Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku doby jeho čekání na odjezd ze zastávky. b) Prodejna očekává dodávku nového zboží v určitý konkrétní den v době od 8 do 10 hodin. Uskutečnění dodávky je možné kdykoliv v tomto časovém intervalu. Určete pravděpodobnost, že zboží bude oddáno v době od půl deváté do tři čtvrtě na devět. c) Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení v intervalu (, 6). Vypočítejte: a. E(X + 3) b. E(X 5X + ) c. var(6x 7) d. var(x ) Řešení 1a Doba čekání na odjezd X je náhodná veličina se spojitým rovnoměrným rozdělením v intervalu (0, 5). Podle teorie je střední hodnota a rozptyl EX = 0 + 5 = 5 =,50 Odtud směrodatná odchylka je var X = (5 0) 1 = 5 1 = 5 1 =,08333 var X =,08333 = 1,3376 Řešení 1b Náhodná veličina X představuje okamžik dodávky zboží v intervalu hodin od 8 do 10. Tato náhodná veličina má spojité rovnoměrné rozdělení v intervalu (8, 10). Pravděpodobnostní funkce této náhodné veličiny je 1 8 x 10 f(x) = { 0 jinde Odtud pravděpodobnost doručení zboží v době od půl deváté do tři čtvrtě na devět je 8,75 P(8,50 < X < 8,75) = 1 dx = [ 1 x] 8,50 8,50 8,75 = 1 8,75 1 8,75 8,50 8,50 = = 0,5 = 0,15 Řešení 1c Máme náhodnou veličinu X s rovnoměrným rozdělením v intervalu (, 6). Podle teorie obecně platí E(a + b X) = a + b EX var(a + b X) = b var X var X = EX (EX) V našem konkrétním příkladu tedy platí: d b 1
EX = + 6 = 8 = (6 ) var X = = 1 1 = 16 1 = 3 = 1,33333 Naše náhodná veličina má pravděpodobnostní funkci (jde o rovnoměrné rozdělení na intervalu (, 6)) 1 f(x) = { x 6 0 jinde Nyní můžeme vyhodnotit dané výrazy: a) E(X + 3) = EX + 3 = + 3 = 11 b) E(X 5X + ) = EX 5 EX + = 5 3 5 + = 08 3 60 3 + 6 3 = 15 3 c) d) var(6x 7) = 6 var X = 36 = 1 = 8 3 var(x ) = E(X ) (E(X )) = EX (E(X )) = 1936 5 (5 3 ) = 1936 5 70 9 = 9 1936 5 9 5 70 5 9 = 17 5 1350 17 1350 = = 390 5 5 5 Poznámka Výraz EX n se nazývá n-tý moment náhodné veličiny X s hustotou pravděpodobnosti f(x). Počítá se obecně takto: V našich příkladech jsme konkrétně potřebovali EX n = x n f(x) dx EX = x f(x) dx = x 1 dx = 1 x 6 = 1 08 3 = 5 3 EX = x f(x) dx = x 1 dx = 1 x 6 6 6 dx = 1 6 [x3 3 ] 1 = (63 3 3 3 ) = 1 (16 3 8 3 ) dx = 1 6 [x5 5 ] 1 = (65 5 5 5 ) = 1 (7776 5 3 3 ) = 1 77 = 1936 5 5 Hodnotu EX bylo možné odvodit i jinak z jednoho vzorce pro vlastnosti charakteristik náhodné veličiny. d b
Příklad a) Výrobní zařízení má poruchu v průměru jednou za 000 hodin. Předpokládejme, že doba čekání na poruchu je náhodná veličina s exponenciálním rozdělením. Stanovte hodnotu t tak, aby pravděpodobnost, že přístroj bude pracovat delší dobu než t, byla 0,99. b) Životnost jistého výrobku se řídí exponenciálním rozdělením se střední hodnotou 3 roky. Jak dlouhou záruční dobu poskytne výrobce zákazníkům, jestliže požaduje, aby relativní četnost výrobků, které během záruční doby přestanou plnit svou funkci, byla v průměru 0,1? c) Stanovte střední dobu obsluhy v prodejně, víte-li, že pravděpodobnost obsloužení v době kratší než minuty je 0,59. Přitom předpokládejte, že doba obsluhy má exponenciální rozdělení s A = 1 minuta. d) Náhodná veličina X má exponenciální rozdělení se střední hodnotou 5 a rozptylem 5. Jaká je pravděpodobnost, že tato veličina bude mít hodnotu z intervalu (5, 15)? Řešení a Podle zadání úlohy má platit P(X > t) = 0,99 To můžeme upravit pomocí pravděpodobnosti doplňkového jevu využitím distribuční funkce takto: P(X > t) = 1 P(X < t) = 1 F(t) = 0,99 Odtud F(t) = 0,01 Z definice exponenciálního rozdělení dostáváme 1 e λt = 0,01 Přitom pro parametr exponenciálního rozdělení platí dle zadání (jde o převrácenou hodnotu střední doby čekání na událost) λ = 1 000 Tedy 1 e 1 000 t = 0,01 Rovnici vyřešíme postupně v několika krocích e 1 000 t = 1 0,01 = 0,99 ln e 1 000 t = ln 0,99 1 t ln e = ln 0,99 000 1 t 1 = ln 0,99 000 1 t = ln 0,99 000 t = 000 ln 0,99 t 000 ( 0,010050336) = 0,10067171 d b 3
Řešení b Označíme-li hledanou záruční dobu jako x, pak podle definice exponenciálního rozdělení pro jeho parametr (převrácená hodnota střední doby čekání na událost) a následně i distribuční funkci dle zadání úlohy platí λ = 1 3 F(x) = 1 e 1 3 x = 0,1 Rovnici vyřešíme postupně v několika krocích 1 e 1 3 x = 0,1 e 1 3 x = 1 0,1 e 1 3 x = 0,9 ln e 1 3 x = ln 0,9 1 x ln e = ln 0,9 3 1 x 1 = ln 0,9 3 1 x = ln 0,9 3 x = 3 ln 0,9 x 3 ( 0,105360516) = 0,31608157 Řešení c Dle zadání úlohy máme dobu obsluhy v prodejně s exponenciálním rozdělením. Víme, že pravděpodobnost obsloužení v době kratší než minuty je 0,59. Distribuční funkce exponenciálního rozdělení je x F X (x) = f(t)dt Pro nás je z hlediska dalšího výpočtu důležité = { 1 e λx pro x 0 0 pro x < 0 F X (x) = 1 e λx Ze zadání víme, že F X () = 0,59 Po dosazení dostáváme a postupně řešíme rovnici pro parametr exponenciálního rozdělení 1 e λ = 0,59 e λ = 1 0,59 e λ = 0,708 ln e λ = ln 0,708 λ ln e = ln 0,708 λ 1 = ln 0,708 λ = ln 0,708 λ = 1 ln 0,708 λ 1 ( 0,3000596) = 0,07500619 d b
Z teorie víme, že pro střední hodnotu platí EX = 1 λ Po dosazení dostaneme 1 EX 0,07500619 13,3308 Střední doba obsluhy je tedy přibližně 13,33 minuty. Řešení d Ze zadání víme, že náhodná veličina X má exponenciální rozdělení a platí pro ni EX = 5, var X = 5 Podle teorie platí EX = 1 λ, var X = 1 λ Odtud snadno určíme parametr exponenciálního rozdělení λ = 1 5 Distribuční funkce v našem konkrétním případu tedy je F X (x) = { 1 e 1 5 x pro x 0 0 pro x < 0 Máme vypočítat pravděpodobnost P(5 X 15) = F(15) F(5) Dosadíme a upravíme P(5 X 15) = (1 e 1 5 15 ) (1 e 1 5 5 ) = (1 e 3 ) (1 e 1 ) = 1 e 3 1 + e 1 = e 3 + e 1 0,09787068 + 0,3678791 = 0,31809373 d b 5
Příklad 3 a) Jaká je pravděpodobnost, že náhodná veličina X s rozdělením N(0; 1) bude mít hodnotu: a. menší než 1,6, b. větší než -1,6, c. v intervalu od -1,96 do 1,96, d. větší než,33, e. menší než -,33? b) Jaká je pravděpodobnost, že náhodná veličina X s rozdělením N(0; 16) bude mít hodnotu: a. menší než 16, b. větší než 0, c. v intervalu od 1 do 8, d. menší než 1 nebo větší než 8? c) Pro náhodnou veličinu X s rozdělením N(μ; ) platí P(X < 85) = 0,90 a P(X < 95) = 0,95. Určete hodnoty μ a. d) Náhodná veličina X s rozdělením N(0,; 0,6) představuje chybu měření. Vypočtěte: a. pravděpodobnost, že absolutní hodnota veličiny X bude menší než 1,0, b. horní hranici chyby měření, které se můžeme dopustit s pravděpodobností 0,95. e) Při kontrole se přijímají všechny stromky téhož stáří a druhu určené k prodeji, jejichž výška přesahuje 77 cm. Bylo zjištěno, že střední výška stromků je 75 cm a směrodatná odchylka je 5 cm. Předpokládáme, že výška stromků téhož stáří a druhu určených k prodeji má přibližně normální rozdělení. Určete: a. Pravděpodobnost, že stromek, který prošel kontrolou, je větší než 80 cm, b. Kolik stromků větších než 80 cm můžeme očekávat, je-li kontrolou přijato 1000 kusů. f) Pevnost v tahu dané příze má přibližně rozdělení N(μ; ). Každá špulka příze je před expedicí testována a ta špulka, jejíž příze měla pevnost v tahu větší než μ, je označena jako špulka s velmi kvalitní přízí. Určete: a. pravděpodobnost zhotovení velmi kvalitní příze, b. střední hodnotu a rozptyl pevnosti v tahu pro velmi kvalitní příze. g) Měřicí přístroj je zatížen náhodnými chybami s normálním rozdělením N(0; 16). Určete, kolikrát je třeba změřit předmět, aby se aritmetický průměr všech měření neodchyloval s pravděpodobností 0,955 od správné hodnoty o více než 1 v obou směrech. h) Bylo provedeno 15 nezávislých měření za stejných podmínek. Předpokládáme, že každé měření je ovlivněno pouze náhodnou chybou, která může s pravděpodobností 0,5 nabývat kladné nebo záporné hodnoty. Určete pravděpodobnost, že se objeví a) 7 záporných chyb, b) méně než 3 záporné chyby, c) alespoň 5 kladných chyb. i) V 1 l vody bylo zjištěno průměrně 1 zrnek nečistot. Určete pravděpodobnost, že v 1 l vody budou nejvýše 3 zrna nečistot. j) Náhodná veličina X má rozdělení N(1, 9). Vypočtěte pravděpodobnost toho, že a) nabude hodnot z intervalu 1, 3, b) nabude hodnot z intervalu (5, 6), c) překročí hodnotu. d b 6
k) V závodě jsou vyráběny výrobky, jejichž rozměry mají náhodné odchylky od normou stanovených hodnot. Tyto odchylky jsou rozděleny normálně se směrodatnou odchylkou = 5 [mm] a střední hodnotou μ = 0 [mm]. a) Vypočítejte, kolik procent výrobků bude průměrně zařazeno do vyšší jakostní třídy, jestliže do této třídy se zařazují výrobky s odchylkou rozměrů menší než 3 mm. b) Za jakou horní hranici odchylek se lze zaručit s pravděpodobností 0,90? l) Měřením pevnosti ocelových drátů byla vypočtena střední hodnota 37 MPa a směrodatná odchylka 1,5 MPa. Kolik drátů s pevností od 380 do 10 MPa můžeme průměrně očekávat ve výrobě 00 kusů, víme-li, že pevnost ocelových drátů je náhodná veličina s normálním rozdělením? Řešení 3a Zadaná náhodná veličina X má normované normální rozdělení N(0; 1). Požadované pravděpodobnosti zjistíme snadno pomocí statistické tabulky distribuční funkce normovaného normálního rozdělení. Distribuční funkce normovaného normálního rozdělení se obvykle značí Φ(x).V této tabulce přímo vyhledáme potřebné hodnoty. Pokud v ní nejsou potřebné hodnoty přímo uvedeny, dopočítáme je z dvou okolních hodnot lineární interpolací takto: Φ(x) = Φ(x n ) + (x x n ) Φ(x v) Φ(x n ) x v x n Tedy: a) menší než 1,6 počítáme lineární interpolací hodnot z tabulky P(X < 1,6) = Φ(1,6) Φ(1,60) + (1,6 1,60) 0,955 0,95 0,95 + 0,0 1,70 1,60 Φ(1,70) Φ(1,60) 1,70 1,60 = 0,95 + 0,0 0,010 0,1 = = 0,95 + 0,0 0,10 = 0,95 + 0,0008 = 0,998 b) větší než -1,6 = počítáme s využitím symetričnosti normovaného normálního rozdělení a pravděpodobnosti doplňkového jevu P(X > 1,6) = 1 Φ( 1,6) = 1 (1 Φ(1,6)) = 1 1 + Φ(1,6) = Φ(1,6) 0,998 c) v intervalu od -1,96 do 1,96 počítáme s využitím výše uvedených principů P( 1,96 < X < 1,96) = Φ(1,96) Φ( 1,96) = Φ(1,96) (1 Φ(1,96)) = Φ(1,96) 1 + Φ(1,96) = Φ(1,96) 1 Φ(,00) Φ(1,90) = [Φ(1,90) + (1,96 1,90) ] 1,00 1,90 0,977 0,9713 = [0,9713 + 0,06 ] 1 0,10 = [0,9713 + 0,06 0,0059 ] 1 = [0,9713 + 0,06 0,059] 1 0,10 = [0,9713 + 0,0035] 1 = 0,978 1 = 1,9968 1 = 0,9968 d) větší než,33 počítáme pomocí pravděpodobnosti doplňkového jevu d b 7
P(X >,33) = 1 P(X <,33) = 1 Φ(,33) Φ(,0) Φ(,30) = 1 [Φ(,30) + (,33,30) ],0,30 0,9918 0,9893 = 1 [0,9893 + 0,03 ] = 1 [0,9893 + 0,03 0,005 0,10 0,10 ] = 1 [0,9893 + 0,03 0,05] = 1 [0,9893 + 0,00075] = 1 0,99005 = 0,00995 e) menší než -,33 počítáme opět s použitím výše uvedených principů P(X <,33) = Φ(,33) = 1 Φ(,33) = 1 0,99005 = 0,00995 Řešení 3b Máme náhodnou veličinu X s rozdělením N(0; 16). Pro další výpočty si transformujeme X na normovanou veličinu Z pomocí vztahů z teorie. X~N(μ, X μ ) Z = ~N(0,1) x μ μ x μ μ P(X < x) = P (Z < ) = P (X < ) = Φ (x ) b μ a μ P(a < X < b) = P(X < b) P(X < a) = P (Z < ) P (Z < ) X μ b μ μ a μ μ μ = P ( < ) P (X < ) = Φ (b ) Φ (a ) Distribuční funkce Φ pak je distribuční funkcí normovaného normálního rozdělení. Můžeme tedy využívat příslušnou tabulku pro vyhledání potřebných hodnot v následujících výpočtech. Ze zadání úlohy víme: μ = 0, = 16, = Tyto hodnoty využijeme v transformačním výrazu. Máme zjistit pravděpodobnost, že X bude: a) menší než 16, 16 0 16 0 P(X < 16) = P (Z < ) = Φ ( ) = Φ ( ) = Φ( 1) = 1 Φ(1) 1 0,813 = 0,1587 b) větší než 0, 0 0 0 0 P(X > 0) = P (Z > ) = 1 Φ ( ) = 1 Φ ( 0 ) = 1 Φ(0) = 1 0,5000 = 0,5000 c) v intervalu od 1 do 8, 1 0 8 0 8 0 1 0 P(1 < X < 8) = P ( < Z < ) = Φ ( ) Φ ( ) = Φ ( 8 ) Φ ( 8) = Φ() Φ( ) = Φ() (1 Φ()) = Φ() 1 + Φ() = Φ() 1 0977 1 = 1,95 1 = 0,95 d) menší než 1 nebo větší než 8? P(X < 1 X > 8) = 1 P(1 < X < 8) = 1 0,95 = 0,056 V tomto řešení jsme s výhodou využili pravděpodobnost doplňkového jevu. d b 8
Řešení 3c Máme náhodnou veličinu X s rozdělením N(μ; ) takovou, že P(X < 85) = 0,90 a P(X < 95) = 0,95. Máme určit hodnoty μ a. Využijeme transformace do normovaného normálního rozdělení a dostaneme z obou rovnic 85 μ μ P(X < 85) = P (Z < ) = Φ (85 ) = 0,90 95 μ μ P(X < 95) = P (Z < ) = Φ (95 ) = 0,95 V tabulce distribuční funkce normovaného normálního rozdělení nalezneme Φ(1,0) = 0,889 Φ(1,30) = 0,903 Φ(1,60) = 0,95 Φ(1,70) = 0,955 Pomocí lineární interpolace těchto hodnot nalezneme x 1, x tak, že Φ(x 1 ) = 0,90, Φ(x ) = 0,95 Pro tuto lineární aproximaci platí stejný vztah, jako v úloze 3a. Jen ho nyní použijeme v jistém smyslu opačně. Dostaneme Φ(1,851366) = 0,90, Φ(1,670588) = 0,95 Odtud 85 μ 95 μ = 1,851366, = 1,670588 Tuto soustavu rovnic budeme řešit 85 μ = 1,851366, 95 μ = 1,670588 Od druhé rovnice odečteme první rovnici, dostaneme 10 = 0,365516 Odtud = 7,31361 Dosadíme do první rovnice a dostaneme μ = 85 1,851366 7,31361 = 85 35,181011 = 9,81879886 Vypočteme rozptyl = 7,31361 = 75,80986 Daná náhodná veličina X má tedy rozdělení N(9,81879886; 75,80986). Řešení 3d Máme náhodnou veličinu X s rozdělením N(0,; 0,6) představující chybu měření. Transformace této náhodné veličiny do normovaného normálního rozdělení má tvar X 0, Z = 0,8 Máme vypočítat: a) pravděpodobnost, že absolutní hodnota veličiny X bude menší než 1,0, neboli 1 0, P(X < 1 ) = P( 1 < X < 1) = P ( < Z < 1 0, 0,8 ) = P ( 1, < Z < 0,8 0,8 0,8 0,8 ) = P( 1,5 < Z < 1) = Φ(1) Φ( 1,5) = 0,813 0,0668 = 0,775 b) horní hranici chyby měření, které se můžeme dopustit s pravděpodobností 0,95, neboli máme najít hodnotu, která s pravděpodobností 0,95 nebude překročena. To je taková hodnota, pro kterou platí d b 9
x 0, 0, P(X < x) = P (Z < ) = Φ (x 0,8 0,8 ) = 0,95 Z tabulky kvantilů normovaného normálního rozdělení nebo o něco pracněji z tabulky distribuční funkce téhož rozdělení dostaneme Φ(1,65) = 0,95 Odtud dostáváme rovnici, kterou vyřešíme x 0, = 1,65 0,8 x 0, = 1,65 0,8 x = 1,65 0,8 + 0, = 1,316 + 0, = 1,516 Řešení 3e a) Označme jev A projití stromku kontrolou a jev B skutečnost, že je vyšší než 80 cm. Pak pravděpodobnosti těchto jevů jsou (využijeme transformaci na normovaný tvar) 77 75 P(A) = P(X > 77) = P (Z > ) = P (Z > 5 5 ) = 1 P (Z < ) = 1 P(Z < 0,) 5 = 1 Φ(0,) 1 0,655 = 0,36 80 75 P(B) = P(X > 80) = P (Z > ) = P (Z > 5 5 5 ) = 1 P (Z < 5 ) = 1 P(Z < 1) 5 = 1 Φ(1) 1 0,813 = 0,1587 Pro vyřešení daného úkolu stanovíme podmíněnou pravděpodobnost s tím, že je zřejmé, že všechny stromky nad 80 cm jsou podmnožinou všech stromků nad 77 cm. P(A B) P(B A) = = P(B) P(X > 80) = P(A) P(A) P(X > 77) 0,1587 0,36 = 0,6053395 b) Nyní uvažujme jako náhodnou veličinu počet stromků vyšších než 80 cm ve výběru 1000 stromků. V tomto případě nejde o spojitý případ, ale o případ diskrétní. Tato veličina má binomické rozdělení Bi(0,60; 1000). Parametr počtu je dán v zadání úlohy a parametr pravděpodobnosti jsme vypočítali v předchozím podúkolu. Zbývá určit, kolik stromků vyšších než 80 cm můžeme očekávat ve výběru 1000 stromků. Jde tedy o to, určit střední hodnotu. Ta je pro toto rozdělení podle teorie rovna EZ = n p = 1000 0,60 = 60 Řešení 3f Máme náhodnou veličinu X s rozdělením N(μ; ). a) Pravděpodobnost zhotovení velmi kvalitního výrobku znamená, že naše náhodná veličina bude mít hodnotu větší než μ, neboli při znormování μ μ P(X > μ) = P (Z > ) = P (Z > 0 ) = P(Z > 0) = 1 P(Z < 0) = 1 Φ(0) = 1 0,5000 = 0,5000 b) Nyní budeme uvažovat náhodnou veličinu Y představující pevnost v tahu velmi kvalitních výrobků. Je-li F X (x) distribuční funkce veličiny X, pak distribuční funkce F Y (x) veličiny Y, je rovna pro x > μ F Y (x) = F X(x) F X (μ) = F X(x) 0,5 = F X(x) 0,5 1 F X (μ) 1 0,5 0,5 Odtud hustota pravděpodobnosti je d b 10
f Y (x) = { f X(x) = π 1 e (x μ ) x > μ 0 jinde Jde o normální rozdělení s useknutou levou polovinou a zdvojnásobenou pravou polovinou. Střední hodnota (první moment) potom je Pro druhý moment platí EY = x π e EY = x π e μ μ 1 (x μ ) 1 (x μ ) Odtud můžeme odvodit rozptyl podle známého vzorce var Y = EY (EY) Dosadíme a upravíme dx = π + μ dx = + μ π + μ var Y = + μ π + μ ( π + μ) = + μ π + μ π μ π μ = π = (1 π ) Řešení 3g Výsledky jednotlivých měření jsou náhodné jevy označené postupně X i, pro i = 1,,, n. Všechna tato měření mají stejné rozdělení N(μ, ). Náhodnou veličinou X je aritmetický průměr výsledků těchto jednotlivých měření. Náhodná veličina X má rozdělení n X = 1 n X i N (0; 16 n ) Naším úkolem je najít takové číslo n, aby pro náhodnou veličinu X byla splněna podmínka P( 1 < X < 1) = 0,955 Transformujeme do normovaného tvaru P( 1 < X < 1) = P ( 1 0 n = Φ ( n Řešíme poslední rovnici postupnými úpravami i=1 < Z < 1 0 ) = P ( n n < Z < n n ) = Φ ( n) Φ ( ) ) (1 Φ ( n)) = Φ ( n) 1 + Φ ( n) = Φ ( n ) 1 = 0,955 Φ ( n ) 1 = 0,955 Φ ( n ) = 0,955 + 1 d b 11
Φ ( n ) = 0,955 + 1 = 1,955 = 0,9775 Z tabulky normovaného normálního rozdělení dostaneme Postupně upravíme n = n = = 8 n = 8 = 6 Řešení 3h Náhodná veličina X bude vyjadřovat počet záporných odchylek popsaného měření. Je zcela zřejmé, že X je diskrétní (máme 15 nezávislých měření dávajících pouhé dvě hodnoty kladná nebo záporná odchylka, obě s pravděpodobností 0,5). Z toho je zřejmé že X má binomické rozdělení, neboli X~Bi(15; 0,5). V tomto případě pro pravděpodobnostní funkci platí q(x) = ( 15 x ) 0,5x (1 0,5) 15 x Tento vztah použijeme pro výpočet jednotlivých úloh. Aritmetické výpočty dle uvedeného vzorce svěříme MS Excel, výsledky budeme prezentovat na 7 desetinných míst. Pravděpodobnost 7 záporných chyb dostaneme přímo P(X = 7) = q(7) = 0,1963806 Pravděpodobnost méně než 3 záporných chyb je součtem pravděpodobností 0, 1 či záporných chyb P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = ) = q(0) + q(1) + q() = 0,0000305 + 0,0005776 + 0,003035 = 0,003696 Pravděpodobnost alespoň 5 kladných chyb je rovna pravděpodobnosti nejvýše 10 záporných chyb. P(X 10) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = ) + P(X = 3) + P(X = ) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7) + P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) = q(0) + q(1) + q() + q(3) + q() + q(5) + q(6) + q(7) + q(8) + q(9) + q(10) = 0,0000305 + 0,0005776 + 0,003035 + 0,01388550 + 0,016569 + 0,09169 + 0,15708 + 0,1963806 + 0,1963806 + 0,15708 + 0,09169 = 0,90765 Výpočet by bylo možná se stejným výsledkem (ale menší výpočetní námahou) provést i pomocí pravděpodobnosti doplňkového jevu, neboli vyloučit 11-15 záporných chyb. V tomto případě bychom dostali P(X 10) = 1 (P(X = 11) + P(X = 1) + P(X = 13) + P(X = 1) + P(X = 15)) = 1 (0,016569 + 0,01388550 + 0,003035 + 0,0005776 + 0,0000305) = 1 0,05936 = 0,90765 Řešení 3i Budeme se zabývat náhodným jevem X, který vyjadřuje počet zrn nečistot v půl litru vody. Máme informaci, kolik zrn nečistot je průměrně v jednom litru vody. Je tedy třeba brát průměrný počet zrn nečistot v půl litru vody jako polovinu počtu zadaného pro jeden litr, neboli 7. Vzhledem k charakteru zkoumaného jevu je zřejmé, že tento jev má Poissonovo rozdělení X~Po(7). V tomto konkrétním případě má tedy X pravděpodobnostní funkci d b 1
7 x e 7 q(x) = { pro x = 0, 1, x! 0 jinak Máme vypočítat pravděpodobnost, že v půl litru vody budou nejvýše 3 zrna nečistot. Tedy za pomoci aritmetických výpočtů v MS Excel dostaneme výsledek P(X 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = ) + P(X = 3) = q(0) + q(1) + q() + q(3) = 70 e 7 + 71 e 7 + 7 e 7 + 73 e 7 0! 1!! 3! = 0,00091 + 0,006383 + 0,031 + 0,0519 = 0,081765 = 0,08 Řešení 3j Řešení MS Excel Uvažovaná náhodná veličina X má spojité normální rozdělení N(1, 9). Toto rozdělení není k dispozici v tabulkách, lze ale pomocí MS Excel s ním přímo počítat využitím statistické funkce NORM.DIST(x;1;ODMOCNINA(9);PRAVDA), kterou dále označujeme F(x). Pomocí této funkce vypočítáme hodnoty distribuční funkce a využijeme je k výpočtu. Viz obrázek x ND(1,9) rozdil -1 0,595 3 0,775075 0,95 5 0,9087888 6 0,95096 0,03 0,8137 0,1587 Pro jednotlivé úlohy nyní můžeme psát P( 1 X 3) = P(X 3) P(X 1) = F(3) F( 1) = 0,775075 0,595 = 0,950 P(5 < X < 6) = P(X < 6) P(X < 5) = F(6) F(5) = 0,95096 0,9087888 = 0,03 P(X > ) = 1 P(X ) = 1 F() = 1 0,8137 = 0,1587 Řešení normalizací Uvažovaná náhodná veličina X má spojité normální rozdělení N(1, 9). Toto rozdělení není k dispozici v tabulkách. Je ale snadné provést normalizaci X~N(1, 9) na náhodnou veličinu, která již v tabulkách k dispozici je, takto U = X 1 ~N(0, 1) 9 Distribuční funkce rozdělení N(0, 1) se tradičně označuje Φ. Potřebné výpočty nyní provedeme normalizací, využitím vlastností funkce Φ a dohledáním přibližných hodnot (zpřesnění by bylo možné dosáhnout interpolací) v tabulkách takto P( 1 X 3) = P(X 3) P(X 1) = P ( X 1 9 3 1 1 ) P (X 9 9 1 1 9 ) = P (U ) P (U 3 3 ) = Φ ( 3 ) Φ ( 3 ) = Φ ( 3 ) (1 Φ ( 3 )) = Φ ( 3 ) 1 + Φ ( 3 ) = Φ ( ) 1 = 0,786 1 = 1,97 1 = 0,97 3 P(5 < X < 6) = P(X < 6) P(X < 5) = P ( X 1 9 < 6 1 1 ) P (X 9 9 < 5 1 9 ) = P (U < 5 3 ) P (U < 3 ) = Φ (5 3 ) Φ ( ) = 0,955 0,908 = 0,03 3 d b 13
P(X > ) = 1 P(X ) = 1 P ( X 1 9 < 1 9 ) = 1 P (U < 3 3 ) = 1 Φ(1) = 1 0,813 = 0,1587 Řešení 3k Řešení MS Excel Je-li směrodatná odchylka 5, pak rozptyl je 5. Uvažovaná náhodná veličina X má tedy podle zadání úlohy spojité normální rozdělení N(0, 5). Toto rozdělení není k dispozici v tabulkách, lze ale pomocí MS Excel s ním přímo počítat využitím statistické funkce NORM.DIST(x;0;ODMOCNINA(5);PRAVDA), kterou dále označujeme F(x). Pomocí této funkce vypočítáme hodnoty distribuční funkce a využijeme je k výpočtu. Viz obrázek Pro první úlohu nyní můžeme psát P( 3 X 3) = P(X 3) P(X 3) = F(3) F( 3) = 0,75 0,7 = 0,51~5,1 % Pro druhou úlohu je třeba zvážit, že normální rozdělení je symetrické. Zajímá nás pravděpodobnost 0,90, hodnoty jsou symetricky rozděleny kolem středu. Takže krajní hodnoty pravděpodobnosti jsou 0,05 a 0,95. K výpočtu využijeme funkci NORM.INV(0,05;0;ODMOCNINA(5)), která poskytuje hodnoty inverzní funkce k distribuční funkci F. Viz obrázek Hledali jsme tedy F 1 (0,05) a F 1 (0,95) Že se hodnoty liší jen znaménkem, jsme očekávali. Význam výsledku je v tom, že výrobky s velikostí odchylky do 8, se dostanou do 90 % výrobků. Řešení normalizací Uvažovaná náhodná veličina X má spojité normální rozdělení N(0, 5). Toto rozdělení není k dispozici v tabulkách. Je ale snadné provést normalizaci X~N(0, 5) na náhodnou veličinu, která již v tabulkách k dispozici je, takto U = X 0 ~N(0, 1) 5 Distribuční funkce rozdělení N(0, 1) se tradičně označuje Φ. Potřebné výpočty nyní provedeme normalizací, využitím vlastností funkce Φ a dohledáním přibližných hodnot (zpřesnění by bylo možné dosáhnout interpolací) v tabulkách. Pro první úlohu to bude takto P( 3 X 3) = P(X 3) P(X 3) = P ( X 0 5 3 0 0 ) P (X 5 5 3 0 5 ) = P (U 3 3 ) P (U 5 5 ) = Φ (3 5 ) Φ ( 3 5 ) = Φ (3 5 ) (1 Φ (3 5 )) = Φ ( 3 5 ) 1 + Φ (3 5 ) x ND(0,5) rozdil -3 0,753 3 0,7577 0,519 ND(0,5) x 0,05-8,68135 0,95 8,68135 = Φ ( 3 ) 1 = 0,757 1 = 1,51 1 = 0,51~5,1 % 5 d b 1
Pro druhou úlohu musíme provést obrácenou úvahu. Hledáme x takové, aby P( x X x) = 0,9 Výraz vlevo upravíme a normalizujeme. Dostaneme P( x X x) = P(X x) P(X x) = P ( X 0 5 x 0 0 ) P (X 5 5 x 0 5 ) = P (U x x ) P (U 5 5 ) = Φ (x 5 ) Φ ( x 5 ) = Φ (x 5 ) (1 Φ (x 5 )) Po této úpravě dostáváme rovnici. Odtud po snadné úpravě = Φ ( x 5 ) 1 + Φ (x 5 ) = Φ (x 5 ) 1 Φ ( x 5 ) 1 = 0,9 Φ ( x 5 ) = 0,9 + 1 = 1,9 = 0,95 Uplatníme inverzní funkci k distribuční funkci Φ. Ta je obvykle označována jako u(α) = Φ 1 (α) Tato funkce je pro důležité hodnoty α k dispozici v tabulkách. V našem výpočtu konkrétně dostáváme Φ 1 (Φ ( x 5 )) = x 5 = Φ 1 (0,95) Odtud x = 5 Φ 1 (0,95) Potřebnou hodnotu vyhledáme v tabulkách a dokončíme výpočet x = 5 Φ 1 (0,95) = 5 1,65 = 8,5 Význam výsledku je v tom, že výrobky s velikostí odchylky do 8, se dostanou do 90 % výrobků. Řešení 3l Řešení MS Excel Je-li směrodatná odchylka 5, pak rozptyl je 10,5. Uvažovaná náhodná veličina X má tedy podle zadání úlohy spojité normální rozdělení N(37; 10,5). Toto rozdělení není k dispozici v tabulkách, lze ale pomocí MS Excel s ním přímo počítat využitím statistické funkce NORM.DIST(x;37;ODMOCNINA(10,5);PRAVDA), kterou dále označujeme F(x). Pomocí této funkce vypočítáme hodnoty distribuční funkce a využijeme je k výpočtu. Viz obrázek x ND(37; 10,5) rozdil 380 0,70931315 10 0,99561395 0,86181 Pro naši úlohu nyní můžeme psát P(380 X 10) = P(X 10) P(X 380) = F(10) F(380) = 0,9956 0,709 = 0,86 Pravděpodobnost, že mezi 00 kusy budou kusy vyhovující zadání je 0,86. Zadání tedy bude vyhovovat 0,86 00 = 11,7 = 11 kusů. Řešení normalizací Uvažovaná náhodná veličina X má spojité normální rozdělení N(37; 10,5). Toto rozdělení není k dispozici v tabulkách. Je ale snadné provést normalizaci X~N(37; 10,5) na náhodnou veličinu, která již v tabulkách k dispozici je, takto d b 15
X 37 U = ~N(0, 1) 10,5 Distribuční funkce rozdělení N(0, 1) se tradičně označuje Φ. Potřebné výpočty nyní provedeme normalizací, využitím vlastností funkce Φ a dohledáním přibližných hodnot (zpřesnění by bylo možné dosáhnout interpolací) v tabulkách. Pro naši úlohu to bude takto P(380 X 10) = P(X 10) P(X 380) X 37 10 37 X 37 380 37 = P ( ) P ( 10,5 10,5 10,55 10,5 ) = P (U 38 8 ) P (U 1,5 1,5 ) = Φ ( 38 1,5 ) Φ ( 8 1,5 ) = Φ(,6) Φ(0,55) = 0,9956 0,7088 = 0,868 Pravděpodobnost, že mezi 00 kusy budou kusy vyhovující zadání je 0,868. Zadání tedy bude vyhovovat 0,86 00 = 11,7 = 115 kusů. d b 16