Úloha č 5 MĚŘENÍ MOMENTU SETRVAČNOSTI Z DOBY KYVU ÚKOL MĚŘENÍ: Určete moment setrvačnosti ruhové a obdélníové desy vzhledem jednotlivým osám z doby yvu Vypočtěte moment setrvačnosti ruhové a obdélníové desy vzhledem ose procházející těžištěm TEORETICKÝ ÚVOD Moment setrvačnosti Moment setrvačnosti je fyziální veličina, terá je mírou setrvačných účinů tělesa při rotačním pohybu Pro tělesa se spojitě rozloženou hmotou je moment setrvačnosti definován vztahem = r dm, () ( V ) de r je olmá vzdálenost elementu hmotnosti dm od osy rotace a V je objem tělesa Moment setrvačnosti tedy závisí na rozložení hmoty vzhledem rotační ose Čím dále od osy rotace je hmota v tělese rozložena, tím větší je moment setrvačnosti Pro všechny rovnoběžné osy je moment setrvačnosti nejmenší vzhledem ose, terá prochází těžištěm Tuto sutečnost vyjadřuje Steinerova věta: Moment setrvačnosti vzhledem určité ose se rovná momentu setrvačnosti vůči ose s ní rovnoběžné a jdoucí těžištěm, zvětšenému o součin hmotnosti m tělesa a čtverce olmé vzdálenosti a těžiště od této osy, tj: = + ma () Z definice () lze určit moment setrvačnosti homogenních těles pravidelných geometricých tvarů Např moment setrvačnosti ose jdoucí těžištěm olmo na rovinu homogenní obdélníové desy o stranách b, c a hmotnosti m je ob = m( b + c ) (3) a ruhové desy hmotnosti m a poloměru R je = mr (4) r Kyvadlo Fyzicé yvadlo je aždé těleso otočné bez tření olem vodorovné osy neprocházející těžištěm Vychýlíme-li yvadlo z rovnovážné polohy o malý úhel α, začne onat periodicý pohyb, pro jehož dobu yvu odvodíme z pohybové rovnice pro rovinnou rotaci vztah: Viz Hofmann, Urbanová M: Fyzia I, str 9-97 ** Viz Hofmann, Urbanová M: Fyzia I, str - 75
= π, (5) mga de je moment setrvačnosti tělesa vzhledem pevné ose rotace Doba yvu je doba, terou yvadlo potřebuje pohybu z rovnovážné polohy do rajní výchyly a zpět do rovnovážné polohy nebo doba z jedné rajní výchyly do druhé rajní výchyly na opačné straně Doba mitu T = Matematicé yvadlo je hmotný bod hmotnosti m zavěšený na nehmotném vláně dély l eho moment setrvačnosti je dán součinem hmotnosti bodu a čtverce jeho vzdálenosti od osy, olem níž ývá: = ml Doba yvu matematicého yvadla je pa podle vztahu (5) pro a = l rovna: l = π (6) g Déla l matematicého yvadla, teré ývá se stejnou dobou yvu jao fyzicé yvadlo, se nazývá reduovaná déla fyzicého yvadla Vztahy (5) a (6) platí přesně jen pro malý rozyv α 5 Máme-li měřit dobu yvu, musíme udělit yvadlu taovou počáteční výchylu α, aby bylo možno pozorovat větší počet yvů Měřenou dobu yvu α je potom nutno origovat na nulový rozyv podle vztahu: = α ( ) (7) Hodnoty pro něteré úhly rozyvu jsou uvedeny v tabulce: α 5 5 5 3,,48,7,9,97,48 PRINCIP METODY Stanovení momentu setrvačnosti tuhého tělesa z doby yvu Ze vztahu (5) plyne pro moment setrvačnosti vzhledem ose neprocházející těžištěm výraz: mga =, (8) π terý umožňuje výpočet momentu setrvačnosti tělesa z jeho hmotnosti m a z doby yvu (naměřená hodnota α origovaná na nulový rozyv) vzhledem ose vzdálené od těžiště o délu a za předpoladu, že známe tíhové zrychlení v místě pousu a dovedeme určit vzdálenost a Z momentu setrvačnosti pa můžeme ze Steinerovy věty () určit moment setrvačnosti vzhledem rovnoběžné ose jdoucí těžištěm Tuhým tělesem, jehož moment setrvačnosti máme určit, je obdélníová resp ruhová ovová desa V desách je odvrtáno něoli ruhových otvorů nad sebou, do terých se postupně upevňuje břit s upevňovacím šroubem Ostří břitu definuje rotační osu (viz obr ) Desa je ostřím břitu opřena v lůžu na stojanu K odečtení úhlu rozyvu slouží úhlové měříto, dělené po 5, teré se poládá na stojan 76
Protože v desách jsou otvory, nebudou jejich těžiště přesně v jejich geometricém středu Při určení vzdálenosti těžiště od osy rotace bychom tedy měli uvažovat posuv těžiště, způsobený odvrtáním otvorů *) Vzhledem tomu, že posuv těžiště je zanedbatelný vzhledem měřeným vzdálenostem a jednotlivých os od T, de T je geometricý střed (viz obr ), lze do vztahu (8) dosadit za a přímo měřené vzdálenosti a jednotlivých os od T a za celovou hmotnost m součet hmotnosti desy m a šroubu m (m = m + m ) R a T Obr Definování rotační osy Např pro ruhovou desu (viz obr ): Označíme-li R a r příslušné poloměry desy a otvorů, m hmotnost desy s otvory, m hmotnost šroubu, m hmotnost odvrtaného materiálu z jednoho otvoru pro ruhovou desu je mr m = R 4r Pro obdélníovou desu o stranách b, c je m m π r bc 4π r = V další úvaze je značení pro obě desy stejné; T geometricý střed, T těžiště desy s otvory, T těžiště desy s upevněným břitem v -tém otvoru, a i vzdálenosti jednotlivých os od T, x = T T Hledaný posuv těžiště x dostaneme z podmíne rovnováhy tuhého tělesa mx = m ( a + r), n i= i m ( x x) = m ( a + r + x), ze terých pro posuv těžiště dostaneme n m a i + 4r m( a + r) i= x = Obr Posuv těžiště, způsobený odvrtáním otvorů m + m Pro výpočet momentu setrvačnosti vzhledem jednotlivým osám (v případě ruhové desy =,, 3, 4) bychom tedy měli do vztahu (8) dosadit za a vzdálenost osy ývání od těžiště a = a + x a za hmotnost m = m + m R x r T T T x a ḱ a í 3 Postup měření a vyhodnocení Zvažte desy (m ) a břit s upevňovacím šroubem (m ) na daných vahách 77
Změřte ocelovým měřítem geometricé rozměry dese: poloměr R v případě ruhové desy a rozměry b, c v případě obdélníové desy Nejistoty měření určete odhadem 3 Postupně upevňujte břit do jednotlivých otvorů a změřte posuvným měřítem vzdálenost a mezi břitem a geometricým středem vyznačeným na desce 4 ao první otvor (osa č ) berte otvor nejbližší e geometricému středu T 5 Pro aždou osu změřte dobu 5 yvů 5-rát Dodržujte vždy stejný úhel rozyvu α Spočtěte α a origujte na nulový rozyv 6 Momenty setrvačnosti vzhledem jednotlivým osám neprocházejících těžištěm počítejte ze vztahu (8) ejich nejistoty ze vztahu (9) 7 Momenty setrvačnosti vzhledem ose procházející těžištěm určete ze vztahu () ejich průměrnou hodnotu určete ze vztahu () Zároveň spočítejte standardní nejistotu u pro jednu vybranou osu ze vztahu () 8 Tabula pro záznam naměřených a vypočtených hodnot: ruhová desa č m = (g), m = (g), m = (g), R = (cm) osa č 5 α (s) α (s) (s) a (cm) (g m ) (g m ) 9 Spočtěte moment setrvačnosti vzhledem ose jdoucí těžištěm z teoreticých vztahů (3) a (4) a spočtěte standardní nejistotu u Tyto hodnoty porovnejte s výsledy zísanými z naměřených hodnot a vypočtených pomocí vztahu () 4 Přesnost výsledů Přímo měřenými veličinami v úloze jsou čas, déla a hmotnost Přesnost výsledu je závislá na přesnosti těchto přímo měřených veličin Pro absolutní standardní nejistotu měření momentu setrvačnosti vzhledem jednotlivým osám, teré neprocházejí těžištěm, odvodíme ze vztahu (8): u um ug u u a = + + + m g a (9) Ve vztahu (9) jednotlivé nejistoty přímo měřených veličin představují nejistoty typu B Chyba vážení na daných vahách je m = ± g Bereme-li v úvahu bimodální rozdělení Θ =, pa u m = m Chyba měření vzdálenosti a mezi břitem a pravděpodobnosti ( ) 78
geometricým středem je při užití posuvného měříta a = ±,5 mm Při předpoládaném a rovnoměrném rozdělení ( Θ = 3) pa u a = Chybu tíhového zrychlení budeme 3 odhadovat jao chybu způsobenou zaorouhlením Vzhledem chybám ostatních veličin ve vztahu (9) lze tuto chybu zanedbat Chyba stanovení doby yvu je = ±,4 s (chyba stope je ±, s pro 5 yvů) Uvažujeme-li bimodální rozdělení ( = ) Θ, pa u = Průměrnou hodnotu momentu setrvačnosti vzhledem ose procházející těžištěm obdržíme ze vztahu n n = =, () de jsou hodnoty momentů setrvačnosti zísané přepočtem ze Steinerovy věty () z experimentálně stanovených hodnot momentu setrvačnosti vzhledem jednotlivým osám, teré neprocházejí těžištěm Standardní nejistotu u vzhledem vybrané ose odvodíme ze vztahu (): 4 um ua u = u + m a +, () m a de jednotlivé nejistoty představují nejistoty typu B Standardní nejistota u je daná vztahem (9), nejistoty stanovení hmotnosti u m a vzdálenosti a mezi břitem a geometricým středem u a jsou uvedeny v rozboru stanovení nejistot přímo měřených veličin ve vztahu (9) 79