6 Mezní stavy použitelnosti

6 Mezní stavy použitelnosti 6.1 Použitelnost a trvanlivost Konstrukce musí být únosná a použitelná po dobu své provozní životnosti, a to bez významné ztráty funkčnosti nebo nadměrné, popř. nepředpokládané údržby. Mezní stavy použitelnosti se týkají: funkce konstrukce nebo jejích nosných prvků za běžného užívání, pohody osob, vzhledu stavby. V mezních stavech použitelnosti se tedy prokazují vlastnosti konstrukce s přihlédnutím k provozu a požadované trvanlivosti (životnosti) konstrukce. Posuzování mezních stavů je důležité zvláště v poslední době, kdy se používají kvalitní materiály (beton i ocel s vysokými pevnostmi), které umožňují navrhovat subtilní konstrukce (v mezních stavech únosnosti). Při ověřování mezních stavů použitelnosti se má vycházet z kritérií, týkajících se následujících hledisek: poškození, která mohou nepříznivě ovlivnit vzhled, trvanlivost, provozuschopnost konstrukce; vzniku nebo rozevření trhlin, které vedou ke snížení užitných vlastností konstrukce, jako je např. nepropustnost, nebo ke snížení životnosti konstrukce z důvodu oslabení výztuže korozí; deformací konstrukce, které ovlivňují vzhled konstrukce, pohodu uživatelů nebo provozuschopnost konstrukce, nebo které způsobují poškození povrchových úprav nebo nenosných prvků; kmitání (vibrace), která způsobují nepohodu osob nebo ohrožují jejich zdraví, nebo která omezují funkční způsobilost konstrukce. Pro zajištění trvanlivosti konstrukce je nutné dodržet i celou řadu dalších požadavků, týkajících se např. kvality, hutnosti a tloušťky krycí vrstvy betonu, konstrukčních úprav atd., protože zatím se tyto věci neověřují výpočtem, ale jsou předepsány v normách ve formě požadavků. Mezi obvyklé mezní stavy použitelnosti se řadí: mezní stav omezení napětí; mezní stav vzniku trhlin, mezní stav šířky trhlin; mezní stav přetvoření; mezní stav kmitání (v ČSN EN 199-1-1 [11] není uvažován). Navrhování podle mezních stavů použitelnosti musí vycházet z odpovídajících modelů konstrukce a zatížení. Při výpočtu se uplatňují následující kombinace zatížení: charakteristická, která se používá obvykle pro nevratné mezní stavy použitelnosti (mezní stavy, které zůstanou překročeny, i když je odstraněno zatížení, které bylo příčinou tohoto překročení); častá, která se používá obvykle pro vratné mezní stavy použitelnosti (mezní stavy, které nezůstanou překročeny, jestliže se odstraní zatížení, které jejich překročení vyvolalo); kvazistálá, která se používá většinou pro kontrolu mezních stavů použitelnosti týkajících se důsledků dlouhodobých účinků a vzhledu konstrukce. 156

6. Omezení napětí v betonu a ve výztuži 6..1 Vznik trhlin Při výpočtu napětí je rozhodující, zda se při působení charakteristických zatížení očekává nebo neočekává vznik trhlin. Oslabení trhlinami je třeba uvažovat, největší tahové napětí betonu v průřezu bez trhliny překročí efektivní hodnotu pevnosti betonu v tahu, tzn. v případě, kdy c > f ct,eff (6.1) Hodnota f ct,eff se obvykle uvažuje hodnou f ctm, což je střední hodnota pevnosti betonu v tahu (viz kap. ), popř. f ctm,fl, což je střední hodnota pevnosti betonu v tahu za ohybu (viz kap. ), za předpokladu, že při výpočtu minimální plochy výztuže byla použita stejná hodnota. 6.. Výpočet napjatosti V průřezu bez trhliny se předpokládá plné působení betonového průřezu a pružné chování betonu i výztuže v tahu i v tlaku. Při výpočtu veličin ideálního průřezu se uvažuje poměr Es e (6.) E cm kde E s je modul pružnosti betonářské výztuže (E s = 00 000 MPa); E cm střední hodnota sečnového modulu pružnosti betonu (viz kap. ). Při výpočtu veličin ideálního průřezu bez trhliny máme plochu výztuže A s správně uvažovat jako přidanou plochu betonového průřezu ( e 1) A s v úrovni těžiště výztuže, neboť plocha výztuže je již jednou zahrnuta v ploše průřezu; v praxi se však často uvažuje přidaná plocha betonového průřezu přibližně e A s. Obr. 6.1 Veličiny průřezu bez trhliny 157

Veličiny ideálního obdélníkového průřezu (obr. 6.1) jsou: plocha ideálního průřezu 1 A A A A (6.3a) i c e s1 s vzdálenost těžiště ideálního průřezu od horního okraje agi Ac ac e 1 As1 d As d / Ai (6.3b) moment setrvačnosti ideálního průřezu k jeho těžišti 1 Ii Ic Ac agi ac e As1 d agi As agi d (6.3c) kde A c je plocha betonové části průřezu; A s1 průřezová plocha tažené nebo méně tlačené (dolní) betonářské výztuže; A s průřezová plocha tlačené nebo méně tažené (horní) betonářské výztuže; a c vzdálenost těžiště betonového průřezu od tlačeného nebo méně taženého okraje průřezu; I c moment setrvačnosti betonové části průřezu k jeho těžišťové ose. Při výpočtu napětí se má kromě účinků vnějšího zatížení přihlížet i k účinkům dotvarování a smršťování betonu, podle povahy případu i k jiným nepřímým zatížením, jako je například účinek teploty, která mohou výsledná napětí významně ovlivnit. Napětí betonu v krajních vláknech průřezu namáhaného normálovou silou N k (tlak se záporným znaménkem) a ohybovým momentem M k vztaženým k těžišti ideálního průřezu (kladný moment vyvozuje tah ve spodních vláknech) určíme (viz obr. 6.1) podle vztahů N M a k k gi c v horních vláknech (6.4a) Ai Ii N M h a k k gi c1 v dolních vláknech (6.4b) Ai Ii Trhliny nevzniknou, pokud platí f a f (6.5) c1 ct,eff c ct,eff Je-li na obou okrajích taženého průřezu splněna podmínka c1 fct,eff a c fct,eff, jde o mimostředný tah s malou výstředností a ideální průřez pro výpočet napětí s1 a s je tvořen pouze výztuží. Průřez s trhlinou se uvažuje, pokud pro napětí v krajních betonových vláknech vypočtená na plně působícím průřezu podle vztahů (6.4) platí f a 0 resp. (6.6a) c1 ct,eff c 158

f a 0 (6.6b) c ct,eff c1 V tažené oblasti průřezu beton nepůsobí, napětí v tlačené části průřezu a ve výztuži je úměrné rovinnému přetvoření průřezu (obr. 6.). Obr. 6. Veličiny průřezu s trhlinou za ohybu nebo tahu a tlaku s velkou výstředností Lze napsat podmínku přetvoření s1 c d x popř. x s podmínku rovnováhy osových sil c x d (6.7a) x Nk Fs1Fs Fcc (6.7b) a momentovou podmínku k hornímu okraji průřezu x N e F d F d F (6.7c) k s1 s cc 3 kde e je vzdálenost výslednice síly N k od horního okraje průřezu. Pro obdélníkový průřez platí Fcc 0,5 bxc Ecm Fs1 As1 s1 Es F A E s s s s Po dosazení do vztahů (6.7) obdržíme po úpravě kubickou rovnici pro výpočet výšky x tlačené části průřezu 159

3 6e 6e x 3e x As1 ed As ed x As1 dd e As d d e 0 (6.8) b b Po vyřešení velikosti tlačené části průřezu x ze vztahu (6.8) je možno určit charakteristiky ideálního průřezu s trhlinou (A ir ; I ir ). Pro výpočet charakteristik ideálního průřezu je možno použít vztahy analogické výrazům (6.3), do kterých za plochu betonové části průřezu A c dosadíme plochu tlačené části betonového průřezu A cc = bx. Napětí v krajních tlačených vláknech betonu určíme ze vztahu Nk c 1 Air agi e Air a I gi ir (6.9a) Napětí ve výztuži vypočteme ze vztahů N k gi s1 1 Air agi e e Air Iir N a d k gi s 1 Air agi e e Ari Iir a d (6.9b) (6.9c) Pro obdélníkový železobetonový průřez namáhaný pouze ohybovým momentem M k obdržíme pro výpočet výšky x tlačené části průřezu kvadratickou rovnici e e x As1 As x As1 d As d 0 (6.10) b b jejímž řešením lze získat velikost (výšku) tlačené oblasti betonu b A d A d x A A b A A e s1 s s1 s 1 1 e s1 s (6.11) Moment setrvačnosti trhlinou oslabeného průřezu určíme z podmínky, že těžištní osa trhlinou oslabeného ideálního průřezu při namáhání ohybovým momentem leží ve vzdálenosti x od horního okraje průřezu, ve tvaru 1 I b x A d x A x d 3 3 ir e s1 s (6.1) Napětí extrémně namáhaných vláken tlačeného betonu (výztuže) je M k c x (6.1a) I ir 160

s M k e d x Iir ( ) (6.1b) 6..3 Omezení napětí Omezení napětí z hlediska podmínek použitelnosti se předepisuje pro: tlaková napětí v betonu, kde nadměrné hodnoty tlakových napětí v betonu mohou v provozním stavu na konstrukci vyvolat vznik podélných trhlin; rozvoj mikrotrhlin v betonu; vyšší hodnoty dotvarování. Tyto jevy mohou vést ke vzniku takových stavů, které znemožní používání konstrukce. tahová napětí ve výztuži, kde nadměrná napětí mohou vést ke vzniku nadměrného nepružného přetvoření výztuže (a tím i celého prvku) a ke vzniku širokých, trvale otevřených trhlin v betonu. Omezení napětí mohou vycházet i z jiných požadavků na funkci a trvanlivost konstrukce. Např. zvýšené nároky na trvanlivost (případně i vodonepropustnost) konstrukce lze vyjádřit požadavkem, aby pro některou kombinaci zatížení byl průřez namáhán požadovaným způsobem (např. celý tlačen, resp. průřez s omezenou hodnotou maximálního tahového napětí). Tyto požadavky jsou kladeny na konstrukce v některých prostředích, respektive speciální požadavky může vznést investor. Omezení tlakových napětí v betonu Pokud se neučiní jiná opatření (např. zvětšení krycí vrstvy podélné tlačené výztuže nebo omezení přetvoření betonu příčnou výztuží), je vhodné u konstrukcí nacházejících se v třídách prostředí XD, XF a XS (viz kap. ) splnit podmínku c 0,6 fck (6.13) kde f je charakteristická hodnota pevnosti betonu v tlaku; ck napětí betonu v tlaku při charakteristické kombinaci zatížení. c Lineární dotvarování betonu lze uvažovat, pokud napětí betonu v tlaku splňuje podmínku kde c 0, 45 fck (6.14) c je napětí stanovené pro kvazistálou kombinaci zatížení. Omezení tahových napětí ve výztuži Tahové napětí v betonářské výztuži je třeba omezit na hodnotu s 0,8 fyk; (6.15) 161

je-li napětí ve výztuži vyvozeno vnesenými přetvořeními, je možno použít podmínku s 1, 0 fyk (6.15a) kde je napětí stanovené pro charakteristickou kombinaci zatížení. s Střední hodnota napětí v předpínací výztuži nemá překročit hodnotu 0,75 f pk. 6.3 Mezní stav trhlin 6.3.1 Omezení trhlin bez přímého výpočtu šířky trhlin Omezení šířky trhlin na přijatelnou míru lze dosáhnout dodržením minimálního množství výztuže vykazující soudržnost s betonem, ve všech průřezech namáhaných tahem. A s,min s = k c k f ct,eff A ct 1 A p p (6.16) kde A s,min je minimální průřezová plocha betonářské výztuže v tažené oblasti průřezu; A ct plocha betonu v tažené oblasti průřezu. Tažená oblast je ta část plochy průřezu, která je podle výpočtu těsně před vznikem první trhliny namáhána tahem; s absolutní hodnota největšího napětí, které se připouští ve výztuži bezprostředně po vzniku trhliny. Hodnotu napětí lze uvažovat rovnou mezi kluzu ve výztuži f yk. Avšak pro omezení šířky trhliny může být nutná hodnota napětí menší, lze ji stanovit podle průměru výztuže nebo podle vzdálenosti prutů (viz tab. 6.a, b); f ct,eff průměrná hodnota pevnosti betonu v tahu v okamžiku prvního očekávaného vzniku trhlin; f ct,eff = f ctm nebo nižší, (f ctm (t), jestliže vznik trhlin je předpokládán dříve než za 8 dní); k součinitel vyjadřující účinek nerovnoměrného rozdělení vnitřních rovnovážných napětí, vedoucích ke zmenšení sil vyplývajících z omezení přetvoření: k = 1,0 pro stěny komorových průřezů a T průřezů s h 300 mm nebo přilehlé desky komorových průřezů a T průřezů šířky menší než 300 mm, k = 0,65 pro stěny komorových průřezů a T průřezů s h 800 mm nebo přilehlé desky komorových průřezů a T průřezů šířky větší než 800 mm, mezilehlé hodnoty lze interpolovat; k c součinitel, kterým se zohledňuje rozdělení napětí v průřezu bezprostředně před vznikem trhlin a změnu ramene vnitřních sil: pro prostý tah k c = 1,0; pro ohyb nebo kombinaci ohybu s normálovými silami: pro obdélníkové průřezy, stěny komorových průřezů a T průřezů k c c 0, 4 1 1 k1( h/ h ) fct,eff (6.17) 16

pro přilehlé desky komorových průřezů nebo T průřezů k c F (6.18) cr 0,9 0,5 Act fct,eff kde c je průměrná hodnota napětí v betonu působící na uvažovanou část průřezu: Nkd c bh N k osová síla v mezním stavu použitelnosti působící na uvažovanou část průřezu (tlaková síla kladná). N k má být stanovena při uvažování charakteristických hodnot normálových sil při uvažované kombinaci zatížení; h* h* = h pro h < 1,0 m, h* = 1,0 m pro h 1,0 m; k 1 součinitel, kterým se zohledňují účinky normálových sil na rozdělení napětí: k 1 = 1,5 pokud N Ed je tlaková síla, h k1 3h pokud N Ed je tahová síla; F cr absolutní hodnota tahové síly v přilehlé desce bezprostředně před vznikem trhlin vyvozených momentem na mezi vzniku trhlin, vypočteným s použitím hodnoty f ct,eff. U předpjatých konstrukcí se soudržnou předpínací výztuží v tažené oblasti lze předpokládat, že tato výztuž se podílí na omezení trhlin, pokud leží ve vzdálenosti 150 mm od těžiště předpínací výztuže. Toto může být zohledněno zmenšením plochy betonářské výztuže jak je uvedeno ve vztahu (6.16) hodnotou 1 A p p (6.19) kde A p je plocha předem nebo dodatečně napínané výztuže ležící v ploše A c,eff ; A c,eff účinná plocha taženého betonu obklopující betonářskou nebo předpínací výztuž o výšce h c,ef, kde h c,ef je menší z hodnot,5 (h d), popř. (h x)/3 nebo h/ (viz obr. 6.5); 1 upravený poměr pevnosti v soudržnosti, kterým se zohledňují rozdílné průměry betonářské a předpínací výztuže s 1 p poměr pevnosti v soudržnosti předpínací a betonářské výztuže podle tab. 6.1; s největší průměr prutu betonářské výztuže; p ekvivalentní průměr předpínací výztuže; p = 1,6 A p pro svazek drátů (kabel); p = 1,75 wire pro jednotlivá 7drátová lana, kde wire je průměr drátu; p = 1,0 wire pro jednotlivá 3drátová lana, kde wire je průměr drátu; 163

pokud pro omezení trhlin je použita pouze předpínací výztuž, pak 1 ; p změna napětí v předpínací výztuži ze stavu nulového poměrného přetvoření betonu ve stejné úrovni. V předpjatých prvcích se nepožaduje minimální výztuž v průřezech, pokud je při charakteristické kombinaci zatížení a charakteristické hodnotě předpětí beton tlačen, nebo je absolutní hodnota tahového napětí v betonu menší než ct,p = f ct,eff. Tab. 6.1 Poměr pevnosti v soudržnosti mezi předpínací a betonářskou ocelí Předpínací ocel předem napjatá soudržná, dodatečně napjatá C50/60 C70/85 hladké tyče a dráty nepoužívá se 0,3 0,15 lana 0,6 0,5 0,5 dráty s vtisky 0,7 0,6 0,30 žebírkové tyče 0,8 0,7 0,35 Poznámka: Pro mezilehlé hodnoty C50/60 a C70/85 lze použít interpolaci. U železobetonových desek pozemních staveb, namáhaných ohybem bez významného osového tahu, nejsou zapotřebí žádná zvláštní opatření pro omezení šířky trhlin, pokud celková tloušťka nepřekročí 00 mm a jsou dodrženy konstrukční zásady. Pokud je provedena minimální betonářská výztuž podle vztahu (9.16), šířka trhlin pravděpodobně nebude nadměrná, pokud: pro trhliny vyvozené převážně omezením vynucených přetvoření nejsou průměry prutů uvedené v tab. 6.a překročeny a kde napětí v oceli je hodnota stanovená bezprostředně po vzniku trhlin (tzn. s ve vztahu (6.16)); pro trhliny vyvozené převážně přímým zatížením jsou splněna buď ustanovení tab. 6.a, nebo ustanovení tab. 6.b. Napětí v oceli se má stanovit v průřezech porušených trhlinami při příslušné kombinaci zatížení. Tab. 6.a Maximální průměry prutů * s pro omezení šířky trhlin 1) Napětí ve výztuži ) Maximální průměr prutu [mm] [MPa] w k = 0,4 mm w k = 0,3 mm w k = 0, mm 160 40 3 5 00 3 5 16 40 0 16 1 80 16 1 8 30 1 10 6 360 10 8 5 400 8 6 4 450 6 5 164

Poznámka: 1) Hodnoty v tabulce vycházejí z následujících předpokladů: c = 5 mm; f ct,eff =,9 MPa; h cr = 0,5; (h d) = 0,1h; k 1 = 0,8; k = 0,5; k c = 0,4; k = 1,0; k t = 0,4 a k = 1,0. ) Při odpovídající kombinaci účinků zatížení. Tab. 6.b Maximální vzdálenost prutů pro omezení šířky trhliny 1) Napětí ve výztuži ) Maximální vzdálenost prutů [mm] [MPa] w k = 0,4 mm w k = 0,3 mm w k = 0, mm 160 300 300 00 00 300 50 150 40 50 00 100 80 00 150 50 30 150 100 360 100 50 Poznámka: Vysvětlení v tab. 6.a Maximální průměr prutu se má upravit následovně: Ohyb (alespoň část průřezu je tlačena) s = s (f ct,eff /,9) kh c cr ( h d ) (6.0) Tah (rovnoměrný prostý tah) s = s (f ct,eff /,9) h cr / (8 (h d)) (6.1) kde s je maximální upravený průměr prutu; s maximální průměr prutu uvedený v tab. 6.a; h celková výška průřezu; h cr výška tlačené oblasti bezprostředně před vznikem trhliny při uvažování charakteristických hodnot předpětí a osových sil při kvazi stálé kombinaci zatížení; d účinná výška průřezu vztažená k těžišti krajní vrstvy výztuže. Pokud je celý průřez namáhán tahem, pak h d je minimální vzdálenost od těžiště vrstvy výztuže k povrchu betonu (při nesymetrické výztuži se uvažují vzdálenosti ke každému povrchu betonu). Nosníky o výšce 1 000 mm a vyšší, u nichž je hlavní výztuž soustředěna pouze na malé části výšky, mají být opatřeny u bočních stran přídavnou povrchovou výztuží, aby se omezily trhliny na bočních površích nosníku. Tato výztuž má být rovnoměrně rozdělena mezi úrovní tahové výztuže a neutrální osou a má být umístěna uvnitř třmínků. Průřezová plocha povrchové výztuže nemá být menší než je množství stanovené ze vztahu (6.16), přičemž k = 0,5 a s = f yk. Vzdálenosti a průměr vhodných prutů lze určit při vhodném zjednodušení z tab. 6.a a 6.b 165

předpokládáním dostředného tahu a napětí ve výztuži, rovnajícího se polovině napětí stanoveného pro hlavní tahovou výztuž. Nebezpečí vzniku širokých trhlin je zvláště v průřezech s náhlými změnami napětí, např.: při změnách rozměrů a tvaru průřezu; blízko soustředěných zatížení; v místech, ve kterých se ukončují pruty výztuže; v oblastech s velkým napětím v soudržnosti, zejména na koncích styků s přesahem. V těchto oblastech má být věnována pozornost minimalizaci změn napětí. Uvedená pravidla pro omezení šířky trhlin obvykle zajišťují odpovídající omezení i v těchto případech, pokud jsou dodrženy konstrukční zásady. Šířky trhlin vyvozené účinky smykového zatížení lze předpokládat za přiměřeně omezené, pokud jsou dodrženy konstrukční zásady. 6.3. Výpočet šířky trhlin Trhliny v betonových konstrukcích mohou mít (zejména v případech trhlin širokých a dlouhodobě rozevřených), limitující vliv na trvanlivost a životnost konstrukce. Trhliny vznikají buď působením přímého zatížení, nebo vynuceným přetvořením, resp. kombinací obou způsobů. Trhliny v železobetonových konstrukcích namáhaných ohybem, smykem, kroucením nebo tahem jsou většinou nevyhnutelné (tedy jsou v betonových konstrukcích vesměs obvyklé). Přitom šířka trhlin závisí na vyztužení (tj. na množství výztuže, velikosti a vzdálenosti profilů výztužných prutů, na druhu výztuže), na pevnosti betonu v tahu, na soudržnosti výztuže a betonu, na krytí (tj. na tloušťce krycí vrstvy) a uspořádání výztuže na rozměrech prvku a na jeho namáhání. Šířka trhliny w na povrchu betonu se mění v závislosti na vzdálenosti místa s trhlinou od výztužných prutů. Výpočet šířky trhliny podle ČSN EN 199-1-1 [11] vychází z předpokladu, že není možné přesně stanovit šířku trhliny (zejména s ohledem na rozptyl tahové pevnosti betonu a soudržnost výztuže s betonem) pomocí jednoduchých vztahů, znalost přesné šířky trhliny není pro trvanlivost betonové konstrukce významná; proto norma považuje za účelnější stanovit zásady uspořádání výztuže pro zamezení vzniku širokých trhlin, než komplikovaně a nespolehlivě stanovovat šířku trhliny výpočtem. Cílem návrhu konstrukce z hlediska mezního stavu šířky trhlin je zajistit, že trhliny nezhorší použitelnost a trvanlivost konstrukce. Posouzení lze provést dvěma způsoby: přímým výpočtem šířky trhlin a kontrolou podmínky spolehlivosti, která vyjadřuje, že šířka trhliny nepřestoupí předepsanou, resp. dohodnutou hodnotu, dodržením jistých doporučení (viz kap. 6.3.1), která zajišťují dostatečné vyztužení průřezu, velikost profilů a vzdálenost vložek; v tomto případě se šířka trhlin nepočítá. ČSN EN 199-1-1 [11] se nezabývá trhlinami, které mohou vzniknout od jiných jevů, než je přímé zatížení a vynucená přetvoření, tj. např. trhlinami vyvolanými plastickým smršťováním, resp. chemickými reakcemi v tvrdnoucím betonu. Závislost mezi působícím zatížením a poměrným přetvořením výztuže obdélníkového železobetonového symetricky vyztuženého centricky taženého prutu je zakreslena na obr. 6.3. 166

V prvku nevzniknou trhliny až do dosažení pevnosti betonu v tahu; působící zatížení má velikost N I a odpovídá mu přetvoření výztuže I. Do tohoto okamžiku se prvek nachází ve stavu I, působí plný ideální průřez tvořený taženým betonem a výztuží s plochou A i. Po dosažení tahové síly N I = A i f ctm vzniknou primární trhliny. V místě trhliny již neplatí rovnost mezi poměrným přetvořením výztuže a betonu; mimo trhlinu, kde je zachována soudržnost mezi betonem a výztuží, je rovnost poměrných přetvoření betonu a výztuže zachována. Vzdálenost mezi primárními trhlinami je velká (obr. 6.4a); mezi trhlinami spolupůsobí na přenášení zatížení tažený beton i výztuž; v místě trhliny je napětí v betonu rovno nule a veškeré tahové síly přenáší pouze výztuž. Po vzniku primárních trhlin dochází ke snížení tuhosti taženého prvku. Při zachování zhruba stejné hodnoty zatížení se začínají rozvíjet sekundární trhliny (obr. 6.3 a obr. 6.4b). Fáze rozvoje trhlin je ukončena v bodě NI,II ; I,II podle obr. 6.3. Obr. 6.3 Poměrné přetvoření výztuže u centricky taženého prutu Při dalším zvyšování zatížení již dochází ke zvyšování napjatosti ve výztuži, spolupůsobení betonu s výztuží mezi trhlinami se při rostoucím zatížení zmenšuje. Napjatost a přetvoření výztuže narůstá až dosažení meze skluzu výztuže (bod (N y, y ) na obr. 6.3. Vzhledem k rostoucímu zatížení klesá podíl části zatížení přeneseného mezi trhlinami taženými betonem; závislost mezi zatížením a přetvořením se přibližuje teoretickému stavu působení prvku II, ve kterém se již spolupůsobení taženého betonu mezi trhlinami neuvažuje. Podobným způsobem by bylo možno popsat chování železobetonového ohýbaného prvku u taženého okraje; jednotlivá stadia působení prvku z hlediska vzniku a rozvoje trhlin by byla obdobná. 167

Obr. 6.4 Centricky tažený symetrický železobetonový prvek a) stav po vzniku primárních trhlin, b) stadium ukončeného rozvoje trhlin Charakteristickou šířku trhliny w k lze stanovit ze vztahu w k = s r,max ( sm cm ) (6.) kde s r,max je maximální vzdálenost trhlin; sm průměrná hodnota poměrného přetvoření výztuže při příslušné kombinaci zatížení, zahrnující účinek vnesených deformací a přihlížející k účinkům tahového ztužení. Uvažuje se pouze přídavné tahové poměrné přetvoření od stavu nulového poměrného přetvoření betonu ve stejné úrovni; cm průměrná hodnota poměrného přetvoření betonu mezi trhlinami; sm cm lze vypočítat ze vztahu: ε sm fct,eff σ s kt 1αρ e p,eff ρp,eff σs εcm = 0,6 (6.3) E E s kde s je napětí v tahové výztuži stanovené v průřezu porušeném trhlinou; e poměr E s /E cm ; p,eff (A s + 1 A p ) /A c,eff ; (6.4) A c,eff plocha betonu obklopujícího taženou výztuž o výšce h c,eff, kde h c,eff je menší z hodnot,5(h d), popř. (h x)/3 nebo h/ (viz obr. 6.5), tedy s,5 h d hc,eff min hx/ 3 h / (6.5) 168

k t součinitel závisející na době trvání zatížení: k t = 0,6 pro krátkodobé zatížení; k t = 0,4 pro dlouhodobé zatížení. Obr. 6.5 Efektivní tažená plocha betonu A c,eff, typické příklady a) nosník (nosníková deska, deska), b) tažený prvek Maximální vzdálenost trhlin, pokud vzdálenost soudržné výztuže nepřekročí hodnotu 5(c + / ), se určí ze vztahu s r,max = k 3 c + k 1 k k 4 / p,eff (6.6) kde je průměr prutu. Pokud jsou v průřezu použity pruty různých průměrů, má se použít ekvivalentní průměr eq. V průřezu, kde je n 1 prutů o průměru 1 a n prutů o průměru, se použije následující vztah eq n n 1 1 n n 1 1 (6.7) c k 1 k krycí vrstva podélné výztuže; součinitel, kterým se zohledňují vlastnosti soudržné výztuže; k 1 = 0,8 pro pruty s velkou soudržností; k 1 = 1,6 pro pruty s hladkým povrchem (např. předpínací vložky); součinitel, kterým se zohledňuje rozdělení poměrného přetvoření; k = 0,5 pro ohyb; k = 1,0 pro prostý tah. Pro případy mimostředného tahu nebo pro místní oblasti se mají použít mezilehlé hodnoty k, které se vypočítají podle následujícího vztahu k = ( 1 + )/ 1 (6.8) kde 1 je větší a menší tahové poměrné přetvoření na okrajích vyšetřovaného průřezu, stanovené v průřezu, který je celý oslaben trhlinou; k 3 součinitel, jehož hodnota se uvažuje k 3 = 3,4; k 4 součinitel, jehož hodnota se uvažuje k 4 = 0,45. Pokud vzdálenost soudržné výztuže překročí 5 (c + / ) (viz obr. 6.6), nebo pokud soudržná výztuž není v tažené oblasti, lze horní mez šířky trhlin stanovit za předpokladu maximální vzdálenosti trhlin 169

s r,max = 1,3 (h x) (6.9) Obr. 6.6 Šířka trhliny w na povrchu betonu v závislosti na vzdálenosti od prutu Po dosazení (6.3) a (6.6) do vztahu (6.) obdržíme 1 fct,eff wk k3 ck1 k k4 s kt 1E p,eff p,eff Es p,eff (6.30) kde hodnoty jednotlivých veličin jsou uvedeny výše. Vypočtená šířka trhlin w k se má porovnat s hodnotou w max, která se stanoví s ohledem na předpokládanou funkci a charakter konstrukce, jakož i náklady spojené s omezováním šířky trhlin. Podmínka spolehlivosti w k w max (6.31) Pokud nejsou kladeny na konstrukci speciální požadavky z hlediska omezení jejich trhlin (např. vodotěsnost), lze předpokládat, že limitní šířky trhlin uvedené pro kvazistálou kombinaci zatížení budou zajišťovat pro železobetonové prvky dostatečnou spolehlivost se zřetelem na jejich vzhled a trvanlivost. Doporučené šířky trhlin jsou uvedeny v tab. 6.3. Tab. 6.3 Doporučená šířka trhliny w max mm Třída prostředí Prvky železobetonové, předpjaté nesoudržnou výztuží Prvky předpjaté soudržnou výztuží Kvazistálá kombinace zatížení Častá kombinace zatížení XO, XC1 XC, XC3, XC4 XD1, XD, XS1 až XS3 0,4 *) 0,3 0,3 0, 0, **) dekomprese *) V prostředí XO a XC1 nemá šířka trhlin vliv na trvanlivost konstrukce; tato limitní hodnota má vést k obecně přijatelnému vzhledu. Pokud nejsou kladeny požadavky na vzhled, není nutno šířku kontrolovat. **) Pro tyto stupně vlivu prostředí má být též posouzena dekomprese při kvazistálé kombinaci zatížení. 170

Návrh výztuže A s při dané síle ve výztuži F s pro požadovanou šířku trhliny w k Vyjdeme-li ze vztahu (6.), (6.3) a (6.6), můžeme stanovit plochu výztuže A s železobetonové konstrukce při známé síle ve výztuži F s (stanovené např. od účinku působícího zatížení v uvažované kombinaci zatížení v mezních stavech použitelnosti) při požadované šířce trhliny w k, pokud známe (nebo zvolíme) výztuže, ze vztahu b + b 4 a c K K K K As = K a (6.3) kde a) Ka = Es wk + k3 ckt fct,eff a e (6.3a) K k c F k F k k k k F (6.3b) b 3 s t cr 1 4 t cr e c 1 4 c,eff s t cr K k k k A F k F (6.3c) b) K E w (6.3d) a s k K k c 0,6 F (6.3e) b 3 s K k k k A 0,6 F (6.3f) c 1 4 c,eff s kde F cr = A c,eff f ct,eff síla v trhlině působící na účinné ploše betonu obklopujícího tahovou výztuž; F s je tahová síla přenášená výztuží; f ct,eff efektivní pevnost betonu v tahu v uvažovaném časovém okamžiku; A c,eff = b h c,eff kde h c,eff viz vztah (6.5); E s modul pružnosti oceli; k t, e viz vztah (6.3); k 1, k, k 3, k 4 viz vztah (6.6). Hodnotu A s stanovíme ze vztahu (6.3) x; jednak při uvažování konstant podle a), jednak při uvažování konstant podle b); rozhoduje větší z hodnot A s takto stanových. Vzdálenost nevržené soudržné výztuže nesmí překročit hodnotu 5 (c + /), vzhledem k tomu, že jsme pro vzdálenost trhlin uvažovali vztah (6.6). Plochu výztuže při vzniku raných trhlin (při omezeném přetvoření) lze stanovit při uvažování tahové síly ve výztuži při vzniku první trhliny podle vztahu (6.16) F s = F ct,eff = k c k f ct,eff A ct Při vzniku raných trhlin lze uvažovat (1 + c p,eff ) = 1 a pak ve vztazích (6.3a), (6.3b), (6.3d) a (6.3e) nemusíme uvažovat druhé členy a efektivní pevnost betonu v tahu v uvažovaném časovém okamžiku lze při úniku hydratačního tepla např. uvažovat f ct,eff = 0,5 f ctm. 171

6.4 Mezní stav přetvoření 6.4.1 Mezní přetvoření Nadměrné deformace jako je průhyb, pootočení, posun atd., nepříznivě ovlivňují použitelnost konstrukce. Velké deformace mohou v budovách ovlivňovat pohodlí lidí, dokonce vyvolávat pocit ohrožení. V provozních objektech často bývá omezena deformace konstrukce, aby byl zajištěn správný chod strojů (rovinnost podlah, deformace jeřábové dráhy apod.). Nenosné konstrukce (nesené příčky, opláštění, obklady, omítky apod.) jsou schopny přenášet deformace jen do určitého rozsahu, při větších deformacích dochází k jejich poškození. S používáním kvalitnějších materiálů (ocelí s vyššími mezemi průtažnosti, vyšší třídy betonu) vzrůstá význam kontroly přetvoření konstrukce. Je nutné si uvědomit, že za současného stavu může být přetvoření konstrukce limitujícím činitelem při jejím návrhu. Proto je nutné u každé konstrukce (alespoň přibližně, např. pomocí vymezujících ohybových štíhlostí) se přesvědčit o přetvoření konstrukce. Pro stanovení mezních hodnot přetvoření lze použít doporučených hodnot uvedených v normách, nicméně vzhledem k tomu, že zajištění tuhosti bývá někdy nákladné, může hodnoty mezních přetvoření stanovit investor (nebo objednavatel) ve smlouvě. Další omezení by měla vyplynout z požadavků investora; mohou záviset na použité technologii instalované v objektu apod. Dále uvedené orientační hodnoty mezních průhybů mají zajistit vyhovující funkčnost staveb, a to např. obytných, administrativních a veřejných budov nebo továren, pokud na ně nejsou kladeny zvláštní požadavky. a) Při požadavcích na vzhled a obecnou použitelnost: Průhyb vypočtený při kvazi stálém zatížení nemá překročit hodnotu 1/50 rozpětí. Průhyb se stanoví ve vztahu k podporám. Pro kompenzaci celého průhybu nebo jeho části lze použít nadvýšení, které nemá překročit hodnotu 1/50 rozpětí. b) Při požadavcích na průhyby po zabudování prvku: Průhyb od zatížení po zabudování prvku vypočtený při kvazistálém zatížení nemá překročit hodnotu 1/500 rozpětí. Toto kriterium je třeba kontrolovat, pokud nadměrné průhyby mohou poškodit připojené prvky (např. příčky, zasklení, obklady, technická zařízení budov apod.). 6.4. Vymezující ohybové štíhlosti Pokud jsou železobetonové nosníky nebo desky v pozemních stavbách navrženy tak, že splňují podmínku ohybové štíhlosti (poměr rozpětí l k účinné výšce d nepřekročí hodnotu d ), tedy pokud platí l d (6.33) d lze předpokládat, že průhyby nepřekročí hodnoty uvedené výše v odstavcích a) a b). 17

Mezní poměr rozpětí k účinné výšce, tzv. vymezující ohybová štíhlost, se stanoví ze vztahu d c1 c c3 (6.34) K 111, 5 f 3, f 1 pro 3/ o o ck ck o 1 K 111, 5 f f pro o ck ck o 1 o (6.35) kde c1 je c c3 součinitel závislý na tvaru průřezu c1 = 0,8 pro T průřezy s poměrem šířky příruby k šířce žebra větší než 3, c1 = 1,0 v ostatních případech; součinitel závislý na rozpětí, nosníky a nosníkové desky c = 7/l pro l 7,0 m, c = 1,0 pro l 7,0 m; součinitel napětí tahové výztuže s v extrémně namáhaném průřezu při časté kombinaci provozního zatížení 310 500 As,prov c3 f A A s,prov plocha výztuže v extrémně namáhaném průřezu o rozměrech b a h; A s,req průřezová plocha výztuže v průřezu, potřebná k přenesení extrémního momentu v mezním stavu únosnosti; K součinitel, kterým se zohledňují různé nosné systémy viz tab. 5.4; 0 referenční stupeň vyztužení 0 = 10-3 f ck, kde f ck je v Mpa; požadovaný stupeň vyztužení tahovou výztuží ve středu rozpětí (u konzoly ve vetknutí) na ohybový moment vyvozený návrhovým zatížením; požadovaný stupeň vyztužení tlakovou výztuží ve středu rozpětí (u konzoly ve vetknutí) na ohybový moment vyvozený návrhovým zatížením. s yk s,req V tab. 6.4 jsou hodnoty tab stanovené ze vztahu (6.35) pro běžné případy (beton třídy C30/37, s = 300 MPa), různé nosné soustavy a stupně vyztužení = 0,5 % a = 1,5 %. Pro mezilehlé hodnoty lze v tabulce interpolovat. Pro jiné třídy betonu jsou obdobné tabulky uvedeny v Příloze 6. 6.4.3 Výpočet přetvoření Při výpočtu přetvoření betonových konstrukcí je třeba si uvědomit, že po vzniku trhlin poklesá ohybová, popř. osová tuhost. Dále je třeba při výpočtu počítat s dotvarováním a se smršťováním betonu, deformace od těchto jevů zvyšují deformace stanovené při okamžitém přetvoření. Přírůstek deformace od dotvarování a smršťování betonu může dosáhnout až dvojnásobku deformace okamžité. 173

Tab. 6.4 Hodnoty tab pro běžné železobetonové prvky (C30/37, s = 300 MPa) Nosná soustava K Silně namáhaný beton = 1,5 % Slabě namáhaný beton = 0,5 % prostě podepřený nosník, prostě podepřená deska nosná v jednom nebo 1,0 14 0 ve dvou směrech krajní pole spojitého nosníku nebo spojité desky nosné v jednom směru nebo desky nosné ve dvou směrech 1,3 18 6 spojité v delší straně vnitřní pole nosníku nebo desky nosné v jednom směru nebo desky nosné ve 1,5 0 30 dvou směrech deska lokálně podepřená (rozhoduje delší rozpětí) 1, 17 4 konzola 0,4 6 8 Poznámka: U desek nosných ve dvou směrech se má posouzení provést pro kratší rozpětí. U desek lokálně podepřených se při posouzení má uvažovat delší rozpětí. Proto je třeba nejprve rozhodnout, zda v prvku vznikají trhliny (obr. 6.7). Vznik trhlin se předpokládá, pokud platí c > f ct,eff, popř. u ohýbaných prvků, pokud M M f k cr ct,eff Ii h a kde M cr je moment na mezi vzniku trhlin gi (6.36) 174. Obr. 6.7 Kritická oblast ve které vznikají trhliny a) Pokud trhliny nevznikají (M k M cr ), uvažujeme průřezy bez trhlin a dále postupujeme s využitím vztahů odvozených za předpokladu pružného působení materiálu; při výpočtu uvažujeme e = E s / E c,eff. b) Pokud trhliny vznikají (M k M cr ), musíme stanovit 1 CI E I ohybovou poddajnost průřezu bez trhliny a (6.37) c,eff i

C II 1 E I ohybovou poddajnost průřezu s trhlinou, (6.38) c,eff ir kde E c,eff je efektivní modul pružnosti betonu, který uvažujeme hodnotou (9.41a), I i moment setrvačnosti průřezu bez trhliny, při e = E s / E c,eff ; I ir moment setrvačnosti průřezu s trhlinou pří e = E s / E c,eff. Hodnotu E c,eff uvažujeme o při výpočtu přetvoření od krátkodobě působícího zatížení o E c,eff = E cm při výpočtu přetvoření od dlouhodobě působícího zatížení (9.41b) Ecm Ec,eff 1 (, t0) kde E cm je modul pružnosti betonu (viz tab..1) (, t 0 ) součinitel dotvarování (viz kap. ); Dále stanovíme hodnotu udávající míru spolupůsobení betonu mezi trhlinami (tahové zpevnění průřezu) ze vztahu sr 1 (6.40) s kde je součinitel, kterým se zohledňuje vliv doby trvání nebo opakování zatížení na průměrnou hodnotu poměrného přetvoření: = 1,0 při jednorázovém krátkodobě působícím zatížení; = 0,5 při dlouhodobě působícím nebo mnohonásobně opakovaném zatížení; s napětí v tahové výztuži, vypočtené pro průřez s trhlinami; sr napětí v tahové výztuži, vypočtené pro průřez s trhlinami při zatížení způsobujícím vznik prvních trhlin. Poměr sr / s lze při prostém ohybu nahradit poměrem M cr /M k. Křivost od přímého zatížení vyvozujícího ohybový moment M k je dána vztahem 1 r m M k 1 CI CII (6.41) Při stanovení přetvoření je třeba respektovat i přetvoření od smršťování. Křivost od smršťování 1/r cs lze stanovit ze vztahu 1 S cs e rcs I (6.4) kde cs je poměrné přetvoření od celkového smršťování (viz kap. ); S statický moment průřezové plochy výztuže k těžišti průřezu; moment setrvačnosti průřezu; e účinný poměr modulů pružnosti: e = E s / E c,eff 175

S a se mají vypočítat pro průřez bez trhliny (S i, I i ) a s trhlinou (S ir, I ir ), výsledná křivost se vypočítá ze vztahu 1 S S r I I i ir 1 cs e cs i ir (6.43) Průhyb nosníku f lze přibližně stanovit za předpokladu, že poddajnost nosníku stanovíme v průřezu s maximálním ohybovým momentem a považujeme ji konstantní po celé délce prvku. Pak lze průhyb nosníku stanovit ze vztahu 1 I II (6.44) f f f kde f I je průhyb nosníku při uvažování plného působení betonu v tahu (průřezy bez trhlin); f II průhyb nosníku, u kterého beton v tahu nepůsobí (průřezy s trhlinami). Přesnější metoda stanovení průhybu by spočívala ve výpočtu křivosti podél prvku a v určení průhybu např. numerickou integrací. Úsilí vynaložené na tento ruční výpočet není však v běžných případech odůvodněné. V běžných případech lze určit přibližnou hodnotu průhybu ve středu rozpětí ze vztahu f s 1 kl (6.45) r ms kde k je součinitel podle tab. 6.5; l rozpětí nosníku; 1 křivost ve středu nosníku (ve vetknutí konzoly) od zatížení, popř. smršťování, viz rms vztahy (6.41), popř. (6.43). Ve vztahu (6.45) se předpokládá, že mezi křivostí 1/r a ohybovým momentem je proporcionální vztah, a že průběhy křivostí a momentů podél nosníku jsou přibližně afinní. Vývojový diagram pro výpočet přetvoření je znázorněn na obr. 6.8. Pokud je třeba stanovit přetvoření např. po zatížení příčkami s případným dlouhodobě působícím zatížením, lze použít vývojového diagramu znázorněného na obr. 6.9. Poznámka: Pokud je konstrukce zatěžována postupně (vlastní tíha, podlahy atd.) můžeme stanovit dlouhodobou hodnotu modulu E lt ze vztahu n E W / W / E (6.46) lt i i eff,i 1 kde E eff,i = E cm /(1 + i ) W i je hodnota charakteristického zatížení ve stadiu zatížení i (vlastní tíha, podlahy, příčky), i součinitel dotvarování stanovený pro stáří betonu v době zatížení a ve vyšetřovaném okamžiku. 176

Tab. 6.5 Hodnoty k pro přibližný výpočet průhybu 177

Start Stanovíme M qp vyvozený kvazistálým zatížením v kritickém průřezu Určíme charakteristiky betonu f ctm, E cm (E c,8 ) kap. Vypočteme součinitel dotvarování, t 0 ) kap. Ecm 1) Vypočteme účinný modul Ec, eff kap. 1, t0 Es ) Stanovíme e Es 00 GPa E c,eff 3) Vypočteme polohu neutrální osy a gi a I i pro ideální průřez bez trhlin kap. 69.. 4) Vypočteme moment při vzniku trhliny M cr Ii f h ctm a gi ano Průřez trhlin 0 M cr M qp ne Průřez s trhlinou cr 1 0,5 M M qp Stanovíme x a I ir pro ideální průřez s trhlinou - kap. 69.. Stanovíme ohybovou křivost 1 M qp 1 M qp r m E c, eff I i E c, eff I ir Vypočteme poměrné přetvoření od smršťování kap. cs cd ca Stanovíme křivost od smršťování - kap. 9.4.3 1 r cs i 1 cs e S I i cs e S I ir ir Celková křivost 1 r tqp 1 1 r r m cs Výpočet průhybu od kvazipernamentního zatížení κ -Tab. 9.5 f qp 1 l r tqp Je třeba stanovit průběh vyvozený příčkami ne Konec ano Výpočet průhybu vyvozeného příčkami, apod. Obr. 6.8 Vývojový diagram pro výpočet přetvoření od dlouhodobě působícího zatížení 178

Výpočet průhybu vyvozeného příčkami, apod. Stanovte součinitel dotvarování (t,t 0 ), kde t je stáří betonu v době zatížení příčkami, t 0 je stáří betonu v době odbednění t, t, t t t 0 0 c, 0 součinitel c (t,t 0 ) viz. příloha B normy ČSN 199-1-1 Vypočteme moment od zatížení vlastní tíhou příček M pr a použijeme ho místo M qp Připočteme průřezové charakteristiky a vypočteme průhyb f pr při použití (t,t 0 ) místo(,t 0 ) Přibližnou hodnotu průhybu od zatížení příčkami f f qp f Obr. 6.9 Vývojový diagram pro výpočet přetvoření po zatížení příčkami s případným jiným dlouhodobě působícím zatížením pr Při výpočtu přetvoření desek nosných v jednom směru a nosníků, při současném působení dlouhodobého (f lt ) a krátkodobého zatížení (f st ) se dovoluje stanovit výslednou křivost následovně (viz obr. 6.10): 1 vypočte se křivost od dlouhodobě působícího momentu M lt ; rlt 1 vypočte se křivost, a to jako rozdíl křivosti stanovené pro součet momentů rst (M lt + M st ) za předpokladu jejich krátkodobého působení a křivosti od dlouhodobě působícího momentu M lt ; 1 1 výsledná křivost při působení momentů (M st + M lt ) je dána součtem křivostí +. rlt rst 179

Obr. 6.10 Křivost při kombinaci dlouhodobě a krátkodobě působícího zatížení 6.5 Příklady 6.5.1 Spojitá deska o 3 polích Zkontrolujte MSP při uvažování zadání uvedeném v příkladu v kap. 4.5.. Kontrola mezních stavů použitelnosti Stálé zatížení g k = 6,00 kn/m Užitné zatížení q k = 5,00 kn/m Celkové zatížení g k + q k = 11,00 kn/m Ověření MSP provedeme pro vázanou výztuž (nejpříznivější případ), která při dimenzováni v MSÚ vychází následovně: Oblast Navržená výztuž a s [mm /m] x m 0,617 m Rd [knm/m] m Ed [knm/m] pod. B 10á170 46 0,019 0,108 33,65-9,36 OK pole 1 10á170 46 0,019 0,108 33,65 33,04 OK pole 10á50 314 0,013 0,073 3,0,7 OK pole 10á50 314 0,013 0,073 3,0-16,41 OK 180

Pro spojitý nosník o třech polích (viz obr. 4.5) obdržíme silové účinky zatížení pro: a) charakteristickou kombinaci zatížení (ohybové momenty v knm/m, smykové síly v kn/m) Č. Zatěžovací stav m Ed,B m Ed,1 m Ed, v Ed,A v Ed,Ble v Ed,Bri 1 g k +q k v polích 1 + -4,16 3,34 -,93,66-3,34 1,71 g k +q k v polích 1 + 3-19,98 5,11-11,88 3,50-31,50 9,90 3 g k +q k v polích -14,43 1,5 0,59 1,1 17,88 18,15 b) pro kvazistálou kombinaci zatížení = 0,3 (ohybové momenty v knm/m, smykové síly v kn/m) Č. Zatěžovací stav m Ed,B m Ed,1 m Ed, v Ed,A v Ed,Ble v Ed,Bri 1 g k +q k v polích 1 + -15,75 16, -3,78 15,60-1,90 13,44 g k +q k v polích 1 + 3-14,49 16,75-6,39 15,85-1,65 9,90 3 g k +q k v polích -1,81 1,89 -,68 1,44-17,56 1,38 Omezení napětí o Tahové napětí ve výztuži při charakteristickém zatížení nesmí překročit 0,8 f yk pro charakteristickou kombinaci zatížení bude rozhodující ohybový moment v prvním poli m Ed,1 = 5,11 knm/m o Při uvažování lineárního dotvarováni nemá být napětí v betonu při kvazistálé kombinaci zatížení menší než 0,45 f ck pro kvazistálou kombinaci zatížení bude rozhodující též ohybový moment v prvním poli m Ed,1 = 16,75 knm/m Charakteristiky posuzovaného průřezu beton C0/5 f ctm =, MPa E cm =9 GPa ocel 10505 E s = 00 GPa 10 á 170 mm a s = 46 mm e = E s / E cm = 00 / 9 = 6,9 Obr. 6.11 Průřez v 1. poli bez trhlin Průřez bez trhlin 6 1 1,00 0, 6,9 1 46 10 0,076 m A bh a i e s 181

a gi a d 6 0,5 bh e 1 s 0,51,00 0, 0 6,9 1 4610 0,175 0,101 m A 0, 076 i 3 b h Ii bhagi 0,5 h e 1as d agi 1 3 1,000, 0 6 1,00 0,0 0,1010,50,0 6,9 14610 0,175 0,101 1 4 0,00068 m m m I f 0,00068, 10 3 i ctm cr cr h agi 0, 0,101 Ed,Bred 15,15 knm/m 15,15 knm / m m 15,34 knm/m trhliny vzniknou Poznámka: Pro betonový průřez bez výztuže platí: m cr 3 bh fctm 1,00 0,, 10 14,67 knm /m 6 6 c h = 00 mm 5 d = 175 A cc Ø10 á 170 mm b = 1,0 m x s e Obr. 6.1 Průřez v poli s trhlinou Průřez s trhlinou x r a 1 1 1 1 0,0304m 6 e s bd 6,9 4610 1,000,175 6 b e a s 1,00 6,9 4610 3 3 b xr 1,000,0304 6 Ir easd xr 6,9 4610 0,175 0,0304 3 3 0,000076 m 4 18

Kontrola napětí v betonu 3 med xr 16,75 10 0,0304 c 6,70 MPa 0, 45 fck 0,45 0 9,00 MPa OK I 0, 000076 r Kontrola napětí ve výztuži 3 5 44 10 0 175 0 0304 m d x,,, Ed r s e 69, 33398MPa, 08, fyk I r 0, 000076 0, 8500 400 MPa OK Kontrola trhlin U vyztužených desek namáhaných ohybem bez normálové síly není třeba provádět speciální opatření pro kontrolu trhlin, pokud je celková tloušťka desky nepřekročí 00 mm a budou splněna všechna pravidla pro vyztužení. V našem případě h = 00 mm, pravidla pro vyztužení budou splněna není třeba speciálních opatření pro kontrolu trhlin. Kontrola průhybu Kontrola s využitím mezního poměru rozpětí a účinné výšky vztahy (6.35) 3 0 0 K 111, 5 f ck 3, fck 1 pokud 0 0 1 K 111, 5 fck fck 1 0 pokud 0 kde l d K 0 ρ je mezní poměr rozpětí/účinná výška koeficient zohledňující rozdílné konstrukční systémy 3 referenční stupeň vyztužení f ck 10 geometrický stupeň vyztužení tahovou výztuží extrémně namáhaném průřezu konstrukce odtud A s,prov b d 6 4610 0, 006 1, 0 0,175 0 3 0 10 0, 0045 0, 006 183

hodnota K z tab. 6.4 pro krajní pole spojité jednosměrně pnuté desky je K = 1,3 podle rovnice pro 0 3 0,0045 0,0045 1,3 11 1,5 0 3, 0 1 41,0 0, 006 0, 006 Podle vztahu (6.34) d c1 c c3 310 500 500 46 bude c1 = 1,0, c = 1,0, c 3 115, A s s,req 500 401 fyk A s,prov a obdržíme d c1 c c3 tab 1,0 1,0 1,1541,0 47,15 v našem případě podle vztahu (6.33) je l 50, 8, 57 d 47, 15 OK d 0175, není nutné počítat průhyb 6.5. Trám prostě uložený Zkontrolujte MSP při uvažování zadání uvedeném v příkladu v kap. 4.5.4. Kombinace zatížení Kvazistálá kombinace zatížení k, j qk 11,81 0,6 11,5 18,56 knm g Ohybový moment uprostřed rozpětí při kvazistálé kombinaci zatížení 1 1 M kqp g k, j qk l 18,56 6,0 83,5 knm 0,0835 MNm 8 8 Charakteristická kombinace zatížení pouze jedno proměnné zatížení q k,1 = 11,5 knm gk, j q k,1 0 qk, 11,8111, 5 3, 06 knm Ohybový moment uprostřed rozpětí při charakteristické kombinaci zatížení 1 1 M k gk,j q k,1 qk l 3,06 6,0 103,8 knm 0,1038 MNm 8 8 Beton C0/5 f ctm =, MPa; E cm = 30 GPa Ocel B500B E s = 00 GPa; e = E s / E cm = 00/30 = 6,67 184

Posouzení přetvoření kontrola ohybové štíhlosti l d d d = h c 0,5 = 0,45 0,03 0,5 16 = 0,41 m d c1 c c3 hodnotu stanovíme s použitím vztahu (6.35) nebo přibližně z tab. 6.4 jako = tab ; při použití tabulky stanovíme A 6 s,prov 100510 0,0097 bd 0, 50, 41 a interpolací v tabulce nosník prostě podepřený a = 0,97 % stanovíme 14,9 tab c1 1 obdélníkový průřez; c 1, 0 rozpětí je menší než 7 m; 310 500 A 500100510 1,13 6 c3 s,prov s fyk As,req 6 5008910 1, 0 1, 0 1,13 14, 9 16, 8 d c1 c c3 tab l d 6,0 14, 60 d 16,8 1 průhyb vyhoví 0, 411 Posouzení šířky trhlin Ideální průřez plně působící podle obr. 6.13 Obr. 6.13 Ideální průřez plně působící 185

Plocha ideálního průřezu 6 A A 1 A A 0,50, 45 5,67 100510 0,118198 m i c e s1 s Vzdálenost těžiště ideálního průřezu od horního okraje agi Ac ac e 1 As1 d As d / Ai 6 (0,5 0,45 0, 5 5,67 1005 10 0, 41) / 0,118198 0,34 m Moment setrvačnosti ideálního průřezu k jeho těžišti 1 Ii Ic Ac agi ac e As1 d agi As agi d 3 6 0, 5 0,45 /1 0, 5 0,45(0,34 0,5) 5,67 1005 10 (0,41 0,34) 0,00088 m Ohybový moment při vzniku trhlin M I 4 0, 00088, 0,013 MNm M kqp = 0,0835 MNm i cr,lt fctm ha gi 0,45 0,34 trhliny se očekávají Průřez s trhlinami (vyloučený tah v betonu) podle obr. 6.14 Obr. 6.14 Průřez s trhlinami beton v tahu nepůsobí Vzdálenost neutrální osy od tlačeného okraje e b As1 d As d x As1 As 1 1 b e As1 As 6,67 6 0,50, 41 1005 1 1 0,14 m 0, 5 6 6,67 100510 186

1 3 1 3 Iir b x e As1 d x As xd 0, 5 0,14 3 3 6 4 6, 67 100510 0, 41 0,14 0, 000715 m Šířka trhliny Šířku trhliny posuzujeme při kvazistálé kombinaci zatížení, napětí ve výztuži tedy bude M 0,0835 kqp s e ( d x) 6,67 (0,41 0,14) 07,0 MPa Iir 0, 000715 Při určeném napětí s 07,0 MPa je: w s k r,max sm cm Po dosazení obdržíme 1 f ct,eff wk k3 ck1 k k4 s kt 1E p,eff p,eff Es p,eff c 0,03 m p,eff c,eff 6 As 100510 0, 043 bh 0,50,095 h d,5,5 (0,45 0, 41) 0,095 hc,eff min hx / 3 0, 45 0,14 / 3 0,109 h / 0,45 / 0, 5 E 00 s e Ecm 30 6,67 k 0,8; k 0, 5; k 3, 4; k 0, 45 ; k t = 0,4 (dlouhodobé zatížení) 1 3 4 0,016 1 wk 3,4 0,03 0,80,5 0,45 0,043 00 10 3, 07,0 0,4 16,67 0,043 0,00015 m 0,043 0,016 1 wk (3,4 0,03 0,80,5 0,45 ) 0,607,0 0,00010 m 3 0,043 0010 w 0,00015 m 0,15 mm w 0,4 mm k šířka trhliny vyhovuje lim 187

Posouzení napětí Napětí ve výztuži pro charakteristickou kombinaci zatížení M K e d x Iir 0,1038 s ( ) 6,67 (0,41 0,14) 78,9 MPa 0,000715 s = 78,9 MPa 0,8 f yk = 0,8 500 = 400 MPa napětí splňuje omezující podmínku 6.5.3 Trám prostě uložený Pro monolitický trám průřezu obdélníkového průřezu (obr. 6.15) proveďte posouzení přetvoření podle kritéria obecné použitelnosti, je-li dáno: trám působí jako prostě podepřený nosník o rozpětí l = 6,0 m; podélná výztuž na ohyb 5 16 (A s,prov = 1005 10-6 m ); průřezová plocha podélné tahové výztuže potřebná k přenesení ohybového momentu A s,req 995 10 m charakteristická hodnota stálého zatížení gk, j 7,0 knm; charakteristická hodnota proměnného zatížení qk,lt 5, 0 knm ( = 0,8). 6 ; Obr. 6.15 Geometrie konstrukce h = 0,45 m; b = 0,5 m; d 1 = c + 0,5 = 30 + 0,5 16 = 38 mm; d = h d 1 = 0,450 0,038 = 0,41 m Kritérium obecné použitelnosti Požaduje se, aby průhyb při kvazistálé kombinaci zatížení nepřekročil hodnotu 1/50 vzdálenosti podpor, tj. 6000 flim,lt 4 mm 0,04 m 50 188

Kvazistálá kombinace zatížení g q 7,0 0,85,0 11,0 knm k,j k Ohybový moment uprostřed rozpětí při kvazistálé kombinaci zatížení 1 1 M kqp g q k, j k l 11, 0 6, 0 49,5 knm 0, 0495 MNm 8 8 Ohybový moment uprostřed rozpětí při charakteristické kombinaci zatížení 1 1 M k g q k,j k l (7, 0 5, 0) 6,0 54 knm 0, 054 MNm 8 8 Předpokládáme, že: a) kvazistálá kombinace zatížení bude působit v časovém intervalu t o 8 dní, náhradní rozměr průřezu h o h A 0,450,5 c 0,161 m o u 0,45 0,5 beton třídy C0/5 cement třídy N součinitel dotvarování t b) smršťování proběhne v intervalu to 7 dní, součinitel dotvarování t, 7 3, cs C0/5, relativní vlhkost 40 % cd,0 0,00058 o, 8,5, c 0 konečná hodnota poměrného smršťování vysycháním v to 7 dní, je cd,0 = 0,00058 Materiály autogenní smršťování f celkové poměrné smršťování v ca 6 6,5 ck 10 10,5 0 10 10 0,00005 t 7 dní, je přibližně cs cd ca 0, 00058 0, 00005 0, 0006 Beton C0/5: f ck = 0 MPa; f ctm =, MPa; E cm = 30 GPa Výztuž B500B: f yk = 500 MPa; E s = 00 GPa Pro dlouhodobě působící zatížení E E 30 cm c,eff 1c 1,5 E 00 s e Ec,eff 8,57 3,3 o 8,57 GPa 189

Průhyb od kvazistálého zatížení a) Ideální průřez plně působící Plocha ideálního průřezu 6 Ai Ac eas1 As0,5 0, 45 3,3 100510 0,135917 m Vzdálenost těžiště ideálního průřezu od horního okraje agi Ac ac e As1 d As d / Ai 6 (0, 50,450, 5 3,3 100510 0,41) / 0,135917 0,57 m Moment setrvačnosti ideálního průřezu k jeho těžišti 3 Ii Ic Acagi ac e As1d agi Asagi d 0, 50, 45 /1 0, 50, 45 6 4 (0, 57 0, 5) 3,3 100510 (0,41 0, 57) 0,00576 m Ohybová tuhost Ec,eff Ii 85700, 00576, 08 MNm Ohybová poddajnost 1 1 CI,lt 0,0459 (MN) m E I,08 c,eff i 1 Ohybový moment při vzniku trhlin Ii 0, 00576 M cr,lt fctm, 0,094 MNm ha 0, 45 0, 57 M kqp = 0,0495 MNm trhliny se očekávají b) Ideální průřez s trhlinou gi Vzdálenost neutrální osy od tlačeného okraje e b As1 d As d x As1 As 1 1 b e As1 As 3,3 6 0,50,41 1005 1 1 0,00 m 6 0, 5 3,3 100510 Moment setrvačnosti ideálního průřezu s trhlinou 1 3 1 3 Iir b x e As1 dx As xd 0,5 0, 00 3 3 6 4 3,3 100510 0,41 0,00 0,001719 m Ohybová tuhost Ec,eff Iir 8570 0, 001719 14, 73 MNm 190

Ohybová poddajnost 1 1 CII,lt 0, 06789 (MN) m E I 14,73 c,eff i c) Křivost od zatížení (kvazistálá kombinace) Mkqp 49,5 knm 0, 0495 MNm 1 M cr,lt 0,094 g,lt M kqp 0,0495 Křivost 1 1 10,5 0,84 kqp g,lt I,lt g,lt II,lt r g,lt M 1 C C 0, 04951 0,84 0, 0453 0,840, 0679 0, 003 m d) Průhyb od kvazistálého zatížení 5 1 5 fglt, l 0, 0036, 0 0, 0118 m 48 r 48 glt, Průhyb od smršťování 1 E c,eff Ecm 30 7,14 GPa 1 13, cs Es 00 e 8,0 E 7,14 c,eff a) Geometrické charakteristiky průřezu bez trhliny Plocha průřezu 6 Ai Ac e As1 As 0,50, 45 8,0 100510 0,14064 m Vzdálenost těžiště ideálního průřezu od horního okraje agi Ac ac e As1 d As d / Ai 6 (0,50, 450, 5 8,0 100510 0,41) / 0,14064 0,6 m Moment setrvačnosti ideálního průřezu k jeho těžišti Ii Ic Ac agi ac e As1 d agi As agi d 3 0, 50, 45 /1 0, 50, 45(0, 6 0, 5) 6 4 8,0 100510 (0, 41 0, 6) 0,00686 m 191

Statický moment průřezové plochy výztuže k těžišti ideálního průřezu 6 Si As d agi 100510 0,41 0,6 0,00015 m 3 b) Geometrické charakteristiky průřezu s trhlinou e b As1 d As d x As1 As 1 1 b e As1 As 8,0 6 0,50,41 100510 1 1 0,1 m 6 0, 5 8,0 100510 1 3 1 3 Iir b x e As1 d x As xd 0, 5 0, 1 3 3 6 4 8,0 100510 0, 41 0,1 0,00190 m 6 Sir As d x 100510 0, 41 0, 1 0, 0000 m 3 c) Výsledná křivost od smršťování Mcr,lt 0, 094 g,lt M qp 0, 0495 1 1 10, 5 0,84 S S i ir cs e 1 g,lt g,lt rcs Ii Iir 1 0, 00015 0, 0000 0, 00068, 0 10,84 0,84 0, 00686 0, 00190 0,00167 m d) Průhyb od smršťování f cs 1 1 1 0,00167 6,0 l 0,0073 m 8 r cs 8 Posouzení průhybu Dlouhodobý průhyb od kvazistálé kombinace zatížení (včetně smršťování) 6 flt fg,lt fcs 0,0118 0,0073 0,019 m flim,lt 0,04 m vyhovuje 50 19