Důkaz. Viz[D, 2.3]. Příklad. Nalibovolnémnožiněalgeberstejnéhotypu Mjerelace =(tj. být izomorfní ) ekvivalencí(viz 1.2).

1. Algebry, homomorfismy, kongruence Definice. Prokaždécelé n 0nazveme n-ární operací na množině Akaždé zobrazení A n A(číslo nbudemenazývataritounebočetnostíoperace).nechť (α i i I)jesystémoperacínamnožině A.Pakdvojici A(α i i I)nazveme algebrou. Příklad. AlgebrytvořínapříkladZ(+),Z(+, ),Z(+,,0,1).Je-liTtěleso,pak jealgebrout(+, )čit(+,,,0,1),provektorovýprostor V nadt,jealgebrou V(+, t t T). Definice.Buď α n-árníoperacena A.Řekneme,žepodmnožina B Ajeuzavřená naoperaci α,pokud α(a 1,...,a n ) Bprovšechna a 1,...,a n B.Řekneme,že B Ajepodalgebraalgebry A(α i i I),pokudje Buzavřenánavšechnyoperace α i, i I. Označíme-li β i = α i B nomezení n-árníoperace α i na B n,potompropodalgebru Bležívšechnyhodnotyzobrazení β i opětvb.zobrazení β i tedymůžemechápat jakooperacenamnožině Batakdostávámestrukturualgebry B(β i i I)na každé podalgebře B. Příklad.(1)Je-li A(α i i I)algebra,pak Azřejmětvoříjejípodalgebru.Pokud navícžádnázoperací α i nenínulární,potom jepodalgebroualgebry A(α i i I). (2) Uvažujeme-li algebru Z(+, ), pak pro každé celé n tvoří množina všech násobků nz={nz z Z}podalgebru. (3) Každý podprostor vektorového prostoru V nad tělesem T, je podalgebrou algebry V(+, t,t T). Poznámka 1.1. Nechť A(α i i I)jealgebraaA j jepodalgebra Aprokaždé j J.Pak j J A jjerovněžpodalgebra A. Důkaz. Viz[D, 2.1, 2.8]. Definice. Nechť symbol α označuje n-ární operaci na množině A. Řekneme, že zobrazení f: A Bjeslučitelnésα,pokud f(α(a 1,...,a n ))=α(f(a 1 ),...,f(a n )). Řekneme,žealgebry A(α i i I)aB(α i i I)jsoustejnéhotypu,pokud α i označujenamnožině Ainamnožině B dvěoperacestejnéarity.zobrazení f : A Bmezidvěmaalgebramistejnéhotypubudemeříkathomomorfismus, pokudjeslučitelnésevšemioperacemi α i, i I. Příklad. (1)Zobrazení π:z Z n definovanépředpisem π(z)=(z)mod nje homomorfismusalgebryz(+, )doz n (+, ). (2)Nechť Ua V jsoudvavektorovéprostorynadtělesem T.Potomkaždýhomomorfismus vektorových prostorů je homomorfismem algeber U(+, t t T) a V(+, t t T). (3)Označme M n (T)množinuvšechčtvercovýchmaticnadtělesem Ta budiž symbolem násobení matic. Potom zobrazení, které každé matici přiřadí její determinant,jehomomorfismemalgebry M n (T)( )do T( ). Poznámka1.2. Buď A(α i i I), B(α i i I)aC(α i i I)algebrystejného typu.jsou-lizobrazení f : A B a g : B C homomorfismy,pakigf je homomorfismus.je-linavíc fbijekce,je f 1 takéhomomorfismus. Důkaz. Viz[D, 2.2]. 1

2 V případě, že nemůže dojít k omylu nebo jednotlivé operace na algebře nepotřebujeme uvažovat, budeme v následujícím označiovat algebru jen její nosnou množinou. Poznámka1.3. Buď AaBdvěalgebrystejnéhotypuabuď f: A Bhomomorfismus.Je-li C podalgebraalgebry AaDpodalgebraalgebry B,pak f(c)je podalgebrou Ba f 1 (D)jepodalgebrou A. Důkaz. Viz[D, 2.3]. Definice. Bijektivní homomorfismus budeme nazývat izomorfismus. Pokud mezi dvěmaalgebrami AaBexistujeizomorfismus,říkáme,že AaBjsouizomorfní (píšeme A = B). Připomeňme, že relací na množině A rozumíme libovolnou podmnožinu A A. Nechť ρ je relace na A, označme: - ρ 1 = {(b,a) (a,b) ρ}(opačnárelace), - ρ + = {(a,b) a=a 0,a 1,...,a n 1,a n = b A;(a i,a i+1 ) ρ}(tranzitivní obal), - id={(a,a) a A}(identita). Řekneme,žerelace ρjesymetrická,pokud ρ 1 ρ,tranzitívní,pokud ρ + ρ, a reflexivní, pokud id ρ. Ekvivalencí budeme nazývat každou symetrickou, tranzitívní a reflexivní relaci. Definice. Nechť ρ je ekvivalence na množině A. Definujme faktor množiny(často seříkátakékvocient) Apodlerelace ρjakomnožinu A/ρ={[a] ρ a A},kde [a] ρ = {b A (a,b) ρ}. Všimněmesi,žeje-li ρekvivalencena A,pak A/ρ={[a] ρ a A}tvořírozklad množiny A[D,1.7].Naopakmáme-li {B i i I}rozkladmnožiny A,pakrelace ρ určenápodmínkou:(a,b) ρ i I: a,b B i jeekvivalencíaa/ρ={b i i I}. Příklad. Nalibovolnémnožiněalgeberstejnéhotypu Mjerelace =(tj. být izomorfní ) ekvivalencí(viz 1.2). Definice. Je-li f : A Bzobrazení,rozumímejehojádrem ker f relacidanou předpisem:(a,b) ker f f(a)=f(b).mějmena Aekvivalenci ρ.přirozenou projekcínazvemezobrazení π ρ : A A/ρdanépředpisem π ρ (a)=[a] ρ. Poznámka1.4.Nechť f: A Bjezobrazeníaρekvivalencenamnožině A.Pak platí: (1) ker f je ekvivalence, (2) ker f= id,právěkdyžje fprostézobrazení, (3) ker π ρ = ρ, (4)Zobrazení g:a/ρ Bsplňujícípodmínku gπ ρ = f existujeprávětehdy, když ρ ker f. Důkaz.(1)(a,a) ker f,neboť f(a)=f(a);pokud(a,b) ker f,pak f(a)=f(b), tedy(b,a) ker f;je-li f(a)=f(b)=f(c),potomzřejmě(a,c) ker f. (2),(3) Plyne přímo z definice. (4) Viz[D, 1.10].

3 Definice. Nechť ρ σjsoudvěekvivalencena A.Definujmerelaci σ/ρna A/ρ následovně:([a] ρ,[b] ρ ) σ/ρ (a,b) σ. Poznámka1.5. (1)Nechť ρ σjsoudvěekvivalencena A.Pak σ/ρjedobře definovaná ekvivalence na A/ρ. (2)Nechť ρjeekvivalencenamnožině Aaηjeekvivalencena A/ρ.Potom existujeprávějednaekvivalence σna A,proníž η= σ/ρ. Důkaz.(1)viz[D,1.8]a(2)viz[D,1.9]. Definice.Nechť ρjerelaceaαje n-árníoperacenamnožině A.Řekneme,že ρje slučitelnásα,pokudprokaždýsystémprvků a 1,...,a n,b 1...,b n A,prokteré a i ρb i, i=1,...,n,platí,že α(a 1,...,a n )ρα(b 1,...,b n ). Je-li A(α i i I)algebraaρekvivalencenamnožině A,pak ρnazvemekongruencí,pokudje ρslučitelnásevšemioperacemi α i, i I. Příklad.(1) id a A A jsou kongruence na libovolné algebře A. (2)Vezměmepřirozenéčíslo n 2aoznačme n relacinamnožiněcelýchčísel Zdanoupředpisem: a n b n/(a b).potomje n kongruencenaalgebře Z(+,, ). (3) Každá ekvivalence je slučitelná s libovolnou nulární operací. Poznámka 1.6. Nechť AaB jsoudvěalgebrystejnéhotypuaf : A B je homomorfismus. Pak ker f je kongruence na algebře A. Důkaz. Viz[D, 2.5]. Definice. Nechť ρjeekvivalenceaαje n-árníoperacenamnožině A.Pokud je ρslučitelnásαdefinujemeoperaci αna A/ρnásledovně: α([a 1 ] ρ,...,[a n ] ρ )= [α(a 1,...,a n )] ρ.je-li ρkongruencenaalgebře A,pakstejnýmzpůsobemdefinujeme na A/ρ strukturu algebry. Věta 1.7. Je-li ρ kongruence na algebře A, pak je definice algebry A/ρ korektní, jdeoalgebrustejnéhotypujako Aapřirozenáprojekce π ρ : A A/ρjehomomorfismus. Důkaz. Viz[D, 2.6]. Poznámka1.8. Buď ρkongruencenaalgebře Aaσekvivalencena Aobsahující ρ.pakje σkongruencenaalgebře Aprávětehdy,kdyžje σ/ρkongruencenaalgebře A/ρ. Důkaz. Viz[D, 3.4]. Poznámka1.9. (Větaohomomorfismu)Buď f : A Bhomomorfismusdvou algeberstejnéhotypuanechť ρjekongruencenaalgebře A.Pakexistujehomomorfismus g: A/ρ Bsplňujícípodmínku gπ ρ = fprávětehdy,když ρ ker f. Navíc,pokud gexistuje,je gizomorfismus,právěkdyž fjenaaker f= ρ. Důkaz. Viz[D, 3.7]. Věta 1.10 (1.větaoizomorfismu). Nechť f : A B jehomomorfismusdvou algeber stejného typu. Pak f(a) je podalgebra B (tedy algebra stejného typu) a A/ker fjeizomorfní f(a). Důkaz. Viz[D, 3.9].

4 Příklad. Mějmehomomorfismus f n :Z Z n algebryz(+,,,0)doalgebry Z n (+,,,0)spočítánímmodulo ndanýpředpisem f n (k)=(k)mod n.pakpodle 1.větyoizomorfismujeZ/ker f n =Zn,navícjezjevně(a b) ker f n,právě když n/(a b). Věta1.11(2.větaoizomorfismu). Nechť ρ σjsoudvěkongruencenaalgebře A. Pak algebra A/σ je izomorfní algebře(a/ρ)/(σ/ρ). Důkaz. Viz[D, 3.10]. 2. Algebry s jednou binární operací Definice. Algebru G( ) s jednou binární operací nazýváme grupoid. Neutrálním prvkemgrupoidu G( )(nebooperace )rozumímetakovýprvek e G,že g e= e g= gprovšechna g G.Algebru G(,e)nazvememonoidem,pokudjeoperace asociativní a e je neutrální prvek operace. Podgrupoidem(podmonoidem) nazveme každou podalgebru grupoidu(monoidu). Poznámka 2.1. Každý grupoid obsahuje nejvýše jeden neutrální prvek. Důkaz.Jsou-li e,fdvaneutrálníprvky,pak e=e f= f. Příklad. Je-li X aspoň dvouprvková množina a definujeme-li na X binární operaci předpisem x y= x,jeoperace asociativní,ale Xneobsahuježádnýneutrální prvek. Přitom dokonce každý prvek X splňuje první z rovností, kterou je neutrální prvek definován. Příklad. (1)Nechť X jeneprázdnámnožinapísmenam(x)jemnožinavšech slov, tj. všech konečných posloupností písmen. Zaveďme na této množině operaci skládání : x 1...x n y 1...y m = x 1...x n y 1...y m adáleoznačme λprázdnéslovo. Potom M(X)(, λ) tvoří(tzv. slovní) monoid. (2) Buď X nějaká neprázdná množina a označme T(X) množinu všech zobrazení množiny Xdosebe.Potom T(X)(,Id)tvoří(soperacískládání )(tzv.transformační) monoid. (3)Čtvercovématice M n (T)nadtělesem T stupně nspolusnásobenímajednotkovoumaticí M n (T)(,Id)tvořímonoid. Poznámka2.2. Buď S(,1)monoidaa,b,c S.Pokudplatí,že a b=c a=1, potom b=c. Důkaz. c=c 1=c (a b)=(c a) b=1 b. Příklad. Uvažujme transformační monoid T(N) na množině všech přirozených číselanechť α(k)=2kaβ(k)=[ k 2 ].Pak βα=idaαβ Id. Definice.Nechť S(,1)jemonoid.Řekneme,žeprvek s Sjeinvertibilní,pokud existujetakovýprvek s 1 S,že s 1 s=s s 1 =1.Prvek s 1 nazvemeinverzním prvkemkprvku s. Poznámka 2.3. Množina všech invertibilních prvků monidu S(, 1) tvoří jeho podmonoid.navíc,je-li sinvertibilníprvek,pakis 1 jeinvertibilní. Důkaz. Viz[D, 2.16].

5 Definice. Algebra G(, 1,1)jegrupa,pokud G(,1)jemonoida 1 jeunární operace, která každému prvku přiřadí prvek k němu inverzní, je-li operace komutativní, mluvíme o komutativní(abelově) grupě. Podgrupou budeme rozumět každoupodalgebrualgebry G(, 1,1).Normálnípodgrupajekaždápodgrupa H grupy Gsplňujícínavícpodmínku ghg 1 Hprokaždé g Gah H. Poznámka 2.4. Nechť S(,1) je monoid a S označuje jeho podmonoid všech invertibilníchprvků.označme S restrikci S S operace namnožinu S S adefinujemeunárníoperaci 1 tak,že a 1 jeinverzníprvekprolibovolné a S. Pak S ( S, 1,1)jegrupa. Příklad.(1) Grupa invertibilních prvků(podle Poznámky 1.11) slovního monoidu M(X)(, λ) obsahuje pouze neutrální prvek e. (2) Grupu invertibilních prvků transformačního monoidu T(X)(, Id) tvoří právě všechny bijekce S(X) na množině X (mluvíme o symetrické grupě nebo grupě permutací). (3)Grupuinvertibilníchprvkůmonoidučtvercovýchmatic M n (T)(,Id)stupně n tvoří právě všechny regulární matice stupně n. Poznámka 2.5. Všechny podgrupy komutativní grupy jsou normální. Věta 2.6. Nechť G(, 1,1)jegrupaaρrelacena G.Pak ρjekongruencena G(, 1,1)právětehdy,když[1] ρ jenormálnípodgrupa Ga(g,h) ρ g 1 h [1] ρ. Důkaz. Viz[D, 6.10]. 3. Uzávěrové systémy na algebře Definice. Nechť AjemnožinaaC P(A)jenějakýsystémpodmnožinmnožiny A.Řekneme,že Cjeuzávěrovýmsystémemnad A,pokud (1) A C, (2) prokaždýpodsystém {B i i I} C,je {B i i I} C. Pro uzávěrový systém C na množině A a každou podmnožinu B C definujme uzávěr Bv Cjakomnožinu cl C B= {C C B C}. Zobrazení α: P(A) P(A) nazýváme uzávěrovým operátorem, pokud (1) B α(b),provšechna B P(A), (2) α(α(b))=α(b),provšechna B P(A), (3) α(b) α(c),provšechna B C A. Příklad. Mějme nějaký vektorový prostor V a označme C množinu všech podprostorů V. Pak C je uzávěrový systém(platnost obou axiomů uzávěrového systému byla dokázána na přednášce lineární algebry). Prostor generovaný množinou X V jeuzávěrem Xv Cazobrazení,kterékaždépodmnožině X V přiřadípodprostor generovaný množinou X, je uzávěrovým operátorem. Poznámka 3.1. Nechť A(α i i I)jealgebra.Pakvšechnypodalgebryalgebry A(α i i I)tvoříuzávěrovýsystémna A. Důkaz.Plynepřímoz1.1azfaktu,že Ajeuzavřenánalibovolnouoperacina A.

6 Věta3.2. (1)Je-li Cuzávěrovýsystémnad A,pak cl C tvoříuzávěrovýoperátor. (2)Je-li αuzávěrovýoperátorna A,pakmnožina C= {C A α(c)=c}tvoří uzávěrovýsystémnad Aaα=cl C. Důkaz. Viz[D, 1.1]. Poznámka 3.3. Všechny uzávěrové systémy nad množinou A tvoří uzávěrový systém nad P(A). Důkaz. Viz[D, 1.2]. Poznámka3.4.Nechť AaBjsoutakovédvauzávěrovésystémynad A,že A B, anechť C D A.Potom cl B (C) cl A (D). Důkaz. Viz[D, 1.3]. Poznámka 3.5. Všechny ekvivalence na množině A a všechny kongruence na algebře A(α i i I)tvoříuzávěrovýsystémna A A. Důkaz. Důkaz, že symetrické(tranzitívní, reflexivní) relace tvoří uzávěrový systém viz[d, 1.4]. Ekvivalence jsou průnikem všech symetrických, tranzitívních a reflexivních relací, proto tvoří uzávěrový systém podle 3.3. Že jsou kongruence uzávěrovým systémem viz[d, 2.4]. Věta3.6.Buď ρrelacenamnožině A.Potom((ρ id) (ρ Id) 1 ) + =(ρ ρ 1 id) + jenejmenšíekvivalencena Aobsahujícírelaci ρ. Důkaz. Viz[D, 1.6]. Definice. Buď A algebra a X A. Označme A uzávěrový systém všech podalgeber A.Potombudemeříkat,že Xgeneruje(podalgebru) cl A (X). Poznámka 3.7. Buď f,g : A B dvahomomorfismyalgeberstejnéhotypua nechť X Agenerujealgebru A.Jestliže f(x)=g(x)provšechna x X,potom f= g. Důkaz. Viz[D, 3.3]. Příklad.UvažujmegrupucelýchčíselZ(+,,0)aG(+,,0)nějakádalšíalgebra sjednoubinárníoperací+,unárníoperací anulárníoperací0.nechť f,g:z G je homomorfismus. Uvědomme si, že nejmenší podgrupa obsahující prvek 1 je už rovnacelémuz.podlepředchozípoznámkyjsoutedy fa gshodné,pokud f(1)= g(1). 4. Svazy Definice. Relaci na množině M budeme říkat uspořádání, pokud je to reflexivní atranzitivnírelace,pronížplatípodmínka a b, b a a=bprokaždé a,b M(tj.jdeoslaběantisymetrickourelaci). Příklad. Následující relace jsou uspořádáním: - namnožiněvšechpodmnožin P(X)množiny X, - / na množině všech přirozených čísel N, - na množině všech celých(reálných, racionálních) čísel Z(R, Q),

7 - Id na libovolné neprázdné množině M. Definice. Nechť jeuspořádánínamnožině Ma A M.Řekneme,že m A jenejmenší(resp.největší)prvekmnožiny A,pokud m a(resp. a m)pro všechna a A. Supremem(resp. infimem) množiny A budeme rozumět nejmenší prvekmnožiny {n M a A: a n}(resp.největšíprvekmnožiny {n M a A: n a}),supremumznačíme sup ainfimum inf.dvojici(m, ) budemeříkatsvaz,pokudprokaždédvaprvky a,b Aexistujesupremuma infimum množiny {a, b}. Svaz(M, ) je úplným svazem, existuje-li supremum a infimum každé podmnožiny M. Příklad. Snadno nahlédneme, že svazem jsou následující dvojice -(P(X), ),kde sup (A,B)=A Ba inf (A,B)=A B, -(N,/),kde sup / (n,m)=nsn(n,m)ainf / (a,b)=nsd(n,m), -(Z, ),(R, ),(Q, ),kde sup (a,b)=max(a,b)ainf (a,b)=min(a,b). Příklad. (P(X), )jedokonceúplnýsvaz,kde sup (B)= Bainf (B)= B pro každou podmnožinu B P(X). Definice.Nechť(M, )jesvaz.prokaždédvaprvky m,n Moznačme m n= sup ({m,n})am n=inf ({m,n}).potombinárníoperaci nazvemespojení a průsek. Poznámka4.1. Buď(M, )svaz.pakprovšechna a,b,c Mplatí: (S1) a b=b a, a b=b a, (S2) a a=a=a a, (S3) a (b c)=(a b) c, a (b c)=(a b) c, (S4) a (b a)=a=a (b a). Důkaz. Viz[D, s.29]. Poznámka 4.2. Nechť M(, ) je algebra s dvěma binárními operacemi, které splňujípodmínky(s1) (S4).Definujmena M relaci předpisem: a b b= a b.pak(m, )jesvaz,kde sup ({m,n})=m nainf ({m,n})=m n. Důkaz. Viz[D, s.29]. Předchozí dvě poznámky ukazují vzájemně jednoznačnou korespondenci mezi svazy a algebrami M(, ) splňujícími podmínky(s1) (S4). Proto budeme svazem nazývatialgebru M(, )anamnožině Mbudemezároveňpoužívatoperace a i odpovídající relaci. Příklad. U uvedených příkladů svazů máme tedy dva způsoby jak na svaz nahlížet: -(P(X), ) odpovídá algebře P(X)(, ), -(N,/)odpovídáalgebřeN(NSD,nsn), -(Z, )(respektive(r, ),(Q, )) odpovídá algebře Z(min, max)(respektive R(min, max), Q(min, max)). Věta4.3.Nechť Cjeuzávěrovýsystém.Pak(C, )tvoříúplnýsvaz,kde sup (B)= cl C ( B)ainf (B)= B. Důkaz. Viz[D, 4.2]. Příklad. Podle předchozí věty je systém všech podalgeber i systém všech kongruencí na algebře spolu s inkluzí svazem.

8 Poznámka 4.4. Nechť M(, )jesvaz.pakim(, )tvořísvaz(mluvíme o opačném svazu s opačným uspořádáním ). Důkaz. Zřejmé. Definice. Nechť(M, )jesvazaa,b,c M.Řekneme,žeprvek bpokrýváprvek a(píšeme a < b),pokud a b, a baa c b c=anebo c=b. Hasseovým diagramem svazu(m, ) rozumíme graf, jehož vrcholy tvoří prvky množinymaajesbspojentakovouhranou,že bsenacházívýšenež a,pokud b pokrývá a. Poznámka4.5. Nechť M(, )jesvaz, a,b,c Ma a c.potom a (b c) (a b) c. Důkaz. Viz[D, 14.1]. Definice. Osvazu S(, )řekneme,žejemodulární,jestližeprokaždé a,b,c S takové,že a cplatí,že a (b c)=(a b) c.řekneme,žejesvazdistributivní, platí-liprokaždé a,b,c S,že a (b c)=(a b) (a c). Příklad.(1) Svaz všech podprostorů vektorového prostoru je modulární. (2)Svaz(N 5, ),kde N 5 = {0,1,a,b,c},danýrelacemi:0< a< c< 1, 0 < b < 1(tzv.pentagon, N 5 )nenímodulární. (3)Nechť M 5 = {0,1,u,v,w},buď0nejmenšíprvek,1největšíprvekau v= u w=v w=1au v= u w=v w=0.pak M 5 (, )jemodulárnísvaz, kterýnenídistributivní(říkásemuobvyklediamantaznačíse M 5 ). Poznámka4.6.Svaz S(, )jedistributivní,právěkdyžprokaždé a,b,c Splatí, že a (b c)=(a b) (a c)(tj.svaz S(, )jedistributivní,právěkdyžjeopačný svaz S(, ) distributivní). Důkaz. Viz[D, 14.6]. Poznámka 4.7. Každý distributivní svaz je modulární. Důkaz. Viz[D, 14.6]. Věta 4.8. Svaz je modulární právě tehdy, když neobsahuje podsvaz izomorfní svazu N 5. Důkaz. Viz[D, 14.4]. Obdobné tvrzení lze(obdobnými prostředky) dokázat i pro distributivní svazy: svazjedistributivní,právěkdyžneobsahujeanipodsvazizomorfnísvazu N 5,ani podsvazizomorfnísvazu M 5. Definice. Nechťmásvaz S(, )nejmenšíprvek0anejvětšíprvek1.prvek a S nazveme atomem(resp. koatomem), pokud a pokrývá 0(resp. 1 pokrývá a). Komplementemprvku a Snazvemetakovýprvek a S,že a a =1aa a =0. Poznámka 4.9. Každý prvek distributivního svazu má nejvýše jeden komplement. Důkaz. Viz[D, 14.8]. Definice.Booleovoualgebrounazvemetakovoualgebru S(,,0,1, ),že S(, ) jedistributivnísvazsnejvětšímprvkem1anejmenšímprvkem0aunárníoperace přiřadí každému prvku jeho komplement.

9 Příklad. Nechť P(X) je množina všech podmnožin množiny X a pro každou podmnožinu Y Xdefinujme Y = X \Y.Pak P(X)(,,,X, )jebooleovaalgebra. Poznámka4.10.Nechť S(,,0,1, )jebooleovaalgebra.pakprokaždé a,b S platí: (1) (a ) = a, (2) (a b) = a b, (3) (a b) = a b, (4) (1) =0a(0) =1. Důkaz. Viz[D, 14.9]. Definice. Nechť f: A Bjezobrazenía(A, )a(b, )jsousvazy.řekneme, že ϕjemonotónnízobrazení,platí-liimplikace a 1 a 2 f(a 1 ) f(a 2 ). Vezmeme-li M = {m 1,...,m n }neprázdnoukonečnoupodmnožinubooleovy algebry,pakznačme M= m 1 m 2 m n a M= m 1 m 2 m n.dále =1a =0. Věta4.11. Buď S(,,0,1, )konečnábooleovaalgebraaabuďmnožinavšech atomůsvazu S.Potomzobrazení ϕ:p(a) Sdanépředpisem ϕ(b)= Bje izomorfismusbooleovýchalgeber S(,,0,1, )ap(a)(,,,x, ). Důkaz. Viz[D, 15.2]. Poznámka 4.12. Homomorfismus svazů je monotónní zobrazení. Důkaz. Viz[D, 4.3]. Příklad.Uvažujmesvazy(S 1, )a(s 2, ),kde S 1 = {0,1,a,b}, S 2 = {0,1,A,B} adanýrelacemi:0< a< 1,0< b< 1a0< A< B< 1.Potomzobrazení f(0)=0, f(1)=1, f(a)=a, f(b)=bjemonotónní,alenenítohomomorfismus svazů(f(a b)=f(0)=0 A=f(a) f(b)). Věta4.13. Bijekcesvazů fjeizomorfismus,právěkdyž fi f 1 jsoumonotónní zobrazení. Důkaz. Viz[D, 4.4]. Poznámka 4.14. Buď C uzávěrový systém obsažený v systému všech ekvivalencí namnožině A.Nechť N P(A)ae Atak,žeplatí: (a) [e] ρ N prokaždé ρ C, (b)prokaždé N N existujetakové ρ C,že N=[e] ρ, (c) prokaždé ρ,η Cplatí,že[e] ρ [e] η ρ η. Pak N je uzávěrový systém na A (a tedy svaz) a zobrazení ϕ : C N dané předpisem ϕ(ρ)=[e] ρ jeizomorfismussvazů. Důkaz. Viz[D, 4.7]. Věta 4.15. Všechny normální podgrupy libovolné grupy G tvoří svaz izomorfní svazu všech kongruencí na grupě G. Důkaz. Podle[D, 1.13] systém všech kongruencí C a systém všech normálních podgrup Ngrupy G(, 1,1)spoluse=1splňujepředpokladyPoznámky4.14.Závěr tedy plyne ze 4.14.

10 Příklad (Galoisova korespondence). Uvažujme množina nějakých objektů O a množinavlastností,kterémohouobjektymít V.Definujme ρ O V tak,že (o,v) ρ,právěkdyžobjekt omávlastnost v.dáledefinujme α ρ (O 1 )={v V (o,v) ρ o O 1 }(tj.vezmemevšechnyvlastnosti,kterémajívšechnyobjekty z O 1 )aβ ρ (V 1 )={v A (o,v) ρ v V 1 }(tj.vezmemevšechnyobjektysplňujícívšechnyvlastnostizv 1 ).Ukážeme,žetaktodefinovanoustrukturalzepopsat prostřednictvím pojmu svazu. Nejprve si uvědomíme zřejmé vlastnosti zobrazení α ρ a β ρ ashrnemejedoobecnédefinicetzv.galoisovykorespondence: Nechť AaBjsoumnožiny.Dvojicizobrazení α:p(a) P(B)aβ: P(B) P(A)seříkáGaloisovakorespondence,jsou-liprokaždé A 1,A 2 P(A)aB 1,B 2 P(B) splněny následující podmínky: (i) A 1 A 2 α(a 2 ) α(a 1 )ab 1 B 2 β(b 2 ) β(b 1 ), (ii) A 1 βα(a 1 )ab 1 αβ(b 1 ). Nyní si uvědomíme, že Galoisova korespondence má následující vlastnosti(důkaz viz[d,4.9]): Tvrzení. Buď α:p(a) P(B)aβ: P(B) P(A)Galoisovakorespondence. Potom jsou zobrazení βα a αβ uzávěrové operátory. Označme A a B uzávěrové systémypříslušnéuzávěrovýmoperátorům βαaαβ.pak α(a) Baβ(B) A. Označíme-li α : A Baβ : B Apříslušnérestrikcezobrazení αaβ,pak α a β jsoubijekceaα =(β ) 1.Navícprokaždé A 1,A 2 AaB 1,B 2 Bplatí,že A 1 A 2 α(a 2 ) α(a 1 )ab 1 B 2 β(b 2 ) β(b 1 ). 5. Grupy Poznámka5.1.Nechť G(, 1,1)aH(, 1,1)jsougrupyaf: G Hjezobrazení slučitelné s operací. Pak je f homomorfismus grup. Důkaz. Viz[D, 6.1]. Definice.Nechť Ha Kjsoudvěpodmnožinygrupy G(, 1,1)ag G.Definujme množiny HK= {h k h H, k K}, gh= {g}ha Hg= H{g}.Je-li Hpodgrupa G,definujmena Grelaci rmod H(resp. lmod H)podmínkou:(a,b) rmod H(resp. (a,b) lmod H) a b 1 H(resp. a 1 b H). Poznámka5.2. Nechť G(, 1,1)jegrupaaH jejípodgrupa.potomprokaždé a,b Gplatí: (1) rmod Hi lmod Hjsouekvivalencena G, (2) (a,b) rmod H (a 1,b 1 ) lmod H, (3) card(g/rmod H) = card(g/lmod H), (4) [a] rmod H = Haa[a] lmod H = ah, (5) card([a] rmod H )=card([a] lmod H )=card(h). Důkaz.(1)a(2)viz[D,6.6].Podle(2)jezobrazení[a] rmod H [a 1 ] lmod H korektnědefinovanoubijekcí,tedyplatí(3).body(4)a(5)viz[d,6.7]. Definice. Buď H podgrupagrupy G.Potomčíslu[G:H]=card(G/rmod H) budemeříkatindexpodgrupy Hvgrupě Gačíslu G =card(g)budemeříkatřád grupy G.

11 Věta5.3(Lagrange). Je-li Hpodgrupagrupy G(, 1,1),pak G =[G:H] H. Důkaz. Viz[D, 6.8]. Důsledek 5.4. Je-li G konečná grupa, potom řád každé její podgrupy dělí řád grupy G. Definice. Nechť G(, 1,1)jegrupaaa G.Definujmeindukcí: a 0 =1, a n = a n 1 aprokaždé n >0, a n =(a 1 ) n aprokaždé n <0. Poznámka 5.5. Nechť G(, 1,1)jegrupa a G.Zobrazení ϕ:z Gdané předpisem ϕ(n)=a n jehomomorfismusgrupyz(+,,0)dogrupy G(, 1,1)a ϕ(z)= a ={a n n Z}. Důkaz. Viz[D, 6.3]. Definice. Buď G(, 1,1)grupa.Označme a nejmenšípodgrupugrupy Gobsahující prvek a G. Řekneme, že G je cyklická grupa, pokud existuje takový prvek g G,že g =G. Příklad.(1)Z(+,,0)jecyklickágrupa,kdeZ= 1 = 1. (2)Z n (+,,0)jeprokaždépřirozené ncyklickágrupasoperacemidefinovanými modulo n,kdez n = a,pokud NSD(a,n)=1. Prokaždépřirozené k(resp. k Z n )označujme kz= k ={kz z Z}(resp. kz n = k ={k z z Z n }) Poznámka5.6. (1)Je-li A Z,pak AjepodgrupaZ,právěkdyžexistuje k 0 tak,že A=kZ. (2)Je-li A Z n,pak AjepodgrupaZ n,právěkdyžexistuje k Z n tak,že kje buď0nebo kdělí naa=kz n. Důkaz. Viz[D, 8.1]. Věta5.7. Buď G(, 1,1)cyklickágrupa. (1)Je-li Gnekonečná,pak G(, 1,1) =Z(+,,0). (2)Je-li n= G konečné,pak G(, 1,1) =Z n (+,,0). Důkaz. Viz[D, 8.2]. Důsledek 5.8. Podgrupa i faktorová grupa každé cyklické grupy je opět cyklická. Důkaz. Viz[D, 8.3]. Důsledek5.9. Buď G(, 1,1)konečnágrupa.Potom g G =1prokaždýprvek g G. Důkaz. g jecyklickágrupařádu n,tedyjepodle5.8izomorfníz n (+,,0),proto g n =1.Podle5.4 n/ G,tedy g G =(g n ) G n =1 G n =1 Věta5.10. Nechť G(, 1,1)jekonečnácyklickágrupa.Pakprokaždépřirozené k,kterédělířádgrupy G,existujeprávějednapodgrupagrupy Gřádu k. Důkaz. Viz[D, 8.4].

12 Poznámka5.11.Nechť n N, a,b Z n {0}ak/n.Pak az n = kz n právěkdyž NSD(a,n)=k.Speciálněplatí,že az n =Z n (tj. ajegenerujez n ),právěkdyž NSD(a,n)=1. Důkaz. Viz[D, 8.7]. Definice. Funkci ϕ:n Ndanoupředpisem ϕ(n)= {0 < k < n NSD(k,n)= 1} nazveme Eulerovou funkcí. Poznámka5.12. Je-li n N,pakčíslo ϕ(n)udávápočetprvků,kterégenerují grupuz n (+,,0)apočetinvertibilníchprvkůZ n (,1). Důkaz. Důsledek 5.11. Věta 5.13 (MaláFermatovavěta). Pronesoudělnákladnáceláčísla a < nje (a ϕ(n) )mod n=1. Důkaz. Viz[D, 8.13]. Definice. Nechť A j (α i i I), j kjsoualgebrystejnéhotypu.definujmena k j=1 A jstrukturualgebryalgebrystejnéhotypupředpisem α i ((a 11,...,a k1 ), (a 12,...,a k2 ),...,(a 1n,...,a kn ))= =(α i (a 11,...,a 1n ),α i (a 21,...,a 2n ),...,α i (a k1,...,a kn )) prokaždou n-árníoperaci α i. Poznámka5.14. Mějme M j (,1)pro j kmonoidy.pak k j=1 M i(,(1,...,1)) jeopětmonoidaplatí: (1) (m 1,m 2,...,m k ) k j=1 M ijeinvertibilní,právěkdyžjsouvšechnyprvky m j, j=1,...,kinvertibilní. (2) (m 1,m 2,...,m k ) n =(m 1,m 2,...,m k )právěkdyž m n j = m jprokaždé j= 1,...,k,každé m j M j a n N. Důkaz.Stačíuvážit,že(m 1,m 2,...,m k ) (r 1,r 2,...,r k )=(m 1 r 1,m 2 r 2,...,m k r k )=(1,1,...,1),respektive(m 1,m 2,...,m k ) n =(m n 1,m n 2,...,m n k ). Věta5.15(Čínskávětaozbytcích).Nechť n 1,n 2,...,n k jsoupodvounesoudělná kladnáceláčíslaan=n 1 n 2 n k,potomzobrazení f:z n k i=1 Z n i dané předpisem f(x)=(x mod n 1, x mod n 2,...,x mod n k )jeizomorfismusalgeber Z n (+,,0,,1)a k i=1 Z n i (+,,0,,1). Důkaz. Přímo z definice snadno vidíme, že je f zobrazení slučitelné se všemi operacemi.zbývánahlédnout,žejdeobijekci.protožejsouz n a k i=1 Z n i stejněvelké konečnémnožiny,stačínahlédnout,žeje fprosté.nechťpro a b Z n platí,že f(a)=f(b).potom f(b a)=0,tedy n i /b aprovšechna i=1,...,k.protože jsou n i podvounesoudělnáa0 b a n 1,mámein/b a,tudíž b=a. Poznámka5.16.Je-li pprvočísloarkladnéceléčíslo,pak ϕ(p r )=(p 1) p r 1. Důkaz. Viz[D, 8.10]. Věta5.17. Buď p 1 < p 2 < < p k prvočíslaar 1,r 2,...,r k kladnáceláčísla. Potom ϕ( k i=1 pri i )= k i=1 ϕ(pri i )= k i=1 (p i 1)p ri 1 i.

Důkaz.Podle5.15jsoumonoidyZ Q k i=1 pr i(,1)a k i i=1 Z p r i(,(1,...,1)izomorfní, i proto mají stejné počty invertibilních prvků. Použijeme-li dále 5.14 dostáváme: ϕ( k i=1 pri i )= (ZQ k i=1 pr i) = k i i=1 Z p r i = k i=1 Z i p r i = k i=1 ϕ(pri i ).Druhou i rovnost dostaneme aplikací předchozí poznámky.(viz také[d, 8.9].) Příklad (Rivest, Shamir, Adleman). Zvolme p a q dvě různá lichá prvočísla a položme m=nsn(p 1,q 1),potomjepodle5.13(x m )modp=1a(y m )modq=1 pronenulová xay,aprotoi(x m+1 )modp=xa(y m+1 )modq=yprokaždé x Z p a y Z q.z5.15a5.14potomplyne,že(a m+1 )modpq=aprokaždé a Z pq.dálezvolme e < mnesoudělnésmapak(napříkladpomocíeuklidova algoritmu)najdemetakové d < m,že(ed)modm=1.nyníprokaždé a Z pq platí,že(a e ) d = a ed = a um+1 = a(počítánovz pq,tedymodulo pq). Pomocí vlastnosti čísel p, q, m, d, e můžeme nyní popsat protokol asymetrického šifrování známý pod zkratkou RSA: veřejným klíčem je dvojice čísel(pq, e), soukromý klíč tvoří tajný exponent d. Chceme-li informaci vyjádřenou posloupnostíhodnot a 1,...,a k Z pq adresovatmajitelisoukroméhoklíče,stačíjizašifrovatpomocímocněníveřejněznámouhodnotou evmonoiduz pq (,1),tj.odeslatzprávu(a e 1)mod pq,...,(a e k )mod pq.kjejímurozluštěnístačíumocnitvz pq pomocítajnéhoexponentu,protože(a e i )d = a ed i = a i.naopak,zveřejnění-limajitelsoukroméhoklíčezašifrovanouzprávu(a d 1)mod pq,...,(a d k )mod pq,mohousi příjemci zprávy stejným způsobem(tj. umocněním na veřejně známý exponent e: ((a d 1) e )mod pq,...,((a d k )e )mod pq= a 1,...,a k )ověřit,žeodesilatelzprávyopravdu zná tajný exponent. Poznamenejme,žejezeznalosti naeobtížnénajít d(odpovídátonalezeníprvočíselného rozkladu čísla n, což je úloha, pro níž není znám algoritmus polynomiální složitosti),zattímcomocněníčíselvz pq je(iprovelkéexponentyavelké pq)velmi snadné a rychlé. Důkaz následujícího tvrzení o cyklických grupách, který vyžaduje znalosti z teorie polynomů nad obecným tělesem, provedeme až v příštím semestru: Věta5.18. Nechť T(+, )jetělesoanechť Gjekonečnápodgrupamultiplikativní grupy T \ {0}(, 1,1).Potom Gjecyklickágrupa. 13 6.Okruhyaideály Definice. Okruhem budeme nazývat každou takovou algebru R(+,,, 0, 1), že R(+,,0)jekomutativnígrupa, R(,1)jemonoidaprokaždé a,b,c Rplatí,že a (b+c)=a b+a ca(a+b) c=a c+b c. R(+,,,0,1)jekomutativní okruhem, je-li operace komutativní. Příklad.(1)Z(+,,,0,1)jekomutativníokruh. (2)Z n (+,,,0,1)jeprokaždépřirozené nkomutativníokruhsoperacemidefinovanými modulo n. (3)Je-li T tělesoam n (T)značímnožinuvšechčtvercovýchmaticnad T řádu n,pak M n (T)(+,,,0 n,i n )jeokruh. (4) Nechť V je vektorový prostor. Označme End(V) množinu všech homomorfismů prostoru V do sebe(tzv. endomorfismů). Na této množině můžeme definovat sčítáníaopačnýprvekpředpisem[f+ g](v)=f(v)+g(v)a[ f](v)= f(v)

14 prokaždév V.Označíme-linulovýhomomorfismussymbolem0 V a označuje skládání,pak End(V)(+,,,0 V,Id)jeokruh. Poznámka6.1. Nechť R(+,,,0,1)jeokruh.Pakprokaždé a,b Rplatí: (1) 0 a=a 0=0, (2) ( a) b=a ( b)= (a b), (3) ( 1) a=a ( 1)= a, (4) ( a) ( b)=a b, (5) 1 0,právěkdyž card(r) >1(tj.Rjenetriviálníokruh). Důkaz.Viz[D,7.2]a[D,7.3]. Definice. Nechť R(+,,,0,1)jeokruh.Řekneme,žemnožina I Rjepravý (resp.levý)ideálokruhu R,pokud I jepodgrupagrupy R(+,,0)aprokaždé i Ia r Rplatí,že i r I(resp. r i I).Množinu Inazvemeideálem,pokud je pravým a zároveň levým ideálem. Příklad.(1) {0} a R jsou(tzv. triviálními) ideály každého okruhu R. (2)Množiny ar={a r r R}(resp. Ra={r a r R})jsou(tzv.hlavní) pravé(resp.levé)ideályokruhu Rprokaždé a R. (3)IdeályokruhucelýchčíselZ(+,,,0,1)jsouprávětvaru kz. (4)IdeályokruhuZ n (+,,,0,1)jsouprávětvaru kz n,kde k < nje0nebo dělitel čísla n. Definice. Nechť R(+,,,0,1)jeokruh.O(levém,pravém)ideálu Iřekneme,že jevlastní,pokud I {0}aI R. Věta 6.2. Nechť R(+,,,0,1) je okruh. Všechny ideály okruhu R tvoří uzávěrovýsystémazobrazení ρ [0] ρ jeizomorfismussvazuvšechkongruencína R(+,,,0,1)asvazuvšechideálůokruhu R.Navíc ρjekongruencenaokruhu R, právěkdyž[0] ρ jeideála(a,b) ρ a b [0] ρ. Důkaz. Viz[D, 7.4]. Faktor okruhu R podle kongruence jednoznačně odpovídající ideálu I budeme značit(obdobně jako v případu faktorizace grup podle normálních podgrup) R/I. Ideálem generovaným množinou A R rozumíme nejmenší ideál obsahující A. Definice. Řekneme,žeprvekokruhu R(+,,,0,1)jeinvertibilní,jedná-liseo invertibilní prvek monoidu R(, 1). Řekneme, že okruh R je tělesem, jsou-li všechny prvkymnožiny R \ {0}invertibilní.Konečněideálokruhu R(+,,,0,1)jemaximální,pokudjetokoatomsvazuvšechideálůokruhu R. Poznámka6.3.Nechť R(+,,,0,1)jeokruhaa R.Pak a Rjeinvertibilní, právěkdyž ar=ra=r. Důkaz. Viz[D, 7.6(i)]. Věta6.4. Vnetriviálnímokruhu R(+,,,0,1)jeekvivalentní: (1) Rjetěleso, (2) R neobsahuje žádné vlastní pravé ideály, (3) R neobsahuje žádné vlastní levé ideály. Důkaz.Viz[D,7.11]a[D,7.13].

15 Věta6.5. Nechť R(+,,,0,1)jekomutativníokruh.Potom R/Ijetělesoprávě tehdy, když I je maximální ideál. Důkaz. Viz[D, 7.14]. Definice. Nechť R(+,,,0,1)jeokruh.Definujmeprokaždé n Z: 0 a=0, n a=((n 1) a)+aprokaždé n >0, n a= n ( a)prokaždé n <0. Poznámka6.6. Nechť R(+,,,0,1)jeokruh.Definujmezobrazení ϕ:z R předpisem ϕ(n) = n 1.Pak ϕjehomomorfismusokruhůaϕ(z)jenejmenší podokruh Robsahujícíprvek1.Navíc(Kerϕ=) {n Z ϕ(n)=0}=pzpro jednoznačněurčenécelé p 0. Důkaz. Viz[D, 7.18]. Jednoznačně určené číslo p z předchozí poznámky se nazývá charakteristika okruhu R. Definice. Komutativní okruh R(+,,, 0, 1) nazveme oborem integrity, platí-li, že a b=0implikuje a=0nebo b=0 Příklad.(1) Každé komutativní těleso je oborem integrity. (2)Z(+,,,0,1)jeoboremintegrity. (3)OkruhreálnýchpolynomůR[x](+,,,0,1)jeoborintegrity. Uvažujmeoborintegrity R(+,,,0,1),adefinujmealgebru F(+,,,0,1),kde F = R (R {0})soperacemi:(a,b) (c,d) = (a c,b d),(a,b)+(c,d) = (a d+b c,b d), (a,b)=( a,b),0=(0,1)a1=(1,1).naalgebře F(+,,,0,1) konečnědefinujmerelaci předpisem(a,b) (c,d) a d=b c. Věta6.7. Proalgebru F(+,,,0,1)platí: (1) F(+,0)aF(,1)jsoukomutativnímonoidy, (2) jekongruencena F(+,,,0,1), (3) (0,a) 0a(a,a) 1prokaždé a R \ {0}, (4) F/ je komutativní těleso, (5)zobrazení σ: R F/ danépředpisem σ(r)=[(r,1)] jeprostýokruhový homomorfismus. Důkaz.(1)viz[D,9.2],(2)viz[D,9.3],(3)viz[D,9.4],(4)viz[D,9.5]a(5)viz[D, 9.7]. Definice. Komutativní těleso F/ budeme nazývat podílovým tělesem okruhu R ajehoprvkybudemeznačit a b =[(a,b)]. Příklad. Těleso racionálních čísel Q(+,,, 0, 1) je podílovým tělesem okruhu celýchčíselz(+,,,0,1). 7. Dělitelnost Definice. Řekneme, že S(, 1) je komutativní monoid s krácením, pokud je S(, 1) monoidskomutativníoperací splňujícíprokaždé a,b,c Spodmínku a c= b c a=b.

16 Buď S(,1)komutativnímonoidskrácenímanechť a,b S.Řekneme,že adělí b(píšeme a/b),pokudexistujetakové c S,že b=a c.řeknemeže ajeasociován s b(píšeme a b), pokud a/b a zároveň b/a. Příklad.1)N(,1)aZ \ {0}(,1)jsoukomutativnímonoidyskrácením. 2)Je-li R(+,,,0,1)oborintegrity,pakje R \ {0}(,1)komutativnímonoids krácením. Poznámka 7.1. Buď R\{0}(, 1) multiplikativní monoid(tedy komutativní monoid s krácením) nějakého oboru integrity R(+,,, 0, 1)(například okruhu celých čísel neboreálnýchpolynomů).pak a/bprávěkdyž br araa bprávěkdyž br=ar. Důkaz. Přímý důsledek definice. Poznámka 7.2. Nechť S(, 1) je komutativní monoid s krácením. (1)Prokaždé a,b Sexistujenejvýšejedentakovýprvek c S,že a=b c. (2)Nechť a,b S.Pak a bprávětehdy,kdyžexistujeinvertibilníprvek u S tak,že a=b u. (3) jekongruencena S(,1). (4) S/ (,[1] )jekomutativnímonoidskrácenímarelace dělí naněmtvoří uspořádání. Důkaz.(1)viz[D,5.10],(2)viz[D,5.2],(3)viz[D,5.5]. Příklad. Komutativní monoidy N(, 1) a Z \ {0}/ (, 1) jsou izomorfní. Definice. Buď S(,1)komutativnímonoidskrácením(nebo S(+,,,0,1)obor integrity)anechť a,b,c,a 1,...,a n S.Prvek cnazvemenejvětšíspolečnýdělitel prvků a 1,...,a n (píšeme NSD(a 1,...,a n )),jestliže c/a i provšechna i,akaždý prvek d S,kterýdělívšechna a i,dělíiprvek c.prvek cnazvemeireducibilním prvkem,jestliže cneníinvertibilní(aninulovývoboruintegrity)ac=a b c a nebo c b. Prvek c nazveme prvočinitelem, jestliže c není invertibilní(ani nulový) a c/a b c/anebo c/b. Poznámka7.3. Nechť S(,1)jekomutativnímonoidskrácenímaa,b,c S. (1)Nechť dje NSD(a,b)aeje NSD(a c,b c).potom(d c) e (2)Nechť1je NSD(a,b)aa/b c.existuje-li NSD(a c,b c),pak a/c. Důkaz.(1)viz[D,5.12]a(2)viz[D,5.13]. Poznámka 7.4. Mějme S(, 1) komutativní monoid s krácením. Potom je každý prvočinitelireducibilní.pokudnavícprokaždé a,b Sexistuje NSD(a,b)pakje každý ireducibilní prvek prvočinitelem. Důkaz. Viz[D, 5.14]. Následující větu letos dokážu až v letním semestru(tedy její důkaz nebudu samozřejmě zkoušet): Věta 7.5. Nechť je každý ireducibilní prvek komutativního monoidu s krácením S(,1)prvočinitelemanechť p 1,...,p r,q 1,...,q s Sjsouireducibilníprvkytakové, že p 1 p 2 p r q 1 q 2 q s.potom r=saexistujebijekce σtak,že p i q σ(i) provšechna i=1,...,r. Důkaz. Viz[D, 5.16].

17 Příklad. UvažujmepodokruhZ[ 5]={a+ 5b a,b Z}okruhureálnýchčísel. Zřejměsejednáooborintegrity,tedyZ[ 5] \ {0}(,1)jekomutativníhomonoidu skrácením.lzeukázat,žeprvky2, 5+1a 5 1jsouireducibilní,alenejdeo prvočinitele,protože2/4=( 5+1) ( 5 1),ale2nedělí 5+1,ani 5 1 (podobněpro 5+1a 5 1). Zároveň dostáváme dva neasocivané ireducibilní rozklady prvku 4 = 2 2 = ( 5+1) ( 5 1). [D]- odkazuje na skripta profesora Drápala na adrese http://www.karlin.mff.cuni.cz/ drapal/skripta/