METODA PŮLENÍ INTERVALU (METODA BISEKCE) METODA PROSTÉ ITERACE NEWTONOVA METODA

Transkript

1 2-3. Metoda bisekce, met. prosté iterace, Newtonova metoda pro řešení f(x) = 0. Kateřina Konečná/ 1 ITERAČNÍ METODY ŘEŠENÍ NELINEÁRNÍCH ROVNIC - řešení nelineární rovnice f(x) = 0, - separace kořenů = hledání intervalu a, b, ve kterém se nachází právě jeden kořen, - předpoklady: f spojitá na intervalu a, b + musí být splněna podmínka f(a) f(b) < 0 METODA PŮLENÍ INTERVALU (METODA BISEKCE) - v každém kroku konstrukce intervalu a 0, b 0 a 1, b 1 a n, b n, - střed intervalu: s i = 1 2 (a i + b i ), i = 0, 1,..., n - odhad chyby: - odhad počtu kroků: d i = 1 2 (b i a i ), i = 0, 1,..., n b 0 a 0 2 i+1 < ε - f(a i ) f(s i ) < 0 a i+1 = a i, b i+1 = s i f(s i ) f(b i ) < 0 a i+1 = s i, b i+1 = b i - STOP podmínky: d i < ε METODA PROSTÉ ITERACE - f(x) = 0 x = g(x) - ekvivalence úlohy: hledání kořene rovnice f(x) = 0 odpovídá hledání pevného bodu funkce g(x) - podmínky: 1. g(x) C(I) 2. zobrazení do sebe: g : I I 3. g (x) < 1 x I - konstrukce: x i+1 = g(x i ), i = 0, 1,... - geometrický význam: řešit rovnici x = g(x) znamená hledat průsečík přímky y = x s křivkou y = g(x) - STOP podmínky: x i+1 x i < ε - f(x) = 0 x = g(x) - konstrukce: NEWTONOVA METODA x i+1 = x i f(x i) f (x i ), f (x i ) 0, i = 0, 1,... - geometrický význam: bod x i+1 je průsečík tečny ke grafu funkce f(x) v bodě [x i, f(x i )] s osou x - Fourierovy podmínky = podmínky konvergence: 1. f(x) C 2 (I) 2. f (x), f (x) nemění znaménko na I 3. volba počáteční aproximace: x 0 tak, aby f(x 0 ) f (x 0 ) > 0 - STOP podmínky: x i+1 x i < ε

2 2-3. Metoda bisekce, met. prosté iterace, Newtonova metoda pro řešení f(x) = 0. Kateřina Konečná/ 2 Příklad 1. Najděte všechny kořeny rovnice x + e x 2 = 0 s přesností 0.01 a) metodou bisekce, b) metodou prosté iterace, c) Newtonovou metodou. Řešení. hrubý odhad intervalu, určení počátečních aproximací: x + e x 2 = ξ 1 ξ 2 f(x) = x + e x 2 interval pro odhad záporného kořene: f( 2) = f( 1) = ξ 1 2, 1 } f( 2) f( 1) < 0 interval pro odhad kladného kořene: f(0) = f(2) = ξ 2 0, 2 } f(0) f(2) < a) metoda bisekce: s i = 1 2 (a i + b i ) d i = 1 2 (b i a i ) STOP kritérium: d i < ε odhad záporného kořene: odhad počtu kroků: b 0 a 0 2 i+1 < ε odhad záporného kořene: tabulka hodnot: i a i b i s i d i f(a i ) f(b i ) f(s i ) < ˆx 1 = ±

3 2-3. Metoda bisekce, met. prosté iterace, Newtonova metoda pro řešení f(x) = 0. Kateřina Konečná/ 3 odhad kladného kořene: odhad počtu kroků: b 0 a 0 2 i+1 < ε 2 < i < 2i < 2 i+1 log < i + 1 i > i = 7 odhad kladného kořene: tabulka hodnot: i a i b i s i d i f(a i ) f(b i ) f(s i ) < ˆx 2 = ± b) metoda prosté iterace: x i+1 = g(x i ), i = 0, 1,... STOP kritérium: x i+1 x i < ε odhad záporného kořene: volba iterační funkce: 1. x + e x 2 = 0 g(x) = x =, podmínky:

4 2-3. Metoda bisekce, met. prosté iterace, Newtonova metoda pro řešení f(x) = 0. Kateřina Konečná/ 4 2. x + e x 2 = 0 g(x) = x =, podmínky: < 0.01 odhad záporného kořene: ˆx 1 = ± Pozn. Tabulka hodnot pro jinou volbu počáteční aproximace: < 0.01 odhad záporného kořene: ˆx 1 = ±

5 2-3. Metoda bisekce, met. prosté iterace, Newtonova metoda pro řešení f(x) = 0. Kateřina Konečná/ 5 odhad kladného kořene: volba iterační funkce: x + e x 2 = 0 g(x) = x = 2 e x, podmínky: 1. g(x) C 0, 2 2. g(0) = 1 0, 2 g(2) = , 2 extrém? g (x) = e x... nemá extrém na 0, 2 3. g (0) = 1 posunout levý krajní bod intervalu do 0.1 nový interval 0.1, 2 + dodatečné ověření podmínek: g(0.1) = , 2, g (0.1) = < 1 g (2) = < 1 extrém? g (x) = e x... nemá extrém na 0.1, 2 odhad kladného kořene: < 0.01 ˆx 2 = ± Pozn. Tabulka hodnot pro jinou volbu počáteční aproximace: < 0.01 odhad kladného kořene: ˆx 2 = ±

6 2-3. Metoda bisekce, met. prosté iterace, Newtonova metoda pro řešení f(x) = 0. Kateřina Konečná/ 6 c) Newtonova metoda x i+1 = x i f(x i) f, i = 0, 1,... (x i ) STOP kritérium: x i+1 x i < ε odhad záporného kořene: Fourierovy podmínky:

7 2-3. Metoda bisekce, met. prosté iterace, Newtonova metoda pro řešení f(x) = 0. Kateřina Konečná/ 7 iterační proces: i x i x i+1 x i+1 x i < 0.01 odhad záporného kořene: ˆx 1 = ± odhad kladného kořene Fourierovy podmínky: 1. f(x) = x + e x 2 C ( 0, 2 ) f (x) = x C ( 0, 2 ) f (x) = e x C ( 0, 2 ) 2. f (0) = 0 f (2) = extrém? f (x) = e x nemá extrém na 0, 2 f (0) = 1 f (2) = extrém? f (x) = e x nemá extrém na 0, 2 3. volba počáteční aproximace x 0 : f(0) = 1 f(2) = f(2) f (2) > 0 x 0 = 2 iterační proces: < 0.01 odhad kladného kořene: ˆx 2 = ±

8 2-3. Metoda bisekce, met. prosté iterace, Newtonova metoda pro řešení f(x) = 0. Kateřina Konečná/ 8 Řešený příklad z praxe. Parašutista padá z klidového stavu. Jeho rychlost v je dána v závislosti na čase rovnicí v(t) = c ( c m t), kde g = 9.8 m s 2 a c = 13 kg s 1. Předpokládejme, že parašutista váží m = 95 kg. Odhadněte dobu, po které parašutista dosáhne rychlosti 35 m s 1 a) analyticky, b) metodou bisekce (s přesností ε < 10 3 ), c) metodou prosté iterace (s přesností ε < 10 3 ), d) Newtonovou metodou (s přesností ε < 10 3 ). Zdroj: [1] Řešení. a) analytické řešení: Řešíme nelineární rovnici f(t) = 0, kde f(t) = c ( c m t) v: v = ( c t) m c cv = c m t e c m t = 1 cv c ( m t = ln 1 cv ) t = m ( c ln 1 cv ) t. = s f(t) ^f(t) + ξ t > t b) metoda bisekce: např. I = 3, 6 i a i b i s i d i f(a i ) f(b i ) f(s i ) < ε odhad kořene: ˆt = ±

9 2-3. Metoda bisekce, met. prosté iterace, Newtonova metoda pro řešení f(x) = 0. Kateřina Konečná/ 9 c) metoda prosté iterace: Volba iterační funkce: g(t) = Ověření podmínek: 1. g(t) C ( 3, 6 ) cv te c m t, I = 3, 6 2. g(3). = , 6 g(6). = , 6 Má funkce g(t) na intervalu 3, 6 extrém? jedná se o zobrazení do sebe 3. g (3). = < 1 g (6). = < 1 Má funkce g (t) na intervalu 3, 6 extrém? Výpočet: platí g (t) < 1 t 3, 6 g (t) = může nastat pouze 2. situace: 1 c m t = 0 t = m c g (t) = cv ( e c m t c m ( cv e c m t 1 c ) m t = 0 e c m t = 0 1 c m t = 0. = / 3, 6 (1 c ) m t + e c m t c m cv c m může nastat pouze 1. situace: 2 c m t = 0 t = 2m c i t i t i+1 = g(t i ) t i+1 t i < 0.01 ) = 0 (2 c m t ) e c m t = 0 2 c m t = 0 e c m t = 0. = / 3, 6 odhad kořene: ˆt = ±

10 2-3. Metoda bisekce, met. prosté iterace, Newtonova metoda pro řešení f(x) = 0. Kateřina Konečná/ 10 d) Newtonova metoda: Vycházíme z rovnice a řešíme f(t) = 0, kde Volíme interval I = 3, 6. Ověření Fourierových podmínek: v = c f(t) = c ( c m t) ( c m t) v. 1. f(t) = ( c t) m v C ( 3, 6 ) c f (t) = ( e c t) m c c m =... = ge c m t C ( 3, 6 ) f (t) = cg m e c m t C ( 3, 6 ) 2. f (3) = f (6) = extrém? exponenciála monotonní funkce nemá extrém na I f (3) = f (6) = extrém? exponenciála monotonní funkce nemá extrém na I 3. volba počáteční aproximace x 0 : f(3) = f(6) = f(3) f (3) > 0 x 0 = 3 iterační proces: < odhad kořene: ˆt = ± [1] [verze: 4. X. 2017]