as sudiu: 6 minu Cíl: o rosudování éo aiol bud um osa a ouží ro ois chnicých rocs: Erlangovo rozdlní Wibullovo rozdlní Logarimico normální rozdlní Vícrozmrné normální rozdlní VÝKLAD. Erlangovo rozdlní Uriým zobcnním onnciální náhodné vliin doba do rvní oruch náhodná vliina s Erlangovým rozdlním, rá oisu dobu do výsu -é událosi v oissonov rocsu. Erlangovo rozdlní sciálním m zv. Gamma rozdlní ro z množin clých ísl. Tno vzah vhodné zná, chcm-li nalzní disribuní unc, o. huso ravdodobnosi ouží saisicý sowar nré saisicé a maí imlmnováno ouz Gamma rozdlní a hodno Erlangova rozdlní a zísám dosazním íslušných aramr. Erlangovo rozdlní má dva aramr: o událosí aramr varu, sha, v Gamma rozdlní, nimž má doí a rchlos výsu cho událosí aramr mía, scal, v Gamma rozdlní. doba do výsu.událosi na obr. 4 as výsu má Erlangovo rozdlní
Má-li náhodná vliina Erlangovo rozdlní, znaím o ao: Erlang, Náhodnou vliinu s Erlangovým rozdlním si mžm dsavi ao sou nzávislých onnciálních náhodných vliin doba do výsu -é událosi soum dob mzi -ou a. událosí,. a. událosí,..., -. a. událosí. ro Erlangovo rozdlní s aramr a laí o vzah: Husoa ravdodobnosi: ; > Disribuní unc: F Innzia oruch: Sdní hodnoa: E Rozl: D Gra innzi oruch Erlangova rozdlní ro ; 3; 5; 7 E rla n g o v o ro z d l n í,8,6,4, 5 5 3 5 7 3
4 Innzia oruch v íad Erlangova rozdlní rosoucí unc a roo oo rozdlní vhodné ro modlování rocs sárnuí. rvodc sudim Náslduící asáž urna ro zámc o mamaicé ozadí oužívaných vzah. Odvozní disribuní unc Erlangova rozdlní Mm:... doba do výsu -é událosi v oissonov rocsu, ; Erlang N... o výsu událosi v asovém inrvalu ;, o N laí, ž v asovém inrvalu ; nasan also událosí, ráv dž doba do výsu -é událosi mnší nž. N < Z éo vivalnc lz odvodi disribuní unci Erlangova rozdlní. < < N N F Odvozní huso ravdodobnosi Husou ravdodobnosi zísám drivací disribuní unc: d df
Odvozní innzi oruch F Odvozní sdní hodno a rozlu Mm:... doba do výsu -é událosi v oissonov rocsu, Erlang ;... doba do výsu událosi v oissonov rocsu, E J zmé, ž Erlangova náhodná vliina s aramr ; onnciálních vliin s aramrm : i i soum Z vlasnosí sdní hodno vím, ž sdní hodnoa souu náhodných vliin rovna souu ich sdních hodno: E E i i Jdnolivé onnciální náhodné vliin sou nzávislé a roo aéž rozl souu náhodných vliin rovn souu ich rozl: D D i i Na náslduícím obrázu sou ílad huso Gamma rozdlní ro a rzné hodno. oznamnm, ž s rosoucím ros rozl ohoo rozdlní a oicin šimosi s ibližu nul rozdlní víc smricé. 5
. Wibullovo rozdlní Wibullovo rozdlní vlmi libilní dí aramru a roo s ím zména v orii solhlivosi oisuí soié náhodné vliin dinované ao doba do oruch doba bzoruchovosi. oužívá s zména i oisu omonn, ré sou v období ranných oruch nbo v období sárnuí. am d s rovu mchanicé oobní nbo únava mariálu. Wibullovo rozdlní má dva aramr: aramr mía scal, >, závisí na mariálu, namáhání a odmínách užívání a aramr varu sha, >, na ho hodno závisí var innzi oruch a ím i vhodnos oužií ro urié období dob živoa. Má-li náhodná vliina Wibullovo rozdlní, znaím o ao: Disribuní unc: W Θ, β β Θ F ; > ; Θ > ; β > Husoa ravdodobnosi: β Θ Θ β β Θ ; > ; Θ > ; β > Innzia oruch: β. Θ Θ β ; > ; Θ > ; β > Z vzahu ro innziu oruch Wibullova rozdlní zmé, ž: ons. β 6
a roo var innzi oruch závisí na volb aramru. Nré ílad innzi oruch Wibullova rozdlní : 8 6 4 3 4,5,,5,,5 Všimnm si, ž ro, d Wibullovo rozdlní v rozdlní onnciální onsanní innzia oruch s aramrm. Θ β W E Θ Θ; Z výš uvdného grau rovnž zmé oužií Wibullova rozdlní v závislosi na aramru : < β < období dsých nmocí... lsaící unc β období sabilního živoa ons.. rozdlní Θ < β < období sárnuí... onávní, rosoucí unc β období sárnuí... linárn rosoucí unc β > období sárnuí... onvní, rosoucí unc CD-ROM Na iložném CD-ROMu si mž rohlédnou animac zobrazuící vliv aramru varu Wibullova rozdlní na chararisi ohoo rozdlní. 7
.3 Logarimico-normální rozdlní Jsliž má náhodná vliina Y, Y ln, normální rozdlní s aramr a, a náhodná vliina má logarimico-normální rozdlní s snými aramr, což zaisum: LN ; Z dinic zmé, ž náhodná vliina s logarimico-normálním rozdlním mž nabýva ouz ladných hodno dininí obor ln. roo nachází ulanní i oisu náhodných vliin nabývaících ouz ladných hodno a o zména v íadch, d husoa ravdodobnosi asmricá šimos nní nulová s dním vrcholm. Znaný význam ohoo rozdlní d nacházím v orii solhlivosi rzné aramr souás nabývaí ouz ladných hodno živonos, rozmr, ažnos, a v onomii i oisu ím ímová rozdlní. Husoa ravdodobnosi: π ln ; ro > ro Disribuní unc: Disribuní unci log.-normálního rozdlní nalznm rosdnicvím disribuní unc normovaného normálního rozdlní. F ln - Φ ; ro > ro Sdní hodnoa: E Rozl: D %-ní vanil: z, d z %-ní vanil normovaného normálního rozdlní 8
Graicé znázornní huso ravdodobnosi a disribuní unc: ím zamsnanc isé irm LN.;4. i raicém oužívání ohoo rozdlní osuum a, ž náhodnou vliinu ndív vdm na Y ln a oom iž osuum sn ao u normálního rozdlní. rvodc sudim A o zd mám asáž ro zámc: Odvozní disribuní unc logarimico-normálního rozdlní: Nch: LN Y ln ; Y N ; F rs. F Y disribuní unc náhodné vliin rs. Y > : : F F Y < < Y < ln F ln Y ln Φ Odvozní huso ravdodobnosi logarimico-normálního rozdlní: husoa ravdodobnosi náhodné vliin > : ln dφ df ln ϕ d d π ln π ln 9
: Odvozní vzahu ro výo %-ního vanilu: < F ln Φ ln z ln z z Φ z šný ílad Nch náhodná vliina s logarimico-normálním rozdlním s aramr: ; 9. Ur: a ravdodobnos, ž náhodná vliina z inrvalu ;3 b mdián daného rozdlní c sdní hodnou a rozl náhodné vliin LN ;9 ada ravdodobnos, ž náhodná vliina z inrvalu ;3, mžm urova rovnž ao ravdodobnos, ž náhodná vliina mnší nž 3, nbo log.-normální náhodná vliina mž nabýva ouz ladných hodno. iomm si osu i urování disribuní unc log.-normální náhodné vliin: F ln - Φ ; ro > ro A nní iž dm urní hldané ravdodobnosi:
ln 3 < < 3 F 3 F Φ Φ,47, 68 nbo < < 3 < 3 F 3 Φ Φ,47, 68 9 ln 3 adb ro urní mdiánu mžm ouží vzah ro %-ní vanil, rý bl odvozn v rvodci sudim: 9 z z 9 7, 4,5,5 adc Sdní hodnou a rozl urím na zálad výš uvdných vzah: E E 9 3 665, D 9 9 9 D 3,6.4 Vícrozmrné normální rozdlní T Uvažum náhodný vor.,,, n. Vor má n-rozmrné normální rozdlní ravdodobnosi s aramr a, sliž ho husoa ravdodobnosi :,,, n π n Σ T Σ < <,,, n,, vor n rálných ísl, n d: T Σ n n n nn ovarianní maic cov, i smricá oziivn dininí maic u n;n i Σ drminan ovarianní maic Σ, Σ Σ invrzní maici maici Σ
roož maic Σ oziivn dininí, Σ > a invrzní maic Σ isu Má-li náhodná vliina n-rozmrné normální rozdlní ravdodobnosi s aramr a, znaím o ao:,σ N n Dvourozmrné normální rozdlní Sciálním íadm n-rozmrného normálního rozdlní dvourozmrné normální rozdlní. Kovarianní maic Σ má v omo íad var: Σ Všimn si, ž odmína nnulového drminanu ovarianní maic Σ slnna ro <. Husoa ravdodobnosi náhodného voru, T s dvourozmrným normálním rozdlním dána vzahm:, π Va: Nch, husoa náhodného voru, T s dvourozmrným normálním rozdlním N,Σ, d, vor sdních hodno a Σ ovarianní maic náhodného voru. a náhodné vliin a maí normální rozdlní N, a N,. Huso, nzávisí na orlaním oicinu. rvodc sudim ro zámc o hlubší ochoní sudované lá uvádím daz dcházící v: Husoa ravdodobnosi náhodného voru, T s dvourozmrným normálním rozdlním dána vzahm:, π Marginální huso nalznm ao:
3, d d π d π Zavdm si subsiuci: a: d d d d d π π π d d d π π π
4 Nní zavdm subsiuci: z a: d dz d π dz z π A naonc zavdm š dnu subsiuci: z a: dz d dz z π π π π π π d d Vidím, ž d o husou náhodné vliin s normálním rozdlním, N. Obdobn bchom uázali, ž marginální husoa náhodné vliin odovídá normálnímu rozdlní, N. J-li, a:, π π π π
a náhodné vliin, sou d nzávislé. šný ílad Nch náhodný vor, T má dvourozmrné normální rozdlní s aramr:,, 4, 6,,8. Sanov ravdodobnosi: a < < 4 3 < < 6 b Již výš sm si uázali, ž náhodné vliin a maí normální rozdlní N, a N,. ;4 N ada N ;6 4 < < 4 F 4 F Φ Φ Φ Φ,5 Φ Φ 4,84,69,53 4,5 adb < < 6 F 6 F 3 3,9 6 Φ 6 3 Φ 6 Φ,75 Φ,96,8 D 9 9 9 D 3,6 Oáz.. oiš náhodnou vliinu maící Erlangovo rozdlní. oiš náhodnou vliinu maící Wibulovo rozdlní 3. V m soívá libilia Wibullova rozdlní? užií ro rzná období innzi oruch 4. oiš náhodnou vliinu maící Logarimico normální rozdlní 5. oiš náhodný vor maící Vícrozmrné normální rozdlní 5