Objemové porovnávání metod pro identifikaci vírů v proudových polích Václav Pokorný Vedoucí práce: Ing. Jakub Šístek, Ph.D., Ing. Václav Kolář, CSc. Abstrakt Víry v proudových polích jsou identifikovány pomocí různých zavedených a stále vyvíjených metod, jejichž výsledky můžeme zobrazovat pomocí vizualizačních programů jako isoplochy. Například kvůli ověření vlastností nově zaváděných přístupů vzniká potřeba výsledky jednotlivých metod mezi sebou porovnávat. Jednoduchým řešením je užití metody nejlepšího překryvu, jejímž cílem je imalizace poměru objemu, kde se isoplochy nepřekrývají, ku objemu, kde se překrývají. Snaha o objektivnější řešení nás vedla k zavedení tzv. objemového porovnávání metod, kde je objem uzavřený isoplochami různých metod shodný. Klíčová slova identifikace vírů, residuální vířivost, průměrná korotace, lambda- kritérium 1 Úvod Každý den v našem životě se setkáváme s prouděním tekutin, ve kterých za určitých podmínek vznikají víry, jejichž identifikace může vést k zodpovězení různých otázek spojených s vírovým chováním tekutiny, například za zvolenými překážkami. Proudění je popsáno rovnicemi mechaniky tekutin, například Navierovými-Stokesovými rovnicemi, jejichž numerickým řešením nebo experimenty dostáváme tzv. proudové pole, které obsahuje vstupní hodnoty pro výpočty metod identifikujících víry. Tzv. lokální metody pro identifikaci vírů typicky vychází z tensoru gradientu rychlosti u = u x v x w x u y v y w y u z v z w z, (1) kde u = (u, v, w) T je vektor rychlosti. Zavedené metody [1] a stále vyvíjené metody, z nichž některé jsou detailněji popsány v [3], nám dávají různé výsledky, které interpretujeme formou isoploch, jejichž vykreslení závisí na tzv. hladině. Hodnoty hladin si pro jednotlivé metody nemusejí odpovídat, proto v případě vývoje nových přístupů je stěžejní porovnávání s již zavedenými a osvědčenými metodami, které nám ukáže, zda nová metoda dává na testovaných datech přijatelné a smysluplné výsledky. 1
Dvě identifikační metody můžeme porovnávat jednoduchou metodou nejlepšího překryvu, která je založena na imalizaci hodnoty výrazu V N V O, () kde V N je objem, kde se isoplochy nepřekrývají, a V O je objem, kde se překrývají. Algoritmus porovnávání funguje tak, že zvolíme jednu identifikační metodu jako tzv. referenční se zvolenou hladinou a hladina druhé metody je určena imalizací výrazu (). Objemy uzavřené isoplochami si nemusejí odpovídat a navíc záměnou rolí identifikačních metod nedostaneme stejné výsledky, jak je ukázáno v [3]. Snaha porovnávat výsledky objektivněji nás vedla k vytvoření tzv. objemového porovnávání metod, kde je objem uzavřený výslednými isoplochami různých metod shodný. Objemové porovnávání jsme otestovali porovnáním veličin residuální vířivosti s průměrnou korotací a λ na datech získaných z proudění okolo nakloněné desky pro Reynoldsovo číslo Re = 3. Použité veličiny sloužící k identifikaci vírových struktur Residuální vířivost [] je odvozena z rozkladu u a zejména rozkladu jeho antisymetrické části (tensoru vířivosti), jehož cílem je eliovat dopad zkreslující smykové složky proudění na průměrnou rychlost otáčení elementu tekutiny. K identifikaci vírů slouží velikost (Frobeniova norma) tensoru tzv. residuální vířivosti Ω RES. Průměrná korotace [3] čarových segmentů je v okolí zkoumaného bodu úzce svázána s pojmem rovinné korotace (velikostně dané residuální vířivostí v rovině). Příslušnou identifikační veličinou je velikost vektoru průměrné korotace ω RAV G získané jako průměr rovinné korotace přes všechny roviny jdoucí zkoumaným bodem. Veličina λ [1] je identifikační charakteristika odvozená na základě redukované transportní rovnice pro symetrickou část u, která umožňuje aproximativně popsat chování tlaku pomocí vlastních hodnot tensorové veličiny odvozené z u. Fyzikální význam veličiny λ je dán přímou souvislostí mezi její zápornou hodnotou a existencí tlakového ima v řezu napříč vírem. Porovnávání metod na základě shodného objemu Předpokládáme, že objektivnější porovnávání metod je podmíněno shodným objemem, který je uzavřen isoplochami těchto metod. Zvolený objem v je závislý na hodnotě hladiny t diskrétní funkcí v = f(t), která pro různé metody nemusí být shodná. Pro dohledávání odpovídajících si hladin používáme diskrétní inverzní funkci t = f 1 (v), která je zprostředkována metodou půlení intervalů..1 Závislost objemu na hodnotě hladiny v = f(t) Diskrétní funkce v = f(t) hladiny t je zobrazením ξ z množiny hladin T do množiny objemů V. Principem diskrétní funkce pro hladinu t a sít konečných prvků je sečtení všech elementárních objemů, kde platí, že hodnota hladiny t t, čímž dostáváme výslednou hodnotu objemu v. Pro maximální hodnotu hladiny v datech je objem isoplochy nulový, matematicky vyjádřeno f(t max ) =. Závislost v = f(t) je znázorněna pro veličiny residuální vířivost, průměrnou korotaci a λ na obrázcích 1a a 1b. Schématické dohledání hodnot funkce v = f(t) představuje obrázek a.
v - objem 14 1 1 8 6 4 ω RAVG v objem 4 3.5 3.5 1.5 1 λ.5 1 3 4 5 6 7 t - hladina 5 1 15 t hladina (a) Ω RES a ω RAV G (b) Ω RES a λ Obr. 1: Závislost objemu na hladině, v = f(t). Metoda půlení intervalů Důležitou operací objemového porovnávání je nalezení hodnot inverzní funkce t = f 1 (v), které získáváme metodou půlení intervalů. Nejprve potřebujeme vstupní hodnoty, které budeme v algoritmu používat. Mějme tedy objem v, ke kterému hledáme hladinu t. Dále necht t (k) max a t (k), kde t(k) max t (k), jsou imální a maximální hodnoty hladin v T a k je index iterace. Nakonec nalezněme hodnotu hladiny t p právě v polovině intervalu I (k) = t (k) ; t(k) max podle vztahu t p = t(k) max + t (k). (3) Pro hodnoty t (k) max, t (k) a t p zjistíme pomocí funkce v = f(t) hodnoty objemů v (k) t, v a (k) t max v tp, pro které platí nerovnosti (viz obrázek 1) nebo v < (k) v t < v tp < v (k) max t, (4) v < v (k) t t p < v < v (k) max t. (5) Pokud platí nerovnost (4), pak se k hledané hodnotě t přiblížíme tak, že t (k) v dalším průchodu iteračním cyklem nahradíme t p, tedy t (k+1) = t p. Pokud platí nerovnost (5), pak je postup obrácený, tedy t (k+1) max = t p. Výše popsaná podmínka je vložena do iteračního cyklu a je zobrazena v algoritmu 1 na řádcích 5-9. Iterační cyklus probíhá, dokud není splněna ukončovací podmínka formulovaná nerovností t (k ) max t (k ) < R, (6) kde R je předem zvolená konstanta ovlivňující přesnost výsledku a k je vyhovující počet iterací. Po skončení iteračního cyklu vypočítáme hledanou hladinu t jako střední hodnotu intervalu I (k ) = t (k ) ; ) max. Celá metoda je stručně popsána níže uvedeným algoritmem 1. t(k 3
Algoritmus 1 Metoda půlení intervalů 1: načtení počátečních hodnot t () max, t () : while ( t (k) max t (k) R) do max+t (k) 3: t p t(k) 4: v tmax f(t max ), v t f(t ), v tp f(t p ) 5: if v tp > v then 6: t (k+1) t p 7: else 8: t max (k+1) t p 9: end if 1: end while 11: t t(k ) +t(k ) max 3 Výsledky Objemové porovnávání jsme otestovali na datech proudění okolo nakloněné desky pod náběhovým úhlem 3 pro Reynoldsovo číslo Re = 3. Nejprve jsme pro různé hodnoty hladin prozkoumali vykreslované isoplochy residuální vířivosti a stanovili hraniční hladiny t max = 4.5 a t = 1.5, ke kterým jsme z funkce v = f(t) určili hraniční objemy v tmax a v t. Tento krok je znázorněn na obrázku a. Následně jsme rozdíl hraničních objemů rozdělili na pět shodných částí a ke všem objemům jsme z funkce t = f 1 (v) stanovili hladiny (viz obrázek b). Pro hodnoty hladin jsme vizualizačním programem ParaView vykreslili isoplochy (obrázky 3-14). Kritérium, které určuje míru neshody isoploch, je hodnota poměru V N /V O dle (). Tímto způsobem jsme porovnávali veličiny residuální vířivost s průměrnou korotací a s λ. Získané hodnoty poměru V N /V O jsou uvedeny v tabulce 1. Tabulka 1: Objemové porovnání a hladiny veličin Ω RES, ω RAV G a λ Objem (V i ) Ω RES ω RAV G Neshoda isoploch V N VO λ Neshoda isoploch V N VO.48 1.5..16-3.4 1.3.39 1.6.4. -4.1 1.3.3 1.8.6.1-4.9.95..1 3..16-6.5.68.11.5 3.6. -9.1.7 1.34.1 4.5 6.4.4-3.9.1 V předchozím porovnávání těchto metod v [4] vychází isoplochy residuální vířivosti a průměrné korotace velmi podobné avšak isoplochy λ se liší především v oblastech výrazného smyku u hran desky. Výsledkem objemového porovnávání residuální vířivosti s průměrnou korotací je sada obrázků 3-8, ze kterých je patrné, že výsledné isoplochy jsou si velmi podobné, což také ukazují hodnoty neshody isoploch v tabulce 1. Nový způsob porovnání potvrdil, že isoplochy residuální vířivosti a průměrné korotace vychází velmi podobně. 4
.6.5 ω RAVG.6.5 ω RAVG v - objem.4.3..1 v - objem.4.3..1 t t max -.1 1 3 4 5 6 7 t - hladina 1 3 4 5 6 7 t - hladina (a) Stanovení hraničních objemů z funkce v = f(t) (b) Stanovení hodnot hladin pro Ω RES.6.5 ω RAVG.6.5 λ v - objem.4.3. v objem.4.3..1.1 1 3 4 5 6 7 t - hladina 5 1 15 5 t hladina (c) Stanovení hodnot hladin pro ω RAV G (d) Stanovení hodnot hladin pro λ Obr. : Ilustrace k algoritmu objemového porovnávání Výsledkem objemového porovnávání residuální vířivosti s λ je podobná sada obrázků 9-14, ze které vidíme, že isoplochy veličiny λ potlačují tzv. koncové víry a že v zónách výrazného smyku okolo hran desky jsou objemnější než isoplochy residuální vířivosti, které koncentrují svůj objem v oblasti omega víru, jak je patrné především z obrázku 9. Rozdílnost výsledných isoploch je taktéž patrná z hodnot překryvu uvedených v tabulce 1, které jsou přibližně o řád vyšší než u porovnávání s průměrnou korotací. Isoplochy veličin residuální vířivosti a λ se od sebe liší více a to především v oblastech výrazného smyku. Objemové porovnávání nám tedy dalo smysluplné a použitelné výsledky. 4 Závěr Prezentovali jsme nový způsob porovnávání metod pro identifikaci vírů. Přístup je založen na rovnoměrném rozdělení zvolené části objemu uzavřeného isoplochami. Pro jednotlivé části objemu jsou metodou půlení intervalů dohledány hodnoty hladin. Kritériem ukazujícím míru neshody vykreslovaných isoploch je hodnota poměru V N /V O dle. Výsledky jsou prezentovány formou obrázků isoploch vytvořených ve vizualizačním programu ParaView. Objemovým porovnáváním veličin residuální vířivosti s průměrnou korotací a s λ na datech proudění okolo nakloněné desky jsme ověřili, že isoplochy residuální vířivosti a průměrné korotace jsou velmi podobné a že isoplochy residuální vířivosti a λ se od sebe liší více a to především v oblastech výrazného smyku u hran desky, jak je již zmíněno v [4]. Výsledky získané na těchto datech nám ukazují, že nový způsob porovnávání dává dobré podklady pro hodnocení podobnosti metod pro identifikaci vírů. Hlavní výhodou tohoto přístupu je lepší objektivnost porovnávání. Práce se omezuje na objemové porovnání, a tudíž nepostihuje tvarové srovnání výsledků identifikačních metod, což by činilo srovnávací problém mnohem náročnější. 5
Obr. 3: Porovnání pro V1 =.48, k ΩRES k = 1.5 a ω RAV G =. Obr. 4: Porovnání pro V =.39, k ΩRES k = 1.6 a ω RAV G =.4 Obr. 5: Porovnání pro V3 =.3, k ΩRES k = 1.8 a ω RAV G =.6 6
Obr. 6: Porovnání pro V4 =., k ΩRES k =.1 a ω RAV G = 3. Obr. 7: Porovnání pro V5 =.11, k ΩRES k =.5 a ω RAV G = 3.6 Obr. 8: Porovnání pro V6 = 1.34.1, k ΩRES k = 4.5 a ω RAV G = 6.4 7
(b) λ Obr. 9: Porovnání pro V1 =.48, k ΩRES k = 1.5 a λ = -3.4 (b) λ Obr. 1: Porovnání pro V =.39, k ΩRES k = 1.6 a λ = -4.1 (b) λ Obr. 11: Porovnání pro V3 =.3, k ΩRES k = 1.8 a λ = -4.9 8
(b) λ Obr. 1: Porovnání pro V4 =., k ΩRES k =.1 a λ = -6.5 (b) λ Obr. 13: Porovnání pro V5 =.11, k ΩRES k =.5 a λ = -9.1 (b) λ Obr. 14: Porovnání pro V6 = 1.34.1, k ΩRES k = 4.5 a λ = -3.9 9
Seznam symbolů u tensor gradientu rychlosti V i objem uzavřený isoplochami V N objem, kde se isoplochy nepřekrývají V O objem, kde se isoplochy překrývají λ veličina pro identifikaci vírů zavedená v [1] Ω RES velikost tensoru residuální vířivosti zavedené v [] ω RAV G velikost vektoru průměrné korotace zavedené v [3] Seznam použité literatury [1] Jeong, J. & Hussain, F., On the Identification of a Vortex, Journal of Fluid Mechanics, 85 (1995), 69-94. [] Kolář, V., Vortex Identification: New Requirements and Limitations, International Journal of Heat and Fluid Flow, 8 (7), 638-65. [3] Kolář, V., Šístek, J., Cirak, F. & Moses, P., Average Corotation of Line Segments Near a Point and Vortex Identification, AIAA Journal, 51 (13), 678-694. [4] Kolář, V. & Šístek, J., Recent Progress in Explicit Shear-Eliating Vortex Identification, 19 th Australasian Fluid Mechanics Conference, Melbourne, Australia, 8-11 December 14. 1