150 KAPITOLA 7. STĚNA ROVINNÁ NAPJATOST

Save this PDF as:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "150 KAPITOLA 7. STĚNA ROVINNÁ NAPJATOST"

Transkript

1 150 KAPITOLA 7. STĚNA ROVINNÁ NAPJATOST pořádku, protože toto napětí vzniká na ploškách s normálou x, tj. na svislých ploškách, které v daném případě neleží na hranici stěny, ale oddělují elementární dílky od jejich sousedů vpravo a vlevo. Zbylé části hranice nejsou podepřené ani zatížené. Budou na nich tedy předepsány nulové hodnoty příslušných složek napětí. Na dolní části hranice C D, která má normálu rovnoběžnou s osou z, jde o složky σ z a τ zx, zatímco na pravé části hranice C D, která má normálu rovnoběžnou s osou x, jde o složky σ x a τ xz. Přehled sestavených okrajových podmínek je uveden v tabulce 7.. V matematické literatuře se o úloze najít řešení diferenciální rovnice (nebo soustavy diferenciálních rovnic) splňující dané okrajové podmínky hovoří jako o okrajové úloze (anglicky boundary value problem). Okrajové podmínky mohou obsahovat hodnoty hledaných funkcí nebo jejich derivací až do řádu o jedničku nižšího, než je řád diferenciální rovnice. V našem případě jsou Laméovy rovnice diferenciálními rovnicemi. řádu a okrajové podmínky mohou obsahovat hodnoty posunů u a w nebo jejich prvních derivací. Geometrické okrajové podmínky jsou již přímo zapsány pomocí posunů. Při sestavování statických okrajových podmínek vycházíme z jejich fyzikálního významu a zapisujeme je nejprve jako předepsané hodnoty složek napětí. Je však možné je přepsat pomocí prvních derivací posunů u a w podle x a z, a to na základě materiálových a geometrických rovnic. Například při přepisu podmínek platných pro úlohu na obr na části hranice C D vyjádříme složky napětí jako σ z = E 1 ν (ε z + νε x ) = E 1 ν ( E u τ zx = (1 + ν) z + w ) x ( w z + ν u ) x (7.78) (7.79) a na základě těchto vztahů můžeme podmínky σ z = 0 a τ zx = 0 nahradit ekvivalentními podmínkami 7.3 Analýza rovinné napjatosti Transformace složek napětí w z + ν u x = 0 (7.80) u z + w x = 0 (7.81) Při sestavování podmínek rovnováhy (7.61) (7.6) jsme pracovali se složkami napětí σ x, τ xz, σ z a τ zx, které popisují vzájemné silové působení mezi elementárním dílkem stěny a okolním materiálem. Přitom jsme si podle obr. 7.7 představovali elementární dílek ohraničený myšlenými svislými a vodorovnými řezy. Obecně nás může zajímat, jaké napětí vzniká v řezech vedených v libovolném směru. Daným bodem stěny totiž můžeme vést myšlené řezy nejen svisle nebo vodorovně, ale i šikmo. V každém takovém řezu vzniká jisté normálové napětí, které je kolmé na rovinu řezu, a jisté smykové napětí, které je s rovinou řezu rovnoběžné. Při analýze obecného tělesa přicházejí v úvahu skutečně zcela libovolné řezy, ale zatím se při analýze stěny omezíme na řezy kolmé na střednicovou rovinu. Můžeme si také představit, že místo elementárního dílku ohraničeného ploškami kolmými na

2 7.3. ANALÝZA ROVINNÉ NAPJATOSTI 151 souřadnicové osy x a z použijeme dílek ohraničený ploškami kolmými na jiné osy x a z, které jsou vůči základním osám x a z pootočené o jistý úhel α, jak je naznačeno na obr Na ploškách kolmých na osy x a z vznikají normálová napětí σ x a σ z a smyková napětí τ xz a τ zx (jejichž hodnoty jsou si rovny). Hodnoty napětí závisejí nejen na tom, ve kterém bodě je zkoumáme, ale také na natočení plošky, na které je zjišťujeme. Při posuzování účinků napětí na daný materiál nás například může zajímat, ve kterém směru vzniká největší normálové napětí a jaká je jeho hodnota. Pro materiály náchylné ke vzniku trhlin, jako je třeba beton, se často používá kritérium založené na porovnání maximálního normálového napětí s tahovou pevností materiálu. Jindy může hrát důležitou roli maximální hodnota smykového napětí, se kterou pracuje například tzv. Trescova podmínka plasticity, občas používaná pro kovy. x x α x' z σ z σ x z' z τ xz σ' z σ' x τ' xz Obrázek 7.11: Složky napětí vyjádřené vzhledem k základní a pootočené soustavě souřadnic Ukážeme si, že v případě rovinné napjatosti v rovině xz lze na základě znalosti složek napětí σ x, τ xz a σ z vztažených ke dvěma základním osám x a z ležícím v této rovině vypočítat složky napětí vznikající na libovolné plošce, jejíž normála leží v rovině xz. Můžeme si představit, že tato normála je osou x souřadnicové soustavy, která je vůči základním osám x a z pootočena o úhel α. Složky napětí σ x a τ xz na takovéto obecné plošce lze určit z podmínek rovnováhy elementárního trojbokého hranolu, jehož základnou je nekonečně malý pravoúhlý trojúhelník a výškou je tloušťka stěny h. Jak ukazuje obr. 7.1, v průmětu do střednicové roviny se tento hranol jeví jako pravoúhlý trojúhelník, jehož odvěsny jsou kolmé na osy x a z a přepona je kolmá na osu x. Délky odvěsen označíme dx a dz a délku přepony označíme dz. Výslednice napětí působícího na jednotlivých stěnách zkoumaného trojbokého hranolu jsou znázorněny na obr Jelikož naším cílem je vyjádřit hledané složky napětí σ x a τ xz v závislosti na známých složkách napětí σ x, τ xz = τ zx a σ z, je výhodné zapsat podmínky rovnováhy ve směru os x z. První zmíněná podmínka má totiž tvar σ xh dz (σ x h dz + τ zx h dx) cos α (σ z h dx + τ xz h dz) sin α = 0 (7.8) a objevuje se v ní jen jedna hledaná složka napětí, σ x. Je zřejmé, že tloušťka stěny h se v rovnici (7.8) vyskytuje ve všech členech a lze ji zkrátit, takže výsledný vztah nebude záviset na konkrétní hodnotě h. Dále se v rovnici objevují délky stran elementárního trojúhelníka, které lze s využitím goniometrických funkcí všechny vyjádřit pomocí délky

3 15 KAPITOLA 7. STĚNA ROVINNÁ NAPJATOST x α τ xz σ z τ' xz x' dx τ zx h dx σ z h dx z' z σ x σ' x dz α dz' σ x h dz τ xz h dz τ' xz h dz' σ' x h dz' Obrázek 7.1: Elementární trojboký hranol (v průmětu do střednicové roviny) a síly na něj působící přepony dz a tu pak také zkrátit. Po dosazení vztahů dx = dz sin α a dz = dz cos α do rovnice (7.8) a po vydělení celé rovnice výrazem h dz dostaneme σ x (σ x cos α + τ zx sin α) cos α (σ z sin α + τ xz cos α) sin α = 0 (7.83) odkud s využitím vztahu τ xz = τ zx snadno plyne σ x = σ x cos α + τ xz sin α cos α + σ z sin α (7.84) Získali jsme tedy vzorec pro výpočet normálového napětí σ x v obecném směru z daných složek napětí σ x, τ xz a σ z, samozřejmě v závislosti na úhlu α. Podobně lze postupovat i při výpočtu smykového napětí τ xz. Podmínka rovnováhy elementárního trojbokého hranolu ve směru kolmém na osu x má tvar τ xzh dz + (σ x h dz + τ zx h dx) sin α (σ z h dx + τ xz h dz) cos α = 0 (7.85) a po dosazení dx = dz sin α a dz = dz cos α a úpravě dostaneme τ xz + (σ x cos α + τ zx sin α) sin α (σ z sin α + τ xz cos α) cos α = 0 (7.86) odkud snadno plyne výsledný vzorec τ xz = σ x sin α cos α + τ xz (cos α sin α) + σ z sin α cos α (7.87) Odvozené vztahy (7.84) a (7.87) umožňují výpočet normálového a smykového napětí na libovolné plošce kolmé na střednicovou rovinu stěny. Lze je také chápat jako vzorce pro transformaci složek napětí při pootočení soustavy souřadnic x a z o úhel α. Pokud by nás zajímalo normálové napětí σ z, je možné použít vzorec (7.84) pro normálové napětí σ x, ale úhel α nahradit úhlem α Jelikož cos(α + 90 ) = sin α a sin(α + 90 ) = cos α, dostaneme σ z = σ x sin α τ xz sin α cos α + σ z cos α (7.88)

4 7.3. ANALÝZA ROVINNÉ NAPJATOSTI 153 Na závěr ještě můžeme transformační vzorce (7.84) a (7.87) (7.88) převést do poněkud jednoduššího tvaru s využitím identit sin α cos α = sin α, sin α = (1 cos α)/ a cos α = (1+cos α)/. Po dosazení a jednoduchých úpravách získáme užitečné vzorce pro transformaci napětí při rovinné napjatosti ve tvaru σ x = σ x + σ z τ xz = σ x σ z σ z = σ x + σ z + σ x σ z sin α + τ xz cos α σ x σ z cos α + τ xz sin α cos α τ xz sin α (7.89) (7.90) (7.91) Smykové napětí τ zx je samozřejmě rovno τ xz, takže pro něj zvláštní vztah nepotřebujeme. Obrázek 7.13: Panel zkoumaný v příkladu 7.4 PŘÍKLAD 7.4 Jaké napětí vzniká v panelu z příkladu 7. na ploškách pootočených vůči vodorovnému směru o 30 po hodinových ručičkách. Řešení: V příkladu 7. byly pro rovnoměrně namáhaný panel vypočteny normálové složky napětí σ x = 11,667 MPa a σ z = 18,333 MPa. O smykovém napětí se v tomto příkladu nehovořilo, ale ze způsobu namáhání panelu je zřejmé, že vodorovná a svislá vlákna zůstala navzájem kolmá, smyková deformace γ xz je tudíž nulová a smykové napětí τ xz je také nulové. Jelikož je panel namáhán rovnoměrně, složky napětí mají stejné hodnoty ve všech jeho bodech. Příklad plošky pootočené vůči vodorovnému směru o 30 po hodinových ručičkách je nakreslen na obr Normála k takové plošce je vůči vodorovné ose x pootočená o úhel α = 10 po ručičkách. Složky napětí na dané plošce se po dosazení příslušných hodnot do vzorců (7.89) (7.90) vypočtou jako σ x = σ x + σ z + σ x σ z cos α + τ xz sin α = 11, ,333 11,667 18,333 = + cos 40 = 16,667 [MPa] (7.9) τ xz = σ x σ z sin α + τ xz cos α = 11,667 18,333 = sin 40 =,887 [MPa] (7.93) Na uvažované plošce tedy vzniká normálové napětí 16,667 MPa a smykové napětí,887 MPa. Kladné znaménko normálového napětí znamená, že se jedná o tah. Abychom správně interpretovali znaménko smykového napětí, je třeba si představit pootočené osy x a z podle obrázku. Na plošce s vnější normálou x působí smykové napětí proti ose z, protože hodnota τ xz vyšla záporná. Zamysleme se ještě nad tím, jaký vliv má na výsledek výpočtu volba orientace osy x. Při výpočtu jsme si představovali kladnou orientaci této osy doleva dolů (viz obr. 7.13) a úhel α jsme proto dosazovali jako 10. Místo toho bychom si ale mohli představit osu x kladně orientovanou doprava nahoru a odpovídající úhel α by pak byl 300. Vypočtené napětí by se ovšem nezměnilo, protože při změně α o 180 se α změní o 360 a tudíž hodnoty cos α a sin α zůstanou beze změny.

5 154 KAPITOLA 7. STĚNA ROVINNÁ NAPJATOST 7.3. Mohrova kružnice Pokud v některém bodě stěny známe hodnoty složek napětí σ x, σ z a τ xz vzhledem k základní soustavě souřadnic (obvykle s vodorovnou osou x a svislou osou z), můžeme v tomtéž bodě pomocí transformačních vzorců (7.89) (7.91) určit složky napětí vzhledem k soustavě souřadnic pootočené o úhel α. Napětí σ x a τ xz představují normálovou a smykovou složku napětí vznikajícího na plošce, jejíž normála se od vodorovného směru odchyluje o úhel α. Pokud úhel α postupně měníme od 0 do 180 (tedy v obloukové míře od 0 do π), mění se i odpovídající hodnoty napětí. Kdybychom pro každou možnou hodnotu úhlu α vypočítali odpovídající kombinaci normálového a smykového napětí a vynesli ji do roviny jako bod o souřadnicích (σ x,τ xz), vyplnily by všechny takové body jistou kružnici, které se říká Mohrova kružnice. Toto tvrzení se nejlépe dokáže pomocí geometrické konstrukce znázorněné na obr (a) (b) τ' xz τ' xz P P τ xz C O σ x+ σ z A σ x -σ z B τ xz σ' x σ x -σ z sin α O σ x+ σ z A σ x -σ z α α D' cos α D R α R' τ xz sin α τ xz cos α σ' x Q Obrázek 7.14: Geometrické úvahy vedoucí k Mohrově kružnici Nejprve se podívejme, jak podle vzorců (7.89) (7.90) sestrojit body Mohrovy kružnice odpovídající extrémním případům α = 0 a α = Pro α = 0 je cos α = 1 a sin α = 0, takže podle vzorce (7.89) získáme σ x tak, že sečteme (σ x +σ z )/ a (σ x σ z )/. Výsledek je podle očekávání σ x, ale pro účely grafické interpretace budeme s jednotlivými členy na pravé straně (7.89) zacházet zvlášť. Vodorovnou souřadnici hledaného bodu Mohrovy kružnice získáme tak, že se z počátku souřadnic O posuneme doprava o (σ x + σ z )/, tedy do bodu označeného na obr. 7.14a jako bod A, a poté znovu doprava o (σ x σ z )/, do bodu B. Pokud se pak ještě posuneme nahoru o τ xz, dostaneme se do bodu označeného na obr. 7.14a symbolem P. Tento bod odpovídá kombinaci napětí σ x a τ xz, která vzniká na plošce kolmé na osu x.. Pro α = 90 je cos α = 1 a sin α = 0, takže podle vzorce (7.89) získáme σ x tak, že od (σ x + σ z )/ odečteme (σ x σ z )/. Podle (7.90) je pak τ xz rovno τ xz. Graficky to znamená, že se v obr. 7.14a nejprve posuneme z počátku souřadnic O doprava o (σ x + σ z )/, tedy opět do bodu A jako v předchozím případě, ale následně se posuneme o (σ x σ z )/ doleva, do bodu C, a nakonec o τ xz dolů, do bodu Q.

6 7.3. ANALÝZA ROVINNÉ NAPJATOSTI 155 Všimněte si, že na obr. 7.14a vznikly dva shodné pravoúhlé trojúhelníky ABP a ACQ, které mají společný vrchol A a jsou navzájem pootočené o 180. Nyní si představme, že trojúhelník ABP pootočíme kolem vrcholu A po ručičkách o úhel α. Tím vznikne trojúhelník ADR, vyznačený na obr. 7.14b. Ukážeme, že vodorovná souřadnice bodu R odpovídá výrazu na pravé straně (7.89) a svislá souřadnice výrazu na pravé straně vztahu (7.90). Délka úsečky OA je totiž (σ x + σ z )/, což odpovídá prvnímu členu na pravé straně vztahu (7.89). Úsečka AD je průmětem odvěsny AD pod úhlem α, takže její délka je rovna délce odvěsny AD vynásobené cos α. Úsečka D R je pak průmětem odvěsny DR pod úhlem 90 α, takže její délka je rovna délce odvěsny DR vynásobené sin α. Podobně lze ukázat, že svislou souřadnici bodu R můžeme chápat jako rozdíl mezi průmětem odvěsny DR do svislého směru (tedy pod úhlem α) a průmětu odvěsny AD do svislého směru (tedy pod úhlem 90 α), což přesně odpovídá členům na pravé straně (7.90). τ' xz T 1 σ x+ σ z ρ M R A H H 1 σ' x D T Obrázek 7.15: Mohrova kružnice Jestliže úhel α měníme od 0 do 180, mění se jeho dvojnásobek od 0 do 360 a odpovídající bod R se podle obr pohybuje v rovině (σ x,τ xz) po Mohrově kružnici se středem v bodu A. Poloměr Mohrovy kružnice ρ M = (σx σ z ) + τ xz (7.94) odpovídá délce přepony AR trojúhelníka ADR, který je shodný s trojúhelníkem ABP a má odvěsny o délkách (σ x σ z )/ a τ xz Hlavní napětí Hlavní napětí určená z Mohrovy kružnice Ukázali jsme, že pokud v jistém bodě stěny známe složky napětí vyjádřené vůči jedné pevně zvolené soustavě souřadnic, můžeme sestrojit Mohrovu kružnici, která plně charakterizuje rovinnou napjatost v daném materiálovém bodě. Každý bod Mohrovy kružnice odpovídá kombinaci normálového a smykového napětí vznikající na jedné z myšlených plošek procházejících tímto materiálovým bodem. Zabývejme se nyní otázkou, na které z těchto plošek vzniká největší tahové napětí a jaká je jeho velikost. Vzhledem k tomu, že při konstrukci Mohrovy kružnice hraje normálové napětí roli vodorovné

7 156 KAPITOLA 7. STĚNA ROVINNÁ NAPJATOST souřadnice, pohybují se hodnoty normálového napětí na všech ploškách v intervalu určeném průsečíky Mohrovy kružnice s vodorovnou osou, tedy body H a H 1 vyznačenými na obr Vodorovné souřadnice těchto bodů jsou σ min = σ x + σ z (σx σ z ) + τ xz (7.95) a σ max = σ (σx ) x + σ z σ z + + τxz (7.96) a normálová napětí na všech ploškách se pohybují v intervalu mezi těmito extrémními hodnotami. První člen na pravé straně (7.95) a (7.96) odpovídá souřadnici středu Mohrovy kružnice a od něj je pak odečten nebo je k němu přičten poloměr ρ M daný vzorcem (7.94). PŘÍKLAD 7.5 Při analýze stěny metodou konečných prvků, založené na předpokladu lineárně pružného chování materiálu, bylo zjištěno, že v nejvíce namáhaném bodu stěny vznikají normálová napětí σ x = 6 MPa, σ z = MPa a τ xz = 3 MPa. Posuďte, zda se při takovém namáhání může materiál skutečně chovat pružně, pokud je jeho tahová pevnost f t = 4 MPa. Řešení: Pružné chování přichází v úvahu pouze, pokud vypočtené normálové napětí v žádném směru nepřekročí tahovou pevnost. Proto určíme maximální hodnotu normálového napětí (maximum přes všechny směry v dané rovině xz) a porovnáme ji s tahovou pevností. Maximální normálové napětí σ max je větší z hlavních napětí a určíme ho podle vzorce (7.96). Po dosazení hodnot napětí v megapascalech dostaneme σ max = σ x + σ z = 6 + (σx ) σ z + + τxz = ( 6 ) + + ( 3) = + 5 = 3 [MPa] (7.97) Tento výsledek znamená, že napětí vypočtené podle pružnosti v žádném směru nepřekročí hodnotu 3 MPa, která je menší než uvedené tahová pevnost materiálu (4 MPa). Předpoklad lineárně pružného chování tedy může být oprávněný. Abychom mohli spolehlivě říci, zda tomu tak skutečně je, museli bychom mít podrobnější informace o chování daného materiálu. Obecně totiž může dojít nejen k porušení tahem, ale i tlakem, smykem apod. Z Mohrovy kružnice je možné odvodit nejen hodnoty hlavních napětí, ale i další důležité charakteristiky daného stavu napětí. Podle obr je například zřejmé, že na ploškách, na kterých vznikají extrémní normálová napětí, nepůsobí žádná smyková napětí (protože odpovídající body H a H 1 leží na ose σ x a jejich svislé souřadnice, mající význam smykového napětí τ xz, jsou nulové. Extrémní normálová napětí σ max a σ min najdeme na dvou navzájem kolmých ploškách, jejichž polohu vůči základním osám x a z je také možné určit z úvah vedoucích k Mohrově kružnici, konkrétně z obr. 7.14b. Aby se bod R ocitl v Mohrově zobrazení v bodu H 1 na vodorovné ose (na kterou se vynáší normálové napětí), musí úhel α odpovídat vrcholovému úhlu trojúhelníka ADR ležícímu u vrcholu A. Tangenta tohoto úhlu tedy musí být rovna podílu protilehlé odvěsny DR a přilehlé odvěsny AD, což vede na podmínku tan α 1 = τ xz (7.98) σ x σ z

8 7.3. ANALÝZA ROVINNÉ NAPJATOSTI 157 ze které lze snadno vyjádřit α 1 = 1 arctan τ xz σ x σ z (7.99) Symbolem α 1 jsme zde označili tu konkrétní hodnotu úhlu α, které odpovídá bod Mohrovy kružnice ležící na vodorovné ose a označený na obr jako H 1. Pokud tento úhel zvětšíme o 90, jeho dvojnásobek se zvětší o 180 a odpovídajícím bodem Mohrovy kružnice bude bod H. Osy x a z pootočené vůči původním osám x a z o úhel α po ručičkách jsou takzvané hlavní osy napětí. Na ploškách kolmých na tyto osy vznikají extrémní normálová napětí σ max a σ min, kterým se říká hlavní napětí a v této souvislosti se označují σ 1 a σ. Pro pořádek poznamenejme, že při konstrukci výchozího trojúhelníku ABP na obr. 7.14a jsme mlčky použili jisté předpoklady, které nejsou vždy splněny. Tento trojúhelník totiž má tvar zachycený na obrázku pouze, pokud platí σ x > σ z a τ xz > 0. V takovém případě je zlomek na pravé straně rovnice (7.98) kladný a hodnota úhlu α 1 vypočtená podle (7.99) vyjde mezi 0 a 45. Skutečně pak platí, že při pootočení původních souřadnicových os o úhel α 1 po ručičkách najdeme ve směru osy x normálové napětí odpovídající σ max. Pokud by bylo σ x > σ z, ale τ xz 0, ocitne se bod P vyznačený na obr. 7.14a pod vodorovnou osou, ale stále napravo od bodu A. Úhel α 1 pak vyjde mezi 45 a 0 a pootočení souřadnicových os bude potřeba provést proti ručičkám, nicméně ve směru osy x opět najdeme normálové napětí odpovídající σ max. Situace se ale změní, pokud je σ x < σ z. Bod P se pak ocitne nalevo od bodu A a při pootočení souřadnicových os o úhel α 1 vypočtený podle (7.99) se odpovídající bod Mohrovy kružnice ocitne v poloze H namísto H 1. Normálové napětí na plošce kolmé na osu x pak bude odpovídat σ min místo σ max. Tyto úvahy vypadají komplikovaně, ale výsledek lze shrnout celkem jednoduše: Hlavní osy napětí můžeme vždy získat tím, že původní osy pootočíme o úhel α 1 vypočtený podle vzorce (7.99). Tento úhel vždy vyjde mezi 45 a 45. Na ploškách kolmých na takto pootočené osy působí hlavní napětí σ max a σ min, přičemž větší z nich najdeme na plošce odpovídající té ose, pro kterou bylo pro původní polohu os normálové napětí větší. Jinými slovy, jestliže pro normálová napětí vůči původním osám platilo σ x > σ z, pak najdeme σ max na plošce kolmé na hlavní osu x, v opačném případě najdeme σ max na plošce kolmé na hlavní osu z. Speciální situace nastává, pokud je σ x = σ z, protože pak se ve zlomku na pravé straně rovnice (7.99) objeví nula. Zde je potřeba rozlišit ještě dva případy. 1. Jestliže je smykové napětí τ xz nulové, pak se Mohrova kružnice redukuje na jediný bod a úhel α 1 není určen jednoznačně. Na libovolně natočené plošce je pak smykové napětí nulové a normálové napětí je rovno původnímu σ x. V takovém případě každá dvojice navzájem kolmých os může hrát roli hlavních os napětí.. Jestliže je smykové napětí τ xz nenulové, pak se trojúhelník ADR redukuje na úsečku AR, protože délka odvěsny AD je nulová a bod D splývá se středem Mohrovy kružnice, tedy bodem A. V základní poloze je úsečka AP na obr. 7.14a svislá a při pootočení o 90 se ocitne ve vodorovné poloze. Úhel α 1 je tedy roven 45, což zároveň odpovídá limitnímu případu, kdy se na pravé straně rovnice (7.98) hodnota zlomku blíží nekonečnu. Pokud je τ xz > 0, bude po pootočení souřadnicových os o 45 po ručičkách působit větší z hlavních napětí, tedy σ max, ve směru osy x, zatímco menší z hlavních napětí, tedy σ min, bude působit ve

9 158 KAPITOLA 7. STĚNA ROVINNÁ NAPJATOST směru osy z. Pokud je však τ xz < 0, bude tomu naopak, tj. σ max bude působit ve směru osy z a σ min ve směru osy x. Na základě provedeného rozborů různých případů lze formulovat následující pravidla pro určení úhlu α max, o nějž je třeba pootočit osu x, chceme-li získat tu hlavní osu napětí, která odpovídá většímu z hlavních napětí: 1 arctan τ xz pokud σ x > σ z σ x σ z 1 α max = arctan τ xz + 90 pokud σ x < σ z σ x σ (7.100) z 45 pokud σ x = σ z a τ xz > 0 45 pokud σ x = σ z a τ xz < 0 Připomeňme, že pokud úhel α max vychází kladný, otáčíme osy po ručičkách, v opačném případě proti ručičkám. Ve speciálním případě, kdy σ x = σ z a τ xz = 0, nejsou hlavní osy napětí určeny jednoznačně (každá dvojice navzájem kolmých os může hrát roli hlavních os napětí) a úhel α max lze volit zcela libovolně. Ukázali jsme, že za rovinné napjatosti se normálová napětí na libovolně natočených ploškách procházejících daným materiálovým bodem (a kolmým na střednicovou rovinu) pohybují v intervalu od σ min do σ max, kde σ min je menší z hlavních napětí a σ max je větší z hlavních napětí. Podívejme se nyní, jak je to se smykovou složkou napětí. Při konstrukci Mohrovy kružnice hraje smykové napětí τ roli svislé souřadnice, takže extrémních hodnot τ min a τ max je dosaženo v nejníže a nejvýše položených bodech Mohrovy kružnice. Na obr jsou tyto body označeny jako T 1 a T a jejich vzdálenost od vodorovné osy odpovídá poloměru Mohrovy kružnice ρ M. Pro tento poloměr jsme již odvodili vztah (7.94), který nyní stačí přepsat jako τ max = (σx σ z ) + τ xz (7.101) Speciální výraz pro τ min není zapotřebí, protože se od τ max liší pouze znaménkem. Navíc u smykového napětí hraje roli zejména jeho absolutní hodnota. Znaménko smykového napětí určuje jeho orientaci, ale pokud například porovnáváme smykové napětí se smykovou pevností, na znaménku nezáleží. Použití odvozených vzorců pro výpočet extrémních napětí a určení polohy hlavních os napětí předvedeme na následujícím příkladu. PŘÍKLAD 7.6 Proveďte podrobnou analýzu rovinné napjatosti charakterizované složkami napětí uvedenými v příkladu 7.5. Sestrojte příslušnou Mohrovu kružnici, určete polohu hlavních os napětí a zjistěte, na jak natočených ploškách vzniká extrémní smykové napětí a jak je velké. Řešení: V příkladu 7.5 byly zadány složky napětí σ x = 6 MPa, σ z = MPa a τ xz = 3 MPa, které jsou graficky znázorněny na obr. 7.16b. Mohrova kružnice odpovídající takovému stavu napětí má střed v bodu, jehož svislá souřadnice je nulová a vodorovná souřadnice je σ x + σ z = 6 + = [MPa] (7.10) Poloměr Mohrovy kružnice určíme podle vzorce (7.94) jako (σx ) σ ( 6 ) z ρ M = + τxz = + ( 3) = 5 [MPa] (7.103)

10 7.3. ANALÝZA ROVINNÉ NAPJATOSTI 159 Na základě těchto údajů snadno sestrojíme Mohrovu kružnici vykreslenou na obr. 7.16a. Plošce kolmé na osu x odpovídá na Mohrově kružnici bod P o souřadnicích σ = σ x = 6 MPa a τ = τ xz = 3 MPa. Plošce kolmé na osu z odpovídá na Mohrově kružnici bod Q o souřadnicích σ = σ z = MPa a τ = τ zx = 3 MPa. Mohrova kružnice protíná vodorovnou osu v bodech, které odpovídají ploškám kolmým na hlavní osy napětí. Na těchto ploškách vznikají extrémní hodnoty normálových napětí, tedy hlavní napětí σ 1, = ± 5 MPa. Hodnota největšího hlavního napětí, σ max = 3 MPa, souhlasí s výsledkem příkladu 7.5 a nejmenší hlavní napětí je σ min = 7 MPa. Poloměr Mohrovy kružnice ρ M zároveň odpovídá maximálnímu smykovému napětí τ max = 5 MPa. (a) (b) (c) (d) (e) τ τ max x z' α max =108 o -τ zx Q z σ max σ min σ x z τxzσ P τ min σ max σ x' τ max σ min Obrázek 7.16: (a) Mohrova kružnice odpovídající stavu napětí zkoumanému v příkladech , (b) poloha základních os x a z a složky napětí vůči těmto osám, (c) poloha hlavních os napětí a natočení elementárního dílku, při kterém na jeho stěny působí extrémní normálová napětí, (d) natočení elementárního dílku, při kterém na jeho stěny působí extrémní smyková napětí, (e) názorné určení správné orientace extrémního smykového napětí Prozkoumejme nyní, na jak natočených ploškách extrémní hodnoty napětí vznikají. Extrémní normálová napětí, σ max a σ min, působí na ploškách kolmých na hlavní osy napětí. Natočení těchto os vůči základní soustavě souřadnic určíme podle (7.106). Jelikož ve zkoumaném případě je σ x < σ z, použijeme vzorec z druhého řádku (7.106) a vypočteme α max = 1 arctan τ xz + 90 = 1 ( 3) arctan σ x σ z = = 1 arctan 0, = 1 36, = 108,435 (7.104) Největší hlavní napětí (extrémní tah) tedy vzniká na plošce kolmé na osu x, která je vůči původní vodorovné ose x pootočená o cca 108 po ručičkách. Se svislicí svírá tato hlavní osa úhel asi 18. Nejmenší hlavní napětí (extrémní tlak) vzniká na plošce kolmé na osu z, která je vůči původní svislé ose z pootočená také o cca 108 po ručičkách. Hlavní osy napětí jsou vykresleny na obr. 7.16c, kde je také znázorněn elementární dílek se stěnami kolmými na hlavní osy a příslušná hlavní napětí. Na stěnách takto natočeného elementárního dílku působí pouze normálová napětí a smykové napětí je na nich

11 160 KAPITOLA 7. STĚNA ROVINNÁ NAPJATOST nulové. Extrémní smyková napětí τ max najdeme na ploškách, které s hlavními osami svírají úhly 45, viz obr. 7.16d. Orientaci těchto napětí bychom mohli určit úvahami o Mohrově kružnici, ale nejjednodušší je vycházet z názoru a představit si čtvercový elementární dílek z obr. 7.16c rozříznutý podél jedné diagonály, jak je naznačeno na obr. 7.16e. Kolmo na odvěsny vzniklého pravoúhlého rovnostranného trojúhelníka působí hlavní napětí a rovnoběžně s přeponou působí extrémní smykové napětí, jehož orientace musí být taková, aby byla splněna silová podmínka rovnováhy uvažovaného trojúhelníkového dílku zapsaná ve směru přepony. Hlavní napětí určená jako vlastní čísla matice Odvození vzorců (7.95) (7.96) pro výpočet hlavních napětí bylo založeno na geometrických úvahách souvisejících s Mohrovou kružnicí. Zajímavé je, že ke stejným vzorcům lze dospět alternativním postupem na základě zkoumání vlastních čísel čtvercové matice, do které uspořádáme složky napětí. Na diagonále této matice se ocitnou normálová napětí a mimo diagonálu smyková napětí. Matice složek napětí má tedy v případě rovinné napjatosti tvar ( ) σx τ σ = xz (7.105) τ zx Připomeňte si, jak byla v matematice definována vlastní čísla čtvercové matice A. Číslo λ je vlastním číslem matice A, pokud po odečtení hodnoty λ od všech diagonálních prvků matice A získáme singulární matici, neboli matici s nulovým determinantem. Vlastní čísla tedy lze určit řešením rovnice σ z det(a λi) = 0 (7.106) kde I označuje jednotkovou matici. Po rozepsání výrazu pro determinant se ukáže, že levá strana rovnice (7.106) je vzhledem k proměnné λ polynomem, jehož koeficienty závisejí na prvcích matice A. Stupeň tohoto polynomu je roven počtu řádků (a zároveň počtu sloupců) matice A. Při výpočtu hlavních napětí za rovinné napjatosti hledáme vlastní čísla matice σ, která mají význam napětí, a proto je označíme symbolem σ místo λ. Rovnici det(σ σi) = 0 přepíšeme jako ( ) σx σ τ det xz = 0 (7.107) σ z σ τ zx a po rozepsání výrazu pro determinant čtvercové matice formátu ji upravíme na tvar (σ x σ)(σ z σ) τ xz τ zx = 0 (7.108) Složky napětí σ x, σ z, τ xz a τ zx jsou považovány za známé, takže se jedná o kvadratickou rovnici pro neznámou σ, kterou s využitím vztahu τ xz = τ zx zapíšeme jako σ (σ x + σ z )σ + σ x σ z τ xz = 0 (7.109) Podle známého vzorce pro řešení kvadratické rovnice pak získáme dvě řešení σ 1, = σ x + σ z ± (σ x + σ z ) 4(σ x σ z τ xz) = σ x + σ z ± (σx σ z ) + τ xz (7.110)

12 7.3. ANALÝZA ROVINNÉ NAPJATOSTI 161 Jak je vidět, výsledek přesně odpovídá vztahům (7.95) (7.96) pro extrémní napětí σ min a σ max. To samozřejmě není náhoda, ale podrobné zdůvodnění zde provádět nebudeme. PŘÍKLAD 7.7 Pro konkrétní hodnoty složek napětí zadané v příkladu 7.5 ověřte, že hlavní napětí jsou skutečně vlastními čísly matice složek napětí σ. Řešení: V příkladu 7.5 byly zadány složky napětí σ x = 6 MPa, σ z = MPa a τ xz = 3 MPa a v příkladu 7.6 byla vypočtena odpovídající hlavní napětí σ 1 = σ max = 3 MPa a σ = σ min = 7 MPa. Pro zjednodušení zápisu budeme nadále všechna napětí dosazovat v MPa a jednotky vynecháme. Po odečtení σ 1 od diagonálních prvků matice složek napětí dostaneme σ σ 1 I = ( σx σ 1 τ xz τ zx σ z σ 1 ) = ( ) ( ) 9 3 = = (7.111) 3 1 Vidíme, že první řádek výsledné matice je trojnásobkem druhého, takže řádky nejsou lineárně nezávislé a matice je singulární. Její determinant se vypočte jako ( 9) ( 1) ( 3) ( 3) a jeho hodnota je skutečně nulová. Podobně po odečtení σ od diagonálních prvků matice složek napětí dostaneme ( ) ( ) ( ) σx σ σ σ I = τ xz 6 ( 7) = = = τ zx σ z σ 3 ( 7) 3 9 (7.11) V tomto případě je druhý řádek roven mínus trojnásobku prvního a matice je opět singulární. V předchozím výkladu jsme předvedli dva alternativní přístupy k určování hlavních napětí. Nejprve jsme hlavní napětí definovali jako extrémní (maximální a minimální) hodnoty normálového napětí a vzorce pro jejich výpočet jsme odvodili pomocí geometrických úvah využívajících Mohrovu kružnici. Poté jsme ukázali, že ke stejnému výsledku dospějeme, pokud hledáme vlastní čísla čtvercové matice σ, do které uspořádáme složky napětí. Přemýšlivý student si jistě položil otázku, jaká je mezi oběma přístupy souvislost a proč vedou ke stejným vzorcům pro výpočet hlavních napětí. Tuto souvislost nyní objasníme a ukážeme, proč vlastní čísla matice σ odpovídají extrémním hodnotám normálového napětí. Vyjdeme z úvahy o tom, že místo geometrické konstrukce bychom extrémní hodnoty normálového napětí mohli hledat jako maximum a minimum funkce popisující závislost normálového napětí σ x ve směru obecné osy x na úhlu, který tato osa svírá s danou souřadnicovou osou x. Pro pevně zvolené hodnoty složek napětí σ x, σ z a τ xz je napětí σ x funkcí úhlu α, danou předpisem (7.89). Tato funkce f(α) = σ x + σ z + σ x σ z je spojitě diferencovatelná a její derivaci snadno vyjádříme jako cos α + τ xz sin α (7.113) df(α) dα = (σ x σ z ) sin α + τ xz cos α (7.114) Všechny možné směry osy x jsou popsány, pokud úhel α měníme mezi 0 a 180, takže bychom měli extrémy funkce f hledat na intervalu [0,π). Jelikož je ale vyšetřovaná funkce periodická s periodou π, není třeba věnovat speciální pozornost krajním bodům tohoto intervalu a stačí vyšetřit ty body, ve kterých má funkce f nulovou derivaci. Podmínka nulové derivace je splněna pro ty úhly α, pro které (σ x σ z ) sin α = τ xz cos α (7.115)

13 16 KAPITOLA 7. STĚNA ROVINNÁ NAPJATOST Za předpokladu, že σ x σ z, je rovnost (7.115) splněna pro α = 1 arctan τ xz σ x σ z + kπ (7.116) kde k je libovolné celé číslo. Ve zvláštním případě, kdy σ x = σ z, je rovnost (7.115) splněna pro α = π/4+kπ/. Tím jsme ověřili platnost vzorců (7.106) pro výpočet polohy hlavních os napětí, ale výpočet hlavních napětí dosazením (7.116) do (7.113) by vedl ke zbytečně komplikovaným vzorcům. Abychom získali použitelné výrazy pro extrémní hodnoty funkce f (tedy pro hlavní napětí), celý postup ještě upravíme. Místo úhlu α popíšeme polohu pootočené osy x pomocí složek jednotkového vektoru n, který určuje směr této osy. Složky vektoru n, označené n x a n z, odpovídají kosinům úhlů, které pootočená osa x svírá se základními osami x a z. Platí proto n x = cos α a n z = cos(90 α) = sin α a transformační vzorec pro normálové napětí σ x můžeme použít v jeho původní podobě (7.84). Místo funkce f proměnné α pak uvažujeme funkci g(n x,n z ) = σ x n x + τ xz n x n z + σ z n z (7.117) Při hledání jejích extrémů ovšem nemůžeme použít zcela libovolné kombinace hodnot n x a n z, ale jen ty, které splňují omezující podmínku n x + n z = 1 (7.118) Tím je vyjádřena skutečnost, že vektor o složkách n x a n z je jednotkový (jinak bychom nemohli interpretovat n x jako cos α a n z jako sin α). Naším úkolem je tedy najít extrémy funkce g dané předpisem (7.117) při splnění omezující podmínky (7.118). Jedná se o úlohu na vázaný extrém funkce více proměnných, kterou lze řešit technikou založenou na Lagrangeově multiplikátoru λ. Z matematiky je známo, že při hledání extrému funkce g(n x,n z ) na množině všech dvojic (n x,n z ) splňujících podmínku h(n x,n z ) = 0 je výhodné zavést pomocnou funkci G(n x,n z,λ) = g(n x,n z ) λh(n x,n z ) (7.119) kde λ je pomocná proměnná, zvaná Lagrangeův multiplikátor. Pokud pro jistou dvojici (n x,n z ) nastává vázaný extrém původní funkce g, pak musí existovat taková hodnota λ, pro kterou jsou všechny parciální derivace pomocné funkce G vyhodnocené pro (n x,n z,λ) nulové. Hledání vázaných extrémů původní funkce g je tedy převedeno na hledání stacionárních bodů pomocné funkce G, tj. těch bodů, ve kterých vymizí parciální derivace G/ n x, G/ n z a G/ λ. Vzhledem k tomu, že funkce G je definována předpisem (7.119), lze podmínky stacionarity přepsat pomocí původních funkcí g a h jako g(n x,n z ) = λ h(n x,n z ) n x n z (7.10) g(n x,n z ) = λ h(n x,n z ) n z n z (7.11) h(n x,n z ) = 0 (7.1) Tím získáme soustavu tří rovnic pro tři neznámé, n x, n z a λ. Tato soustava obecně může mít více řešení, mezi nimiž musejí být hledané vázané extrémy. Stačí tedy najít všechna řešení soustavy (7.10) (7.1) a zjistit, pro které z nich nabývá funkce g největší hodnoty a pro které nabývá nejmenší hodnoty. V našem případě je funkce g dána předpisem (7.117) a omezující podmínku (7.118) lze zapsat ve tvaru h(n x,n z ) = 0, jestliže funkci h definujeme předpisem h(n x,n z ) = n x + n z 1 (7.13) Po dosazení konkrétního tvaru funkcí g a h do podmínek (7.10) (7.1) získáme následující soustavu rovnic: σ x n x + τ xz n z = λn x (7.14) τ xz n x + σ z n z = λn z (7.15) n x + n z 1 = 0 (7.16)

14 7.3. ANALÝZA ROVINNÉ NAPJATOSTI 163 Pro pevně zvolenou hodnotu Lagrangeova multiplikátoru λ představují rovnice (7.14) (7.15) homogenní soustavu dvou lineárních algebraických rovnic s neznámými n x a n z. Po vydělení obou rovnic dvěma a přepisu do maticové podoby můžeme výsledný problém zapsat ve tvaru ( ) ( ) ( ) σx λ τ xz nx 0 = (7.17) σ z λ 0 τ xz Tato soustava má vždy triviální řešení n x = n z = 0, které však nesplňuje omezující podmínku (7.16). Proto nás zajímá pouze netriviální řešení, které existuje právě tehdy, když je matice na levé straně rovnice (7.17) singulární. Tento případ nastává, pokud je λ vlastním číslem matice složek napětí. Jak již víme, taková vlastní čísla jsou obecně dvě (ve speciálním případě mohou splývat) a jsou dána vzorcem (7.110). Pro každé z nich můžeme najít odpovídající n x a n z jako složky normovaného vlastního vektoru. Provedená analýza ukazuje, že při hledání maximálního a minimálního normálového napětí jako vázaného extrému dospějeme k problému vlastních čísel matice složek napětí, ale stále není zřejmé, proč jsou hledané extrémní hodnoty přímo rovny vlastním číslům. Zatím jsme jen zjistili, že jednomu z vlastních čísel musí být roven Lagrangeův multiplikátor vypočtený ze soustavy rovnic (7.10) (7.1). Označme vlastní čísla matice σ jako σ 1 a σ a uvažujme případ, kdy λ = σ 1. Odpovídající hodnoty n x a n z označíme n 1x a n 1z a vyhodnotíme funkci g. Funkční předpis (7.117) můžeme přepsat jako n z g(n x,n z ) = n x (σ x n x + τ xz n z ) + n z (τ xz n x + σ z n z ) = (7.18) a po dosazení hodnot n x = n 1x a n z = n 1z a uvážení vztahů σ x n 1x + τ xz n 1z = σ 1 n 1x a τ xz n 1x + σ z n 1z = σ 1 n z zjistíme, že g(n 1x,n 1z ) = n 1x σ 1 n 1x + n 1z σ 1 n 1z = (n 1x + n 1z)σ 1 = σ 1 (7.19) Obdobně se ukáže, že pokud n x a n z je řešení rovnic (7.10) (7.1) sestrojené pro λ = σ, pak g(n x,n z ) = σ. Z toho už pak přímo plyne, že maximální hodnota funkce g je rovna většímu z vlastních čísel σ 1 a σ a minimální hodnota funkce g je rovna menšímu z těchto čísel. Tím je dokázáno, že vlastní čísla matice složek napětí představují extrémní hodnoty normálového napětí a tudíž jsou obě definice hlavních napětí ekvivalentní.

16. Matematický popis napjatosti

16. Matematický popis napjatosti p16 1 16. Matematický popis napjatosti Napjatost v bodě tělesa jsme definovali jako množinu obecných napětí ve všech řezech, které lze daným bodem tělesa vést. Pro jednoznačný matematický popis napjatosti

Více

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c )

OHYB (Napjatost) M A M + qc a + b + c ) M A = 2M qc a + b + c ) 3.3 Řešené příklady Příklad 1: Pro nosník na obrázku vyšetřete a zakreslete reakce, T (x) a M(x). Dále určete M max a proveďte dimenzování pro zadaný průřez. Dáno: a = 0.5 m, b = 0.3 m, c = 0.4 m, d =

Více

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost

Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Obecný Hookeův zákon a rovinná napjatost Základní rovnice popisující napěťově-deformační chování materiálu při jednoosém namáhání jsou Hookeův zákon a Poissonův zákon. σ = E ε odtud lze vyjádřit také poměrnou

Více

4. Napjatost v bodě tělesa

4. Napjatost v bodě tělesa p04 1 4. Napjatost v bodě tělesa Předpokládejme, že bod C je nebezpečným bodem tělesa a pro zabránění vzniku mezních stavů je m.j. třeba zaručit, že napětí v tomto bodě nepřesáhne definované mezní hodnoty.

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky 6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +, Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

b) Maximální velikost zrychlení automobilu, nemají-li kola prokluzovat, je a = f g. Automobil se bude rozjíždět po dobu t = v 0 fg = mfgv 0

b) Maximální velikost zrychlení automobilu, nemají-li kola prokluzovat, je a = f g. Automobil se bude rozjíždět po dobu t = v 0 fg = mfgv 0 Řešení úloh. kola 58. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie A Autoři úloh: J. Thomas, 5, 6, 7), J. Jírů 2,, 4).a) Napíšeme si pohybové rovnice, ze kterých vyjádříme dobu jízdy a zrychlení automobilu A:

Více

Kapitola 4. Tato kapitole se zabývá analýzou vnitřních sil na rovinných nosnících. Nejprve je provedena. Každý prut v rovině má 3 volnosti (kap.1).

Kapitola 4. Tato kapitole se zabývá analýzou vnitřních sil na rovinných nosnících. Nejprve je provedena. Každý prut v rovině má 3 volnosti (kap.1). Kapitola 4 Vnitřní síly přímého vodorovného nosníku 4.1 Analýza vnitřních sil na rovinných nosnících Tato kapitole se zabývá analýzou vnitřních sil na rovinných nosnících. Nejprve je provedena rekapitulace

Více

Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady.

Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady. Pružnost a pevnost (132PRPE), paralelka J2/1 (ZS 2015/2016) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, kalkulačka (nutná), tabulka průřezových

Více

Momenty setrvačnosti a deviační momenty

Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty Momenty setrvačnosti a deviační momenty charakterizují spolu shmotností a statickými momenty hmoty rozložení hmotnosti tělesa vprostoru. Jako takové se proto vyskytují

Více

Pružnost a pevnost (132PRPE) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady. Část 1 - Test

Pružnost a pevnost (132PRPE) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady. Část 1 - Test Pružnost a pevnost (132PRPE) Písemná část závěrečné zkoušky vzorové otázky a příklady Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, kalkulačka (nutná), tabulka průřezových charakteristik, oficiální přehled

Více

Cvičení 1. Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti

Cvičení 1. Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti Cvičení 1 Napjatost v bodě tělesa Hlavní napětí Mezní podmínky ve víceosé napjatosti Napjatost v bodě tělesa Napjatost (napěťový stav) v bodě tělesa je množinou obecných napětí ve všech řezech, které lze

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému

TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE Obrázek 1: Volba souřadnicového systému Pole posunutí, deformace, napětí v materiálovém bodě {u} = { u v w } T (1) Obecně 9 složek pole napětí lze uspořádat do matice [3x3] -

Více

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.

Více

Analýza napjatosti PLASTICITA

Analýza napjatosti PLASTICITA Analýza napjatosti PLASTICITA TENZOR NAPĚTÍ Teplota v daném bodě je skalár, je to tenzor nultého řádu, který nezávisí na změně souřadného systému Síla je vektor, je to tenzor prvního řádu, v trojrozměrném

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

2.5 Rovnováha rovinné soustavy sil

2.5 Rovnováha rovinné soustavy sil Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 2.5 Rovnováha rovinné soustavy sil Rovnováha sil je stav, kdy na těleso působí více sil, ale jejich výslednice

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 = Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu

Více

3.4.2 Rovnováha Rovnováha u centrální rovinné silové soustavy nastává v případě, že výsledná síla nahrazující soustavu je rovna nule. Tedy. Obr.17.

3.4.2 Rovnováha Rovnováha u centrální rovinné silové soustavy nastává v případě, že výsledná síla nahrazující soustavu je rovna nule. Tedy. Obr.17. Obr.17. F F 1x = F.cos α1,..., Fnx = F. cos 1y = F.sin α1,..., Fny = F. sin α α n n. Původní soustava je nyní nahrazena děma soustavami sil ve směru osy x a ve směru osy y. Tutu soustavu nahradíme dvěma

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

7. CVIČENÍ. Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku:

7. CVIČENÍ. Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Sedmé cvičení bude vysvětlovat tuto problematiku: Mohrova kružnice pro rovinnou napjatost Kritéria pevnosti (pro rovinnou napjatost) Příklady MOHROVA KRUŽNICE PRO ROVINNOU NAPJATOST Rovinná, neboli dvojosá

Více

14. přednáška. Přímka

14. přednáška. Přímka 14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory 5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Autor: Vladimír Švehla

Autor: Vladimír Švehla Bulletin of Applied Mechanics 1, 55 64 (2005) 55 Využití Castiglianovy věty při výpočtu deformací staticky určité případy zatížení tahem a tlakem Autor: Vladimír Švehla České vysoké učení technické, akulta

Více

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2

6 Skalární součin. u v = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2 6 Skalární součin Skalární součin 1 je operace, která dvěma vektorům (je to tedy binární operace) přiřazuje skalár (v našem případě jde o reálné číslo, obecně se jedná o prvek nějakého tělesa T ). Dovoluje

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

7 Lineární elasticita

7 Lineární elasticita 7 Lineární elasticita Elasticita je schopnost materiálu pružně se deformovat. Deformace ideálně elastických látek je okamžitá (časově nezávislá) a dokonale vratná. Působí-li na infinitezimální objemový

Více

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018 Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf

Více

1 Extrémy funkcí - slovní úlohy

1 Extrémy funkcí - slovní úlohy 1 Extrémy funkcí - slovní úlohy Příklad 1.1. Součet dvou kladných reálných čísel je a. Určete 1. Minimální hodnotu součtu jejich n-tých mocnin.. Maximální hodnotu součinu jejich n-tých mocnin. Řešení.

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

ŠROUBOVICE. 1) Šroubový pohyb. 2) Základní pojmy a konstrukce

ŠROUBOVICE. 1) Šroubový pohyb. 2) Základní pojmy a konstrukce 1) Šroubový pohyb ŠROUBOVICE Šroubový pohyb vznikne složením dvou pohybů : otočení kolem dané osy o a posunutí ve směru této osy. Velikost posunutí je přitom přímo úměrná otočení. Konstantou této přímé

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

3. kapitola. Průběhy vnitřních sil na lomeném nosníku. Janek Faltýnek SI J (43) Teoretická část: Příkladová část: Stavební mechanika 2

3. kapitola. Průběhy vnitřních sil na lomeném nosníku. Janek Faltýnek SI J (43) Teoretická část: Příkladová část: Stavební mechanika 2 3. kapitola Stavební mechanika Janek Faltýnek SI J (43) Průběhy vnitřních sil na lomeném nosníku Teoretická část: Naším úkolem je v tomto příkladu vyšetřit průběh vnitřních sil na lomeném rovinném nosníku

Více

Derivace funkcí více proměnných

Derivace funkcí více proměnných Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,

Více

PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII

PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Funkce tangens. cotgα = = Předpoklady: B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá

Funkce tangens. cotgα = = Předpoklady: B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá 4..4 Funkce tangens Předpoklady: 40 c B a A b C Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá tgα = = b přilehlá b přilehlá cotgα = = a protilehlá Pokud chceme definici pro

Více

Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil

Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil Okruhy problémů k teoretické části zkoušky Téma 1: Základní pojmy Stavební statiky a soustavy sil Souřadný systém, v rovině i prostoru Síla bodová: vektorová veličina (kluzný, vázaný vektor - využití),

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

Derivace goniometrických funkcí

Derivace goniometrických funkcí Derivace goniometrických funkcí Shrnutí Jakub Michálek, Tomáš Kučera Odvodí se základní vztahy pro derivace funkcí sinus a cosinus za pomoci věty o třech itách, odvodí se také několik typických it pomocí

Více

55. ročník matematické olympiády

55. ročník matematické olympiády . ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě

Více

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

Pružnost a pevnost I

Pružnost a pevnost I Stránka 1 teoretické otázk 2007 Ing. Tomáš PROFANT, Ph.D. verze 1.1 OBSAH: 1. Tenzor napětí 2. Věta o sdruženosti smkových napětí 3. Saint Venantův princip 4. Tenzor deformace (přetvoření) 5. Geometrická

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: graf funkce, derivace funkce a její

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,

Více

Goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice Funkce Existují čtyři goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Výraz číslo, ze kterého je daná funkce v obecném tvaru je to x se nazývá argument. Argument může u

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom

Více

Lineární algebra : Metrická geometrie

Lineární algebra : Metrická geometrie Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních

Více

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou 1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x). Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých

Více

1.13 Klasifikace kvadrik

1.13 Klasifikace kvadrik 5 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 1.13 Klasifikace kvadrik V této části provedeme klasifikaci kvadrik. Vyšetříme všechny případy, které mohou různou volbou koeficientů v rovnici kvadriky a 11

Více

Veličiny charakterizující geometrii ploch

Veličiny charakterizující geometrii ploch Veličiny charakterizující geometrii ploch Jedná se o veličiny charakterizující geometrii průřezu tělesa. Obrázek 1: Těleso v rovině. Těžiště plochy Souřadnice těžiště plochy, na které je hmota rovnoměrně

Více

6 Samodružné body a směry afinity

6 Samodružné body a směry afinity 6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity) 4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.

Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s. 3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě

Více

ANALÝZA KONSTRUKCÍ. 5. přednáška

ANALÝZA KONSTRUKCÍ. 5. přednáška ANALÝZA KONSTRUKCÍ 5. přednáška Nosné stěny rovinná napjatost Způsoby výpočtu napjatosti: Deformační metodou Primární neznámé: posuny u(,y), v(,y) Výchozí rovnice: statické Silovou metodou Primární neznámá:

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y]. Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová

Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová 1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,

Více

APLIKACE. Poznámky Otázky

APLIKACE. Poznámky Otázky APLIKACE Následující úlohy lze zhruba rozdělit na geometrické, algebraické a úlohy popisující různé stavy v některých oblastech jiných věd, např. fyziky nebo ekonomie. GEOMETRICKÉ ÚLOHY Mezi typické úlohy

Více

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav

Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové

Více

5. Statika poloha střediska sil

5. Statika poloha střediska sil 5. Statika poloha střediska sil 5.1 Rovnoběžné sily a jejich střed Uvažujeme soustavu vzájemně rovnoběžných sil v prostoru s pevnými působišti. Každá síla má působiště dané polohovým vektorem. Všechny

Více

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ TĚŽIŠTĚ

Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/ TĚŽIŠTĚ Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 2.10 TĚŽIŠTĚ Těžiště (hmotný střed) je působiště tíhové síly působící na těleso. Těžiště zavádíme jako působiště

Více

Průmyslová střední škola Letohrad. Ing. Soňa Chládková. Sbírka příkladů. ze stavební mechaniky

Průmyslová střední škola Letohrad. Ing. Soňa Chládková. Sbírka příkladů. ze stavební mechaniky Průmyslová střední škola Letohrad Ing. Soňa Chládková Sbírka příkladů ze stavební mechaniky 2014 Tento projekt je realizovaný v rámci OP VK a je financovaný ze Strukturálních fondů EU (ESF) a ze státního

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4

Více

Seriál II.II Vektory. Výfučtení: Vektory

Seriál II.II Vektory. Výfučtení: Vektory Výfučtení: Vektory Abychom zcela vyjádřili veličiny jako hmotnost, teplo či náboj, stačí nám k tomu jediné číslo (s příslušnou jednotkou). Říkáme jim skalární veličiny. Běžně se však setkáváme i s veličinami,

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

MANUÁL K ŘEŠENÍ TESTOVÝCH ÚLOH

MANUÁL K ŘEŠENÍ TESTOVÝCH ÚLOH Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 005 MA4 MANUÁL K ŘEŠENÍ TESTOVÝCH ÚLOH Matematika rozšířená úroveň Vážení vyučující! ředmětoví koordinátoři Centra pro zjišťování výsledků vzdělávání pro

Více

Pokyny k hodnocení MATEMATIKA

Pokyny k hodnocení MATEMATIKA Pokyny k hodnocení MTEMTIK Pokyny k hodnocení úlohy Je dán číselný výraz: 6 4 8 Výraz zapište jako mocninu čísla. SPRÁVNÉ ŘEŠENÍ, resp. SPRÁVNÉ ŘEŠENÍ S TOLERNCÍ NEDOSTTEČNÉ ŘEŠENÍ, resp. 4 99 3 0, resp.3

Více

Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w

Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w Rovinná úloha v MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u,

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Funkce tangens. cotgα = = B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá.

Funkce tangens. cotgα = = B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá. 4..0 Funkce tangens c B a A b C Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá tgα = = b přilehlá b přilehlá cotgα = = a protilehlá Pokud chceme definici pro všechna x R nemůžeme

Více

Rovinné přetvoření. Posunutí (translace) TEORIE K M2A+ULA

Rovinné přetvoření. Posunutí (translace) TEORIE K M2A+ULA Rovinné přetvoření Rovinné přetvoření, neboli, jak se také často nazývá, geometrická transformace je vlastně lineární zobrazení v prostoru s nějakou soustavou souřadnic. Jde v něm o přepočet souřadnic

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

1 Veličiny charakterizující geometrii ploch

1 Veličiny charakterizující geometrii ploch 1 Veličiny charakterizující geometrii ploch Jedná se o veličiny charakterizující geometrii průřezu tělesa. Obrázek 1: Těleso v rovině. Těžiště plochy Souřadnice těžiště plochy, na které je hmota rovnoměrně

Více