Rovinná napjatost a Mohrova kružnice

Transkript

1 Rovinná napjatost a ohrova kružnice

2 Dvojosý stav napjatosti - ukák anačení orientace napětí v rovině x Na obr. vlevo dole jsou vnačen složk napětí. Kladná orientace napětí x a je v případě, že vektor směřují ven e šetřeného bodu. Kladná orientace smkového napětí x je patrná obr. vlevo dole. x 90 Pa, 30 Pa, x 40 Pa. x x x x x x V případě hodnot napětí x -0 Pa, 4 Pa, x -6 Pa b orientace vnačená na vbraném elementu vpadala následovně: x x x x

3 Dvojosý stav napjatosti - ukák anačení orientace napětí v rovině x Na obr. vlevo dole jsou vnačen složk napětí. Kladná orientace napětí x a je v případě, že vektor směřují ven e šetřeného bodu. Kladná orientace smkového napětí x je patrná obr. vlevo dole (konvence jako pro Posouvající síl). x 90 Pa, 30 Pa, x 40 Pa. V případě hodnot napětí x -0 Pa, 4 Pa, x -6 Pa b orientace vnačená na vbraném elementu vpadala následovně: x x x x x x x x x x

4 Dvojosý stav napjatosti x 90 Pa, 30 Pa, x 40 Pa x x x x Zanesení bodu A (dáno hodnotou x 90 Pa). Zanesení bodu B (dáno hodnotou 30 Pa). Z bodu A se vnese kolmo k ose bod X ve vdálenosti x (40Pa). Pokud je x kladné, vnáší se X kladným směrem os. Z bodu B se vnese kolmo k ose bod Y ve vdálenosti x (opačným směrem vůči X) Průsečík přímk XY s osou definuje střed ohrov kružnice S. Kolem bodu S se opíše kružnice procháející bod X a Y.

5 Dvojosý stav napjatosti x 90 Pa, 30 Pa, x 40 Pa Průsečík kružnice s osou (bod a ) určují hlavní napětí, tj. maximální ( ) a minimální ( ) normálové napětí ve sledovaném bodě. Z kružnice le přímo sestavit vtah pro hlavní napětí e nalosti x, a x. x + x ( + ) + x + x ( + ) V ohrově kružnici se používá termín dvojnásobný úhel. Oproti reálnému elementu otáčeném o úhel α v ohrově kružnici přímka XY rotuje o úhel α. Proto bod X repreentující napětí x je od bodu Y ( ) otočen o 80 0 namísto reálných x x Pomocí ohrov kružnice le náornit pootočení elementu tak, ab na jeho plochách působil poue hlavní napětí (tn. 0). Skutečný směr prvního hlavního napětí ískáme sestrojením úsečk procháející bod a X. Úhel mei napětím a x je α. Směr druhého hlavního napětí je dán přímkou procháející bod a Y. Úhel mei napětím a x je α. Pootočení elementu při působení hlavních napětí. x x x α α

6 Dvojosý stav napjatosti x 90 Pa, 30 Pa, x 40 Pa Pomocí ohrov kružnice le také určit napětí pro libovolný úhel α (neaměňovat s α a α ). (α) ( α ) ( + ) + ( ) cos α sin α x x + ( α ) ( ) sin α cos α x + Rotací trojúhelníku SAX kolem bodu S. x x x (α) Kupříkladu pro (α) se prvně spočítá vdálenost bodu S od počátku souřadného sstému ½( x + ) a přičte se kosinová část ½( x ) a sinová část x ½ ( x ) cosα Sα α x sinα X x S α ( x )/ A

7 Dvojosý stav napjatosti příklad Je dána rovinná napjatost v bodě A: x -80 Pa, 0 Pa, x -60 Pa a) stanovte velikost a směr hlavních napětí v bodě A b) stanovte rovinnou napjatost při maximálním smkovém napětí c) stanovte rovinnou napjatost pro element pootočen o 30 0 proti směru hod. ručiček Zanesení bodu A (dáno hodnotou x -80 Pa). Zanesení bodu B (dáno hodnotou 0 Pa). Z bodu A se vnese kolmo k ose bod X ve vdálenosti x (-60 Pa). Jelikož je x áporné, vnáší se X áporným směrem os. Z bodu B se vnese kolmo k ose bod Y ve vdálenosti x (opačným směrem vůči X) Průsečik přímk XY s osou definuje střed ohrov kružnice S. Kolem bodu S se opíše kružnice procháející bod X a Y.

8 Dvojosý stav napjatosti příklad Je dána rovinná napjatost v bodě A: x -80 Pa, 0 Pa, x -60 Pa a) stanovte velikost a směr hlavních napětí v bodě A Směr prvního hlavního napětí ískáme sestrojením úsečk procháející bod a X. Směr druhého hlavního napětí je dán přímkou procháející bod a Y. Úhel mei napětím a x je α. α Úhl α a α spočteme i x arctg, α j i x α 90 o Hlavní napětí jsou dán vtahem, x + x ( + ) ± x

9 Dvojosý stav napjatosti příklad Je dána rovinná napjatost v bodě A: x -80 Pa, 0 Pa, x -60 Pa b) stanovte rovinnou napjatost při maximálním smkovém napětí Úhl, rotující do poloh maximálních napětí le opět odvodit ohrov kružnice. Velikost maximálního smkového napětí je rovna poloměru ohrov kružnice. α α π max α α + max π max x ± + ± x max ( ) ( + )

10 Dvojosý stav napjatosti příklad Je dána rovinná napjatost v bodě A: x -80 Pa, 0 Pa, x -60 Pa c) stanovte rovinnou napjatost pro element pootočen o 30 0 proti směru hod. ručiček Napětí pro rotaci 30 o ískáme dosaením do dříve odvoených vorců. ( α ) ( + ) + ( ) cos α sin α x x + ( α ) ( ) sin α cos α x + x x Pro rovinu otočenou o adaný úhel dosadíme pro normálové napětí nejprve úhel 30 o a následně -60 o (ískáme tak normálová napětí na vájemně kolmých rovinách). V ohrově kružnici jsou opět použit dvojnásobk úhlů.

11 Příklad rovina x!!!. Určete největší normálové a smkové napětí u dřevěného nosníku obdélníkového průřeu v místě vetknutí.. Určete velikost a směr hlavního napětí v horní čtvrtině průřeu v místě vetknutí (početně a grafick). N a l m b P 6kN x P 0kN h50mm b00mm x, x x, N I N A V S I b W V

12 ) aximální normálové a smkové napětí P 6kN N hor, cel max N x, max konst l m N A x,max x P 0kN V bh / 8 3 bh / b h50mm b00mm 3V A dol,, max, horní e max, dolní I W bh h S,max Ačásti T 4 bh 8 x, x x, N I V S I b N A Neutr.osa x 0 W

13 ) Normálové a smkové napětí v horní čtvrtině průřeu P 6kN /4,N /4, all,/4 /4 N S,/ 4 (/ 4) x l m konst I A b.h/4.3h/8 části N A V I T 3bh ( /4) x( /4) / h 4 bh / 3 3 x P 0kN b 9V 8A h50mm b00mm (nebo podobnosti trojúhelníků) x, x, N x I V S I b N A

14 ohrova kružnice: 0 x 8,67 Pa, 0 Pa, x 0,45 Pa V sil 8,69Pa 0,0 Pa x 0 max, min ± 4,35Pa α,96 deg α 87,04 deg

15 Příklad q a F F m m b x a, b, c -horní hrana a, b, c -horní čtvrtina a 3, b 3, c 3 -osa prutu a 4, b 4, c 4 -dolní čtvrtina a 5, b 5, c 5 -dolní hrana g 0 knm - F 7,5 kn F 0 kn místo c je v max U daného nosníku vřešte: Statický robor, průběh N,V, Hodnot napětí ve všech třech místech (a,b,c)v každém pěti bodů -5 od všech vnitřních sil Normálová napětí sečtěte Průběh napětí vkreslete a vnačte počítanou hodnotu Vnačte polohu neutrálné os ve všech třech místech a, b, c Ve všech místech v každém bodě akreslete atížený element Ve všech místech v každém bodě spočítejte početně i grafick hlavní napětí a vkreslete polohu těmito napětími atížených elementů Ve všech místech v každém bodě spočítejte extrémní smková napětí a vkreslete polohu těmito napětími atížených elementů

16 Příklad 3 v rovině x. Určete hlavní napětí ve tužující stěně, namáhané čistým smkem.. Posuďte da nebla překročena pevnost diva v tahu f td,0 Pa. 3. Stanovte směr možných trhlin ve divu. 4. Stanovte velikost a směr extremních smkových napětí ext. x 0 0 x,5 Pa vítr

17 Příklad 3 Čistý smk: Hlavní napětí: α 0 max min α Extremní smkové napětí: min max F td,0 Pa > F td vítr

18 Příklad 4 v rovině x. Posuďte možnou alternativu, kd je divo přitíženo svislým tlakem.. Určete hlavní napětí ve tužující stěně. 3. Pevnost diva v tahu je f td,0 Pa. 4. Stanovte směr možných trhlin ve divu. 5. Stanovte velikost a směr extremních smkových napětí ext. x 0 -,0 Pa x,5 Pa tlak vítr

19 Příklad 4 Hlavní napětí: α 0 α Extremní smkové napětí: min max tlak F td,0 Pa < F td vítr