7 VYBRANÁ ROZDLENÍ SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIINY

Transkript

1 7 VYBRANÁ ROZDLENÍ SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIINY Pro nezáornou náhodnou veliinu X se sojitým rozdlením definujeme ro F(t) 1 (tj. F(t)<1) intenzitu oruch (t) : f ( ) ( t) t 1 F t Pedstavuje-li náhodná veliina X dobu do oruchy njakého zaízení, ak intenzita oruch vyjaduje, že okud do asu t nedošlo k žádné oruše, tak ravdodobnost, že k ní dojde v následujícím okamžiku malé délky t, je ibližn ( t). t : ( t X t + t X t) ( ) ( ) ( ) f t P < > 1 F t t ( t). t Intenzita oruch má ro vtšinu výrobk z technické rae charakteristický tvar vanové kivky. Jedním ze základních sojitých rozdlení ravdodobnosti je rozdlení rovnomrné (rektangulární) na intervalu (a;b). Název rozdlení Rovnomrné na (a;b) Pois Hustota ravdodobnosti EX DX f() je na (a;b) konstantní, jinde nulová 1 b a;b f ( ) b a 0 jinde a + ( a b) 1 Následující ti rozdlení jsou založena na Poissonovském rocesu, tj. na edokladu, že jednotlivé události nastávají nezávisle na sob, s konstantní rychlostí výskytu. Tato rozdlení se oužívají vtšinou ro ois náhodné veliiny definované jako doba do k-té události (oruchy), o. doba mezi událostmi (oruchami). Název rozdlení Eonenciální Pois Hustota ravdodobnosti, Distribuní funkce, intenzita oruch doba do rvní události, t f ( t) e ; t > 0; > 0 doba mezi událostmi -t (oisuje ouze období F (t) 1 - e ; t > 0; > 0 stabilního života) ( t ) konst.; t > 0; > 0 Erlangovo doba do k-té události k 1 t ( t) f ( t) e ( k 1 )! k 1 t ( ) ( t) F t 1 e ( t) k 1 ( k 1)! j 0 j 0 j! ; j 1 ( k 1 j)! t > 0 ( t) j EX 1 k DX 1 k

2 Weibullovo doba do rvní události (oruchy) (vhodná volba umož- uje oužití v libovolném období intenzity oruch) β t f ( t) Θ Θ F( t) 1 e β 1 e β t Θ β 1 β t Θ β t ( t ). Θ Θ t > 0; Θ > 0; β > 0 Nejdležitjším ravdodobnostním rozdlením oisujícím chování velkého množství náhodných jev v technice, ekonomii i v írodních vdách je rozdlení normální, jehož arametry jsou stední hodnota a roztyl, a jeho seciální ty rozdlení normované normální s arametry 0 a 1. Název rozdlení Normované normální Vlastnosti Hustota ravdodobnosti, Distribuní funkce distribuní funkce (z) je tabelovaná, hustota 1 ϕ ( ) e ; < < ravdodobnosti je π sudá funkce ( Gaussv klobouk ) t 1 Φ( ) e dt π EX 0 1 DX Normální distribuní funkci urujeme omocí standardizace normální náhodné veliiny 1 f ( ) e π µ ; < < F ( ) Φ µ 1 F( ) π e t µ dt V SPC (solehlivost a jakost, statistická kontrola jakosti) se ak velmi asto oužívá metoda 6 sigma. Pi oisu náhodných veliin nabývajících ouze kladných hodnot a to zejména v íadech, kdy hustota ravdodobnosti je asymetrická oužíváme logaritmicko-normální rozdlení. Název rozdlení Logaritmickonormální Vlastnosti Hustota ravdodobnosti EX DX distribuní funkci urujeme evodem na distribuní funkci normovaného normálního rozdlení F ( ) ln - µ Φ ; ro > 0 f ( ) 1 e π 0 ( ln µ ) ; ro > 0 ro 0 µ + e µ + e ( e 1) 0 ro

3 7.1. Seznamte se s možnostmi zracování sojité náhodné veliiny ve Statgrahicsu. Ukážeme si jaké informace nám Statgrahics nabízí ro sojité náhodné veliiny (konkrétn ro eonenciální). Obdobn jako v íad diskrétního rozdlení volíme: Menu Describe\Distributions\Probability Distributions a v okn Probability Distributions zaškrtneme ty rozdlení (Eonential). Provedeme RC na tetový výstu (levé dolní okno) a v menu Analysis Otions nastavíme arametry daného rozdlení. (V íad eonenciálního rozdlení zadáváme jako arametr stední hodnotu 1 ). Všimnte si, že Statgrahics umožuje souasn studovat informace o 1 až 5 rznými náhodnými veliinami daného tyu rozdlení. Grafické výstuy:

4 V ravém horním rohu se zobrazí hustota ravdodobnosti ( daného (daných) rozdlení, v ravém dolním rohu najdeme distribuní funkci tohoto (tchto) rozdlení. Nastavení grafických arametr obou graf rovádíme es menu Grahics Otions (zobrazí se o rovedení RC na oblast íslušného grafu.) Další funkcí, která oisuje sojitou náhodnou veliinu je intenzita oruch (hazardní funkce). Její graf získáme tak, že klikneme na ikonu Grahical Otions a zaškrtneme Hazard Function. Grahical Otions Ve všech íadech grafického výstuu mžeme oužívat funkci Zoom. Provedeme RC na oblast íslušného grafu a zvolíme oložku Zoom In

5 Obecn známým zsobem nyní mžeme zobrazit výez grafu. Statgrahics nám rovnž umožuje omocí osového kíže odeítat hodnoty na grafu. Provedeme RC na oblast íslušného grafu a zvolíme oložku Locate. Na grafu se objeví osový kíž a souadnice stedu tohoto kíže. Myší mžeme osovým kížem ohybovat a zárove odeítat souadnice bodu. Tetový výstu: P ), ). To vše ro 0. Jak již víme, konkrétní hodnotu, v níž chceme uvedené funkce urit, nastavíme v menu Pane Otions (RC na oblast levého dolního okna). V levé dolním rohu najdeme v tetovém výstuu hodnoty distribuní funkce ( ( X < ) hustoty ravdodobnosti f() a hodnotu dolku distribuní funkce ( P ( X > ) Statgrahics nám dále umožuje najít hodnoty kvantil náhodných veliin. Máme-li zobrazeno rozdlení náhodné veliiny, jejíž kvantily nás zajímají, staí klinout na ikonu Tabular Otions (žlutá ikona) a zvolit Inverse CDF. (Všichni ece víme, že kvantily jsou inverzní funkcí k funkci distribuní.)

6 Tabular Otions Hodnoty vybraných kvantil se nám zobrazí v tetovém výstuu. Jejich zmnu (nastavení ožadovaného ) rovedeme v okn Pane Otions (RC na íslušný tetový výstu). Na závr seznámení se zracováním sojité náhodné veliiny si ukážeme jak ve Statgrahicsu generovat náhodná ísla odléhající uritému rozdlení. Máme-li zobrazeno rozdlení íslušné náhodné veliiny, klikneme na ikonu Tabular Otions (žlutá ikona) a zvolíme oložku Random Numbers. V tetovém výstuu vztahujícímu se k této roblematice najdeme informaci o tom, že ro vygenerování 100 náhodných ísel odléhajících danému rozdlení máme kliknout na ikonu Save Results (ikona na níž je zobrazena disketa s ervenou šikou) - 9 -

7 Save Results V okn Save results Otions zaškrtneme ožadavek na generování dat s ožadovaným rozdlením a zvolíme název ro tato data. Po odsouhlasení (OK) najdeme generována data od zvoleným názvem v tabulce (datový vstu), kterou ráv oužíváme. 7.. Výrobce žárovky XX ví, že rmrná životnost žárovek XX je h. V rámci své roaganí kaman chce garantovat dobu T, do níž se nesálí více než 3% žárovek. Urete tuto dobu. ešení: X... životnost žárovky (doba do oruchy) má eonenciální rozdlení Uríme arametr : X E( ) 1 EX EX h 10 4 h 1 Na základ zadané ravdodobnosti najdeme dobu T: P F ( X < T ) ( T ) 1 e 0,97 T 0,03 0,03 0,03 e T

8 ln ( 0,97) T T 10 4 ln ( 0,97) T 304 h Výrobce mže tvrdit, že více než 97% žárovek má životnost delší než 304 hodin. ešení ve Statgrahicsu: Postu ešení zstává narosto stejný, ouze k výotu oužijeme Statgrahics, nikoliv kalkulaku. Statgrahics oužijeme ve chvíli, kdy máme ešit nerovnici: F ( T ) 0, 03 Zobrazíme si výstuy ro X E( 0,0001) 1 funkce rostoucí a roto uvedenou nerovnici mžeme uravit: T F ( 0,03). Distribuní funkce sojité náhodné veliiny je Potebujeme tedy najít 3% ní kvantil náhodné veliiny X. Postu i hledání kvantil je osán v íklad 7.1. (ikona Tabular Otions) ešení odeteme z tetového výstuu: T 304, Pedokládejme, že doba do oruchy uritého systému je modelována Weibullovým rozdlením s lineárn rostoucí intenzitou oruch. ( 50) a) Jaká je intenzita oruch systému o deseti hodinách funkce? b) Jaká je ravdodobnost, že systém bude racovat bez oruchy bhem oáteních 100 hodin?

9 ešení: X... doba do oruchy, ( X W ( 50; β ) Hodnotu arametru uríme na základ oznámky, že intenzita oruch je lineárn rostoucí. Obecný tvar intenzity oruch Weibullova rozdlení je: β t ( t ). Θ Θ z ehož vylývá, že. β 1 ; X W ( 50;) t > 0; Θ > 0; β > 0 ada) Hledanou intenzitu oruch uríme dosazením do obecného vztahu: (10) ,008 Intenzita oruch daného systému je o 10 hodinách rovozu 0,008. Tj. okud byl systém o 10 hodin bezoruchový, ak ravdodobnost, že v následujícím velmi krátkém asovém intervalu t dojde k oruše, je 0,008.t. adb) Pravdodobnost, že systém bude rvních 100 hodin bezoruchový uríme es jev oaný, jehož ravdodobnost udává distribuní funkce. β t Θ F( t) 1 e ; t > 0; Θ > 0; β > 0 P ( X > 100) 1 F(100) 1 1 e e e 0, 018 Pravdodobnost, že daný systém bude rvních 100 hodin bezoruchový je 1,8%. ešení ve Statgrahicsu: Zaneme ot tím, že si dané rozdlení zobrazíme. X W ( 50;) Pi nastavování arametru Weibullova rozdlení musíte vdt, že (scale) a je arametr tvaru (shae). je arametr mítka

10 ada) Nabízí se nám dv možnosti ešení: f ( t) 1.) ( t), staí tedy urit hodnotu hustoty ravdodobnosti a hodnotu distribuní 1 F( t) funkce v íslušném bod (10). Postu, jak tyto údaje získat již nebudeme oakovat. Nevíte-li, vrate se k íkladu 7.1. f (10) 0, ( 10) 0,008 1 F(10) 1 0, ) Mžeme zkusit odeíst ožadovanou hodnotu z grafu intenzity oruch: (Postu je uveden ot v íkladu 7.1.) adb) Hledanou ravdodobnost odeteme ímo z tetového výstuu ro danou náhodnou veliinu, ro 100. P ( X > 100) 0,

11 7.4. Urete: a) (0,54) b) (-,4) c) z 0,75 d) z 0,5 ešení: ada) Píslušnou distribuní funkci nalezneme v Tabulce 1: V rvním slouci je uveden argument distribuní funkce s esností na jedno desetinné místo (0,5), identifikátor druhého slouce udává druhé desetinné místo argumentu (4). Φ ( 0,54) 0,705 adb) Pro nalezení distribuní funkce záorného argumentu musíme oužít evodní vztah: Φ( z ) 1 Φ( z); < z < V našem íad: Φ(,4) 1 Φ(,4) Φ(,4) 1 0,99 Φ(,4) 0,008 adc) Pro urení 100%-ního kvantilu se musíme okusit najít v jádru tabulky a urit ro n íslušnou hodnotu z. V našem íad: Φ ( z ) Φ( z z 0,75 0,75 ) 0,75 0,67 add) V Tabulce 1 nalezneme hodnoty (50 až 100)%-ních kvantil. Pro nalezení (0 až 50)%- ních kvantil musíme oužít evodní vztah mezi kvantily, který si tímto odvodíme: Φ( z 1 Φ( z Φ( z z ) ; ) 1 ) Φ( z z 1 1 ) Φ( z 1 ) 1 V našem íad: z 0,5 v Tabulce 1 nenalezneme. z z 0,5 1 0,5 z0, 75 Nalezneme z 0,75 :

12 Φ z ( z ) 0,75 0,75 0,75 0,67 Uríme z 0,5: z z 0, 67 0,5 0,75 ešení ve Statgrahicsu: Jde o urení hodnot distribuní funkce a hodnot kvantil náhodné veliiny s normovaným normálním rozdlením. Ot zaneme tím, že si zobrazíme rozdlení této náhodné veliiny ( N( 0;1 ) X ): Zvolíme si menu: Describe\Distributions\Probability Distributions a vybereme rozdlení normální (Normal). Výstuem je ois normované normální náhodné veliiny (0; 1), roto nemusíme arametry rozdlení mnit. ada, adb) Hodnoty distribuní funkce uríme tak, že v menu Pane Otions (RC na tetový výstu) nastavíme ožadované : Je zejmé, že: Φ ( 0,54) 0,705 (,4) 0, 008 Φ adc, add) Hodnoty kvantil získáme omocí ikony Tabular Otions (zaškrtneme Inverse CDF). Pomocí menu Pane Otions navolíme ožadované. Odeteme: z z 0,5 0,75 0,674 0,

13 7.5. Nech náhodná veliina X má normální rozdlení se stední hodnotou 10 a smrodatnou odchylkou 5. Urete: a) F(7) b) 0,75 c) 0,30 ešení: X N ( 10;5) µ 10; 5 ada) Distribuní funkci normální náhodné veliiny uríme omocí standardizace: µ F( ) Φ 7 10 F(7) Φ Φ 5 F(7) 1 Φ F(7) 1 0,76 F(7) 0,74 ( 0,6) ( 0,6) ( viz. Tabulka 1) adb) Postu i urení horního kvartilu je následující (ot využijeme standardizace): F( ) 0,75 0,75 10 Φ 0,75 5 0, ,67 5 0,75 5 0, ,35 0,75 0,75 ( viz. Tabulka 1) adc) Ponkud odlišný ostu musíme oužít ro nalezení 30%-ního kvantilu: F( Φ 0,30 0,30 ) 0, ,30 5 V této fázi však ješt nemžeme oužít Tabulku 1, rotože v jádru tabulky se nacházejí ouze hodnoty (0,50 až 1,00). A roto rovnici uravíme do vhodnjšího tvaru:

14 0,30 10 Φ 0,30 5 0, Φ 1 0,30 5 0,30 10 Φ 0,70 5 A nyní již tabulky mžeme oužít: 0,30 10 Φ 0,70 5 0, ,55 5 0,30 5 0, ,375 0,30 ( viz. Tabulka 1) ešení ve Statgrahicsu: Jde o urení hodnoty distribuní funkce a hodnot kvantil náhodné veliiny s normálním rozdlením, X N( 10;5) µ 10; 5. Zobrazíme si rozdlení této náhodné veliiny. Zvolíme si menu: Describe\Distributions\Probability Distributions a vybereme rozdlení normální (Normal). Výstuem je ois normované normální náhodné veliiny (0; arametry rozdlení zmnit v Analysis Otions. 1), roto musíme Všimnme si, že jako arametry tohoto rozdlení nastavujeme stední hodnotu a smrodatnou odchylku (nikoliv roztyl). ada) Hodnotu distribuní funkce uríme tak, že v menu Pane Otions (RC na tetový výstu) nastavíme ožadované : Je zejmé, že:

15 F ( 7) 0, 74 adb, adc) Hodnoty kvantil získáme omocí ikony Tabular Otions (zaškrtneme Inverse CDF). Pomocí menu Pane Otions navolíme ožadované. Odeteme: 0,75 0,30 13,37 7, Stanovme ravdodobnost, že náhodná veliina X mající rozdlení N ( µ, ) nabude hodnoty z intervalu ( µ µ + k ) ešení: Pro k>0: P ( µ k < X < µ + k ) F( µ + k ) F( µ k ) Φ k ; ro dané kladné k. Φ ( µ + k ) µ ( µ k ) Φ ( k) Φ( k) Φ( k ) [ 1 Φ( k) ] Φ( k ) 1 µ Následující tabulka uvádí hodnoty této ravdodobnosti ro nkteré hodnoty k: k P ( µ k < X < µ + k ) 1 0,683 1,64 0,900 1,96 0,950,58 0, ,

16 7.7. Firma získá z každého rodaného výrobku 100,-K. Za výmnu bhem záruní lhty zalatí 300,-K. Životnost výrobku v letech má normální rozdlení N(3;1). Jakou záruní dobu v msících má firma stanovit, aby stední (rmrný) zisk byl aleso 60,- K/výrobek? ešení: X oet reklamovaných výrobk (z jednoho rodaného) Y zisk z jednoho rodaného výrobku Z životnost výrobku T Z záruní doba Je zejmé, že X má alternativní rozdlení, jehož arametr je roven ravdodobnosti, že dojde k reklamaci výrobku bhem záruní doby: X A( ) ; P( Z ) < T Z Zisk z jednoho výrobku (Y) je dán jako: Y X A tedy: EY EX Z P( Z ), kde Z N ( 3;1) a roto EX F( T ) Φ Φ( T 3) EX < T Z T 3 1 Z Z Nyní staí vyešit nerovnici oisující ožadavek na záruní dobu: EX Φ Φ Φ ( T 3) Z ( T 3) Z EY ( T 3) 0, 133 Z ešení této nerovnice nelze najít v tabulkách, roto nerovnici uravíme: ( TZ 3) 1 ( ( T 3) ) 0, Φ Φ Z viz. Tabulka 1.: ( T 3) Z T T Z Z 1,11 1,89 let 0,133,68 m. Firma by mla stanovit záruní dobu na msíc

17 7.8. Nech X je náhodná veliina s logaritmicko-normálním rozdlením s arametry: ; 9. Urete: a) ravdodobnost, že náhodná veliina X je z intervalu (0;30) b) medián daného rozdlení c) stední hodnotu a roztyl náhodné veliiny X ešení: X LN( ;9) ada) Pravdodobnost, že náhodná veliina X je z intervalu (0;30) mžeme urovat rovnž jako ravdodobnost, že náhodná veliina X je menší než 30, nebo log.-normální náhodná veliina mže nabývat ouze kladných hodnot. Piomeme si ostu i urování distribuní funkce log.-normální náhodné veliiny: F ( ) ln - µ Φ ; 0 ro > 0 ro 0 A nyní již ejdme k urení hledané ravdodobnosti: P ln 30 ( 0 < X < 30) F( 30) F(0) Φ 0 Φ( 0,47) 0, 681 nebo P ( 0 < X < 30) P( X < 30) F( 30) Φ Φ( 0,47) 0, ln 30 adb) Pro urení mediánu mžeme oužít vztah ro 100%-ní kvantil, který byl odvozen v Prvodci studiem: 9 e µ + z ( viz. 1) + 0 z 0,5 0 Tabulka 9 e e 7, 4 0,5 adc) Stední hodnotu a roztyl uríme na základ výše uvedených vztah: EX e µ + EX e 9 + e ,1 DX e µ ( ) + e 1 DX e ( e 1) 3,

18 esení ve Statgrahicsu: Pozor!!! Ot se setkáte s nestandardním ístuem ve Statgrahicsu. Parametry lognormálního rozdlení ve Statgrahicsu nejsou stední hodnota a roztyl (res. smrodatná odchylka) íslušné normální náhodné veliiny Y (Y ln X), ale stední hodnota a smrodatná odchylka náhodné veliiny X ( e µ + µ + EX, e ( e 1) DX ). Chceme-li tedy omocí Statgrahicsu urovat ro náhodnou veliinu X, která má lognormální rozdlení s arametry a, urovat ravdodobnosti výskytu X na njakém intervalu, musíme si nejdíve urit arametry, které ro tuto náhodnou veliinu ožaduje Statgrahics. µ + Mean: EX e µ + Std. Deviation: e ( e 1) X V našem íad využijeme výsledky, které jsme získali v bod c). EX 665,1 ; X 9 3, Nyní mžeme již známým zsobem zobrazit výstuy ro náhodnou veliinu s daným rozdlením. Menu Describe\Distributions\Probability Distributions Zaškrtneme Lognormal a v menu Analysis Otion (RC na oblast tetového výstuu) zadáme ožadované arametry (viz. výše). ada) Zobrazíme si hodnoty distribuní funkce v bodech 0 a 30 (Pane Otions) a dosadíme:

19 P ( 0 < X < 30) F( 30) F(0) 0, , 680 adb) Pro urení mediánu (obecn ro urení kteréhokoliv kvantilu) oužijeme ikonu Tabular Otions (žlutá ikona) a zaškrtneme Inverse CDF. V generovaném výstuu ímo najdeme hodnotu mediánu (50%-ní kvantil). Pokud bychom chtli získat hodnotu kvantilu, který nebyl automaticky vygenerován, rovedeme RC na tetový výstu a v Pane Otions nastavíme ožadované. 0,5 7, Urete medián a 10%-ní kvantil náhodné veliiny s eonenciálním rozdlením se stední hodnotou 10s. ešení: X E ( ) 1 1 EX 10 s 0,1 s F t t 1 e ; > 0; t ( ) 0 Pro kvantily sojité náhodné veliiny latí: F( ). Vzhledem k tomu, že musíme urit jak medián, tak i 10% ní kvantil, uríme si obecný vztah ro 100% ní kvantil eonenciální NV: F 1 e ln ln ( ) 1 e ( 1 ) ln ( e ) ( 1 ) 0,5 ln ( 1 ) A nyní již staí dosadit:

20 Medián 0,5 : ln 1 ln 1 ( 1 0,5) ln ( ) 0,5 Pro E( 0,1) X : 10 ln 6, 93 0,5 ln 0,1 : ln 0,1 ( 1 0,1) ln( 0,9) Pro X E( 0,1) : 10 ln( 0,9) 1, 05 0,1 ešení ve Statgrahicsu: Zobrazíme íslušnou náhodnou veliinu. Menu Describe\Distributions\Probability Distributions Zaškrtneme Eonential V menu Analysis Otions (RC na tetový výstu) zadáme jako arametr eonenciální NV její stední hodnotu. (V našem íad nemusíme rovádt, ednastavená stední hodnota je 10.) Klikneme na ikonu Tabular Otions (žlutá ikona) a zaškrtneme Inverse CDF, odeteme medián a 10%-ní kvantil. 0,5 0,1 6,93 1,05 Nástroje ovení normality Normalita je hlavním edokladem o datech v drtivé vtšin analýz a test (arametrické testy, Shewhartovy regulaní diagramy, indey zsobilosti ). Jde o edoklad, že data ocházejí z normálního rozdlení. Ovení normality je nezbytný krok ed každou zodovdnou analýzou jednorozmrných dat. Grafické znázornní a vizuální osouzení (uživatel musí mít aleso minimální znalosti o konstrukci a oužívání diagnostických eloratorních graf). Nejastji se oužívá Q-Q graf, jádrové odhady hustoty, o. kruhový graf

21 Q-Q graf Jde o graf ro diagnostiku normality a odlehlých ozorování. Na ose jsou vyneseny teoretické kvantily normálního rozdlení, na ose y jsou výbrové kvantily konstruované ímo z dat (viz. Eloratorní analýza). Pro normální data bez odlehlých ozorování má graf tvar ímky; ro normální data s odlehlými ozorovaními má tvar ímky s koncovými body ležícími mimo tuto ímku; ro systematicky zešikmená data s kladnou šikmostí (na. rozdlení lognormální, eonenciální) má nelineární konvení tvar. Pro systematicky zešikmená data se záornou šikmostí má nelineární konkávní tvar. Pro data s vyšší šiatostí než odovídá normálnímu rozdlení, tedy s vysokou koncentrací dat kolem stední hodnoty (na. Lalaceovo rozdlení) má tvar konkávn-konvení. Pro data s nižší šiatostí než odovídá normálnímu rozdlení, tedy s malou koncentrací dat kolem stední hodnoty (na. rovnomrné rozdlení) má tvar konven-konkávní. Proti statistikám má QQ-graf výhodu v možnosti vizuáln osoudit, zda je nelinearita zsobena jen nkolika body, nebo všemi daty. Odhad hustoty Porovnání rbhu hustoty ravdodobnosti normálního rozdlení (lná ára) s jádrovým odhadem hustoty vyoítaným na základ dat (erušovaná ára). V íad normality a vtšího množství dat jsou si ob kivky blízké. Kruhový graf Slouží ke komlenímu vizuálnímu osouzení normality na základ kombinace šikmosti a šiatosti. Zelený kruh (elisa) je otimální tvar ro normální rozdlení, erný kruh edstavuje data. V íad normálních dat se ob kivky tém kryjí. Ukázka výstuu (statistický software QC. Eert.5):

22 7.10. Vygenerujte ve Statgrahicsu náhodná ísla odléhající níže uvedeným rozdlením a otestujte jejich normalitu. NORM N ( 10;16 ) EXP E(0,5) ERLANG WEIB W ešení: E( 8;0.4) ( 50;8) Jak již víme, generování náhodných ísel se rovádí v menu: Describe\Distributions\Probability Distributions Zaškrtneme ožadovaný ty rozdlení a v menu Analysis Otions (RC na oblast tetového výstuu) nastavíme jeho arametry. Provete ro NORM. Nyní klikneme na ikonu Save Results Otions, zaškrtneme Random Numbers for Dist. 1 a zadáme název ro ožadovaná data (NORM). Save Results Otions Celý ostu zoakujeme ro náhodná ísla odléhající eonenciálnímu, Erlangovu a Weibullovu rozdlení. V datové tabulce bychom nyní mli najít 4 romnné, iemž ro každou z nich je generováno 100 hodnot

23 Nyní vyhodnotíme normalitu tchto dat. Co se týe graf ro diagnostiku normality, Statgrahics nám nabízí ouze dva. A to emirickou (odhadovanou) hustotu ravdodobnosti a Q-Q graf. Oba tyto grafy získáme v menu Describe\Distributions\Distributionn Fitting (Uncensored Data) Jako Data zadáme testovanou romnnou. Poté klikneme na ikonu Grahical Otions a zaškrtneme ožadované grafické výstuy (Density Trace a Quantille-Quantille grah). Grahical Otions Z grafu emirické hustoty ravdodobnosti mžeme usuzovat na to, že jak šikmost, tak i šiatost rozdlení odovídá normálnímu rozdlení. Rovnž Q-Q graf naznauje, že tudovaná data mžeme ovažovat za výbr z normálního rozdlení (body leží v blízkosti vyznaené ímky). Co se týe šikmosti a šiatosti tchto dat, mžeme ji esnji osoudit z íselných hodnot tchto statistik. Hodnoty šikmosti (skewness) a šiatosti (kurtosis) získáme v tetovém výstuu menu Describe\Numeric Dat\One-Variable Analysis, kde jako data zvolíme studovanou romnnou (NORM)

24 Vidíme, že hodnoty obou charakteristik jsou blízké nule což rovnž svdí ve rosch normality dat. Obdobné vyhodnocen ní rovedeme ro zbylé 3 romnné: EXP: Z obou graf je atrné, že data jsou ozitivn zešikmená (delší ravý chvost hustoty, res. nelineární konvení tvar Q-Q grafu) Hodnoty šikmosti (8,6) i šiatosti (1,9) ukazují na odstatný odklon od normality. ERLANG: Z obou graf je atrné, že data jsou mírn ozitivn zešikmená (delší ravý chvost hustoty, res. nelineární konvení tvar Q-Q grafu)

25 Naší domnnku otvrzují také hodnoty šikmosti i šiatosti. Na základ eloraní statistiky mžeme data ovažovat za výbr odléhající normálnímu rozdlení. WEIB: Také tato data mžeme ovažovat za výbr z normálního rozdlení. V kaitole testování hyotéz se nauíme vyhodnocovat normalitu dat na základ statistických test