Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Mohrova kružnice pro rovinnou napjatost Kritéria pevnosti (pro rovinnou napjatost) Příklady
MOHROVA KRUŽNICE PRO ROVINNOU NAPJATOST Rovinná, neboli dvojosá napjatost, vzniká tehdy, pokud jedno z hlavních napětí je nulové: σ 1 0, σ 0, σ 3 = 0 MPa. Hlavní napětí je maximální normálové napětí. Je kolmé k hlavní rovině, ve které neleží žádné smykové napětí. Napětí můžeme označit za hlavní, pokud jsou zároveň všechna smyková napětí nulová, čili tenzor napjatosti bude pro rovinnou deformaci vypadat takto: T σ = [ σ 1 0 0 σ ] obecně tudíž: T σ = [ σ x τ xy τ yx σ y ] Graficky lze rovinnou napjatost vykreslit na elementárním čtverci takto: Pokud by se měla zakreslit hlavní napětí, tak by to vypadalo takto: σ σ 1 σ 1 σ
Znaménková dohoda: Dále platí také zákon o sdruženosti smykových napětí, který můžeme zapsat takto: τ xy = τ yx Mohrova kružnice slouží k transformaci složek napjatosti a matematicky se dá zapsat tímto základním vztahem: Velikost hlavních napětí σ 1, = σ x + σ y ± ( σ x σ y ) + τ xy Další věc, kterou potřebuje znát, je poloha hlavních rovin, která je dána tímto úhlem: τ xy φ = 1 atan σ x σ y Pokud potřebujeme určit velikost napětí na konkrétní rovině ρ, která je určena úhlem α, tak počítáme pomocí tohoto vztahu: σ ρ = σ x + σ y τ ρ = σ x σ y A maximální smykové napětí spočítáme takto: τ max = σ 1 σ + σ x σ y cos(α) τ xy sin(α) sin(α) + τ xy cos(α), pokud je σ 1 a σ se stejným znaménkem, pak se τ max = σ 1 σ 3 = σ 1 Tudíž se pomocí Mohrovy kružnice se udává závislost normálového napětí na smykovém. Animaci, jak krok po kroku zakreslit tuto kružnici najdete ZDE nebo ZDE.
KRITÉRIA PEVNOSTI (PRO ROVINNOU NAPJATOST) Existuje celá řada kritérií pevnosti, pomocí nichž spočítáme takzvané redukované napětí σ red. Vypočítané napětí pak porovnáme s dovoleným napětím pro tah a tlak, které nesmí být překročeno. Rozhodnutí jaké zvolit kritérium se odvíjí od materiálu, typu zatížení, velikosti konstrukce a podobně. Díky těmto kritériím můžeme zhodnotit mezní stavy a dimenzovat součásti, stroje a podobně. o Rankinova hypotéza: nejstarší, pro křehké materiály. Vychází z toho, že na porušení má vliv maximální napětí:σ red = σ max o Saint Venantova hypotéza: vychází z maximálních poměrných deformací: ε max ε D, kde ε dov = σ dov E ε 1 = 1 E [σ 1 μσ ] ε = 1 E [σ μσ 1 ] μ[ ] Poissonovo číslo Vybereme větší hlavní deformaci (ε 1 nebo ε ) a tu označme jako ε red ε red = σ red E σ red = ε red E
o Guestova hypotéza: vychází z maximálních smykových napětí a je vhodná pro houževnaté materiály: τ max τ dov kde τ max = σ 1 σ τ dov = σ dov σ red = σ 1 σ o Mohrova hypotéza: aplikuje se hlavně ve stavebnictví, pro křehké materiály a číselně vychází shodně jako Guest. o Beltramiho hypotéza: vychází z maximální hustoty deformační energie λ: kde λ λ dov λ = 1 [σ 1ε 1 + σ ε ] = 1 E [σ 1 + σ μσ 1 σ ] λ dov = 1 σ dovε dov = σ dov E σ red = σ 1 + σ μσ 1 σ
o HMH hypotéza: vychází z maximální hustoty deformační energie λ t na změnu tvaru. Využívá se ve většině výpočetních programů (Ansys, Patran a podobně): kde λ t λ tdov λ t = 1 + μ 3E [σ 1 + σ σ 1 σ ] λ tdov = 1 + μ 3E σ dov σ red = σ 1 + σ σ 1 σ Mnohem více informací a rozšířené vzorce pro prostorovou napjatost najedete ZDE a na přednáškách. ZDE jsou vypsaná stručně i ostatní kriteria, která existují (všimněte si také toho posledního)
PŘÍKLADY
Všimněte si, jak směřuje šipka u úhlu, vždy jde od ramena k nejbližší ose!!! Poloha hlavních rovin: šipky k sobě záporné napětí, šipky od sebe kladné napětí, úhel je tentokráte nedvojnásobný a směřuje od osy k ramenu. Pokud je τ xy kladné, pak by úhel směřoval na druhou stranu a sigmy by se také prohodily.
x 59MPa y 65MPa xy 84MPa poloměr mohrovy kružnice a hlavní napětí 18deg E.0610 5 MPa 0.3 r xy r 84.054MPa 1 xy xy 1 146.054MPa 1 atan xy cos ( ) xysin( ) 43.977deg 108.947MPa sin( ) xycos ( ) Sant vent, to číslo, které je větší (v absolutní hodnotě) max r 69.71MPa max 84.054MPa 1 1 1 E ( ) 1 1 E ( ) 3 1 0 1 E [ ( )] 1 7.411 10 4 3.198 10 4 3 1.806 10 4 1 ( 1 ) E.408 10 4 1 E 1 ( 1 ) 0.058MPa t t 1 3E 0.053MPa 1 1 HMH 1 1 Beltrami 1 1 HMH 158.37MPa SaintVenant 1 SaintVenant 65.87 MPa SaintVenant 1 SaintVenant 15.67MPa Beltrami 154.11MPa Guest 1 Guest 168.107MPa Mohr je to samé číslo jako Guest Rankin je větší číslo z absolutní hodnoty σ1 a σ
Nyní uvedu příklad, kdy jsou obě hlavní napětí kladná: x 150MPa y 70MPa E.0610 5 MPa 0.3 poloměr mohrovy kruznice r xy 93.038MPa Výpočet hlavních napětí: 1 xy 03.038MPa xy 16.96MPa 1 atan xy 3.68deg Pozor na velikost hlavního smykového napětí, zde přichází na řadu třetí hlavní napětí!!!! 3 0MPa max 1 3 101.519MPa nezapomínejte ani na tyto vztahy, které jsou také u zkoušek hodně často: 1 1 1 E ( ) 1 1 E ( ) 3 1 0 1 E [ ( )] 1 9.609 10 4.133 10 4 3 3.04 10 4 1 ( 1 ) 4.7 10 4 E 1 E 1 ( 1 ) 0.096MPa t 1 3E 1 1 0.08MPa HMH 1 1 195.11MPa Guest 1 3 03.038MPa Pozor u výpočtu Guesta opět vystupuje σ3!!!!!
Nyní uvedu příklad, kdy jsou obě hlavní napětí záporná: x 100 MPa y 300 MPa xy 90MPa E.0610 5 MPa 0.3 poloměr mohrovy kruznice r xy 134.536MPa Výpočet hlavních napětí - pozor na záměnu sigma jedna a sigma!!!!!: xy 65.464MPa 1 xy 334.536MPa 1 atan xy 0.994deg Pozor na velikost hlavního smykového napětí, zde přichází nařadu třetí hlavní napětí!!!! 3 0MPa max 1 3 167.68MPa nezapomínejte ani na tyto vztahy, které jsou také u zkoušek hodně často: 1 1 1 E ( ) 1 1 E ( ) 3 1 0 1 E [ ( )] 1 1.59 10 3 1.694 10 4 3 5.85 10 4 1 ( 1 ) 7.767 10 4 E 1 E 1 ( 1 ) 0.5MPa t 1 3E 1 1 0.198MPa HMH 1 1 307.083MPa Guest 1 3 334.536MPa Pozor u výpočtu Guesta opět vystupuje σ3 a musí to být a v absolutní hodnotě!!!!!