Kvaterniony P ipome me, ºe kvaterniony jsou ty dimenzionální algebra K nad reálnými ísly generovaná prvky {1, l, j, k}, které spl ují

Transkript

1 Kvatrniony P ipom m, º kvatrniony jsou ty dimnzionální algbra K nad rálnými ísly gnrovaná prvky {1, l, j, k}, ktré spl ují l 2 = j 2 = k 2 = ljk = 1. První z gnrátor bývá ozna ován i, al abychom s vyhnuli zmatk m zp sobným idntikací s komplxní jdnotkou, budm pouºívat l. Pro q = a + bl + cj + dk dnujm sdruºný prvk q = a bl cj dk. Normu q dnujm jako N(q) := qq = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = q 2, kd q j uklidovská norma v R 4. Sféra S 3 j tdy p irozn idntikována s jdnotkovými kvatrniony K 1 (tj. kvatrniony normy jdna). Platí (pq) = q p. Z toho plyn N(pq) = N(p)N(q), a jdnotkové kvatrniony tvo í multiplikativní grupu. Invrzní prvk kvatrnionu q má tvar q 1 = q /N(q) Kvatrniony tvaru bl+cj +dk s nazývají imaginární. Pro imaginární kvatrnion p platí p 2 = 1/N(p). Jdnotkové imaginární kvatrniony lz idntikovat s sférou S 2. Poloºm τ = (l, j, k) a pro v = (v 1, v 2, v 3 ) R 3 pi²m v τ = v 1 l + v 2 j + v 3 k. Pro sou in dvou imaginárních kvatrnion platí (u τ)(v τ) = u v + (u v) τ, kd u v j vktorový sou in. Nyní ukáºm njd lºit j²í vlastnost kvatrnion. Konjugac imaginárního kvatrnionu libovolným kvatrnionm odpovídá rotaci trojrozm rného prostoru. V ta. Pro q = (r + xl + yj + zk) K, j zobrazní ur né vztahm ρ q : R 3 R 3 (b, c, d) (b, c, d ) b l + c j + d k = q(bl + cj + dk)q 1 rotac kolm osy procházjící bodm (x, y, z) o úhl u ω = 2 arccos. N(q) D kaz. Zobrazní j zjvn linární. Ozna m p = bl + cj + dk. Pokud q = r R, j qpq 1 = p a ρ q j idntita (tu m ºm chápat jako rotaci kolm libovolné osy). Nch tdy v := xl + yj + zk 0. Protoº qpq 1 = (tq)p(tq) 1 pro libovolné rálné t, m ºm bz újmy na obcnosti p dpokládat, º q j jdnotkový a qpq 1 = qpq. Uvaºm njprv, º qpq 1 j imaginární kvatrnion. Sou in i 1 i 2 i 3 t í gnrátor j rálný, práv kdyº {i 1, i 2, i 3 } = {l, k, j} nbo {i 1, i 2, i 3 } = {1, m, m}, pro n jaké m {l, j, k}. V²chny takové sou iny s al v qpq 1 po dvou od tou, nap. xcz ljk + zcx kjl = 0. Platí N(qpq 1 ) = N(q)N(p)N(q ) = N(p). Dál platí qvq = (r + v)v(r v) = (r + v)(rv vv) = (r + v)(r v)v = N(q)v = v. 1

2 2 Vidím, º ρ q j isomtri s pvným bodm (x, y, z). To znamná, º ρ q j rotac kolm osy (x, y, z), nbo zrcadlní podl roviny, v ktré (x, y, z) lºí. Nch u, u jsou dva na sb kolmé pvné body ρ q (báz roviny zrcadlní). Pak q(u τ)(u τ)q = q(u τ)q q(u τ)q = (u τ)(u τ), a protoº (u τ)(u τ) = (u u ) τ, j i vktor u u pvným bodm ρ u, spor s p dpokladm, º ρ u j zrcadlní. Jdná s tdy o rotaci. Vyjád m q jako kd q = cos ω 2 + sin ω (l sin ϑ cos ϕ + j sin ϑ sin ϕ + k cos ϕ), 2 v = l sin ϑ cos ϕ + j sin ϑ sin ϕ + k cos ϕ j jdnotkový imaginární kvatrnion vyjad ující osu rotac pomocí jjích polárních sou adnic. Ozna m κ = cos ω 2 + sin ω 2 k, tdy situaci, kdy v = k. P ímým výpo tm obraz ρ κ (l), ρ κ (j) a ρ κ (k) dostávám cos ω sin ω 0 [ρ κ ] l,j,k = sin ω cos ω a v ta pro tnto p ípad platí. Podobn ov ím platnost pro p ípady v = l a v = j, tdy pro rotac kolm druhé a t tí osy R 3. Uvaºm nyní kvatrniony q ϕ = cos ϕ 2 + k sin ϕ 2, q ϑ = cos ϑ 2 + j sin ϑ 2. Jjich akc odpovídá p íslu²ným rotacím, takº a tdy q ϕ q ϑ kq ϑq ϕ = v, q ϕ q ϑ κq ϑq ϕ = q. Odtud qpq = q ϕ (q ϑ (κ(qϑ(q ϕpq ϕ )q ϑ )κ )qϑ)q ϕ nboli ρ q = ρ ϕ ρ ϑ ρ κ ρ 1 ϑ ρ 1 ϕ, tdy ρ q j zobrazní podobné zobrazní ρ κ, jinak no, j to rotac o úhl ω vzhldm k jiné ortonormální bázi. Konkrétn [ρ q ] ρ ϕ ρ ϑ (l,j,k) = [ρ κ ] l,j,k. Poznámka: P ímým výpo tm obraz ϕ q (l), ϕ q (j) a ϕ q (k). Dostanm (pro jdnotkové q) matici 1 2(y 2 + z 2 ) 2(xy rz) 2(ry + xz) [ϕ q ] l,j,k = 2(xy + rz) 1 2(x 2 + z 2 ) 2(yz rx). 2(xz ry) 2(rx + yz) 1 2(x 2 + y 2 ) M ºm ov it, º j ortogonální s dtrminantm 1.

3 3 Gomtri projktivních unitárních oprátor Pokud ztotoºním unitární oprátory, ktré p sobí stjn na t ídách daných projktivní kvivalncí, dostanm projktivní unitární grupu, ktrou zna ím PU(2) (dvojka zna í dimnzi). Oprátor U pak ztotoº ujm s oprátorm iϕ U. (P ipom m, º iϕ zd zastupuj tzv. skalární matici, tdy diagonální matici s v²mi indxy na diagonál rovnými iϕ, mající tdy dtrminant i2ϕ.) Uv domm si njprv, jak vypadá ( obcný unitární oprátor U. Jho prvním a b) sloupcm j n jaký jdnotkový vktor. Druhý sloupc j pak na n j kolmý, j b to tdy aº na komplxní jdnotku vktor. Mám tdy a a U = iψ b b iψ a, s dtrminantm iψ. V bázi vlastních vktor má U tvar iϕ 1 0, 0 iϕ2 kd ψ = ϕ 1 + ϕ 2. Stjn jako v p ípad kubitu stojím p d otázkou volby vhodného rprzntanta kvivalntních unitárních oprátor. M ºm nap. zvolit rprzntanta s jdnotkovým dtrminantm, tdy prvk spciální unitární grupy ozna né SU(2). Takoví rprzntanti jsou ov²m dva! Jsou tvaru iψ/2 U a iψ/2 U, tdy ± iψ/2 a iψ/2 b iψ/2 b iψ/2 a. V bázi vlastních vktor s jdná o matici iω/2 0 ± 0 iω/2, kd ω = ϕ 2 ϕ 1. Dal²í p iroznou volbou j matic iϕ1, ktrá má diagonální tvar iω. V²imn m si zajímavého rozdílu. Zatímco zobrazní 1 0 R(ω) = 0 iω má priodu 2π, zobrazní i ω 2 0 T (ω) = 0 i ω 2 má priodu 4π, p i mº matic T (ω) a T (ω + 2π) s li²í o znaménko, jsou to dva rprzntanti v SU(2) téhoº prvku z PU(2). Znaménko prvku SU(2) m ºm volit tak, º pokud p íslu²ného rprzntanta zapí²m jako p ti s ri, s ri p + ti

4 4 p, r, s, t R, bud p nzáporné. (Pokud j p = 0 j tnto poºadavk stál j²t ndostat ný a musím volit znaménko t nbo dokonc s.) Výhodou takto zapsané matic j vztah (p ) ti s ri = pe + r( ix) + s( iy ) + t( iz), s ri p + ti poskytující rozklad do matic E, ix, iy, iz spl ujících stjné dnující rlac jako gnrátory kvatrnion 1, l, j, k. M ºm tdy ztotoºnit l = ix, j = iy, k = iz a dostávám jdnozna nou korspondnci mzi jdnotkovými kvatrniony s nzápornou rálnou ástí a prvky PU(2). Kaºdý prvk U PU(2) tdy m ºm jdnozna n vyjád it jako U = cos ω 2 E + (xl + yj + zk) sin ω 2, kd (x, y, z) S 2 a ω [0, π). To s v kvantové mchanic asto vyjad uj tzv. roz²í nou Eulrovou formulí U = i ω 2 ξ σ = E cos ω 2 i ξ σ sin ω 2 = cos ω 2 E + (xl + yj + zk) sin ω 2, kd ξ = (x, y, z) a σ = (X, Y, Z). Kaºdé dvojici ξ, ω odpovídá rotac R(ξ, ω) prostoru R 3 kolm osy ξ o úhl ω. Tyto rotac tvo í spciální ortonormální grupu SO(3), tdy grupu matic, jjichº sloupc (a ádky) tvo í ortonormální bázi a jjich dtrminant j jdna. Kaºdá nidntická rotac j p itom dnována dv ma dvojicmi kv li rovnosti R(ξ, ω) = R( ξ, ω). (Idntita zp sobuj jisté tchnické komplikac, protoº jjí osu j moºné volit libovoln. M ºm ji konvn n p i adit dvojici (0, 0).) Existuj tdy bijkc mzi S 2 (0, 2π) a SU(2) \ {E}, p i mº vºdy dva prvky odpovídají jdné rotaci z SO(3), rsp. jdnomu prvku PU(2). Na² úvahy m ºm shrnout takto: PU(2) = SU(2)/Z 2 = S 3 /Z 2 = K1 /Z 2 = S 2 (0, 2π)/Z 2 (0, 0) = SO(3). Symbol = zd chápm voln jako uvdná p i azní. Mzi krajními lny j ov²m vztah mnohm t sn j²í, zprost dkovaný vztahm mzi rotacmi a akcí konjugac kvatrnion, vyjád ný v násldující v t. V ta. Zobrazní Φ : SO(3) PU(2) R(ξ, ω) i ω 2 ξ σ j isomorsmus grup. Navíc pro kaºdou rotaci ρ SO(3) platí ρ = S 1 Φ(ρ) S, kd S : S 2 CP 1 j strogracká projkc. D kaz. Pro U = i ω 2 ξ σ mám R(ξ, ω) = ρ U Φ U. Zobrazní j tdy prosté a na, p i mº skládání rotací odpovídá násobní matic. Zbývá ukázat, º R(ξ, ω) p sobí na S 1 ( ψ ) stjn jako U na ψ. K tomu pouºijm oprátor hustoty. Oprátor obrazu U ψ má tvar U ψ ψ U = 1 2 E + i 2 U(bl + cj + dk)u.

5 5 Z v ty o akci konjugac kvatrnion plyn, º S 1 (U ψ ) s skut n rovná ρ U (b, c, d) a násldující diagram komutuj. CP 1 S S 2 i ω 2 ξ σ R(ξ, ω) CP 1 S S 2