.8.0 Pythagorova věta II Předpoklady: 0081, 00818 Pedagogická poznámka: První část hodiny obsahuje opakování mocnin, na které není v minulé hodině místo. Př. 1: Vypočti. 10 5 e) = = = = = 10 1000 10 0, 001 = = = 5 1 5 5 = 5 e) = = = Dodatek: Samozřejmě v některých bodech je možné postupovat s využitím postřehů z minulých hodin i rychleji: 5 5 = = nebo e) = = Př. : apiš čísla v exponenciálním tvaru. 100 0,0058 7 000 0,000 708 100 = 1, 10 5 7 000 =, 7 10 0, 0058 = 5,8 10 0,000 708 = 7,08 10 Př. : Čísla v exponenciálním tvaru zapiš běžným způsobem. 10 1,6 10,07 10 6 6, 10 Předpokládej, že uvedené hodnoty představují hmotnost v kilogramech. O jaké předměty by mohlo jít? 10 kg = 0,000 kg = 0, g - hmotnost lehké mince (bývalá mince 50 ha, větší představitelé hmyzu, větší kapka vody, tabletky,.) 1,6 10 kg = 1600 kg = 1,6 t - středně velký osobní automobil 6,07 10 kg 0,000 0007 kg,07μg = = - komár nebo jiný menší druh hmyzu 1
6, 10 kg = 6 00 000 000 kg = 6 00 000 t - Cheopsova pyramida, menší hora Př. : Vypočti. Výsledek uveď jako desetinné číslo nebo zlomek. + 17 + = + = + = =, 5 1 = = = = 16 16 = 56 = 6 = 8 Př. 5: Dopočti délky zbývajících stran pravoúhlých trojúhelníků na obrázku. C U 50 1,5 0 B S 6 1,7 T C 6 B Platí: a = b + c (strana a je přepon a b c = + = + = 6 5 a = 5 = 1 = 1 S U 1,7 1,5 T Platí: u = s + t (strana u je přepon t = u s / t u s = = = t = 0, 6 = 0,8 1,7 1,5 0,6 0 50 Trojúhelník na obrázku není pravoúhlý (nemá vyznačený pravý a úhel a žádný úhel se nezdá pravý) pro výpočet zbývající strany nemůžeme použít Pythagorovu větu (a to znamená, že bez dalších informací nejsme schopni délku třetí strany určit).
Př. 6: apiš Pythagorovu větu pro pravoúhlé trojúhelníky na obrázku (používej označení stran, které odpovídá označení vrcholů). F L E G K M F g e E f G Přeponou je strana g: g = e + f. m L k K l Přeponou je strana l: M l = k + m. y x Přeponou je strana y: z y = x + z. Př. 7: Nakresli libovolný trojúhelník BC, pro který platí: b = a + c. Trojúhelník, který nakreslíme musí být: pravoúhlý (platí pro něj Pythagorovo vět, s přeponou b. B C Př. 8: Urči délky stran rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku s přeponou délky 6. Rovnoramenný trojúhelník má obě odvěsny (ramen stejné ( a = b ). a + b = a + a = c
a = c / : c a = / c 6 a = = = 6 Odvěsny pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníku s přeponou délky 6 mají délku 6. Př. : Dvě strany trojúhelníku mají délky 15 cm a 17 cm. Urči délku poslední strany tak, aby trojúhelník byl pravoúhlý. Dvě možnosti: strana o délce 17 cm je přeponou trojúhelníku určujeme druhou odvěsnu, strana o délce 17 cm je odvěsnou trojúhelníku určujeme přeponu. Strana o délce 17 cm je přeponou trojúhelníku určujeme druhou odvěsnu. a + b = c / b a = c b a c b / 17 15 cm 6 cm 8 cm = = = = Strana o délce 17 cm je odvěsnou trojúhelníku určujeme přeponu. a + b = c / c a b 15 17 cm 51 cm, 7 cm = + = + = Třetí strana trojúhelníku může mít velikost buď 8 cm nebo,7 cm. Př. 10: Trojúhelník o délkách stran,, 5 je pravoúhlý s celočíselnými stranami. Existuje rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník s celočíselnými stranami? Svůj závěr zdůvodni. Pravoúhlý rovnoramenný trojúhelník s celočíselnými stranami neexistuje. Všechny pravoúhlý rovnoramenné trojúhelníky mají stejný tvar (dva úhly 5 a jeden úhel 0 ) všechny jsou zvětšené nebo zmenšené obrazy pravoúhlého trojúhelníku o stranách 1;1; žádný z nich nemůže mít celočíselné strany (trojúhelník o stranách 1;1; má neceločíselnou přeponu, při zvětšení nebo zmenšení trojúhelníku se délky všech stran vynásobí stejným číslem délku přepony bychom museli vynásobit násobkem čísla, pokud tímto číslem vynásobíme délky ostatních stran budou obsahovat a budou tedy neceločíslené). Dalším příkladem rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku je trojúhelník z příkladu 8 o stranách 6; 6; 6 (tedy šestkrát zvětšený trojúhelník o stranách 1;1; ). Př. 11: Dobrovolný domácí úkol: najdi si libovolný důkaz Pythagorovy věty a připrav si jeho předvedení na následující hodinu.
Shrnutí: Pythagorovu větu můžeme zapsat pomocí různých písmenek. da je správný tvar a + b = c nebo a + c = b záleží na označení stran. 5