0 (d) ( ) ( 5) = 0 (e) ( ) ( 5) = + 5 = (f) ( 8) 4 = (g) 8 : ( 4) = (h) ( 8) + 4 = 4 (i) ( 0) : 5 = Úloha Q..: S použitím kalkulačky vypočtěte: (a) ( 76) + 678 = 94 (b) 56 ( 7) = 69 (c) ( 07) + ( 578) = 65 (d) ( 74) ( 5670) = 745 (e) 7 ( 67) = 9909 (f) ( 0748) : ( 76) = 7 Sčítání a odčítání zlomků Úloha Q..: Vypočtěte a výsledek převed te na co nejjednodušší zlomek: (a) + 5 = 5 + 5 (b) 5 = 5 5 (c) 7 + 5 = 4 5 (d) 7 = 4 = 4 5 = 4 5 (e) 4 8 = 8 = 5 8 (f) 4 + 0 = 0 5 + 0 = 0
Násobení zlomků Úloha Q..4: Vypočtěte a výsledek převed te na co nejjednodušší zlomek: (a) 7 6 = 7 6 = (b) 5 8 = 0 4 = 5 (c) 5 4 = 6 60 = 0 Dělení zlomků Úloha Q..5: Vypočtěte a výsledek převed te na co nejjednodušší zlomek: (a) 4 : 7 = 4 7 = 7 8 = 4 (b) 8 : 5 = 8 5 = 40 (c) : 5 = 5 = 5 (d) : 9 = 9 = 8 6 = (e) /5 6/5 = 5 5 6 = 0 90 = 9 Počítání s procenty Úloha Q..6: Následující procenta převed te na co nejjednodušší zlomky: (a) 5% = 5 00 = 0 (b) 60% = 60 00 = 5 (c) 64% = 64 00 = 6 5 (d) 69% = 69 00 Úloha Q..7: Následující zlomky převed te na procenta: (a) 7 0 = 70 00 = 70% (b) 5 = 5 00 = 5% (c) = 50 00 = 50% (d) 6 = 0,85 = 8,5% Úloha Q..8: Vyčíslete následující podíly: (a) 5 8 z 64 = 5 64 = 5 8 = 40 8 (b) 5 z 90 = 5 90 = 5 0 = 50 (c) % z 500 = 500 = 45 00 (d) 95% z 50 = 95 00 50 = 95 = 47,5
Mocniny Úloha Q..4: Bez použití kalkulačky vypočtěte: (a) 6 0 = (b) 0 = 000 = 0,00 (c) 6 = 6 = 6 (d) 4 = 6 (e) = = 0,5 (g) = 8 (h) = 9 (i) 5 = 5 = 0, (j) 5 = 5 = 0,04 (k) 5 0 = = (f) = Zkontrolujte, zda stejné výsledky obdržíte i na kalkulačce. Násobení a dělení s mocninami Úloha Q..5: Následující výrazy zjednodušte na co nejjednodušší mocniny: (a) 6 7 : 6 = 67 6 = 67 = 6 4 (b) 6 = 6+ = 9 (d) 0 8 0 9 = 0 8+( 9) = 0 7 (e) 0 4 : 0 7 = 0 4 ( 7) = 0 (c) 08 0 4 = 08 4 = 0 4 (f) 0 0 0 = 0 + ( ) = 0 5 Úloha Q..6: S použitím kalkulačky vypočtěte: (a) 5 = 944 (b) 4 = 648 (c) 4 + 4 4 = 0 (d) 4 4 4 = 684 Úloha Q..7: Následující výrazy zjednodušte na co nejjednodušší mocniny: (a) ( 8 ) 9 = 4 9 = 8 (b) 90 = ( ) 0 = 0 0 0 Mocniny mocnin 0 = 0 (c) 4 = 4 4 = 4 = 4 Úloha Q..8: Následující výrazy zjednodušte na co nejjednodušší mocniny:
(a) ( 5 ) 4 = 5 4 = 5 8 (b) ( 6 ) 6 = 6 ( 6) = 6 6 (c) ( 5 ) = 5 6 (d) ( 5 ) = 5 6 (e) ( 5 9) = 5 9 (f) ( 0 ) = 0 6 (g) ( 0 ) = 0 9 (h) ( ) = (i) ( 5 4) = 5 4 (j) ( ) 0 = 0 ( 0) = 0 0 0 Úloha Q..9: Následující výrazy zjednodušte na co nejjednodušší mocniny: (a) ( 0 0 5) = 0 (+5) = 0 6 (c) ( ) 7 6 5 = 7 (6 ) 5 = 7 0 (b) 7 ( ) 4 = 8 Odmocniny a mocniny s racionálními exponenty (podíl celého a přirozeného čísla) Úloha Q..0: Bez použití kalkulačky vypočtěte (při výpočtech je dobré si uvědomit, že = 8, 4 = 6, 5 =, = 7, 4 = 64, 5 = 5, 9 = 8, 0 = 00, 0 = 000): (a) 00 = 00 = 0 (b) 5 = 5 = 5 (c) 6 = 6 = 6 (d) 6 4 = 4 6 = (e) 5 = 5 = (f) 9 = 9 = (g) 8 = 8 = 9 (h) 8 = 8 = (i) 7 = 7 = (j) 0,5 = 5 00 = 5 00 = 5 0 = Zkontrolujte, zda stejné výsledky obdržíte i na kalkulačce. Úloha Q..: Následující výrazy zjednodušte na co nejjednodušší mocniny: (a) ( 0 ) 0 = 0 0 = 0 0 (c) ( 0 0) 5 = 0 (b) ( 0 ) = 0 = 0 (d) ( ) = = 4
(e) ( 6 9) = 6 (f) ( π ) 4 = π 4 = π (g) 8 = 8 = 4 (h) (08 ) ( ) 9 = 0 8 9 = 0 = 0 0 (i) ( 0 ) 7 ( 0 9 ) = 0 7+9 = 0 8 Úloha Q..: Bez použití kalkulačky vyčíslete následující výrazy (při výpočtech je dobré si uvědomit, že = 8, 4 = 6, 5 =, = 7, 4 = 64, 5 = 5, 9 = 8, 0 = 00, 0 = 000): (a) 9 = ( ) = = 7 (b) 6 5 4 = ( 4 ) 5 4 = 5 = (c) 00 = 0 (d) 00 = 0 ( ) = 0 = 0,00 (e) 4 5 = 5 = (f) 5 = = 4 (g) 5 = = 0,5 (h) 9 = (i) 4 = 8 = 0,5 (j) 5 = 5 = 0,04 (k) 0,5 = ( 4 ) = = 0,5 Zkontrolujte, zda stejné výsledky obdržíte i na kalkulačce. Správné pořadí operací Úloha Q..: Bez použití kalkulačky vypočtěte (dejte pozor na správné pořadí operací): (a) 4 + 7 = 8 + = 9 (b) ( + 4)( ) = 6 = (c) = (d) ( + 5) = 49 (e) (6 ) = 4 (f) 6 = 8 (g) (5 5 ) = 0 (h) ( + ) = 4 (i) 4 + 4 = Úpravy algebraických výrazů Úpravy rovnic Úloha Q.5.: 5
(a) Z rovnice h = g vyjádřete g. g = h (b) Z rovnice c = ba vyjádřete a. a = c b, b 0 (f) Z rovnice h = f g f = hg (g) Z rovnice h = f g g = fh, h 0 vyjádřete f. vyjádřete g. (c) Z rovnice g = f + h vyjádřete f. f = g h (d) Z rovnice a = b 4 vyjádřete b. b = a + 4 (e) Z rovnice C = πr vyjádřete r. r = C π (h) Z rovnice a = b vyjádřete b. b = a (i) Z rovnice a = b vyjádřete a. a = b, b 0 Úloha Q.5.: (a) Z rovnice c = d vyjádřete d. d = c (b) Z rovnice q = mc T vyjádřete c. c = q m T, m, T 0 (c) Z rovnice Eg = mg h vyjádřete h. h = E m, m, g 0 (d) Z rovnice a = b+c+d+e vyjádřete d. d = a b c e (e) Z rovnice d = bcf vyjádřete c. g c = dg bf, b, f 0 (f) Z rovnice d = bcf vyjádřete g. g g = bcf d, d 0 (g) Z rovnice a = bc vyjádřete d. de d = bc ae, a 0 6
Úloha Q.5.: (a) Z rovnice h = gk f vyjádřete f. f = gk h (b) Z rovnice h = gk f vyjádřete g. g = h + f, k 0 k (c) Z rovnice h = fg vyjádřete f. f = hg, g 0 (e) Z rovnice V = 4 πr vyjádřete r. r = 4 V π (f) Z rovnice h = d = fgh d fg vyjádřete d. (d) Z rovnice A = πr vyjádřete r. A r = π Úloha Q.5.4: (g) Z rovnice a = b cd d = b 4ca, a 0 vyjádřete d. (a) Z rovnice C = 5 (F ) 9 vyjádřete F. F = 9C + 5 (b) Z rovnice v = u + as vyjádřete a. a = v u s (c) Z rovnice v = u + as vyjádřete u. u = v as, v as 0 (e) Z rovnice F el = vyjádřete r. r = 4πǫ 0 4πǫ 0 qq F el, F el 0, (f) Z rovnice v p = vyjádřete ρ. ρ = k + 4µ, v vp p 0 q q r k + 4µ ρ q q 0 4πǫ 0 F el (d) Z rovnice F el = 4πǫ 0 vyjádřete q. q = 4πǫ 0r, q 0 q q q r (g) Z rovnice v p = vyjádřete µ. µ = 4 (ρv p k) k + 4µ ρ 7
Zjednodušování rovnic Úloha Q.5.9: Zjednodušte následující výrazy: (a) h ν λ = hν λ (b) ab c : b = a c (c) ab c : b = ab c (d) ab c b a = b c (e) b a + c a = b + c a (f) a b + b 4π (g) = 4πa + b 4πb (g + ) g h (h + ) = g + g h + h (h) b + c (c + d) a a (i) (j) = 4b d a π h (h + ) π h (h + ) = 4π h h + h + π h (h + ) : π h (h + ) = h + h + Úloha Q.5.0: Přepište následující výrazy tak, že se zbavíte závorek (většinou násobením) a výsledky co nejvíce zjednodušíte: (a) a(a + 5) = 6a + 0a (b) (4b 5) = 5 4b (c) (a )(a + ) = a + a 6 (d) (a )(a 7) = a a + 4 (e) (a + ) = 4a + a + 9 (f) (a+b)(a+c) = a +6ac+ab+ bc (g) (s )(s + ) = s 4 (h) c(c + ) + c + = c + c + (i) (b ) (b + )(b ) = 0 (j) (g )(g + g + ) = g Úloha Q.5.: Následující výrazy převed te na součin: (a) a a = a(a ) (b) b + 6b = b(b + ) (c) 4 πr + πr h = πr ( 4 r + h ) Úloha Q.5.: Z rovnice V = π r h + πr h vyjádřete r a výsledek co nejvíce zjednodušte. V = ( ) h + h πr, r V = ( h ), + h π V r = ( h ), + h h + h 0 π 8
Úloha Q.5.: S využitím výsledků z Q.5.0 nalezněte řešení následujících kvadratických rovnic: (a) 6a + 0a = 0 a(a + 5) = 0, a = 0, a = 5 (b) a + a 6 = 0 a =, a = (c) a a + 4 = 0 a =, a = 7 (d) 4a + a + 9 = 0 a = a = Úloha Q.5.4: S využitím vzorce vyřešte následující kvadratické rovnice: (a) x + 6x + 9 = 0 D = 6 4 9 = 0, a, = 6± 0 = (b) x 6x + 5 = 0 D = ( 6) 4 5 = 6, 5 a, = 6± 6 = (c) x 5x 6 = 0 D = ( 5) 4 ( 6) = 49, 6 a, = 5± 49 = (d) x 5x = 0 D = ( 5) 4 ( 5) = 49, a, = 5± 49 = Kombinování rovnic Úloha Q.5.5: (a) Zkombinujte rovnice a = ω r a ν = ωr tak, abyste dostali rovnici pro r, která neobsahuje ω. ω = ν r, a = ν r r, r = ν a, a, r 0 (b) Zkombinujte rovnice F x = ma x a ν x = u x + a x t tak, abyste dostali rovnici pro F x, která neobsahuje a x. F x = ν x u x, m, t 0 t (c) Zkombinujte rovnice E = mc T a E = mg h tak, abyste dostali rovnici pro c, která neobsahuje E. c = g h, m, T 0 T 9
Úloha Q.5.6: (a) Zkombinujte rovnice m = n p a p = s tak, abyste dostali rovnici pro r, která r neobsahuje p. r = ms n, n 0 (b) Zkombinujte rovnice a = bcd a e = ct tak, abyste dostali rovnici pro d, která neobsahuje c. d = at be, b, e, t 0 n (c) Zkombinujte rovnice m = p a p = 9a tak, abyste dostali rovnici pro n, n která neobsahuje p. n = a m, a 0 Úloha Q.5.7: (a) Zkombinujte rovnice b = a c a d = ce tak, abyste dostali rovnici pro a, která neobsahuje c. a = bd e, b, e 0 (b) Pokud v předchozích dvou rovnicích je a měřeno v newtonech, b v kilogramech a d v metrech, v jakých jednotkách, vyjádřených jen pomocí základních jednotek SI (metr, kilogram, sekunda, ampér, kelvin, mol, kandela) je potom veličina e? (Nápověda: nejprve si pomocí základních jednotek SI vyjádřete odvozenou jednotku newton.) e = bd a, e = kg m N = kg m kg m s = s, e = s 0