EEKTŘINA A MAGNETIZMUS XII Střídavé obvody Obsah STŘÍDAÉ OBODY ZDOJE STŘÍDAÉHO NAPĚTÍ JEDNODUHÉ STŘÍDAÉ OBODY EZISTO JAKO ZÁTĚŽ 3 ÍKA JAKO ZÁTĚŽ 5 3 KONDENZÁTO JAKO ZÁTĚŽ 6 3 SÉIOÝ OBOD 7 3 IMPEDANE 3 EZONANE 4 ÝKON E STŘÍDAÝH OBODEH 4 ŠÍŘKA PÍKU 5 TANSFOMÁTO 4 6 PAAENÍ OBOD 5 7 SHNUTÍ 7 8 AGOITMY PO ŘEŠENÍ STŘÍDAÝH OBODŮ 8 9 ŘEŠENÉ ÚOHY TÉMATIKÉ OTÁZKY 6 NEŘEŠENÉ ÚOHY 7
Střídavé obvody Zdroje střídavého napětí kapitole jsme si ukázali, že měnící se tok magnetického pole dle Faradayova zákona indukuje elektromotorické napětí Nejjednodušším zdrojem střídavého napětí je rotující cívka v magnetickém poli, indukované napětí se sinusově mění s časem Následující symbol představuje zdroj střídavého napětí: Příkladem matematického popisu zdroje střídavého napětí je funkce t () = sin ω t, () kde maximální hodnotu napětí nazýváme amplituda Napětí se pak mění v rozsahu až +, protože obor hodnot funkce sin x je interval mezi a + Graf závislosti napětí na čase je na obrázku Obr : Sinusový průběh střídavého zdroje napětí Funkce sinus je periodická v čase Znamená to, že průběh napětí v čase t je naprosto stejný jako v čase t = t + T, kde T je perioda Frekvence f je definovaná jako f = / T, její jednotkou jsou převrácené sekundy [s - ] neboli hertze [Hz] Úhlová frekvence je pak definována vztahem ω = π f Pokud zdroj střídavého napětí připojíme k obvodu, energie se sice začne ztrácet na rezistoru, oscilace však neustanou Oscilace náboje, proudu nebo napětí v tomto případě nazýváme řízené nebo vynucené kmity Po určité přechodové době bude odpovídat střídavá frekvence proudu v střídavém obvodu frekvenci řídícího napětí zdroje Proud v obvodu můžeme zapsat ( ω ϕ ) I = I sin t+, () kde proud osciluje se stejnou frekvencí jako zdroj, s amplitudou I a fází ϕ závisející na prvcích obvodu Jednoduché střídavé obvody Než se budeme podrobně věnovat obvodům, ukážeme si jednodušší případy, kdy bude zapojen pouze jeden element (rezistor, cívka nebo kondenzátor) ke zdroji sinusového napětí
ezistor jako zátěž Nejprve uvažme zapojení s rezistorem připojeným ke zdroji střídavého napětí, viz obrázek (Jak uvidíme dále, obvod s odporem odpovídá zapojení s nekonečnou kapacitou = a nulovou indukčností = ) Obr : Zapojení pouze s rezistorem Z Kirchhoffova zákona pro smyčky plyne t () () t = t () I () t =, () kde ( t) = I( t) je okamžitý pokles napětí na rezistoru Okamžitý proud na rezistoru je dán () t sinωt I () t = = = I sin ω t, () kde = a I = / je maximální proud Srovnáním rovnice () s rovnicí () zjistíme, že fázový rozdíl ϕ =, což znamená, že proud I ( t ) a napětí ( t ) jsou ve fázi, tedy nabývají minim a maxim ve stejném čase Graf časové závislosti je vynesen na obrázku nalevo Obr : Nalevo časová závislost I (t) a (t) na rezistoru Napravo fázorový diagram pro obvod s rezistorem hování proudu I ( t ) a napětí ( t) může být také znázorněno ve fázorovém diagramu, viz Obr napravo Fázor je rotující vektor s následujícími vlastnostmi: (i) délka: délka odpovídá amplitudě veličiny, (ii) úhlová rychlost: vektory rotují proti chodu hodinových ručiček úhlovou rychlostí, (iii) projekce: projekce vektoru do svislé osy odpovídá velikosti veličiny v daném čase t Fázory budeme označovat tučně, jako vektory Fázor má konstantní velikost Jeho projekce na svislou osu je sin ω t, což je rovno ( t ), tedy napětí na rezistoru v čase t 3
Stejně můžeme interpretovat fázor I pro proud rezistorem Z fázového diagramu je vidět, že jak proud, tak napětí jsou ve fázi Průměrnou hodnotu proudu během jedné periody můžeme vyjádřit jako T T I T π t I() t = I () t dt I sin tdt sin dt T = ω T = = T (3) T Proud zprůměrňováním vymizí Je to proto, že T sinωt = sinωt dt T = (4) Obdobně mohou být užitečné tyto další vzorce pro průměrné hodnoty: cos cos, T ωt = t dt T ω = T ωt ωt = t t dt T ω ω = T T ω ω T T ω ω sin cos sin cos, sin t π t = sin t dt = sin dt =, T T T cos t π t = cos t dt = cos dt = T T T Z výš uvedeného je vidět, že průměr kvadrátu proudu nezmizí: T T T π t I() t = I () t dt = I sinωtdt = I sin dt I = T T T T Pro pohodlnost pak zavádíme efektivní proud jako (5) (6) I Ief = I () t = (7) A stejným způsobem definujeme i efektivní napětí ef = () t = (8) elektrických zásuvkách je efektivní napětí ef = 3 o frekvenci f = 5 Hz (v USA =, f = 6 Hz ) ef ýkon disipovaný na rezistoru spočítáme jako který můžeme zprůměrňovat přes jednu periodu a získáme P () t = I () t () t = I () t, (9) ef ef ef ef P () t = I () t = I () t = I = = I () 4
ívka jako zátěž Uvažujme nyní obvod, kde je cívka připojena jako zátěž ke zdroji střídavého napětí, viz Obr 3 Obr 3: ívka jako zátěž Jak uvidíme dále, obvod, kde je zapojena pouze indukčnost odpovídá zapojení s nekonečnou kapacitou = a nulovým odporem = Aplikováním modifikovaného smyčkového Kirchhoffova zákona pro indukčnost získáme rovnici di t () () t = t () =, () dt z čehož plyne di t () = = sin ωt, () dt kde = Integrací rovnice dostaneme π I() t = di = sinωtdt cosωt sin ωt, = = ω ω (3) kdy jsme pro přepsání posledního výrazu využili identitu goniometrických funkcí π cosωt = sin ωt (4) Srovnáním rovnice (3) s rovnicí () zjistíme, že amplituda proudu na cívce je kde veličina I = = (5), ω X X = ω (6) je nazývána induktivní reaktance nebo induktance Její SI jednotkou je Ω, jednotka je stejná jako u odporu Na rozdíl od odporu induktance X lineárně závisí na úhlové frekvenci ω S rostoucí frekvencí tak cívka propouští méně proudu, je to dáno tím, že se rychleji mění směr proudu Na druhou stranu, induktance vymizí při velmi nízkých frekvencích Srovnáním rovnice (3) s () zjistíme, že fázový rozdíl je π ϕ =+ (7) Průběhy proudu a napětí na cívce a fázorový diagram jsou zobrazeny na obrázku 4 5
Obr 4: Nalevo závislost proudu a napětí na cívce Napravo fázorový diagram zapojení s cívkou Jak je vidět z grafů, rozdíl fází proudu I ( t ) a napětí ( t ) je ϕ = π /, maximální proud obvodem prochází, právě když napětí je již v jedné čtvrtině dalšího cyklu, můžeme proto říci: Proud na cívce je opožděn vůči napětí o π / 3 Kondenzátor jako zátěž zapojení s kondenzátorem jsou jak odpor, tak indukčnost rovny nule Schéma zapojení je na obrázku 5 Obr 5: Kondenzátor připojený ke zdroji střídavého napětí Opět vyjdeme z Kirchhofova zákona Qt () t () () t = t () =, (8) z čehož plyne Q() t = () t = () t = sin ωt, (9) kde = Můžeme rovněž zapsat rovnici pro proud dq π I() t =+ = ωcosωt = ωsin ωt+, () dt kde jsme využili identity π cosωt = sin ωt+ () Z předchozí rovnice je zřejmé, že amplituda proudu je 6
I = = () ω, X kde X = (3) ω se nazývá kapacitní reaktance, neboli kapacitance Její SI jednotkou je rovněž Ω a reprezentuje efektivní odpor zapojené kapacity šimněte si, že X je nepřímo úměrná jak ω, tak a diverguje, pokud ω jde k nule Srovnáním rovnic () a () vidíme, že fázový rozdíl je π ϕ = (4) Průběh napětí a proudu, stejně jako fázorový diagram, jsou na obrázku 6 Obr 6: Nalevo průběh napětí a proudu na kondenzátoru Napravo fázorový diagram zapojení s kondenzátorem šimněte si, že v čase t = je nulové napětí na kondenzátoru, ale proud v obvodu je maximální Proud na kondenzátoru I ( t ) dosahuje maxima před napětím ( t ) v jedné čtvrtině cyklu ( ϕ = π / ) Proto můžeme říci, že: Proud předbíhá na kondenzátoru napětí o π / 3 Sériový obvod Nechť máme sériově zapojený obvod jako na obrázku 3 Obr 3: Sériově zapojený obvod 7
Z Kirchhoffova smyčkového zákona dostáváme di Q t () () t () t () t = t () I =, (3) dt což vede na diferenciální rovnici di Q + I+ = sin ωt dt (3) Předpokládejme, že kondenzátor byl na začátku vybitý, tedy I = + dq / dt je přímo úměrný přírůstku náboje na kondenzátoru, rovnice může tedy být přepsána do tvaru Jedno z řešení této diferenciální rovnice je kde amplituda a fáze jsou Q a Odpovídající proud je s amplitudou d Q dq Q + + = sin ωt (33) dt dt Qt () = Q cos( ωt ϕ), (34) / = = = ( ω/ ) + ( ω / ) ω + ( ω / ω) = ω + X X ( ) X X tan ϕ = ω = ω I (35) (36) dq It () = + = I sin( ωt ϕ ) (37) dt = Q ω = ( ) + X X (38) Obr 3: Fázorové diagramy pro napětí a proud na (a) rezistoru, (b) cívce a (c) kondenzátoru v sériovém obvodu 8
šimněte si, že okamžitý proud má stejnou fázi i amplitudu ve všech místech obvodu Na druhou stranu, okamžité napětí na každé ze tří součástek zapojení,, nebo mají jinou fázi i amplitudu, jak je vidět z fázorového diagramu na obrázku 3 Okamžitá napětí z obrázku 3 můžeme spočítat jako () t = Isinωt = sin ωt, π () t = IX sin ωt+ = cos ωt, (39) π () t = IXsin ωt = cos ωt, kde = I, = I X, = I X (3) jsou amplitudy napětí na jednotlivých elementech obvodu Suma všech třech napětí je rovna okamžitému napětí střídavého zdroje t () = () t+ () t+ () t (3) e fázorové reprezentaci můžeme rovnici přepsat = + +, což je znázorněno na obrázku 33 nalevo Opět můžeme vidět, že fázor proudu I předbíhá fázor napětí na kondenzátoru o π /, je ovšem opožděn za fázorem napětí na cívce rovněž o π / šechny tři fázory napětí se otáčejí v čase proti směru hodinových ručiček, jejich vzájemné uspořádání je však stále stejné Obr 33: Nalevo fázorový diagram sériového obvodu Napravo vztahy mezi velikostmi (amplitudami) fázorů napětí ztahy mezi amplitudami fázorů napětí jsou znázorněny na obrázku 33 napravo Z obrázku vidíme, že ( ) = = + + = + = ( ) ( ) = I + I X I X = = I + ( X X ), což vede ke stejnému výsledku, jako jsme získali z rovnice (37) (33) 9
Je důležité upozornit na to, že amplituda střídavého zdroje napětí není rovna součtu amplitud na jednotlivých elementech v obvodu + + (34) Je to způsobeno tím, že napětí na jednotlivých elementech obvodu nejsou ve fázi a maxima tak nastávají v jiných okamžicích 3 Impedance Již jsme si ukázali, že induktance X = ω a kapacitance X = / ω představovaly důležitou roli jako efektivní odpor v zapojeních s cívkou nebo kondenzátorem sériově zapojeném obvodu označujeme efektivní odpor jako impedanci definovanou jako ( ) Z = + X X (35) ztah mezi Z,, X a X je znázorněn v diagramu na obrázku 34: Obr 34: Schematické znázornění vztahů mezi Z,, X a X SI jednotkou impedance je opět Ω ovnici pro časový průběh proudu tak můžeme přepsat jako It () = sin ( ωt ϕ ) (36) Z šimněte si, že impedance závisí na úhlové frekvenci ω stejně jako X a X ovnice (36) pro fázi ϕ a rovnice (35) pro impedanci Z můžeme využít i pro jednoduché obvody (i pouze s jedním prvkem) jako limitní zapojení obvodu Shrnutí je uvedeno v následující tabulce : X = ω X X X = ϕ = tg ω Z= + X X rezistor induktor X π / X kondenzátor X π / X 3 ezonance Tabulka : Jednoduché obvody jako limitní případ obvodu ( ) Z rovnice (36) plyne, že amplituda proudu je maximální, pokud impedance Z je co nejmenší číslo To nastává v případě, kdy X = X nebo ω = / ω, což vede na rovnici
ω = (37) Tento jev, kdy proud I dosahuje maximální hodnoty, je nazýván rezonancí a frekvence ω při níž k tomuto jevu dochází je nazývána rezonanční frekvence případě rezonance je impedance rovna pouze odporu, tedy Z =, amplituda proudu je a fáze je I = (38) ϕ =, jak je vidět z rovnice (35) Kvalitativně je chování obvodu ilustrováno na obrázku 35 Obr 35: Amplituda proudu jako funkce ω v obvodu 4 ýkon ve střídavých obvodech sériově zapojeném obvodu je okamžitý výkon dodaný střídavým zdrojem dán vztahem Pt () = Itt () () = sin( ωt ϕ) sinωt= sin( ωt ϕ) sinωt= Z Z kde jsme využili známý součtový vzorec ( ωt ϕ ωt ωt ϕ) = sin cos sin cos sin, Z ( ) ýkon vystředovaný v čase přes periodu je (4) sin ω t ϕ = sinωtcosϕ cosωtsin ϕ (4) T T Pt ( ) = sin tcos dt sin tcos tsin dt T ω ϕ ω ω ϕ = Z T Z = cosϕ sin ωt sinϕ sinωtcosωt = Z Z = Z cos ϕ, (43)
kde jsme ke středování využili rovnic (5) a (7) ovnici pro průměrný výkon můžeme vyjádřit i pomocí efektivních napětí a proudů: ef Pt ( ) = cosϕ = cosϕ = Iefef cos ϕ (44) Z Z Hodnotu cosϕ nazýváme účiník Z obrázku 34 je zřejmé, že cos ϕ = (45) Z Střední hodnotu výkonu Pt () můžeme přepsat jako ef Pt () = Iefef = Ief = Ief Z Z (46) Na obrázku 4 je zobrazen průměrný výkon jako funkce ω zdroje střídavého napětí Obr 4: Průměrný výkon obvodu jako funkce úhlové rychlosti zdroje střídavého napětí Obr 4: Šířka píku Z grafu je zřejmé, že průměrný výkon Pt () je maximální, když cosϕ = nebo Z =, což jsou podmínky rezonance, pak maximální výkon je 4 Šířka píku P = I max efef = Šířka píku je poměrně malá, jeden ze způsobů, jak ji definovat je zavést ω = ω+ ω, kde ω ± jsou hodnoty úhlové frekvence zdroje, při kterých je výkon roven polovině maximální hodnoty Tato definice se často nazývá šířka v polovině maxima a označuje anglickou zkratkou FWHM (Full-Width Half-Maximum), viz Obr 4 Šířka ω roste se vzrůstajícím odporem Abychom byli schopni nalézt ef ω, přepíšeme si nejprve rovnici pro výkon Pt () do tvaru
ω + + Pt () = =, ( ω / ω ) ω ( ω ω ) (48) kde max Pt () = / Podmínka pro ω ± tak je z čehož získáme rovnici ω = Pt = max ω ± ω + ( ω ω ) ω± Pt ( ) ( ), 4 ω ( ω ω ) = Po odmocnění získáme dvě větve řešení, které budeme analyzovat odděleně První řešení: (49) (4) ω ω ω + + =+ (4) Kladné řešení této kvadratické rovnice je Druhé řešení: ω+ = + + ω 4 (4) ω ω ω = (43) Kladné řešení této kvadratické rovnice je Šířka píku je pak ω = + + ω 4 ω = ω+ + ω = (45) Pokud známe šířku ω, můžeme spočítat činitel jakosti Q (nezaměňujte s nábojem) jako ω ω Q = (46) ω Pokud srovnáme tuto rovnici s (87), zjistíme, že oba výrazy se limitně shodují pro malý odpor a ( ) ω = ω / ω 3
5 Transformátor Transformátor je zařízení pro zvyšování nebo snižování střídavého napětí Typický transformátor je složen ze dvou vinutí cívek primárního a sekundárního, jež jsou navinuty na kovovém jádru, viz Obr 5 Primární cívka o N závitech je připojena ke zdroji střídavého napětí () t Sekundární cívka o N závitech je připojena k zátěži Transformátory fungují na principu indukovaného elektromotorického napětí Napětí na sekundární cívce je indukováno první cívkou díky vzájemné indukčnosti Obr 5: Transformátor Pokud zanedbáme malý odpor primárního vinutí, získáme z Faradayova zákona dφ B = N, (5) dt kde φ B je tok magnetického pole primární cívkou Železné jádro procházející primární cívkou slouží jako vodič magnetického pole a zaručuje, že téměř všechen magnetický tok primární cívky prochází cívkou sekundární Proto je na sekundární cívce indukované napětí dφb = N (5) dt případě ideálního transformátoru můžeme zanedbat ztráty způsobené Jouleovým ohřevem, takže výkon dodaný primární cívce je kompletně předán na cívku sekundární: I = I (53) A pokud žádný magnetický tok neuniká z jádra transformátoru, tok φ B je stejný jak v primární, tak v sekundární cívce Srovnáním rovnic pak získáme vztah pro transformátor N = (54) N Z rovnic získáme i vztahy popisující proudy na cívkách transformátoru N I = I = I (55) N Z toho je zřejmé, že poměr mezi vstupním a výstupním napětím je dán převodním poměrem transformátoru N/ N Pokud N > N, pak >, což znamená, že výstupní napětí na sekundární cívce je vyšší, než je napětí vstupní na cívce primární Transformátor, kde N > N, nazýváme zvyšovací transformátor Na druhou stranu, pokud N < N, pak < a výstupní napětí je nižší než vstupní Transformátor s N < N nazýváme proto snižovací transformátor 4
6 Paralelní obvod Mějme paralelní obvod zobrazený na obrázku 6 Zdroj střídavého napětí je dán vztahem t () = sinωt Obr 6: Paralelní obvod Na rozdíl od sériového obvodu je v paralelním odvodu napětí na všech třech elementech, a stejné, všechna napětí jsou ve fázi, jsou rovněž ve fázi s proudem, který protéká rezistorem Ostatní proudy mají však fázi rozdílnou Pro analýzu tohoto obvodu vyjdeme z výsledků z kapitol až 4 Proud rezistorem je dán vztahem t () I () t = = sinωt = I sin ωt, (6) kde I = / Napětí na cívce je z čehož dostáváme di () = () = sin =, (6) t t ωt dt π π I () t = sin t dt = cos t = sin t = I sin t, kde I = / X a X t ω ω ω ω (63) ω X = ω je induktance cívky Podobně, napětí na kondenzátoru () t = sin ωt = Q()/ t, z čehož plyne dq π π I = = ωcosωt = sin ωt+ = Isin ωt+, dt X kde I = / X a X = / ω je kapacitance kondenzátoru (64) Z Kirchhoffova zákona pro uzly dostaneme, že proud jdoucí obvodem je jednoduše suma všech tří proudů, tedy It () = I() t+ I() t+ I() t = π π (65) = Isinωt+ Isin ωt + Isin ωt+ Proudy můžeme zakreslit do fázorového diagramu, viz Obr 6 5
Obr 6: Fázorový diagram pro paralelní obvod Z fázorového diagramu je vidět, že I = I + I + I (66) a maximální amplitudu celkového proudu I můžeme vyjádřit jako ( ) I I I I I = = + + = I + I I = = + ω + = + ω X X (67) Protože jednotlivé proudy I ( t ), I ( t ) a I ( t ) nejsou vzájemně ve fázi, nemůžeme jednoduše napsat, že maximální amplituda je rovna sumě jednotlivých amplitud I I + I + I (68) Z rovnice I = / Z můžeme vyjádřit inverzí impedanci (admitanci) = + Z ω + = + ω X X ztah mezi Z,, X a X je na obrázku 63 (69) Obr 63: ztah mezi Z,, X a X v paralelním obvodu Z tohoto obrázku, nebo z fázorového diagramu na Obr 6 fází ϕ spočítáme jako 6
I I X X tan ϕ = = = ω I = X X ω Podmínka pro rezonanci paralelního obvodu je ϕ =, z čehož plyne (6) = (6) X X ezonanční frekvence je pak ω = (6) a je stejná jako u sériového obvodu Z rovnice (69) vidíme, že při rezonanci je / Z minimální (nebo Z maximální) Proud cívkou je přesně opačný, než proud kondenzátorem, takže celkový proud je tak minimální a je roven proudu na rezistoru I = Stejně jako v sériovém obvodu je výkon disipován jen na rezistoru Průměrný výkon je ω Z Pt () = I() t() t = I () t = sin t = = Z Účiník proto v tomto případě je Pt () Z = = = cos ϕ /Z + ω ω (64) 7 Shrnutí střídavém obvodu se zdrojem napětí, jehož časový průběh napětí je t () = sinωt, je proud obvodem dán předpisem It () = I sin( ωt ϕ), kde I je amplituda a ϕ je fáze Následující tabulka shrnuje jednoduchá zapojení (pouze s jedním prvkem kondenzátorem, cívkou nebo rezistorem): Prvek obvodu Odpor / eaktance Amplituda proudu Fázový úhel ϕ I = X = ω π / I = proud se opožďuje X za napětím o 9 X = ω I = X X je induktance a X je kapacitance π / proud předbíhá napětí o 9 7
Pro zapojení, kde je více jak jeden prvek v sérii výsledky jsou: Prvek obvodu Impedance Z Amplituda proudu Fázový úhel ϕ + X π < ϕ < + X + X π < ϕ < + X ( ) + X X ( ) + X X Z je impedance obvodu Pro sériový obvod je Z ( X ) X mezi napětím a proudem ve střídavém obvodu je ϕ = [ X X ] paralelním obvodu je impedance a fáze dána vztahy ϕ > ( X > X ) ϕ < ( X < X ) = + Fázový úhel tan ( )/ = + Z ω + = + ω X X, ϕ = tan = tan ω X X ω Efektivní napětí a proud jsou ve střídavém obvodu ef = /, Ief = I/ Průměrný výkon je u střídavých obvodů Pt () = Iefef cos ϕ, kde cos ϕ je účiník ezonanční frekvence je ω = / Při rezonanci je proud sériově zapojeným obvodem maximální, v paralelně zapojeném obvodu je proud naopak minimální ovnice popisující transformátor je / = N / N, kde je napětí zdroje na primárním vinutí (cívce) o N závitech a je výstupní napětí na sekundární cívce o N závitech Transformátor, kde N > N, nazýváme zvyšovací transformátor Transformátor N < N nazýváme snižovací transformátor s 8 Algoritmy pro řešení střídavých obvodů této kapitole si ukážeme, jak mocný nástroj jsou fázory pro analýzu a řešení střídavých obvodů Následuje seznam důležitých doporučení: Fázová zpoždění napětí a proudu vůči sobě jsou: a Pro rezistor jsou napětí i proud ve fázi b Pro cívku se proud opožďuje za napětím o 9 c Pro kondenzátor proud předbíhá napětí o 9 Pokud jsou jednotlivé elementy zapojeny sériově, je na všech prvcích obvodu stejný proud (jak velikost, tak fáze), okamžitá napětí se však liší (jak do velikosti, tak i fáze) Pro 8
paralelní zapojení platí opak, tedy na všech prvcích je stejné napětí a ve fázi, proud jednotlivými prvky se však liší 3 Pro sériová zapojení si nakreslete fázorový diagram pro napětí Amplitudy napětí na jednotlivých prvcích jsou délky jednotlivých fázorů v diagramu Na obrázku 8 jsou zakresleny fázorové diagramy pro sériový obvod, pro oba případy nalevo je větší induktance X > X, napravo je větší kapacitance X < X Obr 8: Fázorový diagram pro sériově zapojený obvod; nalevo X > X, napravo X < X Z obrázku 8 nalevo je větší induktance, tedy > a napětí předbíhá proud I ve fázi ϕ případě, že je větší kapacitance, viz Obr 8 napravo, < a proud I předbíhá napětí ve fázi φ 4 Pokud = nebo ϕ = obvod je v rezonanci Odpovídající rezonanční frekvence ω = / a na odporu je maximální výkon 5 Pro paralelní zapojení si nakreslete fázorový diagram pro proudy Amplitudy proudů na všech prvcích v zapojení odpovídají velikostem fázorů v diagramu Na obrázku 8 jsou zobrazeny fázorové diagramy paralelně zapojeného obvodu pro oba případy, kdy X > X, nebo X < X Obr 8: Fázorový diagram paralelního obvodu; nalevo X > X, napravo X < X Z obrázku 8 nalevo, kdy je větší induktance, vidíme, že I > I a napětí předbíhá proud I ve fázi ϕ případě, že je větší kapacitance, viz Obr 8 napravo, I < I a proud I předbíhá napětí ve fázi ϕ 9
9 Řešené úlohy 9: Sériový obvod Mějme sérově zapojený obvod s = 6 mh, = µf a = 4, Ω připojený ke t () = 4, sinωt, kde ω = rad/s zdroji střídavého napětí ( ) (a) Jaká je impedance zapojení? = Spočítejte I (b) Nechť obvodem teče proud It () I sin( ωt ϕ ) (c) Kolik je fáze ϕ? Řešení: (a) Impedanci zapojení spočítáme dle vzorce kde ( ) Z = + X X, (9) X = ω (9) a X = (93) ω jsou induktance a kapacitance Průběh proudu zdroje střídavého napětí je t () = sin( ωt), kde je maximální výstupní napětí a ω je úhlová frekvence, ze zadání = 4 a ω = rad/s Impedance Z proto po dosazení je (b) Pro = 4, je amplituda dána vzorcem Z = 43,9 Ω (94) I Z 4,,9 A 43,9 Ω = = = (c) Fázový rozdíl mezi proudem a napětím je dán ω X X ω ϕ = tan = tan = 4, (95) (96) 9: Sériový obvod Mějme střídavý zdroj t ( ) ( 5 ) sin ( t) = připojený k sériovému obvodu s parametry = 8, mh, = 5, µf a = 4, Ω, viz Obr 9 (a) Spočítejte amplitudy napětí na jednotlivých prvcích zapojení,, (b) Spočítejte maximální rozdíl potenciálů na cívce a kondenzátoru mezi body b a d, viz Obr 9
Obr 9: Střídavý obvod Řešení: (a) Induktance, kapacitance a impedance zapojeného obvodu jsou: X = = Ω, (97) ω X = ω = 8, Ω, (98) Proto amplituda proudu je ( ) Z = + X X = 96 Ω (99) 5 I = = =,765 A (9) Z 96 Ω Amplitudu napětí na rezistoru spočítáme jednoduše, jako součin amplitudy proudu a odporu = I= 3,6 (9) Obdobně počítáme amplitudu napětí na cívce = IX = 6, (9) a amplitudu napětí na kondenzátoru = IX = 53 (93) šimněte si, že vztah mezi amplitudami napětí je = + ( ) (94) (b) Maximální napětí mezi body b a d je rozdíl mezi a : 93: ezonance bd = + = = 47 (95) Zdroj se sinusovým průběhem napětí t ( ) ( ) = sinωt je připojen k sériovému obvodu s následujícími prvky v zapojení: =, mh, = nf a =, Ω Spočítejte následující veličiny:
(a) rezonanční frekvenci, (b) amplitudu proudu při rezonanci, (c) činitel jakosti Q zapojení, (d) amplitudu napětí na cívce při rezonanční frekvenci Řešení: (a) ezonanční frekvence obvodu je dána vztahem f = ω 533 Hz π = π = (96) (b) Při rezonanci je proud I = = =, A (97), Ω (c) Činitel jakosti Q spočítáme jako ω Q = = 5,8 (98) (d) Amplituda proudu při rezonanci je dána 94: horní propust = IX = Iω= 3,6 (99) horní propust (zapojení, které filtruje nízkofrekvenční střídavé proudy) může být zapojena podle schématu na obrázku 9, kde odpor je vnitřní odpor cívky 3 Obr 9: filtr (a) Zjistěte podíl / amplitud výstupního napětí ku vstupnímu napětí (b) Předpokládejte, že r = 5, Ω, =, Ω a = 5 mh / = / Řešení: (a) Impedance vstupního zapojení je ( ) Z r X = + +, kde X pro výstupní obvod Amplituda proudu je dána vztahem Zjistěte frekvenci, při níž je = ω a = + Z X
I = = Z ( + r) + X Obdobně amplituda výstupního napětí na impedanci s odporem je dána vztahem (9) z toho plyne, že hledaný poměr napětí je, = I Z = I + X (9) = ( ) + X + r + X (9) (b) Z podmínky / = / dostaneme ( ) + X + r + X ( ) + r 4 = X = 4 3 Protože X = ω= π f, mezní frekvence pro tento poměr je (93) f X = = 5,5 Hz (94) π 95: zapojení Nechť máme zapojení podle obrázku 93 Střídavý zdroj napětí má průběh t () = sinωt Oba spínače S a S jsou na počátku sepnuty Najděte následující veličiny (při výpočtu zanedbejte přechodové jevy), pokud znáte,, a ω : (a) proud I() t jako funkci času, Obr 93 (b) průměrný příkon obvodu, (c) proud jako funkci času, když je spínač S otevřen, (d) kapacitu kondenzátoru, když jsou oba spínače S i S otevřeny po dlouhou dobu a proud i napětí jsou ve fázi, (e) impedanci obvodu, pokud jsou oba spínače S i S otevřeny, (f) maximální energii uloženou v kondenzátoru během oscilací, (g) maximální energii uloženou v cívce během oscilací, 3
(h) fázový rozdíl proudu a napětí, pokud zdvojnásobíme úhlovou rychlost ω zdroje střídavého napětí t, () (i) frekvenci, při které je induktance Řešení: X rovna polovině kapacitance X (a) Pokud jsou oba spínače S a S sepnuty, proud ze zdroje napětí jde pouze rezistorem, celková impedance obvodu je rak rovna odporu rezistoru a proud můžeme napsat jako I () t = sin ωt (95) (b) Průměrný výkon je dán středováním Pt () = I t() t = sin ωt = (96) (c) pokud je spínač S otevřen delší dobu, proud jde ze zdroje na rezistor a cívku Impedance obvodu je Z = = (97) + X + ω a fázový rozdíl ϕ je ω ϕ = tan Proud jako funkci času můžeme napsat ve tvaru (98) ω It () = I sin( ωt ϕ) = sin ωt tan (99) + ω Povšimněte si, že v limitě, kdy odpor jde k nule je fázový rozdíl ϕ = π / a proud získá předpis stejný jako pro obvod, kde je zapojena jenom cívka (d) případě obou otevřených spínačů jde o klasický sériový obvod, kde je fázový rozdíl ϕ dán vztahem ω X X ω tan ϕ = = (93) Pokud mají být napětí i proud ve fázi, potom ϕ =, a tedy tanϕ =, pro úhlovou frekvenci zdroje ω dostáváme Kapacita kondenzátoru tedy je ω = (93) ω = (93) ω 4
(e) Z bodu (d) víme, že zapojení je v rezonanci, induktance je rovna kapacitanci, impedance je tedy rovna odporu (f) Elektrická energie uložená v kondenzátoru je ( ) Z = + X X = (933) U ( ) = = IX (934) Maximální energii vyjádříme pomocí amplitudy proudu jako,max = = = U I X ω, (935) kde jsme využili vztahu ω = / (g) Maximální energie uložená v cívce je dána vztahem U,max I = = (936) (h) Pokud zdvojnásobíme frekvenci zdroje, tedy ω = ω = /, fáze ϕ je ω ω 3 ϕ tan tan = = = tan (i) Pokud induktance je polovina kapacitance, pak platí X = X ω3=, ω3 tedy (937) (938) ω ω 3 = = (939) 96: filtr Schéma na obrázku 94 představuje filtr Nechť je Obr 94 = 4 mh a vstupní napětí in = (, )sinωt, kde ω = rad/s 5
(a) Jaký musí být odpor, aby výstupní napětí bylo zpožděno oproti vstupnímu napětí o 3,? (b) Najděte poměr vstupního ku výstupnímu napětí Jakým typem filtru je tento obvod? Dolní nebo horní propustí? (c) Pokud zaměníme pozice cívky a rezistoru, bude filtr horní, nebo dolní propustí? Řešení: (a) Fáze mezi napětími a je dán tan IX ω ϕ = = = (94) I Z toho vyjádříme odpor ω = = 39 Ω tanϕ (94) (b) Poměr je dán vztahem out = = in in + X = cosϕ = cos3, =,866 (94) Jedná se o dolní propust, neboť poměr výstupního napětí ku vstupnímu napětí klesá s rostoucí úhlovou frekvencí ω (c) tomto případě je schéma zapojení na následujícím obrázku: Obr 95: horní propust Poměr vstupního a výstupního napětí je dán ω ω / out X = = = = + in in + X + ω Zapojení je horní propustí, protože poměr out / in se blíží jedné pro vysoké hodnoty úhlové frekvence ω Tématické otázky Mějme kondenzátor připojený ke zdroji střídavého napětí a Jak se změní kapacitance, pokud zdvojnásobíme frekvenci zdroje? o se stane, pokud snížíme frekvenci zdroje na polovinu? b Dodává v takovémto zapojení někdy kondenzátor energii do zdroje napětí? 6
Pokud napětí předbíhá proud v sériovém obvodu, je frekvence zdroje nad nebo pod rezonanční frekvencí? 3 Na obrázku je fázorový diagram pro obvod Obr : Fázorový diagram obvodu a Je frekvence zdroje pod nebo nad rezonanční frekvencí? b Nakreslete fázor zdroje střídavého napětí c Odhadněte fázový rozdíl ϕ zdroje střídavého napětí a proudu 4 Jak se účiník v obvodu mění s odporem, indukčností a kapacitou? 5 Můžeme použít baterii jako zdroj primárního napětí u transformátoru? 6 o můžete říci o fázi mezi proudem a napětím, pokud je účiník obvodu cosϕ = /? Předbíhá napětí proud nebo naopak? ysvětlete! Neřešené úlohy : Kapacitance a induktance (a) Kondenzátor o kapacitě =,5 µf je připojen ke zdroji střídavého napětí s amplitudou = 3, viz Obr nalevo Jaká je amplituda proudu I tekoucího kondenzátorem, pokud úhlová frekvence ω je (i) rad/s, nebo (ii) rad/s? Obr : Střídavý obvod s kondenzátorem (nalevo); s cívkou (napravo) (b) ívka o indukčnosti 45 mh je připojena podle obrázku napravo ke zdroji střídavého napětí s amplitudou = 3 Induktance cívky je X = 3 Ω (i) Jaká je úhlová frekvence ω? (ii) Jaká je frekvence f zdroje střídavého napětí? (iii) Jaká je amplituda I proudu tekoucího cívkou? 7
(c) Jaká by byla frekvence f, pokud my měly,5 µf kondenzátor a,5 mh cívka stejnou reaktanci? Jaká by byla její velikost? Jaká by byla tato frekvence ve srovnání s rezonanční frekvencí obvodu složeného z těchto součástek? : obvod blízko rezonance Zapojení na obrázku se skládá z rezistoru, cívky a kondenzátoru, které jsou sériově spojeny se zdrojem střídavého napětí se sinusovým průběhem elektromotorického napětí t () = sinωt Obvodem teče proud It () I sin( ωt ϕ) Obr = s úhlovou frekvencí ω (a) Při jaké úhlové frekvenci ω poteče obvodem proud s největší amplitudou I? Jaká je hodnota maximální amplitudy proudu I max? (b) Jaká je hodnota fázového rozdílu ϕ mezi napětím t ( ) a proudem I( t ) při rezonanční frekvenci? (c) Předpokládejte, že jsme zvýšili úhlovou frekvenci ω tak, aby amplituda proudu I klesla z hodnoty I max na hodnotu I max / Jaký je teď fázový rozdíl mezi elektromotorickým napětím a proudem? Předbíhá proud, nebo je opožděn za napětím? 3: obvod Sériově zapojený obvod s napětí s průběhem napětí t ( ) 3 = 4, Ω a =,4 µf je připojen ke zdroji střídavého ( ) = sinωt, kde ω = rad/s (a) Jaký je efektivní proud v zapojení? (b) Jaký je fázový rozdíl mezi napětím a proudem? (c) Spočítejte výkon disipovaný v obvodu (d) Spočítejte napětí na obou elementech, jak na kondenzátoru, tak na rezistoru 4: Černá skříňka Zdroj střídavého proudu je připojen k černé skříňce, která obsahuje obvod, viz Obr 3 8
Obr 3: Černá skříňka připojená ke zdroji střídavého napětí Neznáme jednotlivé součástky zapojené v černé skříňce, ani jejich uspořádání Jediná informace, kterou známe je, že: ( ) ωt ( ) ( ωt ) t () = 8 sin, It () =,6A sin + 45 (a) Předbíhá proud napětí nebo je za napětím opožděn? (b) Je v obvodu černé skříňky větší kapacitance nebo induktance? (c) Je obvod v černé skříňce v rezonanci? (d) Jaký je jeho účiník? (e) Je v obvodu zapojen rezistor? Kondenzátor? ívka? (f) Spočítejte průměrný příkon dodaný černé skříňce zdrojem střídavého napětí 5: Paralelní obvod Uvažme paralelní obvod zapojený podle obrázku 4 Obr 4: Paralelní obvod Zdroj střídavého napětí má průběh t () = sinωt (a) Spočítejte proud tekoucí rezistorem (b) Spočítejte proud tekoucí cívkou (c) Jaká je velikost celkového proudu? (d) Spočítejte impedanci celkového obvodu (e) Jaký je fázový rozdíl mezi proudem a napětím? 6: obvod Předpokládejte, že v čase t = je kondenzátor plně nabit nábojem Q pozdějším čase t = T /6, kde T je perioda oscilace, spočítejte poměr následujících veličin k jejich maximálním hodnotám: 9
(a) náboje na kondenzátoru, (b) energie uložené v kondenzátoru, (c) proudu v obvodu, (d) energie uložené v cívce 7: Paralelní obvod Uvažme paralelní obvod, který je zapojen podle schématu na obrázku 5 Obr 5: Paralelní obvod Průběh napětí zdroje je t () = sinωt (a) Spočítejte proud tekoucí rezistorem (b) Spočítejte proud tekoucí kondenzátorem (c) Jaká je velikost celkového proudu? (d) Spočítejte impedanci zapojení (e) Jaký je fázový rozdíl mezi proudem a napětím v tomto zapojení? 8: Disipace výkonu Sériově zapojený obvod s parametry =, Ω, = 4 mh a = µf je připojen ke zdroji střídavého napětí s amplitudou = (a) Spočítejte rezonanční frekvenci ω (b) Spočítejte efektivní hodnotu proudu při rezonanci (c) Nechť je úhlová frekvence ω = 4 rad/s Spočítejte X, X, Z a ϕ 9: FM anténa FM anténa je složena (viz Obr 6) z cívky o impedanci = H, kondenzátoru o kapacitě = F a rezistoru o odporu = Ω ádiový signál na anténě indukuje 5 elektromotorické napětí o amplitudě 6 3
Obr 6: FM anténa (a) Spočítejte úhlovou frekvenci ω pro elektromagnetické vlnění, pro které je anténa vyladěna tedy pro které bude obvodem téci maximální proud (b) Jaký je činitel jakosti Q? (c) Předpokládejme, že anténa zachytává signál, pro který je naladěna, jaká je amplituda proudu pro tuto frekvenci? (d) Jaká je amplituda potenciálového rozdílu na kondenzátoru při frekvenci, na kterou je anténa naladěna? : obvod Předpokládejme, že chcete navrhnout obvod pro naladění ašeho oblíbeného rádia vysílajícího na frekvenci 89,7 MHz hcete se však vyhnout opovržlivé stanici, která vysílá na frekvenci 89,5 MHz Abyste toho mohli dosáhnout, potřebujete pro daný napěťový signál z anténního vstupu vyladit rezonanční obvod tak, aby proud jím tekoucí byl alespoň krát nižší pro frekvenci 89,5 MHz než pro aši oblíbenou frekvenci 89,7 MHz Odpor nemůže být nižší než =, Ω a z praktických důvodů musíte použít minimální možnou indukčnost (a) Nalezněte závislost amplitudy proudu tekoucího obvodem na úhlové frekvenci vysílaného signálu yjádřete jí v závislosti na parametrech, a (b) Spočítejte úhlovou frekvenci vaší oblíbené stanice (c) Jaké hodnoty a musíte použít? (d) Jaký je činitel jakosti pro tuto rezonanci? (e) Ukažte, že při rezonanci je poměr amplitudy napětí na induktoru a amplitudy řídícího signálu roven činiteli jakosti rezonance (f) Ukažte, že při rezonanci je poměr amplitudy napětí na kondenzátoru a amplitudy řídícího signálu roven činiteli jakosti rezonance (g) Jaký je průměrný příkon, který dodá anténní vstup obvodu při rezonanci (89,7 MHz)? (h) Jaký je fázový rozdíl pro signál na 89,5 MHz? (i) Jaký je průměrný příkon, který dodá anténní vstup při 89,5 MHz? (j) Je pro frekvenci 89,5 MHz větší induktance nebo kapacitance? 3