Literatura [] DUFKOVÁ, M. Energie ze všech stran. Praha: ATYPO, 003. [] HEISENBERG, W. Fyzika a filozofie. Praha: AURORA, 000. [3] KRAUS, I. Fyzika v kulturních ějinách Evropy I, II. Praha: ČVUT, 006, 007. [4] MALÍŠEK, V. Co víte o ějinách fyziky. Praha: Horizont, 986. [5] KALČÍK, J., SÝKORA, K. Technická termomechanika. Praha: Acaemia, 973. [6] KRUPKA, F., KALVODA, L. Fyzika. Praha: SNTL, 989. [7] ŠORIN, S., N. Sílení tepla. Praha: SNTL, 968. [8] FRIŠ, S., E., TIMOREVOVÁ, A., V. Kurs fyziky I. Praha: ČSAV, 96. [9] HAJKO, V. a kol. Fyzika v príklaoch. Bratislava: Alfa, 983. [0] BARTUŠKA, K., SVOBODA, E. Fyzika pro gymnázia molekulová fyzika a termika. Praha: Prometheus, 000. [] LEPIL, O. a kol. Fyzika pro gymnázia optika. Praha: Prometheus, 00. [] UNGERMANN, Z. a kol. 8. ročník fyzikální olympiáy. Praha: SPN, 99. [3] HOLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J. Mechanika Termoynamika. Brno: VUTIUM, 000. [4] TUREK, I. a kol. Mechanika Sbírka úloh. Praha: SNTL, 98. [5] Stránky časopisu KVANT. Dostupné na Internetu: <http://kvant.mccme.ru/.> [6] VÍTEK, J. Svět harware Technologie současného a buoucího chlazení. Dostupné na Internetu: <http://www.svetharware.cz/.> (Článek ze ne.. 005) Obsah Přenos tepla Stuijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku Ivo Volf Miroslava Jarešová Miroslav Ouhrabka Úvo 3 Pohle o historie termiky 5 Kalorimetrická rovnice 9 Příkla přítokvoyobazénu................ 9 Příkla ohřívání voy v bazénu................ 0 Příkla 3 rychlovarná konvice.................. 0 Příkla 4 pavilon tropických haů............... Úlohy k samostatnému řešení................. 3 Zroje tepla, paliva Příkla 5 tepelná elektrárna................... Příkla 6 jíza automobilu................... 3 Příkla 7 výkon lokomotivy vlaku............... 3 Úlohy k samostatnému řešení................. 4 4 Přenos tepla 4 4. Přenos tepla veením........................ 5 4.. Průcho tepla jenouchou rovinnou stěnou....... 6 Příkla 8 chata......................... 6 4.. Průcho tepla složenou rovinnou stěnou......... 7 Příkla 9 chata......................... 8 4..3 Průcho tepla jenouchou válcovou stěnou (potrubím) 9 4..4 Průcho tepla složenou válcovou stěnou......... 0 Příkla 0 izolované potrubí................... 0 Příkla álkový teplovo................... 0 Doplněk.............................. 4. Přenos tepla prouěním...................... 4 4.. Veení a prostup tepla rovinnou stěnou......... 5 Příkla okna.......................... 6 4.. Ustálený prostup a veení tepla válcovou stěnou.... 8 Doplněk.............................. 8 4..3 Přestup tepla u těles ohřívaných elektricky....... 9 40
Doplněk 3 Doposu jsme se zabývali situací ustáleného stavu. Poívejme se nyní na situaci, ky zahřáté těleso chlane. Ze už se neobejeme bez vyšší matematiky, a proto byla tato úloha zařazena o nepovinného oplňku. Příkla 7 vlákno žárovky Wolframové vlákno laboratorní žárovky, které má poloměr r =0, mm,serozžhaví průchoem elektrického prouu na teplotu t = 800 C. Vypočtěte, za jakou obu po vypnutí prouu klesne teplota vlákna o 500 C. Přepokláejte, že vlákno září jako osamocené vakuové absolutně černé těleso (tak tomu ve skutečnosti není). Hustota wolframového vlákna je ϱ = 9 300 kg m 3, měrná tepelná kapacita wolframu je c = 34 J kg K. Kyž vlákno s povrchem S =πrl září jako absolutně černé těleso, pak vyzáří energii P τ = σt 4 πrlτ. Za obu τ poklesne teplota vlákna z teploty T na teplotu T T avlákno vyzáří energii P τ = cmt, Za přepoklau stacionárního stavu (tj. stavu, v němž lze stále hovořit o teplotě) σt 4 πrlτ = cϱπr LT. Po úpravě je τ = cϱr T σ T 4. Po integraci τ 0 τ = cϱr σ T T T T 4, tj. τ = cϱr ( 6σ T 3 ) T 3. Po osazení číselných honot T = 3 073 K, T = 573 K ostaneme oha pro hleanou obu τ =4s. Úvo Milí čtenáři, překlááme vám nový stuijní text, který se tentokrát zabývá problematikou zařazenou o termiky. Termika nepatří mezi ty partie fyziky, které by považovali za oblíbené jak stuenti, tak vyučující. Pro učitele je výkla tepelných jevů opravovým oříškem. Je totiž založen na výklau vou záklaních pojmů, které se promítají o celého textu: teplota a teplo. Termoynamická teplota patří mezi záklaní fyzikální veličiny, a proto je její výkla velmi složitý. Učitel by měl začít tělesnými pocity člověka a skončit pochopením klasických i moerních meto měření a přístrojového vybavení, jež je pro měření potřebné; často musí pro výkla měření teploty užít jevů, o nichž se žáci zatím neučili. Stejně tak teplo, často v obecné řeči zaměňované za teplotu ( tay je teplo ), jež se měřilo v 9. století nejprve v kaloriích a potom v joulech, se obtížně vykláá. Celkové pojetí přešlo o fluiové teorie kalorické na konci 8. století přes první termoynamický zákon, mechanický ekvivalent tepla a tepelný ekvivalent práce až k nešnímu společnému výklau tří pojmů: mechanická práce, teplo a změna vnitřní energie. Pro stuenty je tak problematika náročná na pochopení, výkla musí být provázen mnoha pokusy, a na ně ve škole příliš času nezbývá. K tomu všemu ještě přistupuje současná vojitá výuka o teplotě a teple na záklaě pozorovaných a měrných jevů jsou ve fyzice vyvozeny zákony, které postupně vytvořily termoynamiku. Ta shrnuje fenomenologický pohle na tepelné ěje. Současně v 9. století vznikl ruhý pohle na stejné jevy pohle molekulové fyziky s využitím statistických meto. Náš text bue pracovat s pojmy teplota a teplo jako s fenomenologickými veličinami teplo vystupuje jako jena z příčin změny vnitřní energie tělesa a teplota je záklaní fyzikální veličina. Položme si nyní otázku: proč vlastně tento text vznikl? Vznikl nejen proto, aby oplnil učivo střeoškolské fyziky, ale také proto, že s teplem bychom také měli umět hospoařit. Dobře hospoařit to však neje bez pochopení záklaních fyzikálních poznatků a závislostí, které s tím souvisejí. Poíváme-li se např. o [], což jeen z mnoha materiálů publikovaných elektrárenskou společností ČEZ, je ze uveen násleující ostavec: Energetické ztráty při bylení souvisejí bezprostřeně s vlastnostmi obylí i se způsoby jeho užívání. Kyž si přestavíme byt jako určitý obestavěný objem, pak je zřejmé, že záklaním problémem buou tepelné ztráty. Záleží na tom, jak je byt proti vnějšku izolován a kolik jeho povrchů je přímo ochlazováno otykem s vnějším, většinou chlanějším ovzuším. Záleží rovněž na tvaru a členitosti stavby, protože kompaktní hmota má menší povrch a je méně ochlazována. Tepelné ztráty jsou také 38 3
Úlohy k samostatnému řešení 3 Úloha 8 cihlová zeď Kolik tepla Q proje veením za hoinu cihlovou zí tloušťky 50 cm, jestliže vnější teplota je 0 Cavnitřníje C?Stěnamározměry3m 5maje postavena a) z pálených plných cihel (λ 0 =0,87 W m K ), b) z utých cihel (λ =0,56 W m K ). Úloha 9 izolovaná cihlová zeď Cihlovou zeď z úlohy 8 opatříme zevnitř izolací ze skleněné vaty o tloušťce = =5cm(λ =0,046 W m K ), zvenku omítkou o tloušťce 3 =cm (λ 3 =0,87 W m K ). Jak se změní teplo, které proje touto stěnou? Určete také teploty na rozhraní jenotlivých vrstev. Řešte opět pro přípay a) i b) jako v úloze 8. Úloha 0 kotel Jaký tepelný tok proje plochou (kterou bueme považovat za rovinnou) o obsahu m kotle při přechou tepla ocelovou stěnou (λ =47W m K ) otloušťce = 5 mm z kouřových plynů o teplotě t = 500 Covroucívoy t = 00 Cproα =0W m K (kouřové plyny), α = 400 W m K, je-li stěna a) z obou stran čistá, b) z jené strany znečištěna kotelním kamenem (λ =0,8 W m K ) o tloušťce vrstvy = mm, c) z jené strany znečištěna vrstvou sazí (λ =0,08 W m K )otloušťce vrstvy =mm, ) znečištěna z jené strany kotelním kamenem a z ruhé vrstvou sazí. Porovnejte jenotlivé situace. Úloha trubkový výměník V trubkovém výměníku se ohřívá vzuch pomocí konenzující páry. Součinitel přestupu tepla na straně vzuchu je α =50W m K, na straně páry α = 6 000 W m K.TeplotnírozíljeΔt =50 C, tepelný opor stěny měěné trubky λ = 394 W m K. Vnější poloměr trubky r =0,0 m, tloušťka stěny =,5 mm. Vzuch prouí vně trubek. Vypočtěte tepelný tok Q τ opovíající jené trubce. Pohle o historie termiky Obobí překlasické termiky je možno zařait o obobí starověkého Řecka. Překlasická termika spočívala na pevných záklaech termometrie a kalorimetrie. Za celá staletí se poařilo získat jen několik elementárních poznatků o tepelných jevech. Za nejůležitější z nich se již ve starověku považoval oheň a také umění ho získat. Hérakleitos (540 480 př.n.l.) považoval oheň za záklaní pralátku, ze které vše vzniká a v níž vše zaniká svět je proces neustálé změny ohně ve věci a věci v oheň. Další řecký filozof Aristoteles (384 3 př.n.l.) již mluvil o ohni v souvislosti s pohybem. Rozlišoval pohyb přirozený a násilný, přirozený pohyb pak vee těleso (živly vzuch, voa, země, oheň) po vertikální přímce na své přirozené místo v kosmu: vzuchu a ohni přitom opovíá pohyb nahoru, zemi a voě zase naopak shora olů. Aristoteles kromě těchto živlů zavel ještě pátý živel éther (aither). Z něj jsou stvořena nebeská tělesa, a také vyplněn prostor, ve kterém tato tělesa obíhají. Záklaní vlastností étheru je jeho neměnnost; neměnné je proto jak nebe, tak nebeské sféry. Ze je možno viět již prvopočátky snahy mluvit o tepelném prouění. Aristoteles také tvril, že teplo se může získat pohybem (třením), ale samo o sobě není pohybem. Toto tvrzení je možno již považovat za jeen z prvopočátků kinetické teorie látek teplo je projevem vnitřního pohybu molekul a atomů tělesa. Poznatky na této úrovni nebyly překonány asi po 000 let. Ve 3. až. století př.n.l. žil fyzik a vynálezce Filón Byzantský, který zkonstruoval vzuchový termoskop přístroj k inikaci tepelných stavů (přechůce teploměru). Teprve o 500 let pozěji G. Galilei (564 64) pokračoval za pomoci termoskopu v rozvíjení termometrie. Tey Galilei nevynalezl teploměr, jak se něky mylně uváí, ale navazoval již na práci Filóna. Galilei však ještě nerozlišoval pojmy teplo a teplota. Termika jako novověká věa vznikla na počátku 7. století. Baatelé se v té obě již spolehlivě naučili měřit teplotu, a tím byly položeny záklay termometrie. V 8. století se již začala rozvíjet kalorimetrie, ošlo k olišení pojmů teplo a teplota. Mezi úspěchy klasické termiky lze považovat vytvoření teplotních stupnic. Byly sestrojeny teploměry, jejichž stupnice byly pojmenovány na počest jejich tvůrců: D. G. Fahrenheit (686 736), R. A. Réaumur (683 757), A. Celsius (70 744). Jako velmi ůležité se v té obě ukázalo vyslovení zákonů zachování hmotnosti a energie. Zákony formuloval A. L. Lavoisier (743 794), který se zabýval přeevším procesem hoření, a M. V. Lomonosov (7 765), který jako první vyslovil omněnku, že tepelné jevy jsou přeevším projevem pohybu robných částic, z nichž je látka složena, ále experimentálně prokázal platnost zákona zachování hmoty. Ze je opět na místě oat, že se pojetí těchto učenců 36 5
aplanetkou. Úhlový průměr Slunce pak je roven α = R. Na planetku opaá část tepelného záření vyzařovaného fotosférou Slunce, která je rovna πr 4π,což opovíá tepelnému výkonu, přijímaného planetkou o fotosféry Slunce, tj. P =4πR σt0 4 r 4. Takový výkon pak musí vysílat i povrch planetky, přičemž bueme uvažovat, že íky rychlému otáčení a obré tepelné voivosti je teplota T povrchu planetky rovnoměrně rozložena. Proto také můžeme psát P =4πr σt 4. Z rovnosti výkonů pak ostaneme 4πR σt0 4 po úpravě z čehož ( T 4 = T0 4 R r 4 =4πr σt 4, ) 6, T = T 0 α = 6 000 π,5 K = 485,4 K. 80 b) Na záklaě řešení úlohy a) můžeme psát T ΔT = R T 0 = R T 0 po úpravě T ΔT = T,, z čehož = ( ΔT ) =,59. T Vzálenost by se musela zvětšit o 59 % půvoní vzálenosti. 4.3. Průcho elektrického prouu voičem V části 4..3 jsme se zabývali problémem přestupu tepla u těles ohřívaných elektricky. V této části jsme však uvažovali, že teplo je z voiče ováěno pouze prouěním. V násleujícím příklau zkusíme problém chlazení tohoto voiče řešit z hleiska, že voič vysílá tepelné záření o okolí jako černé těleso. mechaniky na velmi komplikované mechanické systémy. Přesněji řečeno R. J. Clausius (8 888), který je považován za zaklaatele termoynamiky, v roce 850 formuloval v nešním tvaru první a ruhý zákon termoynamiky, v roce 854 zavel pojem kruhových, v roce 86 nevratných procesů a v roce 865 pojem entropie. J. W. Gibbs (839 903) zase přispěl přeevším o teoretických záklaů chemické termoynamiky. Známý je pojem Gibbsova energie, pravilo fází a teorie termoynamických potenciálů. L. Boltzmann (844 906) popsal v teorii plynů záklaní rozíl mezi ěji mechanickými a tepelnými. Mechanické ěje jsou v postatě vratné, tj. kažý může probíhat i v obráceném směru. Tepelné pochoy jsou však nevratné. Boltzmann je spoluobjevitelem Stefanova Boltzmannova zákona o intenzitě vyzařování a objevitelem zákona o záření černého tělesa. V neposlení řaě nelze také nepřipomenout práce W. Thomsona (lora Kelvina) (84 907), který se také věnoval výzkumům na poli termoynamiky. Vytvořil absolutní termoynamickou stupnici. Thomson ošel k závěru, že musí existovat olní hranice ochlazení těles, tj. přirozená teplotní nula 3. Zjistil, že tato absolutní nula opovíá v Celsiově teplotní stupnici honot 73,5 C. V našem výčtu osobností by však neměla chybět ani jména S. Carnota (796 83), známý je přeevším Carnotův cyklus a R. Mayera (84 878) Mayerův vztah. Vraťme se však zpátky a poívejme se na historický vývoj popisu tepelného záření černého tělesa. První zmínky o tepelném záření je možno nalézt již ve ruhé polovině 8. století. Další vývoj nastal íky pracem G. Kirchhoffa (84 887), který vysvětlil vztah mezi emisí a absorpcí záření, založil spektrální analýzu látek a efinoval pojem černého tělesa. Další vývoj pak nastal, kyž byl zaveen moel absolutně černého tělesa jako okonalého zářiče. Německý fyzik W. Wien (864 98) si v roce 893 všiml, že vyšší teplotě bue opovíat kratší vlnová élka opovíající maximu, energie normované vyzařovaného záření a formuloval Wienův posunovací zákon. O alší popis vyzařování černého tělesa s využitím klasické fyziky se pokoušeli také již výše zmiňovaní fyzikové J. Stefan (835 893) a L. Boltzmann, kteří ovoili Stefanův-Boltzmannův zákon. Dospěli však pouze k přibližným výslekům stejně jako J. Strutt (Lor Rayleigh) (84 99) a J. Jeans (877 948), kterým se poařilo ovoit v roce 900 zákon popisující záření černého tělesa, který však platil pouze v louhovlnné oblasti spektra. Výše uveené neostatky ostranil teprve M. Planck (858 947), a to tak, že nejprve zavel pojem kvanta záření. V roce 900 pak publikoval rovnici, která popisuje záření absolutně černého tělesa ve 3 Takto se to běžně uváí ve většině učebnic. Poznatek, že musí existovat teplota, po níž nelze žánou látku ochlait, však vyslovil již na začátku 8. století G. Amontons (663 705). 34 7
Poívejme se nyní na černé těleso porobněji. Na prvním místě je třeba uvést, že černé těleso přestavuje pouze určitý fyzikální moel. Záklaní požaavek klaený na tento moel je, že černé těleso pohlcuje veškeré záření, které na toto těleso opaá. Neochází ze k žánému orazu záření. Za jeen z nejvýstižnějších moelů černého tělesa se považuje utina, jejíž vnitřní povrch je pokryt např. sazemi. Po vniku elektromagnetického záření o utiny, se při opakovaných orazech o stěny utiny veškeré záření pohltí (obr. ). Otvor takto vzniklé utiny se nám pak jeví jako černé těleso, tey jako okonalý zářič při ané teplotě T. Obr. Moel černého tělesa Při určité teplotě T vyzařuje černé těleso o okolí elektromagnetické vlnění všech vlnových élek (vlnění však nejsou tímto tělesem vyzařována se stejnou intenzitou). Nejlépe je to viět graficky: na voorovnou osu grafu vynášíme vlnovou élku λ zroje záření, na svislé ose pak je funkce M λ = f(λ, T ), spektrální hustota vyzařování. Různé křivky pak opovíají různým teplotám zroje. Kalorimetrická rovnice S kalorimetrickou rovnicí jste se již seznámili v hoinách fyziky. Nyní si jenom stručně shrneme její použití. Jestliže potřebujeme ochlait horkou vou, můžeme k tomu užít některého z násleujících způsobů: přiat určitý objem stuené voy nebo přiat několik kostek leu, popř. počkat určitou obu, až voa vychlane. Ve všech přípaech říkáme, že se snížila teplota voy a horká voa některým z těchto způsobů přeala teplo svému okolí. Jestliže k tělesu o hmotnosti m, měrné tepelné kapacitě c ateplotět áme o tepelného kontaktu těleso o hmotnosti m, měrné tepelné kapacitě c ateplotět, potom se po určité obě teplota vyrovná na honotu t,pronižplatí t <t<t (je-li t <t )nebot >t>t (pro t >t ). Nechť t >t. Potom teplejší těleso (tj. těleso o vyšší teplotě t ) přeá teplo Q = c m (t t) tělesu chlanějšímu a chlanější těleso přijme teplo Q = c m (t t )o teplejšího tělesa. Z rovnosti tepla přijatého a oevzaného (neboť soustavu těles považujeme za ieálně izolovanou) plyne vztah c m (t t) =c m (t t ). Otu můžeme určit výslenou honotu teploty t = c m t + c m t, c m + c m popřípaě můžeme stanovit alší veličiny (půvoní teplotu, měrné tepelné kapacity apo.). Příkla přítok voy o bazénu Obr. 3 Rozělení energie ve spektru černého tělesa Graf ukazuje, že při vyšší teplotě je celková energie záření větší (zvětšuje se plocha vymezená grafem funkce M λ = f(λ, T )). Největší honota M λ se pak posouvá ke kratším vlnovým élkám. Vlnová élka λ max pak opovíá maximální honotě spektrální hustoty vyzařované při ané teplotě, okonalého zářiče. Z grafu je viět, že λ max se zmenšuje při nárůstu T. Na konci 9. století rakouský fyzik W. Wien objevil závislost λ max a T (spojnice vrcholů křivek), Wienův posunovací zákon λ max = b T, V lázních prováějí rehabilitační cvičení v bazénu o rozměrech na 300 cm 400 cm, voa se o něj napouští o výšky 0 cm. Voa se vyměňuje vžy přes noc, a to vakrát týně. Kyž nechají přitékat stuenou vou o teplotě 5 C, naplní se bazén za 3 hoiny, kyž nechají přitékat teplou vou o teplotě 75 C, naplní se za 8 hoin. Za jak louho se bazén naplní, kyž přitékají stuená i teplá voa současně? Jaká bue výslená teplota voy v bazénu? Měrná tepelná kapacita voy je c = 4 00 J kg K. Objem voy je V =30 40 l = 4 400 l, její hmotnost m =4,4 0 3 kg. 4 400 l Stuená voa přitéká s objemovým tokem Q V = 80 min =80l min, teplá voa s Q V =30l min. Celkový objemový tok je Q V = 0 l min, τ je oba nutná k naplnění bazénu. Pro výměnu tepla platí Q V τc(t t )=Q V τc(t t), 3 9
kam jsme za S osaili S = πr pro voiče o kruhovém průřezu. Příkla 3 tavná pojistka Tavná pojistka je tvořena měěným voičem bez izolace, jehož příčným řezem je kruh o poloměru r =0,05 mm. Okolí voiče pojistky tvoří vzuch, voič není v uzavřeném obalu. Teplo, vzniklé průchoem elektrického prouu, prouí o okolí, α =0W m K. Teplota tání měi t t = 083 C, měrný elektrický opor měi při teplotě 0 Cjeϱ el0 =7,8 0 9 Ω m, α el =4 0 3 K. Určete, jaký maximální prou může téci pojistkou,aby se nepřetavila.přiřešení uvažujte, že teplo je z pojistky ováěno pouze prouěním. Použitím vztahu (5) ohaneme měrný elektrický opor měi při teplotě tání, tj. ϱ el =9,35 0 8 Ω m. Pak o vztahu (8) osaíme t s0 = t t.proprou I max pak ostaneme I max = (t t t 0 ) π αr 3 =0,75 A. ϱ el Pojistka se přepálí, bue-li jí procházet prou 0,75 A. Poznámka Ve skutečnosti může touto pojistkou procházet prou o něco větší, protože kromě prouění ze rozhouje také vliv záření, což si ukážeme v alší části. Rovněž je třeba si také uvěomit, že pojistka v příklau 3 je moel skutečné pojistky přestavují uzavřený prostor. 4.3 Sílení tepla sáláním (zářením) Sálání souvisí se změnami vnitřní energie tělesa a násleně těleso vyává záření. Toto záření je pak vysíláno ve formě elektromagnetických vln o prostoru, který těleso obklopuje. Dopane-li toto záření na nějaké jiné těleso a oje-li k pohlcení tohoto záření, zvýší se vnitřní energie tohoto tělesa. Souhrnně se vzájemné sálání a pohlcování při vou nebo i více tělesech s různými teplotami nazývá sílení tepla sáláním. Schematicky lze tyto ěje znázornit takto: Zářící těleso Záření Zvětšení vnitřní energie absorbujícího tělesa z čehož τ = m l t + c(m + m )(t t ) = 488 s = 8, min. Pη Voa se bue vařit asi za 8 minut. Příkla 4 pavilon tropických haů V pavilonu tropických haů je třeba uržovat stálou teplotu 7 C. Uzavřené terárium má rozměry 400 cm 500 cm 00 cm. Kyby nefungovalo zahřívací zařízení, během 3,0 hoin klesne teplota na C. Hustota vzuchu je ϱ = =,65 kg m 3, měrná tepelná kapacita vzuchu je c = 000 J kg K. Jaký musí být příkon zařízení v teráriu? Objem terária je V =40 50 0 l = 40 000 l = 40 m 3. Hmotnost vzuchu je m = V ϱ =46,6 kg, úbytek tepla je Q = cmδt = 80 kj, nutný příkon ohřívacího zařízení pak je P = Q =5,9 W. Požaovaný výkon ohřívacího t zařízení bue asi 6 W. Ve skutečnosti bue ohřev probíhat s výkonem větším a zahřívací zařízení bue krokově regulováno termostatem. Úlohy k samostatnému řešení Úloha plechová vana Do vany přitéká horká voa o teplotě 80 C s objemovým tokem 8 l min a stuená voa o teplotě 5 C s objemovým tokem l min.nakoupání je vhoné napustit 60 l voy. Plechová vana má hmotnost 40 kg, počáteční teplota vany je 0 C a měrná tepelná kapacita materiálu vany je 460 J kg K. Jaká je výslená teplota voy? Úloha rychlovarná konvice Pole technických úajů se o rychlovarné konvice veje maximálně,7 l voy a zahřívání probíhá s příkonem 800 až 00 W a účinností 85 %. Do konvice nalijeme, lvoyoteplotě5 C. Za jak louho se začne voa vařit? Úloha 3 pokusy s parafinem Při pokusech máme 00 g parafinu o teplotě 0 C. Víme, že parafin taje při teplotách (49 až 54) C, měrné skupenské teplo tání parafinu je 47 kj kg, 30
4.. Ustálený prostup a veení tepla válcovou stěnou Jsou-li r a r vnitřní a vnější poloměry potrubí, můžeme analogicky jako pro prostup rovinnou stěnou (s užitím vztahu () a obobně le vztahu ()) psát Doplněk Q τ = (t t )L + πr α πλ ln r. (4) + r πr α Ze vzorce (4) je viět, že při zvětšení vnějšího poloměru r trubky se zvětší tepelný opor πλ ln r vrstvy a zmenší se tepelný opor přestupu tepla r πr α na vnějším povrchu trubky. Existuje tey nějaký optimální průměr (r ) opt,při němž je celková tepelná voivost k = + πr α πλ ln r + r πr α největší, a tím také největší prostup tepla 5.Extrémníhonotupoloměrur určíme erivací výrazu pole proměnné r (r >r při r,r 0,r = konst.) + πr α πλ ln r +. r πr α Tuto erivaci [ pak položíme rovnou nule, tj. + r πr α πλ ln r ] + = r r πr α πλr r πα r =0. Dostaneme (r ) opt = λ. α Tento vztah efinuje Biotovo kritérium (Bi) opt = α =, λ pro (r ) opt.je-lir < (r ) opt způsobuje zvětšení tloušťky trubkové stěny zvýšení prostupu tepla. Pro ocelové trubky s λ =60W m K při α =0W m K (což opovíá přestupu trubek při volném prouění vzuchu) je optimální honota r značně velká: (r ) opt =6m. Při velmi intenzivní výměně tepla ocelových trubek s okolním prostřeím α =0 4 W m K (což opovíá přestupu tepla u trubek při nuceném prouění voy) je optimální poloměr malý (r ) opt = 6 mm. Příkla 6 jíza automobilu Kyž jee automobil rychlostí 90 km h,máspotřebu6,8 litru na 00 kilometrů trasy. Benzin má výhřevnost 46 MJ kg, z čehož pouze % připane na mechanickou práci nutnou k uržení rychlosti. Hustota benzinu je 700 kg m 3. Jak velký je výkon automobilu a jaká je tažná síla motoru? Označíme ané veličiny: v =90km h =5m s, s = 00 km =,0 0 5 m, V =6,8 l,h =46MJ kg, η =%=0,, ϱ = 700 kg m 3. Spálením benzinu získáme teplo Q = VϱH.Trasus =,0 0 5 m urazí stálou rychlostí v za obu τ = s ηv ϱhv, takže výkon je P = =,0 kw. Tažná síla F = v s ηv ϱh = = 48 N. s Příkla 7 výkon lokomotivy vlaku Při stálé rychlosti 54 km h táhne lokomotiva náklaní vlak, přičemž překonává valivý opor a opor vzuchu. Ohaněme tahovou sílu lokomotivy na 50 kn. Celková účinnost parní lokomotivy je maximálně,5 %,elektrické 60 %, ale účinnost elektrárny je menší než 35 %. Ohaněte výkon lokomotivy, spotřebu stanarního paliva o výhřevnosti 9,4 MJ kg za obu jízy 30 minut a úsporu paliva, způsobenou užíváním elektrické trakce. Vlak se pohybuje stálou rychlostí v =5m s. K překonání celkového oporu proti pohybu vyvíjí tažnou sílu F = 50 kn, takže stálý výkon je roven P = Fv = 750 kw. Za obu τ = 800 s vykoná tažná síla práci W = Pτ = 350 MJ. Spotřeba uhlí při účinnosti η =,5 %=0,5 se stanoví z rovnice Pτ = W = mηh, tj.m = W = 370 kg. ηh V elektrárně spotřebují na stejnou práci méně stanarního paliva; celková účinnost je η =0,35 0,60 = 0,, tey m = W = 0 kg. Úspora paliva η H činí 50 kg, tj. téměř 4 %. Elektrická trakce má však také alší, převážně ekologické přenosti. 5 Po pojmem optimální bueme chápat situaci, ky ochází k největšímu prostupu tepla pak ochází k nejlepšímu chlazení. 8 3
Poznámka Analogickým způsobem bychom mohli ovoit vzorec pro celkový prostup tepla stěnou skláající se z n vrstev. Výslený vztah pro Q τ by pak měl tvar t Q τ = t + n i + S, α i= λ i α ke můžeme označit výraz + n i + α i= λ i α voivost stěny. VztahproQ τ lze pak zjenoušit na tvar Q τ = k(t t )S. =,kek je celková tepelná k Poívejme se nyní na problém několika zahřátých (chlaných) rovinných esek při samovolném prouění. Do této oblasti patří např. obor celé topné techniky, ale i přípay, v nichž ochází ke ztrátám tepla o okolí. V těchto situacích se také může uplatnit vliv sálání, o kterém se zmíníme pozěji (s tím pak musíme počítat zvlášť). Přirozeného prouění je nejprve jenoznačně laminární. S rostoucí výškou topné plochy však ochází k tomu, že prouění začíná být čím ál více vírové, až nakonec přeje v prouění turbulentní (přípaně se t 0 <t s t 0 <t s také může oělit o stěny obr. 9). K turbulentnímu prouění také ochází při větších teplotních rozílech t s t s mezi eskou a tekutinou (pro Δt > 5 C). Z tohoto ůvou není v těchto Obr. 9 Prouění u zahřátých rovinných přípaech součinitel α přestupu tepla esek konečných (vlevo) a nekonečných konstantní. (vpravo) rozměrů při samovolném prouění Výše popsanou situaci si nyní ilustrujme příklaem. Příkla okna Majitel měl na chatě jenouchá okna o rozměrech 60 cm 0 cm, sklo o tloušťce 3 mm má součinitel λ =0,75 W m K. Aby zlepšil tepelnou izolaci, rozhol se sklo zvojit. Na jenom okně ostranil tmel a přial sklo těsně na sklo již existující. Jeho syn však umístil sklo na rám tak, že vznikla vzuchová mezera o tloušťce 4 cm. Jak se změnila tepelná izolace v prvním a jak ve ruhém přípaě. Uvažujte, že α =0W m K,jestejněvelképro všechna prostřeí. Přenos tepla zářením spočívá ve vysílání záření a jeho násleném pohlcování, jež vee ke zvýšení vnitřní energie v látce, která záření absorbuje. Přenos tepla v reálných situacích v různých zařízeních je obvykle kombinací vou nebo i všech tří uveených způsobů. My se však při vytváření moelových situací bueme snažit kažý aný přípa popisovat pomocí způsobu, který bue převažovat. Naše moely buou zjenoušené, ale pouze natolik, aby poku možno co nejvýstižněji popisovaly anou situaci a vyhovovaly výslekům zjištěným z měření. Protože prostup tepla připomíná průtok voy potrubím nebo náboje voičem, je ze možno nalézt řau analogií. Z tohoto hleiska lze veení tepla rozělit také na: ustálené (stacionární) veení tepla; při ustáleném veení je teplotní rozíl mezi jenotlivými částmi tělesa stálý, tj. nezávisí na čase, neustálené (nestacionární) veení tepla; při neustáleném veení postupně ochází k postupnému vyrovnávání teplotních rozílů mezi jenotlivými částmi tělesa. V tomto textu se bueme zabývat pouze ustáleným veením tepla. Naše zjenoušené moely, které bueme používat, buou nejjenouššími výsleky postupů, ke kterým se ospělo řešením iferenciálních rovnic (Fourierova rovnice veení tepla), ale také i použitím statistických meto (ovození Stefanova- Boltzmannova) zákona. Až buete na vysoké škole, a buete používat vyšší matematiku, seznámíte se s metoami řešení problémů spojených s veením tepla porobněji. Jak jsme slíbili v úvou, bue v textu několik nepovinných oplňků, které poskytnou alespoň první náhle o meto, jak se k těmto problémům přistupuje pomocí vyšší matematiky. 4. Přenos tepla veením Přenos (také sílení) tepla veením spočívá v přenosu tepla ve směru klesající teploty; tey ěji způsobených interakcí mezi bezprostřeně souseícími částicemi v aném tělese. V kapalinách a plynech se k tomuto sílení tepla připojuje také sílení tepla prouěním a u látek, které částečně propouštějí záření (např. sklo), také sílení tepla sáláním. Při početním řešení sílení tepla je třeba použít va zákony:. záklaní zákon veení tepla, který vyjařuje závislost mezi tepelnými toky a teplotními spáy;. zákon zachování energie, který bychom použili na tepelné jevy. 6 5
Q τ = πλl ln r r (t t ), což je již říve uveený vztah (). 4. Přenos tepla prouěním S přenosem tepla prouěním se setkáváme v praktickém životě velmi často, ať už je o volné prouění v atmosféře, či k tepelnému přenosu při obtékání nějakých těles. V současné obě se také ostává o popřeí, jak nejlépe vyřešit problém obrého chlazení uvnitř počítače. S tímto problémem je možno se blíže seznámit např. v [6]. Ke sílení (přenosu) tepla prouěním ochází napříkla při styku kapaliny nebo plynu s pevnou stěnou. Při tom ochází k ochlazování nebo ohřívání tenké vrstvy tekutiny při stěně (pole toho, je-li teplota stěny vůči tekutině vyšší nebo nižší). Vzniklý rozíl teplot vrstev pak způsobuje přirozené prouění (obr. 7). Na obr. 7 značí A oblast sílení tepla prouěním 4 ztekutinyostěny,b značí oblast sílení tepla prouěním ze stěny o tekutiny. Rovnice, která vyjařuje tepelný tok při sílení tepla prouěním, je ána vztahem Q τ = αsδt, ke Q τ označuje tepelný tok ve wattech, S označuje plochustěnyvm,δt označuje rozíl teplot ohřívané (ochlazované) tekutiny v kelvinech, α je součinitel přestupu tepla ve W m K. Součinitel α přestupu tepla uává tepelný tok přestupující z kapaliny o stěny (nebo naopak), je-li S =m,δt = K za obu sekuny. Velikost součinitele α přestupu tepla nelze obecně vyjářit jenouchým početním vztahem, ale je nutné ho pro různé situace počítat, velmi často ohaovat empiricky. t Q τ t s Q τ A prouící Btekutina prouící tekutina t s t Obr. 7 Sílení tepla prouěním 4 Je však nutné si uvěomit, že formulace sílení tepla prouěním není fyzikálně příliš přesná, ale přestavuje často používaný termín. Z fyzikálního hleiska je třeba toto formulovat jiným způsobem, a to tak, že neprouí teplo, ale látka s vyšší teplotou, u níž pak ochází k setkání s okolními tělesy, jež zahřívá. Prouí tey ne teplo, ale méium. V alším textu tey po pojmem prouění tepla bueme rozumět zkrácené vyjáření situace, že toto prouění je způsobeno nějakým méiem. Nyní si přestavme situaci, že bychom chtěli snížit tepelné ztráty při průchou tepla touto stěnou, a to tak, že z obou stran stěny uěláme omítku. Stěna se po této úpravě již bue skláat z více vrstev. My si ále ukážeme, jak počítat tepelný tok v tomto přípaě. 4.. Průcho tepla složenou rovinnou stěnou V praktickém životě se můžeme setkat se situací, že máme rovinnou stěnu složenou z několika vrstev různé tloušťky a různé tepelné voivosti při stejné průtokové ploše (obr. 3). Ovoíme vztah pro tepelný tok při průchou tepla touto stěnou. 3 Q τ t t t 3 t 4 λ λ λ 3 Obr. 3 Složená stěna Napíšeme rovnice pro tepelné toky procházející jenotlivými vrstvami: Q τ = λ S(t t ), () Q τ = λ S(t t 3 ), (3) Q τ3 = λ 3 S(t 3 t 4 ). (4) 3 Protože ustálený tepelný tok procházející všemi stěnami má stejnou velikost, tj. Q τ = Q τ = Q τ3 = Q τ, můžeme rovnice (), (3), (4) postupně přepsat o tvarů t t = Q τs, λ t t 3 = Q τs, λ t 3 t 4 = Q τ S 3. λ Po sečtení těchto rovnic ostaneme vztah t t 4 = Q τ S ( + + ) 3. λ λ λ 3 4 7
c) Plášť izolační vrstvy má stření poloměr r = r + aélkul, mátey povrch πrl = π(r + )L. Na trase o teplárny k sílišti se za obu τ ovee teplo Q = π(r + )Lλ t t 3 τ. Obobně na trase o síliště k teplárně se ovee o okolí teplo Q = π(r + )Lλ t t 3 τ. Ztrátě tepla opovíá ztrátový výkon P z = Q + Q τ Účinnost přenosu = π(r + )Lλ(t + t t 3 ) =,76 MW. η = Q τ P z =0,97, tey η =97%. Q τ ) Označíme t teplotu voy přitékající o síliště. Potom platí Q = cm(t t ). Po osazení za Q a zaveení objemového toku je t t = π(r + )Lλ(t t 3 )ϱ =,53 Q v c C. Poznámka. Toto je přípa tenkostěnného potrubí, o němž jsme v ostavci 4..3 psali. V příklau jistě platí, že r + 40 + 5 = =,375 <,5. Proto také r 40 bylo možno při řešení této úlohy použít v přípaě výpočtu tepelných ztrát vzniklých veením vztah pro přibližné výpočty opovíající vztahu (0).. V úloze jsme uvažovali pouze tepelné ztráty veením. Ve skutečnosti víme, že v teplovou vznikají také tepelné ztráty prouěním a zářením, které jsme však při řešení úlohy neuvažovali. Doplněk a) Analýza prostupu tepla u trubek U trubkových stěn, které mají malou tloušťku ve srovnání s vnitřním průměrem, lze počítat přenos tepla pomocí vzorce pro rovinnou stěnu, kterou bychom získali rozvinutím stření kružnice válcové stěny, tj. (0). V porovnání s přesným vzorcem () (honotu jsme označili Q τ)činíchyba: Doposu jsme se zabývali situacemi, ky teplo prostupovalo rovinnými stěnami, v praxi se ale také velmi často setkáváme s prostupem tepla stěnou potrubí. V alší části si ukážeme, jak postupovat v tomto přípaě. 4..3 Průcho tepla jenouchou válcovou stěnou (potrubím) a) Tenkostěnné potrubí Zvolíme element ΔS plochy pole obr. 5 (tuto plošku bueme při našich úvahách považovat za rovinnou). Označíme-li L élku potrubí, pak můžeme psát ΔS = LrΔϕ, keδϕ = π n, ke n je počet ílků, r = r + r je stření honota poloměru. Potom ΔS = Lr π n.tepelný tok celou plochou pak ostaneme jako součet n toků jenotlivými ploškami. r t t r Δϕ r ΔS Obr. 5 Tenkostěnné potrubí S použitím vztahu () ostaneme λ Q τ = n (t r r t ) L r + r π n. po úpravě Q τ = π r + r λl(t t ). (0) r r Získaný výsleek opovíá situaci, jako kybychom celý válec rozbalili o roviny a získali rovinnou esku o rozměrech L aπr = π(r + r )atloušťce = r r. Poznámka Tento ovozený vzorec je přibližný a á se velmi obře použít pro potrubí s tenkými stěnami, tj. kyž r r <,5 (pakjepro r r =,5 chyba výpočtu, %). b) Tlustostěnné potrubí V přípaě, že potrubí je tlustostěnné, tj. matematiky ovoit přesný vztah Q τ = πλl r r >,5, je možno pomocí vyšší ln r r (t t ). () 9
Ovození vztahu () bue pro zájemce ukázáno v Doplňku na konci této pokapitoly 4.. 4..4 Průcho tepla složenou válcovou stěnou Při ovozování příslušného vztahu bychom postupovali analogicky jako ve 4... Pro válcovou stěnu složenou z n vrstev bychom mohli psát πl(t t n+ ) Q τ = ln r + ln r 3 +...+ ln r. () n+ λ r λ r λ n r n Příkla 0 izolované potrubí Potrubí o vnitřním průměru 60 mm a tloušťce stěny 5 mm má vě izolační vrstvy. Tloušťka první vrstvy je = 30 mm, ruhé = 50 mm. Určete tepelné ztráty na m potrubí. Tepelná voivost stěny potrubí λ = =60W m K, tepelná voivost první izolace je λ =0,5 W m K, tepelná voivost ruhé izolace je λ 3 =0,0 W m K. Vnitřní povrchová teplota potrubí je t = 300 C, vnější povrchová teplota izolace je t 4 =50 C. Jak se změní ztráty potrubí, zaměníme-li pořaí izolačních vrstev? Při řešení použijeme vztah (), který přepíšeme na tvar pro tři vrstvy, tj. πl(t t 4 ) Q τ = ln r + ln r 3 + ln r. 4 λ r λ r λ 3 r 3 Do tohoto vztahu pak osaíme r =80mm,r = 85 mm, r 3 = 5 mm, r 4 = 65 mm, L = m. Po osazení ostaneme Q τ = 79, W.Namélky potrubí jsou tey ztráty 79,W. Poku bychom zaměnili pořaí izolačních vrstev (proveďte sami), zvýší se ztráty na Q τ = 89, W, tj. o 3 % půvoní honoty (pře záměnou pořaí vrstev). Další úloha je složitější, jená se o úlohu z 8. ročníku FO omácí kolo 7. úloha kategorie B. Příkla álkový teplovo Dálkovým teplovoem élky L = 0 km o vnitřním poloměru potrubí r = 40 cm je veena horká voa z teplárny o síliště a ochlazená voa zpět. Potrubí je izolováno vrstvou tepelné izolace tloušťky = 5 cm a měrné tepelné voivosti λ = 0,080 W m K. Na výstupu z teplárny je teplota voy t = 30 C, na vstupu je teplota vracející se voy t =60 C. a) Jakou rychlostí prouí voa v potrubí a jaký je objemový tok voy v potrubí, oává-li teplárna tepelný výkon Q τ =80MW? b) Jaký je rozíl tlaků na vstupu a výstupu čerpala, je-li jeho měrná práce w = 80 J kg (tj. práce potřebná na přečerpání kg voy)? c) Jaká je účinnost přenosu tepla s ohleem na ztráty tepla veením izolační vrstvou o okolí, přepoklááme-li teplotu pláště v obou směrech t 3 = =0 C? ) Jaký pokles teploty voy na trase ke spotřebiteli přestavuje tepelná ztráta? Pro zjenoušení výpočtu v částech a), b) zanebáváme pokles teploty poél trasy. Uvažte, za tato zjenoušení ovlivní výsleky. Řešte nejprve obecně, potom pro ané honoty; hustota voy je ϱ = 000 kg m 3,měrnátepelná kapacita voy c = 4 00 J kg K. a) Označíme m hmotnost voy, která proteče potrubím za obu τ. Potom platí cm(t t )=Q τ τ. Tuto rovnici můžeme přepsat pomocí objemu a vyjářit objemový tok voy, tj. cϱv (t t )=Q τ τ, z čehož Q v = V τ = Potom rychlost prouění v = Q v S Q τ cϱ(t t ) =0,7 m3 s. = Q v πr =0,54 m s. b) Kyž čerpalo vyčerpá vou o hmotnosti m, jejíž objem označíme V, o výškový rozíl Δh, vykoná práci mw = mgδh. Protože rychlost voy se nemění, platí pole Bernoulliho rovnice Δp = ϱgδh = m mw gδh = V V = wϱ =8, 05 Pa. 0
Z tohoto vztahu nyní vyjáříme Q τ aobržíme t t 4 Q τ = + + S. (5) 3 λ λ λ 3 Protože jenotlivé sčítance ve jmenovateli zlomku vyjařují tepelné opory jenotlivých vrstev, značí součet R = + + 3 celkový tepelný opor složené λ λ λ 3 stěny. Často se také používá zjenoušení k =,kek efinuje součinitel R prostupu tepla stěnou, tj. Pak můžeme vztah (5) zjenoušit na tvar k = + +. (6) 3 λ λ λ 3 Q τ = k(t t 4 )S. (7) Tento postup uveený na příklau tří vrstev lze ále zobecnit pro n vrstev; pak platí Q τ = k(t t n+ )S, (8) ke k = + +...+. (9) n λ λ λ n V násleující situaci si ukážeme, jak ovozené vztahy používáme při řešení problému. Příkla 9 chata Aby se v příklau 8 ztráty tepla zmenšily, byla cihlová stěna nahozena z vnějšku speciální omítkou tloušťky = 5 cm se součinitelem λ =0,5 W m K, cihlová stěna má λ =0,60 W m K a vnitřní omítka o tloušťce 3 =cm má součinitel λ 3 =0,70 W m K. Jak se zmenšily ztráty a musí být nyní výkon zahřívacího zařízení? Do vztahu (5) osaíme za t =0 C, t 4 = 0 C. Další úaje osazujeme le zaání příklaů 8, 9. Dostaneme Q = Q τ τ = 8,7 MJ, výkon P = = Q τ = Q τ = 59 W. Q τ Q τ Q τ = Q τ Q τ r + r = 0,5 r r ln r r. Po osazení r =,5 ostaneme již říve uveenou chybu, %.Přenostepla r utrubeks r <,5 je tey možno počítat pomocí přibližného vzorce (0). r b) Ovození vztahu () pomocí vyšší matematiky Toto ovození je určeno pro zájemce, kteří se již seznámili s vyšší matematikou, přesněji s řešením úloh pomocí iferenciálních rovnic. Ovození vztahu () vychází z přepoklau, že se r teplota mění jen v raiálním směru, λ = konst. r (obr. 6). Vytkněme si ve vzálenosti r o poélné osy válce válcovou vrstvu o tloušťce r. Tepelný tok Q τ, který proteče touto vrstvou, je pole Fourierova zákona Q τ = λs t t = λ πrl r r, t t r r Obr. 6 K ovození vztahu () znaménko minus je ze proto, že ve směru o střeu velikost poloměru r narůstá, zatímco velikost teploty ve válci se zvětšující se vzáleností o střeu klesá. Separací proměnných a náslenou integrací přes celou tloušťku stěny obržíme t = Q τ r πλl r, t = Q τ ln r + C. (3) πλl Použijeme okrajové pomínky: pro r = r je t = t a obobně pro r = r je t = t. Dosaíme-li tyto pomínky o (3), ostaneme vě rovnice t = Q τ πλl ln r + C, t = Q τ πλl ln r + C. Po vzájemném oečtení těchto vou rovnic ostaneme t t = Q τ πλl (ln r ln r )= Hleaný tepelný tok pak bue Q τ πλl ln r r. 8 3
Pole vou zákonů se pak konstruují parciální iferenciální rovnice pro rozělení teplot v tělesech. S tímto postupem se setkáte až pozěji, při stuiu na vysoké škole. V této části se zaměříme přeevším na Fourierův zákon, který je považován za záklaní zákon veení tepla. Zákon vyplývá z experimentálně zjištěných skutečností. J. B. Fourier (768 830) při svých pokusech a měřeních zjistil, že teplo prošlé tělesem, izotropním v kažém místě (tj. homogenním a izotropním vzhleem k přenosu tepla), je přímo úměrné teplotnímu spáu, obě a průtokové ploše kolmé na směr teplotního toku. 4.. Průcho tepla jenouchou rovinnou stěnou Bueme uvažovat rovinnou esku o stálé tloušťce, jejíž konce jsou uržovány na konstantních teplotách t, t (t >t ) (obr. ). Přepokláejme, že eska je homogenní a izotropní, a proto prouí teplo jen kolmo k povrchovým plochám. Velikost tepelného Q τ toku Q τ procházejícího plochou S povrchu esky, je pak ána vztahem t Q τ = λ (t t )S = λsδt t, () λ Obr. Jenouchá stěna ke λ označuje součinitel tepelné voivosti materiálu esky. Jenotkou λ je W m K. Ukažme si nyní použití vztahu () při řešení konkrétních úloh. Příkla 8 chata Dřevěná chata má tři stěny, strop a polahu obře izolovány. Jen jena stěna, v níž je krb, je cihlová. Má rozměry: šířka stěny 4,5 m, výška,8 m,tloušťka 30 cm. Součinitel teplotní voivosti materiálu cihel je 0,60 W m K. Uvnitř chaty se uržuje teplota 0 C, vně je 0 C. Určete únik tepla za obu 0 hoin a minimální výkon zahřívacího zařízení, jež uržuje stálou teplotu. Únik tepla určíme ze vztahu Q = Q τ τ = příkon pak je P = Q τ = Q τ = λs Δt = 756 W. λs Δt τ =7, MJ. Minimální Je to áno tím, že velikost α je ovlivněna celou řaou faktorů jako je rychlost prouění tekutiny, tvar, rozměry, tepelná voivost, tlak, rsnosti stěn,...at. Pro jenouché přípay však stačí α pro zaané pomínky vyhleat v oborné literatuře. 4.. Veení a prostup tepla rovinnou stěnou V této části ovoíme vztah pro prostup tepla stěnou. Bueme přepokláat, že teplota pře stěnou i za ní je ustálená a že je konstantní i tepelný tok. Mezi prvním prostřeím (α )astěnouochází ke sílení tepla prouěním, ve stěně ochází k přenosu tepla veením (λ) a ze stěny o ruhého prostřeí opět prouěním (α ). Ze zákona zachování energie platí Q τ = Q τ = Q τ3 = Q τ, ke Q τ = α S(t t s ), Q τ = λ S(t s t s ), Q τ3 = α S(t s t ). t Q τ t s α λ α t s t konvektivní vrstvy Obr. 8 Veení a prostup tepla rovinnou stěnou Z uveených rovnic nyní vyjáříme teplotní rozíly, pak tyto rovnice sečteme. Dostaneme t t s = Q τ α S, t s t s = Q τ λs, t s t = Q τ α S, po sečtení t t = Q ( τ + S α λ + ). α t Nyní opět vyjáříme Q τ = t + α λ + S, což je tepelný tok při celkovém α prostupu tepla stěnou s konvektivním obložením. 6 5
Úlohy k samostatnému řešení Úloha 5 atomová elektrárna Atomová elektrárna má celkový výkon 000 MW a pracují v ní 4 bloky po 50 MW, z nichž jsou neustále v provozu tři (na zbylém se prováí úržba). Kyž byla uveena o provozu, nahraila tepelnou, ekologicky méně výhonou elektrárnu, jež na výrobu kwh potřebovala 400 g stanarního paliva o výhřevnosti 30 MJ kg. Kolik uhlí se uspoří za běžný měsíc práce (30 ní)? Úloha 6 jíza automobilu Aeroynamická oporová síla, jíž při jízě rychlostí 90 km h působí vzuch na automobil, přestavuje honotu 400 N. Přepokláejme, že velikost oporové síly závisí na ruhé mocnině rychlosti. Jak se změní spotřeba benzínu určená v litrech na 00 km, kyž se rychlost automobilu zvětší na 08 km h? Úloha 7 zahřívání vzuchu Porovnejte spotřebu stanarního paliva, které se spotřebuje při zahřátí vzuchuvetříězteploty Cna C, jsou-li rozměry tříy 7, m 0,8 m 3, m, měrná tepelná kapacita vzuchu c v = kj kg K a hustota vzuchu je, kg m 3 za níže uveených pomínek: a) říve, kyž se užívalo kamen s účinností 4 % nebo b) nes, kyž se může používat elektrické zahřívací zařízení s účinností 95 % (účinnost elektrárny je 36 %). 4 Přenos tepla Přenos nebo také sílení tepla je složitý ěj. Při jeho popisu zaváíme řau zjenoušení, která nám pak usnaní tvorbu moelů pro matematický popis sleovaných ějů. Sílení tepla pak můžeme zhruba rozčlenit: tepelná výměna veením (konukcí), tepelná výměna prouěním (konvekcí) a tepelná výměna sáláním (zářením, raiací). Při veení tepla částice látky v oblasti s vyšší teplotou přeávají část své stření energie prostřenictvím vzájemných srážek částicím v místech s nižší teplotou, tj. majícím nižší stření energii. Při tomto procesu se však částice nepřemísťují, ale kmitají kolem svých rovnovážných poloh. S šířením tepla prostřenictvím veení se nejčastěji můžeme setkat v tělesech z pevných látek, jejichž různé části mají rozílné teploty. Teplo se může šířit veením také v kapalinách a plynech. Ze se však přeevším uplatňuje přenos tepla prouěním. Obecně je možno říci, že šíření tepla prouěním (se změnou teploty se také mění hustota, což vyvolává prouění) je téměř vžy spojeno se šířením tepla veením. Půvoní bylo veení tepla, tj. Q τ0 = λ S Δt, po první úpravě přibližně Q τ = = λ S Δt. Tey tok tepla se snížil na polovinu půvoního, neboť se vojnásobně zvětšila tloušťka skla. Tato úvaha však není správná, protože se v ní neuvažuje s prouěním. Tey lépe bychom měli pro půvoní stav psát SΔt Q τ0 = α + λ + = SΔt α α +. λ Po zvojnásobení skla ostaneme Q τ = Po alší úpravě okna Poměr p = Q τ Q τ0 = SΔt Q τ = α + λ + α + α + λ + α Poměr p = Q τ Q τ0 = α + λ ( α λ) + =. Druhý způsob je ekonomičtější. SΔt α + λ α + λ α + λ = SΔt 4 α +. λ. = λ α + λ α + <. Obr. 0 Moel prouění uvnitř zvojeného okna Poznámka Takto se prováělo zateplování oken v řívějších obách. Dnes se už používá celá řaa moerních a efektivních meto k jejich pochopení však je třeba ůklaně znát fyzikální záklay o sílení tepla. Bližší informace o novějších metoách zateplování oken je možno nalézt např. na http://www.tospur.cz nebo na http://www.atypcentrum.cz/zateplovani-oken.html. 4 7
měrná tepelná kapacita parafinu je 3,4 kj kg K. Jak velké teplo je třeba oat parafinu, aby roztál? Úloha 4 zahřívání parafinu Toto zahřívání (viz Úloha 3) proveeme tak, že parafin nasypeme o tlustostěnné kovové misky a tu pak vložíme o,8 lvoyoteplotě60 C. Roztaje parafin? 3 Zroje tepla, paliva V praxi se používají různé zroje tepla. Varná konvice je příklaem elektrického zahřívacího systému, kam patří i průtokové ohřívače voy, elektrická přítopová zařízení včetně akumulačních kamen, různých teplovzušných větráků aj. Kromě toho řaa zahřívacích systémů používá paliv k přímému hoření (kamna na pevná, kapalná paliva a plyn). Z hleiska termiky nás zajímá výhřevnost H paliva, jejíž honotu najeme v tabulkách. Teplo získané okonalým spálením paliva o hmotnosti m stanovíme pole efinice Q = m H, avšakkažé zahřívací zařízení má účinnost η<. Potom získáme teplo Q = η m H. Příkla 5 tepelná elektrárna Menší tepelná elektrárna má výkon 340 MW a spaluje méněhonotné uhlí o výhřevnosti 3 MJ kg. Určete spotřebu uhlí připaajícího na kwh oevzanou z této elektrárny a enní (4 hoin) spotřebu uhlí, víte-li, že elektrárna pracuje trvale na 80 % jmenovitého výkonu. Účinnost elektrárny je 36 %. Na výrobu kwh spotřebujeme uhlí o hmotnosti m ; teplo získané okonalým spálením uhlí je Q = m H. Spálení je však neokonalé, takže platí Q = m Hη, ke η =0,36. Potom m Hη = kwh, oku m =0,77 kg. Denní spotřebu uhlí stanovíme pomocí 80 % výkonu, tj. 0,80Pτ = mhη, z čehož m = 0,80Pτ = 5 0 tun. Hη Na jeen vagon můžeme naložit 40 tun uhlí, o elektrárny přijee enně 6 vagonů s uhlím. Pro tepelnou izolaci s λ =0, W m K při α =0W m K je (r ) opt = 0 mm. Při poloměrech válcových izolačních obalů menších než (r ) opt ztrácí tepelná izolace svoji úlohu a při zvětšení tloušťky izolačního obalu se prostup tepla zvětšuje. (Tento přípa opovíá izolaci elektrických voičů.) 4..3 Přestup tepla u těles ohřívaných elektricky Při průchou elektrického prouu voičem vzniká Joulovo teplo P = Q τ = RI, které ze normujeme na obu sekuny. Pro voiče s konstantním příčným řezem S, élce L a měrném elektrickém oporu ϱ el se elektrický opor určuje pole vztahu L R = ϱ el S. Se zvýšením teploty se elektrický opor těles zvětšuje a obvykle platí R = R 0 ( + α el t), ke [t] = C, R = R 0 pro t =0 C. Poku bychom výše uveený vztah vyjářili pomocí měrného elektrického oporu ϱ el,ostaneme ϱ el = ϱ el0 ( + α el t). (5) S použitím výše uveených vztahů je tepelný tok zrojů při elektrickém ohřevu ve voiči án vztahem L Q τ = ϱ el S I, (6) kambychomzaϱ el osaili ze vztahu (5). Přestup tepla se zroji elektrického ohřevu pro voiče s konstantním příčným řezem se určí pole vztahu Q τ = S 0 α(t s0 t 0 )=πrlα(t s0 t 0 ), ke t s0 t 0 je rozíl teploty t s0 povrchu voiče a teploty t 0 okolního prostřeí. Při stacionárním ěji je přestup tepla v rovnováze s vývinem tepla ze zrojů elektrického ohřevu, tj. můžeme psát L ϱ el S I =πrlα(t s0 t 0 ), (7) z čehož ϱ t s0 = t 0 + el S πrα I. Z pomínky pro přípustnou teplotu ohřátí voiče (t s0 = t max ) se určí přípustná honota prouu procházejícího voičem I max = (t max t 0 ) πrαs = (t max t 0 ) π αr 3, (8) ϱ el ϱ el 9
a tey výslená teplota voy v bazénu je t = Q Vt + Q V t =3,4 Q V + Q C; V tey nezávisí na obě, po kterou voa přitéká. Bazén se naplní za obu τ = V = 3 min = h min. Q V Příkla ohřívání voy v bazénu Během provozu se teplota voy v bazénu za 6 hoin snížila na 4 Cabylo nutné teplotu voy zase zvýšit během technické přestávky louhé hoiny. Jaký příkon musí mít zahřívací zařízení při účinnosti 84 %? Je nutné zajistit oání tepla Q = cmδt = 4 00 4 400 7,4 J=4,48 0 8 J, a to během hoin, tj. výkon ohřívacího zařízení musí být P = Q 4,48 08 = W=6, kw. τ 7 00 To při účinnosti 0,84 přestavuje příkon 74, kw (elektrický výkon anebo jiný výkon ohřívače). Ještě by nás mohlo zajímat, jaký tepelný výkon musí mít zahřívací zařízení, aby se půvoní teplota uržovala průběžně: P = cmδt 4 00 4 400 7,4 = W =0,7 kw. τ 6 3 600 Zařízení by při průběžném ohřevu muselo mít výkon zhruba kw, příkon 4,7 kw. Příkla 3 rychlovarná konvice V zimě nabral turista o rychlovarné konvice vou s leem o teplotě 0 C, voy bylo 900 g, leu 600 g. Za jak louho se bue voa vařit při střením výkonu konvice,0 kw a účinnosti 85 %? Měrná tepelná kapacita voy je c = 4 00 J kg K, měrné skupenské teplo tání leu je l t = 33 kj kg. Hmotnost voy je m =0,90 kg, hmotnost leu m =0,60 kg, teploty t = = t = 0 C, výslená teplota t = 00 C, účinnost η = 0,85, hleanou obu označíme τ. Teplo na roztání leu je Q = m l t, teplo na ohřátí voy je Q = c(m + m )(t t ). Otu ostaneme kalorimetrickou rovnici Pτη = m l t + c(m + m )(t t ), Obr. Sílení tepla sáláním Sálání je přirozená vlastnost těles a můžeme říci, že při něm kažé těleso vysílá záření. Dopane-li toto záření na jiné těleso, je částečně pohlceno, část se oráží a část prochází tělesem. Pohlcené záření způsobuje zvýšení vnitřní energie tělesa, oražené záření opaá na jiná tělesa a procházející záření přechází na jiná tělesa. Pohltivost a orazivost záření u tělesa závisí přeevším na jakosti povrchu a také na barvě povrchu. V praxi má tento poznatek význam přeevším při konstrukci různých zařízení, např. bílé chlaničky a mrazáky (aby se co nejvíce záření orazilo), v létě nosíme přeevším světlé oblečení. Chceme-li naopak, aby se co nejvíce záření pohltilo, volíme černou barvu povrchu. Přechozí poznatky lze označit jako empirické. Ve skutečnosti je raioistribuce záření velmi složitý problém kvantové mechaniky. Poku např. bueme stát v létě na polením slunci, pocítíme velmi silné zahřívání, což je mj. způsobeno tím, že pohlcujeme tepelné záření o Slunce. Co je však ůležité si uvěomit, že pro přenos tepla zářením není potřeba žáné hmotné prostřeí, protože je o elektromagnetické vlnění. Označíme-li P r výkon vyzařujícího přemětu ve wattech, S obsah plochy povrchu tohoto přemětu v m a T teplotu přemětu v kelvinech, platí P r = σεs T 4, ke σ =5,67 0 8 W m K 4 je tzv. Stefanova-Boltzmannova konstanta, ε označuje emisivitu přemětu. Honota ε závisí na materiálu tělesa a platí 0 ε. Je-li ε =,hovořímeočerném tělese (teoretický moel), nebo okonalém zářiči. Kromě vyzařování může přemět také pohlcovat záření z jiného tepelného zroje majícího teplotu T 0. Platí analogický vztah P a = σεs T 4 0. V reálných situacích často však nastává obojí: přemět o teplotě T vyzařuje energii o svého okolí a současně energii z okolí přijímá např. o jiného přemětu o teplotě T 0. Celkový výkon P (poku nepočítáme s orazem záření ε = ε a ) oevzaný tepelným zářením je pak án vztahem P = P r P a = σεs(t 4 T 4 0 ). V našich alších úvahách se již bueme zabývat pouze zářením absolutně černého tělesa, tj. okonalým zářičem, pro který ε = le efinice. 4.3. Tepelné záření černého tělesa V přechozím výklau jsme konstatovali, že pro výkon záření černého tělesa (ε = ) platí Stefanův-Boltzmannův zákon P = σt 4 S. 0 3
všech oblastech spektra elektromagnetického vlnění. Rok 900 je také možno považovat za určitý mezník ve vývoji fyziky a to je vznik kvantové fyziky. S jejím použitím pak bylo možno objasnit mnoho jevů, se kterými si klasická fyziky nevěěla ray. Po objevu speciální teorie relativity se však ošlo k závěru, že i kyž se teorie tepla ala spojovat s mechanikou prostřenictvím statistické mechaniky, přece jen ji nelze ost obře považovat za část mechaniky, a to z toho ůvou, že fenomenologická teorie tepla používá celou řau pojmů, které nemají žáný protějšek v ostatních oblastech fyziky (např. teplo, entropie, volná energie,...). Poku bychom o fenomenologického popisu přešli ke statistickému a považovali teplo za energii, která je statisticky rozělena o mnoha stupňů volnosti systému pomíněných atomární strukturou hmoty, pak teorie tepla nesouvisí s mechanikou o nic víc než s elektroynamikou nebo s některou jinou částí fyziky. Centrální pojem statistického výklau nauky o teple je pojem pravěpoobnosti, který ále ve fenomenologické teorii souvisí s pojmem entropie. Vele toho má ale ve statistické teorii tepla také význam energie, o čemž nás přesvěčuje již říve zmiňovaný Planckův zákon. Zákon obře souhlasil s experimentem, ale přitom zároveň bořil osavaní přestavy klasické fyziky, protože byl ovozen za přepoklau, že změny energie systému nejsou spojitě se měnící fyzikální veličinou. Není bez zajímavosti, že v roce 94 vyšel inický fyzik S. Bose (894 974) z přepoklau, že rovnovážné tepelné záření je ieálním plynem ultrarelativistických částic fotonů. Svým statistickým popisem pak ospěl k Planckovým výslekům jinou cestou. Náslené Einsteinovo zobecnění tohoto postupu přivelo k formulaci Boseho-Einsteinovy statistiky uávající rozělení částic ieálního plynu bosonů pole energie. Druhou kvantovou statistiku Fermiho- Diracovu formulovali nezávisle na sobě E. Fermi (90-954) (pro elektrony) a P. A. M. Dirac (90 984) (pro ieální plyn libovolných fermionů), který rovněž porobně vyjasnil její souvislost s kvantovou mechanikou (96). ke b je konstanta b =,8979 0 3 m K. =,9 0 3 m K. V alším vývoji se pak fyzici pokusili nalézt vztah pro funkci M λ. Hleanou funkci nakonec nalezl německý fyzik M. Planck, Planckův vyzařovací zákon M(λ, T )= πhc λ 5. hc e kλt My se však touto závislostí zabývat nebueme (přesahovalo by to plánovaný rozsah tohoto stuijního textu). Lze ji i s ůsleky nalézt ve vysokoškolských učebnicích fyziky. Nyní se již poíváme na řešení úloh týkajících se záření černého tělesa. Příkla 4 teplota sluneční fotosféry Určete, jaká je teplota sluneční fotosféry, kyž přepoklááte, že ve slunečním spektru připaá Wienovo maximum na vlnovou élku λ = 480 nm. Přepokláejte, že fotosféra Slunce vyzařuje jako absolutně černé těleso. Z Wienova posunovacího zákona λ = b vyjáříme teplotu T a osaíme, tj. T T = b,89 0 3 = λ 9 K = 6 000 K. 480 0 V praxi takto teplotu fotosféry nelze určovat, neboť polohu λ max nelze ve spektru hvěz spolehlivě určit. Příkla 5 planetka a) S použitím úaje o teplotě fotosféry Slunce z přechozího příklau určete teplotu povrchu rychle se otáčející planetky. Úhlový průměr Slunce pozorovaný z planetky je α =,5. Přepokláejte, že planetka nemá žáné vnitřní zroje tepla. b) Určete, jak by se musela změnit vzálenost planetky o Slunce, aby teplota jejího povrchu poklesla o 00 K. a) Bueme uvažovat, že planetka i fotosféra Slunce vysílají i přijímají záření jako černá tělesa. Označíme teplotu fotosféry Slunce T 0, poloměr Slunce R, poloměr planetky r, teplotu povrchu planetky T a vzálenost mezi Sluncem 8 33
v jistém smyslu velmi poobalo Hérakleitovu učení. Poku bychom nahraili slovo oheň slovem energie, mohli bychom Hérakleitovy výroky považovat téměř slovo o slova za vyjáření nešního pojetí. Velmi výstižně srovnává řeckou filozofii s přestavami moerní příroověy W. Heisenberg ve []: Energie je opravu látka, z níž jsou vytvořeny všechny elementární částice, všechny atomy a tuíž všechny věci vůbec, a současně je energie rovněž hybnou silou. Energie je substance, neboť její celkový součet se nemění a elementární částice lze z této substance skutečně vytvořit, jak je zřejmé z mnoha experimentů, při nichž elementární částice vznikají. Energie se může přeměňovat v pohyb, v teplo, ve světlo a v napětí. Energii lze tey považovat za příčinu všech proměn ve světě. Také G. W. Richmann (7 753) (první oběť elektrických výzkumů byl zabit při experimentech kulovým bleskem ) se zabýval tepelnými vlastnostmi látek, vyráběl i termometrické přístroje. Jeho kalorimetrická rovnice je také určitým vyjářením zákona zachování energie. Veením tepla se zabývala i celá řaa alších fyziků, např. i H. Cavenish (73 80). O konce 7. století se při řešení fyzikálních úloh začal s úspěchem používat infinitezimální počet. Tato metoa umožnila přecho o makroskopického pohleu na příroní jevy k etailnějšímu pohleu na přírou. Velkým stimulem se také ukázal vynález parního stroje, avšak o poloviny 9. století neexistovala uspokojivá teorie umožňující vysvětlení tepelných jevů. V roce 777 G. V. Scheele (74 786) vyslovil hypotézu o existenci světelných paprsků, které se mohou šířit prostorem, což bylo také experimentálně prokázáno. Stuovaly se rovněž i jevy orazu a pohlcování tepelných paprsků. J. Harrison (?694 776) se již zabýval změnami rozměrů těles v závislosti na teplotě s cílem, aby vytvořil co nejpřesnější hoiny, které by těmto teplotním změnám poléhaly co nejméně. Po objevu infinitezimálního počtu publikoval J. B. Fourier (768 830) v roce 8 svoje Théorieanalytiqueechaleur, ke popisuje na záklaě infinitezimálních úvah, že tok tepla mezi věma blízkými místy v tělese je úměrný extrémně malému rozílu jejich teplot. Nemalou zásluhu na alším vývoji má také L. Euler (707 783) svou rovnicí pro prouění. K alšímu vývoji ošlo v 9. století, ky bylo možné reukovat teorii tepla na mechaniku za přepoklau, že teplo je ve skutečnosti komplikovaným statistickým pohybem nejmenších částic aného tělesa. Po tom, co ošlo ke spojení pojmů matematické teorie pravěpoobnosti s pojmy newtonovské mechaniky, poařilo se Clausiovi, Gibbsovi a Boltzmannovi ukázat, že záklaní zákony tepla se ají vyložit jako statistické zákony plynoucí z aplikace newtonovské Toto však není historicky zcela objasněno, mohlo také jít pouze o výboj způsobený úerem blesku o okolí laboratoře. Příkla 6 tavná pojistka Uvažujme voič z Příklau 3. Také uvažujme, že prouění v okolí voiče je možno zanebat, a že voič teplo sálá. Určete, jaký největší prou může voičem procházet, aby se nepřetavil. Získaný číselný výsleek pak porovnejte s výslekem v Příklau 3 a proveďte iskusi výsleku. Pole vztahu (6) je tepelný tok zrojů při elektrickém ohřevu ve voiči o kruhovém průřezu L L Q τ = ϱ el S I = ϱ el πr I. Výkon oevzaný tepelným zářením je án vztahem P = σs 0 (T 4 T0 4)=σ πrl(t 4 T0 4), ke T označuje teplotu voiče, T 0 teplotu okolního prostřeí. V rovnovážném stavu platí P = Q τ, po osazení ostaneme σ πrl(t 4 T0 4)=ϱ L el πr I. Chceme-li určit maximální honotu prouu, který může procházet voičem, pak o výše uveeného vztahu osaíme za T = T t, potom I = I max,aztakto vzniklé rovnice vyjáříme I max.obržíme σπ I max = r 3 (Tt 4 T0 4 ) =,5 A. ϱ el Diskuse získaného výsleku: Honota prouu, při níž oje k přepálení voiče, poku bychom uvažovali pouze prouění, vyšla 0,75 A. Poku bychom uvažovali pouze tepelné záření, pak ostaneme výsleek,5 A. Tato honota se postatně více blíží skutečnosti. Experimentálně zjištěná honota prouu u voiče o průměru 0, mm,při níž oje k přepálení voiče, je,5 A. Na záklaě iskuse zkusme vytvořit moel, v němž bueme uvažovat obojí: záření i prouění. Pak můžeme napsat rovnici L ϱ el πr I max =πrlα(t t T 0 )+σ(tt 4 T 0 4)πrL. Po vyjáření I max a osazení ostaneme π I max = r 3 [α(t ϱ t T 0 )+σ(tt 4 T 0 4 )] =,37 A. el Tento výsleek již postatně více opovíá výsleku získanému na záklaě experimentu. 6 35
postatně ovlivněny velikostí a uspořááním otvorů oken a veří, majících většinou mnohem horší izolační vlastnosti, a samozřejmě i zvyklostmi větrání. Poívejme se nyní na moel takového roinného omu z hleiska tepelné bilance (obr. ). Úloha kosmická loď Kosmická loď kulového tvaru se pohybuje kolem Slunce po kruhové trajektorii. Kosmonauti, kteří se nacházejí na kosmické loi, vií Slunce po úhlem 30. Teplota fotosféry Slunce je 6 000 K, kosmickou loď považujte za černé těleso. Určete teplotu povrchu kosmické loi. Úloha 3 Sluneční fotonové záření Sluneční záření, které opaá kolmo na m rovinné plochy ve vakuovém prostoru ve vzálenosti AU o střeu Slunce, má výkon 365 W. Slunce můžeme považovat za okonale černé těleso, které pohlcuje veškeré elektromagnetické záření, které na ně opaá, a vyává pouze záření vlastní. Průměr sluneční fotosféry vií pozorovatel na povrchu Země po úhlem 3, poloměr Země je 6 37 km, AU = 49,6 0 6 km. a) Stanovte celkový zářivý výkon L Slunce. b) Stanovte teplotu T s sluneční fotosféry. Obr. Energetická bilance roinného omu Na první pohle je viět, že ve všem je fyzika. Ko ví, jak vhoným způsobem vytvořit fyzikální moely popisující tepelné ztráty, tak také pak bue věět, co má uělat, aby tyto ztráty snížil. A to je také jeen z hlavních cílů tohoto stuijního textu naučit se prováět alespoň přibližné výpočty různých tepelných ztrát pomocí vytvořených moelů. Vzhleem k tomu, že termika prošla louhým historickým vývojem, zařaili jsme na úvo stuijního textu také její historii. Na ni pak již navazuje alší výkla rozšíření učiva termiky probíraného na stření škole v hoinách fyziky. Výkla je oplněn mnoha řešenými úlohami i úlohami k samostatnému řešení. Nové poznatky jsou formulovány na co nejnižší úrovni matematických znalostí, aby byly přístupné stuentům. ročníku stření školy. Na konci některých kapitol je však uveen Doplněk ten již není povinnou součástí stuijního textu je určen pro zájemce, který již ovláá záklay vyšší matematiky (anebo by se s ní teprve chtěl seznámit prostřenictvím stuijních textů Matematika pro řešitele FO, které jsou ke stažení na Internetu nastránkáchfyzikální olympiáy, a pak si již oatky mohl s porozuměním přečíst). c) Určete energetický příjem slunečního záření opaajícího na Zemi za jeen en a za jeen rok (365,5 ne). ) V současné obě se hovoří o projektu, při němž by na Sahaře měla být instalována elektrárna ze solárních článků: přepokláejme, že na povrch Země opane po průchou atmosférou 40 % záření, které se ostalo na hranici atmosféry. Bueme uvažovat, že existující solární články mají účinnost %. Jak velký maximální výkon P max by měly solární články s plošným obsahem km? e) Na oběžnou ráhu okolo Země vyšleme ružici kulového tvaru tak, aby byla nepřetržitě ozářena Sluncem. Družice bue mít obrou tepelnou voivost a její nátěr bue mít vlastnosti blížící se vlastnostem povrchu okonale černého tělesa. Určete její teplotu T z. Záření Země opaající na ružici zanebejte. f) Určete teplotu T m stejné ružice obíhající okolo Marsu, je-li jeho stření vzálenost o Slunce,5 AU. g) V jakých mezích se mění teplota ružic Země a Marsu z úloh e), f), jeli číselná výstřenost trajektorií obou planet po řaě ε z =0,07; ε m = =0,093? Tento obrázek byl převzat a upraven na záklaě informací uveených v []. 4 37
Příkla 3 tavná pojistka................... 30 4.3 Sílení tepla sáláním (zářením).................. 30 4.3. Tepelné záření černého tělesa............... 3 Příkla 4 teplota sluneční fotosféry.............. 33 Příkla 5 planetka....................... 33 4.3. Průcho elektrického prouu voičem... 34 Příkla 6 tavná pojistka................... 35 Úlohy k samostatnému řešení 3................. 36 Doplněk 3.............................. 38 Příkla 7 vlákno žárovky.................... 38 Výsleky úloh k samostatnému řešení 39 Literatura 40 Výsleky úloh k samostatnému řešení. Neuvažujeme-li plechovou vanu, je oba naplnění 8 minut a výslená teplota 4 C, tepelná kapacita vany je 8,4 kj K, ohřívání změní výslené honoty nepatrně.. Voa se začne vařit za 3,8 až 4,7 minuty, stření honota 4, minuty. 3. K roztání parafinu je třeba teplo 48,kJaž5,4kJ. 4. Inex v voa, inex p parafin. Kalorimetrická rovnice je m v c v (t t t )= = L t + c p m p (t t t ), z čehož t t = m vc v t + m p c p t m p l t =53,3 m v c v + m p c C. Je-li p t t 53,3 C, všechen parafin neroztaje, je-li 49 C t t < 53,3 C, všechen parafin roztaje. 5. Celková spotřeba tepelné elektrárny by byla 6 000 tun uhlí, tj. 5 400 vagónů za měsíc. 6. Práce vykonaná motorem při rychlosti v je ána vztahem W = CϱSv s, ( ) v obobně práce při rychlosti v. Změnu spotřeby určíme vztahem =,44. v 7. Teplo k ohřátí vzuchu 3,0MJ,skamny,54 kg a v elektrárně 0,30 kg. 8. a) Q τ = 835, W;Q = Q τ τ =3MJ;b)Q τ = 537,6 W;Q =,9 MJ. 9. Prošlé teplo a) Q =,0 MJ;b)Q =0,86 MJ. Teploty na rozhraní jenotlivých vrstev určíme užitím vztahů () až (5). a) Q τa = 85 W, potom t = t Q τa λ S =,3 C, t 3 = 9,6 C; b) Q τb = 40 W; t =4,6 C, t 3 = 9,7 C. 0. a) Q τ =79W;b)Q τ =75W=0,95 Q τ ;c)q τ3 =63W=0,80 Q τ ; ) Q τ4 =6W=0,77 Q τ.. Použitím vztahu (4) ostaneme Q τ = 33 W.. Postup je obobný jako při řešení Příklau 5. 80 K. Úhel 30 je roven úhlu, po kterým je viět Slunce ze Země. 3. a) L =3,84 0 6 W; b) T s = 5 770 K; c) W en =,5 0 J; W roc = =5,5 0 4 J; ) P max =65,5 MW;e)T z = 78,5 K;t z =5 C; f) T m = 6 K; t m = 47 C; g) o 57 Co 36 C. Tato úloha byla uveena jako 3. úloha 49. ročníku celostátního kola, její porobné řešení je možno nalézt na Internetu na stránkách FO: http://www.uhk.cz/fo nebo na http://fo.cuni.cz. 39