Bc. Jakub Melka. Výpočetní složitost v teorii grafů

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Jakub Melka Výpočetní složitost v teorii grafů Katedra aplikované matematiky Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Jan Kratochvíl, CSc. Studijní program: Informatika Studijní obor: Diskrétní modely a algoritmy Praha 2011

Děkuji svému vedoucímu prof. RNDr. J. Kratochvílovi, CSc., za vedení diplomové práce, cenné rady a konzultace.

Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vypracoval samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů, literatury a dalších odborných zdrojů. Berunavědomí,žesenamojiprácivztahujíprávaapovinnostivyplývajícíze zákona č. 121/2000 Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Univerzita Karlova v Praze má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle 60 odst. 1 autorského zákona. V Praze dne 24. března 2011 Podpis autora

Název práce: Výpočetní složitost v teorii grafů Autor: Bc. Jakub Melka Katedra(ústav): Katedra aplikované matematiky Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Jan Kratochvíl, CSc. e-mail vedoucího: honza@kam.mff.cuni.cz V předložené práci studujeme problém rekonstrukce grafu ze seznamu uzavřených okolí vrcholů tohoto grafu. Tento problém, původně zformulovaný V. Sósovou, budeme zkoumat z hlediska teorie parametrizované složitosti a zobecníme jej na problém rekonstruovatelnosti vzhledem ke třídám grafů. V této práci dokážeme, že tento problém leží ve třídě složitosti FPT vzhledem k parametru omezené stromové šířky a omezeného maximálního stupně nebo ke 2-degenerovaných grafům s omezeným počtem jistých indukovaných podgrafů, kde parametr je počet těchto podgrafů. Dále dokážeme, že problém rekonstruovatelnosti vzhledem ke třídě grafů s omezeným vrcholovým pokrytím leží ve třídě složitosti XP. Na závěr dokážeme vzájemnou nezávislost získaných výsledků. Klíčová slova: parametrizovaná složitost, rekonstrukce grafu, stromová šířka, hypergraf, hvězdné systémy Title: Computational complexity in graph theory Author: Bc. Jakub Melka Department: Department of Applied Mathematics Supervisor: prof. RNDr. Jan Kratochvíl, CSc. Supervisor s e-mail address: honza@kam.mff.cuni.cz Inthepresentworkwestudytheproblemofreconstructingagraphfromitsclosed neighbourhood list. We will explore this problem, formulated by V. Sós, from the point of view of the fixed parameter complexity. We study the graph reconstruction problem in a more general setting, when the reconstructed graph is required to belongtosomespecialgraphclass.inthepresentworkweprovethatthisgeneral problem lies in the complexity class FPT, when parametrized by the treewidth and maximum degree of the reconstructed graph, or by the number of certain special induced subgraphs if the reconstructed graph is 2-degenerate. Also, we prove that the graph reconstruction problem lies in the complexity class XP when parametrized by the vertex cover number. Finally, we prove mutual independence of the results. Keywords: Fixed parameter complexity, graph reconstruction, treewidth, hypergraph, star systems 5

Obsah 1 Úvod 7 1.1 Terminologie.... 7 1.2 Stromovášířkaadalšíparametrygrafů... 8 2 Parametrizovaná složitost 10 2.1 ParametrizovanéproblémyatřídaFPT... 11 2.2 TřídysložitostiW[1],W[t],XPadalší... 12 2.3 Datováredukce... 13 3 Hvězdné systémy 15 3.1 Úvoddorekonstrukcegrafůzhvězdnýchsystémů... 15 3.2 Současnéteoretickévýsledky.... 20 3.3 Stromyavrcholymalýchstupňů.... 21 3.4 Větaozáměně... 24 4 Třída 2-degenerovaných grafů 26 4.1 Problémovýgraf... 26 4.2 2-degenerovanégrafybezJjakoindukovanéhopodgrafu.... 27 4.3 FPT algoritmus pro 2-degenerované grafy s nejvýše k indukovanými podgrafyj... 32 5 Parametrizace problému různými parametry 36 5.1 Parametrizace problému rekonstrukce velikostí vrcholového pokrytí. 36 5.2 Grafyomezenéstromovéšířkyajejichrekonstruovatelnost.... 38 5.3 Omezenástromovášířkaačasovásložitost... 44 6 Závěr 47 6.1 Neporovnatelnostvýsledků... 47 6.2 Otevřenéproblémy... 49 Literatura 54 6

Kapitola 1 Úvod Studium výpočetní složitosti algoritmů je pro praxi velmi důležité, neboť umožňuje řešit různé úlohy rychleji a efektivněji. Teorie grafů z hlediska teorie složitosti poskytuje celou řadu otevřených problémů. V této práci se budeme zabývat problémem rekonstruovatelnosti grafů ze seznamů jejich uzavřených okolí, definovaném původně V.Sósovou[8].Tentoproblémjevobecnosti NP-úplný,cožbylodokázánovpublikaci[11]. Na zmíněné téma pak bylo napsáno několik dalších publikací, zejména[1], [4]a[6]. Hlavní téma této práce se zabývá otázkou, do jaké třídy složitosti náleží problém rekonstruovatelnosti vzhledem k nějaké třídě grafů G, tj. zda existuje graf G ležící v G, který má shodné seznamy uzavřených okolí vrcholů se zadaným systémem množin. Fedor V. Fomin a spoluautoři v publikaci[6] dokázali, že pro určité třídy grafů je problém rekonstruovatelnosti grafů polynomiálně řešitelný, tedy leží ve třídě P. V této práci rozšíříme výsledky o některé další třídy, nalezneme parametrizovanou třídugrafů F k sparametrem k,prokterouexistuje FPTalgoritmusstímtoparametrem, dále ukážeme, že pokud vezmeme jako parametr velikost vrcholového pokrytí rekonstruovaného grafu, tak problém rekonstruovatelnosti leží ve třídě XP, a budeme zkoumat, jak problém rekonstruovatelnosti souvisí se stromovým zdvihem grafu. 1.1 Terminologie Definujeme si některé základní pojmy používané v této práci, aby nemohlo případně dojít k jejich špatné interpretaci, avšak nebudeme popisovat standardní pojmy používané v této práci, neboť je lze najít v základních učebnicích teorie grafů, například [12]. Definice1.Nechť G(V,E)jeneorientovanýgrafavjelibovolnývrcholtohotografu. Pakmnožinusousedůvrcholu v označmesymbolem N(v),tedy N(v) = {u uv E}. Pokud nebude z kontextu jasné, k jakému grafu se označení vztahuje, označíme dolnímindexem,ojakýgrafsejedná,vtomtopřípadě N(v)=N G (v). Definice2.Nechť G(V,E)jeneorientovanýgrafavjelibovolnývrcholtohotografu. Uzavřenéokolí N[v]vrcholu vjemnožina N(v) {v}.analogickyoznačímedolním indexemgraf G,pokudnebudezkontextujasné,okterýgrafsejedná. 7

KAPITOLA 1. ÚVOD Protože například úplné grafy mají všechna uzavřená okolí vrcholů identická, objekt označovaný jako hypergraf v naší práci bude multihypergraf, tj. hypergraf s násobnými hranami. V této práci budeme rovněž pracovat s postupným rozšiřováním zobrazení, proto zadefinujeme terminologii pro rozšíření funkce o nový definiční obor a obor hodnot. Definice3.Nechť ϕ:a Bjelibovolnáfunkcezmnožiny Adomnožiny B.Pak pro U Aoznačme ϕ U funkcidefinovanourestrikcídefiničníhooborufunkce ϕna U,tj.jednáseofunkci ξ: U ϕ(u),kde ξ(x)=ϕ(x)pro x U. Definice4.Nechť A,A a B,B jsoudisjunktnímnožinyanechť ξ: A B, ζ: A B jsoudvělibovolnéfunkce.pakzápisem ϕ=ζ ξ myslímetakovoufunkci ϕ:a A B B,prokterouplatí,že ξ = ϕ A, ζ = ϕ A, navícprokaždé x A označmezápisem ξ {(x,ζ(x))}funkci ϕ A {x}. Pokud G(V,E)jegraf,budemeznačitpro A Vindukovanýpodgrafgrafu Gna vrcholech z množiny A zápisem G[A]. Dále označme zápisem ω(g) velikost největší klikyvgrafu Gaχ(G)barevnostgrafu G. Definice5.Nechť G(V,E)jegraf.Pak Gjechordální,pokudneobsahujeindukovanou kružnici délky větší než tři. Hrana, protínající nějakou kružnici délky alespoň čtyři, se nazývá chorda neboli tětiva. 1.2 Stromová šířka a další parametry grafů Stromová šířka, neboli také stromový zdvih, je jeden z důležitých parametrů grafů, neboť umožňuje řešit i některé NP-těžké úlohy v lineárním čase na grafech s omezenou stromovou šířkou, například ty, které jdou zapsat formulí v jazyce MSOL, což je monadická logika druhého řádu. Existuje několik ekvivalentních definic stromového zdvihu, uvedu je podle přednášky doc. RNDr. Daniela Král e, Ph.D.[10] a z učebního textu doc. RNDr. Petra Hliněného, Ph.D.[9]. Definice6. Gje k-strom,pokud Glzevytvořitzúplnéhografu K k+1 přidáváním vrcholůspřesně ksousedyvpůvodnímgrafu,takových,žetitosousedétvoříklikuv grafu G. Libovolný podgraf grafu G se pak nazývá částečný k-strom. k=1 k=2 Obrázek 1.1: Příklady k-stromu 8

KAPITOLA 1. ÚVOD Na obrázku 1.1 vidíme příklady takovýchto k-stromů. Z k-stromů získáme první definici stromové šířky. Definice7.NechťGjegraf.PakstromovášířkagrafuG,značenotw(G),jenejmenší ktakové,že Gječástečný k-strom. Alternativní definici získáme pomocí chordálních grafů. Věta1.[10]Nechť Gjegraf.Pakstromovášířkagrafu Gjenejmenší ktakové,že existujechordálnígraf Hs ω(h)=k+1takový,že Gjejehopodgrafem. Existuje ještě několik alternativních definic, nicméně teď si uvedeme tu hlavní. Definice8.Nechť Gjegraf.Pakstromovýrozkladgrafu Gjestrom T asystém množin χ t, t V(T),kde χ t senazývajíbalíčkyvrcholů,atentostrommánásledující vlastnosti (1)prokaždé t V(T)platí χ t V(G), χ t = V, t V(T) (2)prokaždouhranu uv E(G)existuje t V(T)takové,že {u,v} χ t, (3)prokaždývrchol v V(G)platí,že T[{t v χ t }]jestrom. Velikost stromového rozkladu pak je max χ t. t V(T) Věta2.[10]Nechť Gjegraf.Pakstromovášířkagrafu Gjenejmenší ktakové,že existuje stromový rozklad velikosti k + 1 grafu G. Zjistit stromovou šířku grafu je v obecnosti NP-těžké, avšak Hans L. Boadlender ukázal v publikaci[3], že pro konstantní k existuje lineární algoritmus, který rozpozná,zdagrafnavstupumástromovoušířkunejvýše k,avtakovémpřípaděvydá jeho stromovou dekompozici velikosti nejvýše k + 1, v opačném případě dokáže, že grafmástromovoušířkuvětšínež k. 9

Kapitola 2 Parametrizovaná složitost Standardní teorie složitosti počítá s jednorozměrným zadáním rozhodovacího problému, tj. složitost se počítá pouze vzhledem k velikosti vstupu dané instance nějakého rozhodovacího problému. U parametrizovaného problému máme ještě jednu součást dané instance rozhodovacího problému, tzv. parametr. Složitost se pak počítá jako dvojrozměrná funkce závisící na velikosti instance rozhodovacího problému a na zadaném parametru. Parametr může nějak charakterizovat danou instanci, napříkladvteoriigrafůsemůžejednatografyomezenéstromovéšířky,nebonaopako velikost výsledku, kterého chceme dosáhnout, třeba velikost hledaného vrcholového pokrytí. Na úvod uvedeme některé standardní definice z teorie složitosti, nebudeme ale uvádět úplné základy, například co je to Turingův stroj a jak se měří časová složitost, jak se definují formální jazyky, neboť je lze nalézt v každé základní učebnici teorie složitosti, například[2] nebo[7]. O parametrizované složitosti byla napsána například publikace[5]. Definice9.(Třída P)Nechť LjeformálníjazyknadkonečnouabecedouΣ.Pak L P právě tehdy, když existuje deterministický Turingův stroj M pracující nad abecedouσtakový,žeprokaždé x Lse Mzastavíavrátíodpověď1aprokaždé x / Lse Mopětzastavíavrátíodpověď0.Navíc Mprovedevždynejvýše x c kroků pro x Σ,kde cjekladnákonstantazávisejícípouzenajazyku L. Definice 10.NedeterministickýTuringůvstrojjepětice(Q,Σ,δ,q,F),kde Qje konečná množina stavů, Σ je konečná abeceda obsahující symbol pro prázdné políčko λ, q Qjepočátečnístav, F Qjemnožinapřijímacíchstavůaδ: Q Σ P(Q Σ {R,N,L})jepřechodováfunkce.Strojpřijmeslovo w Σ,pokudexistujecesta z počáteční konfigurace Turingova stroje(slovo w na pásce) do nějaké konfigurace sestavemvmnožině F. Definice11.(Třída NP)Nechť LjeformálníjazyknadkonečnouabecedouΣ.Pak L N P právě tehdy, když existuje nedeterministický Turingův stroj M pracující nad abecedouσtakový,žeprokaždé x Lse Mzastavíavrátíodpověď1aprokaždé x / Lse Mopětzastavíavrátíodpověď0.Navíc Mprovedevždynejvýše x c kroků pro x Σ,kde cjekladnákonstantazávisejícípouzenajazyku L. 10

KAPITOLA 2. PARAMETRIZOVANÁ SLOŽITOST Rozhodovací problém chápeme jako nějaký jazyk L, kde L je množina všech instancídanéhoproblému,nakterézníodpověďano.rozdílmezitřídou P a NP je tedy v použití nedeterministického Turingova stroje při řešení dané instance problému.obecněsesoudí,že P NP,aletriviálněplatí,že P NP,neboťdeterministický Turingův stroj je jen speciální případ nedeterministického Turingova stroje. Definice 12.(Polynomiální převoditelnost) Jazyk L je polynomiálně převoditelný na jazyk L právětehdy,kdyžexistujepolynomiálníalgoritmus A,že x L A(x) L, kde výrazem A(x) myslíme výstup tohoto algoritmu na vstup x. Definice 13.Rozhodovacíproblém Lje NP-úplnýprávětehdy,když L NP a všechnyostatní L NPjsouna Lpolynomiálněpřevoditelné. Rozhodovacíproblém Lje NP-těžkýprávětehdy,kdyžvšechny L NPjsouna L polynomiálně převoditelné. NP-úplnéproblémyjsounejtěžšímezivšemiproblémyzNP,protoževšechny ostatní na ně jdou redukovat. Mezi N P-úplné problémy například patří problém obchodního cestujícího, SAT a další. 2.1 Parametrizované problémy a třída FPT V této části práce se budeme věnovat základům parametrizované složitosti, k sepsání této části práce, tedy zbytku druhé kapitoly, byly použity zdroje[13] a[14], některé převzaté části jsem místy doplnil pro lepší pochopení. Začneme základní definicí parametrizovaného rozhodovacího problému. Definice 14. Nechť Σ je konečná abeceda. Parametrizovaný rozhodovací problém je jazyk L Σ Σ,tedyjazykdvojicslovtvořenýchpísmenyzΣ.Dvojice,která leží v L, se nazývá kladná instance problému, v opačném případě se nazývá záporná instance. Druhý člen dané dvojice se nazývá parametr. Definice 15. Parametrizovaný rozhodovací problém je fixed parameter tractable, pokudjejlzerozhodnoutnadeterministickémturingověstrojivčase f(k) x O(1),kde (x,k) Σ Σ jeinstancetohotoproblémuaf(k)jevyčíslitelnáfunkcezavisející pouzena k. Definice 16.(Třída FPT)NechťΣjekonečnáabecedaaL Σ Σ.Pak L ležívetřídě FPT,právětehdy,kdyžparametrizovanýrozhodovacíproblém Ljefixed parameter tractable. Výhodaproblémůležícíchvetřídě FPT spočívávtom,žesložitostnezáležína parametru, tj. jedná se o polynom závisející pouze na velikosti vstupu, nikoliv na parametru. Jiné třídy, například XP, tuto vlastnost nemají. V praxi je to užitečné proto,žesezměnouparametruseneměnístupeňpolynomu x O(1),protoobvyklese změnou parametru hrozí menší růst časové složitosti než u zmíněné třídy XP. Nyní definujeme převoditelnost mezi parametrizovanými problémy analogicky tak, aby byla teorie konzistentní vzhledem k parametrům. Jako parametr zde budeme uvažovat přirozené číslo. 11

KAPITOLA 2. PARAMETRIZOVANÁ SLOŽITOST Definice17.(Parametrickáredukce)Nechť L,L Σ Njsoudvaparametrizované problémy.pak Lseparametrickyredukujena L právětehdy,kdyžexistujívyčíslitelné funkce f(k),g(k):n Naalgoritmus ApracujícínadeterministickémTuringově stroji,kterýzinstance(x,k) Lvyrobí x Σ zanásledujícíchpodmínek: 1.Algoritmus Apracujevčase g(k) (x,k) c kde cjekladnákonstanta. 2.(x,k) L (x,f(k)) L Oproti polynomiální redukci, kde se využívá polynomiálního algoritmu k transformaci instance rozhodovacího problému, zde můžeme použít algoritmus pracující v FPTčase. 2.2 Třídy složitosti W[1], W[t], XP a další Podobně jako v teorii standardní složitosti existuje polynomiální hierarchie, podobná hierarchie existuje i v teorii parametrizované složitosti. Zadefinujeme si proto nové třídy parametrizované složitosti a uvedeme o nich některé základní výsledky. Definice18.(VáženýSAT)Nechť ϕ(x 1,x 2,...,x q )jelibovolnábooleovskáformule. Rozhodovací problém váženého SATu má na vstupu formuli ϕ a otázka zní: Existuje splňující ohodnocení s právě k proměnnými nastavenými na hodnotu 1? Problém v definici 18 budeme specializovat na různé druhy formulí, například vážený CNF-SAT, vážený 2-SAT apod. Definice 19.(Třída W[1]) W[1] je třída všech problémů, které lze redukovat parametrickou redukcí na vážený 2-CNF-SAT. W[1]-těžký problém je problém, na který lze redukovat parametrickou redukcí vážený 2-CNF-SAT. W[1]-úplný problém je W[1]- těžký problém, který leží ve třídě W[1]. Definice 20. Booleovská formule ϕ je t-normalizovaná, pokud kde ξ µ jsouliterály. ϕ=... ξ µ, }{{} t Definice21.(VáženýobvodovýSAT)Nechť O(x 1,...,x q )jebooleovskýobvodlibovolné hloubky. Rozhodovací problém váženého obvodového SATu má na vstupu obvod O a otázka zní: Existuje splňující ohodnocení s právě k proměnnými nastavenými na hodnotu 1? Nyní přistoupíme k definici dalších tříd, pomocí nichž pak vybudujeme hierarchii. 12

KAPITOLA 2. PARAMETRIZOVANÁ SLOŽITOST Definice 22. 1. W[t] pro t 1 je třída všech parametrizovatelných problémů, které mohou být redukovány parametrickou redukcí na vážený t-normalizovaný SAT. 2. W[SAT] je třída všech parametrizovatelných problémů, které mohou být redukovány(pomocí parametrické redukce) na vážený SAT. 3. W[P] je třída všech parametrizovatelných problémů, které mohou být redukovány(pomocí parametrické redukce) na vážený obvodový SAT. Příklad problému, který leží ve třídě W[1] je nezávislá množina a klika. Tyto problémy jsou zároveň W[1]-úplné. Příklad problému, který leží ve třídě W[2] je dominující množina. Poslednítřídousložitostiatakénejvětšíznich,jetřídaXP.Unímůžestupeň polynomu, který počítá složitost vzhledem k velikosti vstupu, záviset na parametru. Definice 23. Parametrizovaný problém L leží ve třídě XP právě tehdy, když existují vyčíslitelné funkce f(k), g(k) takové, že je možné jazyk L rozhodovat v čase f(k) x g(k). Následuje věta o hierarchii. Věta 3.(O časové hierarchii)[13] FPT W[1] W[2]... W[SAT] W[P] XP (2.1) 2.3 Datová redukce Datová redukce je technika, jak z instance nějakého problému v polynomiálním čase vyrobit menší instanci daného problému tak, že obě instance jsou buď kladné nebo záporné. To je dobré, protože to snižuje čas potřebný k vyřešení problému, což je obzvláště patrné při použití exponenciálního algoritmu. Pokud se nám dokonce podaří redukovat instanci problému na velikost nejvýše g(k), kde k je parametr a g(k) je vyčíslitelná funkce, pak mluvíme o tzv. jádru problému. Definice 24.(Jádro problému) Nechť L je parametrizovaný problém a(i, k) je jeho instance.pakredukcínajádroproblémurozumímetransformaciz(i,k)na(i,k ), takovou, že 1. k k 2. I g(k)pronějakouvyčíslitelnoufunkci g(k) 3.(I,k) L (I,k ) L 4. danou redukci lze provést v deterministickém polynomiálním čase Instanci(I,k )nazývámejádroproblému. 13

KAPITOLA 2. PARAMETRIZOVANÁ SLOŽITOST Příklad: Na příkladě vrcholového pokrytí s parametrem velikosti vrcholového pokrytí ukážeme, jak se datová redukce provádí v praxi. Máme tedy instanci problému, graf G(V, E), a chceme vrcholové pokrytí velikosti nejvýše k, což je parametr. Použijeme následující redukční pravidla: P1.Vrcholystupněnulasmažzgrafu G. P2.Pokud v V mástupeňjedna,taksmažzgrafu GvrcholvN G [v]anastav k= k 1. P3.Pokud v V mástupeňvětšínež k,paksmažzgrafuvrchol v anastav k= k 1. Pravidla postupně aplikujeme tak dlouho, dokud můžeme použít alespoň jedno z pravidel.pokudvýslednýgraf G mávícenež k 2 hrannebo k 2 +kvrcholů,pakgraf nemá vrcholové pokrytí velikosti nejvýše k. V opačném případě jsme získali jádro o velikosti O(k 2 ),kterélzevyřešithrubousilou. 14

Kapitola 3 Hvězdné systémy Problém rekonstruovatelnosti v této kapitole přeformulujeme tak, aby byla možná i záporná odpověď, tj. na vstupu nemusí být seznam uzavřených okolí vrcholů. Proto problém rekonstrukce grafu zformulujeme jako rekonstrukci z hypergrafu, jehož hrany jsou případně uzavřená okolí vrcholů, ale nemusí tomu tak být. Otázka bude zformulována jako rozhodovací problém, zda daný hypergraf je hvězdným systémem nějakého grafu, avšak při jeho řešení dostaneme přímo algoritmy, které dají jako odpověď reprezentovaný graf G, nebo řeknou, že daný hypergraf není hvězdným systémem žádného grafu. Hvězdný systém pro daný graf G je hypergraf se stejnými vrcholy jako vrcholy původního grafu a hrany hypergrafu tvoří všechna uzavřená okolí vrcholů. 3.1 Úvod do rekonstrukce grafů z hvězdných systémů Definice 25. Nechť G je neorientovaný graf, pak hvězdný systém grafu G(V, E), značenýjako H(G)jehypergraf H(V,E ),kde E = {N[v] v V}. Obecně je otázka, zda daný hypergraf je hvězdným systémem nějakého grafu, NPúplná, což bylo dokázáno v publikaci[11]. Pro konkrétní třídy grafů je situace různá, dokonce pro některé třídy grafů je tento problém ve třídě P, dokázáno v publikaci [6]. Pro snadnější terminologii si zavedeme několik alternativních definic pro hvězdné systémy: Definice26.Nechť H(V,E )jehypergrafag(v,e)neorientovanýgraf,pak 1. Hypergraf H je rekonstruovatelný do grafu G, pokud H je hvězdným systémem grafu G. 2. Graf G je rekonstrukcí hypergrafu H, pokud H je hvězdným systémem grafu G. 3.Hypergraf Hjerekonstruovatelný,pokudexistujeneorientovanýgraf G takový, že H(G )=H. 15

KAPITOLA 3. HVĚZDNÉ SYSTÉMY Otázka, zda je hypergraf rekonstruovatelný, je tedy NP-úplná. Proto zavedeme obdobné definice pro třídy a rovnou zadefinujeme problém rekonstrukce grafu vzhledemknějakétříděgrafů.vzhledemktomu,žeprokonečnétřídygrafůlzeproblém rekonstrukce grafu řešit v konstantním čase(vyrobíme si seznam všech hvězdných systémů), předpokládáme nekonečně mnoho grafů ve třídě. Definice27.Nechť H(V,E )jehypergraf, Fjenekonečnátřídagrafů,pakhypergraf H je F-rekonstruovatelný, pokud existuje neorientovaný graf G ve třídě F takový, že H(G)=H. Problém rekonstruovatelnosti hypergrafu H se zabývá otázkou, jak přiřadit vrcholy hyperhranám hypergrafu H tak, aby z těchto hran vznikla správně definovaná uzavřená okolí vrcholů a byl tak jednoznačně určen rekonstruovaný graf. Proto si zavedeme ještě alternativní definici rekonstruovatelnosti: Věta4.Nechť H(V,S)jehypergraf.Pakexistujegraf G(V,E),prokterýplatí,že H(G)=H,právětehdy,kdyžexistujebijekce ϕ:s V snásledujícímivlastnostmi: (1) o S: ϕ(o) o, (2) o S, x o,x ϕ(o):ϕ(o) ϕ 1 (x), funkci ϕ také nazveme rekonstrukcí hypergrafu H. Důkaz. :MějmegrafG(V,E),prokterýplatí,žeH(G)=H,tedyS= {N[v] v V}a S = V.Definujmebijekci ϕ:s V takto: ϕ(n[v])=v.zbýváověřit vlastnosti(1) a(2). Vlastnost(1) je triviální, neboť vrchol v leží ve svém uzavřeném okolí,cožvyplývápřímozdefinice.nynívezměmenějaké o=n[v],v V a x o,x v.protože x v x N[v],vgrafu Gje xsoused vanavíc ϕ(o)=v.tedy uvažme ϕ 1 (x)=n[x].protožehrana vx E, v N[x],aproto v= ϕ(o) ϕ 1 (x), čímž je vlastnost(2) dokázána. :Mějmetakovoufunkci ϕ,zkonstruujemegraf G=(V,E),prokterýbude platit, že H(G) = H následujícím způsobem: vrcholy budou z definice stejné jako vrcholyhypergrafu.položme E= {uv o S,u=ϕ(o),v o \ {ϕ(o)}}.nejprve dokažme,žeprokaždouhranu uv E,platí,že vu E,atedygrafmůžeme považovatzaneorientovaný,neboťvedehranatamizpět.zvolme uv E,kde u=ϕ(o)pronějaké o S,apoložme o = ϕ 1 (v).protože u v,zvlastnosti (2)plyne,že u=ϕ(o) ϕ 1 (v)=o.protože v=ϕ(o )au o \ {v},jesplněna podmínkavdefinici E,aproto vu Ea Gjeneorientovanýgraf. Zbývádokázat,že H(G)=H.Vezměme v V apoložme o=ϕ 1 (v).chceme dokázat,že o=n[v].protožegraf Gjeneorientovanýabyldefinovántak,žehranyz vrcholu ϕ(o)=vvedoudovrcholů o\{v},platí,že N(v)=o\{v}.Dálezvlastnosti (1)víme,že v=ϕ(o) o.proto N[v]=(o \ {v}) {v}=o.protožetoplatípro každý vrchol, dostáváme, že H(G) = H. Většina algoritmů uvedených zde v této práci bude fungovat tak, že budou určitým způsobem hledat takové funkce ϕ, které budou rekonstrukcí předloženého hypergrafu, v opačném případě prohlásí, že hypergraf není rekonstruovatelný, pokud 16

KAPITOLA 3. HVĚZDNÉ SYSTÉMY žádná taková funkce neexistuje. Z tohoto důvodu si ještě zavedeme pojem částečné rekonstrukce hypergrafu. Definice28.Nechť H(V,S)jehypergraf, V V,S Safunkce ϕ:s V je bijekce a splňuje (1) o S : ϕ(o) o, (2) o S, x o,x ϕ(o),x V : ϕ(o) ϕ 1 (x) Takovou funkci ϕ nazveme částečnou rekonstrukcí hypergrafu H. V případě, že existujerekonstrukcehypergrafu ψaϕ=ψ S,paknazvemefunkci ϕpoctivourekonstrukcí hypergrafu, v opačném případě nazveme funkci ϕ falešnou rekonstrukcí hypergrafu.vpřípadě,že V = V,jefunkce ϕpřímorekonstrukcíhypergrafu H. Obecný algoritmus bude fungovat tak, že postupným rozšiřováním částečných rekonstrukcí dostane úplnou rekonstrukci hypergrafu, případně dokáže, že daný hypergraf není rekonstruovatelný. Kontrolu, zda daná funkce splňuje podmínky(1) a(2), lze snadno provést v polynomiálním čase. Pokud reprezentujeme množiny jako například vyvážené binárnívyhledávacístromy,pakověřenípodmínky(1)trvá O( V log V ),neboťv každémnožině o Sjenejvýše V prvků,tedypřipoužitíbinárníhovyhledávacíhostromuvyhledámeprvek ϕ(o)vmnožině ovčase O(log V ),amnožinjeprávě S = V, jinak ihned zamítneme rekonstruovatelnost grafu. Ověření podmínky(2) jeobdobné,vkaždémstroměpostupněprocházímeprvky x o,x ϕ(o),x V,a prvek ϕ(o)vyhledámevϕ 1 (x)opětvčase O(log V ),celkembudečasovásložitost O( V 2 log V ).Funkci ϕmůžemereprezentovatnapříkladjakodvojitépoleukazatelů na množiny a vrcholy. Pokud místo binárních vyhledávacích stromů použijeme hašovacítabulky,zmizíifaktorlog V. Input:(V,V,S,S,ϕ) 1begin 2 if V= V a S= S then 3 return ANO 4 end 5 o libovolnýprvekzs \S 6 foreach x o\v do 7 ψ ϕ {(o,x)} 8 if ψječástečnárekonstrukceazároveňobe(v,v {x},s,s {o},ψ) then 9 return ANO 10 end 11 end 12 return NE 13end Algoritmus1:ObecnýalgoritmusOBE(V,V,S,S,ϕ) 17

KAPITOLA 3. HVĚZDNÉ SYSTÉMY Algoritmus rozhoduje rekonstruovatelnost hypergrafu H(V, S), pokud se mu zadají tyto parametry na vstupu:(v,,s,, ). Věta 5. Korektnost a složitost algoritmu OBE: 1.(korektnost) Nechť H(V, S) je rekonstruovatelný hypergraf. Pak algoritmus 1 spuštěnýsparametry(v,, S,, )vrátíodpověďano.pokud H(V,S) není rekonstruovatelný, pak algoritmus vrátí odpověď NE. 2.(složitost)Algoritmuspracujevčase O(n n n 2 logn),kde njepočetvrcholů. Důkaz. 1. Protože H(V, S) je rekonstruovatelný hypergraf, existuje jeho rekonstrukce ϕ:s V.Chcemedokázat,žealgoritmusvrátíodpověďANO.Algoritmus OBE reprezentuje backtracking skrz všechny možné částečné rekonstrukce, dokud buď nezkonstruuje úplnou, nebo vrátí odpověď NE. Nechť při rekurentnímvoláníalgoritmusobevybíráposloupnostprvků(o 1,o 2,...,o n ),o i S, i {1,...,n}.Ukážeme,žealgoritmusmůžezkusitvybratvrekurentním volání postupně posloupnost prvků (ϕ(o 1 ),ϕ(o 2 ),...,ϕ(o n )), tj. že daná cesta stromem backtrackingu existuje a algoritmus ji případně zkusí. Platí,že ϕ(o i ) o i \{ϕ(o 1 ),ϕ(o 2 ),...,ϕ(o i 1 )},protožefunkce ϕjebijekcea zároveňrekonstrukcehypergrafu,zjejížvlastnosti(1)dostaneme ϕ(o i ) o i. Zároveň,protože ϕjerekonstrukce,jerestrikce ϕ {o1,o 2,...,o i }částečnárekonstrukce, proto je vyhověno podmínce v cyklu a můžeme se zanořovat hlouběji do rekurze. Proto buď je algoritmem vyzkoušena tato větev rekurze a je vrácena odpověď ANO, nebo případně je vrácena odpověď ANO dříve, pokud se prochází nejdříve jiná úspěšná větev backtrackingového stromu. Naopak, pokud H(V, S) není rekonstruovatelný, algoritmus odpoví NE, neboť pokud by odpověděl opačně, našel by takovou bijekci ϕ, která je částečnou rekonstrukcípromnožinu V = V,cožbyznamenalo.ženašelúplnourekonstrukci, která ale neexistuje, protože H(V, S) není rekonstruovatelný. 2.Protožestupeňlistuvbacktrackingovémstromějeomezenna n = V,a hloubkarekurzejenejvýše S = V = n,algoritmusmusíprojítnejvýše n n vrcholůvbacktrackingovémstromě,tobysestalovnejhoršímpřípadě. Při přechodu do nového vrcholu v backtrackingovém stromu musí algoritmus ověřit,zdadanáfunkceječástečnourekonstrukcí,cožlzevčase O(n 2 logn). Zbývající práce v uzlech stromu je konstantní. Celkem tedy algoritmus vykoná práci O(n n n 2 logn). Pro třídu k-degenerovaných grafů existuje lepší algoritmus rozhodující rekonstruovatelnost hypergrafů(samozřejmě vzhledem k této třídě), založený na výběru množiny o S\S takovém,žepočetmožnostívyjádřenýjako o\v budeomezen konstantou k+1,cožznamená,žebacktrackingovýstrombudemítpouze(k+1) n listů. 18

KAPITOLA 3. HVĚZDNÉ SYSTÉMY Input:(V,V,S,S,ϕ) 1begin 2 if V= V a S= S then 3 return ANO 4 end 5 o arg min o S\S o \V 6 if o\v k+1then 7 foreach x o\v do 8 ψ ϕ {(o,x)} 9 if ψ je částečná rekonstrukce a zároveň DEG(V,V {x},s,s {o},ψ)then 10 return ANO 11 end 12 end 13 end 14 return NE 15end Algoritmus 2: Algoritmus DEG pro třídu k-degenerovaných grafů Věta 6. Korektnost a složitost algoritmu DEG: 1.(korektnost) Nechť H(V, S) je rekonstruovatelný hypergraf vzhledem ke třídě k-degenerovaných grafů. Pak algoritmus 2 spuštěný s parametry(v,, S,, ) vrátí odpověď ANO. Pokud H(V, S) není rekonstruovatelný, pak algoritmus vrátí odpověď NE. 2.(složitost)Algoritmuspracujevčase O((k+1) n n 2 logn),kde njepočetvrcholů. Důkaz. 1. Důkaz toho, že algoritmus je korektní, je analogií důkazu korektnosti algoritmu OBE. Jediné, co musíme dokázat, je, že pokud je hypergraf H(V, S) rekonstruovatelný vzhledem ke třídě k-degenerovaných grafů, pak můžeme vybratvkaždémrekurentnímvolání o S \S takové,že o\v k+1.nechť ϕ je rekonstrukce hypergrafu H. Obdobnějakovpředchozímdůkazuuvažmeposloupnostvybránímnožin o i v rekurzivním volání a indukcí podle i dokážeme, že v každém kroku můžeme vybrattakovéo i,prokteréplatí,že o i \V k+1,zároveňdokážememožnost, žealgoritmuszkoušívětevbacktrackingovéhostromu ϕ(o 1 ),...,ϕ(o i 1 ). Pro i=1tvrzenízjevněplatí.nechť i >1.Vtompřípaděplatí,že V = {ϕ(o 1 ),...,ϕ(o i 1 )}.Nechťtedyalgoritmusvybereo i S\S takové,že o i \V je nejmenší a hypergraf lze rekonstruovat do grafu G(V, E) reprezentovaného rekonstrukcí ϕ,kde o i = N[v]pronějakéurčité v V,ϕ(o i )=v.grafy G i G = G[V \ V ]jsouoba k-degenerovanézdefinicedegenerovanosti.graf G[V \V ]tedyobsahujevrcholstupněnejvýšek,pojmenujmehoxadostaneme nerovnost,že N G (x) k,tedy N G (x) {x} k+1.protože x / V, 19

KAPITOLA 3. HVĚZDNÉ SYSTÉMY dostávámenějakou o = ϕ 1 (x) S\S.Vgrafu Gmůžemítvrchol xhranys vrcholyve V.Protožeplatí,že N G [x]\v = N G [x],dostáváme,že o \V = N G (x) {x}\v = N G (x) {x} k+1.protože o i bylanejmenšítaková, musíplatit,že o i \V k+1,jinakbychomvybrali o. To,ževdanémkrokumůžemevybrat ϕ(o i ),sedokážeanalogicky,jakovpředchozím důkazu. Algoritmus tedy buď vyzkouší jinou větev a uspěje, nebo se nakonec dostane k této větvi backtrackingového stromu. 2.Backtrackingovýstrommáhloubkunejvýše navkaždémuzlusedělínanejvýše k+1větví.protomátentostromnejvýše(k+1) n uzlů.vkaždémuzlu udělápráci O(n 2 logn),protojecelkováčasovásložitost O((k+1) n n 2 logn). Pokud víme, že hypergraf H(V, S) je rekonstruovatelný do grafu G(V, E), existuje triviální způsob, jak zjistit stupeň jednotlivých vrcholů. Uvažme tuto rovnost: deg G (x)= {o x o,o S} 1 (3.1) Tatorovnostplatí,protožekaždývrchol xjeprávěvdeg G (x)+1množinách-ve svém uzavřeném okolí a v uzavřených okolích vrcholů, kterým je sousedem. 3.2 Současné teoretické výsledky Na téma hvězdných systémů bylo napsáno několik publikací, zejména[1],[4] a[6]. Uvedeme výsledky zejména z posledního zdroje. Autoři v něm studují speciální případ problému F-rekonstrukce. Problém rekonstrukce se zde uvažuje vzhledem ke třídě tzv. H-free grafů, což je třída grafů, které nemají indukovaný podgraf izomorfnísgrafem H.Včlánkubylodokázáno,žeproněkterégrafyjetentoproblém vetřídě P,zatímcoprojinéjevetřídě NP. Následující věta je dokázána ve zmíněné publikaci[6] a uvádí některé grafy H, proněžjeproblémvetřídě P. Věta 7.[6]Nechť H {P k,c k },kde k 4.Pakproblémrekonstruovatelnosti vzhledemke H-freegrafůmležívetříděsložitosti P. P k a C k sezdemyslícestaakružnicevelikosti k.autořitakédokázaličástečně charakterizovat třídu grafů, pro které je problém rekonstruovatelnosti N P-úplný, k tomu si uvedeme několik definic, převzatých opět z publikace[6]. Definice29.Nechť G=(V,E)jeneorientovanýgraf.Pakgrafem Grozumímegraf G =(V,E ),kde uv E uv / Eprodvavrcholy u vzv.graf Gnazveme doplňkem grafu G. Definice30.Nechť G=(V,E)jeneorientovanýgraf.Pakgraf B(G)jedefinovaný jakobipartitnígraf,kdepartityjsouzdvojenévrcholyzv,ahranavedezvrcholu a prvnípartitydovrcholu bdruhéparity,právětehdy,když ab E,analogickyzdruhé partity do první. 20

KAPITOLA 3. HVĚZDNÉ SYSTÉMY Definice 31. Nechť H je neorientovaný graf. Definujeme funkci f(h) z grafů do kladných čísel a nekonečna. Pokud graf B(H) je acyklický a neobsahuje komponentu sedvěmavrcholystupněvětšíchneždvě,pakpoložíme f(h) =.Vopačném případě, f(h) definujeme jako menší číslo z délky nejkratší indukované kružnice a z délky nejkratší cesty mezi vrcholy stupně větších než dvě v grafu B(H). Nyní uvedeme hlavní výsledek publikace[6], který částečně charakterizuje, pro které zakázané indukované podgrafy je problém rekonstruovatelnosti N P-úplný. Věta 8.[6] Problém rekonstruovatelnosti pro třídu H-free grafů je N P-úplný, pokud f(h).navíc,pokud F jemnožinagrafů,prokteréexistujetakovépřirozené číslo n,žeprokaždé H F platí f(h) n,pakproblémrekonstruovatelnosti vzhledemketřídě F-freegrafůje NP-úplný. Tato věta nám poskytuje jistý ukazatel, že pro některé zakázané indukované podgrafyjeproblém NP-úplný,jakjevpublikaci[6]uvedeno,napříkladprocestya kružnice délky větší než pět. 3.3 Stromy a vrcholy malých stupňů Pokud uvažujeme třídu grafů, ve kterých lze vždy nalézt vrchol nějakého malého stupně, získáme tím poměrně značné zjednodušení problému rekonstruovatelnosti hypergrafů vzhledem k této třídě. Intuitivně, pokud dokážeme vždy najít množinu maléhostupně,mámeméněmožnostínavýběr,tedysemůžememéněspléstazcharakteru hran hypergrafu dokážeme získat další zajímavé informace. Například pokud uvažujeme stromy, problém rekonstruovatelnosti hypergrafů vzhledem ke stromům ležívetřídě P,ikdyžobecnýalgoritmuspro1-degenerovanégrafymávtomtopřípaděsložitost O(2 n n 2 logn). Následující lemma nám říká, jak se vypořádat s množinami velikosti 1, jehož důkaz je značně triviální. Postupně s rostoucí velikostí množiny značně roste komplexnost důkazu, což je pochopitelné, neboť obecný problém rekonstruovatelnosti je NP-úplný. Lemma1.Nechť H(V,S)jerekonstruovatelnýhypergraf, V V,S Sa ϕ:s V jepoctiváčástečnárekonstrukcevzhledemkmnožině S,jinakřečeno,existuje rekonstrukce ξ,prokterouplatífunkcionálnírovnice ϕ=ξ S.Dálenechť o S\S, o\v = {v}.paktakérozšíření ϕ,definovanéjako je opět poctivá částečná rekonstrukce. ϕ = ϕ {(o,v)} Důkaz.Jejasné,že ϕ jebijekce,neboť ϕjebijekce.dokážeme,že ξ(o)=v,pak ϕ = ξ S {o}jepoctiváčástečnárekonstrukce.zvlastnostirekonstrukceplatí,že ξ(o) o.zároveň ξjebijekce,proto ξ(o) / {ξ(o ) o S }=V.Protože ξ(o) / V a zároveň ξ(o) o,nutněmusíplatit,že ξ(o) o\v.protože o\v jejednoprvková množina, nezbývá jinak, než ξ(o) = v. 21

KAPITOLA 3. HVĚZDNÉ SYSTÉMY Toto lemma nám říká, jak se zachovat k jednoprvkovým množinám při nalezení částečných rekonstrukcí. Pro představu, pokud je funkce ϕ rekonstrukce nějakého hypergrafu H(V,S),kde ϕrekonstruujehypergraf Hdografu G(V,E)aϕ jejeho částečnárekonstrukcevzhledemks,v,pokudsevs \ S vyskytnetakové o,že o\v = {v},pakvgrafu G[V \V ]jeizolovanývrchol v,kterýjsmenašímlemmatem detekovali a korektně jsme rozšířili částečnou rekonstrukci o jeden prvek. Následující lemma nám řekne, jak se zachovat k dvouprvkovým množinám. Lemma2.Nechť H(V,S)jerekonstruovatelnýhypergraf, V V,S Sa ϕ:s V jepoctiváčástečnárekonstrukcevzhledemkmnožině S,jinakřečeno,existuje rekonstrukce ψ,prokterouplatífunkcionálnírovnice ϕ=ψ S.Dálenechť o S\S, o\v = {u,v}.paklzevčase O(n 2 logn)vybrat x o\v tak,že je opět poctivá částečná rekonstrukce. ϕ = ϕ {(o,x)} Důkaz.Uvažmegraf G = G[V \V ],kde Gjegrafvzniklýzrekonstrukce ψ.uvažme vrcholy u,vvtomtografu.protože o\v =2,alespoňjedenztěchtovrcholůmá stupeň jedna, tento vrchol má hranu pouze s druhým vrcholem. Najdeme takové o S \(S {o}),že {u,v} o.takové o existuje,neboťuzavřenéokolídruhého vrcholuobsahuje {u,v},cožjezajištěnozexistencehrany uv E(G ).Zároveňje o určenojednoznačně,neboťvrcholsestupněmjednasevyskytujepouzevedvou uzavřených okolích- ve svém uzavřeném okolí a v uzavřeném okolí vrcholu, se kterým je spojen hranou. Pokuddeg G (u) = 1,deg G (v) > 1,paknutněmusíplatit ψ(o) = u,protože ψ 1 (u)\v =deg G (u)+1=2,cožbyneplatilo,kdyby ψ(o)=v.rozšíříme ϕo {(o,u)}.případdeg G (u) >1,deg G (v)=1jesymetrický. Nechťtedydeg G (u)=1,deg G (v)=1advojicevrcholů {u,v}tvořívgrafu G komponentu,konkrétněkliku K 2.Bezújmynaobecnostipředpokládejme,že ψ(o)= uaψ(o ) = v.pokudrozšíříme ϕo{(o,u),(o,v)},dostanemenovoučástečnou rekonstrukcidefinovanoujako ψ S {o,o }.Pokud ϕrozšířímeo{(o,v),(o,u)},může nastatchybavpřípadě,ževgrafu Gvedourůznéhranyodvrcholů u,v,tj. N G [u] N G [v].vpřípadě,že o = o,můžemetytomnožinyzaměnit,arozšíření ϕbude pořád splňovat podmínky(1) a(2) pro částečné rekonstrukce. Pokud existuje takové x V,že xu E(G),xv / E(G),přizáměnědojdekporušenípodmínky(2)aselže testčástečnérekonstrukcesezadáním ϕ {(o,v),(o,u)},tedykorektněurčíme,že ψ(o)=uarozšíříme ϕo{(o,u)}. Předpokládejmetedy,že o=o,naleznemenovourekonstrukci.definujme ψ : S V tak,že ψ = ψna S \ {o,o }aψ (o)=v,ψ (o )=uachcemedokázat, že ψ jerekonstrukcí,rovnouvidíme,že ψ jebijekceasplňujevlastnost(1).nyní musímedokázat,ževpřípadě o=o jesplněnapodmínka(2)profunkci ψ.platí p S, x p,x ψ(p):ψ(p) ψ 1 (x),protože ψjerekonstrukce.nechť p S \{o,o }takové,že u p.pakzrovností ψ S\{o,o }= ψ S\{o,o }a ψ 1 (u)=ψ 1 (v) dostáváme, že p S \{o,o }, x p,x ψ (p):ψ (p) ψ 1 (x). 22

KAPITOLA 3. HVĚZDNÉ SYSTÉMY Proberemetaképřípad,že p=o.tedy x o,x ψ(o):ψ(o) ψ 1 (x),neboli x o,x u:u ψ 1 (x) achcemeukázat,že x o,x v:v ψ 1 (x).protožeale N G [u]=n G [v],musí N G (x)buďobsahovat {u,v},nebo N G (x) {u,v}=.vpřípadě,že x {u,v}tak vtriviálněležívoio,tedy v ψ 1 (x).pokud x / {u,v},tak N G (x) {u,v} =, aproto {u,v} N G (x).ztohoopět v ψ 1 (x)atedy ψ jerekonstrukce. Nyní,pokud ϕ = ϕ {(o,u),(o,v)},tak ϕ = ψ S {o,o },naopakkdyž ϕ = ϕ {(o,v),(o,u)},tak ϕ = ψ S {o,o },voboupřípadechsejednáočástečnou rekonstrukci a lemma je tím dokázáno z hlediska korektnosti. Cosetýčečasovésložitosti,kontrolastupňůmásložitost O(n),najít o trvá O(nlogn)azkontrolovatčástečnérekonstrukcetrvá O(n 2 logn). Nyní máme dostatečné prostředky, abychom zkonstruovali polynomiální algoritmus, řešící problém rekonstruovatelnosti hypergrafů vzhledem ke třídě lesů, tj. 1-degenerovaných grafů. Input: Hypergraf H(V, S) 1 ϕ,v,s 2while S \S do 3 o arg min o S\S o \V 4 switch o\v do 5 case {v} 6 V V {v},s S {o},ϕ ϕ {(o,v)} 7 endsw 8 case {u,v} 9 PoužijLemma2azjisti,prokteré x {u,v}je ϕ {(o,x)} částečná rekonstrukce 10 V V {x},s S {o},ϕ ϕ {(o,x)} 11 endsw 12 otherwise 13 return NE 14 endsw 15 endsw 16end 17if ϕjerekonstrukcethen 18 return ANO 19 else 20 return NE 21end Algoritmus 3: Algoritmus TREE pro 1-degenerované grafy 23

KAPITOLA 3. HVĚZDNÉ SYSTÉMY Věta 9. Korektnost a složitost algoritmu TREE: 1.(korektnost) Nechť H(V, S) je rekonstruovatelný hypergraf vzhledem ke třídě 1-degenerovaných grafů. Pak algoritmus TREE vrátí odpověď ANO. Pokud H(V, S) není rekonstruovatelný vzhledem k této třídě, pak algoritmus vrátí odpověď NE. 2.(složitost)Algoritmuspracujevčase O(n 3 logn),kde njepočetvrcholů. Důkaz. Nechť hypergraf H(V, S) je rekonstruovatelný do stromu T, jehož rekonstrukcejefunkce ψ.pakprolibovolné V V platí,že T[V \ V ]jestromnebo les,aprotoobsahujevrcholstupněnejvýšejedna.když ϕ:s V ječástečná rekonstrukce,existuje o S \S takové,že o\v 2.Indukcípodlepočtukroků cyklu dokážeme, že v každé iteraci algoritmus zkonstruuje korektně větší poctivou částečnourekonstrukci.nazačátkuje ϕ= =ψ určitěpoctiváčástečnárekonstrukce. Předpokládejme, že v nějakém i-tém kroku cyklu máme poctivou částečnou rekonstrukciachcemedokázat,žejimámeivi+1kroku.protože o \ V a o\v 2,mámebuď o\v = {v},nebo o\v = {u,v}pronějaké u,v V \V. Použitím lemmat 1 a 2 dostaneme novou větší poctivou částečnou rekonstrukci, algoritmuspoužívátatolemmatajakopodprogramy.pokud S \ S =,pakjsme dostali poctivou částečnou rekonstrukci, která je úplnou rekonstrukcí a algoritmus vrátí odpověď ANO. Pokud hypergraf H(V, S) rekonstruovatelný není, algoritmus vrátí odpověď NE, protože na konci ověřuje, zda je funkce ϕ rekonstrukcí tohoto hypergrafu. Konečnost jezajištěnaztohodůvodu,ževkaždéiteracicyklusebuďzvětšívelikost S ojedna (a S je konečná množina), nebo algoritmus vrátí odpověď NE, a to když velikost množiny o\v nebudesouhlasitaťužztohodůvodu,žejeprázdná,nebožemávíce prvků než dva. Cosetýčesložitosti,výběr otrvá O(logn),pokudsidržímevelikosti o \ V v haldě, kterou pak upravujeme. Počet iterací while cyklu je nejvýše n. Zjistit, zda je množina velikosti jedna, trvá konstantní čas, případná aplikace lemma 2 trvá čas O(n 2 logn).ověřitnakoncivlastnostirekonstrukcetrváopět O(n 2 logn).celkem získámečas O(n 3 logn). 3.4 Větaozáměně Následující věta jistým způsobem charakterizuje vnitřní strukturu, případně počet rekonstrukcí daného hypergrafu H(V, S). Pokud se vyskytuje v rekonstrukci G(V, E) velká klika, která je jistým způsobem napojena na zbytek grafu, pak existuje značný počet různých rekonstrukcí hypergrafu H(V, S), které jsou s grafem G(V, E) izomorfní. Věta 10.(O záměně) Nechť H(V, S) je rekonstruovatelný hypergraf a ϕ je jeho rekonstrukcedografu G(V,E).Nechť A V jemnožinavrcholůtaková,že G[A]je úplnýpodgrafgrafu Gtakový,žeprokaždédvavrcholy u,v Aplatí,že N G [u]= N G [v].dálenechť f: A Ajebijekce. 24

KAPITOLA 3. HVĚZDNÉ SYSTÉMY Pak ϕ V\A f ϕ A jerekonstrukcehypergrafu H(V,S)taková,žegrafdefinovaný touto rekonstrukcí je s G izomorfní. Důkaz.Označme ψ=ϕ V\A f ϕ A.Zobrazení ψjeurčitěbijekce,kterásplňuje vlastnost(1) rekonstrukcí, protože všechny vrcholy z A mají stejná uzavřená okolí, tedy f(v) N G (u) {u}pro u,v A.Prosporpředpokládejme,že ψnesplňuje vlastnost(2), tedy že Rozborem případů dokážeme spor. o S x o,x ψ(o):ψ(o) / ψ 1 (x) a)nechť ψ(o) A,tedy ojeokolínějakéhovrcholu v A.Proto ψ(o)=f ϕ(o). Jestliže x A,pakdíkytomu,že G[A]jeúplnýgrafaψ 1 (x)jeuzavřenéokolí nějakéhovrcholu f 1 (x)=x Avgrafu G,pakplatí,že ψ(o) A N G [x ] ϕ 1 (x )=ψ 1 (x),cožjesporstím,že ψ(o) / ψ 1 (x). Jestliže x / A,pak ψ 1 (x)=ϕ 1 (x).kdyby ψ(o) / ϕ 1 (x),znamenalobyto, že f ϕ(o) / ϕ 1 (x).protože N G [ψ(o)] = N G [f(ϕ(o))] = N G [ϕ(o)],pakani ϕ(o) / ϕ 1 (x),cožjesporstím,že ϕjerekonstrukce. b) ψ(o) / A.Pak ψ(o)=ϕ(o).jestliže x / A,pak ψ 1 (x)=ϕ 1 (x)aϕnemá vlastnost(2), což je spor. Kdyby x A,pak ψ 1 (x)=ϕ 1 (f 1 (x))=ϕ 1 (x),protože G[A]jeúplnýgrafa N G [x]=n G [f(x)].pakale ϕ(o) / ϕ 1 (x),cožjespor. Protože se jedná o permutaci vrcholů kliky a tyto vrcholy mají stejné sousedy, graf G reprezentovanýrekonstrukcí ψjespůvodnímgrafemizomorfní. 25

Kapitola 4 Třída 2-degenerovaných grafů V této kapitole se budeme zabývat třídou 2-degenerovaných grafů. Naším záměrem bylo dokázat, že problém rekonstruovatelnosti vzhledem ke třídě 2-degenerovaných grafů lze řešit v polynomiálním čase. Tato otázka je však příliš obtížná, a proto jsme nebyli schopni ji zcela vyřešit. Identifikovali jsme graf J, který je na obrázku 4.1, pro nějž je problém rekonstruovatelnosti vzhledem ke třídě grafů bez tohoto indukovaného podgrafu N P-úplný. Pokud se omezíme na třídu 2-degenerovaných grafů bez tohoto indukovaného podgrafu, tak tento problém vzhledem k této nové tříděležívp.zároveňdokážeme,žepokudzvolímeparametrizovanoutřídugrafů F k jako třídu 2-degenerovaných grafů s nejvýše k indukovanými podgrafy izomorfními s J,pakproblémrekonstruovatelnostigrafůvzhledemkF k ležívetřídě FPT s parametrem k. 4.1 Problémový graf Nejprve ukážeme, že pro graf J je problém rekonstruovatelnosti vzhledem ke třídě J- free grafů N P-úplný, a pak budeme zkoumat 2-degenerované grafy bez indukovaného podgrafu izomorfního s grafem J. Obrázek4.1: Problémový graf J Věta 11. Rekonstruovatelnost grafů vzhledem ke třídě J-free grafů, kde J je graf na obrázku4.1,je NP-úplnýproblém. Důkaz.VdůkazuvyužijemeVětu8dokázanouvčlánku[6],tím,žedokážeme,že f(j).ktomuzkonstruujemegraf J,kterýjenaobrázku4.2. 26

KAPITOLA 4. TŘÍDA 2-DEGENEROVANÝCH GRAFŮ Obrázek 4.2: Graf J Jakjezobrázkupatrné,graf Jobsahujecyklus,aprotoigraf B(J)obsahuje cyklus.proto f(j) apodlevěty8jeproblém NP-úplný. 4.2 2-degenerované grafy bez J jako indukovaného podgrafu Ukážeme, že pokud bereme v úvahu třídu 2-degenerovaných grafů bez indukovaného podgrafuizomorfníhosgrafem J,paksvrcholystupně2siuždokážemesnadno poradit, což tvrdí následující věta: Věta 12. Nechť H(V, S) je rekonstruovatelný hypergraf, a to vzhledem ke třídě 2-degenerovanýchgrafůbezindukovanéhopodgrafuizomorfníhosgrafem J, V V,S Sa ϕ:s V jepoctiváčástečnárekonstrukcevzhledemkmnožině S, jinakřečeno,existujerekonstrukce ψ,prokterouplatífunkcionálnírovnice ϕ=ψ S. Dálenechť o S\S, o\v = {u,v,w}.paklzevčase O(n 3 logn)vybrat o S\S a x o \V tak,že ϕ = ϕ {(o,x)} je opět poctivá částečná rekonstrukce. K důkazu této věty ještě budeme potřebovat následující definici. Definice 32. Nechť H(V, S) je(ne nutně rekonstruovatelný do grafu) hypergraf. PakoznačmeΩ A = {o o S,A o},kde A V.DáleoznačmeΓ A = Ω A.Pokud nebude z kontextu jasné, ke kterému hypergrafu se uvedené symboly vztahují, pak jako horníindexzaγaωpoužijemeoznačenídanéhohypergrafu,tj.γ H A aωh A. Jejasné,žepokudhypergraf H(V,S)jerekonstruovatelnýax,y V,Γ {x,y} označujepočetcestdélkydvěplusdvakrátpočethranmezivrcholy x,yvlibovolné rekonstrukci G(V, E). Důkaz. Důkaz provedeme rozborem případů, o nichž pak dokážeme, že pro každý 2-degenerovaný graf bez indukovaného podgrafu izomorfního s grafem J nastane právě jeden z těchto případů. Předpokládejme tedy, že G(V, E) je graf definovaný 27

KAPITOLA 4. TŘÍDA 2-DEGENEROVANÝCH GRAFŮ rekonstrukcí ψag = G[V \ V ]jejehoindukovanýpodgrafomezenýnavrcholy mimo V.Dálepředpokládejme,žeminimálnístupeňvgrafu G jedvě,neboťna nižšístupněpoužijemelemma2alemma1. Dáleoznačmerestrikcihypergrafu H původníhohypergrafu Hvzhledemkčástečnérekonstrukci ϕjako H =(V \ϕ(s ),{p\ϕ(s ) p S\S })azároveňoznačme restrikci q A = q \Aprolibovolné q S,alevdůkazunebudemerozlišovatmezi qa q A,tj.jdejenotechnickouterminologiiurčenoukzkrácenídůkazu,abychomvšude nepsali q \A,stejnětoplatíprohranyhypergrafu H. a)existujíprávětřimnožiny,jejichžpodmnožinouje {u,v,w},označmeje o,o,o, kdeojenašepůvodnímnožinazpředpokladůvěty.jinakřečeno,ω H o V = {o,o,o }. Pakale G [o V ]jeizomorfnísgrafem K 3,tedyvrcholyzo V tvořítrojúhelníkjak vgrafu G takig,neboťzbývajícídvěmnožinytvoříokolívrcholu ψ(o),tj. ψ({o,o,o })={u,v,w} o,o,o,aproto {ψ(o)ψ(o ),ψ(o )ψ(o ),ψ(o)ψ(o )} E E. Vrchol ψ(o)nenínapojennažádnýzjinýchvrcholů,nežnavrcholyzmnožiny {u,v,w},proto ψ(o) Q={u,v,w}\ p V, p S\(S Ω H o ) protožehvězdyvrcholůzmnožiny {u,v,w}jsouprávěω H o.pokud Q =1,pak jsmebyliúspěšníaψ(o)jeprávětenjedenprvekvq.vopačnémpřípaděnevedou hranyzvrcholůvqdolibovolnéhovrcholu x / {u,v,w}vgrafu G,avšakmohou véstrůznéhranymezivrcholy ψ(o),ψ(o )aψ(o )avrcholy V vgrafu G.Proto prokaždývrchol α {u,v,w}otestujeme,zda ϕ {(o,α)}splňujepodmínky (1) a(2) pro částečné rekonstrukce. V případě, že je nesplňuje, očividně platí ψ(o) α.vpřípadě,žejesplňuje,očividněmusíplatit,že N G [α]=n G [ψ(o)], aprotopodlevěty10(větaozáměně)platí,že ϕ {(o,α)}jepoctiváčástečná rekonstrukce. b)bezújmynaobecnostiplatí,žedeg G u=2,deg G v >2adeg G w >2.Zdeje situacetriviálníamusínutněbýt ψ(o)=u,protože3= o V =deg G ψ(o)+1, cožbyneplatilo,kdyby ψ(o) {v,w}.proto ϕrozšířímeo(o,u),cožjepoctivá částečná rekonstrukce. c)bezújmynaobecnostiplatí,žeγ H {u,v} =ΓH {u,w} =2aΓH {v,w} =1.Pokudby existovalahrana vw G,paknutně v N G [w]aw N G [v],aprotobymuselo platit,žeγ H {v,w} 2.Kdyby ψ(o) {v,w},takbytatohranaexistovala,cožje sporspředpokladem.proto ψ(o)=uaϕrozšířenáo(o,u)jepoctiváčástečná rekonstrukce. Zdejenutnododat,ženemůženastatpřípadΓ H {v,w} >2,protožebydřívenastal případ b). 28

KAPITOLA 4. TŘÍDA 2-DEGENEROVANÝCH GRAFŮ d)platí,žeγ H {u,v} =ΓH {u,w} =2aΓH {v,w} =2.Dálenechťbezújmynaobecnosti deg G u=deg G v=2.protoževrcholy {u,v,w}netvořípodgraf G izomorfní K 3,nutněexistujevrchol xtak,že {u,v,w,x}tvořívg indukovanoukružnici délky čtyři. Bez újmy na obecnosti existují množiny o V o V o V o V = {u,v,w}, = {u,v,x}, = {v,x,w,...}, = {u,x,w,...}, proněžplatí,že ψ({o,o,o,o })={u,v,w,x}.takovéčtyřimnožinyexistují unikátně,neboťdíkypředpokladůmlzesnadnoověřit,žeprávějedno x V \V můžesplňovattytopředpoklady,kdybyjichbylovíc,vrchol unebo vbyneměl stupeň2vg.nadálepředpokládejme,žedeg G xnebodeg G wnenírovendvěma, a opět rozborem případů dokážeme rozšířit ϕ tak, aby daná funkce byla částečná rekonstrukce. i)jestližedeg G x deg G w,pakpodlevelikosti o V a o V dokážemenajít buď ψ(o ),nebo ψ(o ).Pokuddeg G x <deg G wa o V < o V,paknutně ψ(o )=w,ostatnípřípadyjsouanalogickéarozšíříme ϕonalezenoumnožinu a vrchol. ii)nyní platí, že deg G x = deg G w > 2, jinak by nastal případ i). Proto ψ({o,o })={w,x}.nechťexistuje s S \(S {o,o,o,o })takové, že x s,w / sas V o V = {x}.nevímesice,kterývrcholje ψ(s),ale víme,žejesousedemvrcholu x.pokudbyplatilo,že ψ(o )=x,paknutně ψ(s) o,protožehrana xψ(s) E(G ) E(G).Potombymuseloplatit, že s V o V 2,cožjespor.Protoplatí ψ(o )=warozšíříme ϕo(o,w). Analogickyotestujemevšechnydalšímožnosti,tj.množinu o aprohození xaw.tentobodpokrývápřípad,kdydovrcholu wnebo xvedenějaká hrana z cizí části grafu nenapojená cestou na druhý vrchol, nebo pokrývá případ,kdymezi waxvedeindukovanácestadélkynejméněpět,případně indukovaná cesta délky nejméně čtyři nekončící ve druhém vrcholu. iii)proberemepřípad,ževgrafu G jsouvrcholy w,xnapojenénajedenspolečnývrchol a V \V.Pakexistuje α S \(S {o,o,o,o })takové,že {w,x,a} α.ukážeme,že ψ(α)=a.protože ψ({o,o })={w,x},musí ψ(α) w,x,jinakby ψnebylabijekceatedyrekonstrukce.sporempředpokládejme ψ(α) a.protožeobavrcholy w,xmajíspolečnéhosouseda a, je {wx,wa,xa}podmnožinouhrangrafu G.Protoženavíc ψ(α) a,má vrchol ψ(α)společnésousedy w,x,a.protograf G obsahujevšechnyhrany zmnožiny {ψ(α)w,ψ(α)x,ψ(α)a}.proto G [w,x,a,ψ(α)]jeúplnýgraf K 4, kterýnení2-degenerovaný,cožjesporspředpokladem,že GiG jsou2- degenerovanégrafy.protomusíbýt ψ(α)=aaϕrozšířímeo(α,a),což bude opět poctivá částečná rekonstrukce. Zbývápřípad,kdystupněvrcholů u,v,w,xjsouvšechnyrovnydvěmaagraf G [u,v,w,x]jekružnice C 4.Tatokružnicejesicekomponentagrafu G,avšak 29

KAPITOLA 4. TŘÍDA 2-DEGENEROVANÝCH GRAFŮ nemusí být komponentou grafu G. Proto podmínka(2) může být porušena jen vzhledemkmnožinám S a o,o,o,o,cožlzesnadnootestovatvyzkoušením všech 24 kombinací. Pokud ϕ rozšířená o některou z těchto kombinací splňuje podmínky(1)a(2)ajebijekce,pakužjetonutněpoctiváčástečnárekonstrukce, protože nesprávné přirazení množin této kružnice vrcholům se projeví pouze při restrikcinagraf G[V {u,v,w,x}]. Dokážeme, že jsme probrali skutečně všechny možnosti, jak daný graf může vypadat.nechťtedymámegraf G a ujevrcholstupnědvěaojejehouzavřenéokolí, N G [u]={v,w}.pokudobasousedivrcholu umajístupeňvětšíneždvě,nastane případb).pokud G[o V ]jeúplnýgrafnatřechvrcholech,paknastanepřípada). Pokud vw / E(G )amezivrcholy va wnevedecestadélkydvěneprocházejícípřes vrchol u,paknastávápřípadc),kdyγ H {v,w} =1.Nynízbýváposlednímožnost,kdy spolusdalšímvrcholem x V \ V tvoří G [u,v,w,x]cyklusdélkyčtyři.pokud jetentocykluskomponentougrafu G,paknastaneposledníčástpřípadud).Jinak nechťnapříklad wmávětšístupeňneždvě,případ vjesymetrickýaobazároveň nastat nemohou, na obrázku 4.3 jsou uvedeny různé případy pokryté bodem d). x x x v w v w v w u případ i) u případ ii) u případ iii) Obrázek 4.3: Rozbory případů k důkazu Věty 12 Cosetýčesložitosti,všechnybodyjdouprovéstnejvýševO(n 3 logn). Nyní již máme potřebné prostředky k tomu, abychom dokázali zkonstruovat algoritmus, který řeší problém rekonstruovatelnosti hypergrafů vzhledem ke třídě 2- degenerovaných grafů bez indukovaného podgrafu izomorfního s grafem J. 30