MATEMATIKA III. Program - Křivkový integrál

Transkript

1 Matematia III MATEMATIKA III Program - Křivový integrál 1. Vypočítejte řivové integrály po rovinných řivách : a) ds, : úseča, spojující body O=(0, 0), B = (1, ), b) ( + y ) ds, : ružnice = acos t, y= a sin t, a> 0, t < 0, π >, ds, : půlružnice = cos t, y = sin t, t < 0, π >, + y ds, : úseča AB, de A = (, 4), B = (6,1), ds, :úseča AB, de A= (,4), B= (,1), + y f g) ds, : horní polovina ružnice + y = a, a> 0, + y ds, : = a(cost+ tsin t), y = a(sin t tcos t), a > 0, t < 0, π >, h) yds, : první oblou cyloidy = a( t sin t), y = a(1 cos t), a > 0, i) yds, : strany obdélnía, teré leží na přímách = 0, y = 0, = 4, y =, j) ( + y) ds, : strany trojúhelnía ABC, A = (1,- 1), B = (,- 1),C = (1, 0), ) l) yds, : oblou ružnice + y = a mezi body A= ( a,0), B= (0, a), a> 0, π ds, : oblou asteroidy = acos ty, = asin ta, > 0, t < 0, >, m) ( y+ + y 1) ds, :úseča AB, A= (1,,), B = (,1), - 1 -

2 Matematia III n) ( y+ + y 1) ds, o) ( y+ + y 1) ds, :úseča spojující průsečíy řive y =, = y, :průměr ružnice + + y = 0 ležící na ose.. Vypočítejte řivové integrály po prostorových řivách: a) ( + zds ), : úseča AB, A = (1,,), B = (,,1), b) 1 zds, : = t, y = t, z = t, t < 0,1 >, ( + y + z ) ds, : první závit šroubovice = acos t, y = asin t, z = at, a > 0, z ds, : + y první závit šroubovice = cos t, y = sin t, z = t, zds, : = t cos t, y = t sin t, z = t, t < 0,1 >, f) ( z+ + y ) ds, : = tcos t, y = tsin t, z = t, t < 0,1 >.. Vypočítejte řivové integrály po prostorových řivách : a) yzd zdy, : první závit šroubovice = acos t, y = asin t, z = t, a > 0, > 0, b) d ydy + zdz, : orientovaná úseča AB, A = (1,1,1), B = (4,,), ( + y + z) d, : strany trojúhelnía ABC, A = (1,0,0), B = (0,1,0), C = (0,0,1), d + ydy + zdz, : orientovaná úseča AB, A = (0,0, a ), B = (0, b,0), 0 <a< b, + y + z yzd + zdy + ydz, : první závit šroubovice = cos t, y = sin t, z = t, f) dz + yd + zdy, : lomená čára OABC, O = (0,0,0), A= ( a,0,0,), B = ( a, a,0), C = ( a, a, a), a >

3 Matematia III 4. Vypočítejte řivové integrály po rovinných řivách : π a) yd + dy, : čtvrtružnice = a cos t, y = asin t, a > 0, t < 0, >, b) ( yd ) + ( + ydy ), : orientovaná úseča AB, A= (,), B = (,5), dy, : orientovaná úseča AB, A = ( a,0), B = (0, a), a > 0, ( y) dy, : horní polovina ružnice + y = a, a > 0, ( + y ) dy, : strany čtyřúhelnía ABCD, A= (0,0), B = (,0), C = (4, 4), D = (0, 4), f) y d dy, : úseča AB, A = (0,1), B = (1,0), g) dy yd, : první oblou cyloidy = a( t sin t), y = a(1 cos t), a > 0, h) dy yd, i) dy yd, : oblou asteroidy = acos t, y = asin t, a> 0, at at :smyča Descartova listu =, y =, a > 0, 1+ t 1+ t j) ) ( y 1) d + ydy, : oblou elipsy = cos t, y = sin t od bodu A = (1, 0) do bodu B = (0,), yd + ( y ) dy, :část paraboly y = od bodu O = (0,0) do bodu B = l) ( + yd ) + ( + ydy ), : čtvrtružnice + y = 4 v prvním vadrantu. 5. Vypočítejte řivové integrály I. druhu po řivách : a) ( + y ) ds, : úseča AB, A= ( a, a), B= ( b, b),0< a< b, - -

4 Matematia III ds b), : úseča AB, A= ( a, a), B= ( b, b), 0< a<b, + y ds, : y= ln, < 1, >, ds, : oblou paraboly y = mezi body A = (, 4), B = yds, : oblou paraboly y =, ohraničený parabolou = y, f) ds, : úseča OB, O = (0,0), B = (1,), g) yds, : strany obdélnía, teré leží na přímách = 0, y = 0, = 4, y =. 6. Vypočítejte řivové integrály II. druhu po řivách : a) yd + ( y ) dy, α) : orientovaná úseča OA, O= (0,0), A= (, ), β ) : oblou paraboly y = od bodu O= (0, 0) do bodu B= (, 4), γ ) : oblou paraboly y = od bodu O= (0,0) do bodu C = δ ) : oblou ubicé paraboly y = od bodu O= (0,0) do bodu D= (,8), b) ( y ) d, α) : oblou paraboly y = od bodu O= (0,0) do bodu A= β ) : orientovaná úseča OA, O= (0,0), A= γ ) : oblou ubicé paraboly y = od bodu O= (0,0) do bodu A= δ ) : oblou paraboly y = od bodu O= (0,0) do bodu A= yd + dy, : orientovaná úseča AB, A = B= (, ), + y ( y) d+ ( y y) dy, : oblou paraboly y = od bodu do bodu B = (1, 1), A = ( 1,1) - 4 -

5 Matematia III yd + dy od bodu O = (0,0) do bodu B = α) :úseča y =, β γ ) : oblou paraboly y =, ) : oblou paraboly y =, δ ) : oblou ubicé paraboly y =, f) yd, : část sinusoidy y = sin, < 0, π >, g) 4sin y d + y cos dy, : orientovaná úseča OA, O = (0, 0), A = (, 6), h) ( y + 1) dy + ( y 1) d, α) :úseča CD, de C, D jsou průsečíy přímy + y = 6 s osou y a osou, β ) :úseča AB, A= B= (,), γ δ ) :část paraboly y =, < 0,1 >, ) :část ubicé paraboly y =, < 1,1 >, i) ( + y) d + ( + y) dy, α) :úseča OB, O= (0,0), B= β ) :část paraboly y = od bodu O= (0,0) do bodu B= 1 γ ) :část hyperboly y =, <, >. 7. Vypočítejte řivové integrály užitím Greenovy věty: a) ( + y ) dy, : strany obdélnía ležící na přímách = 0, y = 0, =, y = 4, b) dy, : strany trojúhelnía OAB, O = (0, 0), A = (, 0), B = (0, ), yd ( + y) dy, :strany trojúhelnía, ležící na přímách = 0, y = 0, + y = 4, v prvním vadrantu, ( + y) d dy, : hranice oblasti ohraničené řivami = 0, y = 0, + y = 4-5 -

6 Matematia III ( + y) d ( y) dy, :elipsa 4 + 9y = 6, f) y dy y d, : ružnice + y = 1, g) y d+ dy, α ) :strany čtverce ležící na přímách =, =, y =, y =, β ) : ružnice + y = 4, h) y y (1 + y) e d + (1 + e ) dy, : strany obdélnía ABCD, A= (0,0), B = (,0), C = (,1), D = (0,1), i) ( e sin y 16 y) d+ ( e cos y+ 16) dy, : ružnice + y =, j) 1 y arctg d + arctg dy, : hranice oblasti ohraničené řivami y y + y = 1, + y = 4, y =, y = v prvním vadrantu. ) e (1 cos y) d e ( y sin y) dy, : hranice oblasti 0 π, 0 y sin, l) ( y ) d+ ( + y) dy, hranice ruhové výseče o poloměru r a středovém úhlu π π ϕ Vypočítejte obsah částí válcových ploch, ohraničených rovinou z = 0 a danými plochami: a) b) + y = r, rz = y, r > 0, + y = r, z = r+, r >0, r 9y = 4( 1), z =, y =, z = 4, 8 y =, =, z = y, 9-6 -

7 Matematia III f) y =, z =, = 0, y = Vypočítejte délu řive: a) Prvního oblouu cyloidy = a( t sin t), y = a(1 cos t), a > 0, b) ardioidy = acost acos t, y = asint asin t, a > 0, 1 1 = = mezi průsečíy se souřadnicovými osami, t, y t 1 1 = ln, =, < 1, >, y z t t = e, y = e, z = t, t < 0,1>, f) g) h) 1 1 =, =, < 0, 1 >, 6 y z y = arcsin +, < 0,1 >, y = 1 + arccos, < 1,1>, π i) y = 1 lncos, < 0, > Najděte práci silového pole F = yi + ( + y) j, jestliže se hmotný bod přemístí z počátu O = (0,0) do bodu A = (1,1) a) po přímce y =, b) po parabole y =, po lomené čáře OBA, de B = (1, 0), po lomené čáře OCA, de C = (0,1). 11. Určete práci silového pole F = ( y) i + j při pohybu hmotného bodu po stranách čtverce, teré leží na přímách = ± a, y =± a, v ladném smyslu. 1. Vypočítejte práci silového pole F = ( + y) i + j při jednom oběhu hmotného bodu po ružnici + y = r v ladném smyslu. 1. Silové pole v prostoru je určeno silou F = i + yj + z. Vypočítejte práci, terou vyoná při pohybu hmotného bodu po lomené čáře OABCO, O = (0,0,0), A = (0,1,0), B = (1,1,0), C = (1,1,1)

8 Matematia III 14. Najděte silové pole, jehož potenciál je φ ( y, ) = ln + y arctg a vypočítejte práci y tohoto pole při pohybu hmotného bodu z bodu A = (1,1) do bodu B = (, ). 15. Určete práci silového pole do bodu B = (0,1). 16. Určete hmotnosti řive: a) Části paraboly F = yi + j při pohybu hmotného bodu z bodu A = (1, 0) y = mezi body O(0,0) a B jestliže lineární hustota ρ =, b) prvního závitu šroubovice = cos t, y = sin t, z = t o hustotě ρ = + y + z, řivy y = mezi body O(0,0) a X ( y, ) je rovna délce oblouu OX, A (1, ), jestliže hustota v aždém bodě řivy y = ln mezi body A (0,1) a B(,ln ), jestliže hustota v aždém bodě je rovna čtverci -ové souřadnice bodu, a části řetězovy y = ( e a + e a ) pro < 0, a >, a > 0, jestliže hustota v aždém bodě X ( y, ) je nepřímo úměrná vzdálenosti od osy a v bodě A(0, a ) má hodnotu 1, f) čtvrtružnice = acos t, y = asin t, a > 0 v prvním vadrantu, je-li hustota v aždém bodě X ( y, ) přímo úměrná y-ové souřadnici tohoto bodu, g) části paraboly 1 y = mezi body (0,0) y O = a A = (,), je-li hustota ρ =, h) části řivy = ln(1 + ), = arctg pro 0,1, t y t t t < > je-li hustota ρ = ye. 17. Určete souřadnice těžiště hmotných řive: a) Prvního oblouu cyloidy = a( t sin t), y = a(1 cos t), a > 0, je-li její hustota jednotová, b) dolní poloviny ružnice + y = r, r > 0, je-li její hustota jednotová, části asteroidy = acos t, y = asin t, a > 0 mezi body A = (0, a) a B = ( a,0), je-li její hustota v aždém bodě X ( y, ) rovna -ové souřadnici tohoto bodu

9 Matematia III 18. Určete moment setrvačnosti při rotaci olem souřadnicových os prvního závitu at homogenní šroubovice = acos t, y = asin t, z =, a > 0. π a) K ose, b) K ose y. 19. Určete moment setrvačnosti homogenní řivy : y = 1, < 1,>, terá rotuje olem osy y. Bez újmy na obecnosti položte σ ( y, ) = Určete staticý moment vzhledem ose y homogenní řivy : y = 1, < 1,>. Bez újmy na obecnosti položte σ ( y, ) =