Obsah 1 Úvod 1.1 Vymezení modelovaných soustav 1.2 Požadavky na simulační nástroj 1.3 Rozdělení procesu modelování.. 2 Přehled metod tvorby matematického modelu 2.1 Rozdělení metody tvorby matematického modelu 2.2 Obecný tvar rovnic popisujících dynamiku MBS. 2.3 Metoda uvolňování (Newton-Eulerovy rovnice) 2.4 Analytická dynamika (Lagrangeovy rovnice) 2.5 Softwarové nástroje pro tvorbu modelu.. 3 Numerické řešení matematického modelu 3.1 Numerické metody řešení ODE. 3.2 Numerické metody řešení DAE.. 3.3 Řešiče ODE a DAE v MATLABu 4 Příklady ruční tvorby modelu a jeho numerického řešení 4.1 Matematické kyvadlo v rovině................ 4.2 Robotický manipulátor se dvěma stupni volnosti v rovině 5 Modelování MBS v SimMechanics 5.1 Stručná charakteristika programu SMMECHANCS 5.2 Princip tvorby modelu.............. 5.3 Definice vazeb a jejich podoba v SMMECHANCS. 5.4 Postup simulace.................... 5.5 Topologie modelu a určování počtu stupňů volnosti. 5.6 Typy analýz...................... 5.7 Poznámky k práci se SMMECHANCS......... 5.8 mport parametrů modelu z CAD systémů a vizualizace ve VRML 5.9 Využití linearizovaného modelu ze SMMECHANCS k řízení MBS. 5 5 7 8 13 13 13 16 17 23 25 25 26 26 29 29 32 41 41 41 42 42 43 44 45 46 47 3

OBSAH 6 Příklady modelování jednoduchých mechanismů v SimMechanics 49 6.1 Robotický manipulátor se dvěma stupni volnosti v rovině (v SMMEOHA- NOS).................. 49 6.2 Model kinematiky paralelního robotu..................... 49 7 Využití SimMechanics pro rychlý návrh kinematickéhó modelu čtyřnohého robotu 55 7.1 Motivace a formulace problému 55 7.2 Popis modelu 55 7.3 Výsledky 56 8 Příklad tvorby modelu mechatronické soustavy s prvky různé fyzikální podstaty - model čtyřnohého robotu 61 8.1 Formulace problému................. 61 8.2 Popis částí komplexního modelu.......... 62 8.3 Ukázka využití KMR jako konstrukčního nástroje. 68 Seznam použitých zkratek a definice některých pojmů 81 Použitá literatura 83 4

1, Uvod Tato práce se zabývá problematikou modelování mechatronických soustav, které jsou chápány jako dynamické systémy se soustředěnými parametry. Hlavní důraz je kladen na modelování mechanických subsystémů, jejichž dynamické chování významně ovlivňuje užitnou hodnotu technického objektu jako celku a přitom jejich adekvátní matematický popis je často velmi obtížný. V úvodní kapitole se zaměříme na rozbor procesu modelování a definujeme požadavky, které by moderní simulační nástroj měl splňovat. V kap. 2 popíšeme základní metody syntézy matematického modelu, ze kterých vychází i všechny metody implementované v dostupných programech, které umožňují automatický návrh modelu mechanické části soustavy. V kap. 3 se stručně zmíníme o metodách numerické integrace matematického modelu a jejich implementaci v programu MATLAB-SMULNK. Na několika příkladech pak budeme demonstrovat způsob tvorby simulačního modelu některých jednoduchých mechanických soustav. V další části práce se pak budeme zab5'vat konkrétně programem SMMECHANCS, který je nástavbou standardního simulačního nástroje MATLAB-SMULNK. Krátce popíšeme některé aspekty návrhu modelu a uvedeme několik jednoduchých příkladů. Na závěr popíšeme detailně návrh Komplexního modelu kráčejícího robotu jako příklad modelování mechatronické soustavy s prvky různých fyzikálních podstat. 1.1 Vymezení modelovaných soustav Počítačové modelování je jedním ze základních aspektů mechatroniky a mechatronického pojetí technických objektů. Samotná definice pojmu mechatronika není zcela jednotná 1. Většinou se ale různí autoři shodují v tom, že klíčová je zde účelová integrace mechanického a. elektrického (elektronického) subsystému a především pak počítačového řízení. Jedním z hlavních rysů tzv. mechatmnického přístupu[25] je komplexní pojetí technického objetku resp. modelované soustavy. vývoj mechanické, elektronické i řídící části soustavy probíhá současně (tzv. paralelní inženýrství), což je možné pouze díky počítačovému modelování chování reálné technické soustavy. Simulační výpočty umožní provedení řady optimalizačních kroků a inženýrských rozhodnutí ještě před výrobou cílového technického objektu nebo fyzického prototypu, což přináší pochopitelně časové i finanční úspory. 1 "Mechatronika jako inženýrská disciplina, je synergetickou kombinací přesné mechaniky a strojního inženýrství, elektroniky, řízení a počítačových věd jež sjednocuje výsledný užitný a efektivní design" (K. Craig, University of Rensselaer, USA). "Mechatronika může být uvažována jako komplex ideí, metod a prostředků pro kreativní počítačové řízení, programování a výrobu technických soustav, s uvažováním všech podstatných výkonových i funkčních a informačních interakcí uvnitř i vně tec4nické soustavy". (P. Paruschev, BAV, Solia). 5

KAP. 1: ÚVOD Proces modelování lze rozdělit do dvou základních kroků: definice abstraktní modelované soustavy - znamená myšlené zjednodušení reálného technického objektu tak, aby byl snáze popsatelný a řešitelný pomocí dostupných matematických metod. Prakticky to znamená zanedbání různých vlivů a vlastností technického objektu, které lze na dané (strojírenské, inženýrské) rozlišovací úrovni zanedbat. Zde je nezastupitelná tvůrčí práce člověka, tento krok řešení problému nelze zautomatizovat. Příkladem je tuhé těleso, zanedbání pasivních odporů, transformace úlohy z prostorové na rovinnou apod. simulační modelování soustavy - sestavení matematického modelu soustavy ve formě ODE 2, DAE, případně parciálních diferenciálních rovnic a jejich řešení pro daný konkrétní problém (analýza chování, syntéza řízení apod.). Tento krok je tradičně řešen člověkem, případně za pomoci počítačů, lze jej však plně automatizovat. Z uvedených úvah je patrné, že pro konstrukci pokročilých mechatronických soustav počítačově řízených a vykazujících dynamické chování je velmi důležitý proces počítačového modelování. Poznamenejme jen, že pro tvůrčí návrh a modelování je charakteristický iterační charakter předchozího procesu. Na základě výsledků simulací, případně experimentů provedených na prototypu, můžeme upravit charakter definované abstraktní modelované soustavy a opět provést výpočty. V praxi, při řešení významné části mechatronických problémů, bývá často modelovaná soustava uvažována jako soustava se soust1 eděnými parametry. Při modelování mechanismů se často užívá pojem soustava tuhých těles propojených vazbami (anglicky mul ti rigid body system - zkratka MBS 3 ). Z matematického hlediska jde o nahrazení soustavy parciálních diferenciálních rovnic (reálná soustava s rozloženými parametry) soustavou ODE nebo DAE (soustava se soustředěnými parametry), které jsou podstatně jednodušeji řešitelné. Tento text se zabývá právě popisem metod tvorby dynamického modelu soustavy se soustředěnými parametry. Hlavní motivací je potřeba překlenout propast mezi tradičními metodami modelování (analytický model ODE nebo DAE sestavený pomocí Newtonova nebo Lagrangova přístupu) a novými čistě numerickými metodami reprezentovanými zde programem SMMECHANCS. Obecně může být do pojmu mechatronická soustava zahrnut i technický objekt s podsystémy hydraulickými, tepelnými, aerodynamickými apod. a přístupy dále popsané lze při jejich modelování také použít. V převážné většině problémů se ale setkáváme se soustavami čistě elektromechanickými a na jejich modelování se soustřeďuje i tato práce. V první části popíšeme tradiční metody syntézy dynamického modelu a zvláště se zaměříme na jejich vlastnosti z hlediska automatizace tvorby modelu. V druhé části se pak 2 Yýznam této a dalších zkratek používaných v textu je uveden na str. 81. 3 Yzhledem k tomu, že neexistuje jednotná všeobecně známá zkratka pro označení soustav tuhých těles propojených vazbami, budeme nadále v této práci používat zkratku MBS, která je běžná v anglické literatuře a především v dokumentaci k softwarovým nástrojům. 6

1.2: POŽADAVKY NA SMULAČNÍ NÁSTROJ budeme věnovat plně numerickému modelování a jeho aplikacím. Tyto metody a na nich postavené softwarové produkty představují v současné době velmi nadějnou cestu k modelování dynamiky pokročilých mechatronických soustav obsahujících složité kinematické mechanismy jakými jsou např. mobilní čl stacionární roboty, kráčející robotické mechanismy, složité obráběcí stroje, pohyblivé prvky automobilů a letadel nebo mechanismy přístrojů. 1.2 Požadavky na simulační nástroj Problémy simulačního modelování moderních mechatronicksrch soustav vytváří podstatně vyšší nároky na přesnost modelů a jejich příblížení se reálným technickým objektům než tomu bylo v minulosti. V následujících několika bodech shrneme požadavky, které by měl splňovat nástroj pro simulační modelování dynamických soustav se soustředěnými parametry. Znovu připomínáme, že se zaměříme pouze na problematiku typicky mechatronických soustav, které obsahují mechanické, elektrické a řídící prvky. Z výčtu vlastností je patrné, že minimálně některé z nich je nutno řešit na počítači. 1. Různá fyzikální podstata prvků - simulační nástroj musí být schopen modelovat dynamické prvky různých fyzikálních podstat (mechanické, elektrické, elektronické, hydraulické, tepelné, aerodynamické; řídící, informační, rozhodovací). 2. Nelinearity - prvky, vazby mezi nimi, vnější působení apod. je nutné obecně považovat za nelineární a s parametry proměnnými v čase. 3. Automatická matematického tvorba modelu - dosažení vysoké produktivity návrhu TO a potřeba modelovat velmi komplikované mechanické i jiné problémy vyžaduje automatizaci tvorby modelu MBS (formulace ODE resp. DAE). Dále se souvisejícími problémy budeme zabývat v kap. 2 a 5. 4. Rychlost řešení matematického modelu - Vytvořený matematický model musí být dostatečně rychle řešitelný. U přímé úlohy dynamiky jde o problém integrace DAE nebo ODE. Konkrétní požadavek závisí na způsobu použití modelu. Je zřejmé, že věrohodnost a tím složitost modelu je v rozporu s rychlostí jeho řešení. 5. Skoková kvalitativní změna systému - Při integraci ODE nebo DAE musí být zaručeno korektní zachycení a ošetření událostí, které představují významnou skokovou změnu kvality simulovaného systému. Příkladem může být jednoduchá rotorová soustava s vůlí na pružné spojce. Situace, kdy je vazba funkční a kdy není představuje zásadní kvalitativní rozdíl. Přechod mezi těmito dvěma stavy musí být při simulaci velmi přesně zachycen4. 4y MATLABU je tato problematika řešena vlastností events řešičů ODE a DAE. Y SMULNKU a SM MECHANCS pak vlastností zero crossing detection, kterou mají příslušné simulační bloky. 7

KAP. 1: ÚVOD 6. Detekce kolizí - V případě, že objektem modelování je mechanismus s pohybujícími se částmi a hrozí jejich vzájemná kolize nebo kolize mechanismu a prvků okolního prostředí, je nutné v průběhu simulace zachytit a ošetřit výskyt těchto kolizí. Tato problematika je vysoce aktuální u všech složitějších robotických struktur, typickým příkladem může být simulace robotického pracoviště s několika kooperujícími stacionárními průmyslovými roboty. Stejně důležitý je tento problém i u mobilních kráčejících robotů. 7. Vizualizace - Velice důležitou vlastností simulačního nástroje (software) je schopnost vizualizace chování modelované soustavy. Pro velkou část analýz postačí výstup ve formě časových závislostí důležitých veličin, který lze posléze zpracovat graficky. Pro studium charakteru chování je ale nezastupitelná role dynamické vizualizace. Můžeme zde zmínit technologii VRML, která je v MATLABu dostupná přes Virtual Reali ty Toolbox. Simulovaný mechanismus je zobrazován jako dynamický 3D objekt v prostředí běžného internetového prohlížečé. 8. Man in the loop - Zapojení člověka do simulačního schématu jako jednoho z prvků soustavy. Nejčastější motivací je snaha oveřit vlastnosti navrhované soustavy na akce provedené lidskou obsluhou bez nutnosti tyto modelovat. Jde o to, že modelování lidského chování, tzn. lidské psychiky, je záležitost velice náročná. 9. Hardware in the loop - Zapojení skutečného hardware do simulačního schématu místo jeho počítačového modelu. Elektronickou část mechatronické soustavy je tak možno otestovat ještě před výrobou mechanické části, případně provést první odladění řídících programů a zabránit tak nehodě způsobené např. pohybem mechanismu. 10. mplementace simulačního modelu do řídícího hardware - V případě, že simulační model sestavujeme za účelem syntézy nebo analýzy řízení, měla by existovat možnost jednoduché implementace vytvořeného modelu v řídícím hardware (mikrokontroler, DSP apod.)6. ll. Kvalita dokumentace - z velké části určuje kvalitu simulačního nástroje. 1.3 Rozdělení procesu modelování 1.3.1 Obecné rozdělení metod použitých při simulačním modelování Jakmile z technického objektu vytvoříme abstraktní modelovanou soustavu, můžeme přistoupit k vlastnímu procesu modelování její dynamiky. Připoměňme, že se zde omezujeme 5Nutno nainstalovat plug-in. 6Tento problém je řešen pomocí překladu simulačního algoritmu do přenositelného kódu (nejčastěji C). Jedná se o velice náročnou otázku, která není uspokojivě vyřešena v žádném autorovi známém komerčním nebo freeware produktu. Příčinou je i razantní rozdíl mezi výpočetním výkonem běžných pracovních stanic (PC) a hardwarem pro řízení. 8

1.3: ROZDĚLENÍ PROCESU MODELOVÁNÍ na soustavy se soustředěnými parametry, především pak elektromechanické. Při simulačním modelování používáme metody, které 'lze rozdělit podle různých hledisek: Podle pořadí metody v procesu řešení: metody tvorby (sestavení) modelu metody řešení modelu Podle matematické povahy metody na: metody analytické metody numerické N a tomto místě je nutné uvést také základní rozdělení úloh dynamiky, a to na úlohu přímou a nepřímou. V dynamice je řešení nepřímé úlohy snadnější než úlohy přímé, neboť matematicky vede pouze na řešení soustavy (obecně nelineárních) algebraických rovnic, zatímco přímá úloha vždy vede na integraci ODE nebo DAE. Náš zájem se soustředí především na úlohu přímou, která je z hlediska studia chování simulovaných soustav důležitější. 1.3.2 vývoj od analytického modelování k numerickému Kombinací výše uvedených kritérií dostaneme několik přístupů: 1. Plně analytické modelování - historicky nejstarší způsob modelování dynamiky. K sestavení modelu (ODE,DAE) použijeme Newtonova nebo Lagrangeova přístupu (popíšeme v oddíle 2.3 a 2.4), rovnice formulujeme "ručně". Výslednou rovnici nebo soustavu rovnic integrujeme analyticky. Výsledné chování obdržíme jako analytickou funkci času. 2. Smíšené modelování - klasický, v dnešní době převážně používaný přístup k modelování dynamiky. Model soustavy sestavíme stejně jako v předchozím bodě. Naprostá většina praktických problémů vede na rovnice či soustavy rovnic, které nelze analyticky integrovat, proto použijeme integraci numerickou. Výsledné chování obdržíme pouze pro konkrétní zadané počáteční podmínky. 3. Plně numerické modelování - moderní přístup modelování velmi složitých soustav. Na základě definované abstraktní modelované soustavy se automaticky (za použití numerických metod) vytvoří dynamický model soustavy (ve formě ODE, DAE). Následně se provede integrace metodami stejnými jako v přechozím případě. Chování soustavy obdržíme opět pouze pro počáteční podmínky. Z uvedené výčtu je patrný postupný přesun z čistě analytického řešení "na papíře" k čistě numerickému řešení na počítači. V podstatě je to dáno vzrůstajícími možnostmi výpočetní techniky a s tím souvisejícími požadavky na řešení stále složitějších problémů. 9

KAP. 1: ÚVOD Pokud je daný problém možno vyřešit (integrovat rovnice) čistě analyticky, je to ten nejlepší možný postup. K dispozici totiž pak máme chování soustavy jako analytickou funkci času, což umožňuje provádění dalších analýz a rozborů (stabilita, optimalizace). Naneštěstí je takto řešitelná pouze omezená třída lineárních ODE (speciální pravá strana) a ještě méně nelineárních. Řešení je také často velice náročné a tudíž pro praktické inženýrské úlohy málo použitelné. Můžeme se pak pokusit o vhodné zjednodušení modelu nebo jeho linearizaci tak, aby se stal řešitelným. To ale často není možné. Jak jsme již uvedli, většinu praktických úlóh v současné době řešíme tak, že analytický model integrujeme numericky pro dané konkrétní počáteční podmínky. S využitím software dostupného v programových balících jako jsou Sadys, MATLAB apod. můžeme řešit i velmi složité nelineární multifyzikální dynamické soustavy, simulovat řídící struktury, HiP i MiL. "Umění modelování" pak spočívá ve správné volbě řešiče rovnic (algoritmus integrace ODE resp. DAE), korektní implementace řídících struktur (nejsou součástí modelované soustavy, nefigurují v ODE resp. DAE rovnicích) tak, aby se minimalizovala rizika, kterými jsou např. numerická nestabilita či přesnost výpočtu. V případě, že je řešená soustava složitá, nelineární a její řešení způsobuje potíže (např. je časově příliš náročné a nevyhovuje tak pro real-time řízení), přistupujeme k podobným linearizačním a zjednodušujícím postupům jako u snahy o čistě analytické řešení - pouze se pohybujeme ve vyšší rovině náročnosti úlohy. První dva popsané přístupy mají společnou metodiku tvorby modelu. Rovnice se sestavují 'ručně. Tím je dána i jejich společná slabina. Věnujme se nyní speciálně sestavení modelu mechanické části mechatronické soustavy, te. Se stoupající složitostí MBS a zvláště pfi řešení úloh v prostoru dojde totiž velmi rychle k překročení hranice lidských možností při sestavování modelu. Newtonův přístup postupného uvolňování všech těles a výpočtu vazebných sil vede k velmi složitým a nepřehledným strukturám, Lagrangeovy rovnice druhého druhu zase produkují neúnosně složité výrazy při dvojnásobném derivování. když samotné derivování lze automatizovat, výsledné soustavy rovnic jsou nepoužitelné. Proto vznikají softwarové nástroje, které umožňují plně automatické sestavení matematického modelu (rovnic ODE resp. DAE). Takto sestavený model je numerický, což znamená, že matice popisující soustavu nemusí být vyjádřeny v uzavřeném tvaru, mohou se přepočítávat při každém kroku řešení. Je zřejmé, že při plně numerickém řešení úlohy ztrácíme možnost manipulace s odvozeným modelem, což není výhodné. Také se výrazně zvyšuje možnost numerické nestability a nepřesnosti, která se velmi těžko identifikuje. Naopak, plně numerické modelování nám umožní řešit běžným způsobem obtížně nebo vůbec neřešitelné soustavy, případně u jednodušších soustav získáváme možnost velmi rycqlé tvorby i náročného dynamického modelu a analýzy jeho chování, což je bezesporu inženýrsky zajímavé, a teprve pak můžeme přistoupit k zdlouhavější tvorbě modelu analytického. 10

1.3: ROZDĚLENÍ PROCESU MODELOVÁNÍ 1.3.3 Klasifikace modelů podle způsobu použití Dalším důležitým hlediskem, podle kterého lze klasifikovat proces modelování a vlastnosti výsledného modelu, je způsob jeho použití. Dvě krajní meze mohou být ilustrovány těmito příklady: Návrhový model sloužící k prvnímu testování základního konstrukčního uspořádání, optimalizaci prvků soustavy apod. Model pro real-time řízení implementovaný v mikrokontroleru, DSP nebo jiném hardware. První model běží na počítači PC, může být relativně pomalý (zajímají nás výsledky). Očekává se od něj přesnost odpovídající rozlišovací úrovni. Slouží k získání výsledků, které se použijí jako podklad pro provedení konstrukčních, optimalizačních a jiných rozhodnutí. Druhý model může být značně zjednodušený, postihující jen určitý výřez zkoumané problematiky, klíčová je u něj schopnost nasazení na méně výkonném hardware. Slouží např. k řízení soustavy. 11

KAP. 1: ÚVOD 12

2 Přehled metod tvorby matematického modelu 2.1 Rozdělení metody tvorby matematického modelu Abstraktní modelovaná soustava je definována geometrií těles, vlastnostmi těles (hmotnosti, momenty setrvačnosti) a vazbami mezi nimi. Metoda tvorby matematického modelu z této definice vytvoří soustavu ODE nebo DAE. Pro formulaci soustavy rovnic ODE nebo DAE bylo vyvinuto mnoho metod, všechny však vychází ze dvou základních přístupů, kterými se podrobněji budeme zabývat v následujícím textu. Jsou to: Newtonova vektorová dynamika - používá závislé souřadnice, do neznámých parametrů zahrnuje i vazbové síly a proto vede na soustavu DAE. Bývá také nazývána metoda uvolňování. Lagrangeova analytická dynamika - v základní podobě metody jsou použity nezávislé souřadnice, vazbové síly jsou vyloučeny a postup vede na minimální tvar - soustavu ODE. Existuje ovšem i tvar Lagrangeových rovnic s multiplikátory, který používá závislé souřadnice a vede na DAE. Na obr. 2.1 jsou znázorněny možnosti řešení modelu postupně od jeho tvorby přes způsob reprezentace modelu a jeho řešení až po obdržení výsledků. Z hlediska naší snahy o využití možností plně numerického modelování je důležitá možnost automatizace těchto metod na počítači. K tomuto problému lze říci jen tolik, že většina současných produktů využívá principů Newtonova přístupu. 2.2 Obecný tvar rovnic popisujících dynamiku MBS Matematickým popisem MBS je soustava ODE nebo DAE. Nejobecnějším způsobem lze tuto soustavu zapsat taktol ; f(y,y,t) =0 (2.1) ly mechanice je obvyklé vyjadřovat soustavy rovnic popisujících dynamiku tělesa ve tvaru ODE druhého řádu - např.: mx+b±+kx = O {aždou soustavu n ODE druhého řádu lze však transformovat pomocí substituce na 2n ODE prvního řádu. Y tomto případě: 13

KAP. 2: PŘEHLED METOD TVORBY MATEMATCKÉHO MODELU Technický objekt - reálná soustava Abstraktní modelovaná soustava (MBS)!! l Newton rl Lagrange, závislé souřadnice nezávislé r- (rovnice s souřadnice multiplikátory) rl Soustava DAE Soustava ODE "'..1 redukce................... '., '. '1,.............. Řešení soustavy Numerická Numerická algebraických rovnic : integrace DAE integrace ODE : : : : :, : / Časové průběhy """'" Síly realizujfcí požadované. kinematických veličin chování soustavy (chování soustavy) : : "-./!.. : : : : : nverzní úloha dynamiky.............................. :'. í...... Obr. 2.1: PŘEHLED METOD MODELOVÁNÍ DYNAMKY SOUSTAV SE SOUSTŘEDĚNÝM PARAMETRY Jedná se o tzv. plně implicitní tvar ODE. Řešení je poměrně obtížné, vyžaduje např. výpočet konsistentních počátečních podmínek, případně jejich ověření 2. Obecnost tohoto tvaru je problematická nejen z hlediska řešení, ale i přehlednosti, proto se soustavy rovnic zapisují v méně obecné, maticové podobě. Některé možnosti jsou uvedeny v tab. 3.1. Z mnoha dalších možných způsobů si uvedeme ještě dva. V případě ruční práce s modelem, sestavování modelu pro účely řízení, při práci s li- 2V MATLABU implementováno v řešiči ode15i, funkce decic. 14

2.2: OBECNÝ TVAR ROVNC POPSUJÍCÍCH DYNAMKU MBS neárními nebo linearizovanými soustavami se používá tento zápis (ODE): M(q)q + C(q, q)q:+ F(q) + G(q) = Q (2.2) kde q je vektor nezávislých zobecněných souřadnic, M matice hmotnosti, C matice coriolisových a odstředivých sil, F vektor sil viskózního tření, G vektor gravitačních sil, Q zobecněné síly vztažené k zobecněných souřadnicím. V případě návrhu numerických algoritmů pro stavbu matematických modelů a při jejich analýze se používá poněkud složitější tvar s přímo uvažovanými vazebnými podmínkami (DAE): q M(q)'Ů g(q, t) iv f(t, q, v) + it (q)gt (q, t)a O (2.3) (2.4) (2.5) kde q je vektor obecně závislých souřadnic definující konfiguraci mechanismu v čase t, M(q) je matice hmotnosti (symetrická, pozitivně definitní), f(t, q, v) reprezentuje příspěvky odstředivých, Coriolisových a vnějších sil, g(q, t) je vektor vazbových podmínek, C(q, t) je Jakobián eg/eq,..\ je vektor Lagrangeových multiplikátorů související s vazbovými silami. Matice H reprezentuje kinematické zobrazení mezi rychlostí v a derivací zobecněné souřadnice q. v = H(q)q (2.6) Často se jedná o identické zobrazení. Důvodem zavedení této (zdánlivě nadbytečné) transformace je ošetření problémů se singularitami u prostorových mechanismů. Poloha tělesa je definována čtyřmi Eulerovými parametry (prvky jednotkového kvaternionu) a rychlost v je pak úhlová rychlost w. H pak reprezentuje zobrazení časové derivace q na rychlost w. i je pravá inverze matice H (typicky platí i = HT(HHT)-l). Pokud je zobrazení H identické, lze formulaci rovnic MBS zjednodušit na tento známý tvar: M(q)q g(q, t) f(t, q, q) + CT (q, t)a O (2.7) (2.8) 15

KAP. 2: PŘEHLED METOD TVORBY MATEMATCKÉHO MODELU 2.3 Metoda uvolňování (Newton-Eulerovy rovnice) Metoda uvolňování je základním způsobem řešení úloh ve statice i dynamice. Podstatou metody je rozklad MBS na jednotlivá tělesa a nahrazení "přerušených" vazeb ekvivalentním silovým působením. Pak sestavíme rovnice rovnováhy pro každé těleso (statika) resp. pohybové rovnice každého tělesa (dynamika). Tvar pohybových rovnic tělesa vychází z definice hybnosti tělesa a její časové derivace. Druhý Newtonův zákon určuje dynamiku translačního pohybu tělesa na základě derivace hybnosti translačního pohybu.... dh d...... F= -= -mvc= mac dt dt (2.9) kde m je konstantní hmotnost tělesa, ve a ae je vektor rychlosti a zrychlení těžiště tělesa C vzhledem k počátku nehybného souřadného systému. Eulerova rovnice určuje dynamiku pohybu rotačního tělesa. Po provedení derivace momentu hybnosti a úpravách obdržíme pohybové rovnice tuhého tělesa ve tvaru: LFx =mx LFy=my LFz =mž L Mx = xwx + (lz - y)wywz L My = ywy + (lx - z)wxwz L Mz = zwz + (ly - x)wxwy (2.10) (2.11) (2.12) (2.13) (2.14) (2.15) (2.16) kde x, ly, lz jsou momenty setrvačnosti k hlavním centrálním osám, Mx,!vly, Mz jsou výsledné momenty vnějších sil vztažené k těžišti tělesa C a wx, wy, Wz jsou složky vektoru úhlové rychlosti tělesa. Někdy se tyto rovnice nazývají Eulerovy rovnice. Podrobnější popis a odvození lze najít např. v [35J a [26J. Poznamenejme ještě, že pokud má MBS nějaký nehybný bod, lze rotační pohyb (úhlovou rychlost, vnější momenty a momenty setrvačnosti) vztahovat i k němu. Při řešení problému volného tělesa postačují takto formulované rovnice, matematickým modelem je soustava šesti ODE. Praktický význam má ale problém vázaného tělesa, kde pro i vazbami odebraných stupňů volnosti dostaneme DAE skládající se z šesti obyčejných diferenciálních rovnic druhého řádu a i algebraických rovnic. Pro MBS sestávající z n těles propojených vazbami, pak dostáváme soustavu DAE s 6n ODE a dalšími algebraickými podmínkami podle počtu st. volnosti odebraných vazbami. výpočtový model vyžaduje takovou formulaci matematického modelu, která je dostupným software řešitelná. Pro algebraické vazebné podmínky v soustavě DAE to často 16

2.4: ANALYTCKÁ DYNAMKA (LAGRANGEOVY ROVNCE) znamená, že je musíme z obvyklého tvaru polohy převést na zrychlení. DAE s indexem 3 tak transformujeme na DAE s indexem 1. Příklad uvedeme v kap. 4. Pro sestavení matematických modelů soustav obsahujících fyzikálně jiné prvky než mechanické se použije podobných zákonů jako v mechanice, např. v elektrotechnice jsou to Kirchhofovy zákony (jsou zmíněny dále v 2.4.2). Použití metody uvolňování k sestavování matematického modelu MBS je vhodné ve dvou případech: pro případ D nebo 2D jednoduchých problémů, kde je formulace pomocí Lagrangeových rovnic zbytečně náročná; a dále v případě automatizované tvorby modelu počítačem. Pro střední obtížnost úloh je vhodný přístup analytické dynamiky, kterému se budeme detailně věnovat v následující kapitole. Jako důkaz tohoto tvrzení poslouží i příklady uvedené v kapitole 4. 2.4 Analytická dynamika (Lagrangeovy rovnice) 2.4.1 Zobecněné souřadnice, rychlost, síla a hybnost Pojem zobecněná souřadnice je jedním ze základů analytické dynamiky. Jsou to libovolné nezávislé absolutní souřadnice, jejichž počet je roven počtu stupňů volnosti3 n, dále je budeme označovat i, i = 1,2... n. Zoḅecněná rychlost je definována jako časová derivace zobecněné souřadnice, označujeme. Každé zobecněné souřadnici odpovídá zobecněná síla fi, kterou určíme z elementární práce tzv. pracovních sil na virtuálních posuvech4. (2.17) Síly tak rozdělíme na vazbové (nepracovní, působí ve směru tečny k zobecněné souřadnici) a pracovní (akční síly, složky třecích sil ve- směru zobecněné souřadnice). Fyzikální rozměr zobecněných veličin nemusí odpovídat jejich názvu, např. zobecněná souřadnice může být v mechanice vzdálenost nebo úhel, v elektrotechnice náboj nebo magnetický tok. Důležité je pouze splnění podmínky, která říká, že součin zobecněné souřadnice a síly musí mít vždy rozměr práce. Popis pomocí zobecněných souřadnic nám umoži1uje zřetelněji vidět analogie mezi systémy různých fyzikálních podstat, typický je příklad harmonického oscilátoru v mechanice reprezentovaný závažím na pružině, v elektrotechnice LC obvodem. 3Pojem počet stupňů volnosti je dostatečně znám z kinematiky a vektorové dynamiky. Můžeme ho chápat tak, že soustavu s n stupni volnosti modelujeme n diferenciálními rovnicemi druhého řádu (nebo 2n rovnicemi prvního řádu. Někdy se v literatuře můžeme setkat s jiným významem, kdy počet stupňů volnosti roven počtu rovnic prvního řádu. 4 Virtuální posuvy c5{i nazýváme variacemi souřadnice {i a uvažujeme je jako myšlené posuvy, které se však v přírodě nutně nemusí realizovat. Oproti tomu diferenciál souřadnice dei považujeme za skutečnou infinitezimální změnu souřadnice {i. Mezi oběma druhy těchto veličin existuje značná analogie, např. v mnohém se variace řídí pravidly diferenciálního počtu [26J. 17

KAP. 2: PŘEHLED METOD TVORBY MATEMATCKÉHO MODELU V tabulce 2.1 jsou uvedeny fyzikální interpretace zobecněných souřadnic užívané V elektromechanice. 2.4.2 Obvodový a uzlový přístup Definice zobecněných souřadnic v mechanice je jednoduchá a intuitivní. Používají se různě orientované kartézské, polární a sférické systémy, důležité je, že téměř vždy má zobecněná souřadnice přirozený geometrický význam (vzdálenost, úhel). Oproti tomu v elektrotechnice se používají dva základní Kirchhofovy zákony, a z nich vyplývající dvě metody: Metoda uzlových napětí - je odvozena z prvního Kirchhofova zákona: Součet všech proudů tekoucích do uzlu je roven nule nule. Jako zobecněná souřadnice je volen magnetický tok 1/J. Metoda smyčkových proudů - vychází z druhého Kirchhofova zákona: Součet všech napětí v uzavřené smyčce je nulový. Zobecněnou souřadnicí je pak náboj q. V tabulce 2.1 jsou uvedeny zobecněné veličiny použité u obou přístupů. Je vidět, že metoda smyčkových proudů odpovídá klasické volbě souřadnic v mechanice. Nabízí se tedy otázka, zda je možné použít v mechanice i analogii metody uzlových napětí. Z hlediska fyzikálních principů to samozřejmě možné je. V posledním sloupci tabulky 2.1 jsou uvedeny zobecněné veličiny pro translační pohyb určené pomocí uzlového přístupu. Ze srovnání smyčkového a uzlového přístupu v elektrotechnice a mechanice plyne jasná analogie obou systémů, v mechanice se ale tento druhý přístup nepoužívá, především z důvodů zažité konvence a horší možnosti představit si konkrétní fyzikální význam (představa hybnosti jako zobecněné souřadnice není příliš intuitivní). 2.4.3 Hamiltonův princip Základem analytické dynamiky jsou tzv. principy mechaniky, jejichž cílem je logicky popsat a sjednotit základní poučky, mají ale i heuristický účel, jejich prostřednictvím máme dojít k novým dosud neznámým vědomostem. Dělí se na diferenciální a integrální, přičemž nejdůležitější z nich je Hamiltonův princip [26J. Hamiltonův princip patří mezi integrální principy. Jeho výhodou je nezávislost na volbě souřadného systému, což umožňuje zahrnout do matematického modelu prvky různých fyzikálních podstat. Sestavení pohybových rovnic je založeno na minimalizaci funkcionálu J. J = JL(6,6, t...,en,ěl>ě2,..., n, tl)dt l (2.18) o kde L je tzv. Lagrangeův kinetický potenciál5, ei jsou zobecněné souřadnice a i zobecněné rychlosti. 5Někdy se také nazývá Lagrangeova funkce. 18

2.4: ANALYTCKÁ DYNAMKA (LAGRANGEOVY ROVNCE) Tab. 2.1: FYZKÁLNÍ VÝZNAM ZOBECNĚNÝCH SOUŘADNC 0::1 "d :: o,.., o. 15 '''' >t3 < =l 15,.t:l ' "d o --g,,.t:l o. E::l,.t:l E::l O "d E.g S' Ě.9 o..., 0.] o, o <) > '...,... =l o,>, U) o.>a3,>, :: o....:.:: co...:.:: co >u..., >5 '''',>, co '<) u"d u"d co.- =l =l o.'" o.'" o >u ]...,...,,..,..., co <)..., <).- '<) -O..., il S il S ro ::l -..., lil lil.m.-.- Zobecněná souřadnice ei x cp q 1jJ P Zobecněná rychlost ei v w i=q u F Zobecněná síla li F M u i v Zobecněná hybnost Pi P b 1jJ q x 2.4.4 Lagrangeův kinetický potenciál pro konzervativní soustavy Konzervativní systémy jsou nejjednodušším modelem reálných fyzikálních soustav. Neuvažujeme třecí a odporové síly, platí zde zákon zachování energié. Lagrangeova funkce má tvar L = T'(e,, t) - U(e,, t) (2.19) kde T' je celková koenergie soustavy (kinetická koenergie) a U je celková energie soustavy (potenciální energie). Koenergie soustavy Pojem koenergie7poprvé použili Heaviside a Lorentz [34]. Vysvětlení tohoto pojmu provedeme na příkladu energie a koenergie induktoru (ideální cívky). Na obr. 2.2 je znázorněna nelineární charakteristika induktoru. Energie soustavy je dána velikostí plochy mezi křivkou a osou 1jJ, tedy vztahem 1/1 Wm = J q(1jj')d'ljj' (2.20) o 6Zde máme na mysli zachování potenciální, kinetické (makroskopicky) a elektromagnetické energie. Nedochází k disipaci energie. 7V následujícím textu budeme veličiny označující koenergii psát vždy s čárkou, např. w, E apod. 19

KAP. 2: PŘEHLED METOD TVORBY MATEMATCKÉHO MODELU ---- --. q" q Obr. 2.2: CHARAKTERSTKA NELNEÁRNÍHO NDUKTORU Koenergii soustavy vypočteme jako velikost plochy mezi křivkou a osou q, tedy vztahem lv = J q 'j;(q')dq' (2.21) o Z obrázku i definic je zřejmé, že musí zcela obecně platit tato rovnice : (2.22) V případě lineární závislosti obou veličin jsou obě veličiny, energie i koenergie, totožné a jsou rovny (2.23) To je také důvodem, proč se pojem koenergie téměř nepoužívá, v drtivé většině praktických i školních problémů se totiž uvažují lineární charakteristiky prvků. Celková energie a koenergie konzervativní soustavy Celková koenergie elektromechanické soustavy je dána součtem koenergie mechanické a elektrické části. V oddílu 2.4.2 je popsán rozdíl mezi uzlovým a obvodovým přístupem k sestavování rovnic v elektrotechnice, který se projeví i zde. V případě, že použijeme obvodový přístup, platí následující vztahy: T' (x, x, q, t) U(x, q, t) Ek (X, x, t) + W (q, x) Ep (x, t) + We (q, x) (2.24) (2.25) 20

Pro uzlový přístup pak platí vztahy: 2.4: ANALYTCKÁ DYNAMKA (LAGRANGEOVY ROVNCE) T'(x, X, u, t) U(X, '/J, t) EÍc (x, x, t) + W (u, x) Ep(x, t) + Wm('/J, x) (2.26) (2.27) 2.4.5 Lagrangeův kinetický potenciál pro soustavy s vnějšími silami Pokud působí na vyšetřovanou soustavu vnější síly, zahrneme je do Lagrangeova kinetického potenciálu takto8 :. L*(,, t) = T'(,, t) - U(e,, t) - L J wk(t') (t')dt' k=1 0 m t (2.28) kde Wk(t) je vnější zobecněná síla působící na k-té zobecněné souřadnici (síla, moment, napětí,... ). 2.4.6 Lagrangeův kinetický potenciál pro nekonzervativní soustavy V nekonzervativních soustavách dochází k disipaci (rozptylu) energie9. Typické disipativní prvky v mechanice jsou tlumiče, v elektrotechnice elektrické odpory. Energii, která se ztrácí na disipativním prvku označujeme Rayleighova disipativní energie R Opět je nutné rozlišit uzlový a obvodový přístup v elektrické části soustavy. Pro obvodový přístup platí následující vztahy: Pro uzlový přístup platí: (2.29) (2.30) kde F:n je mechanická Rayleighova disipativní energie a Fe, F jsou elektrická Rayleighova disipativní energie a koenergie. Jejich význam vysvětlíme opět nejlépe na příkladu. Na obr.2.3 je znázorněna charakteristika nelineárního rezistoru. Rayleighova disipativní energie je pak definována vztahem: Fe (q) = J u(q')dq' o ti (2.31) 8 Takto modifikovaný Lagrangeův kinetický potenciál označíme L' na rozdíl od L definovaného v 2.19, který pracuje pouze s konzervativní soustavou. 9 Každá reálná fy zikální soustava je disipativní. Pojem disipace energie je fyzikálním pojmem a vyjadřuje změnu makroskopické kinetické energie (rychlost, proud) na teplo, tedy zvýšení rychlosti pohybu jednotlivých částic (mikroskopická kinetická energie). 21

KAP. 2: PŘEHLED METOD TVORBY MATEMATCKÉHO MODELU li q q Li R U U' Obr. 2.3: NELNEÁRNÍ REZSTOR Rayleighova disipativní koenergie pak vztahem: 'll F (u) = J q(u')du' (2.32) o Zcela analogicky se sestavují výrazy pro mechanické Rayleighovy disipativní energie. Celková Rayleighova disipativní energie elektromechanické soustavy je pak vyjádřena pro obvodový přístup v elektrické části takto: Pro uzlový přístup pak: (2.33) (2.34) Nyní můžeme modifikovat vztah 2.28 a definovat tak Lagrangeův kinetický potenciál pro nejobecnější případ, pro nekonzervativní soustavu s vnějšími silami: m t + L*(,, t) = T'(,, t) -U(,, t) - L J wk(t ') (t')dt'?r( ) k=10 (2.35) 2.4.7 Euler-lagrangeovy pohybové rovnice Hamiltonův integrální princip dynamiky pracuje s minimalizací funkcionálu uvedeného v rovnici 2.18. A právě touto cestou lze odvodit Euler-Lagrangeovy rovnice10. Uvedeme je ve dvou základních tvarech, s obecným Lagrangeovým kinetickým potenciálem L* a s Lagrangeovým kinetickým potenciálem pro konzervativní soustavy L. Oba dva tvary jsou pochopitelně rovnocenné. [OL*(.,, t)] _ ol*(e,, t) O pro k = 1,2,...) m (2.36) dt O k o [al(,t)]_ ol(e),t) + a?r(.e) = k Wk d oe pro k = 1,2,..., m (2.37) t O k k aú. ločasto bývají zkráceně nazývány Lagrangeovými rovnicemi. 22

2.5: SOFTWAROVÉ NÁSTROJE PRO TVORBU MODELU Poznamenejme ještě, že pro čistě mechanické systémy je obvyklý zápis Euler-Lagrangeových rovnic tento: (2.38) kde Ek kinetická energie (mechanické) soustavy, Ep je potenciální energie, qi je i-tá zobecněná souřadnice a Qi je příslušná zobecněná síla. Tento zápis uvádíme jen z důvodu větší jednoduchosti a názornosti, má však stejný význam jako rovnice 2.36 a 2.37. Dodejme ještě, že kinetická energie čistě mechanické soustavy se obvykle vyjadřuje takto: 1", T T Ek = 2 L_.(mivi Vi + Wi liwi) (2.39) kde Vi je vektor rychlosti těžiště i-tého tělesa a Wi je vektor úhlové rychlosti tělesa okolo těžiště. 2.5 Softwarové nástroje pro tvorbu modelu 2.5.1 Popis přístupu k modelování Jak již bylo řečeno, požadavky na modelování stále složitějších mechanických soustav vedou k tvorbě programů, které automatizují návrh matematického modelu. Uživatel pak zadává pouze geometrii MBS, vazby mezi tělesy, síly působící ve vazbách a na tělesa, počáteční podmínky a software provede tvorbu modelu (soustava ODE, DAE). Právě podle způsobu definice vlastností MBS a dalších a samozřejmě také podle výrobce lze software členit. V této práci se budeme zabývat konkrétně produktem SM MECHANCS, který je rozšířením známého a dnes již standardního simulačního nástroje MATLAB-SMULNK. Další detaily ohledně modelování v SMMECHANCS jsou uvedeny v kap. 5. 2.5.2 Vybrané produkty Následující přehled dostupných softwarových nástrojů pro tvorbu a řešení dynamických modelů bude orientován na modelování MBS. Některé produkty umožňují snadnou integraci s prvky a submodely jiných fyzikálních podstat, jiné jsou úzce zaměřené. Mezi známé komerční produkty patří: ProjEngineer Mechanism Dynamics - (dříve ProjMechanica Motion) jeden ze zástupců široké skupiny nástrojů ProjEngineer. CADovsky zaměřený produkt, omezení na modelování MBS. Modelování systémů různých fyzikálních podstat je otázkou, výrobce sice uvádí mnoho různých nástaveb a verzí programu, převládá ale orientace na pevnostní případně teplotní analýzy a výrobu. Více na www.ptc. com. 23

KAP. 2: PŘEHLED METOD TVORBY MATEMATCKÉHO MODELU MSC.Adams - opět výrazně komerčně orientovaný produkt patřící do skupiny MSC. Podobné vlastnosti jako výše uvedený. Více na www.mscsoftware.com. SMMECHANCS - nástroj, který má svými vlastnostmi blíže k vědeckému pojetí než k inženýrskému. Není CADovsky orientovaný a z mnoha různých důvodů se tato práce zabývá právě jím. Bližší podrobnosti v kap. 5 a 8 a na www. mathworks. com. Mezi zajímavé volně dostupné produkty patří: Robotic Toolbox for MATLAB [6] - knihovna funkcí pro MATLAB, částečně také v C, umožňující řešení řady problémů kinematiky a dynamiky robotických mechanismů s otevřenou topologií. Důležitá skupina funkcí se týká generování trajektorie. Dostupná dokumentace je na střední úrovni, je uvedeno několik příkladů řešení problémů reálných robotů (Puma 560). Toolbox také obsahuje několik funkcí pro práci s orientací tělesa v prostoru. Více informací lze nalézt na http ://www.cat.csiro.au/cmst/staff/pic/robot/. ODE - Open Dynamics Engine - knihovna C++ funkcí pro simulaci MBS. Je od začátku zaměřena na řešení kolizí, vzájemného kontaktu a tření těles. V současné době není vhodná pro kvalitativní inženýrské analýzy, počáteční motivací byla tvorba věrohodně se chovajícího prostředí v počítačových hrách. Více na http : ode. org/. Modelica - speciální jazyk pro vytváření modelů, patří mezi multi-domain systémy. Více na http : //www. modelica. org/. 24

3 Numerické řešení matematického modelu ' Matematické metody používané při řešení matematického modelu lze rozdělit podle charakteru soustavy rovnic na: metody řešení ODE metody řešení DAE. Věnujme se nejprve stručně metodám pro řešení ODE. 3.1 Numerické metody řešení ODE Pro případ explicitního vyjádření ODE, což představuje z hlediska řešení tu nejpříznivější situaci, je problém je definován takto 1 : jr = J(t, y), y(to) = Yo (3.1) Numerické řešení metodou Runge-Kutta, která je základem řešiče 2 ode45 v MATLABU, vypadá takto: kde (3.2) kl J(tn, Yn) h h k2 = J(tn + 2' Yn + 2 kl) h h k3 J(tn + 2 ' Yn + 2 k2) k4 J(tn + h, Yn + hk3) h je velikost integračního kroku. Metoda patří mezi tzv. "jednokrokové řešiče", pro výpočet hodnoty Yn+1 potřebuje pouze hodnotu v předchozím kroku, tedy Yn' Metoda Runge Kutta je vylepšením Eulerovy metody, která má tvar pouze lineární aproximace: (3.3) (3.4) (3.5) (3.6) Yn+l = Yn + hk1 (3.7) l Tzv. "Cauchyova úloha", angl. initial value problem (VP). 2V MATLABU je pro funkce implementuj ící metody integrace soustavy ODE resp. DAE používán termín "řešič" (angl. sol ver). 25

KAP. 3: NUMERCKÉ ŘEŠENÍ MATEMATCKÉHO MODELU Pokud je soustava ODE formulována v lineárně implicitním tvaru, problém je definován takto: My = f(t, y), y(to) = Yo (3.8) Řešení je shodné s předchozím případem, pouze je nutno vypočítat inverzí matice M3. V případě, že inverzi matice nelze provést, matice je singulá.rní a jedná se o soustavu DAE (viz sekce 3.2). Nejobtížnější je řešení soustavy ODE formulované plně implicitně. f(t, y, y) = O, y(to) = Yo (3.9) Nejprve se musí určit konsistentní počáteční podmínky Yo tak, aby splňovaly podmínku4: (3.10) Řešení se provádí metodou BDF 5 známou též jako Gearova metoda. Řešení praktických problémů vedlo k formulaci dalších metod integrace. Cílem je vyšší numerická stabilita a přesnost. Mohou to být modifikované jednokrokové řešiče nebo vícekrokové řešiče. Pro jejich praktické použití nelze formulovat nějaké doporučení, záleží spíše na zkušenosti a konkrétních parametrech soustavy. V sekci 3.3 jsou uvedeny tvary soustavy ODE a použitelné řešiče. 3.2 Numerické metody řešení DAE Řešení soustav DAE je náročnější než ODE. Problémem je zejména proces, kdy nejprve dvakrát derivujeme vazbové podmínky abychom dostali DAE indexu 1 a pak numericky integrujeme. Teoreticky (analyticky) bychom měli obdržet stejný výsledek, při numerické integraci ale dochází ke kumulaci chyby. Problematika řešení soustav DAE se stále intenzívně rozvíjí, podrobnosti přesahují rámec této práce a lze je nalézt např. v [33J. 3.3 Řešiče ODE a DAE v Matlabu Pro řešení v MATLABu musíme n ODE druhého řádu transformovat na 2n ODE prvního řádu. Přehled tvarů ODE a DAE řešitelných v MATLABU6 je uveden v tab. 3.1. 3Speciální nastavení zajišťují v MATLABu vlastnosti Mass a Jacobian. 4y MATLABU lze použít funkci decic. Jako parametry vstupují do funkce počáteční odhady hodnoty derivace funkce. 5 Angl. backward differentiation formula. 6 tav v r. 2004, verze R14 26

3.3: ŘEŠČE ODE A DAE V MATLABU Typ soustavy rovnic Explicitní ODE Tab 31' MOŽNOST ŘEŠENÍ ODE v MATLABU zápis rovnice yl = f(y, t) řešiče ode45 ode23 ode23s odel13 pozn. Lin. implicit. ODE (konst. M) My' = f(y, t). ode45 ode23 ode23s ode113 M je konst. matice Lineárně implicit ní ODE DAE (singulární matice M) Plně implicitní ODE M(y, t)yl = f(y, t) M(y, t)yl = f(y, t) f(y, y, t) = O M(y, t) je matice M(y, t) je singu- lární matice ode45 ode23 ode113 ode15s ode23t ode15i 27

KAP. 3: NUMERCKÉ ŘEŠENí MATEMATCKÉHO MODELU 28

4 Příklady ruční tvorby modelu a jeho numerického řešení V následujícím textu ukážeme na příkladu dvou jednoduchých MBS s jedním a dvěma stupni volnosti postup ručního sestavování matematického modelu. Použijeme Newtonův i Lagrangeův přístup. 4.1 Matematické kyvadlo v rovině U matematického kyvadla je veškerá hmotnost soustředěna do bodu, nejedná se o MBS (nejedná se o těleso), ale o vázaný pohyb hmotného bodu. Při sestavování modelu zanedbáme pasivní odpory a budeme uvažovat obecně proměnný zatěžující moment Mz a tíhovou sílu. Schématicky je abstraktní modelová soustava znázorněna na obr. 4.1. Řešení pomocí Newtonova přístupu lze najít také v [35]. mg Obr. 4.1: MATEMATCKÉ KYVADLO V ROVNĚ A UVOLNĚNÉ TĚLESO 4.1.1 Newtonův přístup V rovině má těleso tři stupně volnosti, zvolíme tedy popis třemi souřadnicemi [x, y, cp], těleso uvolníme (odstraníme vazby a nahradíme je ekvivalentním silovým působením). V našem případě rotační vazbu nahradíme dvojicí sil. 29

KAP. 4: PŘÍKLADY RUČNÍ TVORBY MODELU A JEHO NUMERCKÉHO ŘEŠENÍ Pohyb volného tělesa v rovině je určen třemi podmínkami: mx Fx Fy - mg Mz - Fxl cos cp - Fy l sin cp ( 4.1) (4.2) (4.3) V rovnicích se vyskytují neznámé [x, y, cp, Fx, Fy], k řešení potřebujeme tedy ještě dvě vazebné podmínky. Jsou to tyto: x y l sin cp -.l cos cp (4.4) (4.5) Nyní tyto rovnice přepíšeme do podoby 2.3-2.5. Vektor zobecněných souřadnic má tvar: Vazebné podmínky podle rovnice 2.8 mají tvar: (4.6) Matice H bude v našem případě reprezentovat identické zobrazení, použijeme proto rovnou zjednodušený zápis 2.7. Jakobián G: G= Vektor vazbových sil A:!!..9..l oy oy 1 [ 1 O -lcos <p 1 0 1 -l sin cp (4.7) (4.8) (4.9) Vektor externích sil f: (4.10) Pak při vyjádření [m celé ] rovnice [x] dostaneme: [ ] [ O O O 1 ] O O m O jj -mg + O 1 [ 1 Fx O O ly <P Mz -l cos cp -lsin cp Fy (4.11) 30

4.1: MATEMATCKÉ KYVADLO V ROVNĚ Vazbové podmínky 4.7 jsou formulovány pro polohy, jedná se o soustavu algebro-diferenciálních rovnic (DAE) s indexem 3. Většina numerických nástrojů 1 požaduje DAE s indexem l. Provedeme tedy dvakrát derivaci vazbových podmínek podle času. 9 = 9 9 dg 8g. 8g. 8g dt = 8q q + 8t = Gq + 8t 1 -/ cos ", [ -l sm <p y - l<psm r.p [ O 1 1 [ x [ <p 1 G q. + G q " 82 + 9 = x + ijcp + y ({; 8t 2 Y - xcp - X({; x - /0 cos ", 1 [ + y - x<p Y 1 (4.12) (4.13) (4. 14) Nyní můžeme přistoupit k numerickému řešení soustavy. Podrobnosti o řešení ODE a DAE jsou uvedeny v kap. 3. Stavový vektor y bude obsahovat neznámé polohy q a neznámé multiplikátory A. Vzhledem k tomu, že MATLAB vyžaduje ODE prvního řádu, musí vektor obsahovat také rychlosti q. Do soustavy rovnic musíme zahrnout také vazbové podmínky ve tvaru 4.14, proto se ve stavovém vektoru objeví také zrychlení q. Provedeme substituci w = q ( 4.15) a vyjádříme rovnice podle tab. 3.1 v lineárně implicitním tvaru (podle tab. 3.1): [1 O O E O O O O O x y r.p x y y= cp (4.16) x y r.p Fx Fy [ j M(y, t)y' = f(y, t) ( 4.17) j[ j [ - - j Mw GTA ( 4.18) lyčetně MATLAB-SMULNK-SMMECHANCS, který plně využívá řešiče SUvlULNKu. 31

KAP. 4: PŘÍKLADY RUČNÍ TVORBY MODELU A JEHO NUMERCKÉHO ŘEŠENÍ (E je jednotková matice rozměru 3x3, O je nulová matice rozměru 3x3 nebo 2x2) Matice soustavy M je singulární. Jedná se tedy o DAE, použijeme řešiče ode 15s nebo ode23t. Matice je diagonální, jedná se tedy o semi-explicitní DAE. Matice je také konstantní, což je výhodné při výpočtu Jakobiánu2. 4.1.2 Lagrangeův přístup Použijeme Lagrangeový rovnice druhého druhu v základní podobě, tzn. s nezávislými souřadnicemi. Matematické kyvadlo je soustavou s jedním stupněm volnosti a proto bude definováno jednou zobecněnou nezávislou souřadnicí. Odvozený matematický model bude tvořen jednou pohybovou rovnicí (ODE druhého řádu). Jako zobecněnou souřadnici zvolíme úhel!po Podle postupu uvedeném v oddíle 2.4 sestavíme rovnici kinetické a potenciální energie a podle Euler-Lagrangeovy rovnice 2.38 obdržíme pohybovou rovnici: Ep mz 2 (j; + mgz sin cp = Mz Ek = 1 1 -mv 2 = _ml 2 cp 2 2 2 mgy = -mgl cos cp (4.19) (4.20) (4.21) Pro potřeby výpočtu v MATLABu definujeme stavový vektor y, jednu ODE druhého řádu transformujeme na dvě ODE prvního řádu a převedeme do explicitního tvaru (podle tab. 3.1). y = [: 1 ( 4.22) ( 4.23) Jedná se tedy o ODE, dynamika MBS je vyjádřena v minimální formě. Řešení je podstatně jednodušší než v případě odvození vedoucí na DAE (4.1.1). Je to dáno jednoduchostí vyšetřované soustavy, v praktických složitějších případech, zvláště při sestavování modelu mechanismů v prostoru, je situace jiná. 4.2 Robotický manipulátor se dvěma stupni volnosti v rovině Na obr. 4.2 je znázorněn robotický mechanismus - otevřený kinematický řetězec - s jednou rotační a jednou posuvnou vazbou. Obě tělesa 2 a 3 jsou uvažována jako tuhá, ve vazbách neuvažujeme pasivní odpory. Ve vazbě A působí pohon na těleso 3 momentem 20dpovídající vlastnosti řešičů v MATLABU: Mass (' Constant matrix function '), MStateDependence ('none weak strong '), MassSingular ('ye6 no maybe ') 32

4.2: ROBOTcKÝ MANPULÁTOR SE DVĚMA STUPN VOLNOST V ROVNĚ M------.-------.--.--.. ---.-.---.. Obr. 4.2: ROBOTCKÝ MANPULÁTOR SE DVĚMA STUPN VOLNOST V ROVNĚ M3, V posuvné vazbě působí lineární pohon silou F 2. Na koncový efektor manipulátoru působí technologická síla FM. Pokud zavedeme do bodu B působící sílu F2, musíme specifikovat, zda se jedná o skutečnou vnější sílu, nebo sílu v pohonu. Síla v pohonu je vztažena k tělesu 3 a musí proto v důsledku zákona akce a reakce působit v opačném směru i na těleso 3! Tímto způsobem je provedeno i uvolnění na obr. 4.3. Oproti tomu vnější síla je vztažena k rámu soustavy a reakční síla se tedy neobjeví 3. Pokud bychom provedli tuto část uvolnění chybně, v našem případě to nebude mít na dynamické chování soustavy vliv, změní se pouze průběh velikostí vazebných sil v bodě A. Opět provedeme sestavení rovnic pomocí metody uvolňování a pomocí Lagrangeových rovnic druhého druhu, navíc provedeme srovnání výsledků simulací odvozených analytických modelů a modelu vytvořeného v SMMECHANCS. 4.2.1 Newtonův přístup Polohu obou těles 2 a 3 budeme definovat pomocí absolutních souřadnic X 2, Y 2, 'P 2, X3, Y3, 'P3 Budeme uvažovat obecný pohyb obou těles a podle Newtonových rovnic 2.10-2.15 sestavíme pohybové rovnice. Již při jejich zápisu budeme brát v úvahu zřejmou (vazbovou) podmínku 'P 2 = 'P3 = 'P. Rotační pohyb a výpočty momentů setrvačnosti jsou vztaženy vždy k těžišti. 3V SllvrMECHANCS se síla v pohonu definuje blokem Joint Actuator, zatímco vnější síla blokem Body Actuator. 33